To 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας

o 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας - Το 1 ο Θεώρημα Ευημερίας (FW) εξασφαλίζει ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto αλλά δεν εξασφαλίζει μια ίση διανομή των οικονομικών οφελών μεταξύ των ατόμων. - Δηλαδή, η (αποτελεσματική κατά Pareto) κατανομή ισορροπίας μπορεί να μην είναι επιθυμητή από διανεμητική άποψη. Η επίτευξη μιας λιγότερο άνισης διανομής προϋποθέτει κάποιου είδους παρέμβαση στην αγορά (π.χ. μέσω ενός συστήματος φόρων και μεταβιβάσεων). Εφάπαξ Αναδιανομή του Πλούτου - Έστω ότι ο κοινωνικός σχεδιαστής εφαρμόζει μια πολιτική εφάπαξ φόρων και μεταβιβάσεων (lump-sum transfers) A, B. (όπου Τ j είναι η εφάπαξ μεταβίβαση στον καταναλωτή j=a,b) 1

- Αν Τ j >0, ο καταναλωτής j εισπράττει μια εφάπαξ μεταβίβαση. - Αν Τ j < 0, ο καταναλωτής j πληρώνει έναν εφάπαξ φόρο. - Υποθέτουμε: Τ Α + Τ Β = 0 Ο κυβερνητικός προϋπολογισμός είναι ισοσκελισμένος (δηλαδή ο κοινωνικός σχεδιαστής αναδιανέμει απλώς τον πλούτο μεταξύ των καταναλωτών Α και Β). - Ορισμός. Μια ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις σε μια ανταλλακτική οικονομία αποτελείται από ένα * * διάνυσμα τιμών p* = ( p1, p2), μια μη σπάταλη κατανομή x = ( xa, xb) = (( A1, A2 ),( B1, B2 )) και ένα σύνολο εφάπαξ μεταβιβάσεων A, B (με Τ Α +Τ Β =0) τέτοια ώστε: (i) Κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό: U ( A, A ) U ( A, A ), ( A, A ) R : p A + p A M = p e + p e + 2 * * * * A 1 2 A 1 2 1 2 1 1 2 2 A 1 A1 2 A2 A 2 * * * * B( 1, 2 ) ( 1, B 2), ( 1, 2) R : 1 1+ 2 2 B = 1 B1+ 2 B2 + B U B B U B B B B p B p B M p e p e

(ii) Όλες οι αγορές εκκαθαρίζονται, δηλαδήησυνολικήζήτηση(d i ) είναι ίση με τη συνολική προσφορά (S i ) για όλα τα αγαθά i=1,2: * * * * D = S A( p, p ) + B ( p, p ) = e + e 1 1 1 1 2 1 1 2 A1 B1 D = S A ( p, p ) + B ( p, p ) = e + e, * * * * 2 2 2 1 2 2 1 2 A2 B2 όπου A( p, p ) i 1 2 : H Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης του Α για το αγαθό i. Bi ( p1, p2) - Το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για τον καταναλωτή Α είναι: max u ( A, A ) { A, A } 1 2 A 1 2 : H Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης του Β για το αγαθό i. st.. p A + p A M = pe + p e + A, A 0 1 1 2 2 A 1 A1 2 A2 A 1 2 -H FOC για τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του Α είναι: p1 UA / A1 = = MRS A (1) p U / A 2 A 2 ( UMP A ) 3

- Όμοια, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για τον καταναλωτή Β είναι: max u ( B, B ) { A, A } 1 2 B 1 2 st.. pb + p B M = pe + p e + 1 1 2 2 B 1 B1 2 B2 B B1, B2 0 -H FOC για τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή Βείναι: p1 UB / B1 = = MRSB (2) p U / B 2 B 2 Από (1), (2) Σε κάθε ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις, πρέπει να ισχύει: MRS A UA/ A U / B p = = = = U / A U / B p A * 1 B 1 1 MRSB * 2 B 2 2 ( UMP B ) (οι καμπύλες αδιαφορίας των καταναλωτών εφάπτονται μεταξύ τους 4 και η κλίση τους ισούται με το λόγο των τιμών των δύο αγαθών) (3)

