Μαρία Ντεκουμέ Η συμπεριφορά του μεγιστικού τελεστή Hardy-Littlewood σε σχέση με σταθμισμένους L χώρους και η αντίστοιχη θεωρία των A βαρών Μεταπτυχιακή εργασία Εαρινό εξάμηνο 24-25 Μεταπτυχιακό πρόγραμμα Μαθηματικά και Εφαρμογές τους Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης
Επιτροπή κρίσης: Μιχάλης Κολουντζάκης Θεμιστοκλής Μήτσης Μιχάλης Παπαδημητράκης, επιβλέπων.
Περιεχόμενα Το μεγιστικό Θεώρημα Hardy- Littlewood για κανονικά μέτρα 2 A βάρη και ο μεγιστικός τελεστής Hardy-Littlewood 5 3 A βάρη 4 A βάρη, > 9 5 Παραγοντοποίηση των A βαρών 27 6 A βάρη και ο χώρος BMO 3 7 Ένα αποτέλεσμα παρέκτασης 35 i
ii
Κεφάλαιο Το μεγιστικό Θεώρημα Hardy- Littlewood για κανονικά μέτρα Έστω μη-αρνητικό μέτρο Borel στον R n, πεπερασμένο σε φραγμένα σύνολα. Για ένα τέτοιο μέτρο αναρωτιόμαστε: Αν x R n και ανοικτός κύβος που περιέχει το x, ισχύει ότι lim fydy fx - σχεδόν παντού; Θα προσεγγίσουμε αυτή την ερώτηση εστιάζοντας αρχικά σε ένα αποτέλεσμα ασθενούς τύπου για την αντίστοιχη μεγιστική συνάρτηση. Πιο συγκεκριμένα, αν για x R n και f τοπικά στον L R n θεωρήσουμε M fx su fy dy, παίρνοντας suremum των ανοικτών κύβων που περιέχουν το x, θα διερευνήσουμε αν η απεικόνιση f M f είναι ασθενώς-,. Θα ξεκινήσουμε ως εξής: Θεωρούμε O λ {x R n M fx > λ}. Το O λ είναι ανοικτό, γιατί για κάθε x O λ έχουμε ότι su fy dy > λ για ανοικτούς κύβους που περιέχουν το x, άρα υπάρχει κάποιος ανοικτός κύβος x που περιέχει το x και για τον οποίο x Συνεπώς, για κάθε z x έχουμε M fz su J J x fy dy > λ. fy dy > fy dy > λ, x x με J να είναι οι ανοικτοί κύβοι που περιέχουν το z, δηλαδή z O λ. Οπότε x O λ. Στην πραγματικότητα, O λ x O λ x. Θέλουμε να υπολογίσουμε το O λ μέσω του -μέτρου του x O λ x. Είναι φανερό ότι χρειαζόμαστε κάποιον έλεγχο πάνω σε αυτό το σύνολο. Έτσι ας υποθέσουμε επιπλέον ότι το μέτρο είναι κανονικό, δηλαδή ότι αν το σύνολο U είναι -μετρήσιμο, τότε U su K. K U,K συμπαγές
Αν το K είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του O λ, υπάρχουν πεπερασμένου πλήθους x, ας πούμε x, x2,..., xm, τέτοια ώστε K m j x j. Στην πραγματικότητα μπορούμε να αποφύγουμε κάποιες υπερκαλύψεις των xj αν απορρίψουμε κάθε κύβο xk τέτοιο ώστε xk j k x j. Και πάλι όμως θα έχουμε αρκετές υπερκαλύψεις. Για να αποφύγουμε και αυτές θα δουλέψουμε ως εξής: Αφού έχουμε πεπερασμένου πλήθους κύβους, θα υπάρχει κάποιος με μεγαλύτερο μήκος πλευράς αν υπάρχουν παραπάνω από ένας, διαλέγω έναν από αυτούς. Τον κύβο αυτόν τον ονομάζω τώρα. Αν κάποιος από τους υπόλοιπους κύβους xj, έστω, τέμνει τον, αφού το μήκος της πλευράς του είναι μικρότερο από το μήκος της πλευράς του, έχουμε ότι 3, όπου 3 ο κύβος με το ίδιο κέντρο με τον και με τριπλάσιο μήκος πλευράς. Οπότε μπορώ να απορρίψω όλους τους κύβους που τέμνουν τον και έτσι έχω πεπερασμένη συλλογή ανοικτών κύβων ξένων με τον. Την ίδια διαδικασια ακολουθώ στην οικογένεια των xj πεπερασμένες φορές, παίρνοντας κάθε φορά τον κύβο με το μεγαλύτερο μήκος πλευράς από αυτούς που έχουν απομείνει και απορρίπτοντας όσους τον τέμνουν. Με αυτόν τον τρόπο καταλήγω σε συλλογή {, 2,..., k } από ξένους ανά δύο κύβους, τέτοιους ώστε K k j 3 j. Οπότε K k 3 j. j Αν το μέτρο είναι doubling, αν δηλαδή 2 c για κάθε ανοικτό κύβο, για κάποιο c που δεν εξαρτάται από το, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα 3 j από j, οπότε έχουμε k K c 2 j, όπου c η doubling σταθερά του. Όμως τα j είναι κύβοι ειδικής μορφής: Είναι ανοικτοί κύβοι, ξένοι ανά δύο για τους οποίους ισχύει fy dy j j > λ. Άρα j k k λk c 2 λ j c 2 fy dy j j j c 2 fy dy c 2 f L. k j j Τελικά. αφού το είναι κανονικό μέτρο, έχουμε δηλαδή λo λ su K O λ,k συμπαγές O λ c2 λ f L. Μόλις αποδείξαμε το εξής Θεώρημα: λk c 2 f L, ΘΕΩΡΗΜΑ. Έστω μη-αρνητικό μέτρο Borel στον R n, πεπερασμένο σε φραγμένα σύνολα, κανονικό και doubling. Τότε η απεικόνιση f M f είναι ασθενώς-, με νόρμα c 2, όπου c η doubling σταθερά του μέτρου. ΠΟΡΙΣΜΑ. Έστω μέτρο όπως στο παραπάνω Θεώρημα. Τότε υπάρχει σταθερά c c ανεξάρτητη της f τέτοια ώστε M f L c f L, < < +. 2
Απόδειξη. Όπως είδαμε, η απεικόνιση M είναι ασθενώς-, και φραγμένη στον L. Επομένως, εφαρμόζοντας το Θεώρημα Παρεμβολής του Marcinkiewicz συμπεραίνουμε ότι η M είναι ισχυρά-, για < < +. Δηλαδή, M f L c f L, για κάποιο c c. ΠΟΡΙΣΜΑ 2. Έστω μέτρο όπως στο παραπάνω Θεώρημα και f τοπικά στον L R n. Τότε lim fydy fx σχεδόν παντού.,x Απόδειξη. Καθώς για συμπαγές K έχουμε K < +, οι συνεχείς συναρτήσεις είναι πυκνές στον L R n. Έστω τώρα f L R n. Παίρνουμε ϕf, x lim su fydy lim inf fydy.,x,x Προφανώς ϕf, x. Επίσης, θα δείξουμε ότι για κάθε συνεχή g ισχύει ϕf g, x ϕf, x. Έστω ϵ >. Υπάρχει δ > ώστε gx gy < ϵ για x y < δ. Άρα για κάθε ανοικτό κύβο με διάμετρο < ϵ που περιέχει το x έχουμε gy gxdy < ϵ, οπότε lim gydy gx.,x Επιπλέον, για κάθε h L R n και για κάθε x ισχύει ϕh, x lim su hydy lim inf hydy,x,x 2 su hydy 2M hx, { x } άρα για κάθε x ϕf, x ϕf g, x 2M f gx. Επομένως, για κάθε λ >, {x R n ϕf, x > λ} {x R n M f gx > λ 2 }. Οπότε {x R n ϕf, x > λ} {x R n M f gx > λ 2 } 2 λ c2 f g L. Όμως, αφού οι συνεχείς συναρτήσεις είναι πυκνές στον L R n, το δεξί μέλος της παραπάνω ανισότητας μπορεί να γίνει όσο μικρό θέλω, άρα Συνεπώς, για κάθε λ >, lim su fydy,x {x R n ϕf, x > λ} για κάθε λ >. lim inf,x fydy λ, σχεδόν παντού, 3
άρα lim su,x fydy lim inf,x fydy, σχεδόν παντού, δηλαδή το όριο υπάρχει -σχεδόν παντού. Έστω τώρα λ >. Παίρνουμε U f λ {x R n lim fydy fx > λ}.,x Και πάλι για οποιαδήποτε g συνεχή έχουμε ότι lim fydy fx M f gx + fx gx,,x άρα Τότε U f λ {x R n M f gx > λ 2 } {x Rn fx gx > λ 2 }. U f λ {x R n M f gx > λ 2 } + {x R n fx gx > λ 2 }, και καθώς {x R n M f gx > λ 2 } 2 λ c2 f g L, {x R n fx gx > λ 2 } 2 λ f g L και το f g L μπορεί, όπως είπαμε, να γίνει όσο μικρό θέλουμε, έχουμε U f λ για κάθε λ >, άρα lim,x fydy fx, σχεδόν παντού. 4
