ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Crativ Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Κατανόηση των εννοιών της πολυδιάστατης πιθανότητας ώστε να γίνει κατανοητή η θεωρητική προσέγγιση της απλής πολλαπλής παλινδρόμησης που θα ακολουθήσει. 4
Περιεχόμενα ενότητας Πολυδιάστατες μεταβλητές Διακριτές δισδιάστατες μεταβλητές Συνεχείς δισδιάστατες μεταβλητές 5
Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Πολλά στοχαστικά φαινόμενα απαιτούν για τη περιγραφή τους περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά μελέτη σεισμικότητας περιοχής τετραγωνικά κατοικίας οικογένειας διάρκεια ζωής εξαρτήματος μετρήσεις σε περισσότερα σημεία εισόδημα, πλήθος μελών οικογένειας, μορφωτικό επίπεδο υγρασία, θερμοκρασία, κατασκευαστής, τρόποι λειτουργίας μελέτη ζήτησης προϊόντος φύλλο αγοραστού, τιμή, συσκευασία
n - διάστατη περίπτωση s S ( s n ( S Συμβολισμός :,,, ( n ( s n + + + R R R S R n μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές
Δισδιάστατη περίπτωση S R ( s (, s, S ( s
A { } A S s S n n A n n A < < n n n A ( ( A s P A P n,, ( Υπολογισμός πιθανοτήτων στο χώρο Rn
Η έννοια της από κοινού συνάρτησης κατανομής αποτελεί άμεση επέκταση της αντίστοιχης της μονοδιάστατης περίπτωσης F ( F (,,, n P n ( n ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ α F(,,,,, i Διδιάστατη περίπτωση i ( n,, + n βέβαιο γεγονός F(,,,,,, i i + n δηλ. συρρίκνωση κατά μια διάσταση Από κοινού (αθροιστική συνάρτηση κατανομής F (,,,
β F (,,,,,,, i i + n αδύνατο γεγονός γ F ( μη φθίνουσα με F ( Διακριτές μεταβλητές Η Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας (,, διακριτού τύπου.,, Παράδειγμα n (, n όπου : :, 3, 5 λέγεται μεταβλητή διακριτού τύπου αν οι είναι :, 4 υπάρχουν 6 διανύσματα j : (,, (, 4, ( 3,, ( 3, 4, ( 5,, ( 5, 4
( ( (,,, P n για όλα τα j P (, j, n j n P ( j για όλα τα j ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Σε αναλογία με τη μονοδιάστατη περίπτωση ισχύει : α ( β ( j ( j γ F ( ( j ( j
Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Η Χ καλείται συνεχής, αν οι μεταβλητές Χ,Χ,,Χ n είναι συνεχείς.,,, n P ( [, + d ( (,, n ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ α ( n F ( n ] n [ n, n + dn] + + + β (,,, d n d n γ F n φορές n ( ( u,, un du dun
Διδιάστατη περίπτωση : ( b P Χ < α ( < dv du v u d c d c b a, ( ( ( ( c a F d a F c b F d b F,,,, +
Παράδειγμα Παράδειγμα Ρίχνουμε ένα νόμισμα 4 φορές και έστω : Χ :δοκιμή που πρωτοεμφανίστηκε κεφαλή, Υ: πλήθος εμφάνισης κεφαλής Να βρεθεί η από κοινού συνάρτηση κατανομής και πυκνότητας S (, Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ K (, ( 4, 4 6 Γ Γ K Γ Γ K Γ Γ (3, (, 3 3 6 6 K Γ Γ Γ Γ Γ Κ Κ (, (3, 3 6 6 6 Γ K Γ Κ K Γ Γ Κ (, (, 6 6 6 6 Γ Κ Κ Γ K Γ Κ Γ K K Γ Γ Γ K Κ Κ K Γ Κ Κ K K Γ Κ K K K Γ K K K K (, (, (, (, 3 (, 3 (, 3 (, 3 (, 4 6 P ( s 3 4 διανύσματα με μη μηδενικές πιθανότητες Διαφορετικά s S οδηγούν στο ίδιο 6 ; δειγματοχώρος περιέχει 4 6 δειγματοσημεία
(, P ( ( i j ( (, P ( i j όπου οι τιμές για τα μη μηδενικά διανύσματα δίνονται στο σχήμα. Η δίνεται μέσω : F ( F ( F, ( ( j ( j π.χ. F (, P ( ( (, (, i j j (, + (, + (, 3 6 6 6 6
