ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ. ΑΣΚΗΣΗ 1 η και 2 η Α) Έλεγχος Κάµψης Πλάκας Β) Έλεγχος Κάµψης οκού

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η και η Α) Έλεγχος Κάµψης Πλάκας Β) Έλεγχος Κάµψης οκού Στον ξυλότυπο τυπικού ορόφου κτιρίου όπως φαίνεται στο σχήµα, ζητείται ο έλεγχος σε κάµψη Α) της πλάκας (πάχους h ) και Β) της τυπικής δοκού, για δράση σχεδιασµού 135G+15Q Για την πλάκα να σχεδιαστούν οι οπλισµοί επί του ξυλοτύπου και σε µία κατά µήκος τοµή Για τη δοκό να σχεδιαστούν οι οπλισµοί σε µία κατά µήκος τοµή της δοκού και σε δύο χαρακτηριστικές διατοµές Σε όλες τις περιπτώσεις λαµβάνονται υπ όψιν οι κατασκευαστικές διατάξεις Το κτίριο να θεωρηθεί πολυώροφο, κανονικό καθ ύψος, µε πολύστυλο πλαισιακό φορέα, που βρίσκεται σε περιβάλλον XC1 Η ιδιοπερίοδος του είναι T = 05 sec και είναι θεµελιωµένο σε έδαφος κατηγορίας C (βλέπε Βιβλίο µαθήµατος Σχήµα 3, Πίνακα 33, σελ 37) Το κτίριο σχεδιάζεται για Κατηγορία Υψηλής Πλαστιµότητας (ΚΠΥ) ίνονται: Υλικά: σκυρόδεµα C0/5, χάλυβας S500 Φορτία: Φορτίο επίστρωσης, g επ = 14 kn/m, Ωφέλιµο φορτίο, q = 0 kn/m ιατοµές υποστυλωµάτων: α x /α y = 045/030 Υ L L 1 L Χ h οκοί 50/550 L 3 α y α x Σηµείωση: Τα µήκη L1, L, L3 αλλά και το πάχος της πλάκας h, ορίζονται για κάθε φοιτητή µε βάση το πλήθος γραµµάτων ονόµατος [Ο] και επωνύµου [Ε] Εφαρµογή για L 1 = 55 m L = 15 m L 3 = 60 m h = 150 mm Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 1

ΕΠΙΛΥΣΗ Α ΈΛΕΓΧΟΣ ΠΛΑΚΑΣ Επιλέγω λωρίδα πλάτους b = 1m στη διεύθυνση που θα οπλιστεί η πλάκα Στην ουσία θεωρώ τη λωρίδα σε τέτοια διεύθυνση ώστε η λωρίδα να «πατάει» στα στηρίγµατα της πλάκας (στις δοκούς) Επιλέγω τη λωρίδα του Σχήµατος 1-1 Το στατικό σύστηµα το οποίο θα επιλύσω (θεωρώντας τη λωρίδα πλάτους 1 m) προκύπτει κάνοντας τοµή Α-Α πάνω στη λωρίδα Α L L 1 L h = 150 mm Τυπική επαναλαµβανόµενη λωρίδα πλάτους 1m Α 1m m 5m m 015m 15m 55m 15m q d Α Β Σχήµα 1 Τυπική λωρίδα και στατικό σύστηµα προς επίλυση 1 Υπολογισµός Φόρτισης (λωρίδας) G = ίδιο βάρος (G ιβ ) + φορτίο επίστρωσης (G επ ) G ιβ = γ c h = 5 kn/m 3 015 m = 375 kn/m G επ = 13 kn/m Άρα G = 375+13 = 505 kn/m Φορτίο Σχεδιασµού q d = 135G + 15Q = 135 505 + 15 = 98 kn/m Γραµµικό Φορτίο Σχεδιασµού q d = 98 kn/m 1m = 98 kn/m Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

Υπολογισµός Εντατικών Μεγεθών Όταν κάποιοι φορείς έχουν ορισµένα χαρακτηριστικά µπορώ να βρω τα εντατικά µεγέθη πιο εύκολα από τη κλασσική-αναλυτική διαδικασία (ροπές, αντιδράσεις, κλπ) Το σκεπτικό είναι να ξεκινήσω από κάτι απλό υπολογιστικά (π,χ, πρόβολο) και µετά να προχωρήσω ανάλογα Ξεκινάµε από το πρόβολο qdl1 98 15 Μ A = Μ Bb = = = - 13 knm V αρ δεξ A = - q d l 1 = - 98 15 = - 08 kn = - V B Αυτά είναι τα εντατικά µεγέθη που ασκούν οι πρόβολοι στα σηµεία Α και Β της δοκού Γνωρίζω ότι σε τµήµα δοκού που φορτίζεται µε οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο και µε ροπές στα άκρα της M A, M B, η µέγιστη ροπή στο άνοιγµα είναι: max M αν = A V q d + M A B V = q d + M B (1) Μ Α q d Μ Β A Εάν οι ροπές Μ Α =Μ Β = 0, τότε από τον παραπάνω τύπο προκύπτει η ροπή απλής αµφιέριστης δοκού: max M αν = VA q d qd l = 4 q d qd l = 8 Επίσης η τέµνουσα σε οποιαδήποτε σηµείο δίνεται σαν το άθροισµα της τέµνουσας από το φορτίο q µεταξύ των Α και Β (σαν να ήταν αµφιέριστη) συν τη πρόσθετη τέµνουσα λόγω ροπών στα άκρα της δοκού: MB MA V(x) = V(x) αµφ + V M = V (x)αµφ + () l AB Οπότε για να βρω τα διαγράµµατα τεµνουσών στα δοκάρια αρκεί να ξέρω τις ροπές στις στηρίξεις B Από την () V A δεξ = V Α, αµφ + M B M l AB A q = d L M + B M L 1 A = 98 55 13 ( 13) 98 55 αρ + = = 57 kn = - V Β 55 Από την (1) max M αν = A V q d + M A 57 = + ( 13) = 116 kn 98 Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 3

