Μάθηµα 5 ο ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Μαθηµατικά Ιβ Σείδα από 5 Θεωρία : Γραµµική Άγεβρα : εδάφιο, σε. 8 (µέχρι Πρόταση.), εδάφιο, σε. 88 (µέχρι Πρόταση.8). Τα παραδείγµατα που αντιστοιχούν στην ύη έχουν διδαχθεί. Ασκήσεις :,, 7, σε. 87 ;,, 7, σε. 9. Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση 5. Για κάθε διάνυσµα ε span{ η,, η κ }, δείξτε ότι span{ η,, η κ } span{ ε, η,, η κ }. Λύση : Έστω Η span{ η,, η κ } και Ε span{ ε, η,, η κ }. Αν x H x η κ η κ ε η κ η κ x E H E. Αντίστροφα, από τη σχέση ε span{ η,, η κ } ε µ η µ κ η κ και για κάθε διάνυσµα x E έχουµε : x τε τ η τ κ η κ τ ( µ η µ κ η κ ) τ η τ κ η κ ( τ τ µ )η ( τ κ τ µ κ )η κ x H Ε Η. Από τα προηγούµενα συµπεραίνουµε Η Ε. Άσκηση 5. Για οποιαδήποτε διανύσµατα x, y του διανυσµατικού χώρου δείξτε ότι span{ x, y } span{ x y, x y } Λύση : Αν η span{ x, y } η x y (x y) (x y)
Μαθηµατικά Ιβ Σείδα από 5 η span{ x y, x y } span{ x, y } span{ x y, x y }. Αντίστροφα, αν η span{ x y, x y } η µ(x y) ν(x y) (µ ν)x (µ ν)y η span{ x, y } span{ x y, x y } span{ x, y }. Από τις παραπάνω σχέσεις των υποχώρων συµπεραίνουµε την ισότητα αυτών. Άσκηση 5. Για τα διανύσµατα α [ ] Τ, β [ - ] Τ και γ [ 0 ] Τ, δ [ 0 ] Τ, αποδείξατε ότι span{ α, β } span{ γ, δ }. Λύση : Για την ισότητα span{ α, β } span{ γ, δ } αρκεί να δείξουµε ότι τα διανύσµατα α, β είναι γραµµικός συνδυασµός των γ, δ και αντίστροφα, τα διανύσµατα γ, δ είναι γραµµικός συνδυασµός των α, β. Αν α x γ x δ, β y γ y δ, έχουµε τα γραµµικά συστήµατα: x x ; x x y y y y που προφανώς είναι συµβιβαστά. Συνεπώς, span{ α, β } span{ γ, δ }. Αν γ α β, δ α β έχουµε : 0 ; που επαηθεύονται για 5, 5 και,. Συνεπώς, span{ γ, δ } span{ α, β }. Συνδυάζοντας τις σχέσεις των υποχώρων καταήγουµε στην ζητούµενη ισότητα. Άσκηση 5. Αν p ( t ) t t, p ( t ) t t, p ( t ) t, εξετάστε αν τα πουώνυµα p( t ) t t και q( t ) t t είναι διανύσµατα του υποχώρου span{ p ( t ), p ( t ), p ( t ) }. Λύση : Έστω π( τ ) α π ( τ ) β π ( τ ) γ π ( τ ). Εξισώνοντας τους συντεεστές των δυνάµεων του t έχουµε το γραµµικό σύστηµα:
Μαθηµατικά Ιβ Σείδα από 5 α β γ α β β γ που δεν είναι συµβιβαστό. Άρα, p( t ) span{ p ( t ), p ( t ), p ( t ) }. Αν q( t ) p ( t ) p ( t ) µ p ( t ), έχουµε : µ µ που έχει ύση c, c, µ c. Άρα, q( t ) span{ p ( t ), p ( t ), p ( t ) }. Άσκηση 5.5 Εξετάστε αν τα σύνοα των πινάκων: α β γ Ι., όπου α γ δ ε ζ α β γ ΙΙ., όπου α γ, β δ ζ δ ε ζ ΙΙΙ. 0 α β γ 0 είναι υπόχωροι του διανυσµατικού χώρου των πινάκων τύπου. Λύση : Θα εξετάσουµε σε κάθε σύνοο, αν οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός δύο οιονδήποτε στοιχείων του συνόου είναι στοιχείο του ίδιου συνόου. Για κάθε, έχουµε α β γ α β γ α α β β γ γ δ ε ζ δ ε ζ δ δ ε ε ζ ζ Ι. Επειδή α γ, α γ, για κάθε, έχουµε α α ( γ ) ( γ ) ( γ γ ) ( γ γ ). Άρα, το σύνοο αυτό δεν είναι διανυσµατικός υπόχωρος. ΙΙ. Επειδή α γ α γ, β δ ζ β δ ζ, έχουµε ( α α ) ( γ γ ) ( α γ ) ( α γ ) ( β β ) ( δ δ ) ( ζ ζ ) ( β δ ζ ) ( β δ ζ ). Το σύνοο αυτό των πινάκων είναι διανυσµατικός υπόχωρος.