Περιθωριακές και δεσμευμένες συναρτήσεις κατανομής & πυκνότητας Περιθωριακές συναρτήσεις Περιθωριακές συναρτήσεις καλούνται οι συναρτήσεις ενός υποσυνόλου των,,, μεταβλητών ( n 3 5 ( 3 5 Έτσι, είναι η περιθωριακή συνάρτηση πυκνότητας των μεταβλητών συνάρτηση κατανομής., και F (, 3, 5 3, Διδιάστατη περίπτωση : (, ( (, ( j ( (, ( i i i j j 5 3 5 η αντίστοιχη περιθωριακή Προφανώς στη διδιάστατη περίπτωση οι περιθωριακές ισούνται με τις μονο-διάστατες συναρτήσεις των Χ και Υ
Παράδειγμα (συνέχεια Να βρεθούν οι περιθωριακές συναρτήσεις του προηγούμενου παρα-δείγματος. \ 3 4 ( 6 6 6 6 6 6 4 6 3 6 6 6 6 6 3 3 6 6 4 6 4 6 6 ( 6 8 6 4 6 6 6 6 6 P ( (, ( 4 i i (, + (, + (, + (,3 + (,4 (, 3 6 P ( 8 6 6 3 6 3 6 6
Δεδομένου ότι : ( ( ( / P P P ( / (, ( ( ( ( / P P P ( / (, ( και δεσμευμένες συναρτήσεις πυκνότητας στη διδιάστατη περίπτωση Γενίκευση για n μεταβλητές άμεση / ( / ( Παράδειγμα (συνέχεια
Παράδειγμα (συνέχεια Να βρεθούν οι δεσμευμένες συναρτήσεις του προηγούμενου παραδείγματος \ 3 4 ( / 6 - - - - /6 - / 6 / 6 / 6 / 6 4/6-3 / 6 / 6 / 6-6/6 3-3 / 6 / 6 - - 4/6 4 - / 6 - - - /6 ( /6 8/6 4/6 /6 /6 \ 3 4 - - - - - / 4 / 4 / 4 / 4-3 / 6 / 6 / 6-3 - 3 / 4 / 4 - - 4 - - - - \ 3 4 - - - - - / 8 / 8 / 8 / 8-3 / 8 / 4 / - 3-3 / 8 / 4 - - 4 - / 8 - - - ( / (, ( ( / (, (
Περιθωριακές και δεσμευμένες συναρτήσεις πυκνότητας [ Διδιάστατη περίπτωση ] + + ( (, d και ( (, d περιθωριακές (, ( ( και ( (, ( δεσμευμένες
( ( α ( α ( d επιφάνεια (, d (, d Τα διάφορα μεγέθη ερμηνεύονται γεωμετρικά στο παραπάνω σχήμα ( α, εμβαδό + ( α, d ( α εμβαδό + (, d d ( d
Παράδειγμα Παράδειγμα Η διδιάστατη τυχαία μεταβλητή (Χ,Υ έχει πεδίο τιμών την περιοχή, με συνάρτηση πυκνότητας (, α. Να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς α. Να υπολογιστεί η πιθανότητα P ( > 3. Να βρεθούν οι περιθωριακές και δεσμευμένες κατανομές 4. Να υπολογιστεί η πιθανότητα 5. Να υπολογιστεί η πιθανότητα 6. Να υπολογιστεί η πιθανότητα 7. Να υπολογιστεί η πιθανότητα 8. Να υπολογιστεί η πιθανότητα P ( P ( / P ( / P ( P (
. Η συνθήκη : δίνει μας, ( + + d d d d d d α α α α Επομένως α και (,. Το γεγονός συμβαίνει όταν το σημείο βρίσκεται στη γραμμοσκιασμένη περιοχή παραπλεύρως. Η πιθανότητά του είναι : { } >, ( > d d P, ( ( d d, ( d d > Λύση
3 3 d d d Παρατηρείται ότι τα γεγονότα και διαφέρουν μόνο ως προς την ευθεία. Εφόσον όμως πρόκειται για συνεχείς κατανομές η ευθεία έχει μηδενική πιθανότητα (μηδενικό όγκο και έτσι οι πιθανότητες των δύο γεγονότων είναι ίδιες. { } { } > ( ( d d d +, ( ( d d d, + είναι οι περιθωριακές συναρτήσεις πυκνότητας της Χ και Υ αντίστοιχα. 3. Λύση
Λύση Οι δεσμευμένες συναρτήσεις πυκνότητας είναι : ( / (, ( και ( / (, ( Παρατήρηση : Γενικά η συνάρτηση ( / εξαρτάται και από την. Ομοίως η συνάρτηση ( / εξαρτάται και από τη. 4. Η από κοινού συνάρτηση κατανομής είναι : F (, ( u v u, v dudv du dv u du v dv Η πιθανότητα του γεγονότος { } βρίσκεται π.χ. με τη σχέση