Κεφάλαιο 2 A βάρη και ο μεγιστικός τελεστής Hardy-Littlewood Ας υποθέσουμε ότι για κάποιο, < +, υπάρχει μια σταθερά k k,, ανεξάρτητη της f, τέτοια ώστε για κάθε f L R n και λ > να ισχύει λ {x R n Mfx > λ} k f L. 2. Αυτό που αναρωτιόμαστε είναι τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε τότε για το μέτρο. ΘΕΩΡΗΜΑ 2. Έστω μη-αρνητικό μέτρο Borel, πεπερασμένο σε φραγμένα σύνολα και έστω ότι για κάποιο < + ισχύει η 2.. Τότε: i Το είναι απολύτως συνεχές ως προς το μέτρο Lebesgue. Δηλαδή υπάρχει μη-αρνητική τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση w τέτοια ώστε dx wxdx. ii Για κάθε ανοικτό κύβο και κάθε f L R n ισχύει fy dy c fy dy, όπου c c,k σταθερά ανεξάρτητη της f. iii Συνθήκη A Η w ικανοποιεί τη συνθήκη A R n του Muckenhout, ή αλλιώς A συνθήκη. Δηλαδή υπάρχει c c,k σταθερά ανεξάρτητη του ανοικτού κύβου τέτοια ώστε ή wydy wy dy c, αν < < + wydy c ess inf w, αν. Συμβολίζουμε w A. Το infimum των σταθερών στο δεξί μέλος των ανισοτήτων ονομάζεται A ή A σταθερά του w. Μάλιστα, η A σταθερά είναι ck και η A σταθερά είναι ck. iv Strong doubling Για κάθε ανοικτό κύβο και μετρήσιμο E, όπου c c,k σταθερά ανεξάρτητη των E,. E, c E 5
Απόδειξη. i Έστω E με E. Θα δείξουμε ότι τότε E. Λόγω κανονικότητας του μέτρου, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το E είναι συμπαγές και ότι για δεδομένο ϵ > υπάρχει ανοικτό O τέτοιο ώστε E O και O \ E < ϵ. Θεωρούμε fy χ O\E y. Τότε f L R n και f O \ E < ϵ. Επίσης, για L κάθε x E υπάρχει ανοικτός κύβος O με x. Άρα fydy O \ E γιατί E. Οπότε, για κάθε x E έχουμε Mfx. Τώρα, από την ανισότητα 2. συμπεραίνουμε ότι Συνεπώς E., E {x R n Mfx } {x R n Mfx > 2 } 2 k f L < 2 k ϵ cϵ. ii Έστω ανοικτός κύβος και f L R n. Θεωρούμε f Για κάθε x έχουμε Mfχ x su fχ y dy fy dy f, J x J J fy dy >. άρα inf x Mfχ x f. Οπότε το f είναι πεπερασμένο για κάθε, γιατί αλλιώς θα έπρεπε το να ειναι το μηδενικό μέτρο προκειμένου να ισχύει η 2.. Αν τώρα πάρουμε O {x R n Mfχ x > f }, μπορούμε να δούμε ότι 2 λόγω της 2., άρα Δηλαδή, δείξαμε ότι για c 2k σταθερά ανεξάρτητη της f. O 2 f k fχ L f 2k fyχ y dy. R n fy dy c fy dy iii, iv Για ϵ >, εισάγουμε το μέτρο dνy dy + ϵdy. Αυτό το κάνουμε για να αποφύγουμε ορισμένες τεχνικές δυσκολίες, όπως να μηδενίζεται η w σε κάποιο σύνολο θετικού μέτρου. Προφανώς το ν είναι και αυτό απολύτως συνεχές ως προς το μέτρο Lebesgue, με dνy vydy για κάποια μη-αρνητική τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση v. Επίσης η 2. ισχύει και για το μέτρο ν με κάποια σταθερά k k,ν ανεξάρτητη του ϵ. Δηλαδή λ ν {x R n Mfx > λ} k f L ν. 6
Ας υποθέσουμε αρχικά ότι >. Προκειμένου να εκτιμήσουμε το vy dy, θα παρατηρήσουμε ότι vy dy vy vydy dνy vy Από την αντίστροφη ανισότητα Hölder, su v L ν f L ν vy fydνy vy dνy vy su f L ν dνy v fydy. Το σκέλος ii του Θεωρήματος, το οποίο αποδείξαμε πριν λίγο, ισχύει και για το μέτρο ν, οπότε για f L ν, Οπότε Τότε fydy 2k ν 2k f L ν ν vy dy v vydy vy L ν ν dy fy dνy 2k. ν ν 2k. ν 2k ν L ν 2k ν ν 2k ν Για να δείξουμε το iv, βλέπουμε ότι για μετρήσιμο E vy E dy E vy vydy E E νe νe E 2k c. vy dy vy dy E vy dy vy dy 2k, ν. οπότε. ν νe2k E 7
Καθώς η σταθερά δεν εξαρτάται από το ϵ, παίρνουμε όριο για ϵ + και έχουμε ότι. E2k E Επιπλέον, αν υπάρχει σύνολο E με E > τέτοιο ώστε E, τότε το είναι το μηδενικό μέτρο, καθώς για κάθε ανοικτό κύβο E. Οπότε dx wxdx με wx > σχεδόν παντού. Συνεπώς το παραπάνω επιχείρημα μπορεί να επαναληφθεί με w αντί για v. Τώρα προχωράμε στην περίπτωση. Για μετρήσιμο E με E >, παίρνουμε f χ E και εφαρμόζουμε το ii: άρα δηλαδή χ E ydy 2k E 2k E, c E E, χ E ydy, το οποίο είναι το iv. Έπειτα, επιλέγοντας ως E ακολουθία ανοικτών κύβων που συγκλίνουν σε σημείο Lebesgue x της w τέτοιο ώστε wx ess inf w, η παραπάνω ανισότητα μας δίνει ότι wydy c ess inf w. Θα παρουσιάσουμε τώρα κάποιες ιδιότητες των A βαρών που θα μας χρειαστούν σε αρκετά σημεία παρακάτω. ΛΗΜΜΑ. Έστω w A, < < +. Τότε w A, όπου +. Απόδειξη. Έστω ανοικτός κύβος. Αφού w A, wydy wy dy c. Τότε, αν v w, vydy Δηλαδή v A. vy dy wy dy wy dy wydy wy dy wydy wydy wy dy c. 8 wydy
ΛΗΜΜΑ 2. Έστω w A, < +, και q >. Τότε w A q. Απόδειξη. Αν, έχουμε w A, δηλαδή wydy c ess inf w. Για q >, wydy wy q q dy c ess inf w q ess inf w q dy άρα w A q. Αν >, έχουμε w A, δηλαδή wydy c ess inf c ess inf w ess inf wess inf wy dy c. w q q w c, Για q >, θεωρούμε r q > και εφαρμόζουμε ανισότητα Hölder με τους συζυγείς εκθέτες r q, r q για να πάρουμε q wydy wy q q dy wydy wydy q wydy wydy wydy wy r r q dy r r dy q wy q q q q dy dy wy dy q wy dy wy dy c. 9
Κεφάλαιο 3 A βάρη Σε αυτό το Κεφάλαιο θα μελετήσουμε τα A βάρη. Σύμφωνα με αυτά που είδαμε ως τώρα, η A συνθήκη είναι αναγκαία ώστε ο μεγιστικός τελεστής Hardy-Littlewood M να απεικονίζει τον L R n στον L, R n. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε εύκολα ως εξής: Προκειμένου να έχουμε Mf L, R n για κάθε f L R n, πρέπει για κάθε f L R n να ισχύει ότι λ {x R n Mfx > λ} c f L για κάθε λ > για κάποια σταθερά c. Τότε ικανοποιείται η συνθήκη 2. για, άρα w A. Το ερώτημα που θα μας απασχολήσει τώρα είναι εάν είναι και ικανή συνθήκη. ΘΕΩΡΗΜΑ 3. Muckenhout Έστω w A. Τότε ο M απεικονίζει τον L R n στον L, R n με νόρμα ανεξάρτητη στον A. Απόδειξη. Αρχικά, ας παρατηρήσουμε ότι αν w A, τότε το μέτρο είναι doubling, με doubling σταθερά ca σταθερά της w. Πράγματι, για κάθε ανοικτό κύβο, wydy c ess inf w c ess inf 2 w c wydy, 2 οπότε 2 2 c 2. Δηλαδή 2 c, όπου c 2 n A σταθερά της w. Επιπλέον, fy dy fy dy c ess inf w c fy ess inf wdy c c fy dy. fy dy fy wydy Οπότε Mfx cm fx, με c την A σταθερά της w. Συνεπώς, για κάθε λ >, {x R n Mfx > λ} {x R n M fx > λ }, άρα c λ {x R n Mfx > λ} λ {x R n M fx > λ c } λ c λ doubling σταθερά του 2 f L c 3 2 2n f L.
