1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ-ΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Η ταλάντωση είναι ένα είδος περιοδικής κινήσεως η οποία πραγματοποιείται μεταξύ δύο θέσεων και γύρω από μια άλλη θέση την οποία στην συνέχεια θα λέμε «Θέση Ισορροπίας Ταλάντωσης» (ΘΙΤ).Όταν η ταλάντωση γίνεται πάνω σε μια ευθεία γραμμή λέμε ότι είναι Γραμμική Ταλάντωση. 1.2 Α.Α.Τ. Στην τελευταία περίπτωση το πιο διαδεδομένο είδος είναι η Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση,η σημασία της οποίας είναι η εξής: Φανταστείτε ένα φωτεινό σημείο να εκτελεί Ομαλή Κυκλική Κίνηση και πάνω σε μια διάμετρο αυτού του κύκλου να υπάρχει ένας καθρέπτης(σχ.1.1) Πάνω στον τελευταίο θα δημιουργείται ένα φωτεινό είδωλο το οποίο υποχρεωτικά θα κινείται πάνω σε μιαν ευθεία. Όταν το φωτεινό σημείο θα απομακρύνεται από την διάμετρο η ταχύτητα του ειδώλου θα αυξάνει, ενώ όταν το φωτεινό σημείο (που έχει πάντα ας μην ξεχνάμε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω) πλησιάζει την διάμετρο (θέση Γ), η ταχύτητα του ειδώλου θα μικραίνει και σημείο είδωλο θα ταυτιστούν. Το μοντέλο αυτό είναι στην ουσία «η προβολή μιας ομαλής κυκλικής κίνησης πάνω στον άξονα μιας διαμέτρου» και η κίνηση που αντιστοιχεί σε μια τέτοια προβολή ονομάζεται Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.) 1.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Από τον ορισμό της γωνιακής ταχύτητας ω=δφ/δt προκύπτει ότι όταν το κινητό που εκτελεί την ΟΚΚ έχει διαγράψει γωνία φ=ωt (μετρημένη πάντοτε από τον άξονα Οχ) και θεωρώντας ως αρχή των χρόνων την στιγμή που το κινητό της ΟΚΚ είναι στην αρχή δηλ. στο σημείο Α,(σχ1.1) τότε το ταλαντούμενο κινητό έχει απομακρυνθεί κατά απόσταση χ, η οποία δίνεται από την τριγωνομετρική σχέση : χ=αημωt (1.1α) Η ταχύτητά του εκείνη την στιγμή αποδεικνύεται ότι ισούται με: και η επιτάχυνσή του με: υ=αωσυνωt a=-αω 2 ημωt (1.2α) (1.3α) 1
1. Το χ εκφράζει την απομάκρυνση από την ΘΙΤ και άρα ή θα έχουμε θετική φορά (για κίνηση από την ΘΙΤ προς το Γ) ή αρνητική φορά (για κίνηση από την ΘΙΤ προς το Δ). 2. Το Α εκφράζει την μέγιστη απομάκρυνση του ταλαντούμενου σώματος από την ΘΙΤ (είναι η θέση στην οποία φωτεινό σημείο και είδωλο ταυτίζονται) και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης. 3. Το (-) στην (1.3α) εκφράζει ότι η επιτάχυνση του ταλαντούμενου σημείου είναι πάντα αντίθετη με την φορά της απομάκρυνσης του σημείου. 4. Οι σχέσεις (1.2α) και (1.3α) παράγονται και από τον Διαφορικό Λογισμό των Μαθηματικών αφού η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της απομάκρυνσης χ: u=dx/dt και αντίστοιχα η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας : a=du/dt. Αν θεωρήσουμε τώρα τον ρυθμό μεταβολής των x και u θα δούμε ότι πρέπει να υπολογιστεί ο αντίστοιχος ρυθμός των συναρτήσεων ημίτονο και συνημίτονο, όπου όμως τα μαθηματικά μας δίνουν ότι: d(ημωt)/dt=ω συνωt και d(συνωt)/dt=-ω ημωt 5. Η ταχύτητα υ στα σημεία αναστροφής της ταλάντωσης μηδενίζεται όπως είναι φυσικό, δηλ. όταν χ=α, τότε υ=0 ενώ αντίθετα γίνεται μέγιστη (όπως φανερώνει και ο τύπος 1.2α) όταν το σώμα διέρχεται από την ΘΙΤ.H τιμή αυτή συμβολίζεται με υ ο και ισούται με Αω 6. Οι γρ.