q d Α Β 15m 55m 15m M A = -13 knm - M B = -13 knm max M = 116 knm V A αρ = -08 kn - + - + + V A δεξ = 57 kn - V Β αρ = - 57 kn V Β δεξ = -08 kn Σχήµα ιαγράµµατα και τιµές εντατικών µεγεθών Σηµειώνεται ότι στο άνοιγµα η ροπή είναι θετική, άρα έχω εφελκυσµό στο κάτω πέλµα, οπότε τα σίδερα τοποθετούνται κάτω Ενώ στο πρόβολο που η ροπή είναι αρνητική, ο εφελκυσµός είναι στο πάνω πέλµα, άρα τα σίδερα τοποθετούνται στο επάνω πέλµα του προβόλου (στο σωστό στατικό ύψος) 3 Έλεγχος Ανοίγµατος Έστω d 1 = 3 cm = 003 m (εάν το d 1 δεν καθορίζεται, θεωρώ αντιπροσωπευτική τιµή για πλάκες 3 cm) Στατικό ύψος d = h d 1 = 015 003 = 01 m Υπενθυµίζεται ότι διαστασιολογούµε τη διατοµή πλάτους 1m και ύψους h cd = 085 ck 0000 = 085 = 15 15 1133333 kpa (kn/m ) µ sd = M b d sd cd 116 = = 0071 < µ* sd,lim = 0317 (για S500) 1 01 1133333 Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 4

Από Πίνακα 41 (σελ 73) ή από τη σχέση ω 1 = 1 1 µsd+ νd (µε ν d =0), για χρήση απλοποιηµένου ορθογωνικού διαγράµµατος τάσεων, προκύπτει ότι ω 1 = 0073 (παρατηρώ ότι το ω 1 είναι λίγο µεγαλύτερο από το µ sd ) 0 085 Άρα A s1 = cd ω = 0073 1000 10 15 1 b d = 835 mm yd 500 115 Προσοχή στις µονάδες: b e, d σε (mm), ck, yk (MPa) 4 Έλεγχος Στήριξης Στη στήριξη η κρίσιµη διατοµή είναι στη παρειά και όχι στον άξονα της στήριξης Στη παρειά έχουµε µεγάλη ροπή (πολύ κοντά στη τιµή της µέγιστης ροπής στον άξονα) η οποία όµως εφαρµόζεται σε πολύ µικρότερη διατοµή Η ροπή στης παρειές της στήριξης (πλάτους 05 m) του Σχήµατος 1-3 στα σηµεία 1 και, υπολογίζεται εάν από τη ροπή στον άξονα της στήριξης (Μ Α ) αφαιρέσω τη ροπή Μ (βλέπε σχήµα): M 1 = Μ Α παρειάς,αρ = Μ Α Μ = Μ Α V αρ b στ / M = Μ Α παρειάς,δεξ = Μ Α Μ = Μ Α V δεξ b στ / b στ =05m Μ παρειάς,αρ Μ A [1] - Μ στ = Μ Α Κλίση γωνίας = Μ/ x = V [] Μ A παρειάς,δεξ b στ / = 05/ = 015m - V A αρ = -08 kn + V A δεξ = 57 kn Σχήµα 3 Προσδιορισµός ροπής παρειάς Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 5

Οπότε M 1 = Μ παρειάς,αρ Α = Μ Α Μ = Μ Α V αρ b στ / = 13-08 015 = 195 knm M = Μ παρειάς,δεξ Α = Μ Α Μ = Μ Α V δεξ b στ / = 13-57 015 = 189 knm Προσοχή στο ότι και οι παραπάνω ροπές στη παρειά είναι αρνητικές Κανονικά, θα έπρεπε να λάµβανα υπόψη τα πρόσηµα τους, και να πρόσθετα ή να αφαιρούσα το Μ ανάλογα Για Μ (-) και V (-) αφαιρώ το Μ, ενώ για Μ (-) και V (+) προσθέτω το Μ, όπως φαίνεται στο παρακάτω υπολογισµό M 1 = Μ Α παρειάς,αρ = Μ Α Μ = Μ Α V αρ b στ / = - 13 (-08) 015 = - 195 knm M = Μ Α παρειάς,δεξ = Μ Α Μ = Μ Α V δεξ b στ / = - 13 + 57 015 = - 189 knm Λόγω του ότι στη στήριξη θα µπουν ενιαία σίδερα η ροπή παρειάς µε την οποία θα κάνω τους υπολογισµούς µου είναι η µέγιστη κατά απόλυτη τιµή µ sd = M b d sd cd 195 = = 0119 < µ* sd,lim = 0317 (για S500) 1 01 1133333 Από Πίνακα 41 (σελ 73) ή από τη σχέση ω 1 = 1 1 µsd+ νd (µε ν d =0), για χρήση απλοποιηµένου ορθογωνικού διαγράµµατος τάσεων, προκύπτει ότι ω 1 = 017 0 085 Άρα A s1 = cd ω = 017 1000 10 15 1 b d = 397 mm yd 500 115 Συνολικά οι απαιτήσεις διαµήκους οπλισµού στο άνοιγµα και στις στηρίξεις προέκυψαν από έλεγχο σε κάµψη, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί 397 mm 835 397 mm 0 m 50 m 0 m Σχήµα 4 Ποσότητες διαµήκους οπλισµού (όπως υπολογίσθηκαν) Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 6