Κάποιες παρατηρήσεις σχετικά με τον A είναι προφανείς. Για παράδειγμα, ένας ισοδύναμος τρόπος για να διατυπώσουμε την A συνθήκη είναι M wx cwx σχεδόν παντού. Αν η w ικανοποιεί την A συνθήκη, τότε για κάθε x R n και ανοικτό κύβο x wydy c ess inf w cwx για σχεδόν κάθε x, άρα M wx cwx σχεδόν παντού. Αν τώρα η w ικανοποιεί ότι Mwx cwx σχεδόν παντού, τότε έχουμε για κάθε x R n ότι su x wydy cwx, άρα wydy cwx για κάθε x για σχεδόν κάθε x. Αν επιλέξω κάποιο, τότε η παραπάνω σχέση θα ισχύει για σχεδόν κάθε x, οπότε το wydy είναι essential κάτω φράγμα της w στο. Συνεπώς c c ess inf w c wydy wydy, c το οποίο είναι ακριβώς η A συνθήκη. Το θέμα που θα μας απασχολήσει τώρα είναι τι είναι τα A βάρη. Μπορούμε να δώσουμε κάποια παραδείγματα ή κάποιο γενικό χαρακτηρισμό; Σαν ένα πρώτο βήμα, θα εξετάσουμε δυνάμεις του x, για παράδειγμα x η. Για n και η >, παίρνοντας,b xη dx bη η+ + για b +, ενώ inf x η., b βλέπουμε ότι b Οπότε οι θετικές δυνάμεις του x απορρίπτονται. Ως προς τις αρνητικές δυνάμεις, αρχικά θα πρέπει να έχουμε n < η, γιατί διαφορετικά η x η δεν είναι τοπικά ολοκληρώσιμη. Ωστόσο, αυτός είναι ουσιαστικά ο μόνος περιορισμός. Ισχύει το εξής: ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω n < η. Τότε x η A. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχει σταθερά c ανεξάρτητη του τέτοια ώστε x η dx c inf x η. x Απόδειξη. Έστω ανοικτός κύβος και η μεταφορά του έτσι ώστε να έχει το κέντρο του στο. Θα εξετάσουμε δύο περιπτώσεις. Περίπτωση η: 2. Τότε 6 και x η dx x η dx c η n, 6 όπου c μια σταθερά που εξαρτάται μόνο από τη διάσταση n και όχι από την επιλογή του κύβου. Έστω y 2. Τότε y n n και x y diam n n για κάθε x, άρα x x y + y 2 n n. Οπότε x η 2 n n η, άρα η n 2 n η x η < 2 n n x η, για κάθε x.
Συνεπώς x η dx c inf x η. x Περίπτωση 2η: 2. Τότε, για κάθε x, y, x x y + y n n + y n y + y c y. Όμοια και y c x, άρα x y. Οπότε, για κάθε y, y c inf x x η και y η dy c inf x x η dy c inf x x η. Δηλαδή x η dx c inf x x η. Τώρα θα αναζητήσουμε συναρτήσεις που συμπεριφέρονται όμοια με τις x η όταν n < η και θα δείξουμε ότι και αυτές είναι A βάρη. Πρώτα όμως θα αποδείξουμε ένα Λήμμα που θα μας φανεί χρήσιμο στην πορεία. ΛΗΜΜΑ 3. Για κάθε < α <, < β <, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: i Για κάθε E R n μετρήσιμο, E fx α dx c E β. ii f L α β, R n. fx α dx c E β για κάθε E R n μετρήσιμο, αυτό Απόδειξη. Αν υποθέσουμε ότι E θα ισχύει και για το σύνολο O λ {x R n fx > λ}. Δηλαδή, fx α dx c Oλ β. O λ Τότε δηλαδή οπότε και τελικά έχουμε λ α dx fx α dx c Oλ β, O λ O λ λ α O λ c O λ β, λ α O λ β c λ α β {x R n fx > λ} c. Αν υποθέσουμε ότι f L α β, R n, τότε για κάθε λ > ισχύει λ α β {x R n fx > λ} c για κάποια σταθερά c. 2
Τότε για μετρήσιμο E R n έχουμε fx α fx α dx dλ α dx E E + + + c E E + χ {x R n fx >λ}xdxdλ α E {x E fx > λ} dλ α min{ E, β E c E c }dλ α λ α β E dλ α + + c E + β c + β c β E β + c β β c E c E c β E β + β β c β E β β c β E β. χ {x R n fx >λ}λdλ α dx β c λ α β β β d dλ α ΠΡΟΤΑΣΗ 2. Coifman-Rochberg Έστω θετικό μέτρο Borel που ικανοποιεί ότι η M x δεν είναι ταυτοτικά. Τότε για κάθε ϵ < έχουμε ότι Mx ϵ A με A σταθερά η οποία εξαρτάται μόνο από το ϵ. Απόδειξη. Mx su x. Έστω ανοικτός κύβος. Θεωρούμε A inf Mx. Θα εκτιμήσουμε το Mxϵ dx ως εξής: Για κάθε x, χωρίζουμε τους ανοικτούς κύβους Q που περιέχουν το x σε δύο οικογένειες. J {Q Q 2 }, J 2 {Q Q > 2 } Έτσι Mx su Q x Q Q su Q J Q Q Ax + Bx. dy + su Q J 2 Q Q dy Για κάθε Q J 2, συμπεραίνουμε ότι 3Q, αφού Q > 2 και Q 2. Οπότε dy 3n dy 3 n My Q 3Q Q 3 3Q
για κάθε y 3Q, άρα Q Q dy 3 n inf 3Q My 3n inf My 3n A. Δηλαδή Bx ca, με τη σταθερά c να μην εξαρτάται από το. Για κάθε Q J, έχουμε ότι Q 6 και, αν θεωρήσουμε τον περιορισμό του στο 6, δηλαδή αν πάρουμε d y χ 6 ydy, βλέπουμε ότι dy χ 6 ydy d y M x. Q Q Q Q Q Επομένως Ax M x. Οπότε, από τα παραπάνω έχουμε ότι Mx ϵ dx Ax ϵ + Bx ϵ dx M x ϵ dx + ca ϵ. Αξιοποιώντας το Λήμμα που αποδείξαμε πριν λίγο με α ϵ, β ϵ, M x ϵ dx cασθενής L νόρμα του M ϵ ϵ ϵ c dx ca ϵ, με τη σταθερά c να εξαρτάται μόνο από το ϵ. 6 Q Ενδιαφέρον είναι ότι ισχύει και το αντίστροφο της παραπάνω Πρότασης. ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Coifman-Rochberg Έστω w A. Τότε υπάρχουν συναρτήσεις b και f και κάποιο ϵ < τέτοια ώστε i < A bx B < + σχεδόν παντού, ii f L loc Rn, Mfx ϵ είναι πεπερασμένο σχεδόν παντού και wx bxmfx ϵ. Η απόδειξη του Θεωρήματος αυτού βασίζεται στη λεγόμενη αντίστροφη Hölder ιδιότητα του w. Αυτή η ιδιότητα παρουσιάζει ξεχωριστό ενδιαφέρον και παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία βαρών. ΘΕΩΡΗΜΑ 5. Αντίστροφη Hölder Έστω w A. Τότε υπάρχει η > τέτοιο ώστε wx +η +η dx c wxdx για κάθε ανοικτό κύβο, για κάποια σταθερά c c η ανεξάρτητη στον A και ανεξάρτητη του, αλλά όχι ανεξάρτητη του η. Θα λέμε ότι w RH +η. Απόδειξη. Προκειμένου να εξασφαλίσουμε ότι τα ολοκληρώματα θα είναι πεπερασμένα, θα πάρουμε τη συνάρτηση vx min{wx, N}. Προφανώς έχουμε ότι v A και η A σταθερά της v είναι μικρότερη ή ίση της A σταθεράς της w, ανεξαρτήτως του N. Πράγματι, για ανοικτό κύβο παίρνω K ess inf w 4
