ds t = µs t dt + σrs t dw t = rs t dt + σrs t dw t.

Κεφάλαιο 5 Προσομοίωση M onte Carlo και Αποτίμηση Παραγώγων Συμβολαίων... I suggested an obvious name for the statistical method - a suggestion not unrelated to the fact that Stan had an uncle who would borrow money from relatives because he just had to go to Monte Carlo. Nicholas Metropolis 5.1 Το ουδέτρο προς τον κίνδυνο μέτρο Θεωρούμε έναν επενδυτή ο οποίος πρέπει να αποφασίσει για την επόμενη κίνησή του. Μπορεί να επιλέξει μεταξύ δύο επενδυτικών επιλογών: Της επιλογής άλφα που του δίνει σίγουρο κέρδος 5000 ευρώ και της επιλογής βήτα της οποίας το κέρδος είναι αβέβαιο. Στην περίπτωση αυτή στρίβουμε ένα τίμιο νόμισμα. Αν έρθει κορώνα ο επενδυτής λαμβάνει 10000 ευρώ διαφορετικά δεν λαμβάνει τίποτα. Παρατηρούμε λοιπόν ότι το αναμενόμενο κέρδος από τις δύο επενδύσεις είναι 5000 ευρώ. Στο σημείο αυτό όμως γεννιέται ένα πολύ εύλογο ερώτημα. Ποια από τις δύο επιλογές θα διαλέξει ο επενδυτής; Πριν απαντησουμε στο ερώτημα αυτό είναι απαραίτητο να αναλύσουμε τον κίνδυνο που σχετίζεται με κάθε μία επιλογή. Η πρώτη επιλογή προφανώς δεν ενέχει κανένα κίνδυνο. Είναι μια σίγουρη επιλογή δίχως το παραμοκρό ίχνος αβεβαιότητας η οποία αποφέρει στον επενδυτή 5000 ευρώ. Το αποτέλεσμα της δεύτερης επιλογής όμως είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με την τυχαία μεταβλητή 85

X που συμβολίζει το αποτέλεσμα της ρίψης του τίμιου νομίσματος. Εμπεριέχει δηλαδή κίνδυνο. Η απόφαση που θα πάρει λοιπόν ο επενδυτής εξαρτάται από το πόσο επιθυμεί ή αποστρέφεται τον κίνδυνο αυτό, δηλαδή από τις προτιμήσεις του προς τον κίνδυνο. Αν αποστρέφεται τον κίνδυνο θα επιλέξει την πρώτη επιλογή η οποία του δίνει ένα βέβαιο κέρδος. Αν πάλι επιθυμεί τον κίνδυνο θα πάρει την δεύτερη επιλογή ενώ αν είναι ουδέτερος προς τον κίνδυνο διαλέγει τυχαία μεταξύ των δύο επενδυτικών επιλογών. Γενικά, οι προτιμήσεις ενός επενδυτή προς τον κίνδυνο είναι μία έννοια πάρα πολύ σημαντική για τη λειτουργία των χρηματοοικονομικών αγορών η οποία σχετίζεται άμεσα με τη θεωρία λήψης αποφάσεων και τη διαχείρηση κινδύνου. Μάλιστα, μέσα σε μια κατάσταση ισορροπίας της αγοράς, η αναμενόμενη α- πόδοση των τιμών της μετοχής µ (όπως αυτή εμφανίζεται στο μοντέλο της γεωμετρικής κίνησης Brown) καθορίζεται από τις προτιμήσεις του μέσου επενδυτή προς τον κίνδυνο. Ας θεωρήσουμε τώρα ένα παράγωγο συμβόλαιο (π.χ. δικαίωμα) το οποίο γράφεται πάνω σε ένα τίτλο με κίνδυνο (π.χ. μετοχή). Μέχρι στιγμής έχουμε εξετάσει δύο πολύ βασικούς τρόπους για να τιμολογήσουμε έναν τέτοιο τίτλο. Ο πρώτος είναι το διωνυμικό μοντέλο τιμολόγησης και ο δεύτερος σχετίζεται με την επίλυση της μερικής διαφορικής εξίσωσης Black-Scholes. Παρατηρούμε όμως, τόσο από τη μερική διαφορική εξίσωση Black-Scholes όσο και από το διωνυμικό μοντέλο τιμολόγησης, ότι η αναμενόμενη απόδοση µ της υποκείμενης μετοχής πάνω στην οποία γράψαμε το δικαίωμα, δεν εμφανίζεται πουθενά! Αυτή η πολύ ενδιαφέρουσα παρατήρηση οδήγησε τους Fisher Black και Myron Scholes στην υπόθεση ότι εφόσον η αναμενόμενη απόδοση των τιμών της μετοχής δεν εμφανίζεται σε κανένα σημείο της τιμολόγησης του δικαιώματος, τότε θα πρέπει η τιμή του δικαιώματος αυτού να είναι ανεξάρτηση από τις προτιμήσεις του επενδυτή ως προς τον κίνδυνο. Δεν είναι παράλογο λοιπόν να υποθέσουμε ότι ο επενδυτής θα μορούσε να έχει οποιεσδήποτε προτιμήσεις προς τον κίνδυνο και γιατί όχι ακόμα και να είναι ουδέτερος προς τον κίνδυνο. Κάτω από την παραδοχή αυτή, θα μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε το µ με το r και επομένως να υποθέσουμε ότι η εξέλιξη των τιμών της μετοχής περιγράφεται από την στοχαστική διαφορική εξίσωση: ds t = µs t dt + σrs t dw t = rs t dt + σrs t dw t. (5.1) Σύμφωνα λοιπόν με τα όσα είπαμε, υποθέτουμε ότι γράφουμε ένα δικαίωμα π.χ. αγοράς πάνω στον τίτλο αυτό. Η απόδοση του δικαιώματος αυτού δεν παύει να είναι μία τυχαία μελλοντική χρηματοροή. Ομως, όπως συμβαίνει στη θεωρία αξιολόγησης επενδύσεων, η παρούσα αξία κάθε μελλοντικής χρηματοροής μπορεί να εκφραστεί ως η μέση τιμή της τυχαίας μελλοντικής χρηματοροής προεξοφλημένη με το επιτόκιο της αγοράς. Για παράδειγμα, για ένα Ευρωπαϊκό 86