παραστάσεις των χ και υ φαίνονται στα σχ.1.2α,1.2β 1.5 ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ Δεν είναι απαραίτητο πάντοτε να βρίσκεται το φωτεινό σημείο στην θέση Α(σχ.1.1) την χρονική στιγμή μηδέν, άρα και το ταλαντούμενο σημείο δεν θα είναι στην ΘΙΤ όταν t=0. Τότε όμως οι εξισώσεις 1.1α-1.3α δεν είναι σωστές εκτός και αν προστεθεί μέσα στα ημίτονα και συνημίτονα κάποιος παράγοντας (προφανώς γωνία!) που να δείχνει αυτήν ακριβώς την αρχική απομάκρυνση/ταχύτητα/επιτάχυνση του ταλαντούμενου σημείου.αυτή η γωνία ονομάζεται αρχική φάση και συμβολίζεται με φ ο.έτσι οι ανωτέρω εξισώσεις γράφονται τώρα: χ=αημ(ωt+φ ο ) (1.1 β) υ=αωσυν(ωt+φ ο ) (1.2 β ) a=-αω 2 ημ(ωt+φ ο ) (1.3 β) και αφού για t=0 x 0 (π.χ. >0) έχουμε γρ.παράσταση όπως στο σχ 1.2γ 2
1.6 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Η επιτάχυνση του ταλαντούμενου κινητού είναι συνιστώσα προφανώς της κεντρομόλου επιτάχυνσης του φωτεινού σημείου και αν εφαρμόσω για το πρώτο τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής: ΣF=ma θα πάρω: ΣF=-mAω 2 ημωt=-mω 2 χ θέτοντας δε όπου mω 2 μια σταθερά έστω D,θα έχουμε τελικά ΣF=-Dx (1.4) Η παραπάνω σχέση είναι θεμελιώδης για τις ταλαντώσεις διότι αποτελεί την αποδεικτική σχέση ότι ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. 1. Η σταθερά D εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του συστήματος. Σε ταλαντώσεις ελατηρίων-σωμάτων όπως και αν είναι ο προσανατολισμός του ελατηρίου (οριζόντιος, κατακόρυφος ή πλάγιος) ισχύει πάντα D=k όπου k η σταθερά του ελατηρίου. Σε ταλαντώσεις ενός απλού εκκρεμούς ισχύει D=mg/l 2. Aφού D=mω 2 και επειδή ω=2π/τ είναι η γωνιακή ταχύτητα του σώματος που κάνει την Ομαλή Κυκλική Κίνηση θα είναι,που δίνει για το Τ D = m 4π2 T 2 (1.5a) T = m 4π2 D = 2π m D (1.5b) 3. Η ΣF ή απλά F ονομάζεται δύναμη επαναφοράς και όπως βλέπουμε έχει πάντοτε αντίθετο πρόσημο με αυτό της απομάκρυνσης, άρα η κατεύθυνσή της είναι πάντα προς την ΘΙΤ. 1.7 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΜΕΛΕΤΗ Για να θέσουμε ένα σύστημα σε ταλάντωση πρέπει να του δώσουμε ενέργεια, άρα καταρχήν να το απομακρύνουμε από την ΘΙΤ. Θα πρέπει λοιπόν να του ασκήσουμε μια δύναμη όση και η δύναμη επαναφοράς για απομάκρυνση χ.το έργο τότε λόγω της σχέσης (1.4) θα δίνεται από την σχέση W= ½ Dx 2 3