- Επίσης, γνωρίζουμε (βλ. Lecture Notes Week 12, σελ. 11) ότι για κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή ισχύει: μ U / A U / B = = MRS = = MRS μ 1 A 1 B 1 A 2 UA/ A2 UB / B2 Από (3), (4) => Η ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις ικανοποιεί τη συνθήκη αριστοποίησης κατά Pareto. - Άρα: Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι άριστη κατά Pareto. Η εφάπαξ αναδιανομή του πλούτου μεταξύ των καταναλωτών είναι δυνατή χωρίς να μειωθεί η οικονομική αποτελεσματικότητα. - Εξήγηση: Οι εφάπαξ μεταβιβάσεις δεν επηρεάζουν τις σχετικές τιμές που αντιμετωπίζουν οι καταναλωτές και, επομένως, δε στρεβλώνουν τα σήματα της αγοράς και τις επιλογές των ατόμων. B (4) 5

2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας (Second Fundamental heorem of Welfare Economics - SW). Αν οι προτιμήσεις όλων των καταναλωτών είναι συνεχείς, κυρτές και αυστηρώς μονοτονικές, τότε οποιαδήποτε άριστη κατά Pareto κατανομή μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία με τις κατάλληλες εφάπαξ μεταβιβάσεις. - Μια πιο επίσημη διατύπωση του SW είναι η εξής: Για οποιαδήποτε άριστη κατά Pareto κατανομή x*, υπάρχει ένα σύνολο τιμών p* τέτοιο ώστε το διάνυσμα (p*,x*) αποτελεί μια ανταγωνιστική ισορροπία με τις κατάλληλες εφάπαξ μεταβιβάσεις. - Ο κοινωνικός σχεδιαστής μπορεί να πετύχει οποιαδήποτε άριστη κατά Pareto κατανομή επιθυμεί αναδιανέμοντας αρχικά τον πλούτο με τη χρήση εφάπαξ μεταβιβάσεων και αφήνοντας έπειτα τις ανταγωνιστικές αγορές να λειτουργήσουν (δηλαδή αφήνοντας την οικονομία να φτάσει σε ισορροπία) χωρίς καμία άλλη παρέμβαση. 6

- Το SW παρέχει ένα θεωρητικό επιχείρημα υπέρ της χρήσης των ανταγωνιστικών αγορών ακόμα και για την εκπλήρωση αναδιανεμητικών στόχων (εκτός από το στόχο της οικονομικής αποτελεσματικότητας). - Είναι δυνατή η χρησιμοποίηση των ανταγωνιστικών αγορών σε συνδυασμό με μια πολιτική εφάπαξ μεταβιβάσεων κατά τρόπο ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή αναδιανομή του πλούτου χωρίς να μειωθεί η οικονομική αποτελεσματικότητα. => Δεν υπάρχει δίλημμα μεταξύ ισότητας και οικονομικής αποτελεσματικότητας (equity efficiency tradeoff). 7

Διαγραμματική Παρουσίαση 2 ου Θεωρήματος Ευημερίας (με Εφάπαξ Μεταβιβάσεις) Α 2 Β 1 Ο Β Σύνολο Pareto Ε Ε IC A BC 0 IC B e BC Ο Α Α 1 BC p A p A M p e p e * * * * 0 : 1 1+ 2 2 = A = 1 A1+ 2 A2 BC : p A + p A = M = p e + p e + Β 2 * * * * 1 1 2 2 A 1 A1 2 A2 A 8

- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από το σημείο e. - Η αρχική ανταγωνιστική ισορροπία παριστάνεται από την (άριστη κατά Pareto) κατανομή Ε και το διάνυσμα τιμών ισορροπίας είναι * * p* = ( p1, p2). -H αρχική θέση της γραμμής εισοδηματικού περιορισμού είναι η BC o. - Έστω ότι η κοινωνικά επιθυμητή κατανομή (από διανεμητική άποψη) είναι η άριστη κατά Pareto κατανομή Ε, η οποία ευνοεί περισσότερο τον Β σε σχέση με την κατανομή Ε. H κατανομή E μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία με τις κατάλληλες εφάπαξ μεταβιβάσεις, ως εξής: (1) Η φορολογική αρχή εφαρμόζει μια πολιτική εφάπαξ μεταβιβάσεων Α, Τ Β (με Τ Α +Τ Β =0, Τ Α <0), η οποία μετατοπίζει τη γραμμή εισοδηματικού περιορισμού προς τα αριστερά στη θέση BC. (δηλαδή ο Α πληρώνει έναν εφάπαξ φόρο A καιοβεισπράττειμια εφάπαξ μεταβίβαση Τ Β ). 9

(2) Μετά την εφαρμογή των εφάπαξ μεταβιβάσεων, το διάνυσμα * * τιμών p* = ( p1, p2) εκκαθαρίζει τις αγορές και η επιθυμητή άριστη κατά Pareto κατανομή Ε προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία. - Δηλαδή: Η επιθυμητή κατανομή Ε επιτυγχάνεται αναδιανέμοντας αρχικά τον πλούτο (μεταξύ των καταναλωτών Α, Β) με τη χρήση εφάπαξ μεταβιβάσεων και αφήνοντας έπειτα τις ανταγωνιστικές αγορές να λειτουργήσουν χωρίς καμία άλλη παρέμβαση. - Παρατήρηση: Η απαιτούμενη μεταβίβαση πλούτου (για να επιτευχθεί η κατανομή Ε ως ανταγωνιστική ισορροπία) μπορεί επίσης να πραγματοποιηθεί με την άμεση αναδιανομή των περιουσιών (αντί να εφαρμοστεί ένα σύστημα εφάπαξ φόρων και μεταβιβάσεων), όπως δείχνει η ανάλυση που ακολουθεί. 10

Διαγραμματική Παρουσίαση 2ου Θεωρήματος Ευημερίας (με άμεση αναδιανομή των περιουσιών) Α 2 Β 1 Ο Β Σύνολο Pareto Ε BC p A p A M * * : 1 1+ 2 2 = A IC A Ο Α IC B e e e Α 1 Β 2 11

- Οι αρχικές περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από το σημείο e. -H κοινωνικά επιθυμητή κατανομή είναι η άριστη κατά Pareto κατανομή E. - Οι καμπύλες αδιαφορίας των καταναλωτών IC A, IC B εφάπτονται στο (άριστο κατά σημείο Pareto) σημείο E. - Αν η κοινή εφαπτομένη των IC A, IC B αποτελεί τη γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού των καταναλωτών, τότε η επιθυμητή κατανομή E προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία και το * * διάνυσμα ισορροπίας των τιμών είναι p* = ( p, p ). 1 2 - Για να είναι αυτή η κοινή εφαπτομένη πραγματικά η γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού, απαιτείται μια αναδιανομή των περιουσιών κατά τρόπο ώστε το νέο σημείο των περιουσιών να είναι κάποιο σημείο επί της ευθείας BC. 12