δικαίωμα αγοράς C = E [ e T t ( ) ] r(u)du max 0, S(T ) K = e r(t t) E [ ( )] max 0, S(T ) K = e r(t t) E [ C T ], (5.2) όπου στην δεύτερη γραμμή υποθέσαμε ότι το επιτόκιο είναι σταθερό και το αστεράκι στον εκθέτη συμβολίζει ότι τιμολογούμε κάτω από την ουδετερότητα προς τον κίνδυνο, δηλαδή έχοντας θέσει µ = r. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι σε παρόμοιο αποτέλεσμα με αυτό της εξίσωσης (5.2) καταλήγουμε και από το διωνυμικό μοντέλο τιμολόγησης. Υπενθυμίζουμε ότι στην περίπτωση αυτή η εξίσωση αποτίμησης δίνεται από τη σχέση C 0 = e rδt [π u C u + π d C d ]. (5.3) Στο σημείο αυτό θεωρούμε την διακριτη τυχαία μεταβλητή C T με συνάρτηση πιθανοτητας { π u, c = C u f(c) = P (C T = c) = (5.4) π d, c = C d. Με άλλα λόγια, η τυχαία μεταβλητή C T παίρνει τις τιμές C u και C d με αντίστοιχες πιθανότητες π u και π d. Στην περίπτωση αυτή, αν Θέσουμε ως δt τη διαφορά T t και λαμβάνοντας υπόψην ότι η βασικότερη υπόθεση του διωνυμικού μοντέλου τιμολόγισης είναι η ουδετερότητα προς τον κίνδυνο, μέσω της κατασκευής του χαρτοφυλακίου που αναπαράγει την απόδοση του δικαιώματος, η σχέση (5.3) ουσιαστικά είναι η προεξοφλημένη μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής C T που ορίσαμε παραπάνω. Οδηγούμαστε δηλαδή πάλι στην εξίσωση (5.2). Επομένως, για να αποτιμήσουμε σήμερα ένα δικαίωμα που λήγει σε χρόνο T είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε την τιμή του υποκείμενου τίτλου (της μετοχής) την χρονική στιγμή T. Ομως όπως γίνεται πολύ εύκολα αντιληπτό, είναι αδύνατο να γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή της μετοχής σε μια οποιαδήοτε μελλοντική χρονική στιγμή για τον πολύ απλό λόγο ότι η εξέλιξή της υπόκειται σε τυχαιότητα. Στο μοντέλο της γεωμετρικής κίνησης Brown το οποίο περιγράψαμε, η τυχαιότητα εισάγεται φυσικά από την κίνηση Brown. Καταλήγουμε λοιπόν σε ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα το οποίο απαιτεί ειδική προσέγγιση για να επιλυθεί. Διαισθητικά, είμαστε απόλυτα σίγουροι πως δεν υπάρχει κανένας τρόπος για να υπολογίσουμε με βεβαιότητα την τιμή όχι μόνο μιας μετοχής αλλά και οποιουδήποτε τίτλου του οποίου η εξέλιξη εμπεριέχει τυχαιότητα, σε μια μελλοντική στιγμή. Αν μπορούσε αυτό να γίνει και το γνωρίζαμε μόνο εμείς θα είμασταν πλούσιοι! 87

5.2 Προσομοίωση M onte Carlo Η βασική φιλοσοφία της προσομοίωσης Monte Carlo είναι να εκτιμήσουμε μία συγκεκριμένη ποσότητα υπολογίζοντας την μέση τιμή για ένα πολύ μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων προσομοιωμένων δειγμάτων. Εστω για παράδειγμα ότι θέλουμε να προσεγγίσουμε την μέση τιμή µ μιας τυχαίας μεταβλητής X. Στην περίπτωση αυτή η μέθοδος περιγράφεται στα ακόλουθα δύο βήματα: Β1. Προσομοιώνουμε ένα πολύ μεγάλο αριθμό Μ δειγμάτων της τυχαίας μεταβλητής X χρησιμοποιώντας κατάλληλες γεννήτριες παραγωγής ψευδοτυχαίων αριθμών (όπως έχουμε περιγράψει στο πρώτο κεφάλαιο). Παίρνουμε έτσι έναν αριθμό Μ τυχαίων μεταβλητών X 1, X 2,..., X M, όπου κάθε μία από τις X i, i = 1,..., M, έχει την ίδια κατανομή με την τυχαία μεταβλητή X. Β2. Προσεγγίζουμε τον πραγματικό μέσο µ χρησιμοποιώντας τον εκτιμητή X = 1 M M X i, i=1 Στο πρώτο κεφάλαιο και συγκεκριμένα στην παράγραφο 1.3 έχουμε ξανασυναντήσει τον εκτιμητή αυτόν και μάλιστα έχουμε αναφέρει ότι έχει κάποιες πολύ καλές στατιστικές ιδιότητες. Η όλη φιλοσοφία της μεθόδου ουσιαστικά βασίζεται στον Ισχυρό Νόμο των Μεγαλων Αριθμών: Καθώς το M ο εκτιμητής X συγκλίνει στο µ σχεδόν βέβαια 1 Ενα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της θεωρίας Πιθανοτήτων είναι το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Το αποτέλεσμα αυτό πρακτικά μας λέει μας λέει ότι καθώς το M η τυχαία μεταβλητή X µ σ/ M, (5.5) ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή N(0, 1). Είναι επιπλέον γνωστό από τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανομής ότι αν μια τυχαία μεταβλητή X N(0, 1) τότε P ( X 1.96) = 0.95, δηλαδή το διάστημα [ 1.96, 1.96] 1 Η ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X n λέμε ότι συγκλίνει σχεδόν βέβαια στην τυχαία μεταβλητή X, αν ( ) P lim X n = X = 1. n 88

είναι ένα 95 διάστημα εμπιστοσύνης για την X. Συνδυάζοντας τα παραπάνω καταλήγουμε ότι ( P X 1.96σ µ X + 1.96σ ). (5.6) M M Επομένως το διάστημα [ X 1.96σ M, X + 1.96σ M ], (5.7) είναι ένα 95 διάστημα εμπιστοσύνης για τον πραγματικό μέσο. Ο όρος σ/ M ονομάζεται τυπικό σφάλμα. Παρατήρηση 15 Αν υποθέσουμε ότι η διακύμανση είναι επίσης άγνωστη τότε χρησιμοποιώντας τον εκτιμητή ˆσ 2 = 1 M 1 M ( Xi X ) 2, (5.8) έχουμε έναν καλό εκτιμητή για τη διακύμανση του πληθυσμού. 5.3 Εφαρμογή στην αποτίμηση δικαιωμάτων i=1 Οπως έχουμε ήδη αναφέρει προηγουμένως, για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την τιμή ενός δικαιώματος επί μιας μετοχής, θα πρέπει ουσιαστικά να γνωρίζουμε την τελική τιμή της μετοχής πάνω στην οποία είναι γραμμένο το δικαίωμα. Αυτό όμως, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, είναι πρακτικά αδύνατο γιατί η μελλοντική τιμή S(T ) μιας μετοχής είναι μια τυχαία μεταβλητή (επειδή η W (T ) είναι τυχαία μεταβλητή) επομένως δεν μπορούμε να την γνωρίζουμε με βεβαιότητα. Οπως είδαμε στην παράγραφο 5.1 η τιμή ενός δικαιώματος είναι ουσιαστικά η προεξοφημένη αναμενόμενη απόδοση κάτω από το ουδέτερο προς τον κίνδυνο μέτρο. Επομένως, το πρόβλημα τιμολόγησης ενός δικαιώματος έγκειται σε ένα πρόβλημα εκτίμησης μιας μέσης τιμής. Οπότε, μια πολύ καλή ιδέα θα ήταν να κάνουμε προσομοίωση Monte Carlo, την οποία εξετάσαμε στην προηγούμενη παράγραφο, ώστε να πάρουμε έναν καλό εκτιμητή για την τιμή του δικαιώματος. Αυτό πρακτικά απαιτεί τα ακόλουθα βήματα: Β1. Προσομοιώνουμε ένα μεγάλο αριθμό M κινήσεων Brown. Β2. Για κάθε μια από αυτές τις κινήσεις Brown που πήραμε στο Β1 προσομοιώνουμε M μονοπάτια της γεωμετρικής κίνησης Brown σύμφωνα με την εξίσωση ( ) [ S j (t) = S(0) exp r 1 2 σ2] t + σw j (t), j = 1,..., M 89

