1 η δεκάδα θεάτων επανάληψης 1. ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Στις πλευρές,, παίρνουε σηεία, Ε, Ζ αντίστοιχα τέτοια ώστε Ε Ζ 1 α Να υπολογίσετε συναρτήσει του α το εβαδόν Του τριγώνου Ζ Του τριγώνου ΕΖ i Του περιγεγραένου κύκλου στο τρίγωνο ( Ζ) 1 Ζ η 1 1 α α η60ο 1 9 α α 18 τετραγωνικές ονάδες Ε Ζ Τα τρίγωνα Ζ, Ε, ΕΖ είναι προφανώς ίσα (Π Π) οπότε Ζ ΖΕ Ε δηλαδή το ΕΖ είναι ισόπλευρο. πό τον νόο των συνηιτόνων στο τρίγωνο Ζ έχουε Ζ + Ζ Ζ συν 1 9 α + 9 α 1 α α συν60ο 9 α άρα Ζ α Το εβαδόν του τριγώνου ΕΖ είναι ( ΕΖ) ( Ζ) α τετραγωνικές ονάδες 1 i ν R είναι η ακτίνα του περιγεγραένου κύκλου στο τρίγωνο τότε α R R α οπότε το εβαδόν του θα είναι Ε π R πα τετραγωνικές ονάδες
. Θεωρούε τρεις διαδοχικές γωνίες x Ο y, y Ο z, z Ο x έτσι ώστε x Ο y y Ο z 150 ο. Στις ηιευθείες Ox, Oy, Oz παίρνουε σηεία,, αντίστοιχα έτσι ώστε Ο, Ο, Ο 6 Να υπολογίσετε το εβαδόν του τριγώνου Ο Να υπολογίσετε τον λόγο των εβαδών ( Ο ) ( ) i Να υπολογίσετε τις ακτίνες του εγγεγραένου και περιγεγραένου κύκλων του τριγώνου Ο (Ο) 1 Ο Οη60ο 1 6 τ. (Ο) 1 Ο Οη150ο 1 1 τ. (Ο) 1 Ο Οη150ο 1 6 1 6 τ. Συνεπώς Ζ Χ 60 Ο 150Ο 150 Ο Ο Ψ () (Ο) + (Ο ) + (Ο) 8 + τ. Οπότε ( Ο) ( ) 8+ i πό τον νόο των συνηιτόνων στο τρίγωνο Ο έχουε Ο + Ο ΟΟσυν60 ο + 6 1 8 οπότε 7 ν R είναι η ακτίνα του περιγεγραένου κύκλου του τριγώνου Ο από τον τύπο (Ο) 6 7 R Ο Ο έχουε R R 7 κόα, η ηιπερίετρος του τριγώνου Ο είναι
τ Ο+Ο+ 8+ 7 + 7 αν ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραένου κύκλου στο τρίγωνο Ο τότε (Ο) τ ρ ( + 7 )ρ ρ + 7
. ίνεται τρίγωνο ε α γ και α α είξτε ότι β γ 7 Να καθορίσετε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του i ν είναι η προβολή της πλευράς στην να βρείτε το ήκος της iν) ν Μ έσο της να υπολογίσετε τον λόγο των εβαδών (Μ ) ( ) πό το πρώτο θεώρηα διαέσων έχουε β + γ α + α β + γ α + γ β + γ 6γ + γ β γ 7 Είναι φανερό ότι γ 7 > γ >γ β > α > γ και β 7γ, α + γ 5γ άρα β > α + γ > 90 ο το τρίγωνο είναι αβλυγώνιο i ενίκευση πυθαγορείου για την πλευρά α α β + γ β γ 7γ + γ γ 7 γ 7 7 α β Μ γ iν) (Μ ) ( ) Μ. Όως Μ Μ β γ 7 7 γ 7 γ 7 γ 7 7 1 άρα (Μ ) ( ) γ 7 1 γ 7 1
5. Σε κύκλο ( Ο, R) είναι εγγεγραένο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 15 Να υπολογίσετε Την ακτίνα R του κύκλου Το εβαδόν του κύκλου Το εβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου iν) Το εβαδόν της περιοχής που περικλείεται από τον κύκλο και το ισόπλευρο τρίγωνο ν ) Το εβαδόν του κανονικού εξαγώνου του εγγεγραένου στον ίδιο κύκλο νωρίζουε ότι R άρα 15 R R 15 5 Ε κύκλου πr π(5 ) 75π τετραγωνικές ονάδες i () 5 τετραγωνικές ονάδες iν) Ε ζητούενο Ε (Ο, R) Ε 75π 5 τετραγωνικές ονάδες ν) Το απόστηα α 6 δίνεται από τον τύπο α 6 R και επειδή R 5 είναι α 6 15 επίσης λ 6 R 5 άρα Ε 6 6 1 α 6 λ 6 15 5 5 τετραγωνικές ονάδες