- Παράδειγμα 1. Αν γίνει μια αναδιανομή του αγαθού 1 (από τον Α στον Β) που μετακινεί το σημείο των περιουσιών από το e στο e, τότε η κατανομή Ε προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία με * * διάνυσμα τιμών ισορροπίας p* = ( p, p ). 1 2 - Παράδειγμα 2. Αν γίνει μια αναδιανομή του αγαθού 2 (από τον Α στον Β) που μετακινεί το σημείο των περιουσιών από το e στο e, τότε η κατανομή Ε προκύπτει πάλι ως ανταγωνιστική ισορροπία με διάνυσμα τιμών ισορροπίας p *. - Παράδειγμα 3. Αν είναι εύκολη η αναδιανομή των περιουσιών, τότε ο κοινωνικός σχεδιαστής μπορεί να μετακινήσει απευθείας το σημείο των περιουσιών από το e στο επιθυμητό σημείο Ε. => Στην περίπτωση αυτή, η κατανομή E προκύπτει πάλι ως ανταγωνιστική ισορροπία με διάνυσμα τιμών p * (χωρίς να γίνουν καθόλου συναλλαγές στην αγορά). 13

- Άρα, η επιθυμητή (άριστη κατά Pareto) κατανομή Ε μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία με την κατάλληλη αναδιανομή των περιουσιών, ως εξής: (1) Ο κοινωνικός σχεδιαστής αναδιανέμει τις αρχικές περιουσίες κατά τρόπο ώστε το νέο σημείο των περιουσιών να βρίσκεται επί της κοινής εφαπτομένης των καμπυλών αδιαφορίας IC, IC. (2) Μετά την αναδιανομή των περιουσιών, το διάνυσμα τιμών p* εκκαθαρίζει τις αγορές και η επιθυμητή κατανομή Ε προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία. - Δηλαδή, η επιθυμητή κατανομή Ε μπορεί να επιτευχθεί αναδιανέμοντας αρχικά τις περιουσίες των καταναλωτών με τον κατάλληλο τρόπο και αφήνοντας έπειτα τις ανταγωνιστικές αγορές να λειτουργήσουν χωρίς καμία άλλη παρέμβαση. A B 14

- Συμπέρασμα: Η απαιτούμενη αναδιανομή του πλούτου (ώστε η επιθυμητή άριστη κατά Pareto κατανομή να προκύψει ως ανταγωνιστική ισορροπία) μπορεί να επιτευχθεί είτε με τη χρήση εφάπαξ μεταβιβάσεων είτε με την άμεση αναδιανομή των περιουσιών. - Αλλά: Στην πράξη, μπορεί να είναι δύσκολη η αναδιανομή των περιουσιών (για παράδειγμα, η περιουσία των καταναλωτών περιλαμβάνει την εμπειρία ή τις ικανότητές τους, οι οποίες δεν μπορούν να μεταβιβαστούν από το ένα άτομο στο άλλο). => Τότε, η δυνατότητα χρησιμοποίησης ενός συστήματος εφάπαξ φόρων και μεταβιβάσεων αποκτά ιδιαίτερη σημασία. 15

Αποτυχίες του 2 ου Θεωρήματος Ευημερίας -Αν δεν είναι κυρτές οι προτιμήσεις όλων των καταναλωτών, τότε το 2 ο Θεώρημα Ευημερίας μπορεί να μην ισχύει. Α 2 Β 1 IC A Ο Β Σύνολο Pareto Ε IC B Ε Ο Α Α 1 Β 2 16

- Στο διάγραμμα, οι προτιμήσεις (καμπύλες αδιαφορίας) του Α δεν είναι κυρτές. - Έστω ότι η κοινωνικά επιθυμητή κατανομή είναι η άριστη κατά Pareto κατανομή E. Η κατανομή Ε δεν μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία. - Εξήγηση: Ακόμα και αν ο πλούτος διανεμηθεί κατά τρόπο ώστε το σημείο των περιουσιών να βρίσκεται επί της κοινής εφαπτομένης των IC A, IC B και αυτή η κοινή εφαπτομένη αποτελεί τη γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού, η επιθυμητή κατανομή Ε δεν προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία. (ο Β μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του επιλέγοντας το σημείο E, αλλά ο Α μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του επιλέγοντας το σημείο E => Οι αγορές δεν εκκαθαρίζονται) 17