5 Έλεγχος µε βάση Κατασκευαστικές ιατάξεις Για τις πλάκες ισχύουν οι κατασκευαστικές διατάξεις του Πίνακα 54 (σελ 18) για ΚΠ Χ Υπολογισµός Ελάχιστου Οπλισµού µε Βάση τον Κανονισµό Ελάχιστο ποσοστό διαµήκους οπλισµού σε κάθε πέλµα (Πίνακας 54, σελ 18, η γραµµή): ctm ρ min = A s,min / bd εφελκυόµενου πέλµατος = 06 ρ min > 00013 ρ min = 06 ctm = 03 [ ck (MPa)] /3 = 03 0 /3 = 1 MPa ctm yk 1 = 06 = 00011 < 00013 500 A s,min = ρ min b d = 00011 1000 10 = 13 mm yk Οπότε στο άνοιγµα A s1 = 835 mm > A s,min και στη στήριξη A s1 =397 mm > A s,min Έστω ότι τοποθετώ Φ8 As (Φ8) = 50 mm Άρα στο άνοιγµα χρειάζοµαι: n = 835 50 = 46 σίδερα Στις πλάκες δεν υπολογίζω πλήθος ράβδων, αλλά ράβδους ανά αποστάσεις, λόγω του ότι η λωρίδα πλάτους 1 m είναι ιδεατή Σε λωρίδα πλάτους 1m, οι αποστάσεις µεταξύ των ράβδων Φ8 θα είναι, s = 17 mm Άρα στο άνοιγµα τοποθετώ Φ8/17 1000 = 173 46 Στη στήριξη χρειάζοµαι: n = 397 50 = 794 σίδερα Σε λωρίδα πλάτους 1m, οι αποστάσεις µεταξύ των ράβδων Φ8 θα είναι, s = mm 1000 = 16 794 Μπορώ να εκµεταλλευτώ τα σίδερα από το άνοιγµα Τα µισά σίδερα συνεχίζονται προς τη δοκό και τα άλλα µισά τα στέλνω στη µεσαία στήριξη A 835 Άρα σε κάθε στήριξη, έρχονται s 1 = = 11417 mm από το άνοιγµα Εν τέλει στη στήριξη θα χρειαστώ επιπλέων 397 11417 = 83 mm Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 7

83 1000 n = = 566 σίδερα, s = = 1767 mm 50 5 66 Τοποθετώ πρόσθετα στη στήριξη Φ8/177 [A] Φ8/177 Φ8/177 Φ8/17 [Β] Φ8/177 Φ8/177 Φ8/17 Σχήµα 5 Απεικόνιση οπλισµού σε κατάκλιση [Α] και σχηµατική απεικόνιση [Β] (υπό κλίµακα κατά τη διεύθυνση του µήκους) Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 8

B ΈΛΕΓΧΟΣ ΟΚΟΥ Β1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΟΚΟΥ 1 Επιλογή Στατικού Συστήµατος Για να επιλέξω το στατικό σύστηµα της δοκού, κάνω τοµή (B-B, Σχήµα 6) κατά µήκος της δοκού (πάντα κάνω τοµή επάνω στο στοιχείο που ελέγχω) Η δοκός στηρίζεται στα υποστυλώµατα Κ 1, Κ και Κ 3 (45 x 30), άρα στην ουσία επιλύω µία συνεχή δοκό απείρων ίσων ανοιγµάτων B K 1 L L 1 L K h = 150 mm Τυπική επαναλαµβανόµενη λωρίδα πλάτους 1m 1m K 3 L 3 Φορτίο που µου δίνει η λωρίδα πλάκας επάνω στη δοκό (σε 1m) m 5m m Τοµή B-Β B 015m 055m 035m K 1 K K 3 L 3 =6 m L 3 =6 m q d L 3 =6 m L 3 =6 m Σχήµα 6 Στατικό σύστηµα δοκού προς επίλυση Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 9

Υπολογισµός Φόρτισης (λωρίδας) Από την επίλυση του στατικού συστήµατος της επαναλαµβανόµενης τυπικής λωρίδας της πλάκας για γραµµικό φορτίο σχεδιασµού 98 kn/m, προηγουµένως έχουµε υπολογίσει τα ακόλουθα εντατικά µεγέθη q d = 98 kn/m Α Β 15m 55m 15m - V αρ A = -08 kn P 1 = 08+57 = 4654 kn M A = -13 knm - + M B = -13 knm max M = 116 knm - + + V A δεξ = 57 kn - V Β αρ = - 57 kn V Β δεξ = -08 kn Σχήµα 7 Εντατικά µεγέθη όπως προέκυψαν από τον έλεγχο πλάκας Το ζητούµενο είναι να υπολογίσουµε τι φορτίο µας δίνει η λωρίδα πλάκας 1m πάνω στη δοκό Από το διάγραµµα τεµνουσών, µε βάση το φορτίο λωρίδας, µπορώ να υπολογίζω το φορτίο που θα µεταφέρει το δοκάρι Από ισορροπία, αθροίζοντας της τέµνουσες δυνάµεις (08 kn και 57 kn) µπορώ να βρω την αντίδραση (σαν συγκεντρωµένο φορτίο) που θα παραλάβει η δοκός (4654 kn) Με άλλα λόγια σε κάθε ένα µέτρο κατά µήκος της δοκού θα έχω ένα συγκεντρωµένο φορτίο 4654 kn Σε αυτό το φορτίο πρέπει να προσθέσουµε το ίδιο βάρος της κρέµασης της δοκού G ιβ(κρέµασης) = γ c h οκού καθαρό = 5 kn/m 3 05 (055-h ) = 5 kn/m 3 05 (055-015) = 5 kn/m Άρα το Γραµµικό Φορτίο Σχεδιασµού της δοκού q d θα ισούται µε, q d = 4654 kn/m + 135 5 kn/m = 499 kn/m Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 10

