Υπολογισμός Κυματικής Δύναμης σε σύστημα πασσάλων Θαλάσσιας Εξέδρας Περιγραφή Προβλήματος Απαιτείται η κατασκευή μιας θαλάσσιας εξέδρας σε θαλάσσια περιοχή με κυματικά χαρακτηριστικά Η = 4.65m, T = 8.5sec. Προτείνεται η έδραση της εξέδρας να υλοποιηθεί επί συστήματος τριών κατακόρυφων πασσάλων διατεταγμένων στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, με διάμετρο D = 0.6m ο καθένας και αξονική απόσταση μεταξύ τους x = 20.0m. Μεταξύ των πασσάλων η σύνδεση επιτυγχάνεται με οριζόντια και διαγώνια μεταλλικά στοιχεία. Το βάθος στην περιοχή της κατασκευής είναι d = 30.0m ενώ ο κυματισμός προσπίπτει στο σύστημα υπό γωνία θ = 60 ο ως προς τη μια πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου όπως απεικονίζεται στο σχήμα 1. Παραδοχές : Να θεωρηθεί ότι οι κυματισμοί είναι γραμμικοί, πρώτης τάξεως. Για τον υπολογισμό των παραμέτρων CM και CD να χρησιμοποιηθούν τα διαγράμματα Sarpkaya. Η σχετική τραχύτητα της εξωτερικής επιφάνειας του πασσάλου να ληφθεί ίση με 1/100. Για τις μελέτες των χρονικών μεταβολών των δυνάμεων να ληφθεί χρόνος μελέτης μιας περιόδου κύματος Τ, και χρονικό βήμα Τ/16. y x Π1 (0,0) 60 o 60 o Π2 (σχ. 1) Π3 Ζητήματα προς επίλυση: Α. Ποια είναι η κατανομή με το βάθος της μέγιστης δύναμης αδράνειας και της μέγιστης δύναμης σύρσης στον πάσσαλο 1; Β. Ποια είναι η μεταβολή με το χρόνο της δύναμης αδράνειας και της δύναμης σύρσης ξεχωριστά, στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού, στον πάσσαλο 1 ; Τι παρατηρείτε και πού κατά τη γνώμη σας οφείλεται αυτό; Γ. Ποια είναι η διαφορά φάσης της δύναμης αδράνειας μεταξύ των πασσάλων 1-2 και η αντίστοιχη της συνολικής δύναμης μεταξύ των πασσάλων 1-3 (οι δυνάμεις λαμβάνονται στην επιφάνεια του νερού); 2
ΛΥΣΗ: Έστω x1, x2 και x3, οι τετμημένες της θέσης των πασσάλων στο σύστημα συντεταγμένων xy το οποίο είναι στη διεύθυνση της μετάδοσης των κυματισμών. Τότε αυτές είναι: x x 1 = Π1 = 0m. x 2 = Π1Π2 cos60 o = 20.0 x 0.5 = 10.0m. y x1 = Π1 x2 60 o 20m Π2 x 3 = Π1Π3 (sin-30 o ) = 20.0 x 0.5 = - 10.0m. y Π1 x3 x 60 o Π3 Προκειμένου να υπολογιστούν τα ζητούμενα μεγέθη απαιτείται ο καθορισμός των εξισώσεων που χαρακτηρίζουν τον κυματισμό και των εξισώσεων που υπολογίζουν τις ασκούμενες δυνάμεις στους πασσάλους. Υπολογίζουμε το μήκος κύματος από την εξίσωση διασποράς: L = gt 2 tanh(kd) / 2π, όπου k = 2π/L ο αριθμός κύματος. Με επαναληπτικές δοκιμές για Τ = 8.5sec και d = 30.0m, προκύπτει τελικά L = 106.45m. Ελέγχουμε το βάθος νερού στο οποίο βρισκόμαστε. Είναι: 0.05 < d/l = 30.0 / 106.45 = 0.28 < 0.5. Επομένως δεν είμαστε ούτε στα βαθιά, ούτε στα ρηχά νερά και ισχύουν οι γενικές εξισώσεις. Από αυτές μας ενδιαφέρει η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας της μετάδοσης των κυματισμών: 1 3