Πρακτικοί Περιορισμοί στην Εφαρμογή του 2 ου Θεωρήματος Ευημερίας (1) Αν ο κοινωνικός σχεδιαστής επιδιώκει να πετύχει μια άριστη κατά Pareto κατανομή ως ανταγωνιστική ισορροπία, πρέπει να διασφαλίσει ότι οι τιμές θεωρούνται δεδομένες από τους καταναλωτές (και τις επιχειρήσεις). Αν η διάρθρωση των αγορών δεν εξασφαλίζει αυτομάτως ότι οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις είναι αποδέκτες τιμών (δηλαδή αν οι αγορές δεν είναι ανταγωνιστικές), τότε ο κοινωνικός σχεδιαστής πρέπει να επιβάλει τις τιμές (που εξασφαλίζουν ότι η επιθυμητή κατανομή προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία), εποπτεύοντας όλες τις συναλλαγές. 18

(2) Περιορισμοί Πληροφόρησης (Informational Constraints) - Αν ο κοινωνικός σχεδιαστής επιδιώκει να χρησιμοποιήσει το SW για να πετύχει μια συγκεκριμένη άριστη κατά Pareto κατανομή ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις, τότε πρέπει να γνωρίζει τις προτιμήσεις και τις περιουσίες όλων των καταναλωτών στην οικονομία, ώστε: (i) Να μπορεί να προσδιορίσει την επιθυμητή άριστη κατά Pareto κατανομή. (ii) Να υπολογίσει το διάνυσμα τιμών p* που εξασφαλίζει ότι η επιθυμητή κατανομή προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία με τις κατάλληλες εφάπαξ μεταβιβάσεις. (iii) Να υπολογίσει τα κατάλληλα επίπεδα εφάπαξ φόρων και μεταβιβάσεων για κάθε καταναλωτή στην οικονομία. 19

- Στην πράξη, αυτή η πληροφόρηση πιθανότατα δεν είναι διαθέσιμη. Τα περισσότερα αναδιανεμητικά σχέδια δεν καταφέρνουν να έχουν εφάπαξ χαρακτήρα και, επομένως, στρεβλώνουν το μηχανισμό των τιμών και τις επιλογές των ατόμων. Παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι ο κοινωνικός σχεδιαστής θέλει να μεταβιβάσει πλούτο από τα άτομα που έχουν υψηλότερες εργασιακές ικανότητες προς τα άτομα που έχουν χαμηλότερες εργασιακές ικανότητες. - Η άμεση αναδιανομή των περιουσιών των καταναλωτών δεν είναι δυνατή (διότι οι ικανότητες δεν μπορούν να μεταβιβαστούν από το ένα άτομο στο άλλο) Ο κοινωνικός σχεδιαστής πρέπει να εφαρμόσει μια πολιτική εφάπαξ φόρων και μεταβιβάσεων. - Αλλά: Το επίπεδο της εργασιακής ικανότητας κάθε ατόμου δεν είναι παρατηρήσιμο με ακρίβεια. 20

O σχεδιαστής (η φορολογική αρχή) θα βασιστεί στα παρατηρούμενα πραγματικά εισοδήματα των καταναλωτών για να διακρίνει εκείνους που έχουν υψηλότερες εργασιακές ικανότητες. Η φορολογική αρχή επιβάλει φόρους στα άτομα που έχουν υψηλότερα εισοδήματα και μεταβιβάζει τα φορολογικά έσοδα στα άτομα που έχουν χαμηλότερα εισοδήματα. - Αλλά: Οι φόροι και οι μεταβιβάσεις που βασίζονται στα παρατηρούμενα εισοδήματα δεν έχουν εφάπαξ χαρακτήρα. - Εξήγηση: Τα άτομα αντιλαμβάνονται ότι μπορούν να μεταβάλλουν το ποσό της φορολογικής επιβάρυνσής τους μεταβάλλοντας τις επιλογές και, επομένως, το εισόδημά τους. => Η φορολογία εισοδήματος στρεβλώνει τις επιλογές των ατόμων και, επομένως, δεν έχει εφάπαξ χαρακτήρα. 21

