1 ΣΚΗΣΙΣ ΠΝΛΗΨΗΣ 3 η Κ 1. Στο διπλανό σχήµα το τετράπλευρο παριστάνει µία τετράγωνη πλατεία και τα τετράπλευρα ΚΛΘ και ΗΜΡΖ παριστάνουν δύο κήπους. Η πλευρά του είναι 30m και η απόσταση των ΚΛ και ΡΜ είναι 34 m. κόµα είναι ΚΛ // και ΡΜ//. Την πλατεία θα την πλακοστρώσουµε µε πλακάκια σχήµατος ορθογωνίου µε διαστάσεις 0cm και 15cm και κόστους 3 το καθένα, ενώ στους κήπους θα φυτέψουµε γκαζόν κόστους 8 το τετραγωνικό µέτρο. Να υπολογίσετε πόσο θα µας στοιχίσουν οι παραπάνω εργασίες. Κ 3m Ζ 3m Ρ 34m 1m 1m Λ Μ 3m Θ Η 3m Το εµβαδόν της πλατείας είναι πλ = 30 = 900m = 9000000cm Το κάθε πλακάκι έχει εµβαδόν = 0 15= 300cm Τα πλακάκια που θα χρειαστούµε είναι 9000000:300 = 30000 και το κόστος τους είναι 30000 3 = 90000 Η κάθε πράσινη περιοχή είναι τραπέζιο µε µικρή βάση ΚΛ = ΡΜ =1m και µεγάλη ΚΡ Ζ 34 30 βάση Θ = ΖΗ = 30 3 3 = 4 m και ύψος = = m οπότε το (1+ 4) εµβαδόν του κάθε κήπου είναι κ = = 45m. Το συνολικό εµβαδόν των δύο κήπων είναι 45 = 90 m και το κόστος φυτέµατος του γκαζόν είναι 90 8 = 70 ποµένως το κόστος των εργασιών είναι 90000 + 70 = 9070. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο να δικαιολογήσετε γιατί για το ηµίτονο µιας οξείας γωνίας του ω ισχύει 0 < ηµω < 1 Να προσδιορίσετε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει ηµω = 1 x x + 4 +, 3 όπου ω κάποια οξεία γωνία. πέναντι κάθετη πλευρά νωρίζουµε ότι ηµω = υποτείνουσα πειδή οι όροι του κλάσµατος είναι θετικοί αριθµοί και η κάθετη πλευρά είναι < από την υποτείνουσα, το κλάσµα είναι θετικός αριθµός και µικρότερο από το 1, Άρα 0 < ηµω < 1
Σύµφωνα µε το ( πρέπει 0 < 1 x x + 4 + < 1 3 Λύνουµε κάθε µία από τις ανισώσεις 0 < 1 x x + 4 1 x x + 4 + και + < 1 και τις συναληθεύουµε 3 3 0 < 1 x x + 4 1 x x + 4 + + < 1 3 3 0 < 6 1 x x + 4 + 6 6 1 x x + 4 + 6 < 1 6 3 3 0< 3( 1 x) + ( x + 4) 3( 1 x) + ( x + 4) < 6 0< 3 3x + 4x + 8 3 3x + 4x + 8< 6 x > 11 x < 5 Όπως είναι φανερό οι ανισώσεις συναληθεύουν όταν 11 < x < 5 υτές είναι και οι ζητούµενες τιµές του x 3. A ύο δροµείς ξεκινάνε ταυτόχρονα από το σηµείο για να πάνε στο σηµείο, ο 1 ος κάνοντας τη διαδροµή και ο ος την 8km. 13km 5km O 1 ος τρέχει µε ταχύτητα 15 km / h και ο δεύτερος µε ταχύτητα 17 km / h. B 6km Να υπολογίσετε ποιος από τους δροµείς θα φτάσει πρώτος στο. Πυθαγόρειο στο : = + = 8 + 6 = 64 + 36 = 100 άρα = 100 = 10km Πυθαγόρειο στο : = = 13 5 =169 5 = 144 άρα = 144 = 1km Η διαδροµή του 1 ου δροµέα είναι : + = 10 + 13 = 3 km και του ου : + + + = 8 + 6 + 1 + 5 = 31km πό τη φυσική γνωρίζουµε ότι το διάστηµα S που διανύεται σε χρόνο t µε ταχύτητα υ δίνεται από τον τύπο S = υ t ποµένως για τον 1 ο δροµέα έχουµε 3 = 15t άρα t = 3 1,53 ώρες 15 Και για τον ο δροµέα έχουµε 31 = 17t άρα t = 31 1,8 ώρες 17 πειδή 1,8 > 1,53, ο πρώτος δροµέας θα φτάσει πρώτος στο.