Για τον καθορισμό των εξισώσεων υπολογισμού των ασκούμενων δυνάμεων είναι Η / 2α = 4.65 / (2. 0.6) = 3.87 2πα / L = 2π. 0.6 / 106.45 = 0.035 < 0.1 } Προκύπτει η χρησιμοποίηση της εξίσωσης Morison. Η εξίσωση Morison αποτελείται από τη δύναμη αδράνειας και τη δύναμη σύρσης και έχει τη μορφή (σελ.5/αγγελίδης): (2) df(t): η δύναμη σε ένα διαφορικό τμήμα μήκους ds του κυλίνδρου. CM: ο συντελεστής αδράνειας ή συντελεστής πραγματικής μάζας. ρ: η πυκνότητα του νερού. D: η διάμετρος του κυλίνδρου. : η επιτάχυνση του σωματιδίου του νερού. CD: ο συντελεστής σύρσης (drag coefficient) : η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του σωματιδίου του νερού. Προκειμένου να υπολογιστούν οι συντελεστές CM και CD χρησιμοποιούνται τα εξής σχήματα (διαγράμματα Sarpkaya et al, 1977) που απεικονίζουν τη μεταβολή των συντελεστών έναντι του αριθμού Reynolds, του αριθμού Keulegan-Carpenter και της σχετικής τραχύτητας του κυλίνδρου: 4
Ο αριθμός Keulegan-Carpenter υπολογίζεται από τη σχέση: K = T / D, όπου η είναι η μέγιστη ταχύτητα του ημιτονοειδούς ρεύματος στην επιφάνεια του νερού. Από την εξίσωση (1) για cos(kx - σt) = 1 οπότε και = έχουμε:. / Επομένως ο αριθμός Keulegan-Carpenter είναι: K = T / D = 25.8 ~ 26 Ο αριθμός Reynolds υπολογίζεται από τη σχέση: Re = D / ν = 10.93 ~ 11 x 10 5 Επομένως για Κ = 26, Re = 11 και k/d = 1/100 από τα διαγράμματα Sarpkaya et al, 1977 και με γραμμική παρεμβολή μεταξύ Κ = 20 και Κ = 60, έχουμε τελικά: C M = 1.245 και C D = 1.77. Έχοντας τα παραπάνω στοιχεία μπορούμε να απαντήσουμε στα ανάλογα ερωτήματα. 5
Α. Ποια είναι η κατανομή με το βάθος της μέγιστης δύναμης αδράνειας και της μέγιστης δύναμης σύρσης στον πάσσαλο 1; Η εξίσωση Morison διακρίνεται στις εξής συνιστώσες:, η δύναμη αδράνειας, η δύναμη σύρσης Για τον πάσσαλο 1 η δύναμη αδράνειας είναι: 4 4 2 Στην παραπάνω σχέση και εφόσον εξετάζεται η κατανομή με το βάθος, η μέγιστη τιμή λαμβάνεται για sin(kx - σt) = 1. Έτσι η μορφή της εξίσωσης της μέγιστης δύναμης αδράνειας είναι: 2 3 Από την εξ. 3 για τον πρώτο πάσσαλο (x1 = 0m) και με βήμα βάθους ανά 3.0m παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: 6
z d+z 0,059*(d+z) cosh[0,059*(d+z)] 0 30 1.77 3.021-3 27 1.593 2.561-6 24 1.416 2.182-9 21 1.239 1.871-12 18 1.062 1.619-15 15 0.885 1.418-18 12 0.708 1.261-21 9 0.531 1.144-24 6 0.354 1.063-27 3 0.177 1.016-30 0 0 1.000 FM1 0.485 0.411 0.350 0.300 0.260 0.228 0.202 0.184 0.171 0.163 0.161 Σύμφωνα με τον πίνακα σχεδιάζεται η κατανομή με το βάθος της μέγιστης δύναμης αδράνειας στον πάσσαλο 1 (Διάγ.-Α1). Η δύναμη σύρσης είναι: 2 2 7