και εξετάζω δύο περιπτώσεις. Περίπτωση η: K N Περίπτωση 2η: K < N vydy vydy N ess inf v. wydy c ess inf w c ess inf v. Έστω τώρα η >. Παίρνουμε v vydy και παρατηρούμε ότι vy +η dy vy +η dy + vy +η dy A + B. {y vy>v } {y vy v } Εύκολα βλέπουμε ότι B v +η. Το να βγάλουμε ένα τέτοιο φράγμα για το A απαιτεί περισσότερη δουλειά. Προσέχουμε ότι οι σταθερές που εμφανίζονται εξαρτώνται μόνο από την A σταθερά της v και το η δηλαδή δεν εξαρτώνται ούτε από την ίδια τη v ούτε από τον κύβο. Αν O t {y vy > t}, A {y vy>v } + η + η + η + η vy +η dy + {y vy>v } vy t η χ {t R t<vy} tdtdy {y vy>v } + t η χ {y R n vy>t}tdydt {y vy>v } + t η O t dt v + t η v + dt O s ds + + η t η + O s ds + + η v C + D. t Όμως, αφού v N, για s N έχουμε O s, άρα C + ηv η + ηv η + ηv η + v + ηv +η. t O s ds + ηv η {y vy>v } {y vy>v } vy dsdy + ηt η dtdy + + ηt η v t + v vydy + ηv η v 5 {y vy>s} O s dsdt dyds
Επιπλέον, θα δείξουμε ότι, για κατάλληλο η, το D κυριαρχείται από την πεπερασμένη ποσότητα 2 vy+η dy. Για t > v, + t O s ds + t {y vy>t} {y vy>s} vydy. dyds {y vy>t} vy dsdy Τώρα, καθώς t > v, θα χρησιμοποιήσουμε διάσπαση Calderon-Zygmund της v στο επίπεδο t. Παίρνουμε λοιπόν μια συλλογή ανοικτών ξένων ανά δύο κύβων { j }, με j για κάθε j, με τις εξής ιδιότητες: i vy t σχεδόν παντού στο \ j j, ii t j j vydy 2 n t για κάθε j. Οπότε y j j για σχεδόν κάθε y με vy > t, άρα {y vy>t} vydy j j vydy j j vydy j j v j. Ακόμα, αφού v A, έχουμε ότι v j c ess inf j v για κάθε j. Επίσης, από το ii, v j 2 n t για κάθε j. Συνεπώς, για κάθε < ϵ <, για κάθε j, v j c ess inf j v ϵ 2 n t ϵ. Τότε για κάθε j έχουμε Άρα Επίσης, καθώς t j j v j c j t ϵ ess inf v ϵ ct ϵ vy ϵ dy. j j vydy j v j ct ϵ vy ϵ dy. {y vy>t} j j j j vydy για κάθε j, παρατηρούμε ότι για κάθε x j j j vydy t, άρα υπάρχει κάποιος j που περιέχει το x και έχουμε Mvx j j {y Mvy > t}. j Καθώς v A και Mvx cvx σχεδόν παντού, συμπεραίνουμε επίσης ότι j {y vy > t c }. j Κατά συνέπεια, για κάθε < ϵ <, vydy ct ϵ vy ϵ dy ct {y vy> ϵ vy ϵ dy. tc } {y vy>t} j j 6
Δηλαδή, τελικά, για t > v έχουμε Οπότε D + η + ηη + t c + ηη c + ηη c + ηη O s ds ct ϵ {y vy> tc } vy ϵ dy. + + ηt η v t + t η ct ϵ v + t η+ϵ v {y vy> v c } {y vy> v c } cη + η ϵ + η cη + η vy +η dy. ϵ + η {y vy> v c } O s dsdt vy ϵ dydt {y vy> t c } vy ϵ dydt {y vy> t c } cvy vy ϵ t η+ϵ dtdy v c vy ϵ ϵ+η ϵ + η vyϵ+η ϵ + η vϵ+η dy vy ϵ+ϵ+η dy Θα επιλέξουμε πρώτα < ϵ < και έπειτα η > ώστε cη +η <. Τότε ϵ+η 2 D vy +η dy. 2 άρα Δείξαμε δηλαδή ότι vy +η dy B + C + D v +η + + ηv +η + 2 2 Συνεπώς vy +η +η dy Από Λήμμα Fatou, wy +η +η dy vy +η dy 2 + ηv +η. cv c vydy. lim inf N + c lim inf N + c wydy. vy +η +η dy vydy vy +η dy, 7
Τώρα, αξιοποιώντας την αντίστροφη ιδιότητα Hölder των A βαρών που μόλις αποδείξαμε, μπορούμε να προχωρήσουμε και στην απόδειξη του Θεωρήματος 4. Απόδειξη. Θεωρήματος 4 Αν w A, τότε για κάποιο η > έχουμε ότι wx +η +η dx άρα Δηλαδή, w +η A. Επίσης, Mw +η x su x Οπότε, αν επιλέξουμε wx +η dx c η c η wxdx, +η wxdx c η c ess inf w +η c η c +η ess inf w+η. w +η ydy c η c +η w +η x για σχεδόν κάθε x. bx wx Mw +η x +η, fx wx +η και ϵ + η, το Θεώρημα Coifman-Rochberg ισχύει. 8
Κεφάλαιο 4 A βάρη, > Τώρα θα ασχοληθούμε με τα A βάρη για >. Από τον ορισμό των A βαρών που δώσαμε στο Κεφάλαιο 2, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η A συνθήκη είναι αναγκαία προκειμένου ο μεγιστικός τελεστής Hardy-Littlewood M να απεικονίζει τον L R n στον L, R n. Μπορούμε να δείξουμε ότι είναι και ικανή συνθήκη. Εμείς θα αποδείξουμε ότι ισχύει κάτι ακόμα πιο ισχυρό. ΘΕΩΡΗΜΑ 6. Muckenhout Έστω w A, < < +. Τότε ο M απεικονίζει τον L R n συνεχώς στον εαυτό του, με νόρμα ανεξάρτητη στον A. Απόδειξη. Για μη-αρνητική f L R n και ακέραιο < k < +, παίρνουμε A k {y R n 2 k < Mfy 2 k+ } και έστω U k συμπαγές υποσύνολο του A k. Για κάθε y A k, επιλέγουμε ανοικτό κύβο y τέτοιο ώστε y y και 2 k < fxdx 2 k+. y y Το U k είναι συμπαγές υποσύνολο του A k και τα y καλύπτουν το A k, άρα υπάρχουν πεπερασμένα τέτοια y, έστω { j,k } nk j, ώστε το καθένα να μην περιέχεται στην ένωση των υπόλοιπων και να ισχύει 2 k < fxdx 2 k+ για κάθε k, j nk j,k j,k και U k nk j j,k. J Mfy dy k U k k U k Mfy dy k 2 k+ U k. Πρέπει να εκτιμήσουμε το δεξί μέλος της ανισότητας. Μια καλή εκτίμηση θα προκύψει αν μπορούμε να αποφύγουμε τις μη αναγκαίες επικαλύψεις των j,k. Αυτό θα το επιτύχουμε 9
