ΤΕΥΧΟΣ ΕΠΑΜΕΙΝΩΝΔΑΣ ΚΕΧΑΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ

ΤΕΥΧΟΣ 1 ΕΠΑΜΕΙΝΩΝΔΑΣ ΚΕΧΑΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ελεύθερα για ιδιωτική χρήση Νώντας Κεχαγιάς Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων nkechag@uoi.gr Τηλ. 26510-45125 Fax 2651008273

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ II ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί... 1 Σχέσεις... 4... 11 ΠΡΑΞΕΙΣ-ΟΜΑΔΕΣ... 12... 17 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΜΑΔΩΝ... 18... 21 ΟΜΑΔΕΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ... 22 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ... 22 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΕΣ... 23 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ... 26 ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ, ΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ... 29... 34 ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ... 35... 43 ΕΥΘΕΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ... 45... 48 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ... 49... 58 ΣΥΜΠΛΟΚΑ... 60... 67 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ... 68... 78 ΟΜΑΔΑ ΠΗΛΙΚΟ... 80... 84 ΟΜΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ... 85... 92 ΟΜΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ... 95... 104 ΔΙΑΣΠΑΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑΔΩΝ... 105... 115

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤOΥ SYLOW... 116... 129 ΓΙΝΟΜΕΝΑ... 130... 140 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ - ΕΠΙΛΥΣΙΜΕΣ ΟΜΑΔΕΣ... 141 iii

Κεφάλαιο Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 1 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η θεωρία ομάδων αποτελεί ένα βασικό κλάδο της άλγεβρας με σημαντικές εφαρμογές στην τοπολογία-γεωμετρία, μαθηματική φυσική αλλά και σε άλλους κλάδους εκτός των μαθηματικών. Έχει το πλεονέκτημα, έναντι άλλων κλάδων, να μην χρειάζεται κάποιο συγκεκριμένο υπόβαθρο. Μπορεί κάποιος να αρχίσει τη μελέτη του χωρίς να πρέπει να φρεσκάρει τις γνώσεις του σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Παρόλα αυτά παρατηρείται δυσκολία από τους ενδιαφερόμενους μελετητές, κυρίως φοιτητές των τμημάτων της σχολής θετικών επιστημών. Και αυτό δεν είναι καθόλου περίεργο, μια που η μοναδική απαίτηση για την κατανόηση του αντικειμένου είναι επιδεξιότητα στην κατανόηση αφηρημένων εννοιών. Όλες οι έννοιες στη θεωρία ομάδων είναι αφηρημένες, γι αυτό το λόγο άλλωστε έχει και πολλές εφαρμογές σε ανομοιογενείς κλάδους. Επειδή η εποχή μας κατακλύζεται από εικόνες, ο εγκέφαλός μας είναι εξαρτημένος από αυτές. Όταν λοιπόν μελετάμε κάτι νέο, προσπαθούμε να το προσομοιάσουμε με κάτι γνωστό για το οποίο έχουμε κάποια σχετική εικόνα. Στην αφηρημένη θεωρία ομάδων αυτό δεν είναι εφικτό και χρειάζεται ιδιαίτερη προσπάθεια για την εξοικείωση με το αντικείμενο. Η προσπάθειά μας έχει σκοπό να βοηθήσει στην αντιμετώπιση αυτής της δυσκολίας. Θα προσπαθήσουμε με γλαφυρό τρόπο και δίνοντας παραδείγματα να βοηθήσουμε τον αναγνώστη προς αυτή την κατεύθυνση. Επίσης κατά τακτά διαστήματα θα εμπλουτίζεται είτε με ασκήσεις είτε με πιο αντιπροσωπευτικά παραδείγματα. Σκοπός μας είναι ο αναγνώστης να αισθανθεί άνετα με το αντικείμενο κατανοώντας το παράλληλα με την εξέλιξή του. Άλλωστε τα μαθηματικά εξελίσσονται μέσα από συγκεκριμένα φυσικά προβλήματα. Πέραν αυτού, η ύλη που καλύπτουμε είναι η συνήθης για ένα εισαγωγικό μάθημα στη θεωρία ομάδων. Η ισορροπία μεταξύ μαθηματικής αυστηρότητας και ενθαρρυντικής παιδαγωγικής προσέγγισης θα ωφελήσει, πιστεύουμε, τον άπειρο αναγνώστη να συνειδητοποιήσει ότι μπορεί να γίνει κυρίαρχος του αντικειμένου. Το βιβλίο αυτό χωρίζεται σε δύο μέρη, το πρώτο καλύπτει τις βασικές έννοιες και το δεύτερο τα βασικά εργαλεία για μια πιο βαθιά μελέτη στη θεωρία ομάδων.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 2 Κάθε παρατήρηση, όχι μόνο από συναδέλφους, είναι καλοδεχούμενη και θα ωφελήσει αυτή την προσπάθεια. Νώντας Κεχαγιάς