και αυτή θα είναι και η ενέργεια με την οποία θα ταλαντωθεί το σύστημα στην συνέχεια (υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν καθόλου απώλειες). Προφανώς αν εκείνη την στιγμή αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο να ταλαντωθεί η απομάκρυνση χ που επιβάλλαμε θα είναι και το πλάτος της ταλαντώσεως. Την ενέργεια σε αυτήν την θέση την αποκαλούμε Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης και την συμβολίζουμε με U ταλ.θα ισχύει λοιπόν: U= ½ Dx 2 (1.6) όπου το χ συμβολίζει μια τυχαία απομάκρυνση του σώματος από την ΘΙΤ. Εκτός όμως από την Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης υπάρχει λόγω της ταχύτητας του σώματος και κινητική ενέργεια που δίνεται από την σχέση K= ½ mu 2 (1.7) Οι σχέσεις 1.6 & 1.7 ισχύουν όταν το σώμα βρίσκεται σε μια τυχαία θέση της ταλάντωσης. Σε συγκεκριμένες θέσεις όπως η ΘΙΤ ή οι ακραίες θέσεις ταλάντωσης, ο μηδενισμός της ταχύτητας ή της απομάκρυνσης δίνει αντίστοιχα και μηδενισμό των ενεργειών. Έτσι: στην ΘΙΤ: K= ½ mu ο 2 =K max, U=0 ακραίες θέσεις: K=0, U =½ DA 2 =U max Aν τώρα αθροίσουμε τις σχέσεις 1.6 & 1.7 για να βρούμε την ολική ενέργεια E ταλ μιας ταλάντωσης και κάνοντας χρήση της τριγωνομετρικής ταυτότητας ημ 2 α+συν 2 α=1 μπορούμε εύκολα να δούμε ότι: E ταλ = K max = U max (1.8) Βλέπουμε δηλ.ότι η συνολική ενέργεια που έχει ένα ταλαντούμενο σύστημα και που δεν είναι άλλη από αυτή που εμείς δώσαμε (βλ.αρχή παραγράφου) μετατρέπεται περιοδικά σε δυναμική ή κινητική ή και τα δύο μαζί, αλλά πάντοτε μένει σταθερή και ίση με το μέγιστο της δυναμικής ή κινητικής.η περιοδική αυτή μετατροπή αποδεικνύεται και μέσω των σχέσεων: U= E ταλ ημ 2 ωt (1.9a) K= E ταλ συν 2 ω t (1.9β) [σχ.1.3] 4
1.9 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Στην πραγματικότητα,ποτέ μια ταλάντωση δεν μπορεί να κρατήσει σταθερό το πλάτος της αφού υπάρχουν πάντοτε τριβές και διάφορες απώλειες ενέργειας με αποτέλεσμα την σταδιακή μείωση του πλάτους και τελικά τον μηδενισμό του. Η δύναμη σε μια φθίνουσα ταλάντωση δίνεται από την σχέση: F=-bu (1.10) όπου b μια σταθερά που ονομάζεται σταθερά απόσβεσης. Ενώ το πλάτος επηρεάζεται από την τιμή της b,η περίοδος Τ παραμένει σταθερή, εκτός αν η b πάρει αρκετά μεγάλες τιμές, οπότε η Τ αρχίζει να επηρεάζεται από το πλάτος και εμφανίζει μια μικρή αύξηση. Η σχέση απομάκρυνσης-πλάτους και σταθεράς απόσβεσης φαίνεται στο σχ.1.5 σχ 1.5 γρ.παράσταση χ=f(b) Από τα Μαθηματικά παίρνουμε ότι η εξίσωση που αντιστοιχεί σε τέτοιες μορφές είναι εκθετική: Α=Α ο e -Λt (1.11) Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ διαδεδομένες στον χώρο της Φυσικής και δείχνουν μεγέθη τα οποία μειώνονται με εκθετικό τρόπο (ραδιενεργά υπολείμματα, ρεύματα σε κυκλώματα με L-C, μόλυνση υγειών πληθυσμών από κάποια ασθένεια κ.τ.λ.). Εδώ προφανώς εκφράζεται η μείωση του πλάτους μιας φθίνουσας ταλάντωσης της οποίας το αρχικό πλάτος είναι Α ο. Η σταθερά Λ του τύπου εξαρτάται από την σταθερά απόσβεσης και τα χαρακτηριστικά του συστήματος. Φθίνουσες ταλαντώσεις προφανώς μπορούμε να έχουμε και σε μηχανικά συστήματα (όπου όπως είδαμε αίτια της απόσβεσης είναι οι τριβές,οι αντιστάσεις του αέρα κ.τ.λ 5