ως εξής: Θέτουμε E,k,k U k, E 2,k 2,k \,k U k,... E j,k j,k \ i,k U k για κάθε j, 2,..., nk. i<j Τότε, για κάθε k, τα E j,k είναι ξένα ανά δύο και Κατά συνέπεια, J k j,k nk j 2 j,k Παίρνουμε vx wx j,k E j,k j,k nk E j,k j 2 k+ U k k 2 k+ E j,k j,k U k U k. nk 2 k+ E j,k j. E j,k fxdx j,k j,k και dνx vxdx. Τότε νj,k fxdx E j,k j,k j,k j,k fx. ν j,k j,k vx dνx Αυτό που προσπαθούμε να κάνουμε είναι να συνδυάσουμε τη συνθήκη A με το Θεώρημα, που μας λέει ότι ο τελεστής M είναι ασθενώς-, αν το μέτρο έχει κάποιες ιδιότητες. Ορίζουμε m το μέτρο στο Z + Z που δίνεται από Οπότε, αν a j,k ν j,k νj,k E j,k j,k j,k νj,k. mj, k E j,k j,k fx j,k dνx, τότε vx ν j,k fx j,k vx dνx mj, ka j,k j,k 4. {a j,k }. lm Επίσης, αν O λ {j, k Z + Z a j,k > λ}, τότε η 4. ισούται με + mo λ dλ. Αυτό που χρειαζόμαστε τώρα είναι να υπολογίσουμε το mo λ. Θα γράφουμε λ j,k. j,k O λ 2
Για κάθε j, k O λ, από την A συνθήκη έχουμε νj,k wx c j,k dx j,k j,k j,k j,k j,k c j,k j,k c c dx j,k j,k j,k j,k c χ λ x j,k j,k wx dx χ λ c inf M x x j,k w χ λ c inf M x. x E j,k w Οπότε Άρα νj,k χ λ mj, k E j,k cej,k inf M x j,k x E j,k w χ λ c M x dx. w mo λ E j,k j,k O λ mj, k c j,k O λ E j,k M χ λ w x dx. Καθώς τα E j,k είναι ξένα ανά δύο και ο τελεστής M ισχυρά-,, χ λ χλ x mo λ c M x dx c dx R w n R wx n c χ λ x wx wxdx R n c χ λ x wx dx R n c χ λ x dνx R n cνλ. Τώρα θα ασχοληθούμε με τους ανοικτούς κύβους j,k που αποτελούν το λ. Εξ ορισμού του O λ, αν j, k O λ έχουμε a j,k > λ. Δηλαδή λ < fx ν j,k j,k vx dνx. Συνεπώς για κάθε τέτοιο j,k και για κάθε x j,k έχουμε M ν f v x > λ, άρα άρα f j,k {x R n M ν x > λ}, v f λ {x R n M ν x > λ}. v 2
Οπότε f mo λ cνλ cν{x R n M ν x > λ}. v Επομένως, χρησιμοποιώντας το ότι ο τελεστής M ν είναι ισχυρά-,, + Δείξαμε λοιπόν ότι + f J mo λ dλ c ν{x R n M ν x > λ}dλ v f fx dνx c M ν x dνx c R v n R vx n c fx vx vxdx c fx wxdx R n R n c fx dx. R n Mfy dy c fx dx c f. k U L k R n ΠΟΡΙΣΜΑ 3. Ο τελεστής M απεικονίζει τον L R n στον εαυτό του αν και μόνο αν ο M απεικονίζει τον L R n στον L, R n, < < +. Και πάλι η ερώτηση που μας απασχολεί είναι τι ακριβώς είναι τα A βάρη. Έχουμε ήδη επαληθεύσει κάποιες ιδιότητες μέσα σε άλλες αποδείξεις, όπως το ότι w A αν και μόνο αν w A, όπου +, < < +. Χρειαζόμαστε όμως και κάποια παραδείγματα και, αν είναι δυνατόν, ένα χαρακτηρισμό τέτοιων βαρών. ΠΡΟΤΑΣΗ 3. Έστω w, w 2 w A. A και wx w xw 2 x, < < +. Τότε Απόδειξη. Έστω ανοικτός κύβος. Αφού w, w 2 A, έχουμε ότι w xdx c ess inf w, Άρα wxdx c ess inf c. w 2 xdx c 2 ess inf w 2. wx dx w x w2 xdx w xw 2 x dx w xdx ess inf w 2 w ess inf w c 2 ess inf w 2 xdx ess inf w w 2 ess inf w 2 22
Συνεπώς, με βάση τα παραδείγματα στα οποία είχαμε εστιάσει στο Κεφάλαιο 3 για τα A βάρη, μπορούμε να βρούμε και αντίστοιχα παραδείγματα A βαρών. ΠΟΡΙΣΜΑ 4. x η A, < < +, αν και μόνο αν n < η < n. Για τις w που αναφερθήκαμε στην Πρόταση 3 μπορούμε να δείξουμε ότι ικανοποιούν και κάποιες επιπλέον ιδιότητες. ΠΡΟΤΑΣΗ 4. Έστω wx w xw 2 x για w, w 2 A, < < +. Τότε: i Ιδιότητα ανοικτού άκρου w A ϵ για κάποιο ϵ >. ii Αντίστροφη Hölder w RH +η για κάποιο η >. iii Αντίστροφη doubling Υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε ανοικτό κύβο και για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο E του, E E δ, c όπου c σταθερά ανεξάρτητη στον A και ανεξάρτητη των, E. iv R n + x n dx c, όπου ο μοναδιαίος κύβος στο R n και c σταθερά ανεξάρτητη στον A. Απόδειξη. i Αφού w 2 A, από την αντίστροφη Hölder έχουμε ότι w 2 RH +η για κάποιο η >, δηλαδή υπάρχει η > τέτοιο ώστε w 2 y +η +η dy c w 2 ydy για κάθε ανοικτό κύβο, για κάποια σταθερά c c η. Παίρνουμε ϵ Παρατηρούμε ότι ϵ η +η. Οπότε +η Επίσης wy ϵ ϵ dy η >. +η w yw 2 y ϵ ϵ dy w y +η w2 y +η +η dy ess inf ess inf w c ess inf w wydy w yw 2 y dy w +η w 2 y +η +η dy w 2 y +η dy. w 2 ydy +η w ess inf w 2 ydy. 23
Άρα, αφού w, w 2 A, wydy wy ϵ ϵ dy c ess inf w ess inf w 2 c ess inf w ess inf w 2 c. Δηλαδή w A ϵ. ess inf w ydy w 2 ydy w ess inf w 2 ii Θα εφαρμόσουμε ανισότητα Hölder και θα αξιοποιήσουμε το ότι w 2 A. dy w 2 y dy w 2 y w 2 y dy w 2 ydy w 2 y dy c ess inf w 2 w 2 y dy w 2 y dy άρα cess inf w 2 w 2 y dy άρα cess inf w 2 w 2 y dy άρα ess inf w 2 c w 2 y dy. Ας υποθέσουμε ότι w RH +η. Τότε w y +η +η dy c w ydy 24
για κάθε ανοικτό κύβο, για κάποια σταθερά c c η, και έχουμε wy +η +η dy Δηλαδή w RH +η. inf w yw 2 y +η dy +η w 2 +η inf w 2 w y +η dy cinf w 2 w ydy c w 2 y dy c w 2 y dy ess inf w c w 2 y ess inf w dy c w 2 y w ydy c wydy. w y +η dy +η +η w ydy iii Έστω ότι w RH +η. Τότε, για ανοικτό κύβο και E μετρήσιμο υποσύνολο του, εφαρμόζοντας την ανισότητα Hölder για + +η +η έχουμε η E wydy wydy E E wy +η +η dy +η η +η η dy E E wy +η +η dy E η +η E wy +η +η dy E η +η +η c wydy E η +η E η +η c. Δηλαδή, για δ η, έχουμε +η E E δ. c 25
iv Αφού w A ϵ, από το Θεώρημα 2 ξέρουμε ότι για κάθε ανοικτό κύβο και E μετρήσιμο υποσύνολο του ισχύει ϵe. c E Οπότε αν πάρουμε 2 k και E για k, Συνεπώς + x n dx R n 2 k c2 kn ϵ. dx + x n + x dx + + n + k 2k + + c + c + c + k + k + k + k k c 2 kn 2 k \ 2 k 2 kn 2 nk ϵ 2 kn 2 nk ϵ 2 knϵ. dx 2 k \2 k + x n 26