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ ΩΝ Μέρος 1 «ΓΝΩΣΤΑ» ΣΥΝΟΛΑ Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί Όσο και αν φαίνεται παράξενο η μελέτη των φυσικών κρύβει πολλά μυστικά τα οποία ακόμη δεν έχουν αποκαλυφθεί. Ο άνθρωπος είναι εξοικειωμένος με τους φυσικούς αριθμούς (natural numbers) ={0,1,2,3,...} μιας και αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της καθημερινής εμπειρίας. Η έννοια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αποτελεί ένα βίωμα του ανθρώπου, ίσως ισοδύναμο με αυτό του συντακτικού της μητρικής γλώσσας αλλά σίγουρα καθολικότερο μιας και δεν εξαρτάται από συγκεκριμένο γλωσσικό ιδίωμα. Χωρίς κάποιος να έχει μαθηματικές γνώσεις χρησιμοποιεί την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό εντελώς φυσιολογικά. Θεωρεί δεδομένο ότι προσθέτοντας ή και πολλαπλασιάζοντας φυσικούς αριθμούς θα πάρουμε πάλι κάποιον φυσικό αριθμό. Αυτό δεν συμβαίνει βέβαια αν αφαιρέσουμε ή διαιρέσουμε φυσικούς αριθμούς και από αυτήν την παρατήρηση αρχίζει η μελέτη της αλγεβρικής δομής ενός συνόλου. Δηλαδή η «Άλγεβρα». Ανάγκες της καθημερινότητας (κυρίως του εμπορίου) οδήγησαν στη χρήση των αρνητικών αριθμών. Τη ζημιά την περιγράφουμε με κάποιον αρνητικό. Ο συνηθισμένος άνθρωπος δεν κατανοεί εύκολα την έννοια του αρνητικού αριθμού, γιατί δεν είναι αριθμός που υπάρχει φυσιολογικά. Οι φυσικοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς ορίζουν τους ακεραίους (integers): ={0,±1,±2,±3, } Αν α είναι φυσικός, ο α ορίζεται σαν εκείνος ο «αριθμός» ο οποίος όταν προστεθεί στον α δίνει 0.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 2 Βλέπουμε λοιπόν ότι ο αρνητικός εξαρτάται άμεσα από την πράξη της πρόσθεσης. Η μαθηματική κατασκευή του δεν είναι τόσο απλή, όπως θα δούμε παρακάτω. Είναι ο αντιπρόσωπος μιας κλάσης ισοδυναμίας! Πως θα μπορούσε κάποιος να το περιγράψει αυτό σε έναν άνθρωπο με βασική γνώση ή και στους μαθητές του Γυμνασίου; Είναι προφανής λοιπόν η ανάγκη να μελετήσουμε προσεκτικά τις πράξεις που ορίζονται πάνω σε ένα σύνολο. Τι περισσότερο έχει το από το ; Οι ιδιότητες της πράξης της πρόσθεσης στο παρουσιάζουν μια υστέρηση. Η υστέρηση αυτή είναι ότι η πράξη της αφαίρεσης δεν μπορεί να ορισθεί στο. Από το 3 δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε το 5. Αυτό για να γίνει πρέπει να βρισκόμαστε στο σύνολο των ακεραίων. Βέβαια θα αναρωτηθεί κανείς, και είναι φυσιολογικό να το κάνει, τι σχέση έχει η αφαίρεση με την πρόσθεση. Όπως θα δούμε πιο κάτω το με την πρόσθεση δεν αποτελεί αυτό που μαθηματικά καλούμε ομάδα. Η αφαίρεση δεν είναι τίποτα περισσότερο από την πρόσθεση του αντιθέτου. Στο 3 προσθέτουμε το 5. Το αποτελεί ομάδα. τώρα με την πρόσθεση δεν παρουσιάζει κανένα πρόβλημα, Ηανάγκη να περιγραφεί μέρος ενός πράγματος, δημιούργησε την ανάγκη των ρητών (rationals): ={p/q p, q, q 0} Ο «αριθμός» p/q μπορεί να δημιουργηθεί με πρόσθεση q φορές του αριθμού 1/q. Άρα θα πρέπει να δημιουργήσουμε τον 1/q. Αυτός είναι ο αντίστροφος του q. Θα μπορούσαμε επίσης να πούμε ότι είναι η διαίρεση του 1 με τον q. Αντίστροφος ενός ακεραίου αριθμού q είναι εκείνος ο «αριθμός» που όταν τον πολλαπλασιάζουμε με τον q δίνει τη μονάδα, 1. Βλέπουμε λοιπόν και εδώ ότι ο νέος «αριθμός» που προσπαθούμε να δημιουργήσουμε εξαρτάται άμεσα από την πράξη. Εδώ η πράξη είναι ο πολλαπλασιασμός. Η μαθηματική κατασκευή του δεν είναι και αυτή τόσο απλή, θα το δούμε και αυτό πιο κάτω. Είναι ο αντιπρόσωπος μιας κλάσης ισοδυναμίας! Πως θα μπορούσε κάποιος να το περιγράψει και αυτό σε έναν συνηθισμένο άνθρωπο ή και στους μαθητές του Δημοτικού; Και όμως, αν κάποιος ρωτήσει ένα μαθητή του δημοτικού, τι σχέση έχει το 1/2 με το 2/4, θα το πει ότι είναι ισοδύναμα κλάσματα. Όχι ίσα.