(3) Περιορισμοί Εκτελεσιμότητας (Enforceability Constraints) - Ακόμα και αν ο κοινωνικός σχεδιαστής διαθέτει όλη την αναγκαία πληροφόρηση, πρέπει επίσης να έχει την απαιτούμενη δύναμη για να επιβάλει τις αναγκαίες μεταβιβάσεις πλούτου μέσω κάποιου μηχανισμού φόρων και μεταβιβάσεων τον οποίο δεν μπορούν να αποφύγουν τα άτομα. Αν δεν είναι δυνατοί οι εφάπαξ φόροι και μεταβιβάσεις (λόγω των περιορισμών πληροφόρησης και εκτελεσιμότητας), τότε το SW καταρρέει. - Η ανταγωνιστική ισορροπία με μοναδιαία (όχι εφάπαξ) φορολογία δεν είναι άριστη κατά Pareto. - Τα συνήθη σχέδια αναδιανομής είναι στρεβλωτικά, δηλαδή οι αναδιανεμητικοί στόχοι εκπληρώνονται σε βάρος της οικονομικής αποτελεσματικότητας. => Στην περίπτωση αυτή, προκύπτει ένα δίλημμα μεταξύ Ισότητας και αποτελεσματικότητας (Equity Efficiency radeoff ). 22

- Παράδειγμα (συνέχεια). Υποθέτουμε μια ανταλλακτική οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές: Α, Β. Δύο αγαθά: 1, 2. - Οι καταναλωτές περιγράφονται από τις συναρτήσεις χρησιμότητας και τις περιουσίες τους: 1/2 1/2 UA( A1, A2) = 2 A1 A2, ea = ( ea 1, ea2) = (1,0) 1/2 1/2 U ( B, B ) = 2 B B, eb = ( eb 1, eb2) = (0,1) B 1 2 1 2 - Έχουμε ήδη υπολογίσει την ανταγωνιστική ισορροπία στη συγκεκριμένη οικονομία: * * ( p1, p2) = (1,1) * * 1 1 * * 1 1 ( A1, A2) = (, ), ( B1, B2) = (, ) 2 2 2 2 U U = * * ( A, B) (1,1) (Τιμές Ισορροπίας) (Χρησιμότητες Ισορροπίας) (Ποσότητες Ισορροπίας) 23

- Έχουμε υπολογίσει επίσης όλες τις άριστες κατά Pareto κατανομές και το όριο Pareto (βλ. Lecture Notes Week 12, σελ. 23 και 25): U B A1 = A2 = 1 2 U B B1 = B2 = 2 U = 2 U, 0 U 2 (Όριο Pareto) A B B (Άριστες κατά Pareto κατανομές) - Έστω ότι η κυβέρνηση εφαρμόζει μια πολιτική εφάπαξ μεταβιβάσεων Τ Α, Τ Β ( με Τ Α +Τ Β =0 ). - Υπολογίζουμε την ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις, ακολουθώντας τη γενική μεθοδολογία που γνωρίζουμε για τον υπολογισμό της ανταγωνιστικής ισορροπίας. 24

1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το εισόδημα κάθε καταναλωτή. - Ητιμήτουαγαθού1 είναι p 1 και η τιμή του αγαθού 2 είναι p 2. Θέτουμε p 1 =1 και αναζητούμε την τιμή ισορροπίας p 2 = p. -o εισόδημα του καταναλωτή Α είναι: M = pe + pe + = p 1+ p 0+ = p + = 1+ A 1 A1 2 A2 A 1 2 A 1 A A -o εισόδημα του καταναλωτή Β είναι: M = pe + pe + = p 0+ p 1+ = p + = p+ B 1 B1 2 B2 B 1 2 B 2 B B - Πρέπει: M A = 1+ A = 1 B 0 B 1 M = p+ 0 p B B B p B 1 (5) 25