Κεφάλαιο 5 Παραγοντοποίηση των A βαρών Σε αυτό το Κεφάλαιο σκοπός μας είναι να αποδείξουμε το αντίστροφο της Πρότασης 3. Πρώτα όμως θα χρειαστούμε κάποιες παρατηρήσεις. ΟΡΙΣΜΟΣ. Λέμε ότι ο τελεστής T είναι admissible αν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες. i Υπάρχει < r < + τέτοιο ώστε ο T να είναι φραγμένος στον L r R n. ii Ο T είναι θετικός, δηλαδή T fx για κάθε f L r R n, για κάθε x R n. iii Ο T είναι θετικά ομογενής, δηλαδή T λfx λt fx σχεδόν παντού, για κάθε f L r R n, για κάθε λ >. iv Ο T είναι subadditive, δηλαδή T f + gx T fx + T gx σχεδόν παντού, για κάθε f, g r R n, Μερικά παραδείγματα admissible τελεστών είναι οι fx, M fx, M f v xvx η η για κατάλληλα < < +, < η. Θα προσπαθήσουμε να επαληθεύσουμε ότι το τελευταίο από τα παραδείγματα που δώσαμε είναι όντως admissible τελεστής. Στην πορεία επαλήθευσης βρίσκουμε και τις απαραίτητες προϋποθέσεις που πρέπει να ικανοποιεί το v ώστε να ισχύει αυτό. Αρχικά χρειαζόμαστε να προσδιορίσουμε το r. Επιλέγουμε r. Τότε έχουμε η f T f r r x v η η vxdx και, αν υποθέσουμε ότι v A, η T f r r c R n M fx η R vx vxdx c n R n fx η c f r r, άρα η ιδιότητα i ικανοποιείται. Η επαλήθευση των ιδιοτήτων ii, iii είναι άμεση. Μένει να ελέγξουμε την ιδιότητα iv. Φιξάρουμε x και παίρνουμε ανοικτό κύβο που περιέχει το x. Τότε, από την ανισότητα Minkowski, fy + gy vy η dy M fy vy dy + η f x v η g + M x v η, 27 gy vy dy η
άρα f + g M x v η f M x v η g + M x v η. Μια σημαντική ιδιότητα των admissible τελεστών είναι η ακόλουθη. Λέμε ότι ο T είναι σ-subadditive. ΠΡΟΤΑΣΗ 5. Έστω T admissible τελεστής και r ο δείκτης της ιδιότητας i στον ορισμό των admissible τελεστών. Αν έχουμε ακολουθία {f i } και συνάρτηση f με f i, f L r R n και lim N + N j f j f στον L r, τότε Απόδειξη. T fx + j f f T f j x σχεδόν παντού. N f j + Συνεπώς, από τις ιδιότητες ii και iv του admissible τελεστή T, Επιπλέον, T f T fx T f T f T f T f j N f j + j N j f j N f j x j N N f j x + T f j x j N f j x + j N f j x + j N f j r c f j j N T f j x j + j T f j x. N f j r όταν N +. j Άρα υπάρχει υποακολουθία N k + τέτοια ώστε lim T f N f j x N k + j Αυτή την ακολουθία παίρνουμε ως N και έχουμε T fx T f N k j σχεδόν παντού για N k +. Οπότε T fx + j f j x + T f j x + j σχεδόν παντού. T f j x σχεδόν παντού. + j T f j x 28
Θα χρειαστούμε ακόμα έναν ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω T admissible τελεστής. Λέμε ότι η μη-αρνητική συνάρτηση w είναι στον A T αν T wx cwx σχεδόν παντού. ΠΡΟΤΑΣΗ 6. Έστω T και T 2 admissible τελεστές με τον ίδιο δείκτη r στο i. Τότε υπάρχει συνάρτηση ϕ L r R n τέτοια ώστε η ϕ να είναι ταυτόχρονα στον A T και στον A T 2. Απόδειξη. Θέτουμε T T + T 2. Τότε ο τελεστής T είναι επίσης ένας admissible τελεστής. Έστω A > T, όπου T η νόρμα του T στον L r R n. Για τυχαία, μη-αρνητική συνάρτηση g L r R n θέτουμε ϕx + j T j gx A j. Θα δείξουμε ότι αυτή είναι η ϕ που ψάχνουμε. Αρχικά, + j T j g r A j + j T j g r A j g r + j T j < + A γιατί T A <, οπότε ϕ Lr R n. Επιπλέον, αφού ο T είναι σ-subadditive, T ϕx T + + j j Aϕx T j g + T T j gx x A j A j j T j+ gx A j A + j σχεδόν παντού. T j gx A j Συνεπώς ϕ A T. Όμοια ϕ A T 2. Τώρα ειναι εύκολο να αποδείξουμε το Θεώρημα παραγοντοποίησης για τα A βάρη που μας ενδιαφέρει. ΘΕΩΡΗΜΑ 7. Jones Έστω w A, < < +. Τότε υπάρχουν w, w 2 A τέτοιες ώστε wx w xw 2 x. Απόδειξη. Καθώς w A, w θέτουμε και A, όπως έχουμε ήδη δει. Παίρνουμε r και T fx M f w T 2 fx M f w xwx xwx. Βάσει όσων έχουμε πει, οι T, T 2 είναι admissible τελεστές. Οπότε, από την προηγούμενη Πρόταση, υπάρχει κάποια μη-αρνητική τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση ϕ, η οποία είναι 29
ταυτόχρονα στον A T και στον A T 2. Άρα T ϕx cϕx και T 2 ϕx cϕx σχεδόν παντού. Δηλαδή και Mϕ w x cϕx wx Mϕ w x cϕx wx σχεδόν παντού. Συνεπώς οι ϕ w, ϕ w είναι A βάρη. Παίρνοντας w ϕ w και w2 ϕ w, έχουμε w w 2 ϕ w ϕ w w. Σχόλιο. Μετά το συγκεκριμένο Θεώρημα, γίνεται προφανές ότι τα A βάρη ικανοποιούν τις ιδιότητες i-iv που είδαμε στην Πρόταση 4. 3
Κεφάλαιο 6 A βάρη και ο χώρος BMO Καθώς τόσο η συνθήκη A όσο και ο ορισμός του BMO έχουν να κάνουν με μέσους όρους συναρτήσεων, είναι φυσικό να αναρωτηθούμε εάν υπάρχει κάποια σύνδεση μεταξύ των δύο εννοιών. ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν για f L loc Rn ορίσουμε M # fx su x fx f dx, λέμε ότι f BMOR n αν υπάρχει c τέτοιο ώστε M # fx c για κάθε x R n. Επίσης ορίζουμε f su x R n M # fx. Θα διατυπώσουμε τη γνωστή ανισότητα John-Nirenberg χωρίς να την αποδείξουμε, διότι θα μας φανεί απαραίτητη για τη συνέχεια. ΛΗΜΜΑ 4. Ανισότητα John-Nirenberg Έστω f BMOR n. Τότε υπάρχουν σταθερές c, c 2, ανεξάρτητες των f,, ώστε για κάθε λ >. {y fy f > λ} c e c 2 λ f ΠΡΟΤΑΣΗ 7. Έστω w μη-αρνητική τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε ln w BMOR n αν και μόνο αν υπάρχει η > τέτοιο ώστε w η A 2. Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι ln w BMOR n. Από την ανισότητα John-Nirenberg, υπάρχουν σταθερές c, k, που εξαρτώνται μόνο από τη διάσταση, τέτοιες ώστε {y ln wy ln w > λ} c e k λ ln w 3