3 4. Στο διπλανό σχήµα, είναι διάµετρος του κύκλου, B = 50 ο και = 3 Να υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου Να δείξτε ότι B = 60 ο γ) ν η χορδή έχει µήκος 3cm να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου και το µήκος του. πειδή η είναι διάµετρος, οι γωνίες και ɵ είναι ορθές ως εγγεγραµµένες σε ηµικύκλιο. B = 50 ο άρα = 100 ο οπότε = 180 ο 100 ο = 80 ο φού = 3 έχουµε 80ο = 3 άρα = 3 80 = 10ο Οπότε = 180 ο 10 ο = 60 ο Η γωνία B είναι εγγεγραµµένη στο τόξο για το οποίο ισχύει = + = 100 ο + 10 ο = 0 ο. ποµένως B = 110 ο πίσης η γωνία είναι εγγεγραµµένη στο τόξο, για το οποίο ισχύει = + = 80 ο + 60 ο = 140 ο. ποµένως = 70 ο πειδή = 10 ο, θα είναι B = 60 ο γ) πό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε συν B = άρα συν60 ο = 3 1 = 3 συνεπώς = 6 ποµένως η ακτίνα του κύκλου είναι ρ = 3 και το µήκος του L = πρ = 3,14 3 = 18,84 cm A Ο B
4 5. Στο διπλανό τραπέζιο είναι = 14 cm και = 9cm. Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι 108cm. Του τραπεζίου να υπολογίσετε : Το ύψος Το εµβαδόν γ) Την περίµετρο () = άρα 108 = 9 συνεπώς = 1 cm () = ( + ) (9+ 14)1 = = 138cm γ) ίναι φανερό ότι = = 9cm και BE = = 1cm πίσης = = 14 9 = 5cm Πυθαγόρειο στο : = + = 1 + 5 =144 + 5 = 169 άρα = 169 = 13cm Οπότε η περίµετρος Π του τραπεζίου είναι Π = + + + = = 9 + 13 + 14 + 1 = 48cm 6. Η αντοχή µιας γέφυρας είναι 8 τόνοι. Ένα φορτηγό βάρους 3 τόνων είναι φορτωµένο µε σωλήνες που ο κάθε ένας ζυγίζει 00 κιλά. Να βρείτε πόσους το πολύ σωλήνες µπορεί να µεταφέρει το φορτηγό για να περάσει µε ασφάλεια τη γέφυρα. Έστω ότι µπορεί να µεταφέρει x το πολύ σωλήνες. Τότε το βάρος των σωλήνων είναι 00x κιλά, ενώ το βάρος του φορτηγού είναι 3 τόνοι = 3000 κιλά. ποµένως το συνολικό βάρος του αυτοκινήτου είναι 00x + 3000 κιλά. Η αντοχή της γέφυρας είναι 8 τόνοι = 8000κιλά ια να αντέξει η γέφυρα πρέπει 00x + 3000 8000 άρα 00x 5000 x 5 ηλαδή το φορτηγό µπορεί να µεταφέρει το πολύ 5 σωλήνες
5 7. Στο διπλανό σχήµα είναι = 8, = 6,, = 7, = 4 είξτε ότι οι γωνίες ω και φείναι ɵ ίσες. Να βρείτε την πλευρά ενός τετραγώνου, φ του οποίου το εµβαδόν είναι ίσο µε το εµβαδόν του πολυγώνου Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι εφφ = = 6 8 = 3 4 (1) πό Πυθαγόρειο έχουµε = + = 8 + 6 = 64 + 36 = 100 άρα = 100 = 10 Τότε = = 10 7 = 3 Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι εφω = = 3 4 () πό τις (1) και () έχουµε ότι εφω = εφφ άρα ω = ɵ φ () = () + () = 1 + 1 = ω = 1 3 4 + 1 8 6 = 6 + 4 = 30 ν x είναι η ζητούµενη πλευρά του τετραγώνου τότε πρέπει x = 30 άρα x = 30