Β3. Για κάθε ένα από τα M σενάρια του κόσμου που πήραμε παραπάνω, εκτιμούμε την τιμή του δικαιώματος (έστω ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς) σύμφωνα με την εξίσωση (5.2), δηλαδή C 0,j = e rt max (0, S j (T ) K), j = 1,..., M Β4. Χρησιμοποιούμε τον εκτιμητή Ĉ 0 = 1 M M j=1 C 0,j Πήραμε λοιπόν μία εκτίμηση Ĉ0 της πραγματικής τιμής του δικαιώματος C 0. Η εκτίμηση αυτή δυστυχώς συνοδεύεται και από ένα σφάλμα μιας και είναι ο μέσος ενός μεγάλου αριθμού τυχαία παραγόμενων μονοπατιών της γεωμετρικής κίνησης Brown και επομένως εμπεριέχει τυχαιότητα. Γίνεται λοιπόν εύκολα αντιληπτό ότι χρειαζόμαστε ένα τρόπο για να μετρήσουμε το σφάλμα αυτό μιας και η τιμή του σχετίζεται άμεσα με την ικανότητα του εκτιμητή μας να προσεγγίσει την πραγματική τιμή του διακιώματος. Ενα κατάλληλο μέτρο είναι η τυπική απόκλιση του Ĉ0 η οποία ονομάζεται τυπικό σφάλμα. Το τυπικό σφάλμα (S.E.) μπορεί να εκτιμηθεί ως η τυπική απόκλιση (S.D.) των δειγμάτων C 0,j για j = 1,..., M ως εξής: S.E. = S.D.(C 0,j) M, (5.9) όπου η τυπική απόκλιση υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης των δειγμάτων C 0,j, ως S.D.(C 0,j ) = 1 M ( Ĉ0) 2. C 0,j (5.10) M 1 Παρατήρηση 16 Οπως είδαμε μέχρι τώρα, το πρώτο βασικό βήμα για την εκτίμηση της τιμής ενός δικαιώματος με βάση την προσομοίωση Monte Carlo είναι η προσομοίωση ενός μονοπατιού της κίνησης Brown και ενός μονοπατιού της γεωμετρικής κίνησης Brown. Με το θέμα αυτό ασχοληθήκαμε αναλυτικά στο δεύτερο κεφάλαιο επομένως θεωρείται γνωστό. j=1 5.3.1 Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς Ας δούμε τώρα αναλυτικά πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο Monte Carlo για να εκτιμήσουμε την τιμή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς. Στην επόμενη σελίδα ακολουθεί η αντίστοιχη συνάρτηση στο MATLAB. 90

function MCEuCall(S0,K,T,sigma,r,Nsteps,Mpaths) randn('state',100); dt = T/Nsteps; time steps SPath = zeros(mpaths,nsteps+1); SPath(:,1) = S0;initial value dw=sqrt(dt)*randn(mpaths,nsteps+1); κινηση Brown mudt=r-0.5*sigma^2; for i=1:mpaths M differnt paths for j=2:nsteps+1n points for every path SPath(i,j)=SPath(i,j-1)*exp(mudt*dt + sigma*dw(i,j)); end end ST = SPath(:,Nsteps+1); Payoff = exp(-r*t)*max(0,st - K); μέση τιμή,τυπική απόκλιση και δ.ε [value,sd,ci] = normfit(payoff) SE=SD/sqrt(Mpaths);τυπικό σφάλμα Στο πρόγραμμα αυτό ο αριθμός των διαφορετικών μονοπατιών που προσομοιώνουμε είναι Mpaths και το κάθε μονοπάτι έχει Npoints. Τρέχοντας το πρόγραμμα για S 0 = 50, K = 50, T = 6/12, σ = 0.15, r = 0.05, N = 1500, M = 2000 παίρνουμε την εκτίμηση 2.8181 για την τιμή του δικαιώματος, 3.7202 για την τυπική απόκλιση, 0.0832 για το τυπικό σφάλμα και το 95 διάστημα εμπιστοσύνης [2.6550, 2.9812] για την πραγματική τιμή του δικαιώματος. Στο σημείο αυτό γεννιέται το ερώτημα αν μπορούμε να καλυτερεύσουμε με κάποιο τρόπο την εκτίμησή μας. Σύμφωνα με τον Ισχυρό Νόμο των Μεγάλων Αριθμών, όσο 91

μεγαλώνει το M, δηλαδή όσο αυξάνεται ο αριθμός των διαφορετικών μονοπατιών που παίρνουμε, τόσο καλύτερη θα είναι η εκτίμησή μας. Ας δούμε λοιπόν τι αποτέλεσμα παίρνουμε αν αυξήσουμε τον αριθμό των διαφορετικών μονοπατιών. M value SD SE CI time in sec 20.000 2.7819 3.7100 0.0262 [2.7305, 2.8333] 3.46 100.000 2.7754 3.7112 0.0117 [2.7524, 2.7484] 17.63 200.000 2.7708 3.6984 0.0083 [2.7546, 2.7870] 40.82 300.000 2.7656 3.6904 0.0067 [2.7524, 2.7789] 70.54 Αξίζει να αναφερθεί, ως μέτρο σύγκρισης για την αποτελεσματικότητα της μεθόδου, ότι σύμφωνα με το μοντέλο Black Scholes η τιμή του δικαιώματος είναι 2.7636. Από τον παραπάνω πίνακα καταλήγουμε στα εξής δύο συμπεράσματα: Οσο μεγαλώνει ο αριθμός των δειγμάτων που παίρνουμε τόσο καλύτερη είναι η εκτίμηση που έχουμε για την πραγματική τιμή του δικαιώματος. Αυτό ισχύει επειδή : (i) Η τιμή που εκτιμούμε καθώς μεγαλώνει το Μ συγκλίνει στην πραγματική τιμή του δικαιώματος που είναι 2.7636 (ii) Καθώς το Μ μεγαλώνει, Η τυπική απόκλιση και κατ επέκταση το τυπικό σφάλμα μικραίνει (iii) καθώς το Μ μεγαλώνει το 95 διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική τιμή του δικαιώματος μικραίνει. Αυτό βέβαια έρχεται με ένα σημαντικό κόστος. Καθώς το Μ μεγαλώνει ο χρόνος που απαιτείται για την εκτίμηση μεγαλώνει! Αυτό συμβαίνει επειδή προσομοιώνουμε π.χ. 200.000 μονοπάτια και για κάθε μονοπάτι παίρνουμε 1.500 σημεία, πράγμα που απαιτεί πολλούς υπολογισμούς και επομένως πολύ χρόνο. Λαμβάνοντας υπόψην τα παραπάνω, για να πάρουμε τον καλύτερο δυνατό εκτιμητή για την πραγματική τιμή του δικαιώματος, θα πρέπει να πάρουμε ένα πάρα πολύ μεγάλο αριθμό δείγματος και ταυτόχρονα να μειώσουμε τον χρόνο που απαιτείται για την προσομοίωση! Αυτό μπορεί να ακούγεται ουτοπικό αλλά μπορεί να επιτευχθεί αν αντιληφθούμε ότι για την εκτίμηση δεν χρειάζεται να προσομοιώσουμε κάθε σημείο για ένα μονοπάτι της γεωμετρικής κίνησης Brown αλλά μόνο το τελικό σημείο, δηλαδή της τιμή κάθε προσομοιωμένου μονοπατιού τη χρονική στιγμή T. Η υλοποίηση της ιδέας αυτής δίνεται από την ακόλουθη συνάρτηση. M value SD SE CI time in sec 1.000.000 2.7672 3.7042 0.0037 [2.7600, 2.7745] 0.041 5.000.000 2.7656 3.7026 0.0017 [2.7624, 2.7689] 0.19 10.000.000 2.7649 3.7025 0.0012 [2.7627, 2.7672] 0.38 12.000.000 2.7646 3.7015 0.0011 [2.7625, 2.7667] 0.46 Παρατηρούμε λοιπόν ότι με τον τρόπο αυτό το όφελος είναι διπλό: 92