για κάθε λ >. Άρα για η και e η ln wy ln w dy Συνεπώς η η η k ln w, ln wy ln w ln wy ln w + + + ηc e ηλ ηe ηλ dλ + dy ηe ηλ dλdy + χ {y ln wy ln w >λ}ydydλ + e ηλ {y ln wy ln w > λ} dλ + λ e ηλ c e k ln w dλ + e λ k ln w dλ η + c. + ηc k ln w η + e η ln wy ln w dy c e η ln wy ln w dy c. Πολλαπλασιάζοντας τις δύο ανισότητες έχουμε e η ln wy dy e ηln w e η ln wy dy e ηln w c 2, οπότε wy η dy wy η dy c 2, δηλαδή w η A 2. Τώρα ας υποθέσουμε ότι υπάρχει η > τέτοιο ώστε w η A 2. Παρατηρούμε ότι e η ln wy ln w dy e η ln wy ln w dy + A + B. e η ln wy dy e ηln w + e η ln wy ln w dy e η ln wy dy e ηln w Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Jensen θα πάρουμε ότι A e η ln wy dy e ηln w wy η dy e η ln wy dy wy η dy wy η dy A 2 σταθερά της w η. Όμοια και για το B. 32
Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει και για τον A. ΠΟΡΙΣΜΑ 5. Έστω w μη-αρνητική τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε για κάποιο η > να ισχύει w η A, < +. Τότε ln w BMOR n. Απόδειξη. Αν 2, τότε έχουμε και w η A 2. Οπότε το ότι ln w BMOR n έπεται από την προηγούμενη Πρόταση. Αν > 2, τότε w η A και < 2, άρα πάλι από την προηγούμενη Πρόταση συμπεραίνουμε ότι lnw η BMOR n, άρα ln w BMOR n. ΠΡΟΤΑΣΗ 8. Έστω w μη-αρνητική τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε w A αν και μόνο αν e ln wy ln w dy e ln wy ln w dy c 6. με σταθερά c ανεξάρτητη του. Η απόδειξη είναι προφανής, οπότε παραλείπεται. Ωστόσο, θα σημειώσουμε ότι, από την ανισότητα Jensen, κάθε παράγοντας της 6. είναι. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι w A αν και μόνο αν su e ln wy ln w dy c και su e ln wy ln w dy c. Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή αυτών των αποτελεσμάτων έχει να κάνει με τον υπολογισμό της απόστασης από BMO σε L, ή πιο συγκεκριμένα, μια εκτίμηση της έκφρασης inf ϕ g, ϕ BMOR n. g L Ορίζουμε την ποσότητα ηϕ ως εξής: Για η >, επαληθεύουμε ότι su eη ϕy ϕ dy < + και παίρνουμε ηϕ su{η > su e η ϕy ϕ dy < + }. Πρώτα απ όλα, από την ανισότητα John-Nirenberg έχουμε ότι ηϕ c ϕ για κάποιο c >. Επίσης, εύκολα βλέπουμε ότι για κάθε φραγμένη συνάρτηση g έχουμε ηϕ g ηϕ. ΘΕΩΡΗΜΑ 8. Garnett-Jones Υπάρχουν απόλυτες σταθερές που εξαρτώνται μόνο από τη διάσταση c, c 2 τέτοιες ώστε c ηϕ inf g L ϕ g c 2 ηϕ. 33
Απόδειξη. Για την αριστερή ανισότητα, από τις ιδιότητες που αναφέραμε έχουμε ότι ϕ g c ηϕ g c ηϕ για κάθε g L. Για τη δεξιά ανισότητα: Έστω ϕ BMOR n και η > τέτοιο ώστε ηϕ < η < ηϕ. Από την Πρόταση 7, 2 e ηϕ A 2. Συνεπώς, από το Θεώρημα Jones, υπάρχουν w, w 2 A τέτοιες ώστε ή, ισοδύναμα, e ηϕy w yw 2 y, ηϕy ln w y ln w 2 y. Τώρα, σύμφωνα με την Πρόταση 2, Mw x ϵ A για < ϵ <, με A σταθερά που εξαρτάται μόνο από το ϵ. Από την Πρόταση 7 έπεται ότι ln w c, όπου c κάποια απόλυτη σταθερά. Όμοια και για το w 2. Επιπλέον, καθώς w y Mw y cw y σχεδόν παντού, g y ln w y L R n Mw y και όμοια Οπότε g 2 y ln w 2 y L R n. Mw 2 y ηϕy ln w y ln w 2 y ln Mw y ln Mw 2 y + ln w y w 2 y ln Mw y Mw 2 y by + gy. Τώρα βλέπουμε ότι ϕy by η Επομένως και η δεξιά ανισότητα ισχύει. + gy, η g είναι φραγμένη συνάρτηση και η η ϕ g η b η c η c ηϕ. 34
Κεφάλαιο 7 Ένα αποτέλεσμα παρέκτασης Αυτό το κεφάλαιο είναι αφιερωμένο σε μια σημαντική ιδιότητα παρέκτασης των A βαρών. ΟΡΙΣΜΟΣ. Λέμε ότι το ζεύγος μη- αρνητικών τοπικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων w, v ικανοποιεί την A συνθήκη, για < < +, και γράφουμε w, v A, αν για κάθε ανοικτό κύβο και κάποια σταθερά c, ανεξάρτητη του, ισχύει wydy vy dy c. Το infimum των c ονομάζεται A σταθερά των w, v και λέμε για μια πρόταση που αναφέρεται στο ζεύγος w, v ότι είναι ανεξάρτητη στον A αν εξαρτάται μόνο από την A σταθερά του ζεύγους και όχι από τις συγκεκριμένες συναρτήσεις. Όμοια, λέμε ότι w, v A αν wydy c ess inf v για κάθε, για κάποια σταθερά c ανεξάρτητη του. Ένα παράδειγμα αποτελέσματος που είναι ανεξάρτητο στον A είναι το εξής: Έστω dy wydy, dνy vydy, όπου κανονικό doubling μέτρο. Τότε η ασθενής προσέγγιση λ {x R n Mfx > λ} c fy dνy R n ισχύει εφόσον w, v A, με τη σταθερά c ανεξάρτητη στον A. Θα το δείξουμε για την περίπτωση >. 35
Έστω f. Τότε για κάθε ανοικτό κύβο, fydy fyvy vy dy fy vydy fy vydy fy dνy fy dνy c Συνεπώς, αν f < λ, c fy dνy c vy dy vy dy vy dy wydy. fy dνy f cλ fy dνy για κάθε. Έστω τώρα K συμπαγές υποσύνολο του {x R n Mfx > λ}. Τότε, επειδή το είναι doubling μέτρο, αν πάρουμε,..., k ανοικτούς κύβους ξένους ανά δύο τέτοιους ώστε K k j 3 j, έχουμε K c k j cλ j k j fy dνy cλ R n fy dνy, με c ανεξάρτητη στον A. Και καθώς το είναι κανονικό μέτρο, {x R n Mfx > λ} cλ R n fy dνy. η ΠΡΟΤΑΣΗ 9. Έστω < η, < < + και w A. Έστω g L R n και M g η w y η. Gy Τότε: i G η L wy c g η L, και ii gw, Gw A η+ η. Επιπλέον, η σταθερά c στο i και η A η+ η σταθερά του ζεύγους gw, Gw είναι ανεξάρτητες στον A. Απόδειξη. Το i έχει ήδη αποδειχθεί στο Κεφάλαιο 5. ii Θέτουμε q η + η. Τότε q η, άρα q. Αν η, τότε και q, οπότε η G γίνεται G M gw, δηλαδή Gw M gw. Οπότε w εύκολα βλέπουμε ότι gywydy ess inf M gw ess inf Gw 36