P ( P ( / ( P ( F (, { } 5. Κανονικά η πιθανότητα του γεγονότος είναι μηδενική, αλλά όπως ξέρουμε αυτό δε σημαίνει αδύνατο γεγονός. P ( / Υποθέτοντας λοιπόν Υ η ζητούμενη πιθανότητα δίνεται με ολοκλήρωση της δεσμευμένης συνάρτησης πυκνότητας ( / στο διάστημα (,. Επομένως : d P( ( / d 6. O τύπος για τη δεσμευμένη πιθανότητα μας δίνει : Λύση P ( / P( P ( (, ( d d d d d d d
7. Έχουμε με α, b, c και d, για τη ζητούμενη πιθανότητα ( ( ( ( +,,,, ( F F F F P ( ( ( ( 5 4 4 + 5 4 + ( ( ( (. 8 + P P P P 5 5 4 5 + + d d Λύση
Α Ν Ε Ξ Α Ρ Τ Η Σ Ι Α Ανεξάρτητες Μεταβλητές Οι τυχαίες μεταβλητές,, n καλούνται ανεξάρτητες αν : P ( B P B P ( n B n B n ( n όπου B,, B n οπιαδήποτε υποσύνολα του R. Αναγκαία και ικανή συνθήκη της ανεξαρτησίας είναι : F ( F ( F ( F ( n ή ισοδύναμα ( ( ( ( n Στη περίπτωση ανεξαρτησίας έχουμε : περιθωριακές συναρτήσεις δεσμευμένες συναρτήσεις
Παράδειγμα Η διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή (Χ, Υ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στη περιοχή, που περιβάλλεται από τις καμπύλες και. Να εξεταστεί αν οι μεταβλητές Χ, Υ είναι ανεξάρτητες. Το πεδίο τιμών της (, είναι η περιοχή Α του διπλανού σχήματος με εμβαδόν : E d d (, E 3 d στη 3 περιοχή Α A Για τις περιθώριες συναρτήσεις έχουμε : + ( (, d d, + 3 3 ( (, d d (, 3 3 Εξηρτημένες
Ροπές Κεντρικές Ροπές Βασικά χαρακτηριστικά πολυδιάστατων μεταβλητών κ κ κ n Ροπές E { n } κ n { } κ Κεντρικές Ροπές E ( µ ( µ ν Παραδείγματα για ροπές στη διδιάστατη περίπτωση, δηλ. : E{ } κ Υ n n ( κ, ν Ε{ Χ} µ ( d d + + Χ, ( κ, ν Ε{ } µ (, d d + + + + ( κ, ν Ε { } µ (, d d
Κεντρικές ροπές στη διδιάστατη περίπτωση Παραδείγματα για κεντρικές ροπές στη διδιάστατη περίπτωση : ( µ ν E κ Υ µ ( κ, ν ή ( κ, ν κεντρική ροπή {( µ } σ ( κ, ν E {( µ } σ ( κ, ν E {( µ ( } ( κ, ν E µ E {( } E { } E { } µ µ µ σ Συντελεστής Συσχέτισης : Συνδιασπορά ρ όπου σ σ σ ρ Αν Χ, Υ ανεξάρτητες και είναι. ρ σ
Για τη διδιάστατη μεταβλητή με πυκνότητα (,, που μελετήσαμε ήδη έχουμε :, ( ( + + d d d d E, 4 ( + d d E ( + d d E οπότε η συνδιασπορά και επομένως και ο συντελεστής συσχέτισης μηδενίζονται. ( ( ( Υ Ε Χ Ε Υ Χ Ε σ ΧΥ Παράδειγμα
Αν δύο μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, τότε τα μεγέθη : μηδενίζονται Έχουμε : E + σ και { } (, d d ( d ( d + Παράδειγμα ρ + ( ( { } + E E { } σ { } E { } E { } E { } E{ } αν Χ, Υ ανεξάρτητες E ρ σ σ σ Α ν ε ξ ά ρ τ η τ ε ς ρ
Παράδειγμα Ισχύει : ρ συντελεστής συσχέτισης ρ................... ρ ρ Αν ρ πλήρης γραμμική συσχέτιση Χ, Υ : ασυσχέτιστες γραμμικά α Χ + b α > ρ α < ρ
Παράδειγμα Να βρεθεί ο συντελεστής συσχέτισης στο προηγούμενο παράδειγμα. \ 3 4 ( 6 6 6 6 6 6 4 6 3 6 6 6 6 6 3 3 6 6 4 6 4 6 6 ( 6 8 6 4 6 6 6
E { } + 8 + 4 + 3 + 4 6 6 6 Λύση { } + 4 + 6 + 3 4 + 4 E 6 6 6 6 6 6 6 3 8 E { } i ( i 3 { } { } ( i E, ( i ( i i i ; E 5 ( i i 6 3 + 6 + + + 3 + 4 + 6 6 6 6 3 + + 3 + 3 + 3 + 4 6 6 6 6 6 49 6
Δ ι α σ π ο ρ έ ς : Λύση σ Χ Ε { Χ } Ε { Χ } 3 3 8 3 64 σ { } Ε { } 5 Ε Σ υ ν δ ι α σ π ο ρ ά : σ { Χ } Ε { Χ } Ε { } Ε 49 6 3 8 3 6 Σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή ς σ υ σ χ έ τ ι σ η ς : ρ σ σ σ 3 6 3 8, 33
Άλυτες ασκήσεις
Τέλος Ενότητας