function MCEuCallVec(S0,K,T,sigma,r,Npoints) randn('state',100); dt = T/Npoints; time steps mu=r-0.5*sigma^2; WT = sqrt(t).*randn(npoints,1); τελική τιμή κάθε μονοπατιού ST = S0.*exp(mu*T + sigma.*wt); απόδοση για κάθε ένα μονοπάτι Payoff = exp(-r*t)*max(0,st - K); [value,sd,ci] = normfit(payoff) SE=SD/sqrt(Npoints) Καταφέραμε να πάρουμε ένα τεράστιο αριθμό δειγμάτων με αποτέλεσμα: (i) Να πετύχουμε καλύτερη σύγκλιση σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση (ii) Να ρίξουμε κατά πολύ την τυπική απόκλιση και το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης (iii) Να πάρουμε ένα πολύ μικρό διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική τιμή του δικαιώματος. Ολα αυτά τα επιτύχαμε το πολύ σε μισό δευτερόλεπτο! Παρατήρηση 17 Για να εκτιμήσουμε την τιμή ενός δικαιώματος αγοράς στους παραπάνω κώδικες το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να αλλάξουμε κατάλληλα τη συνάρτηση απόδοσης. 5.4 Εξωτικά δικαιώματα Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε με ποιον τρόπο μπορούμε να κάνουμε προσομοίωση Monte Carlo για να εκτιμήσουμε την τιμή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς. Φυσικά, στην περίπτωση αυτή υπάρχει το μοντέλο Black Scholes το οποίο μας δίνει την ακριβή τιμή του δικαιώματος, επομένως θα μπορούσε κάποιος να αναρωτηθεί σε τι χρειαζόμαστε την Monte Carlo. Προφανώς, στην περίπτωση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος δεν την χρειαζόμαστε γιατί 93

μπορούμε να υπολογίσουμε την ακριβή τιμή του δικαιώματος. Γιατί λοιπόν να καταφύγουμε σε εκτίμηση της τιμής εφόσον μορούμε να υπολογίσουμε την τιμή με ακρίβεια; Ο λόγος ήταν για να συγκρίνουμε το κατά πόσον ο εκτιμητής που χρησιμοποιήσαμε δίνει καλά αποτελέσματα, και όπως αποδείχθηκε πράγματι είναι ένας καλός εκτιμητής. Η αναγκαιότητα όμως της προσομοίωσης Monte Carlo γίνεται ξεκάθαρη στην περίπτωση των λεγόμενων εξωτικών δικαιωμάτων, δηλαδή στην αποτίμηση δικαιωμάτων των οποίων η δομή είναι περιπλοκότερη των απλών δικαιωμάτων όπως είναι τα Ευρωπαϊκά. 5.4.1 Ασιατικά δικαιώματα Ενα Ασιατικό δικαίωμα είναι ένας τύπος δικαιώματος το οποίο πληρώνει τη διαφορά, αν είναι θετική, μεταξύ του αριθμητικού μέσου των τιμών της μετοχής στο διάστημα [0, T ] και της τιμής εξάσκησης K, στον χρόνο λήξης T. Εχει δηλαδή συνάρτηση απόδοσης όπου A T = 1 N N i=1 ( ) max A T K, 0, S ti = S t 1 + S t2 + + S tn N Στην περίπτωση αυτού του τύπου δικαιώματος δεν υπάρχει αναλυτικός τρόπος για την αποτίμησή του.. function AsianMC(S0,K,r,T,sigma,Npoints,Mpaths) Payoff = zeros(mpaths,1); for i=1:mpaths M διαφορετικά μονοπάτια Path = GBM1(T,Npoints,S0,r,sigma); Απόδοση για κάθε μονοπάτι Payoff(i) = max(0, mean(path(1: Npoints+1)) - K) end size(payoff) μέση τιμή, τυπική απόκλιση, διάστημα εμπιστοσύνης [P, SD, CI] = normfit( exp(-r*t) * Payoff) Για την υπολοποίηση της μεθόδου, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση GBM1 που είδαμε στο δεύτερο κεφάλαιο και προσομοιώνει ένα μονοπάτι της γεωμετρικής κίνησης Brown. Επειδή θέλουμε να προσομοιώσουμε M τέτοια μονοπάτια κάνουμε έναν επαναληπτικό βρόγχο όπου σε κάθε επανάληψη τρέχουμε τη συνάρτηση GBM1 με αποτέλεσμα να προσομοιώνουμε και ένα μονοπάτι. Για 94

κάθε ένα τέτοιο μονοπάτι υπολογίζουμε και την αντιστοιχη συνάρτηση απόδοσης. Παίρνουμε δηλαδή ένα διάνυσμα αποδόσεων μεγέθους M 1. Κατόπιν με την βοήθεια της εντολής normfit υπολογίζουμε την μέση τιμή του δείγματος (η οποία είναι και η εκτίμησή μας για την τιμή του δικαιώματος), την τυπική απόκλιση και το 95 διάστημα εμπιστοσύνης. 5.4.2 Δικαιώματα ανταλλαγής Φυσικά, η προσομοίωση Monte Carlo μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην περίπτωση δικαιωμάτων που είναι γραμμένα πάνω σε περισσότερους από έναν τίτλους με κίνδυνο (π.χ. δύο μετοχές) όπως είναι και τα δικαιώματα ανταλλαγής. Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουμε ένα απλό παράδειγμα στην περίπτωση δύο μετοχών, των οποίων η εξέλιξη στο χρόνο περιγράφεται από τις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις: ds t = rs t dt + σ S S t dw t db t = rb t dt + σ B B t dz t (5.11) όπου W t και Z t είναι δύο κινησεις Brown οι οποίες ενδεχομένως είναι συσχετισμένες μεταξύ τους με ένα συντελεστή συσχέτισης ρ. Δηλαδή η εξέλιξη της μίας εξαρτάται από την εξέλιξη της άλλης. Δίχως να σταθούμε στο θέμα αυτό περισσότερο μιας και είναι ένα βαθύτερο θέμα της Στοχαστικής Ανάλυσης, θα αναφέρουμε απλώς ότι για να προσομοιώσουμε δύο συσχετισμένες κινήσεις Brown θα πρέπει παράγουμε δύο τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές Y 1 και Y 2 και κατόπιν να χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις ɛ 1 = Y 1 ɛ 2 = ρy 1 + 1 ρ 2 Y 2, (5.12) για να προσομοιώσουμε τα μονοπάτια των τιμών των δύο μετοχών. ( Η απόδοση ) του δικαιώματος στο χρόνο T θα δίνεται από τη σχέση max B T S T, 0. function ExchangeMC(S0,B0,sigmaS,sigmaB,rho,T,r,M) randn('state',100); eps1 = randn(1,m); eps2 = rho*eps1 + sqrt(1-rho^2)*randn(1,m); ST = S0*exp((r - 0.5*sigmaV^2)*T + sigmas*sqrt(t)*eps1); BT = B0*exp((r - 0.5*sigmaU^2)*T + sigmab*sqrt(t)*eps2); DiscPayoff = exp(-r*t)*max(vt-ut, 0) ; [P, SD, CI] = normfit(discpayoff) Η τρίτη και η τέταρτη γραμμή της παραπάνω συνάρτησης ουσιαστικά υλοποιούν την σχέση (5.12). Χαρακτηριστικό στην περίπτωση αυτή είναι ότι για λόγους οικονομίας χρόνου, κάτι που επιβάλεται στην περίπτωση αυτή μιας και 95