Προκειµένου να υπολογισθούν τα εντατικά µεγέθη (τέµνουσες δυνάµεις και καµπτικές ροπές), λόγω δράσης κατανεµηµένου φορτίου q d = 499 kn/m, παρατηρούµε ότι λόγω συµµετρίας φόρτισης (άρα ίδιες αντιδράσεις στα σηµεία στήριξης της δοκού 1-3) η δοκός λειτουργεί σαν αµφίπακτη (υπάρχει αδυναµία στροφής των στηρίξεων) Σηµείωση: Εάν η δοκός αποτελείτο από δύο ανοίγµατα ίσου µήκους, τότε λόγω αδυναµίας στροφής µόνο στη µεσαία στήριξη, θα µπορούσε να εξιδανικευθεί σαν µονόπακτη Οπότε µε βάση τα παραπάνω, η ροπή στη στήριξη και η µέγιστη ροπή στο άνοιγµα θα είναι αντίστοιχα, q 3 Μ στ = d L 499 6 = = - 14976 knm 1 1 q 3 max Μ αν = d L 499 6 = = 7494 knm 4 4 015m 055m 035m K 1 K K 3 L 3 =6 m L 3 =6 m q d = 499 kn/m q d L 3 / - - - + + q d L 3 / = 1498 kn 14976 knm - - - + + 7494 knm Σχήµα 8 Εντατικά µεγέθη από στατική επίλυση δοκού + Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 11

Εν κατακλείδι, από την στατική επίλυση της λωρίδας της πλάκας (τοµή Α-Α, Βήµα 1) υπολογίζουµε τη συνολική αντίδραση από το διάγραµµα τεµνουσών (σαν συγκεντρωµένο φορτίο) που παραλαµβάνει η δοκός (Βήµα ) Σε αυτό προσθέτουµε το ίδιο βάρος της κρέµασης της δοκού (επί 135 λόγω της δράσης σχεδιασµού 135G+15Q), και έτσι υπολογίζουµε το φορτίο σχεδιασµού q d της δοκού Βήµα 3) Το στατικό σύστηµα της δοκού προκύπτει κάνοντας τη τοµή Β-Β, µε φορτίο σχεδιασµού q d, Βήµα 3), το οποίο λόγο συµµετρίας φόρτισης απλοποιείται από συνεχή δοκό απείρων ίσων ανοιγµάτων σε αµφίπακτη δοκό (Βήµα 4) Τοµή Β-Β Βήµα 3,4 Τοµή Α-Α Βήµα 1 Βήµα Σχήµα 9 Εντατικά µεγέθη από στατική επίλυση δοκού Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 1

3 ιατοµή δοκού Η διατοµή της προ επίλυση δοκού είναι πλακοδοκός, όπως απεικονίζεται στο παρακάτω σχήµα Το ζητούµενο σε αυτή τη περίπτωση είναι ο υπολογισµός του πλάτους ενεργού ή συνεργαζόµενου πλάτους b e της πλάκας b e = b e, 1+ b w + b e, b e 1 b e h = 150 mm 550 mm d 1 = c+φ h +φ L / Σχήµα 10 Συνεργαζόµενο πλάτος πλακοδοκού Γνωρίζουµε ότι το ενεργό πλάτος b e, µπορεί να θεωρηθεί σαν το άθροισµα του πάχους του κορµού της δοκού b w και των δύο ενεργών «ηµιπλατών» της πλάκας b e 1, b e, δεξιά και αριστερά του κορµού Τα δε ενεργά ηµιπλάτη b e,i εξαρτώνται από τη γεωµετρία της πλακοδοκού και από το διάγραµµα ροπών κάµψης της δοκού Προσεγγίζονται ως: l0 b e,i = + 0 bi 0 l 0, 10 b w = 50 mm όπου, l 0, είναι το σηµείο µηδενισµού της ροπής κάµψης και µήκος της δοκού (θεωρητικό άνοιγµα l), ίσο µε 07 l για το µεσαίο άνοιγµα συνεχής δοκού b i, τα µισά της απόστασης της παρειάς του κορµού από αυτή της πρώτης παράλληλης δοκού, ή η απόσταση παρειάς κορµού από το άκρο της πλάκας, εφόσον το ηµιπλάτος b e,i είναι µεταξύ δοκού και άκρου πλάκας Οπότε (και σύµφωνα µε το Σχήµα 11): l0 07 l 07 6 b e, 1 = + 0 bi = + 0 bi = + 0 = 08 m 10 10 10 0 l 0 = 0 (07 l) = 0 07 6 = 084 m b e, 1 = 08 < 0 l 0 = 084 b e, 1 = 08 m l0 07 l 07 6 b e, = + 0 bi = + 0 bi = + 0 5 = 09 m > 0 l 0 = 084 m 10 10 10 b e, = 084 m Άρα b e = b e, 1+ b w + b e, = 08 + 05 + 084 = 191 m Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 13