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 3 Τι περισσότερο έχει το από το ; Όπως και στο, οι ιδιότητες της πράξης του πολλαπλασιασμού στο παρουσιάζουν μια υστέρηση. Η υστέρηση αυτή είναι ότι η «πράξη» της διαίρεσης δεν μπορεί να ορισθεί στο -{0}. Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε το 3 με το 5. Αυτό για να γίνει πρέπει να βρισκόμαστε στο σύνολο των ρητών. Όπως θα δούμε πιο κάτω το -{0} με τον πολλαπλασιασμό δεν αποτελεί ομάδα. Η διαίρεση δεν είναι τίποτα περισσότερο από τον πολλαπλασιασμό του αντιστρόφου. Στο 3 πολλαπλασιάζουμε το 1/5. Το -{0} τώρα με τον πολλαπλασιασμό δεν παρουσιάζει κανένα πρόβλημα, αποτελεί αυτό που θα λέμε ομάδα. Άλλες ανάγκες, αναλυτικές-ορίου, δημιουργούν τους πραγματικούς αριθμούς (reals). Ανάγκες ριζών πολυωνύμων δημιουργούν τους μιγαδικούς (complex numbers). Θεωρητικά έχουμε τους ακόλουθους εγκλεισμούς: Λέμε θεωρητικά γιατί το κάθε ένα από τα προηγούμενα σύνολα περιέχει διαφορετικό είδος στοιχείων! Κατά παραδοχή όμως ισχύουν οι προηγούμενοι εγκλεισμοί. Επίσης είναι σημαντικό ότι οι ιδιότητες, όποιες και αν είναι αυτές, που έχει το προηγούμενο σύνολο θα πρέπει να τις κληρονομεί και το επόμενο.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 4 Σχέσεις Πριν μελετήσουμε την έννοια της πράξης σε ένα σύνολο, θα αναφερθούμε σε σχέσεις συνόλων. Η λέξη σχέση είναι διαδεδομένη μεταξύ των ανθρώπων. Ας δούμε πως μπορούμε μαθηματικά να μελετήσουμε σχέσεις. 1. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Χ1, Χ2, Χ3,..., Χκ σύνολα. Το καρτεσιανό γινόμενο (Cartesian product) Χ1xX2xX3x xxk είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων κ-άδων (x1,,xk). Εδώ xixi για i=1,2,,κ.. Π k αράδειγμα. 1) Είναι γνωστό το καρτεσιανό γινόμενο σαν διανυσματικός χώρος. 2) Αν Α={α,β} και Β={1,, }, τότε ΑxB={(α,1),(α, ),(α, ),(β,1),(β, ),(β, )}. 1. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια σχέση (relation) μεταξύ των συνόλων Χ1 καιχ2 είναι ένα υποσύνολο Σ του καρτεσιανού γινομένου Χ1xX2. Σ Χ 1 xx 2 Αν (α,β) Σ, συνήθως γράφουμε ασβ και λέμε ότι το στοιχείο α σχετίζεται με το β μέσω της σχέσης Σ. Παράδειγμα. 1) Αν Α={α,β} και Β={1,, }, τότε ΑxB={(α,1),(α, ),(α, ),(β,1),(β, ),(β, )}. Σ={(α, ),(α, ),(β,1)}. 2) Αν Α={1,2} και Β={1,2,3}, ορίζουμε τη σχέση ασβ ανν α-β=άρτιος.. Τότε Σ={(1,1),(1,3),(2,2)}. 3) Έστω Α=Β=, ορίζουμε τη σχέση ασβ ανν ο α-β διαιρείται από το 3. Τότε Σ={(0,0),(0, ±3),...,(1,4),(1,-2),...}={(3κ,3λ),(3κ+1,3λ-2),(3κ+2,3λ-1) κ,λ }

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 5 4) Μια απεικόνιση φ: Χ 1 X 2 είναι μια σχέση Σ Χ 1 xx 2 ώστε για κάθε x1x1 υπάρχει μοναδικό x2x2 με φ(x1)= x2, δηλαδή x1σφ(x1). 2. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω σχέση Σ Χ 1 xx 2, η αντίστροφη σχέση Σ -1Χ 2 xx 1 ορίζεται σαν x1σx2 αν και μόνο αν x2 Σ -1 x1. Παρατηρούμε ότι η αντίστροφη σχέση ορίζεται για κάθε σχέση ενώ η αντίστροφη απεικόνιση δεν ορίζεται για κάθε απεικόνιση λόγω της μοναδικότητας που απαιτεί ο ορισμός της. Παράδειγμα. Αν Α={1,2} και Β={1, 2,3}, ορίζουμε τη σχέση ασβ ανν α-β=άρτιος. Τότε Σ={(1,1),(1,3),(2,2)} και Σ -1 ={(1,1),(3,1),(2,2)}. Από όλες τις σχέσεις, αυτές που έχουν ιδιαίτερη σημασία είναι αυτές που ικανοποιούν τις επόμενες ιδιότητες. 3. ΟΡΙΣΜΟΣ Α) Μια σχέση Σ ΧxX καλείται ανακλαστική (reflexive), αν ασα για κάθε αχ. Β) Μια σχέση Σ ΧxX καλείται συμμετρική (symmetric), αν ασβ τότε και βσα. Γ) Μια σχέση Σ ΧxX καλείται μεταβατική (transitive), αν ασβ και βσγ τότε και ασγ. Δ) Μια σχέση ΣΧxX καλείται σχέση ισοδυναμίας (equivalence relation), αν ισχύουν οι τρεις προηγούμενες ιδιότητες. Η σχέση ισοδυναμίας έχει ιδιαίτερη βαρύτητα όχι μόνο στα μαθηματικά. Στην καθημερινότητα χρησιμοποιούμε την έννοια των ισοδυνάμων οικονομιών, ανθρώπων, πραγμάτων κλπ. Αποτελεί την καλύτερη προσέγγιση της ισότητας.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 6 Παράδειγμα. 