έχουμε δύο μετοχές, προσομοιώνουμε μόνο τις τελικές τιμές των δύο μετοχών στα M διαφορετικά σενάρια του κόσμου και για κάθε ένα τέτοιο ζεύγος τιμών (S T, B T ) υπολογίζουμε την αντίστοιχη απόδοση του δικαιώματος. Παίρνουμε λοιπόν ένα διανυσμα αποδόσεων μεγέθους M 1 πάνω στο οποίο υπολογίζουμε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης. Τρέχοντας την παραπάνω συνάρτηση για S 0 = 50, B 0 = 60, σ S = 0.3, σ B = 0.4, ρ = 0.7, T = 5/12 και r = 0.05 παίρνουμε: M value SD SE CI 1.000.000 0.8610 2.4860 0.0025 [0.8561, 0.8659] 3.000.000 0.8624 2.4930 0.0014 [0.8596, 0.8653] 5.000.000 0.8636 2.4916 0.0011 [0.8614, 0.8658] 10.000.000 0.8635 2.4901 7.87 10 4 [0.8620, 0.8651] Στην περίπτωση αυτή είμαστε τυχεροί μιας και υπάρχει το μοντέλο του Margrabe που μας δίνει την ακριβή τιμή του δικαιώματος, η οποία με τα παραπάνω δεδομένα είναι ίση με 0.8633. Επομένως κάναμε μία πολύ καλή εκτίμηση της τιμής του δικαιώματος. 5.4.3 Συνοριακά δικαιώματα Τα λεγόμενα συνοριακά δικαιώματα αποτελούν ένα πολύ ενδιαφέρον είδους εξωτικού δικαιώματος. Ενα τέτοιο δικαίωμα ενεργοποιείται ή ακυρώνεται ανάλογα με το αν η τιμή της μετοχής πάνω στην οποία έχουμε γράψει το δικαίωμα χτυπήσει ένα προκαθορισμένο σύνορο κατά τη διάρκεια του διαστήματος [0, T ]. Πιο συγκεκριμένα, ένα down-and-out Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς, έχει απόδοση ίση με το μηδέν αν η μετοχή περάσει κάποιο προκαθορισμένο σύνορο B σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t [0, T ]. Αν η μετοχή δεν περάσει το φράγμα τότε το δικαίωμα έχει την ίδια απόδοση με ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε αγοράσει ένα τέτοιο δικαίωμα με τιμή εξάσκησης K = 100 ευρώ, σύνορο τα 80 ευρώ και T = 2 μήνες. Αν η τιμή του δικαιώματος χτυπήσει το σύνορο των 80 ευρώ κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος των 2 μηνών, τότε το δικαίωμα απενεργοποιείται και δεν έχει καμιά αξία ακόμα και αν η τιμή της μετοχής επιστρέψει στα 100 ευρώ πριν τη λήξη. Αντίστοιχα ορίζονται και τα down-and-in Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς, σύμφωνα με το οποίο αν η μετοχή περάσει το φράγμα τότε η απόδοση είναι ίδια με ένα Ευρωπϊκό δικαίωμα αγοράς, διαφορετικά, αν δεν περάσει το φράγμα το δικαίωμα έχει απόδοση μηδέν. Εστω ότι S 0 = 50, K = 50, σ = 0.15, r = 0.05, T = 5/12 και το σύνορο είναι το S b = 47. M value SD SE CI N Crossed 10.000 2.2551 3.3816 0.0338 [2.1888, 2.3214] 4551 100.000 2.2365 3.3537 0.0106 [2.2157, 2.2573] 45.592 200.000 2.2298 3.3500 0.0075 [2.2151, 2.2445] 91.376 96

function DOCallMC(S0,K,r,T,sigma,Sb,NSteps,MPaths) Payoff = zeros(mpaths,1); NCrossed = 0; for i=1:mpathsm μονοπάτια Path=GBM1(T,NSteps,S0,r,sigma); crossed = any(path <= Sb); if crossed == 0 αν δεν πέρασε το φράγμα Payoff(i) = max(0, Path(NSteps+1)-K); else αν πέρασε το φράγμα Payoff(i) = 0; μετράμε πόσες φορές πέρασε το φράγμα NCrossed = NCrossed + 1; end end μέση τιμή, τυπική απόκλιση, διάστημα εμπιστοσύνης [value,sd,ci] = normfit ( exp (-r*t) * Payoff ) NCrossed Η τελευταία στήλη μας λέει πόσα από τα M διαφορετικά προσομοιωμένα μονοπάτια της τιμής της μετοχής πέρασαν το προκαθορισμένο σύνορο των 47 ευρώ. Για παράδειγμα στην περίπτωση M = 10.000, από τα 10.000 διαφορετικά προσομοιωμένα μονοπάτια της μετοχής, τα 4.551 πέρασαν το σύνορο και για τα μονοπάτια αυτά το δικαίωμα ακυρώθηκε και έδωσε απόδοση μηδέν. Για τα υπόλοιπα 5.449 μονοπάτια, το δικαίωμα έγινε ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς και για κάθε ένα από αυτά υπολογίστηκε η απόδοση κατά τα γνωστά. Πήραμε δηλαδή ένα διάνυσμα αποδόσεων μεγέθους 10.000 1 όπου 4.551 στοιχεία του είναι μηδέν και τα υπόλοιπα 5.449 στοιχεία του είναι μη μηδενικά. Στην περίπτωση αυτή βέβαια, δεν υπάρχει κάποιος κλειστός τύπος για να τον ακριβή υπολογισμό της τιμής του δικαιώματος επομένως θα πρέπει να αρκεστούμε στην προσεγγιστική τιμή που παίρνουμε από την Monte Carlo. Μιας και μας έδειξε ότι είναι μια αρκετά αξιόπιστη τεχνική δεν έχουμε κανένα λόγο να αμφιβάλουμε για την εγκυρότητά της και στην περίπτωση αυτή. Άλλωστε, ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών ισχύει σε κάθε περίπτωση γεγονός που εγγυάται από μόνο του την ακρίβεια της προσομοίωσης Monte Carlo. 5.5 Τεχνικές μείωσης της διακύμανσης Μέχρι στιγμής έχουμε καταλήξει σε ένα πολύ σημαντικό συμπέρασμα αναφορικά με την αποτελεσματικότητα της προσομοίωσης Monte Carlo: Για να μειώσουμε τη διακύμανση της εκτίμησης και κατά συνέπεια το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης αυτό που χρειάζεται να κάνουμε είναι να πάρουμε ένα πάρα πολύ μεγάλο αριθμό δείγματος. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι πάντοτε εφικτό αλλά ούτε και 97