Στην παραπάνω σχέση και εφόσον εξετάζεται η κατανομή με το βάθος, η μέγιστη τιμή λαμβάνεται για. Έτσι η μορφή της εξίσωσης της μέγιστης δύναμης σύρσης είναι: 1 2 4 Από την εξ. 4 και με βήμα βάθους ανά 3.0m παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: z d+z 0,059*(d+z) (cosh[0,059*(d+z)])^2 0 30 1.77 9.124-3 27 1.593 6.558-6 24 1.416 4.760-9 21 1.239 3.500-12 18 1.062 2.621-15 15 0.885 2.010-18 12 0.708 1.591-21 9 0.531 1.309-24 6 0.354 1.131-27 3 0.177 1.032-30 0 0 1.000 FD1 1,802 1,295 0,940 0,691 0,518 0,397 0,314 0,259 0,223 0,204 0,198 Σύμφωνα με τον πίνακα σχεδιάζεται η κατανομή με το βάθος της μέγιστης δύναμης σύρσης στον πάσσαλο 1 (Διάγ.-Α2). 8
Β. Ποια είναι η μεταβολή με το χρόνο της δύναμης αδράνειας και της δύναμης σύρσης ξεχωριστά, στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού, στον πάσσαλο 1; Τι παρατηρείτε και πού κατά τη γνώμη σας οφείλεται αυτό; Η δύναμη αδράνειας για τον πάσσαλο 1 υπολογίζεται από την εξίσωση: 2 5 Για τη μεταβολή με το χρόνο της δύναμης αυτής στον πάσσαλο 1 (x = 0m) στην ελεύθερη επιφάνεια λαμβάνουμε χρονικό διάστημα μελέτης μιας περιόδου και χρονικό βήμα Τ/16. Από την εξίσωση (5) με αντικατάσταση, λαμβάνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: t sin(-0.739*t) 0.000 0.000 0.531-0.383 1.063-0.707 1.594-0.924 2.125-1.000 2.656-0.924 3.188-0.708 3.719-0.383 4.250-0.001 4.781 0.382 5.313 0.706 5.844 0.923 6.375 1.000 6.906 0.924 7.438 0.708 7.969 0.384 8.500 0.002 FM1 0.000-0.186-0.343-0.448-0.485-0.448-0.343-0.186 0.000 0.185 0.343 0.448 0.485 0.449 0.344 0.186 0.001 Σύμφωνα με τον πίνακα σχεδιάζεται η μεταβολή με το χρόνο της δύναμης αδράνειας στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού στον πάσσαλο 1 (Διάγ.-Β1). 9
Η δύναμη σύρσης για τον πάσσαλο 1 υπολογίζεται από την εξίσωση: 1 2 6 Για τη μεταβολή με το χρόνο της δύναμης αυτής στον πάσσαλο 1 (x = 0m) στην ελεύθερη επιφάνεια λαμβάνουμε χρονικό διάστημα μελέτης μιας περιόδου και χρονικό βήμα Τ/16. Από την εξίσωση (6) με αντικατάσταση, λαμβάνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: 10
t cos(-0.739*t) ABS[cos(-0.739*t)] FD1 0,000 1,000 1,000 1,806 0,531 0,924 0,924 1,541 1,063 0,707 0,707 0,903 1,594 0,383 0,383 0,265 2,125 0,000 0,000 0,000 2,656-0,382 0,382-0,264 3,188-0,707 0,707-0,902 3,719-0,924 0,924-1,540 4,250-1,000 1,000-1,806 4,781-0,924 0,924-1,542 5,313-0,708 0,708-0,905 5,844-0,384 0,384-0,266 6,375-0,001 0,001 0,000 6,906 0,381 0,381 0,263 7,438 0,706 0,706 0,900 7,969 0,923 0,923 1,539 8,500 1,000 1,000 1,806 Σύμφωνα με τον πίνακα σχεδιάζεται η μεταβολή με το χρόνο της δύναμης σύρσης στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού στον πάσσαλο 1 (Διάγ.-Β2). Από τις τιμές των δυνάμεων κατά τη μεταβολή τους με το χρόνο μπορεί να παρατηρηθεί ότι η δύναμη σύρσης είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από τη δύναμη αδράνειας στην ίδια χρονική στιγμή. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη σύρσης και σύμφωνα με τους αντίστοιχους συντελεστές αναμένεται να έχει πολύ σημαντικότερη επίδραση επί του πασσάλου (CD>CM) ενώ πρέπει να ληφθεί υπόψη και το γεγονός ότι αποτελεί συνάρτηση του τετραγώνου της ταχύτητας του ρεύματος σε αντίθεση με τη δύναμη αδράνειας που είναι συνάρτηση της επιτάχυνσης αυτού. 11
