Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 4: Ανατοκισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες του ανατοκισμού, τις ιδιότητες δυνάμεων και των λογαρίθμων. 4
Περιεχόμενα ενότητας Ανατοκισμός. Ιδιότητες δυνάμεων. Λογάριθμοι. Σχετικά παραδείγματα-ασκήσεις. 5
Ανατοκισμός ή Σύνθετος τόκος Σύνθετος τόκο ή ανατοκισμό ονομάζουμε τον υπολογισμό του τόκου που βασίζεται στην κεφαλαιοποίηση του. Στη λήξη κάθε περιόδου ο τόκος προστίθεται στο κεφάλαιο παράγοντας μεγαλύτερης αξίας κεφάλαιο, το οποίο στη συνέχεια επανατοκίζεται για την επόμενη περίοδο και ούτω καθεξής. Η περίοδος ορίζεται από το επιτόκιο αναφοράς και αποτελεί το χρονικό διάστημα στο οποίο γίνεται η κεφαλαιοποίηση των τόκων. Το διάστημα αυτό μπορεί να είναι έτος, εξάμηνο, κτλ. Το επιτόκιο παραμένει σταθερό από περίοδο σε περίοδο και θα πρέπει να αναφέρεται στην αυτή χρονική περίοδο που αναφέρεται και η περίοδος ανατοκισμού. 6
Ανατοκισμός ή Σύνθετος τόκος: Απόδειξη Απόδειξη Σύμφωνα με τον τύπο υπολογισμού του απλού τόκου η τελική αξία κάθε περιόδου θα είναι ίση : K 1 =K 0 (1+i*1) = K 0 (1+i) K 2 =K 1 (1+i*1) = K 1 (1+i)...... K t =K t-1 (1+i*1) = K t-1 (1+i) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε: Κ 1 * Κ 2 * *Κ t = K 0 (1+i) * K 1 (1+i) * K t-1 (1+i) Κ 1 Κ 2 Κ t = Κ 0 Κ 1 Κ 2 Κ t-1 (1+i) n K t =K 0 *(1+i) t 7
Κ Χ *Κ Υ = Κ Χ+Υ (Κ 1 *Κ 2 ) Υ = Κ 2Χ *Κ Χ 2 Κ Χ / Κ Υ = Κ Χ-Υ (Κ Χ ) Υ = Κ Χ*Υ Κ 0 = 1 όταν Κ 0 Ιδιότητες Δυνάμεων Κ Χ >0 αν Κ >0 και Κ 1 για κάθε χ ανήκει στο R, εάν Κ=1, τότε 1 0Χ = 1 για κάθε χ ανήκει στο R Όπου χ και y ακέραιοι και y>0, επίσης k>0. Συνέπεια της παραπάνω ιδιότητας είναι και η σχέση Κ Χ = Κ 1 Χ 8
Ορισμός λογαρίθμου Επίσης, λογάριθμο του Κ με βάση το y, δηλαδή log y K, ονομάζουμε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει η σχέση y x = K, όπου y > 0, y 1 και K > 0, Συνεπώς, ισχύει η ισοδυναμία: Log y K = x y x = K y LogyK = K Όταν y = 10, τότε έχουμε τον δεκαδικό λογάριθμο, ενώ όταν η βάση y είναι ίση με e τότε έχουμε τον νεπέριο λογάριθμο που συνήθως γράφεται ως lnk. Οι νεπέρειοι λογάριθμοι ονομάζονται και φυσικοί λογάριθμοι. 9
Ιδιότητες λογαρίθμων (1) Ο λογάριθμος του γινομένου δύο ή και περισσοτέρων θετικών αριθμών ως προς την ίδια βάση y είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων αυτών των αριθμών. "K 1, K 2 R + και y>0, y 1 τότε log y (K 1 K 2 ) = log y K 1 + log y K 2 O λογάριθμος του 1 είναι ίσος με 0. Log1=0 O λογάριθμος της βάσης είναι ίσος με 1. Log 10 10 = 1 ή lne = 1 Ο λογάριθμος του πηλίκου δύο θετικών αριθμών ως προς την ίδια βάση y είναι ίσος με τη διαφορά των λογαρίθμων αυτών των αριθμών. "K 1, K 2 R + και y>0, y 1 τότε Log y (K 1 / K 2 ) = Log y K 1 - Log y K 2 10
Ιδιότητες λογαρίθμων (2) Ο λογάριθμος μιας δύναμης ενός θετικού αριθμού ως προς μια βάση y είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη της δύναμης x επί τον λογάριθμο της βάσης της δύναμης. "K 1, K 2 R + και y>0, y 1 τότε Log y K x = x*log y K 11
Ιδιότητες λογαρίθμων (3) Να σημειωθεί επίσης ότι η σχέση ln (Κ 1 + Κ 2 ) = ln Κ 1 + ln Κ 2 είναι λάθος, δηλαδή ln (Κ 1 + Κ 2 ) ln Κ 1 + ln Κ 2 O λογάριθμος είναι κατ ουσία εκθέτης συνεπώς, ln (Κ 1 + Κ 2 ) θα πρέπει να είναι εκθέτης του e για να πάρουμε το Κ 1 + Κ 2. Για παράδειγμα, a= ln (Κ 1 + Κ 2 ) e a = e ln (Κ1 + Κ2) a= Κ 1 + Κ 2 12
Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 2.000 μετά 10 έτη και με ισχύον επιτόκιο 5%. Λύση K t =K 0 * (1+i) t K 10 =2.000 * (1+0,05) 10 = 2.000 * (1,05) 10 = 3.257,79 13