1) Η σχέση ισότητας σε ένα σύνολο αποτελεί σχέση ισοδυναμίας. 2) Η σχέση Σ που δίνεται από ασβ ανν ο α-β διαιρείται από τον φυσικό ν αποτελεί σχέση ισοδυναμίας. Η σχέση αυτή αποτελεί βασικό στοιχείο για αυτή τη μελέτη και θα την αντιμετωπίσουμε πολλές φορές. Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύουν οι τρεις ιδιότητες. Η ανακλαστική ισχύει γιατί α-α=0 και το 0 διαιρείται από οποιονδήποτε φυσικό. Η συμμετρική ισχύει γιατί αν το α-β διαιρείται από το ν, τότε και το β-α=-(α-β) διαιρείται επίσης από το ν. Τέλος η μεταβατική ισχύει επίσης, αφού αν α-β=κν (αυτό σημαίνει ότι διαιρείται από ν) και β- γ=λν τότε α-γ=α-β+β-γ=(κ+λ)ν. 3) Στο σύνολο ορίζουμε τη σχέση Σ ως εξής. (κ,λ)σ(μ,ν) ανν κ+ν=λ+μ. Εύκολα δείχνουμε ότι αυτή η σχέση αποτελεί σχέση ισοδυναμίας. Θα δούμε πιο κάτω ότι αυτή η σχέση καθορίζει το σύνολο των ακεραίων. * * 4) Στο σύνολο x * ορίζουμε τη σχέση Σ ως εξής. (κ,λ)σ(μ,ν) ανν κν=λμ. Ας δείξουμε ότι αυτή η σχέση αποτελεί σχέση ισοδυναμίας. Η ανακλαστική ισχύει γιατί κλ=λκ (κ,λ)σ(κ,λ). Η συμμετρική ισχύει γιατί αν κν=λμ μλ=νκ. (κ,λ)σ(μ,ν) (μ,ν)σ(κ,λ). Τέλος η μεταβατική ισχύει επίσης, αφού αν (κ,λ)σ(μ,ν) και (μ,ν)σ(π,ρ) κν=λμ και μρ=νπ. Άρα κνμρ=λμνπ κρ=λπ. Δηλαδή, (κ,λ)σ(π,ρ). Θα δούμε πιο κάτω ότι αυτή η σχέση καθορίζει το σύνολο των ρητών. 5) Έστω Α το σύνολο των φοιτητών ενός πανεπιστημιακού τμήματος. Στο Α ορίζουμε τη σχέση, ο φοιτητής α σχετίζεται με τον β, αν έχουν περάσει τον ίδιο αριθμό μαθημάτων. Η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας. Η σχέση ισοδυναμίας ορίζεται σε ένα σύνολο. Ας δούμε τι κάνει στο σύνολο. Στο προηγούμενο παράδειγμα των φοιτητών, το σύνολο Α χωρίζεται σε ξένα υποσύνολα. Κάθε ένα περιέχει τους φοιτητές που έχουν περάσει συγκεκριμένο αριθμό μαθημάτων. Α(0) κανένα μάθημα, Α(1) ένα μάθημα, Α(2) δύο μαθήματα, κλπ. Η ένωση αυτών των υποσυνόλων θα μας δώσει το Α και κάθε δυο τέτοια είναι ξένα μεταξύ τους. Αυτή η οικογένεια υποσυνόλων του Α αποτελεί αυτό που καλούμε διαμέριση (partition). Δηλαδή το Α σπάει σε κομμάτια. Μήπως όμως ισχύει και το ανάποδο, δηλαδή μια διαμέριση ορίζει μια σχέση ισοδυναμίας; Θα δούμε πως ναι. Ας δούμε όμως πρώτα τι ιδιότητες έχουν τα στοιχεία κάθε τέτοιου υποσυνόλου.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 7 Εφόσον έχουν περάσει τον ίδιο αριθμό μαθημάτων θα είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους. Εδώ χρειαζόμαστε έναν ορισμό. 4. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια σχέση ισοδυναμίας Σ στο Α. Για κάθε στοιχείο α του Α ορίζουμε το σύνολο ασ={β ώστε ασβ}. Το υποσύνολο αυτό του Α καλείται κλάση ισοδυναμίας του στοιχείου α ως προς τη σχέση Σ. Παράδειγμα. Στους ακεραίους ορίζουμε τη σχέση κσλ ανν ο κ-λ διαιρείται από το ν. Δηλαδή το κ σχετίζεται με το λ ανν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται με το ν. Το 1 και μν+1 είναι ισοδύναμα, άρα και το α με το μν+α για οποιοδήποτε μ και α μεταξύ μηδενός και ν-1. Τώρα οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι εύκολο να βρεθούν. 0Σ={λν λ οποιοσδήποτε ακέραιος}, 1Σ={λν+1 λ οποιοσδήποτε ακέραιος}, 2Σ={λν+2 λ οποιοσδήποτε ακέραιος},..., (ν-1)σ={λν+1 λ οποιοσδήποτε ακέραιος}. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας συμβολίζεται με ν={0σ, 1Σ,..., (ν-1)σ }. 5. ΠΡΟΤΑΣΗ Δυο κλάσεις ισοδυναμίας μιας σχέσης Σ στο Α είτε ταυτίζονται είτε είναι ξένες μεταξύ τους. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας είναι οι κλάσεις ασ και βσ. Έστω το στοιχείο γ να είναι κοινό στοιχείο τους. Δηλαδή ασ βσ. Ας είναι δασ και εβσ. Τότε γσδ και γσε. Άρα από τη συμμετρική και μεταβατική ιδιότητα έχουμε δσε. Οπότε κάθε στοιχείο της κλάσης ασ σχετίζεται με κάθε στοιχείο της βσ. Τελικά ασ βσ και βσ ασ.