6 5. Σε τρίγωνο,θ είναι το βαρύκεντρο και Θ 60 ο είξτε ότι β + γ 5α β γ (Θ) 1 () i ν ΘΚ, ΘΛ είναι οι αποστάσεις του Θ από τις πλευρές και αντίστοιχα δείξτε ότι ΘΚ ΘΛ πό τον νόο των συνηιτόνων στο τρίγωνο Θ έχουε Θ + Θ ΘΘσυν Θ β + γ 9 9 β γ συν60 ο 9 9 β + 9 β + 9 γ β γ 1 γ 9 β γ άρα Ε Λ Κ Θ Ζ β + 9 α 9 9 β γ 9 β γ β + γ 5α γ 9 β γ α + γ β + 9 β + α γ α Επειδή η Ζ είναι διάεσος στα τρίγωνα και Θ έχουε (Ζ) (Ζ) και (ΘΖ) (ΘΖ) αφαιρώντας κατά έλη βρίσκουε (Ζ) (ΘΖ) (Ζ) (ΘΖ) (Θ) (Θ) οοίως αποδεικνύεται ότι (Θ) (Θ) άρα (Θ) (Θ) (Θ) οπότε (Θ) 1 () i (Θ) (Θ) 1 ΘΚ 1 ΘΛ ΘΚ ΘΛ
7 6. Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούε τα διαδοχικά σηεία,, ώστε λ 6 και λ ν Μ το έσο της και το σηείο στο οποίο η Μ τένει τον κύκλο Nα βρείτε την περίετρο του τριγώνου συναρτήσει του R. Nα υπολογίσετε συναρτήσει του R το τήα Μ. i Nα υπολογιστεί ο λόγος των εβαδών του τριγώνου και του κύκλου (Ο, R) iν) Nα υπολογίσετε το εβαδό συναρτήσει του R κάθε κυκλικού τήατος που ορίζεται από τις πλευρές του τριγώνου και περιέχεται στην αντίστοιχη κυρτή γωνία του τριγώνου. Επειδή λ 6 και λ θα είναι 60 ο και 10 ο άρα 180 ο εποένως η είναι διάετρος του κύκλου δηλαδή R ακόα είναι λ 6 R, λ R Η περίετρος Ρ του τριγώνου είναι τ τ τ 1 Μ Ρ + + R + R + R R + R H AM είναι διάεσος στο τρίγωνο οπότε Μ + R + R R 7R άρα Μ R 7 πό το θεώρηα των τενόενων χορδών έχουε Μ Μ Μ Μ R 7 i Μ R R Μ R 7 1 Το εβαδόν του τριγώνου είναι ίσο ε () 1 1 R R R Και το εβαδόν του κύκλου Ε κύκλου πr
8 Οπότε E A Ε( Ο, R) R πr π iν) Το κυκλικό τήα τ 1 (γκρίζα περιοχή) είναι ηικύκλιο ε εβαδόν Ε 1 πr Το κυκλικό τήα τ ( κόκκινη περιοχή) έχει εβαδόν Ε ίσο ε Ε Ε ( Ο Ε ) ABO πr 60 60 1 R η60 ο πr 6 R Και το κυκλικό τήα τ (πράσινη περιοχή) έχει εβαδόν Ε ίσο ε Ε Ε ( Ο Ε ) BO πr 10 60 1 R η10 ο πr R
9 7. ίνεται κύκλος (Ο, R) και δύο ίσοι κύκλοι στο εσωτερικό του, (Ο 1, 1 R ) και (Ο, 1 R) εφαπτόενοι εταξύ τους στο και εφαπτόενοι του (Ο, R) στα και αντίστοιχα. είξτε ότι το τρίγωνο ΟΟ 1 Ο είναι ισόπλευρο Να βρείτε την περίετρο και το εβαδόν του καπυλογράου τριγώνου Είναι ΟΟ 1 R, ΟΟ R και Ο 1 Ο Ο 1 + Ο 1 R + 1 R R άρα ΟΟ 1 ΟΟ Ο 1 Ο δηλαδή το τρίγωνο ΟΟ 1 Ο είναι ισόπλευρο Προφανώς O 60 ο, ω 10 ο φ ɵ ε Ο 1 ω Ο Ο φ l πr60 180 πr και l AB l A 1 π R10 180 πr 9 συνεπώς η περίετρος του καπυλόγραου τριγώνου (γκρίζα περιοχή) είναι ίση ε Ρ πr + πr 9 7πR 9 Το εβαδόν του καπυλόγραου τριγώνου προκύπτει αν από το εβαδόν του κυκλικού τοέα Ο αφαιρέσουε το εβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου ΟΟ 1 Ο και το εβαδόν των δύο ίσων κυκλικών τοέων Ο 1 και Ο όως (Ο πr 60 πr ), (ΟΟ 1 Ο ) 60 6 1 π R 10 (Ο 1 ) 9 πr 60 7 άρα Ε ζητούενο πr 6 R 9 πr 7 R 9 R 9 τετραγωνικές ονάδες και