h = 150 mm K 1 L L 1 L K b 1 =L 1 -b w / b =(L 1 -b w )/ L 3 K 3 m 5m m Σχήµα 11 Υπολογισµός µηκών b i 4 Έλεγχος διατοµής ανοίγµατος σε κάµψη Από διάγραµµα καµπτικών ροπών εφελκυσµός κάτω (στο κορµό) πλάκα στη θλιβόµενη ζώνη (θλίψη στο πέλµα) b = b e (βιβλ σελ 111) Η εκτίµηση του στατικού ύψους d γίνεται ως εξής: Γνωρίζουµε ότι η ονοµαστική επικάλυψη ράβδων µε το σκυρόδεµα c nom c = c min + 10 mm Από Πίνακα 5 (σελ 119) για κατηγορία έκθεσης XC1, c min = 15 mm Άρα c = c nom = c min + 10 = 15 + 10 = 5 mm Έστω ότι οι οπλισµοί θα µπουν σε µία στρώση d 1 = c +φ h + φ L / Έστω φ L = 16 mm, φ h = 8 mm d 1 = 5 + 8 + 8 = 41 40 mm d = h d1 = 550-40 = 510 mm Έλεγχος ύψους θλιβόµενης ζώνης d = h-d1 = 055 004 = 051 m (Εάν το d1 δεν καθορίζεται, θεωρώ αντιπροσωπευτική τιµή για δοκάρια 4-5 cm) cd = 085 ck 0000 = 085 = 15 15 1133333 kpa (kn/m ) Msd 7494 µ sd = = = 00133 < µ * sd,lim = 0317 (για S500) b d 191 051 1133333 e cd Παρατηρώ ότι το µ sd είναι πολύ µικρό, εκτός των ορίων του Πίνακα 41 (σελίδα 73) Από τον Πίνακα 41 για τη πιο µικρή τιµή του µ sd (004) το ξ ισούται µε 0050 Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 14

Άρα το ύψος της θλιβόµενης ζώνης x = ξ d = 0050 510 = 55 mm < h = 150 mm Οπότε και για ακόµα µικρότερο µ sd το ύψος της θλιβόµενης ζώνης είναι µέσα στη πλάκα Εποµένως, η πλακοδοκός θα επιλυθεί ως ορθογωνική διατοµή µε πλάτος αυτό του πέλµατος b e = 1910 mm (σύµφωνα µε τη θεωρία, σελ 111) Από σχέση 41β (σελ 7) ω 1 = ω 1 = 00134 0 085 Άρα A s1 = cd ω = 00134 1910 510 15 1 be d = 3405 mm yd 500 115 Προσοχή στις µονάδες: b e, d σε (mm), ck, yk (MPa) 5 Έλεγχος διατοµής στήριξης σε κάµψη Από διάγραµµα καµπτικών ροπών εφελκυσµός πάνω πλάκα στη εφελκυόµενη ζώνη b=b w (σελ 111) Οι κρίσιµες διατοµές είναι στις παρειές, άρα ο έλεγχος θα γίνει στη παρειά Οπότε θα πρέπει να υπολογισθεί η ροπή παρειάς Μ παρειάς Γνωρίζουµε (βλέπε παρακάτω σχήµα) ότι Μ στ Μ = Μ παρειάς Γενικώς από τις ροπές στήριξης µπορούµε να υπολογίσουµε τις ροπές παρειάς Μ παρειάς,δεξ dm b = στ δεξ bστ 05 Μ + = Μ + V = 14976+ 1498 = -13103 knm dx Μ παρειάς,αρ dm b = στ αρ bστ 05 Μ + = Μ + V = 14976+ 1498 = - 13103 knm dx Οπότε µε M sd = 13103 knm: µ sd = b w M d sd cd 13103 = = 0178 < µ* sd,lim = 0317 (για S500) 05 051 1133333 Από σχέση 41β (σελ 7) ω 1 = ω 1 = 0198 Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 15

0 085 cd Άρα A s1 = ω = 0198 50 510 15 1 be d = 65805 mm yd 500 115 Συνολικά οι απαιτήσεις διαµήκους οπλισµού στο άνοιγµα και στις στηρίξεις προέκυψαν από έλεγχο σε κάµψη, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί 65805 65805 3405 3405 65805 K 1 K K 3 L 3 =6 m L 3 =6 m Σχήµα 1 Ποσότητες διαµήκους οπλισµού (όπως υπολογίσθηκαν) Β ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ 1 Υπολογισµός Ελάχιστου Οπλισµού µε Βάση τον Κανονισµό α) Ελάχιστο ποσοστό διαµήκους οπλισµού σε κάθε πέλµα (Πίνακας 54, σελ 18, η γραµµή): ρ min = A s,min / bd εφελκυόµενου πέλµατος = 05 ctm = 03 [ ck (MPa)] /3 = 03 0 /3 = MPa ctm yk Άρα ρ min = 05 ctm yk = 05 500 = 000 Σηµειώνεται ότι στο εφελκυόµενο πέλµα µιας οποιασδήποτε δοκού, το ελάχιστο ποσοστό διαµήκους οπλισµού είναι ανηγµένο στη διατοµή bd του κορµού Άρα: A s,min = ρ min b w d = 000 50 510 = 805 mm β) Τουλάχιστον Φ14 σε κάθε πέλµα δοκών Κατηγορίας Πλαστιµότητας Υ (Πίνακας 54, σελ 18, 4 η γραµµή) A s,φ14 = 154 mm = 308 mm Ο έλεγχος αυτός γίνεται, γιατί σύµφωνα µε τις κατασκευαστικές διατάξεις πρέπει: Σ όλο το µήκος κάθε πέλµατος δοκών Κατηγορίας Πλαστιµότητας Υ, πρέπει κατά τον Ευρωκώδικα 8 να τοποθετούνται τουλάχιστον ράβδοι Φ14 Άρα από (α) + (β): A s,min = Φ14 = 308 mm Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 16