επιθυμητό. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα δικαίωμα που είναι γραμμένο πάνω σε παραπάνω από δύο μετοχές και επιπλέον έχει μία αρκετά απαιτητική υπολογιστικά συνάρτηση απόδοσης, π.χ. ένα Ασιατικό. Στο σημείο αυτό εύλογα δημιουργείται το ακόλουθο ερώτημα: Υπάρχει κάποιος εναλλακτικός τρόπος μείωσης της διακύμανσης διατηρώντας ταυτόχρονα της ακρίβεια της εκτίμησης; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι θετική. Υπάρχουν μάλιστα αρκετοί τρόποι, όμως στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε μόνο έναν. Την λεγόμενη μέθοδο των αντιθετικών μεταβλητών. 5.5.1 Η μέθοδος των Αντιθετικών Μεταβλητών Η μέθοδος των αντιθετικών μεταβλητών προσφέρει έναν τρόπο μείωσης της διακύμανσης δημιουργώντας αρνητική συσχέτιση μεταξύ ζευγών παρατηρήσεων. Πιο συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία τυχαίαμεταβλητή X και έστω ότι μπορούμε να πάρουμε μία τυχαία μεταβλητή Z η οποία έχει την ίδια μέση τιμή και διακύμανση με την X αλλά είναι αρνητικά συσχετισμένη με την X, δηλαδή οτι Cov(X, Z) < 0. Ορίζουμε τώρα μια νέα τυχαία μεταβλητή Y, ως Y = X + Z. 2 Το πρώτο πράγμα που παρατηρούμε στο σημείο αυτό είναι ότι E(Y ) = E(X), μιας και οι τυχαίες μεταβλητές X, Z έχουν την ίδια μέση τιμή. Επιπλέον, όσον αφορά τη διακύμανση της Y, έχουμε ότι ( X + Z V ar(y ) = Cov, X + Z ) 2 2 = 1 ( ) V ar(y ) + V ar(z) + 2Cov(X, Z) 4 = 1 ( ) 2V ar(y ) + 2Cov(X, Z) 4 = 1 2( V ar(y ) + Cov(X, Z) ). Λόγω της αρχικής μας υπόθεσης ότι Cov(X, Z) < 0, η παραπάνω σχέση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι V ar(y ) < 1 2 V ar(x). Καταφέραμε λοιπόν, εισάγωντας μίας βοηθητική μετβλητή Z η οποία ακολουθεί την ίδια κατανομή με την αρχική μας μεταβλητή X αλλά είναι αρνητικά συσχετισμένη μαζί της, να πάρουμε μία νέα τυχαία μεταβλητή Y η οποία ακολουθεί την ίδια κατανομή με την αχική μας μεταβλητή X και η οποία μάλιστα έχει μικρότερη διακύμανση από την X! Μειώσαμε λοιπόν την διακύμανση της X. 98

Το θέμα λοιπόν που μας απασχολεί τώρα είναι με ποιον τρόπο μπορούμε να βρούμε μία τέτοια βοηθητική τυχαία μεταβλητή Z. Στην πολύ απλοϊκή περίπτωση όπου γνωρίζουμε ότι E(X) = 0 θα μπορούσαμε πολύ άνετα να επιλέξουμε Z = X. Στην περίπτωση αυτή Y = 0 και Cov(X, X) = V ar(x) και θα είχαμε επιτυχώς μειώσει τη διακύμανση. Εν γένει όμως δεν γνωρίζουμε την μέση τιμή. Για την ακρίβεια, η μέση τιμή αυτή είναι το αντικείμενο του ενδιαφέροντός μας. Το παράδειγμα αυτό, παρόλο του απλοϊκού του χρακτήρα του, μας δίνει την βασική ιδέα της μεθόδου η οποία αποτυπωνεται στην ακόλυοθη πρόταση. Πρόταση 2 Εστω X είναι μία( τυχαία μεταβλητή ) και έστω f μία γνησίως μονότονη συνάρτηση. Τότε Cov f(x), f( X) < 0. Ας θεωρήσουμε τώρα μία τυχαία μεταβλητή U που είναι της μορφής f(u) όπου η τυχαία μεταβλητή U ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή N(0, 1). Είναι πολύ εύκολο να δείξουμε ότι και η τυχαία μεταβλητή U θα ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή και μάλιστα η απόδειξή της αφήνεται σαν άσκηση για τον αναγνώστη. Θεωρούμε ότι X = f(u) και Z = f( U) και ορίζουμε Y = f(u) + f( U). 2 Στο σημείο αυτό αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, μία απλή εφαρμογή της Πρότασης 2 μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι και επιπλέον ότι V ar(y ) < 1 2 V ar(f(u)), E(Y ) = E(f(U)) = E(X). Επομένως, η Πρόταση 2 μας δίνει έναν κατάλληλο τρόπο επιλογής της βοηθητικής τυχαίας μεταβλητής Z. 5.5.2 Εφαρμογή στην αποτίμηση δικαιωμάτων Η μέθοδος που περιγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο είναι μία αποτελεσματική μέθοδος να μειώσουμε τη διακύμανση και ταυτόχρονα να μην χάσουμε σε ακρίβεια προσέγγισης τηε προσομοίωσης Monte Carlo. Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να την εφαρμόσουμε στην περίπτωση που ενδιαφερόμαστε για την αποτίμηση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε γράψει ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς (κάτω από το ουδέτερο προς τον κίνδυνο μέτρο) πάνω στη μετοχή S της οποίας η εξέλιξη στο χρόνο περιγράφεται κατά τα γνωστά από το μοντέλο της γεωμετρικής κίνησης Brown: ds t = rs t dt + σs t dw (t). (5.14) 99