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 8 Παράδειγμα. Στους ακεραίους ορίζουμε τη σχέση κσλ ανν ο κ-λ διαιρείται από το 3. Δηλαδή το κ σχετίζεται με το λ ανν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται με το 3. Αυτή είναι η σχέση υπολοίπων mod3. Ας πάρουμε ένα τυχαίο ακέραιο α, τότε ασ={β ασβ}= { β 3 β-α}= { β β-α=3κ, κ ακέραιος}= { β β=3κ+α, κ ακέραιος} Αφού όταν ένας ακέραιος όταν διαιρείται από το 3 μπορεί να έχει τρία υπόλοιπα, 0 ή 1 ή 2, αυτή η σχέση ισοδυναμίας θα έχει τρεις κλάσεις. 0Σ ={ β 1Σ ={ β β=3κ, κ ακέραιος}={0, 3, 6, 9, } β=3κ+1, κ ακέραιος}={1,4,7, } {-2,-5,-8, } 2Σ ={ β β=3κ+2, κ ακέραιος}={2,5,8, } {-1,-4,-7, } Παρατηρούμε ότι κάθε ακέραιος ανήκει σε κάποια από τις τρεις προηγούμενες κλάσεις. =0Σ 1Σ 2Σ. Επίσης κάθε στοιχείο μιας κλάσης μπορεί να αντιπροσωπεύσει την κλάση του. 0Σ=3Σ =-3Σ = 1Σ=4Σ = -5Σ = 2Σ =5Σ =-7Σ = Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας συμβολίζεται με 3={0Σ, 1Σ, 2Σ }. 6. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια σχέση ισοδυναμίας Σ στο Α. Για κάθε στοιχείο α του Α ορίζεται η κλάση ασ={β ώστε ασβ}. Κάθε στοιχείο β που ανήκει στην κλάση ασ καλείται αναπαραστάτης (representative), και ισχύει ασ = βσ.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 9 7. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια σχέση ισοδυναμίας Σ στο Α. Το σύνολο όλων των κλάσεων ασ συμβολίζεται με Α/Σ και καλείται σύνολο πηλίκο (quotient set) του Α ως προς Σ. Ο προηγούμενος ορισμός θα χρησιμοποιηθεί επανειλημμένα πιο κάτω. Ας δώσουμε τώρα τον ορισμό της διαμέρισης. 8. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια διαμέριση ενός μη-κενού συνόλου Χ είναι μια οικογένεια μη-κενών υποσυνόλων Χ1, Χ2, Χ3,..., Χκ ώστε να είναι όλα ξένα μεταξύ τους και η ένωση τους να δίνει το Χ. Παράδειγμα. 1) Οι ακέραιοι διαμερίζονται σε άρτιους και περιττούς. ={2κ κ ακέραιος} {2λ+1 λ ακέραιος} 2) Η επόμενη διαμέριση την οποία έχουμε δει πιο πάνω και σαν σχέση ισοδυναμίας είναι σημαντική και θα τη μελετήσουμε επανειλημμένα. ={νκ κ ακέραιος} {νκ+1 κ ακέραιος}... {νκ+κ-1 κ ακέραιος} Δηλαδή διαμερίζουμε τους ακεραίους ως προς τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το ν. ν={0σ, 1Σ,..., (ν-1)σ } 9. ΘΕΩΡΗΜΑ Μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο Α ορίζει μια διαμέριση του Α και ανάποδα. Υπάρχει λοιπόν μια ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των σχέσεων ισοδυναμίας που ορίζονται στο Α και των διαμερίσεων του. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας έχουμε στο μυαλό μας το παράδειγμα με τους φοιτητές, θα μας βοηθήσει.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 10 Έστω Σ μια σχέση ισοδυναμίας στο Α. Με Α(i) θα συμβολίσουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας, όπου το i ανήκει σε κάποιο σύνολο Ι. Αυτό γιατί δεν ξέρουμε πόσες κλάσεις υπάρχουν, πεπερασμένες ή άπειρες. Αν i j, τότε από την προηγούμενη πρόταση Α(i) Α(j)=. Αρκεί να δείξουμε ότι η ένωση των υποσυνόλων Α(i) δίνει το Α. Αν αα, τότε αασ=α(j) για κάποιο j. Δηλαδή η οικογένεια των υποσυνόλων Α(i) αποτελεί μια διαμέριση του Α. Έστω μια διαμέριση του Α, {Α(i) ii}. Ορίζουμε τη σχέση Σ στο Α ως εξής. ασβ ανν υπάρχει δείκτης jι ώστε α, βα(j). Πρέπει να δείξουμε ότι ισχύουν οι τρεις ιδιότητες. Ανακλαστική, αν αα, τότε αα(j) για κάποιο j. Άρα ασα. Συμμετρική, έστω ασβ δηλαδή α, βα(j) για κάποιο j, τότε βσα. Μεταβατική, έστω ασβ και βσγ δηλαδή α, βα(j) για κάποιο j και β, γα(κ) για κάποιο κ. Τότε Α(j)=Α(κ) αφού έχουν κοινό στοιχείο και φυσικά ασγ. Παράδειγμα. 1) Έστω Ѕ το «σύνολο» όλων των συνόλων. Ορίζουμε μια σχέση Σ ως εξής. ΑΣΒ ανν υπάρχει μια 1-1 και επί απεικόνιση μεταξύ τους. Τότε η Σ είναι σχέση ισοδυναμίας γιατί η αντίστροφη και η σύνθεση 1-1 και επί απεικονίσεων είναι επίσης. Ας δούμε τώρα τις κλάσεις. Αν το σύνολο Α έχει πληθικό αριθμό κ, τότε ΑΣ={Β Β =κ}. Δηλαδή όλα τα σύνολα με πληθικό αριθμό κ. Αν Α αριθμήσιμο, τότε η κλάση ΑΣ περιέχει όλα τα αριθμήσιμα. Αν Α υπεραριθμήσιμο, τότε η ΑΣ περιέχει κάποια, όχι όλα τα υπεραριθμήσιμα. 