Πρώτη Τοποθέτηση Οπλισµού (όπως υπολογίσθηκε) Άνοιγµα: Κάτω πέλµα (εφελκυσµός): A s1 = 3405 mm Θα τοποθετηθούνε Φ14 (308 mm ) + 1Φ10 (79 mm ) = 387 mm Άνω πέλµα (θλίψη): Θα τοποθετηθούνε τα ελάχιστα Φ14 = 308 mm Στήριξη/πρόβολος: Άνω πέλµα (εφελκυσµός): A s1 = 65805 mm Έχουµε είδη Φ14 = 308 mm (ελάχιστα σύµφωνα µε κανονισµό) Πρόσθετα = 65805-308 = 35005 mm Θα τοποθετηθούνε πρόσθετα 1Φ16+1Φ14 (355 mm ) Άρα συνολικά A s1 = 308+355=663 mm Κάτω πέλµα (θλίψη): Θα τοποθετηθούνε τα ελάχιστα Φ14 = 308 mm Τοποθετώντας τον οπλισµό όπως υπολογίσθηκε προκύπτει: [4] [5] [6] 663 mm (3Φ14+1Φ16) 308 mm (Φ14) [1] 308 mm (Φ14) 387 mm (Φ14+1Φ10) [] 663 mm (3Φ14+1Φ16) 308 mm (Φ14) [3] 308 mm (Φ14) 387 mm (Φ14+1Φ10) 663 mm (3Φ14+1Φ16) 308 mm (Φ14) K 1 K K 3 L 3 =6 m L 3 =6 m Σχήµα 13 1 η τοποθέτηση διαµήκους οπλισµού 3 Έλεγχος Κατασκευαστικών ιατάξεων Σύµφωνα µε την Ενότητα 543 & Πίνακα 54 (σελ 18) α) «Σε όλο το µήκος του επάνω πέλµατος της δοκού πρέπει ο οπλισµός να είναι τουλάχιστον ίσος µε το ¼ του µεγαλύτερου πάνω οπλισµού των δύο ακραίων διατοµών στήριξης» A s,min,πάνω ράβδοι άνοιγµα = 05 Α s,top-supports (Πίνακας 54, σελ 18, 5 η γραµµή) Με άλλα λόγια στο ο οπλισµός στο άνοιγµα στο πάνω πέλµα (θέση οπλισµού 5), πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσος µε το ¼ του µεγαλύτερου οπλισµού των στηρίξεων πάνω (θέσεις 4 και 6) Ο µεγαλύτερος πάνω οπλισµός των ακραίων διατοµών στήριξης είναι 3Φ14+1Φ16 (663 mm ) Άρα: A s,min,πάνω ράβδοι άνοιγµα = 05 663 = 166 mm Στο άνοιγµα έχουν τοποθετηθεί Φ14 = 308 mm > 166 mm Άρα ο έλεγχος ικανοποιείται Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 17

β) Για τον οπλισµό στο κάτω πέλµα στις ακραίες περιοχές στήριξης πρέπει Αs, κάτω ράβδοι κρίσιµων περιοχών 05 As, πάνω (Πίνακας 54, σελ 18, 6 η γραµµή) Με άλλα λόγια οι κάτω ράβδοι στις στηρίξεις (στις παρειές των κρίσιµων περιοχών) (θέσεις 1 και 3) πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσες µε το ½ των πάνω ράβδων στις στηρίξεις (θέσεις 4 και 6) Στις στηρίξεις στο κάτω πέλµα έχουν τοποθετηθεί τα ελάχιστα Φ14 (308 mm ), ενώ στο επάνω πέλµα 3Φ14+1Φ16 (663 mm ) Άρα Αs, κάτω ράβδοι κρίσιµων περιοχών = 308 mm As, πάνω = 663 mm 05 As, πάνω = 3315 mm Αs, κάτω ράβδοι κρίσιµων περιοχών < 05 As, πάνω (ο έλεγχος δεν ισχύει) Τοποθετούνται λοιπόν στα κάτω πέλµατα των στηρίξεων πρόσθετα 1Φ10, επεκτείνοντας το 1Φ10 του ανοίγµατος µέχρι τις στηρίξεις Άρα, συνολικά, στο κάτω πέλµα των στηρίξεων είναι Φ14+1Φ10 (= 387 mm ), οπότε ο έλεγχος ισχύει γ) «Το 5% ράβδων κάτω πέλµατος στο άνοιγµα δοκού Κατηγορίας Πλαστιµότητας Υ χρειάζεται να επεκτείνεται µέχρι της δύο στηρίξεις της και να αγκυρώνεται εκεί» Με άλλα λόγια A s,min,κάτω ράβδοι στηρίξεις = 05 Α s,bottom-span (Πίνακας 54, σελ 18, 7 η γραµµή) Με άλλα λόγια οι κάτω ράβδοι στις στηρίξεις (στις παρειές των κρίσιµων περιοχών) (θέσεις 1 και 3) πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσες µε το ¼ των κάτω ράβδων στο άνοιγµα (θέση ) Από τη στιγµή που στο κάτω πέλµα του ανοίγµατος και των στηρίξεων έχει τοποθετηθεί η ίδια ποσότητα οπλισµού, ο έλεγχος ικανοποιείται Με την ολοκλήρωση των άνω ελέγχων ολοκληρώθηκαν στην ουσία οι έλεγχοι των κατασκευαστικών διατάξεων που αφορούν τη πλαστιµότητα Αποµένει να ελέγξουµε το µέγιστο ποσοστό οπλισµού Πρώτα όµως θα προβούµε στη τελική τοποθέτηση του οπλισµού Πρώτα τοποθετούµε στο άνω και κάτω πέλµα τα ελάχιστα απαιτούµενα από τον κανονισµό Φ14 Στη συνέχεια τοποθετούµε στο άνοιγµα στο εφελκυόµενο πέλµα 1Φ10 Κανονικά στα σίδερα αυτά (θεωρητικά) θα τα συνεχίζαµε µέχρι το σηµείο µηδενισµού των καµπτικών ροπών στο άνοιγµα (+/- το µήκος αγκύρωσης τους) Στη πράξη όµως τα πάµε µέχρι τις στηρίξεις Τέλος τοποθετούµε στο εφελκυόµενο πέλµα στη στήριξη πρόσθετα Φ14+1Φ10 Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 18