2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για κάθε καταναλωτή. - Κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό. Καταναλωτής Α max u ( A, A ) = 2A A { A, A } 1 2 A 1/2 1/2 1 2 1 2 st.. p A + p A M A + pa M = 1+ 1 1 2 2 A 1 2 A A A, A 0 1 2 - ΗλύσητουUMP AΤ είναι: M A M A 1+ A 1+ A ( A1, A2 ) =, =, (6) 2 2p 2 2p ( UMP A ) (Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης του Α) 26

Καταναλωτής Β max u ( B, B ) = 2B B { B, B } 1 2 B 1/2 1/2 1 2 1 2 s.. t p B + p B M B + pb M = p + 1 1 2 2 B 1 2 B B B, B 0 1 2 - ΗλύσητουUMP ΒΤ είναι: ( UMP B ) MB MB p+ B p+ B ( B1, B2 ) =, =, (7 2 2p 2 2p ) (Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης του Β) 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε επιχείρηση. - Αφού η οικονομία είναι ανταλλακτική (δενυπάρχουνδυνατότητες παραγωγής), το βήμα 3 παραλείπεται και προχωράμε απευθείας στο βήμα 4. 27

4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και λύνουμε ως προς τις τιμές ισορροπίας. i i D = S A + B = 1 (8) 1 1 1 1 D = S A + B = 1 (9) 2 2 2 2 (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά 1) (Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά 2) - Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά 1 και λύνουμε ως προς p: (6) 1+ A p+ B A1 + B1 = 1 + = 1 p* = 1 (7) 2 2 - Χρησιμοποιούμε την τιμή ισορροπίας για να υπολογίσουμε τις ποσότητες ισορροπίας και τις χρησιμότητες ισορροπίας. 1+ 1+ 1+ 1+ Για p=p*=1, είναι: A1 =, A2 =, B1 =, B2 = 2 2 2 2 U = 1 +, U = 1 + A A B B A A B B 28

- Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι: ( p, p ) = (1,1) * * 1 2 1+ 1+ 1+ 1+ ( A1, A2 ) = ( A, A ), ( B1, B2 ) = ( B, B ) 2 2 2 2 ( U, U ) = (1 +,1 + ) A B A B όπου: + = 0, p 1 1 1 A B B B Αξιολόγηση Ανταγωνιστικής Ισορροπίας με Εφάπαξ Μεταβιβάσεις - Επαληθεύουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι άριστη κατά Pareto. 1 ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι οι χρησιμότητες ισορροπίας ικανοποιούν την εξίσωση του ορίου Pareto: - Για U = U = 1 +, η άριστη κατά Pareto τιμή της U είναι : B B B A U = 2 U = 2 (1 + ) = 1 = 1 + = U, πράγματι. A B B B A A 29

- Άρα, οι χρησιμότητες ισορροπίας με εφάπαξ μεταβιβάσεις ανήκουν στο όριο Pareto. => Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι άριστη κατά Pareto. 2ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι οι ποσότητες ισορροπίας ( A, A ), ( B, B ) είναι άριστες κατά Pareto 1 2 1 2 UB = UB = + B - Για 1, οι άριστες κατά Pareto ποσότητες είναι : i i i i A A B B U 1+ 1+ = 1 = 1 = 2 2 2 = A, πράγματι. U 1+ 1+ = 1 = 1 = 2 2 2 = A, πράγματι. U 1+ = = 2 2 = B, πράγματι. U 1+ = = 2 2 = B, πράγματι. B B A 1 1 B B A 2 2 B B 1 1 B B 2 2 30