2) Μία απεικόνιση φ:a B ορίζει μια σχέση Σ στο Α ως εξής, ασγ αν και μόνο αν φ(α)=φ(γ) και η κλάση ισοδυναμίας ενός στοιχείου α του Α είναι το υποσύνολο φ -1 (α). Προφανώς και μια σχέση ισοδυναμίας Σ στο Α ορίζει μια απεικόνιση φ από το Α στο σύνολο που περιέχει τις κλάσεις ισοδυναμίας της Σ. Β={αΣ αα}και φ:a B με φ(α)=ασ. Παρατήρηση. Δηλαδή ορίζονται τόσες σχέσεις ισοδυναμίας σε ένα σύνολο Α όσες και οι διαμερίσεις του.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 11 1) Εξετάστε ποιες από τις επόμενες σχέσεις Σ στους ακεραίους είναι σχέσεις ισοδυναμίας. Α) ασβ Β) ασβ Γ) ασβ 0α-β. α = β. α-β 1. 2) Στο σύνολο Α={α,β,γ} βρείτε όλες τις σχέσεις ισοδυναμίας. 3) Στο σύνολο Α={α,β,γ,δ} βρείτε τη «μικρότερη» σχέση ισοδυναμίας Σ που περιέχει την Τ={(α,α),(α,β),(β,δ)}. 4) Στο σύνολο Α={α,β,γ,δ,ε} βρείτε τη σχέση ισοδυναμίας που καθορίζεται από τη διαμέριση {α} {β,γ} {δ,ε}.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ-ΟΜΑΔΕΣ Από τη ζωή μας είμαστε εξοικειωμένοι με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό στους ακεραίους ή στους ρητούς. Τι είναι μια πράξη και πόσες πράξεις μπορούν να ορισθούν σε ένα σύνολο; 10. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια πράξη (binary operation),, σε ένα σύνολο Α είναι μια απεικόνιση :AxA A. Δηλαδή ένα ζεύγος στοιχείων του Α αντιστοιχίζεται σε ένα στοιχείο του Α. Γράφουμε α β. Επειδή (α,β) (β,α) μπορεί να έχουμε α β β α. Αν ισχύει ότι α β=β α για κάθε ζεύγος, η πράξη θα καλείται μεταθετική (commutative) ή αβελιανή (abelian). Μια πράξη θα λέμε ότι είναι καλά ορισμένη (well defined), αν α β είναι στοιχείο του Α για κάθε ζεύγος (α,β). Π αράδειγμα. 1) Η πράξη της αφαίρεσης - ορίζεται στο, -: x με α-β. Δηλαδή για οποιοδήποτε ζεύγος (α,β) το στοιχείο α-β είναι στοιχείο του. Η πράξη αυτή δεν είναι αβελιανή. 3-5 5-3. 2) Η αφαίρεση δεν ορίζεται στους φυσικούς. 3-5. 3) Η διαίρεση δεν ορίζεται στους ακεραίους. ½. 4) Η πράξη α β=α 2 +β 2 +1 ορίζεται στα σύνολα,,,,. 5) Το γινόμενο των πινάκων στο σύνολο των nxn πινάκων δεν είναι μεταθετικό. 1 11 1 1 11 1 2 10 1 0 1 2 1 6) Έστω Ω(Α) το δυναμοσύνολο του Α, δηλαδή το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Στο Ω(Α) ορίζεται η πράξη της τομής :Ω(Α)xΩ(Α) Ω(Α). Κ Λ. Η πράξη αυτή είναι αβελιανή Κ Λ= Λ Κ. Μια σημαντική ιδιότητα είναι η προσεταιριστικότητα.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 13 11. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια πράξη σε ένα σύνολο Α καλείται προσεταιριστική (associative), αν ισχύει α (β γ)=(α β) γ για κάθε τριάδα α,β,γ. Π αράδειγμα. 1) Η πράξη της αφαίρεσης - ορίζεται στο, -: x με α-β αλλά δεν είναι προσεταιριστική. (1-2)-3 1-(2-3). 2) Η πράξη : x με τύπο α β=2(α+β) είναι μεταθετική αλλά όχι προσεταιριστική. Αν μια πράξη είναι προσεταιριστική, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι το γινόμενο ή άθροισμα, ανάλογα με την πράξη, δεν εξαρτάται από τη σειρά που θα την εφαρμόσουμε. α (β (γ (δ ε)))=( α (β (γ δ))) ε=... 3) Να βρεθούν τα a και b ώστε η πράξη : x, x y=ax+by να είναι προσεταιριστική. x (y z)= (x y) z ax+b(ay+bz) = a(ax+by)+bz Επειδή αυτή η σχέση ισχύει για κάθε x, y και z θα έχουμε. a=a 2, b=b 2. a=0,1 και b=0,1. Άρα x y=x ή x y=y ή x y=x+y ή x y=0. 4) Δίνεται το σύνολο Α={α,β,γ,δ}και μια πράξη στο Α η οποία περιγράφεται από το επόμενο πινακάκι. α β γ δ α α γ β δ β γ α δ β γ β δ α γ δ δ β γ α Εξετάστε αν είναι μεταθετική ή προσεταιριστική. Η μεταθετικότητα φαίνεται εύκολα γιατί ο πίνακας είναι συμμετρικός. Το επόμενο παράδειγμα είναι πολύ σημαντικό γιατί συνδέει δυο έννοιες, την πράξη με τις σχέσεις ισοδυναμίας. Την ιδέα της απόδειξης θα την αντιμετωπίσουμε πολλές φορές.