1.8.1. Οµαλή Κκλική Κίνηση. Μ(,) j i j i. α Κ Σχήµα 5. = + Σχήµα 6. 2 2 2 = + Μ(, ) = στα. Μ(, )=Μ(,) Σχήµα 7. = σν = ηµ Όταν ένα κινητό διαγράφει τροχιά κκλική (περιφέρεια κύκλο ) και σε ίσος χρόνος διαγράφει ίσα τόξα τότε η κίνησή το ονοµάζεται οµαλή κκλική (Ο.Κ.Κ.). ια τον προσδιορισµό της εκάστοτε έσης το κινητού α µπορούσαµε να χρησιµοποιήσοµε καρτεσιανό σύστηµα σντεταγµένων (σχήµα 5.). Σ` αντίεση µε τις εύγραµµες κινήσεις, για την περιγραφή της έσης Μ το κινητού α πάρχον τώρα δύο εξαρτηµένες ως προς το χρόνο t µεταβλητές και, µε αποτέλεσµα τη δσκολία στη µελέτη της κίνησης. Παρατηρούµε ότι αν στην αρχή των αξόνων πάροµε το κέντρο της κκλικής τροχιάς σ` όλη τη διάρκεια της κίνησης το κινητό πο βρίσκεται πάνω στην περιφέρεια απέχει σνεχώς απόσταση σταερή από το. Σε κάε στιγµή α ι- σχύει : 2 2 2 = + 2 2 = + (σχήµα 6.) Ατό πο αλλάζει στην περίπτωση ατή είναι η γωνία πο σχηµατίζει το διάνσµα έσης το κινητού (ΟΜ= : σχήµα 7.) µε τον οριζόντιο άξονα (σχήµα 7.). Η γωνία ατή είναι προσανατολισµένη (έχει φορά ) πο σηµαίνει ότι για το σχη- µατισµό της ξεκινούµε από τον άξονα µε φορά αντίετη από τη φορά της κίνησης των δεικτών το ωρολογίο ( αριστερόστροφη ) και φάνοµε στο διάνσµα έσης ΟΜ. Το διάνσµα έσης ΟΜ ονο- µάζεται και επιβατική ακτίνα. Το σύστη- µα πο χρησιµοποιούµε τώρα για την περιγραφή της έσης το κινητού ονοµάζεται σύστηµα πολικών σντεταγµένων (,). ια την οµαλή κκλική κίνηση το είναι σταερό και ίσο µε την ακτίνα της κκλικής τροχιάς. Έτσι για τον προσδιορισµό της έσης το κινητού απαιτείται τώρα µόνο µία εξαρτηµένη από το χρόνο µεταβλητή : η γωνία. Η γωνία πο διαγράφει η επιβατική ακτίνα ΟΜ σε χρόνο ονοµάζεται γωνιακή µετατόπιση (σχήµα 8.).
t 2 B 2 1 A t 1 Σχήµα 8. ) Εδώ α πρέπει να ορίσοµε το µέτρο της γωνίας µε το λόγο όπο ) : το µήκος το τόξο πο αντιστοιχεί στη γωνία και : η ακτίνα το κύκλο (,). = (1) ) Μονάδα µέτρησης της γωνίας είναι το ένα (1) ακτίνιο (1ad) πο ορίζεται ως η γωνία πο έχει αντίστοιχο τόξο ) µέτρο ίσο µε την ακτίνα το κύκλο. Ο κύκλος έχει γωνία 36 ή 2π ad (2π=36 ) και µε βάση ατή τη σχέση µπορούµε να µετατρέψοµε οποιαδήποτε γωνία µετρηµένη µε µοίρες ( ) σε ακτίνια (ad) και αντίστοιχα. Έτσι γωνία π.χ. 9 είναι (π/2) ad ή 18» π ad. ραµµική ταχύτητα ( ) στην Ο.Κ.Κ. Το κινητό στην Ο.Κ.Κ. διαγράφει τόξα και σε παραλληλισµό µε τις εύγραµ µες κινήσεις ορίζοµε : γραµµική ταχύτητα το διανσµατικό µέγεος πο έχει µέτρο το µήκος το τόξο πο διαγράφει το κινητό σε χρόνο, προς το χρόνο ατό [ = (2) ], διεύνση εφαπτόµενη στην τροχιά και φορά τη φορά µε την t οποία το κινητό διαγράφει την κκλική τροχιά. Από τον ορισµό της Ο.Κ.Κ. (σε ίσος χρόνος διαγράφονται ίσα τόξα ) προκύπτει ότι το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας παραµένει πάντα σταερό (=στα.). Η γραµµική ταχύτητα ως διάνσµα µεταβάλλεται αφού σνεχώς αλλάζει η κατεύνσή της (σχήµα 9 ).
