ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Εξετάσεις - 2-24 (Λύσεις) ) Βλήµα εκτοξεύεται κάθετα στην επιφάνεια του πλανήτη Άρη και αντίστοιχα σε αυτή του πλανήτη Αφροδίτη. Το ύψος που διανύει το ϐλήµα, s, σχετίζεται µε τον χρόνο, t, µε τις εξής εξισώσεις: s = 25t,885t 2 Άρης s = 25t 4,52t 2 Αφροδίτη Θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν ατµοσφαιρικές τριβές, ϐρείτε: () Επί πόσο χρόνο ϑα κινηθεί συνολικά το ϐλήµα σε κάθε έναν από τους 2 πλανήτες;(2) Ποιο το µέγιστο ύψος που ϑα ϕτάσει σε κάθε πλανήτη;(3) Βρείτε την επιτάχυνση ϐαρύτητας σε κάθε έναν από τους πλανήτες. Λύση:. Για να ϐρούµε το t max πρέπει να ϑέσουµε s = µιας και το ϐλήµα ϑα πάψει να κινείται όταν ξανακτυπήσει την επιφάνεια του πλανήτη. Εχουµε εποµένως: t(25,885t) = για τον Άρη t(25 4, 52t) = για τον Αφροδίτη Η µια λύση είναι η t = (που αντιστοιχεί στην αρχική στιγµή της εκτόξευσης) και η άλλη δίδεται από: t max,m = 25 = 32,636 sec Mars,885 t max,v = 25 = 55,3 sec Venus 4,52 2. Στο µέγιστο ύψος, s max, η ταχύτητα του ϐλήµατος µηδενίζεται: v = ds/ =. Εποµένως, ϑέτοντας v = ϐρίσκουµε τον χρόνο, µετά την εκτόξευση, που το ϐλήµα ϕτάνει στο µέγιστο ύψος. Οπότε: ds/ = 25 3,77t = = t smax,m = 25 = 66,33 sec Mars 3,77
ds/ = 25 9,4t = = t smax,v = 25 = 27,655 sec Venus 9,4 Για να ϐρούµε τώρα το µέγιστο ύψος, s max, ϑέτουµε στις αρχικές εξισώσεις τον χρόνοt smax και έχουµε: s max,m = 25t smax,m,885t 2 smax,m = 8289,25 meters s max,v = 25t smax,v 4,52t 2 smax,v 3. Η επιτάχυνση ϐαρύτητας ϐρίσκεται από: = 3456,858 meters g M = dv/ = d 2 s/ 2 = 3,77 meters/sec 2 g V = dv/ = d 2 s/ 2 = 9,4 meters/sec 2 2) Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα: I = I 2 = x(x 2 +) dx sin 2 xcos 3 xdx Λύση:. Το κλάσµα είναι καταχρηστικό, οπότε διαιρούµε τον αριθµητή µε τον παρανο- µαστή: x(x 2 +) = x3 x+ x2 +2 x 3 +x = x x3 x+ (x 2 +) + 2 x(x 2 +) Το τελευταίο κλάσµα το αναλύουµε σε µερικά κλάσµατα: Η αρχική συνάρτηση γράφεται τελικά: x(x 2 +) = A x + Bx+C x 2 + = x x x 2 + x(x 2 +) = x3 x+ x x 2 + + 2 x 2x x 2 + = x3 x+ 2 x x x 2 + και εποµένως έχουµε το ολοκλήρωµα: I = x 3 dx xdx+2 x dx x dx = x 2 + I = x4 4 x2 2 +2lnx+ 2 ln(x2 +)+C 2
2. I 2 = sin 2 x( sin 2 x)cosxdx = sin 2 xd(sinx) sin 4 x)d(sinx) = sin3 x 3 sin 2 x( sin 2 x)d(sinx) = sin5 x 5 +C 3) Ενα στερεό, σχήµατος µπωλ, παράγεται από την περιστροφή ως προς τον άξονα y της καµπύλης y = e x µε x [,5] (δηλαδή το σχετικό χωρίο περιγράφεται από την καµπύλη αυτή και ευθεία κάθετη στον άξονα περιστροφής). Αφού κάνετε το σχετικό σχήµα του προβλήµατος, ϐρείτε: () Την εξίσωση του όγκου του στερεού, (2) την τιµή του όγκου σε κυβικές µονάδες, και (3) εάν ϑεωρήστε το στερεό αυτό ως µια δεξαµενή νερού να ϐρείτε τον ϱυθµό ανόδου της στάθµης του νερού όταν το νερό έχει ϐάθος 4 µονάδες µήκους και γεµίζουµε την δεξαµενή µε σταθερό ϱυθµό 2 κυβικών µονάδων µήκους ανά δευτερόλεπτο (χρησιµοποιήστε συναφές ϱυθµό). Λύση: Ο όγκος του στερεού µπορεί να ϐρεθεί µε την µέθοδο των κυκλικών δίσκων, µε περιστροφή όµως γύρω από τον άξονα Oy. Οπότε γράφουµε: x = f(y) = lny µε y [,e 5 ]. Το χωρίο του σχετικού κυκλικού δίσκου (κάθετου στον άξονα περιστροφής) είναι: A(y) = πr 2 (y) µε R(y) την ακτίνα του, που δίδεται από την x = lny και y το ύψος του. Ο όγκος του στερεού δίδεται από την: V = e 5 A(y)dy = ] 5 e 5 π(lny) 2 dy Χρησιµοποιώντας τον προφανή µετασχηµατισµό k = lny = e k = y, έχουµε dy = e k dk, οπότε: e 5 5 [ (lny) 2 dy = k 2 e k dk = k 2 e k [ k 2 e k 2 ke k dk ] 5 2ke k dk = = [ e k (k 2 2k +2) ] 5 = 7e5 2 Άρα η εξίσωση του όγκου του στερεού δίνεται σαν συνάρτηση του ύψους, y, ως: V = πy [ (lny) 2 2lny +2 ] και έχει τιµή: π(7e 5 2) κυβικές µονάδες. Ο ϱυθµός µεταβολής του όγκου συναρτήσει του χρόνου είναι: dv = dv dy dy = d dy πy[ (lny) 2 2lny +2 ] = π(lny) 2dy 3
Ζητάµε τώρα να ϐρούµε το dy/ όταν y = 4. Λόγω του ότι dv/ = 2 έχουµε: π(ln4) 2dy = 2 = dy =.332 µονάδες µήκους ανά δευτερόλεπτο. 4) Να ϐρεθεί το απόλυτο µέγιστο και το απόλυτο ελάχιστο της συνάρτησης x /x. Λύση: Εστω ότι y = x /x και lny = lnx. ιαφοροποιώντας αυτό ως προς x έχουµε x dy ydx = d dx lny = d lnx dx x = x lnx x x 2 = lnx x 2 d dx x/x = x /x lnx x 2. Εφόσον lnx > για < x < e και lnx < για x > e η απόλυτη µέγιστη τιµή του x /x είναι όταν x = e και είναι η e /e. Απόλυτη ελάχιστη τιµή δεν υπάρχει. 5) Χρησιµοποιήστε το νόµο των ηµιτόνων για να υπολογίσετε το µήκος της πλευράς ενός ισόπλευρου n γώνου εγγεγραµένου σε µοναδιαίο κύκλο και στη συνέχεια υπολογίστε την περίµετρό του αν το n. Λύση: Η πλευρά τουnγωνου ϑα είναιa = και η γωνίαθ = 2π/n. Με ϐάση τα παραπάνω ϑα έχουµε c = 2 2cos(2π/n). Οταν η γωνία θ το cosθ θ 2 /2, συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η περίµετρος του πολυγώνου ϑα είναι (2π ) 2 L = nc = n = 2π. n (το πρόβληµα µπορεί να λυθεί και µε άλλους τρόπους). 6) Αν το n είναι ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός, δείξτε ότι t n e t = n! Λύση: Για n = ϑα έχουµε e t =!, ενώ για n > 4
t n e t = lim c c t n e t c = lim([ t n e t ] c +n t n e t ) c = n = n(n )! t n e t όπου το lim c [c n e c = αποδεικνύεται µε n επαναλήψεις του κανόνα l Hospital. 5