1.10 ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ Κάθε σύστημα που μπορεί να εκτελεί Α.Α.Τ. έχει όπως είδαμε μιαν συχνότητα ταλάντωσης f που καθορίζεται από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του συστήματος και η οποία ονομάζεται και ιδιοσυχνότητα του συστήματος και θα συμβολίζεται με f 0.Στην γενική περίπτωση για μια ταλάντωση σταθεράς D ισχύει (γιατί;) f 0 = 1 2π D m (1.12) Έστω τώρα ότι έχουμε μια ταλάντωση που θέλουμε το πλάτος της να παραμείνει σταθερό. Λόγω των ενεργειακών απωλειών θα πρέπει να προσφέρουμε σε κάθε κύκλο ακριβώς το ποσόν της ενέργειας που χάθηκε (βλ. εξίσωση 1.14 για τα κυκλώματα Thomson). Τότε όμως αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να ταλαντώνουμε σύστημα με μια περιοδικότητα άρα με μία συχνότητα f εξ η οποία θα είναι η συχνότητα εξαναγκασμένης ταλάντωσης Πειράματα έδειξαν ότι όταν η συχνότητα του εξωτερικού ταλαντωτή μεταβάλλεται τότε μεταβάλλεται και το πλάτος της ταλάντωσης. Μάλιστα όταν η συχνότητα του ταλαντωτή αρχίζει να παίρνει τιμές παραπλήσιες με αυτές της ιδιοσυχνότητας του συστήματος τότε το πλάτος της ταλάντωσης μεγαλώνει εκθετικά έως ότου να έχουμε f εξ =f ο το Τότε το πλάτος της ταλάντωσης παίρνει την μέγιστη τιμή του δηλ. Α Α ο και το φαινόμενο αυτό ονομάζεται συντονισμός Ανάλογα τώρα με το είδος της ταλάντωσης μπορούμε να έχουμε απειρισμό του πλάτους (όταν η ταλάντωση είναι αμείωτου πλάτους) ή απλώς μεγιστοποίηση (όταν η ταλάντωση είναι φθίνουσα) που εξαρτάται από την σταθερά απόσβεσης b όπως φαίνεται στην γρ.παράσταση του σχ. 1.6.Επίσης στο ίδιο σχήμα φαίνεται ότι όσο μικρότερη είναι η b τόσο οξύτερη είναι η καμπύλη του πλάτους (όταν b=0 τότε η καμπύλη τείνει στο άπειρο ασυμπτωτικά) Τέλος πρέπει να παρατηρήσουμε ότι για τις περιπτώσεις των φθινουσών ταλαντώσεων η μεγιστοποίηση του πλάτους δεν επιτυγχάνεται ακριβώς για f εξ =f o,αλλά για μια τιμή f 1 λίγο μικρότερη από την f ο. Όπως και πριν αναφέρθηκε ο συντονισμός επιτυγχάνεται όχι μόνο σε μηχανικές ταλαντώσεις αλλά και σε ηλ/μαγνητικές ταλαντώσεις κυκλωμάτων L-C.Εδώ την μέγιστη τιμή Ι (το πλάτος του ρεύματος i) θα καθορίσει η τιμή της αντίστασης R. 6
σχ. 1.6 1.11 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Πολλές φορές ένα σώμα αναγκάζεται να εκτελέσει περισσότερες από μία ταλαντώσεις ταυτόχρονα με αποτέλεσμα μία κίνηση που αποτελεί σύνθεση αυτών. Διακρίνουμε δύο κύρια είδη τέτοιων κινήσεων: σύνθεση ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας Η μελέτη της σύνθεσης δύο ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας γίνεται με την βοήθεια περιστρεφόμενων διανυσμάτων. Έστω διάνυσμα Α ο με μέτρο Α ο. Αν υποχρεώσουμε το διάνυσμα αυτό να περιστρέφεται με σταθερή αρχή και σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω σε έναν κύκλο η ακτίνα του οποίου είναι ίση με Α ο, τότε η προβολή του Α ο πάνω σε μία διάμετρο θα δίνει ένα διάνυσμα του οποίου το μέτρο Α θα δίνεται από την σχέση: Α=Α ο ημωt δηλ. παίρνουμε την σχέση των Α.Α.