B Β 3 2 1 Σχήµα 9. A Α α στην Ο.Κ.Κ. Α Α Β Α = α // Β Α Σχήµα 1. Επιτάχνση Υπολογίζοµε τη µεταβολή της ταχύτητας (σχήµα 1) - = Β Α. Σε προηγούµενες παραγράφος ορίσαµε την επιτάχνση αως το ρµό µεταβολής της ταχύτητας ( α = ) µε κατεύνση της α ίδιας µε την κατεύνση της. Από τα παραπάνω σµπεραίνοµε ότι στην Ο.Κ.Κ. στο κινητό εµφανίζεται πάντα επιτάχνση µε κατεύνση την κατεύνση της. Στο σχήµα 1 έχοµε τα τρίγωνα ΑΟΒ και Ε τα οποία είναι όµοια (είναι ισοσκελή και ΑΟΒ= Ε ). Όταν ο χρόνος, στον οποίο έγινε η κίνηση από το Α στο Β, τείνει να γίνει µηδέν η γωνία = ΑΟΒ τείνει να γίνει κι ατή µηδέν. Όµως ΑΟΒ= Ε και έτσι και η Ε ) τείνει να γίνει µηδέν. Ατό σηµαίνει ότι στο τρίγωνο Ε α έχοµε : ) o o Ε + Ε + Ε = 18 Ε Ε ) o ) o ) ) Ε + 18 Ε = Ε = 2ϕ = 18 ϕ = 9 ϕ Η γωνία φ είναι η γωνία πο σχηµατίζεται µεταξύ των Α, και Β,. Ατό σηµαίνει ότι όταν ο χρόνος τείνει να γίνει µηδέν ( ) η. Από τον ορισµό της α προκύπτει ότι ατή έχει την κατεύνση της και έτσι έχοµε : α / / : η επιτάχνση έχει τη διεύνση της ακτίνας και α φορά προς το κέντρο το κύκλο και για το λόγο ατό ονοµάζεται κεντροµόλος επιτάχνση α κ. Το µέτρο της δίνεται από τη σχέση : ακ = (3) 2 Β Β φ Ε α ωνιακή ταχύτητα (ω) στην Ο.Κ.Κ. Το διάνσµα έσης ΟΑ (σχήµα 1) παρακολοεί την κίνηση το κινητού και όταν ατό διαγράφει τόξο ΑΒ= σε χρόνο το ΟΑ διαγράφει γωνία. Έτσι έ- χοµε κάποιο ρµό - ταχύτητα µεταβολής της γωνιακής µετατόπισης. Ορίζοµε
γωνιακή ταχύτητα ω στην Ο.Κ.Κ. την ταχύτητα µεταβολής της γωνιακής µετατόπισης : ω = (4) όπο : γωνιακή µετατόπιση σε χρόνο : χρόνος κίνησης ω : γωνιακή ταχύτητα. Μονάδα µέτρησης της είναι το 1ad, το χρόνο το 1ec και έτσι µονάδα µέτρησης της ω α είναι το 1ad/ec. Περίοδος ( Τ ) και σχνότητα ( ν ) στην Ο.Κ.Κ. Παρατηρώντας κάποια Ο.Κ.Κ. α διαπιστώσοµε ότι ατή επαναλαµβάνεται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήµατα (σε ίσος χρόνος διανύει ίσα τόξα). ια κάε Ο.Κ.Κ. απαιτείται ορισµένος χρόνος για να σµπληρωεί µια πλήρης περιστροφή. Το χρόνο ατό ονοµάζοµε Περίοδο Τ. Παρατηρώντας το δετερολεπτοδείκτη κάποιο ρολογιού βλέποµε ότι σ- µπληρώνει µια πλήρη περιστροφή σε χρόνο 6ec άρα για την κίνηση ατή έχοµε περίοδο Τ=6ec. Σνεχίζοντας την παρατήρηση της κίνησης ατής βλέποµε ότι πάντα σε µία (1) ώρα ο δετερολεπτοδείκτης σµπληρώνει 6 στροφές (6 κύκλος) και λέµε ότι για την κίνηση ατή έχοµε σχνότητα 6 κύκλος σε µία ώρα. Ονοµάζοµε σχνότητα ν τον αριµό των κύκλων - περιστροφών πο διαγράφει το κινητό σε χρόνο t προς το χρόνο ατό. ν= Ν (5) t Όταν t=t και Ν=1 από τη σχέση (5) α έχοµε : ν= 1 (6) ή Τ= 1 (7) Τ ν Μονάδες µέτρησης της σχνότητας ν είναι : 1κκλ./ec ή 1ccl/ec ή 1/ec=1ec -1 και ονοµάζεται 1Hz (1Χερτζ) 1Hz=1ec -1 =1ccl/ec Σχέσεις -Τ, ω-τ, -ν, ω-ν και ω- Από τη σχέση : = και όταν =T α είναι =2π (περιφέρεια κύκλο) έχοµε : Έχοντας τις σχέσεις (8) και (7) παίρνοµε τη σχέση -ν : 2π = T 2π 1 = = 1 T ν ν = 2π ν (9) Από τη σχέση (4) : ω= και όταν =T, =2π (γωνία πλήρος κύκλο ) έχοµε : π ω = 2 Τ (1) Από τις σχέσεις (1) και (7) έχοµε : π = 2 T (8)
2π ω = Τ 2π 1 ω = ω = 2πν = 1 (11) Τ ν ν Σγκρίνοντας τις σχέσεις (9) και (11) παίρνοµε : = 2πν πν ω ω= πν = ( 2 ) 2 ω= 2πν = (12) Παρατήρηση. Η γωνιακή ταχύτητα ω είναι διανσµατικό µέγεος. Το µέτρο της δίνεται από τη σχέση (4) - ω=. Η διεύνσή της είναι κάετη στο επίπεδο πο ορίζει η κκλική τροχιά το κινητού.η φορά της δίνεται από τον κανόνα το δεξιού χεριού : µε τα τέσσερα δάκτλα το δεξιού χεριού αγκαλιάζοµε την κκλική τροχιά έτσι ώστε οι άκρες των δακτύλων να δείχνον τη φορά της κίνησης τότε ο αντίχειρας δείχνει τη φορά της γωνιακής ταχύτητας ω. Σχήµα 11.