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 14 5) Στο σύνολο με modν, ορίζουμε μια πράξη ως εξής. ={0Σ, 1Σ,..., (ν-1)σ} των κλάσεων ισοδυναμίας ως προς υπόλοιπα του ν, ασ βσ =γσ ανν α+β-γ=κν (είναι πολλαπλάσιο του ν) ασ βσ =γσ ανν αβ-γ=λν (είναι πολλαπλάσιο του ν) Να δείξουμε ότι οι πράξεις αυτές είναι συμβιβαστές με τη σχέση ισοδυναμίας, και δεν εξαρτώνται από τον αντιπρόσωπο. Οπότε θα είναι καλά ορισμένες. Θα δείξουμε επί πλέον ότι ασ βσ =(α+β)σ και ασ βσ =(αβ)σ Έστω ασ =γσ και βσ =δσ, θα δείξουμε ότι ασ βσ = γσ δσ. Οι δύο πρώτες ισότητες δίνουν α-γ=κν και β-δ=λν. Άρα α+β-(γ+δ)=(κ+λ)ν, δηλαδή αυτό που θέλουμε. Έστω ασ =γσ και βσ =δσ, θα δείξουμε ότι ασ βσ = γσ δσ. Οι δύο πρώτες ισότητες, όπως προηγουμένως, δίνουν α-γ=κν και β-δ=λν. Άρα Δηλαδή αυτό που θέλουμε. αγ-βδ =αγ-αδ+αδ-βδ=αλν+κνδ= (αλ+κδ)ν ασ βσ =(α+β)σ ανν α+β-(α+β)=0 είναι πολλαπλάσιο του ν. Αλλά αυτό ισχύει. Το ίδιο και για το γινόμενο. Στο σύνολο ν ορίσαμε δυο πράξεις, μια πρόσθεση και ένα γινόμενο. Προσοχή, οι πράξεις αυτές ορίστηκαν μεταξύ υποσυνόλων του! 12. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια πράξη σε ένα σύνολο Α, :AxA A, και Σ μια σχέση ισοδυναμίας στο Α. Η Σ θα καλείται δεξιά συμβιβαστή με την πράξη, αν ασβ α γσβ γ για όλα τα α,β,γ. Αντίστοιχα ορίζεται η αριστερά συμβιβαστή, αν ισχύει ασβ γ ασγ β για κάθε τριάδα α,β,γ. Μια πράξη θα καλείται συμβιβαστή, αν είναι δεξιά και αριστερά συμβιβαστή. Γνωρίζουμε ότι οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ορίζονται στους φυσικούς αλλά δεν ορίζονται η αφαίρεση και η διαίρεση. Η αφαίρεση ορίζεται στους

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 15 ακεραίους και η διαίρεση στους ρητούς (εκτός από το 0). Αμέσως θα δούμε με πιο τρόπο θα ξεχωρίζουμε αυτές τις ιδιαιτερότητες των ζευγών (σύνολο, πράξη). 13. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια πράξη σε ένα σύνολο Α, :AxA A. Το ζεύγος (Α, ) θα καλείται ημιομάδα (semigroup), αν η πράξη είναι προσεταιριστική. Μια ημιομάδα θα καλείται μονοειδές (monoid), αν υπάρχει στοιχείο ε στο Α ώστε ε α=α ε=α για κάθε α. Ένα μονοειδές για το οποίο ισχύει ότι, για κάθε α υπάρχει β με β α=α β=ε θα καλείται ομάδα (group). Αν επιπλέον η πράξη είναι και αβελιανή, τότε θα καλείται αβελιανή ομάδα (abelian group). Παράδειγμα. 1) Τα ζεύγη (,+) και (, ) είναι μονοειδή. 2) Το ζεύγος (,+) είναι αβελιανή ομάδα. 3) Το ζεύγος (, ) είναι μονοειδές. 4) Τα ζεύγη (,+) και ( *, ) είναι αβελιανές ομάδες. 5) Το σύνολο των nxm πινάκων, M(nxm), με την πρόσθεση είναι αβελιανή ομάδα. (M(nxm),+). 6) Το σύνολο των nxn πινάκων με τoν πολλαπλασιασμό είναι μονοειδές. (M(nxn), ). 7) Το ζεύγος ( *, ) είναι αβελιανή ομάδα. 8) Το ζεύγος ( ν, =(α+β)σ βλέπουμε ότι η πράξη είναι προσεταιριστική (γιατί είναι στο ), αβελιανή (γιατί είναι στο ) και το 0Σ αποτελεί ουδέτερο στοιχείο. Για κάθε ασ έχουμε ότι το (ν-α)σ αποτελεί το αντίθετο του. * 4 ) είναι αβελιανή ομάδα. Από την ιδιότητα της πράξης ασ βσ 9) Το ζεύγος (, ) είναι μονοειδές αλλά όχι ομάδα. Η προσεταιριστική και το ουδέτερο στοιχείο προκύπτουν από την ιδιότητα της πράξης ασ βσ =(αβ)σ. Παρατηρούμε ότι το 2Σ δεν έχει αντίστροφο.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 16 10) Το ζεύγος (, ) είναι αβελιανή ομάδα. Αρκεί να δείξουμε ότι το 1Σ και το 2Σ έχουν αντίστροφα. Τα αντίστροφα στοιχεία είναι ο εαυτός τους. 1Σ 1Σ =(1)Σ, 2Σ 2Σ =(4)Σ= 1Σ. * 3 ΠΑΡΑΔΟΧΗ. 1) Μια ομάδα θα συμβολίζεται με (Ο, ), ενώ αν είναι αβελιανή με (Ο,+). Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι αυτές οι πράξεις είναι οι συνηθισμένες πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. 2) Τα στοιχεία του συνόλου ν θα τα συμβολίζουμε με a, δηλαδή {0, 1,, ( 1) }. 14. ΟΡΙΣΜΟΣ Αν ένα σύνολο Α είναι εφοδιασμένο με δύο πράξεις επιμεριστική ιδιότητα (distributive law) και, ώστε να ισχύει η α (β γ)=(α β) (α γ) και (α β) γ=(α γ) (β γ) για κάθε τριάδα α,β,γ αυτές θα καλούνται συμβιβαστές. Παράδειγμα. Στις επόμενες τριάδες οι πράξεις είναι συμβιβαστές. (,+, ), ( ν,+, ) (,+, ), (,+, ), (,+, ) και (M(nxn),+, ).