[4] [5] [6] 663 mm 3Φ14+1Φ16 387 mm Φ14+1Φ10 [1] 308 mm Φ14 387 mm Φ14+1Φ10 [] 663 mm 3Φ14+1Φ16 387 mm Φ14+1Φ10 [3] 308 mm Φ14 387 mm Φ14+1Φ10 663 mm 3Φ14+1Φ16 387 mm Φ14+1Φ10 K 1 K K 3 L 3 =6 m L 3 =6 m Φ14 1Φ16+1Φ14 1Φ16+1Φ14 1Φ16+1Φ14 1Φ10 Φ14 K 1 K K 3 Σχήµα 14 η τοποθέτηση διαµήκους οπλισµού Άρα µε βάση τη η τοποθέτηση οπλισµού, µετά τον έλεγχο κατασκευαστικών διατάξεων, οι ποσότητες που έχουν προκύψει είναι ως εξής: Άνοιγµα: Κάτω πέλµα (εφελκυσµός): Φ14+1Φ10 = 387 mm Άνω πέλµα (θλίψη): Φ14 = 308 mm (ελάχιστα) Στήριξη: Άνω πέλµα (εφελκυσµός): 3Φ14+1Φ16 = 663 mm Κάτω πέλµα (θλίψη): Φ14+1Φ10 = 387 mm Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 19

δ) Μέγιστο ποσοστό εφελκυόµενου οπλισµού (στις στηρίξεις) Ειδικά για δοκούς µε Κατηγορία Πλαστιµότητας Μ ή Υ: Το µέγιστο επιτρεπόµενο ποσοστό εφελκυόµενου χάλυβα κρισίµων περιοχών δοκών µε αυξηµένες απαιτήσεις πλαστιµότητας δίνεται από τον Ευρωκώδικα 8 από τη σχέση: 00018 cd ρ 1,max = + ρ (σελ 130), µ ε Φ yd yd όπου ε yd = yd /E s, ρ : ποσοστό θλιβόµενου χάλυβα (υπάρχων οπλισµός) µ Φ : δείκτης πλαστιµότητας καµπυλοτήτων Υπολογισµός µ φ µ Φ = µ δ -1, (µ Φ : δείκτης πλαστιµότητας καµπυλοτήτων) από Σχέση 58, σελίδα 130 µ δ = q, αν T 1 T c, (δείκτης πλαστιµότητας µετακινήσεων) Tc 1+ ( q 1), αν T 1 < T c από Σχέσεις 318, σελίδα 4 T 1 µε Τ 1 : θεµελιώδης ιδιοπερίοδος κτιρίου T c : περίοδος στο τέλος περιοχής φασµατικής επιτάχυνσης φάσµατος q: συντελεστής συµπεριφοράς (σελ 46-47, Πίνακας 3,7) Λόγω του ότι, σύµφωνα µε την εκφώνηση, το υποστύλωµα ανήκει σε πολυώροφο, κανονικό καθ ύψος κτίριο µε πολύστυλο πλαισιακό φορέα, από τη σελίδα 46 αu/α 1 = 13 Άρα: q 0 = 45 αu/α 1 = 45 13 = 585 Λόγω του ότι το κτήριο είναι κανονικό, q = q 0 Άρα ο συντελεστής συµπεριφοράς q = 585 Σύµφωνα µε την εκφώνηση το κτίριο έχει ιδιοπερίοδο T = 05 sec και είναι θεµελιωµένο σε έδαφος κατηγορίας C Από Πίνακα 33 (σελ, 37) για κατηγορία εδάφους C T c = 06 sec Άρα T1 = 05 sec < Tc = 06 µ δ = 1+(q-1)T c /T 1 = 1 + (585-1) 06/05 = 68 µ Φ = µ δ -1 = 68-1 = 164 00018 cd Επανερχόµαστε στον υπολογισµό του ρ 1,max = + ρ (σελ 130), µ ε 500 ε yd = yd /E s = 115 00000 = 00017 Φ yd yd Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 0

