Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 2 Εφαρμογές ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Απόδειξη της λογικής συνέπειας Page 3 Για να αποδείξουμε ότι από ένα σύνολο Δ συνεπάγεται μια κλειστή πρόταση φ, μετατρέπουμε το Δ { φ} σε προτασιακή μορφή και προσπαθούμε να καταλήξουμε στην κενή πρόταση. Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Page 4 Δείξτε ότι από το (π(χ) ρ(χ)) και το π(α) συνεπάγεται λογικά το Ζ.ρ(Ζ). 1. { π(χ), ρ(χ)} Υπόθεση 2. {π(α)} Υπόθεση 3. { ρ(ζ)} Στόχος 4. { π(ζ)} 1,3 5. {} 2,4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Εναλλακτική μέθοδος Page 5 Για να αποδείξουμε ότι από ένα σύνολο Δ συνεπάγεται μια κλειστή πρόταση φ, μετατρέπουμε το Δ {φ goal} σε προτασιακή μορφή και προσπαθούμε να καταλήξουμε στην κενή πρόταση. Διότι: Η πρόταση (φ goal) είναι ισοδύναμη με την πρόταση ( φ goal) Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Δείξτε ότι από το (π(χ) ρ(χ)) και το π(α) συνεπάγεται λογικά υο Ζ.ρ(Ζ). Page 6 1. { π(χ), ρ(χ)} Υπόθεση 2. {π(α)} Υπόθεση 3. { ρ(ζ), goal} Στόχος 4. { π(ζ), goal} 1,3 5. {goal} 2,4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Μέθοδος Εξαγωγής Απαντήσεων Page 7 Για να αποδείξουμε ότι από ένα σύνολο Δ συνεπάγεται μια κλειστή πρόταση φ με ελεύθερες μεταβλητές Χ1, Χ2,...Χν, μετατρέπουμε το Δ {φ goal(χ1, Χ2,...Χν)} σε προτασιακή μορφή και προσπαθούμε να καταλήξουμε στην κενή πρόταση. Διότι: Η πρόταση (φ(χ1, Χ2,...Χν) goal(χ1, Χ2,...Χν)) εκφράζει ότι οποιαδήποτε (Χ1, Χ2,...Χν) ικανοποιούν τη φ θα ικανοποιούν και το goal. Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Δεδομένου του (π(χ) ρ(χ)) και του π(α) να βρεθεί το Ζ που επαληθεύει το ρ(ζ). Page 8 1. { π(χ), ρ(χ)} Υπόθεση 2. {π(α)} Υπόθεση 3. { ρ(ζ), goal(ζ)} Στόχος 4. { π(ζ), goal(ζ)} 1,3 5. {goal(α)} 2,4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Δεδομένου του (π(χ) ρ(χ)) του π(α) και του π(β) να βρεθεί το Ζ που επαληθεύει το ρ(ζ). Page 9 1. { π(χ), ρ(χ)} Υπόθεση 2. {π(α)} Υπόθεση 3. {π(β)} Υπόθεση 4. { ρ(ζ), goal(ζ)} Στόχος 5. { π(ζ), goal(ζ)} 1,4 6. {goal(α)} 2,5 7. {goal(β)} 3,5 Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Δεδομένου του (π(χ) ρ(χ)) του π(α) π(β) να βρεθεί το Ζ που επαληθεύει το ρ(ζ). Page 10 1. { π(χ), ρ(χ)} Υπόθεση 2. {π(α), π(β)} Υπόθεση 3. { ρ(ζ), goal(ζ)} Στόχος 4. { π(ζ), goal(ζ)} 1,3 5. {π(β), goal(α)} 2,4 6. {goal(a), goal(β)} 