Σύμφωνα με την μέθοδο των αντιθετικών μεταβλητών ουσιαστικά δημιουργούμε έναν υποθετικό τίτλο S που έχει αρνητική συσχέτιση με τον αρχικό μας τίτλο S. Με άλλα λόγια, η εξέλιξή του περιγράφεται από την εξίσωση d S t = r S t dt σ S t dw (t). (5.15) Κατασκευάζουμε δηλαδή ένος ζεύγος τυχαίων μεταβλητών (S, S), οι οποίες λέγονται αντιθετικές, και οι οποίες ακολουθούν την ίδια κατανομή αλλά έχουν αρνητική συσχέτιση. Ας υποθέσουμε στο σημείο αυτό, ότι εκτός από το δικαίωμα πάνω στη μετοχή S, μπορούμε ταυτόχρονα να γράψουμε και ένα δικαίωμα πάνω στη μετοχή S. Σύμφωνα με την μέθοδο των αντιθετικών μεταβλητών που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο, η διακύμανση της απόδοσης του χαρτοφυλακίου που αποτελείται και από τα δύο δικαιώματα θα είναι πολύ μικρότερη από τη διακύμανση των αποδόσεων καθενός από τα δικαιώματα που είναι γραμμένα στην S και την S και αυτό γιατί κάθε ασυνήθιστα υψηλή τιμή της μετοχής S θα αντισταθμίζεται από μία ασυνήθιστα χαμηλή τιμή της μετοχής S. Τα οφέλη μας είναι πολλαπλά: (α). Μειώνουμε τη διακύμανση της εκτίμησής μας. (β). Διατηρούμε την πιθανοθεωρητική βάση του μοντέλου μας ίδια, μιας και οι κινήσεις Brown W, W ακολουθούν την ίδια κατανομή. (γ). Παίρνουμε ένα δείγμα μεγέθους 2M υπολογίζοντας όμως ένα δείγμα μεγέθους M! Προσομοιώνοντας M μονοπάτια της κίνησης Brown W μπορούμε να προσομοιώσουμε M μονοπάτια της S και κατόπιν, θέτωντας W παίρνουμε άλλα M μονοπάτια για το αντιθετικό μονοπάτι S. Συνολικά δηλαδή 2M μονοπάτια. (δ). Επιπλέον, έχοντας διπλασιάσει τον αριθμό του δείγματός μας, σύμφωνα με όσα είπαμε στην προηγούμενη παράγραφο θα καταφέρουμε όχι μόνο να μειώσουμε την διακύμανση αλλά και να βελτιώσουμε την ακρίβεια της Monte Carlo. Ο αλγόριθμος υπολοποίησης της μεθόδου για την περίπτωση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς, θα μπορούσε να είναι ο ακόλουθος: Β1. Υπολογίζουμε το διάνυσμα των αποδόσεων του δικαιώματος Α πάνω στην μετοχή S για τα M σενάρια: ( C T,j = max 0, S 0 exp ([r 0.5σ 2] T + σ ) ) T ɛ j K, j = 1,..., M Β2. Υπολογίζουμε το διάνυσμα των αποδόσεων του δικαιώματος Β πάνω στην μετοχή S για τα M σενάρια: ( C T,j = max 0, S 0 exp ([r 0.5σ 2] T σ ) ) T ɛ j K, j = 1,..., M 100

Β3. Ο εκτιμητής των αντιθετικών μεταβλητών στην περίπτωση αυτή θα είναι: V j = C T,j + C T,j, j = 1,..., M 2 Β4. Η εκτίμησή μας για την τιμή του δικαιώματος θα είναι 1 M M j=1 V j όπου ɛ j N(0, 1). Με άλλα λόγια αντικαθιστούμε την τυχαία μεταβλητή ɛ j με την αντιθετική τυχαία μεταβλητή ɛ j όπου και αυτή ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή N(0, 1). Θα τρέξουμε την παραπάνω συνάρτηση και θα κάfunction MCEuCallAV2(S0,K,T,sigma,r,Npoints) randn('state',100); dt = T/Npoints; time steps mu=r-0.5*sigma^2; WT = sqrt(t).*randn(npoints,1); ST1 = S0.*exp(mu*T + sigma.*wt);τελική τιμή μετοχής S ST2 = S0.*exp(mu*T - sigma.*wt);τελική τιμη αντιθετικής Payoff1=exp(-r*T)*max(0,ST1-K);Απόδοση δικαιώματος Α Payoff2=exp(-r*T)*max(0,ST2-K);Απόδοση δικαιώματος Β Εκτιμητής Αντιθετικών Μεταβλητών Payoff=0.5*(Payoff1+Payoff2); [value,sd,ci] = normfit(payoff) SE=SD/sqrt(Npoints) νουμε την σύγκριση με τον δεύτερο πίνακα της Παραγράφου 5.3.1, παίρνουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα τα οποία δείχνουν ξεκάθαρα την αποτελεσματικότητα της μεθόδου των αντιθετικών μεταβλητων: M value SD SE CI 1.000.000 2.7621 1.7534 0.0018 [2.7587, 2, 7656] 5.000.000 2.7635 1.7533 7.81 10 4 [2.7620, 2.7651] 10.000.000 2.7641 1.7538 5.55 10 4 [2.7630, 2.7651] 12.000.000 2.7638 1.7537 5.06 10 4 [2.7628, 2.7648] Συγκρίνοντας λοιπόν την μέθοδο των Αντιθετικών Μεταβλητών με την απλή Monte Carlo, καταλήγουμε στα ακόλουθα δύο συμπεράσματα: 101

Σ1. Με την μέθοδο των Αντιθετικών Μεταβλητών μειώνουμε σημαντικά την διακύμανση. Σ2. Η μέθοδος των Αντιθετικών Μεταβλητών έχει μεγαλύτερη ακρίβεια εκτίμησης από την απλή Monte Carlo. Το Σ1 δικαιολογείται επειδή έχουμε πάρει το ζεύγος των αντιθετικών μεταβλητών (ɛ j, ɛ j = ɛ j ) οι οποίες έχουν αρνητική συσχέτιση, με τον τρόπο που περιγράψαμε στην Παράγραφο 5.5.1. Το Σ2 δικαιολογείται επειδή σύμφωνα με την μέθοδο των Αντιθετικών Μεταβλητών παίρνουμε ένα δείγμα μεγέθους 2M (προσομοιώνοντας όμως ένα δείγμα μεγεθους M). Μεγαλώνοντας όμως το μέγεθος του δείγματος μειώνουμε το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης με αποτέλεσμα να πάρουμε ένα μικρότερο διάστημα εμπιστοσύνης για την ακριβή τιμή του δικαιώματος. 5.6 Στοχαστική μεταβλητότητα Εχουμε την αισιοδοξία ότι ο αναγνώστης του βιβλίου αυτού, θα έχει ήδη αντιληφθεί τη σημαντικότητα του μοντέλου της γεωμετρικής κίνησης Brown. Το μοντέλο αυτό, δίχως ίχνος υπερβολής, αποτελεί το θεμέλιο λίθο των Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών σε χρόνο συνεχή. Μάλιστα η σημαντικότητά του γίνεται εύκολα αντιληπτή μιας και πάνω του βασίζεται ένα από τα σημαντικότερα μοντέλα αποτίμησης, το βραβευμένο με Nobel μοντέλο των Black Scholes. Στο βιβλίο αυτό, δεν θα σταθούμε στο κατά πόσον το μοντέλο αυτό αποτυπώνει την πραγματικότητα, στο κατά πόσον δηλαδή περιγράφει με ακρίβεια την εξέλιξη των τιμων μιας μετοχής. Αυτό είναι ένα βαθύτερο θέμα το οποίο ξεπερνά τον σκοπό του μαθήματος αυτού. Θα σταθούμε όμως σε ένα βασικό χαρακτηριστικό του μοντέλου αυτού. Στο γεγονός ότι υποθέτει πως η μεταβλητότητα (σ) των τιμών της μετοχής είναι σταθερή. Στην πραγματικότητα, η υπόθεση αυτή είναι πάρα πολύ περιοστική και μάλιστα έρευνες έχουν δείξει ότι είναι λάθος. Ενα τρόπος για να πάρουμε ένα καλύτερο μοντέλο είναι να να τροποποιήσουμε το μοντέλο της γεωμετρικής κίνησης Brown, υποθέτωντας ότι η μεταβλητότητα των τιμών τη μετοχής δεν είναι σταθερά αλλά είναι και αυτή μια στοχαστική διαδικασία σ t η οποία υπακούει και αυτή έναν δικό της εξελικτικό νόμο. Καταλήγουμε λοιπόν στα λεγόμενα μοντέλα στοχαστικής μεταβλητότητας (stochastic volatility models).ανάλογα με τον τρόπο σύμφωνα με τον οποίο εξελίσσεται η στοχαστική διαδικασία πλέον σ t έχουμε μία πληθώρα μοντέλων στοχαστικής μεταβλητότητας για να διαλέξουμε. Εν γένει, ένα μοντέλο στοχαστικής μεταβλητότητας έχει την γενική μορφή dσ t = α(t, σ t )dt + β(t, σ t )d W t, (5.16) όπου η στοχαστική διαδικασία W t είναι και αυτή μία κίνηση Brown και μάλιστα είναι συσχετισμένη με την κίνηση Brown που εμφανίζεται μέσα στο μοντέλο της γεωμετρικής κίνησης Brown με ένα συσντελεστή συσχέτισης ρ. Ανάλογα με 102