Επίσης από τα διαγράμματα της μεταβολής προκύπτει το γεγονός ότι μεταξύ τους παρουσιάζουν τόσο διαφορά φάσης όσο και διαφορά περιόδου. Και αυτό οφείλεται στη μορφή των εξισώσεων προσδιορισμού. Γ. Ποια είναι η διαφορά φάσης της δύναμης αδράνειας μεταξύ των πασσάλων 1-2 και η αντίστοιχη της συνολικής δύναμης μεταξύ των πασσάλων 1-3; (οι δυνάμεις λαμβάνονται στην επιφάνεια του νερού). Για τον υπολογισμό της διαφοράς φάσης της δύναμης αδράνειας μεταξύ των πασσάλων 1 και 2 αρκεί να δούμε ότι από την εξίσωση (5) προκύπτει πως η μεταβολή με το χρόνο ακολουθεί ημιτονοειδή συνάρτηση. Η διαφορά φάσης Δφ σε ημιτονοειδή συνάρτηση της μορφής αsin(kx - ωt) μεταξύ δύο διαφορετικών x είναι: Δφ = φ2 φ1 = (kx2 - ωt) - (kx1 - ωt) = k(x2 x1) = 2π(x 2 x 1 ) / L = 0,59. Για τον υπολογισμό της διαφοράς φάσης μεταξύ των πασσάλων 1 και 3 απαιτείται η εύρεση της κατανομής με το χρόνο της δύναμης Morison στην επιφάνεια του νερού σε κάθε πάσσαλο. Έτσι έχουμε: Πάσσαλος 1 Για τον πάσσαλο 1 έχουν ήδη υπολογιστεί οι κατανομές των δυνάμεων σύρσης και αδράνειας ξεχωριστά. Προσθέτοντας για κάθε χρονική στιγμή τις αντίστοιχες τιμές λαμβάνουμε τη μεταβολή της δύναμης Morison με το χρόνο. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα και στο διάγραμμα Γ1. 12
Πάσσαλος 3 Με βάση την εξίσωση Morison, έχουμε: 2 όπου α = k(d+z). 2 Με αντικαταστάσεις στην παραπάνω εξίσωση και για x3 = - 10.0m λαμβάνονται οι τιμές που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. 13
Σύμφωνα με τον πίνακα σχεδιάζεται η μεταβολή με το χρόνο της δύναμης Morison στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού στον πάσσαλο 3 (Διάγ.-Γ2). Για τον υπολογισμό της διαφοράς φάσης μεταξύ των πασσάλων από τα διαγράμματα αλλά και μαθηματικά αντικαθιστώντας στις εξισώσεις βλέπουμε ότι: Σε χρόνο t =10T/16 (=5.313sec) η δύναμη στον πάσσαλο 1 παίρνει τιμή -0.562. Την ίδια τιμή η δύναμη παίρνει στον πάσσαλο 3 σε χρόνο t =8.5T/16 (=4.514sec). Άρα το χρονικό διάστημα μεταξύ της εμφάνισης της ίδιας τιμής σε δύο πασσάλους είναι t = (10-8.5)T/16 = 1.5T/16 (= 0.799sec) και η αντίστοιχη διαφορά φάσης είναι: Δφ = (1.5Τ/16). (2π/Τ) = 0.59 14
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Sarpkaya, T., Collins, N.J., and Evan, S.R., Wave Forces on Rough-Walled Cylinders at High Reynolds Numbers, Offshore Technology Conference 1977, Vol. III, paper No. OTC 2901, pp. 175-184. 15