6 8. Οι βαθµοί στα µαθηµατικά 15 µαθητών της τάξης ενός γυµνασίου είναι 1, 14, 0, 14, 15, 17, 19, 1, 16, 0, 18, 13, 0, 18, 18, Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των τιµών αυτών Τα έτη υπηρεσίας 04 υπαλλήλων φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Έτη υπηρεσίας 0-5 5-10 10-15 15-0 0-5 5-30 30-35 Σύνολο ριθ. υπαλλήλων 80 44 3 0 16 8 4 04 Να βρείτε τη µέση τιµή των ετών υπηρεσίας των υπαλλήλων Το άθροισµα των παρατηρήσεων είναι 1 + 14 + 0 + 14 + 15 + 17 + 19 + 1 + 16 + 0 + 18 + 13 + 0 + 18 + 18 = 46 Οπότε µέση τιµή = 46 15 = 16,4 Τοποθετούµε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά 1, 1, 13, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 18, 19, 0, 0, 0 Μεσαία παρατήρηση είναι η 8 η της οποίας η τιµή είναι 17. Άρα διάµεσος = 17 Με βάση τα δεδοµένα έχουµε τον πίνακα Κλάσεις Κέντρο κλάσης Συχνότητα (κέντρο κλάσης) (συχνότητ 0-5,5 80 00 5-10 7,5 44 330 10-15 1,5 3 400 15-0 17,5 0 350 0-5,5 16 360 5-30 7,5 8 0 30-35 3,5 4 130 Σύνολο 04 1990 ποµένως η µέση τιµή είναι 1990 04 9,75 έτη
7 9. Στο διπλανό διακοσµητικό, το κόκκινο χαρτί στοιχίζει 30 το τετραγωνικό µέτρο και το πράσινο 34,8 το τετραγωνικό µέτρο. Το στήριγµα στοιχίζει 3,5 το µέτρο, το στήριγµα 4,0 το µέτρο Ο και το στήριγµα κατασκευής της περιµέτρου 6, το µέτρο. ν Ο = 3dm, = 5dm Ο = 4dm, = 15dm και 09 = 14,4, να υπολογίσετε το κόστος κατασκευής του διακοσµητικού. Πυθαγόρειο στο Ο : Ο = Ο = 5 3 = 5 9 = 16 άρα Ο = 16 = 4 dm Πυθαγόρειο στο Ο : = Ο + Ο = 3 + 4 = 9 + 16 = 5 άρα = 5 = 5 dm Πυθαγόρειο στο Ο : Ο = Ο = 15 4 = 5 16 = 09 άρα Ο = 09 = 14,4 dm Πυθαγόρειο στο Ο : = Ο + Ο = 4 + ( 09 ) = 16 + 09 = 5 άρα = 5 = 15 dm λλά = Ο + Ο = 3 + 14,4 = 17,4 dm ποµένως το εµβαδόν του κόκκινου χαρτιού είναι () = 1 Ο = = 1 17,4 4 = 34,8 dm = 34,8:100 m = 0,348 m Οπότε το κόστος του κόκκινου χαρτιού είναι 0,348 30 = 10,44 Το εµβαδόν του πράσινου χαρτιού είναι () = 1 Ο = 1 17,4 4 = = 34,8 dm = 34,8:100 m = = 0,348m Άρα το κόστος του πράσινου χαρτιού είναι 0,348 34,8 = 1,1104 1,11 Το στήριγµα έχει µήκος 17,4dm = 17,4 :10 = 1,74 m ποµένως κόστος 1,74 3,5 = 5,95 Το στήριγµα έχει µήκος = Ο + Ο = 4 + 4 = 8 dm= 8 :10m = 0,8m ποµένως κόστος 0,8 4,0 = 3,36 Η περίµετρος Π του διακοσµητικού έχει µήκος Π = + + + = = 15 + 15 + 5 + 5 = = 40dm = = 40:10 = 4m ποµένως κόστος 4 6, = 4,8 Το συνολικό κόστος είναι : 10,44 + 1,1 + 5,95 + 3,36 + 4,8 = 56,67
8 30. Το διπλανό τρίγωνο είναι ισόπλευρο µε πλευρά α = 1 cm και το είναι ύψος του τριγώνου. Με κέντρο το και ακτίνα ρ = γράφουµε κύκλο, ο οποίος τέµνει τις και στα, Ζ. Να υπολογίσετε Το εµβαδόν του τριγώνου Την περίµετρο και το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου µέρους του τριγώνου. ίνεται ότι 108 =10,4 Στο ισόπλευρο τρίγωνο το ύψος είναι και διάµεσος, εποµένως = = 6cm Πυθαγόρειο στο : = = 1 6 = 144 36 = 108 άρα = 108 =10,4 cm () = 1 = 1 1 10,4= 6,4 cm πειδή = 60 ο σαν γωνία ισοπλεύρου τριγώνου, το µήκος του τόξου Ζ είναι ίσο µε l = πρ µ 60 = 3,14 10,4 360 360 10,89cm κόµα = Ζ = α ρ = 1 10,4 = 1,6cm Η περίµετρος του γραµµοσκιασµένου µέρους είναι Π = + l + + Ζ = = 1 + 10,89 + 1,6 + 1,6 = = 6,09 cm Το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου µέρους του τριγώνου θα προκύψει αν από το εµβαδόν του τριγώνου αφαιρέσουµε το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα. πρ µ κυκλικού τοµέα = 360 = 3,14 10,4 60 56,60 cm άρα 360 ζητούµενο = 6,4 56,60 = 5,8 cm Ζ