Αs Φ14+ 1Φ10 387 ρ = = = = 00030 b w d b w d 50 510 0 ρ 1,max = +ρ = + 00030 = 00050 00018 cd 00018 15 µ 500 Φ εyd yd 164 00017 115 As 1,max = ρ 1,max b w d = 00050 50 510 = 639 mm < 663 mm Ο έλεγχος δεν ικανοποιείται Κανονικά χρειάζεται αύξηση των διαστάσεων b ή d του κορµού, επιλέγω όµως να αυξήσω το ποσοστό θλιβόµενου οπλισµού στη κρίσιµη διατοµή στη στήριξη, ρ Αυξάνω το ρ από Φ14+1Φ10 προσθέτοντας ένα 1Φ10 (=79 mm ) Άρα, ρ = ρ 1,max = Αs Φ 14+ Φ10 466 = = = 00037 b d b d 50 510 w w 0 +ρ = + 000365 = 000565 00018 cd 00018 15 µ 500 Φ εyd yd 164 00017 115 As 1,max = ρ 1,max b w d = 000565 50 510 = 70 mm > 663 mm Ο έλεγχος ικανοποιείται (κανονικά θα πρέπει να ελέγξω πάλι αν ικανοποιούνται οι προηγούµενες απαιτήσεις α-γ) ε) Έλεγχος θλιβόµενου οπλισµού στις κρίσιµες περιοχές στις στηρίξεις «Πέραν του µέγιστου ποσοστού εφελκυόµενου οπλισµού κρισίµων περιοχών, ο Ευρωκώδικας επιβάλλει ένα ελάχιστο ποσοστό θλιβόµενου χάλυβα ρ, στο κάτω πέλµα των ακραίων κρισίµων περιοχών στις στηρίξεις δοκών Κατηγορίας Πλαστιµότητας Μ ή Υ ίσο µε το 50% του ποσοστού του εφελκυόµενου οπλισµού ρ1» Με άλλα λόγια στη στήριξη εξασφαλίζεται ότι: ρ > 05 ρ 1 Έλεγχος δεξιάς παρειάς: Φ 14+ Φ10 b d 466 ρ1 3Φ 14+ 1Φ16 663 b d ρ = w = = > w 070 05 Έλεγχος αριστερής παρειάς: (οµοίως) Άρα ο έλεγχος ικανοποιείται Οµοίως ο έλεγχος ικανοποιείται Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 1

Η τελική τοποθέτηση οπλισµού, µετά την αύξηση του ρ, στη στήριξη, φαίνεται στο Σχήµα 15 [4] [5] [6] Φ14+Φ10 663 mm 3Φ14+1Φ16 308 mm Φ14 466 mm 387 mm Φ14+1Φ10 [1] [] L 3 =6 m 663 mm 3Φ14+1Φ16 387 mm 466 mm Φ14+1Φ10 466 mm [3] L 3 =6 m 308 mm Φ14 663 mm 3Φ14+1Φ16 1Φ14+1Φ16 Φ14 1Φ14+1Φ16 Φ14 1Φ14+1Φ16 1Φ10 1Φ10 1Φ10 1Φ10 K 1 K Φ14 K 3 Σχήµα 15 Τελική τοποθέτηση διαµήκους οπλισµού Άρα µε βάση τη τελική τοποθέτηση οπλισµού, µετά τον έλεγχο κατασκευαστικών διατάξεων, οι ποσότητες που έχουν προκύψει είναι ως εξής: Άνοιγµα: Κάτω πέλµα (εφελκυσµός): Φ14+1Φ10 = 387 mm Άνω πέλµα (θλίψη): Φ14 = 308 mm (ελάχιστα) Στήριξη: Άνω πέλµα (εφελκυσµός): 3Φ14+1Φ16 = 663 mm Κάτω πέλµα (θλίψη): Φ14+Φ10= 466 mm Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης

4 Έλεγχος απόστασης οπλισµών «Οι ελάχιστες οριζόντιες (c h ) ή κατακόρυφες (c v ) αποστάσεις µεταξύ ράβδων ορίζονται στον Ευρωκώδικα : 0 mm 0 mm c v, c h max ιάµετρος µεγαλύτερης ράβδου Φ L = max 14 mm Μέγιστος κόκκος αδρανών + 5mm 30+5 = 35 mm Άρα c v, c h max (0mm, 16mm, 30+5mm) = 35 mm Έλεγχος στη διατοµή στήριξης Στο κάτω πέλµα έχουµε συνολικά Φ14 + Φ10 Έστω συνδετήρα Φ8 Πλάτος διατοµής = επικαλύψεις + διατοµή συνδετήρα + διατοµές ράβδων + αποστάσεις ράβδων Ή αλλιώς c+ ΣΦ h +ΣΦ L +Σc h = 5 + 8 + 14 + 10 + 3 35 = 19 mm < 50 mm Άρα οι οπλισµοί µπορούν να µπουν σε µία σειρά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, αυξάνοντας το c h ή και το c Στο πάνω πέλµα έχουµε 3Φ14 + 1Φ16 Άρα c+ ΣΦ h +ΣΦ L +Σc h = 5 + 8 + 3 14 + 16 + 3 35 = 9 mm > 50 mm Άρα οι οπλισµοί µπορούν να µπουν σε µία σειρά (βλσχ16α) Φ16 Φ14 Φ14 Φ10 c c Φ14 c h (α) Φ10 c Φ14 Φ14 Φ10 (β) c Φ14 Σχήµα 16 Θέσεις οπλισµού στις διατοµές (α) στήριξης και (β) µέσον ανοίγµατος Στο κάτω πέλµα του ανοίγµατος ο οπλισµός είναι Φ14+Φ10 και προφανώς χωράει σε µία στρώση (σχ 16β) αφού ο αντίστοιχος στην στήριξη ήταν 1Φ10 παραπάνω και αποδείχθηκε ότι χωρούσε Επιμέλεια: Δρ Σωτήρης Δέμης 3