Γενίκευση του Πυθαγόρειου και Θεωρήµατα ιαµέσων. Θεώρηµα αµβλείας γωνίας. Πυθαγόρειο Α = 90 ο α 2 = β 2 + γ Πορίσµατα α 2 > β 2 + γ 2

Transcript

1 ενίκευση του Πυθόρειου κι Θεωρήτ ιέσων ΘΕΩΡΙ 1. Θεώρη οξείς ωνίς < 90 ο + Θεώρη λείς ωνίς > 90 ο + + Πυθόρειο 90 ο +. Πορίστ > + > 90 ο + 90 ο < + < 90 ο 3. Νόος συνηιτόνων Σε κάθε τρίωνο ισχύει + συν κι κυκλικά. Το ύψος συνρτήσει των πλευρών υ τ( τ )( τ )( τ ) κι κυκλικά Το εδόν συνρτήσει των πλευρών Ε τ( τ )( τ )( τ )

2 5. 1 ο Θεώρη ιέσων + + κι κυκλικά Η διάεσος συνρτήσει των πλευρών + κι κυκλικά 6. ο Θεώρη ιέσων Μ υ Μ Η προολή της διέσου συνρτήσει των πλευρών Μ ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σ έν τρίωνο ισχύει κι 7. Ν υπολοίσετε την ελύτερη ωνί του. Προτεινόενη λύση 7 > > 7 > > Οπότε ελύτερη πλευρά του τριώνου είνι η. + συν ɵ 7 + συν ɵ συν ɵ 1 ɵ 10 ο

3 3. Σε οξυώνιο ισοσκελές τρίωνο ε άση φέρνουε το ύψος. είξτε ότι Προτεινόενη λύση < 90 ο + + ( ) 3. Συνρτήσει των κ, λ, ν υπολοίσετε τ ύψη ενός τριώνου, ότν κ κι λ Προτεινόενη λύση Είνι τ ++ κ+λ υ τ( τ )( τ )( τ ) υ λ Οοίως κ+λ κ+λ κ+λ κ+λ λ κ κ 1 υ υ λ κ κ λ κ λ

4 . Σ έν τρίωνο είνι, 1 + 3, 6. i) Ν ρείτε το είδος του τριώνου ως προς τις ωνίες του. Ν υπολοίσετε την ωνί i Ν υπολοίσετε την προολή της διέσου Μ στην. Προτεινόενη λύση i) Επειδή > 6 >, η ελύτερη πλευρά του τριώνου είνι η κι Άρ < + < 90 ο το τρίωνο είνι οξυώνιο Νόος συνηιτόνων : + συν (1+ 3 )συν συν 1 i 60 ο Έστω Μ η προολή της διέσου Μ στην ο θεώρη διέσων : Μ 6 (1+ Μ ) Μ 3 1 Μ

5 5 5. είξτε ότι το άθροισ των τετρώνων των πλευρών ενός πρλληλοράου ισούτι ε το άθροισ των τετρώνων των διωνίων του. Προτεινόενη λύση 1 ο Θεώρη ιέσων στο τρίωνο : + Ο (1) + Οοίως στο τρίωνο : + (1) + () : () Ο 6. ίνετι τρίωνο ε Προτεινόενη λύση. είξτε ότι + Έστω οι διάεσοι Μ, Ν κι Ζ έτσι ώστε Ν Ζ, κι Θ το κέντρο άρους του τριώνου. Πυθόρειο το τρίωνο Θ : Θ +Θ (1) Όως στο ορθοώνιο τρίωνο Θ η ΘΜ είνι διάεσος. 1 Άρ ΘΜ 3 3 Ζ Θ Μ Ν Η (1) ίνετι

6 6 7. ίνετι τρίωνο έτσι ώστε ν ισχύει i) είξτε ότι + Ν υπολοίσετε τη ωνί. Προτεινόενη λύση i) Νόος συνηιτόνων : +.συν + +.συν συν 1 60 ο κι λόω του (i)

7 7 8. Σε τρίωνο δείξτε ότι : i) ν τότε 5 + ν + τότε το τρίωνο είνι ορθοώνιο i ν + τότε ) + Προτεινόενη λύση i) ), ( ) 0 0 Άρ το τρίωνο είνι ορθοώνιο ε υποτείνουσ την iii ) ) η οποί ισχύει πό την υπόθεση ) + + Οοίως ποδεικνύετι ότι ( ) 3 3 (λόω της υπόθεσης) 3

8 8 9. Σε κάθε ισοσκελές τρπέζιο ( ) δείξτε ότι + Προτεινόενη λύση Έστω ότι ɵ < 90 ο. Φέρω τ ύψη Κ κι Λ. πό ενίκευση πυθορείου στο τρίωνο έχουε + Λ κι επειδή + ( Λ) (1) Τρ.Κ τρ. Λ Κ Λ Οπότε Λ Λ Κ Λ ΚΛ Κ Κι επειδή το ΚΛ είνι ορθοώνιο, θ είνι ΚΛ Η (1) ίνετι + Λ 10. ν σηείο της άσης ισοσκελούς τριώνου, δείξτε ότι. Προτεινόενη λύση Φέρνουε το ύψος Μ του τριώνου κι την διάεσο Ζ του ο θεώρη των διέσων στο τρίωνο : ΖΜ (1) Όως ΖΜ (Ζ + Μ) Ζ + Μ + Μ + Μ Μ +Μ Μ + Μ Οπότε η (1) ίνετι. Ζ Μ

9 9 11. Έστω τρίωνο ε 7 κι i) Ν δείξτε ότι Ν ρείτε το είδος του τριώνου ως προς τις ωνίες του. i ν ύψος ν ρείτε τον λόο Προτεινόενη λύση i) (1) Όως 7 7 Οπότε η (1) ίνετι 1 + Επειδή 7 > >, ελύτερη πλευρά στο τρίωνο είνι η, ε 7 κι Άρ > +, οπότε το τρίωνο είνι λυώνιο ε > 90 ο i < 90 ο Οπότε

10 10 1. Στην πλευρά τριώνου θεωρούε τ σηεί κι Ε, έτσι ώστε Ε Ε. είξτε ότι +Ε + 9 Προτεινόενη λύση Στ τρίων Ε κι, οι κι Ε είνι διάεσοι. Άρ + Ε Ε κι Ε + Προσθέτοντς κτά έλη ρίσκουε + Ε Ε Ε + Ε +Ε Ε Ε + Ε + Ε Ε + Ε Ε + 9

11 ν Ε διάεσος ορθοωνίου τριώνου ( 90 ο ), δείξτε ότι i) Ε + 3 ν Ε 1 κι 60 ο, όπου έσο της, ν υπολοίσετε τις πλευρές του. Προτεινόενη λύση i) Ε Επειδή διάεσος στην υποτείνουσ, θ είνι, κι δεδοένου ότι 60 ο, το τρίωνο είνι ισόπλευρο ε κό πό το (i) έχουε : Ε + 3 Ε Οπότε κι 6 3

12 1 1. ν σε τρίωνο ισχύει +, δείξτε ότι i) + Προτεινόενη λύση i) που ισχύει πό υπόθεση ( + ) 3 (1) Οοίως ρίσκουε ότι (1), (), (3) 3 () 3 (3) Ν ποδείξετε ότι σε κάθε τρίωνο ισχύει Προτεινόενη λύση + > > + > + + > + + > + + > ( + ) > + > που ισχύει πό την τριωνική νισότητ. Οοίως ι την νίσωση >