4,5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Συγγένεια Ο Κώστας είναι γονέας του Νίκου και της Νίνας. Ο Νίκος είναι ο γονέας του Γιώργου και του Γρηγόρη Ένας παππούς/γιαγιά είναι ο γονέας του γονέα. Page 11 γ(κωστας, νικος) γ(κωστας, νινα) γ(νικος, γιωργος) γ(νικος, γρηγορη) γ(χ,υ) γ(υ,ζ) π_γ(χ,ζ) Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Είναι ο Κώστας παππούς του Γιώργου? 1. { γ(κωστας, νικος)} 2. {γ(κωστας, νινα)} 3. {γ(νικος, γιωργος)} 4. {γ(νικος, γρηγορη)} 5. { γ(χ,υ), γ(υ,ζ), π_γ(χ,ζ)} 6. { π_γ(κωστας,γιωργος), goal} π_γ(κωστας,γιωργος) goal 7. { γ(κωστας,υ), γ(υ,γιωργος), goal} 5,6 8. { γ(νικος,γιωργος), goal} 1,7 9. {goal} 4,8 Page 12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ποιός είναι ο παπούς του Γιώργου? Page 13 1. { γ(κωστας, νικος)} 2. {γ(κωστας, νινα)} 3. {γ(νικος, γιωργος)} 4. {γ(νικος, γρηγορη)} 5. { γ(χ,υ), γ(υ,ζ), π_γ(χ,ζ)} 6. { π_γ(χ,γιωργος), goal(χ)} π_γ(χ,γιωργος) goal(χ) 7. { γ(χ,υ), γ(υ,γιωργος), goal(χ)} 5,6 8. { γ(νικος,γιωργος), goal(κωστας)} 1,7 9. {goal(κωστας)} 4,8 Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ποια είναι τα εγγόνια του Κώστα? 1. { γ(κωστας, νικος)} 2. {γ(κωστας, νινα)} 3. {γ(νικος, γιωργος)} 4. {γ(νικος, γρηγορης)} 5. { γ(χ,υ), γ(υ,ζ), π_γ(χ,ζ)} 6. { π_γ(κωστας,χ), goal(χ)} π_γ(κωστας,χ) goal(χ) 7. { γ(κωστας,υ), γ(υ,χ), goal(χ)} 5,6 8. { γ(νικος,χ), goal(χ)} 1,7 9. { γ(νινα,χ), goal(χ)} 2,7 10. {goal(γιωργος)} 3,8 11. {goal(γρηγόρης)} 4,8 Page 14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ανθρωποι και τα εγγόνια τους 1.{ γ(κωστας, νικος)} 2.{γ(κωστας, νινα)} 3.{γ(νικος, γιωργος)} 4.{γ(νικος, γρηγορης)} 5. { γ(χ,υ), γ(υ,ζ), π_γ(χ,ζ)} 6. { π_γ(w,u), goal(w,u)} π_γ(w,u) goal(w,u) 7. { γ(x,υ), γ(υ,χ), goal(χ,z)} 5,6 8. { γ(νικος,χ), goal(κωστας,ζ)} 1,7 9. { γ(νινα,χ), goal(κωστας,ζ)} 2,7 10. {goal(κωστας, γιωργος)} 3,8 11. {goal(κωστας, γρηγόρης)} 4,8 Page 15 Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Χρωματισμός Χαρτών Αποφασίστε για το χρώμα των περιοχών του ακόλουθου χάρτη, χρησιμοποιώντας 4 χρώματα (κόκινο, πράσινο, μπλέ και μωβ), έτσι ώστε να μην υπάρχουν γειτονικές περιοχές που έχουν το ίδιο χρώμα. Page 16 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Υπόλοιπο Πρόβλημα: Δεδομένης της ακόλουθης βάσης δεδομένων, να βρεθούν οι συνθήκες (βάση των σχέσεων m,n,o) υπό τις οποίες το s(x) θα είναι αληθές. Page 17 p(x) q(x) s(x) m(x) p(x) n(x) q(x) o(x) r(x) Υπόλοιπο Δηλαδή m(x) n(x) m(x) n(x) s(x) Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Μέθοδος εύρεσης του υπολοίπου Για την εύρεση του υπολοίπου για την φ, δεδομένου του Δ, με βάση τις σχέσεις ρ1,ρ2,...