δηλαδή ότι gw, Gw A με A σταθερά. Αν < η <, πρέπει να δείξω ότι M g η w y η q gywydy wy q q dy c wy για σταθερά c ανεξάρτητη του και ανεξάρτητη στον A. Από ανισότητα Hölder με δείκτες η + η, έχουμε gywydy Για κάθε y ισχύει ότι Οπότε M g η w y wy Συνεπώς gy η wydy η gx η wxdx M g η w y. η q wy q dy q gywydy wydy η. M g η w y η q wy η q dy q gx η wxdx η q wy η q dy q gx η η wxdx gx η η wxdx M g η w y wy η wydy wydy A σταθερά της w η. wy η q dy q η q wy q dy q wy dy η. wy dy η wy dy η Σχόλιο. Παρατηρούμε ότι αν q η + η, τότε < και. η Τότε η παραπάνω Πρόταση μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως εξής: Έστω < και w A. Τότε σε κάθε μη-αρνητική συνάρτηση g L R n αντιστοιχεί μια συνάρτηση G g τέτοια ώστε G L c g L 37
και gw, Gw A, με τις σταθερές c και την A σταθερά του ζεύγους gw, Gw να είναι ανεξάρτητες στον A. Στην πραγματικότητα, ισχύει ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω < και w A. Τότε σε κάθε μη-αρνητική συνάρτηση g L R n αντιστοιχεί μια συνάρτηση G g τέτοια ώστε και G L c g L Gw A, με τις σταθερές c και την A σταθερά της Gw να είναι ανεξάρτητες στον A. Απόδειξη. Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή. Θέτουμε g g και g η G που αντιστοιχεί στη g σύμφωνα με την Παρατήρηση. Οπότε, για τη g έχουμε άρα λ g L {y R n Mfy>λ} c g L και g w, g w A, g ywydy k fy g ywydy R n για κάθε f L R n, λ >, με σταθερές c, k ανεξάρτητες στον A. Ακολουθούμε όμοια διαδικασία και για δεδομένη g j παίρνουμε g j+ g j τέτοια ώστε και λ g j+ L {y R n Mfy>λ} c g j L c j+ g L g j ywydy k fy g j+ ywydy R n 7. για κάθε f L R n, λ >, με σταθερές c, k ανεξάρτητες στον A. Θεωρούμε Gy + j c + j g j y. Τότε c + j g j L c + j c j g L οπότε η σειρά που ορίζει τη G συγκλίνει στον L R n. Επίσης εύκολα βλέπουμε ότι G g και G L c j g c + L c + g L. Αν τώρα για κάθε j πολλαπλασιάσουμε την 7. με c + j, παίρνουμε λ c + j g j ywydy {y R n Mfy>λ} kc + fy c + j+ g j+ ywydy R n 38,
και προσθέτοντας για όλα τα j έχουμε λ Gywydy kc + fy Gywydy. {y R n Mfy>λ} R n Δηλαδή ο μεγιστικός τελεστής Hardy-Littlewood απεικονίζει τον L Gw Rn στον L, Gw Rn με νόρμα ανεξάρτητη στον A. Ισχύει και το παρακάτω για την περίπτωση <. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω < < και w A. Τότε σε κάθε μη-αρνητική συνάρτηση g L R n αντιστοιχεί μια συνάρτηση G g τέτοια ώστε και G L c g G w A, L με τις σταθερές c και την A σταθερά της G w να είναι ανεξάρτητες στον A. Απόδειξη. Αφού < <, προφανώς < <. Επίσης, η v w A και η A σταθερά της v είναι ίση με την A σταθερά της w. Παίρνουμε dνx vxdx. Τότε, από την Πρόταση, συμπεραίνουμε ότι σε κάθε μη-αρνητική h L ν κάποια H h τέτοια ώστε H L ν c h L ν και Hv A, με τις σταθερές c και την A σταθερά της Hv να είναι ανεξάρτητες στον A. Όμως, αν q, έχουμε ότι + q, άρα q Δηλαδή. Αφού h L ν R n, hx dνx < +, R n ή ισοδύναμα ή ισοδύναμα ή ισοδύναμα ή ισοδύναμα Επίσης Hv A, άρα R n hx wx dx < +, R n hx R n wx dx < +, hx wx dx < +, h w L R n. Hv A, 39 R n αντιστοιχεί.
άρα άρα H w w A, H w w A. Οπότε, για δεδομένη g L έχουμε ότι g h w για κάποια h L ν R n και τότε παίρνουμε H h τέτοια ώστε H L ν c h L ν Αν τώρα πάρουμε G H w, βλέπουμε ότι G L c g L και Hv A. και G w A. Τώρα είμαστε έτοιμοι να αποδέιξουμε το Θεώρημα Παρέκτασης. ΘΕΩΡΗΜΑ 9. Rubio de Francia Έστω T υπογραμμικός τελεστής που ικανοποιεί την ακόλουθη ιδιότητα: Υπάρχει, < +, τέτοιο ώστε για κάθε w A και dx wxdx ισχύει T f L c f L, 7.2 με τη σταθερά c να είναι ανεξάρτητη της f και ανεξάρτητη στον A. Τότε για κάθε με < < + και κάθε w A, ο T επίσης ικανοποιεί την ανισότητα T f L c f L, με τη σταθερά c να είναι ανεξάρτητη της f και ανεξάρτητη στον A. Απόδειξη. Θα εξετάσουμε δύο περιπτώσεις. Περίπτωση η: <. Παίρνουμε w A και f L R n. Τότε T f T L f L su T fy gydy, R n παίρνοντας suremum πάνω από τις μη-αρνητικές g L με g L Φιξάρουμε μια τέτοια g και αντιστοιχίζουμε σε αυτήν τη G g που δίνεται από την Πρόταση. Τότε, από την 7.2 και τις ιδιότητες της G που δίνει η Πρόταση Gw A, θεωρώντας dνy Gywydy, T fy gydy T fy Gydy T fy dνy R n R n R n T f L c f ν L c fy dνy ν R n c fy Gydy c f R L n c f L g L f L c c f R n fy dy 4 L,. G L
με τη σταθερά c να είναι ανεξάρτητη της g και ανεξάρτητη στον A. Οπότε T f L c f L, για κάθε f L R n, με τη σταθερά c να είναι ανεξάρτητη της f και ανεξάρτητη στον A. Τότε και Περίπτωση 2η: < <. Παίρνουμε w A και f L R n. Θεωρούμε {x R n fx } g gx { f fx, αν fx L, αν fx. fx gx dx L. {x R n fx } f L {x R n fx } {x R n fx } fx dx f L f fx L dx fx dx f L Για αυτή τη g, από την Πρόταση, παίρνουμε μια G g. Τότε, από την 7.2 και τις ιδιότητες της G που δίνει η Πρόταση G w A, θεωρώντας dνx Gx wxdx, T f T fx dx L R n Rn T fx Gx Gx dx Rn Gx dx Rn Rn Gx T fx dx R Gx n G T fx Gx dx L R n c g T fx dνx c T f L R n ν c fx Gx dx c R n c f, L T fx Gx dx L {x R n fx } dx c f L ν με τη σταθερά c να είναι ανεξάρτητη της f και ανεξάρτητη στον A. fx gx dx 4
Βιβλιογραφία [] Alberto Torchinsky, Real-Variable Methods in Harmonic Analysis, Academic Press, 986. 42