Ταλαντώσεων. Έτσι κάθε ταλάντωση μπορούμε να πούμε ότι αντιστοιχείται στην περιστροφή ενός διανύσματος με γωνιακή ταχύτητα όση η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης και μέτρο ίσο με το πλάτος της ταλάντωσης. Αν θέλουμε λοιπόν να βρούμε το συνολικό αποτέλεσμα δύο ξεχωριστών ταλαντώσεων πάνω στο ίδιο σώμα και αν αυτές έχουν το ίδιο ω,αρκεί να βρούμε το διανυσματικό άθροισμα των πλατών Α 01 και Α 02 των δύο ταλαντώσεων. Προφανώς αν οι δύο ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης μηδέν, τότε τα διανύσματα είναι συγγραμμικά και η άθροιση δίνει: Α ολ =Α 01 +Α 02 (1.13α) Αν όμως (που είναι και το συνηθέστερο) οι δύο ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης φ, τότε η άθροιση δίνει ένα διάνυσμα μέτρου: Α ολ = Α 2 01 + Α 2 02 + 2 Α 01 Α 02 συνφ (1.13β) ενώ η γωνία που το καινούριο διάνυσμα θα σχηματίσει με το Α 01 θα δίνεται από την σχέση 7
εφθ = Α 02 ημφ Α 01 +Α 02 συνφ (1.13γ) Έχουμε λοιπόν μία ταλάντωση της μορφής: Α=Α ολ ημ(ωt+θ) (1.14) όπου τα Α ολ και θ δίνονται από τις εξ. (1.13) [βλέπε και (σχ.1.7)] 8
σύνθεση ταλαντώσεων διαφορετικής συχνότητας Η γενική περίπτωση σύνθεσης δύο ταλαντώσεων με διαφορετικά πλάτη και συχνότητες είναι πολύ δύσκολο να μελετηθεί.μπορούμε όμως να θεωρήσουμε κάποιες ειδικές περιπτώσεις που καθιστούν τα πράγματα λίγο πιο κατανοητά. I. Συχνότητες ακέραιο πολλαπλάσιο η μία της άλλης Έχουμε μια περιοδική κίνηση αλλά όχι αρμονική όπως βλέπουμε στο σχ1.8 II. Συχνότητες με ω 1 -ω 2 Η περίπτωση κατά την οποία οι δύο ταλαντώσεις στις οποίες ταυτόχρονα υπόκειται το σώμα,έχουν ίδια πλάτη και συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους, παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Έστω οι ταλαντώσεις: Α 1 =Α 01 ημω 1 t και η Α 2 =Α 02 ημω 2 t, όπου Α 01 =Α 02 =Α 0 Η άθροιση των απομακρύνσεων δίνει: Α ολ =Α ο (ημ ω 1 t+ημω 2 t)=2 Α 0 συν (ω 1 -ω 2 )t/2 ημ (ω 1 +ω 2 )t/2 βάσει της τριγ,ταυτότητος ημα+ημβ=2συν(α-β)/2 ημ(α+β)/2]. Τότε όμως (ω 1 +ω 2 )/2 = ω μ δηλ. η μέση τιμή,η οποία προφανώς θα είναι περίπου ίση με την τιμή των δύο συχνοτήτων,δηλ: ω 1 ω 2 ω μ ενώ η κύμανση του παράγοντα συν (ω 1 -ω 2 )t/2 είναι πολύ αργή ώστε πρακτικά να μπορεί να θεωρηθεί πλάτος μαζί με τον 2 Α 0. Έτσι έχουμε τελικά την ταλάντωση: Α ολ =2Α 0 συν(ω 1 -ω 2 )t/2{ημ(ω 1 +ω 2 )t/2} Α ολ = 2Α 0 συν ω 1 ω 2 2 [ΠΛΑΤΟΣ] t ημ ω 1+ω 2 2 t (1.15) Μια τέτοια ταλάντωση παρουσιάζεται στο σχ1.8 όπου η «πυκνή» αυξομειούμενη γραμμή παρουσιάζει το ημ kt [k=(ω 1 +ω 2 )/2],ενώ η «πλατειά» περιβάλλουσα δείχνει την αργή κύμανση του συν ct [c=(ω 1 -ω 2 )/2] 9
Αποδεικνύεται ότι η συχνότητα του διακροτήματος είναι: f δ = f1 f2. [Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι σε κάθε πλήρη κύκλο της περιβάλλουσας καμπύλης η τιμή +1 ή 1 για το «συν» εμφανίζεται μόνο μία φορά, δηλ.,ο αριθμός των διακροτημάτων ανά δευτερόλεπτο είναι διπλάσιος από την συχνότητα που παρέχει ο τύπος του «συν», δηλ. την (f 1 -f 2 )/2 ] 10