ρν, μετατρέψατε τις προτάσεις στο Δ { φ} σε προτασιακή μορφή και παράξτε μια πρόταση με σταθερές που περιορίζονται στις ρ1,ρ2,...ρν. Page 18 Το υπόλοιπο είναι η άρνηση των προτάσεων που παρήχθησαν. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα 1. { p(x), q(x), s(x)} p(x) q(x) s(x) 2. { m(x), p(x)} m(x) p(x) 3. { n(x), q(x)} n(x) q(x) 4. { o(x), r(x)} o(x) r(x) 5. { s(x)} s(x) 6. { p(x), q(x)} 1,5 7. { m(x), q(x)} 2,6 8. { m(x), n(x)} 3,7 Page 19 Άρνηση της { m(x), n(x)} : m(x) n(x) Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πολλαπλά Υπόλοιπα 1. { p(x), q(x), s(x)} p(x) q(x) s(x) 2. { r(x), s(x)} r(x) s(x) 3. { m(x), p(x)} m(x) p(x) 4. { n(x), q(x)} n(x) q(x) 5. { o(x), r(x)} o(x) r(x) 6. { s(x)} s(x) 7. { p(x), q(x)} 1,6 8. { m(x), q(x)} 3,7 9. { m(x), n(x)} 4,8 10. { r(x)} 2,6 Page 20 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Εφαρμογή στις Βάσεις Δεδομένων 1. γ(κωστας, νικος) 2. γ(κωστας, νινα) 3. γ(ντινα, νικος) 4. γ(ντινα, νινα) 5. γ(νικος, γιωργος) 6. γ(νικος, γρηγορης) 7. γ(εμυ, γιωργος) 8. γ(εμυ, γρηγορης) 9. α(κωστας) 10. α(νικος) 11. α(γιωργος) 12. α(γρηγορης) 13. θ(ντινα) 14. θ(εμυ) Page 21 Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Όψεις Βάσεων Δεδομένων Πατέρας: γ(χ,υ) α(χ) π(χ,υ) Μητέρα: γ(χ,υ) θ(χ) μ(χ,υ) Page 22 Παπούς: π(χ,υ) γ(υ,ζ) ππ(χ,ζ) Γιαγια: μ(χ,υ) γ(υ,ζ) γγ(χ,ζ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σχεδιασμός Ερωτήσεων Ερώτηση: ππ(y,u) Σχέσεις: α, θ, γ Page 23 1. { γ(χ,υ), α(χ), π(χ,υ)} γ(χ,υ) α(χ) π(χ,υ) 2. { γ(χ,υ), θ(χ), μ(χ,υ)} γ(χ,υ) θ(χ) μ(χ,υ) 3. { π(χ,υ), γ(υ,ζ), ππ(χ,ζ)} π(χ,υ) γ(υ,ζ) ππ(χ,ζ) 4. { μ(χ,υ), γ(υ,ζ), γγ(χ,ζ)} μ(χ,υ) γ(υ,ζ) γγ(χ,ζ) 5. { ππ(y,u)} ππ(y,u) 6. { π(χ,υ), γ(υ,ζ)} 3,5 7. { γ(χ,υ), α(χ), γ(υ,ζ)} 1,6 Επαναδιατύπωση του ερωτήματος: γ(χ,υ) α(χ) γ(υ,ζ) Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Βελτιστοποίηση Ερωτημάτων Μη βελτιστοποιημένα ερωτήματα Βελτιστοποίηση Page 24 γ(χ,υ) γ(υ,ζ) γ(υ,ζ) Οχι π(χ,υ) γ(υ,ζ) γ(χ,υ) π(χ,υ) γ(υ,ζ) π(χ,υ) μ(χ,υ) γ(χ,υ) γ(χ,υ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Περιορισμοί Η γονικότητα είναι αντισυμμετρική Page 25 γ(χ,υ) γ(υ,χ) Οι πατέρες είναι γονείς π(χ,υ) γ(χ,υ) Οι μητέρες είναι γονείς π(χ,υ) γ(χ,υ) Γεώργιος Βούρος