τη μορφή που έχουν οι συναρτήσεις α και β στην εξίσωση (5.16), καταλήγουμε σε κάποια γνωστά μοντέλα στοχαστικής μεταβλητότητας, μερικά από τα οποία είναι τα ακόλουθα: Μ1. Το μοντέλο των Hull-White (1987), σύμφωνα με το οποίο η διακύμανση V t = σ 2 t ακολουθεί την εξίσωση dv t = λv t dt + ξv t d W t. Μ2. Το μοντέλο του Heston (1993), σύμφωνα με το οποίο η διακύμανση V t = σ 2 t ακολουθεί την εξίσωση dv t = κ(θ V t )dt + ξ V t d W t. Μ3. Το μοντέλο του Wiggins (1987), σύμφωνα με το οποίο η διακύμανση V t = σ 2 t ακολουθεί την εξίσωση d ln V t = λ(ξ ln V t )dt + γd W t. Μ4. Το μοντέλο των Stein-Stein (1991),σύμφωνα με το οποίο η μεταβλητότητα σ t ακολουθεί την εξίσωση dσ t = δ(σ t θ)dt + κd W t, όπου ξ, γ, λ, κ, θ, δ είναι ορισμένες παράμετροι και μάλιστα όχι απαραίτητα ίδιες μεταξύ τους στα διαφορετικά μοντέλα. Ας υποθέσουμε τωρα ότι ενδιαφερόμαστε να αποτιμήσουμε ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς μέσα σε ένα πλαίσιο στοχαστικής μεταβλητότητας. Για λόγους απλότητας, θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο των Hull-White για να περιγράψουμε την εξέλιξη της μεταβλητότητας στο χρόνο. Τα βήματα που θα ακολουθήσουμε είναι τα ακόλουθα: Β1. Προσομοίωνουμε M μονοπατια της στοχαστικής διαδικασίας V = σ 2 σύμφωνα με το Μ1. Β2. Για κάθε ένα μονοπάτι της V προσομοιώνουμε και ένα μονοπάτι της S. Β3. Για κάθε ένα μονοπάτι της S υπολογίζουμε την αντίστοιχη απόδοση του δικαιώματος. Β4. Υπολογίζουμε την μέση τιμή του διανύσματος των αποδόσεων που πήραμε στο Β3 103

function StochVolEuCall(S0,V0,K,r,T,lambda,xi,rho,M,N) dt=t/n; ldt = (lambda-0.5*xi^2)*dt;από τη λύση της GBM volpaths=zeros(m,n+1); volpaths(:,1)=v0; Αρχική τιμή volatility Spaths=zeros(M,N+1); Spaths(:,1)=S0; Αρχική τιμή μετοχής for i=1:m Μ μονοπάτια for j=1:n Ν σημεία σε κάθε μονοπάτι eps1 = randn;συσχετισμένες Κινήσεις Brown eps2 = rho*eps1 + sqrt(1-rho^2)*randn; volpaths(i,j+1)=volpaths(i,j)*exp(ldt+xi*sqrt(dt)*eps1); volatility=volpaths(i,j+1); vol=sqrt(volatility); Hull-White GBM με στοχαστικό volatility από Hull-White rdt = (r-0.5*volatility)*dt; Spaths(i,j+1)=Spaths(i,j)*exp(rdt + vol*sqrt(dt)*eps2); end end ST=Spaths(:,N+1);Τελική τιμή S σε κάθε σενάριο Payoff = max(st-k,0);payoff σε κάθε σενάριο [value,sd,ci] = normfit(exp(-r*t)*payoff) Στο σημείο αυτό ας σχολιάσουμε λίγο τα παραπάνω βήματα. Οσον αφορά το Β1, η στοχαστική διαφορική εξίσωση που σύμφωνα με τους Hull-White περιγράφει την εξέλιξη της στοχαστικής διαδικασίας V t = σt 2 ουσιαστικά είναι το μοντέλο της γεωμετρικής κίνησης Brown και η λύση της είναι η ( ) [ λ 0.5ξ 2] t + ξ W t V t = V 0 exp. 104

Επομένως η τρόπος που θα προσομοιώσουμε τη διαδικασία αυτή είναι ήδη γνωστός. Μάλιστα θα προσομοιώσουμε M διαφορετικά τέτοια μονοπάτια και σε κάθε ένα μονοπάτι θα πάρουμε N διαφορετικά σημεία. Ενα τέτοιο μονοπάτι ουσιαστικά θα είναι ένα διάνυσμα μεγέθους (1 N) το οποίο και θα χρησιμοποιήσουμε ως input για να προσομοιώσουμε ένα μονοπάτι στο Β2. Από κει και πέρα η διαδικασία είναι απλή. Προσοχή μόνο γιατί χρειάζεται να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα της διαδικασίας V t λόγω του τρόπου με τον οποίο ορίζεται. 5.7 Βασικά σημεία του κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό εξετάσαμε την μέθοδο προσομοίωσης Monte Carlo. Τα βασικά σημεία του κεφαλαίου τα οποία είναι απαραίτητο να θυμόμαστε είναι τα εξης: Τα βήματα που απαιτούνται για την εκτίμηση της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής. Τα βήματα που απαιτούνται για την εκτίμηση της τιμής ενός δικαιώματος. Τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να μειώσουμε τη διακύμανση της εκτίμησής μας. Την φιλοσοφία της μεθόδου των Αντιθετικών Μεταβλητών και τα οφέλη που αυτή προσφέρει. Βιβλιογραφία 1. Α. Ανδρικόπουλος (2008). Αριθμητικές μέθοδοι στην αποτίμηση παραγώγων. Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. 2. Α.Ν Γιαννακόπουλος (2011). Εισαγωγή στα Στοχαστικά Χρηματοοικονομικά, Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. 3. P. Glasserman (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer-Verlag. 4. L. Clewlow and C. Strickland (2006). Implementing Derivative Models, Wiley. 5. D. Higham (2005). An Introduction to Financial Option Valuation. Cambridge. 6. J. Hull (2003). Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall, Fifth Edition. 105