Παράδειγμα 2 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 5.000 μετά 5,5 έτη και με ισχύον επιτόκιο 10% το εξάμηνο. Λύση Όταν δεν αναφέρεται η περίοδο ανατοκισμού τότε η περίοδος θεωρείται ότι είναι το έτος. Στην προκειμένη περίπτωση το επιτόκιο είναι εξαμηνιαίο συνεπώς η περίοδος ανατοκισμού είναι το εξάμηνο και θα πρέπει να προηγηθεί ο υπολογισμός του αριθμού των εξαμήνων για να εφαρμοστεί ο σχετικός τύπος. 5,5 έτη= (5,5*2) 11 εξάμηνα. K t =K 0 * (1+i) t K 11 =5.000 * (1+0,10) 11 = 5.000 * (1,10) 11 = 14.265,58 14
Παράδειγμα 3 Ποια η παρούσα αξία 1.000 ευρώ τα οποία θα ληφθούν σε ένα έτος από σήμερα. Το ισχύον επιτόκιο της αγοράς είναι 15 %. Λύση K 0 = K t / (1+i) t K 0 = K 1 / (1+i) 1 =1.000 * (1,15) = 869,56 Δηλαδή τα 1.000 ευρώ του επόμενο έτους έχουν αξία 869,56 σήμερα. 15
Παράδειγμα 4 (1) Κρατικό ομόλογο (επενδυτικός τίτλος χρέους) πληρώνει 10.000 ευρώ σε 25 έτη. Ο εκδότης του ομολόγου, το Ελληνικό κράτος, δεν υποχρεούται στη συγκεκριμένη έκδοση να καταβάλλει στον κάτοχο του ομολόγου (δανειστή) τόκους σε τακτά χρονικά διαστήματα αλλά κατά την ημερομηνία λήξης του ομολόγου οφείλει να επιστρέψει στον κάτοχό την ονομαστική του αξία του ομολόγου (ομόλογα μηδενικού τοκομεριδίου). Να βρεθεί η παρούσα αξία του ομολόγου (αξία αγοράς) και ο τόκος που υπόσχεται, όταν το επιτόκιο της αγοράς είναι 7 %. 16
Παράδειγμα 4 (2) Λύση Η παρούσα αξία του ομολόγου υπολογίζεται με την προεξόφληση της ονομαστικής αξίας, δηλαδή: K 0 =K t / (1+i) t = 10.000 / (1+0,07) 25 = 10.000 / 5.4274 = 1.842,5 Ο τόκος του ομολόγου είναι η διαφορά της ονομαστικής αξίας με την παρούσα αξία, δηλαδή: K t K 0 = 10.000-1.842,5 = 8.157,5 ευρώ τόκος 17
Παράδειγμα 5 (1) Επιχειρηματίας οφείλει 20.000 ευρώ σε πιστωτικό τίτλο (συναλλαγματική) που λήγει σε ένα έτος από σήμερα. Εκμεταλλευόμενος την υπάρχουσα ρευστότητα της επιχείρησης επιθυμεί να καταβάλλει σήμερα 5.000 ευρώ, μετά 3 μήνες άλλα 5.000 ευρώ και να εξοφλήσει το υπόλοιπο του χρέους 2 μήνες πριν από τη λήξη του. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει για το υπόλοιπο του χρέους όταν το ισχύον επιτόκιο της αγοράς είναι 12%. 18
Παράδειγμα 5 (2) Λύση Πίνακας 1. Λύση Παραδείγματος 5 Τα 20.000 ευρώ του χρέους θα πρέπει να είναι ίσα με το ποσό τον 5.000 ευρώ, που θα καταβληθεί σήμερα. συν τις 5.000 ευρώ, που θα καταβληθούν σε 3 μήνες από σήμερα. συν το άγνωστο ποσό Κ 12, που θα καταβληθεί μετά 10 μήνες. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να ληφθεί υπόψη το ισχύον επιτόκιο της αγοράς. Εφόσον το ετήσιο επιτόκιο είναι 12% το μηνιαίο αντίστοιχα θα είναι 1% (0,12/12μήνες). 19
Παράδειγμα 5 (3) Κ 0 + Κ 3 (1+i) 3 + Κ 10 (1+i) 10 + Κ 12 (1+i) 12 5.000 +5.000 (1,01) 3 + Κ 10 (1,01) 10 = 20.000 (1,01) 12 5.000 + 4.852,95 + 1 (1,01) 10 * Κ 10 = 17.749 0,905*Κ 10 = 17.749 5.000-4.583 Κ 10 = 7.896 / 0,905 = 8725 20
Παράδειγμα 5 (4) Συνεπώς, ο επιχειρηματίας θα πρέπει να καταβάλει 8.725 ευρώ μετά από 10 μήνες για να εξοφλήσει το χρέος του. Τα πιστωτικά ιδρύματα σε ορισμένες περιπτώσεις προεξοφλούν με μικρότερο επιτόκιο από αυτό που αρχικώς χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της μελλοντικής αξίας του χρέους. Με αποτέλεσμα να εισπράττουν ακόμη μεγαλύτερες αξίες. Σημειωτέον, το επιτόκιο βρίσκεται στον παρονομαστή του κλάσματος και επομένως όσο μειώνεται το επιτόκιο τόσο θα αυξάνεται η σχετική αξία. 21
Βιβλιογραφία Σαριαννίδης, Ν. & Μποντζίδου, Ε. (2010). Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-0-0. Σόρμας, Α. & Σαριαννίδης, Ν. (2010). Οικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-2-4. 22