Μαθηµατικά Ιβ Σείδα από 5 0 α 0 α 0 α α ΙΙΙ. β γ 0 β γ 0. β β γ γ 0 Επειδή για κάθε, δεν ισχύει η ισότητα, το σύνοο αυτό δεν είναι διανυσµατικός υπόχωρος. Άσκηση 5.6 Αν α, β, γ είναι γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα, συµβαίνει το ίδιο και για τα διανύσµατα α β, β γ και γ α ; Λύση : Από το γραµµικό συνδυασµό ( α β ) ( β γ ) µ( γ α ) ( µ )α ( )β ( µ )γ. Επειδή α, β, γ είναι γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα έχουµε το οµογενές σύστηµα { µ,, µ } που έχει ύση διάφορη του µηδέν. Άρα, τα διανύσµατα α β, β γ και γ α δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Άσκηση 5.7 Αν τα διανύσµατα α,, α ν, β,, β µ είναι βάση του Ε και α,, α ν, γ,, γ ρ είναι βάση του Ε, δείξτε ότι τα διανύσµατα α,, α ν, β,, β µ, γ,, γ ρ είναι βάση του Ε Ε. Λύση : Κάθε διάνυσµα x E είναι γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων α,, α ν, β,, β µ και κάθε διάνυσµα x E είναι γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων α,,α ν, γ,, γ ρ. Κατά συνέπεια τα διανύσµατα α,, α ν, β,, β µ, γ,, γ ρ είναι γεννήτορες των διανυσµάτων x x E E. Επειδή dime µ ν, dime ρ ν και dim( E E ) ν, σύµφωνα µε την Πρόταση. (σε. 9) είναι, dim( E E ) µ ρ ν και κατά συνέπεια τα διανύσµατα α,, α ν, β,, β µ, γ,, γ ρ είναι βάση του E E.
Μαθηµατικά Ιβ Σείδα 5 από 5 Άσκηση 5.8 Εξετάστε, αν είναι βάση του Π τα πουώνυµα: x x, x x, x, x x 5x. Λύση : Επειδή dimπ, θα εξετάσουµε αν τα τέσσερα πουώνυµα είναι γραµµικά ανεξάρτητα, για κάθε x. Από την γραµµική έκφραση ( x x ) ( x x ) ( x ) ( x x 5x ), έχουµε ( )x ( )x ( 5 )x. Η ισότητα αυτή πρέπει να ισχύει για κάθε x, δηαδή το πουώνυµο πρέπει να είναι εκ ταυτότητας µηδέν, και συνεπώς 5 Επειδή το οµογενές σύστηµα έχει µη µηδενική ύση,,, τα πουώνυµα δεν είναι βάση του Π. Άσκηση 5.9 Βρείτε µια βάση του Π που να περιέχει τα γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα x, x. Λύση : Τα µονώνυµα, x, x, x είναι βάση του Π. Αν θεωρήσουµε τον γραµµικό συνδυασµό ( x ) ( x ) x έχουµε όπως στην παραπάνω άσκηση το οµογενές σύστηµα που έχει µοναδική ύση. Κατά συνέπεια, τα πουώνυµα, x, x, x είναι βάση του Π.