- Άρα, η κατανομή ισορροπίας με εφάπαξ μεταβιβάσεις ανήκει στο σύνολο Pareto. Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι άριστη κατά Pareto. - Επαληθεύουμε ότι ισχύει το SW (δηλαδή ότι κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία με τις κατάλληλες εφάπαξ μεταβιβάσεις), με τους εξής δύο τρόπους: 1 ος τρόπος. Βρίσκουμε το σύνολο των συνδυασμών χρησιμοτήτων που μπορούν να επιτευχθούν ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις και δείχνουμε ότι αυτό το σύνολο ταυτίζεται με το όριο Pareto. - Είναι: U = 1+ = U 1 (10) B B B B (10) (10) - Άρα: U = 1+ = 1 = 2 U, A A B B όπου: 1 1 1 U 1 1 0 U 2 B B B 31

- Άρα, το σύνολο των συνδυασμών χρησιμοτήτων που μπορούν να επιτευχθούν ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι: U = 2 U, 0 U 2 A B B το οποίο ταυτίζεται ακριβώς με το όριο Pareto που υπολογίσαμε παραπάνω (σελ. 24). Κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις, δηλαδή ισχύει το SW. 2 ος τρόπος. Δείχνουμε ότι το σύνολο των κατανομών ( A1, A2 ), ( B1, B2 ) που μπορούν να επιτευχθούν ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις ταυτίζεται με το σύνολο των άριστων κατά Pareto κατανομών. 32

(10) 1+ A 1 B 2 UB UB 1 = A2 = = = = - Είναι: A 1 2 2 2 2 (10) 1+ B UB - Όμοια: B1 = B2 = = 2 2 - Άρα, το σύνολο των κατανομών που μπορούν να επιτευχθούν ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι: UB UB ( A1, A2 ) = (1,1 ) 2 2 UB UB ( B1, B2 ) = (, ), με 0 UB 2 2 2 το οποίο ταυτίζεται ακριβώς με το σύνολο των άριστων κατά Pareto κατανομών που υπολογίσαμε παραπάνω (σελ. 24). Κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις, δηλαδή ισχύει το 33 SW.

- Ερώτημα: Ποιες είναι οι εφάπαξ μεταβιβάσεις Τ Α, Τ Β που απαιτούνται ώστε ο Α να καταναλώνει ποσότητα Α 1 =3/4 σε ισορροπία; 1+ A 3 i Πρέπει : A1 = = A = 1/2 2 4 Οι απαιτούμενες εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι: Τ Α =1/2, Τ Β = 1/2. - Στην περίπτωση αυτή, η ανταγωνιστική ισορροπία είναι: ( p, p ) = (1,1) * * 1 2 3 3 1 1 ( A1, A2 ) = (, ), ( B1, B2 ) = (, ) 4 4 4 4 3 1 ( UA, UB) = (, ) 2 2 - Απεικονίζουμε γραφικά αυτή την ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις (σημείο Τ) στο όριο Pareto και στο κουτί του Edgeworth: 34

Α 2 3/2 Γραμμή Εισοδηματικού Περιορισμού με Τ Α =1/2 ( Α +Α = 3/2) 1 2 Β 1 1 1/2 1/4 Ο Β Σύνολο Pareto (A 2 = A 1 ) 3/4 Τ 1/4 1/2 E U A U B * U A 1/2 Αρχική Γραμμή Εισοδηματικού Περιορισμού ( Α +Α = 1) 1 2 Ο Α 1/2 * U B 3/4 1 e 3/2 Α 1 Β 2 35

U A 2 3/2 1 Ε Όριο Pareto (U A =2 U B ) 0 1/2 1 2 U B - Σημείο Ε: Αρχική Ανταγωνιστική Ισορροπία (χωρίς εφάπαξ μεταβιβάσεις). - Σημείο Τ: Ανταγωνιστική Ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις Τ Α = 1/2, Τ Β = 1/2. 36