10 8. Έστω τρίγωνο ε β α και διάεσο α α είξτε ότι γ και 90 ο ν ύψος τότε β i Να βρείτε τον λόγο των εβαδών ( Μ) () α β + γ α και λόγω της υπόθεσης 9α 6α + γ α Επίσης γ α β α και α + γ α + α α άρα Μ Η β α + γ οπότε 90 ο πό γνωστό θεώρηα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουε α α α β i ν ΜΗ ύψος του τριγώνου Μ τότε 1 ΜΗ ( Μ) () και επειδή Μ έσο της και ΜΗ// ( κάθετα στην ) 1 είναι ΜΗ ( Μ) οπότε () β 1 β
11 9. Σε κύκλο ( Ο, R) θεωρούε ία διάετρο και χορδή λ 6 επίσης και Μ το έσο του τόξου. ν η Μ τένει τα και στα σηεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε την περίετρο του τριγώνου Μ συναρτήσει του R είξτε ότι Ε R i είξτε ότι το τρίγωνο ΕΖ είναι ισόπλευρο του οποίου να βρείτε το εβαδόν συναρτήσει του R iν) είξτε ότι (Ε) (Ε ) Φέρω τα τήατα Μ και Μ λ 6 άρα R και 60 ο οπότε 10 ο και εποένως Μ 60 ο και Μ 10 ο άρα Μ λ 6 R και BM λ R 1 1 1 Η περίετρος Π του τριγώνου Μ είναι ίση ε Π + Μ + Μ R + R + R R + R Επειδή οι γωνίες Μ και είναι εγγεγραένες σε ηικύκλιο θα είναι Μ 90 ο στο τετράπλευρο Ε Μ έχουε Μ + 180 ο εποένως αυτό είναι εγγράψιο άρα Ε Μ (1) Όως Μ R R και από το ορθογώνιο τρίγωνο είναι Οπότε η (1) γίνεται Ε R R Ε R i Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι R Ε Ζ Ο ω άρα ω 0 ο εύκολα βρίσκουε ότι 1 0 ο άρα 10 ο και Ε 1 60 ο ετά από αυτά είναι Μ
1 60 ο και Ε 60 ο συνεπώς το τρίγωνο ΕΖ είναι ισόπλευρο και το Ε ισοσκελές Επειδή Ε Ε R το εβαδόν του ΕΖ είναι ίσο ε (ΕΖ) R 9 R 1 τετραγωνικές ονάδες iν) Τα τρίγωνα Ε και Ε έχουν 1 0 ο άρα ( Ε) ( Ε ) Ε Ε και επειδή 10 ο είναι ( Ε) ( Ε ) (Ε) (Ε ) άρα
1 0. Οι πλευρές οξυγωνίου τριγώνου ικανοποιούν την σχέση α β + γ, αν Ε, Ζ, ύψη του τριγώνου και Η το ορθόκεντρο, δείξτε ότι α β Ε + γ Ζ Η + Η Η Η ΗΕ ΖΗ Η Η Η i + + 1 και + + Ε Ζ Ε Ζ ενίκευση πυθαγορείου στο α β + γ βε α β + γ γζ προσθέτοντας κατά έλη έχουε α β + γ βε γζ και λόγω της υπόθεσης β + γ β + γ βε γζ β Ε + γ Ζ β + γ α ενίκευση πυθαγορείου στα Η και Η Η γ + Η γζ Η Η + β βε προσθέτοντας κατά έλη έχουε Η + Η Η + γ + β γζ βε Η + Η Η + γ + β (γ Ζ + β Ε) Η + Η Η + α α Η + Η Η i 1 ( ) ( ) ( Η ) ( ) + ( Η ) ( ) + ( Η ) ( ) ΖΗ ΗΕ Η + + τώρα Ζ Ε Ζ Η Ε ΖΗ ΗΕ Η Ζ Η + + 1 + Ζ Ε Ζ Ε Η + Ε Η 1 Η Η Η Η Η Η 1 + 1 + 1 1 + + Ζ Ε Ε Ζ