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 17 1) Εξετάστε αν η πράξη που δίνεται είναι καλά ορισμένη στο αντίστοιχο σύνολο. Α), α*β=α 2 β 3. Β), α*β=α/(α 2 +β). Γ) Α={1,2,3,-4}, α*β= β. Δ) Α={1,2,3,4}, α*β=α+β. Ε) *, α*β= αβ. ΣΤ) Α={-1,1} με τον πολ/μό. 2) Εξετάστε αν η πράξη α*β=ε.κ.π.(α,β) είναι καλά ορισμένη στο σύνολο. 3) Έστω τα σύνολα Α= αν τα σύνολα Α, Β και Α a 0 0 ab 0, a, b b και Β= 0 d Β είναι ομάδες με το γινόμενο των πινάκων. c cd 0, c, d 0. Εξετάστε a c 4) Έστω το σύνολο Α= ab 0, a, b, c 0 b τον πολλαπλασιασμό πινάκων; 5) Έστω (, *) με την πράξη να ορίζεται ως εξής: Αν α=2κ, τότε α*β=α+β. Αν α=2κ+1, τότε α*β=α-β. Δείξτε ότι το (, *) αποτελεί ομάδα. 6) Έστω Ο= με την πράξη να ορίζεται ως εξής: (α,β)*(γ,δ)=(αγ,αδ+β). Δείξτε ότι το Ο είναι ομάδα. * 7) Ορίστε μια πράξη στο Α={α,β} ώστε να αποτελεί ομάδα.. Για ποιά a και b το Α είναι ομάδα με 8) Δείξτε ότι το σύνολο των πραγματικών πινάκων με το γινόμενο των πινάκων. a b b a με a2 +b 2 >0, αποτελεί ομάδα

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 18 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΜΑΔΩΝ Η μελέτη των ομάδων ξεκινά από μια απλή ερώτηση, υπάρχει μοναδική λύση της εξίσωσης; (1) a x = b στο σύνολο που παίρνουν τιμές τα a και b; Ας δούμε την πιο απλή μορφή πρώτα, (2) 4x = 3 Η απάντηση εξαρτάται από τι είδους στοιχεία επιτρέπουμε να είναι το x. Ακέραιος δεν μπορεί να είναι. Σίγουρα μπορεί να είναι ρητός x=3/4. Αλλά και ακέραιος mod5, x=2. Για την (1), θα πρέπει να γνωρίζουμε το σύνολο Ο στο οποίο θα αναζητήσουμε τη λύση και φυσικά την πράξη. Αν το ζεύγος (Ο, ) είναι ομάδα, η (1) θα έχει σίγουρα μοναδική λύση όπως θα δούμε χωρίς να έχει καμία σημασία τι είδους στοιχεία έχει το Ο ή πως ακριβώς συμπεριφέρεται η πράξη. Και αυτό ακριβώς είναι η θεωρία ομάδων. Μελετάμε τις ιδιότητες χωρίς να περιοριζόμαστε στη φύση των αντικειμένων. Αμέσως θα μελετήσουμε βασικές ιδιότητες των ομάδων. Αν τις αναγάγουμε στα γνωστά μας συστήματα, ακεραίους ή ρητούς, αυτές θα είναι προφανείς και πιθανόν να μην είμαστε σίγουροι για το τι πρέπει να αποδείξουμε! Αυτό συμβαίνει γιατί αυτές οι ιδιότητες θεωρούνται βίωμά μας και ως εκ τούτου θεωρούνται δεδομένες. Θα δούμε όμως ότι όχι μόνο δεν είναι δεδομένες, αλλά μερικές φορές και ιδιαίτερα έξυπνες ή και δύσκολες στην απόδειξή τους. ΠΡΟΣΟΧΗ Σε κάθε βήμα θα πρέπει να γνωρίζουμε ποιά ιδιότητα χρησιμοποιούμε. Αν δεν είμαστε σίγουροι, η απόδειξη κατά πάσα πιθανότητα θα είναι λάθος. 15. ΘΕΩΡΗΜΑ 1) Αν το (Ο, ) είναι ομάδα, το ουδέτερο ή μοναδιαίο (unit) στοιχείο ε είναι μοναδικό. 2) Αν το (Ο, ) είναι ομάδα, κάθε στοιχείο α έχει μοναδικό αντίθετο ή αντίστροφο (inverse). Συμβολίζεται με α -1 ή α. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Έστω ότι υπάρχουν δύο ουδέτερα, ε και υ. Τότε θα πρέπει να ισχύει για κάθε στοιχείο α ότι α=α ε=ε α=α υ=υ α Θεωρούμε α=υ, τότε υ=υ ε και για α=ε έχουμε ε=υ ε. Άρα υ=ε.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 19 2) Έστω ότι τα α έχει δύο αντίστροφα, α1 και α2. Δηλαδή ε=α α1=α1 α= α α2=α2 α. Ξεκινάμε από τη σχέση ε=α α1=α1 α και πολλαπλασιάζουμε με α2. 16. ΠΡΟΤΑΣΗ ε α2=(α1 α) α2 α2=α1 (α α2) α2=α1 ε α2=α1 1) Αν το (Ο, ) είναι ομάδα, για κάθε στοιχείο α ισχύει ότι. 1 1 a a 2) Αν το (Ο, ) είναι ομάδα, για κάθε στοιχείο α και β ισχύει ότι. Προσοχή, αν ο ομάδα είναι αβελιανή, τότε 1 1 1 1 1 1 a a a a. 3) Σε μια ομάδα ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής, α β=γ β α=γ και β α=β γ α=γ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Αρκεί να δείξουμε ότι ο αντίστροφος του α -1 είναι ο α. Εφόσον α -1 α=ε και α α -1 =ε, ο αντίστροφος του α -1 είναι ο α. Άρα. Εδώ χρησιμοποιήσαμε ότι ο αντίστροφος είναι μοναδικός. 2) Αρκεί να δείξουμε ότι 1 a 1 a a a ( a a) 1 1 1 1 1 1 1 Άρα ο αντίστροφος του a 1 1 είναι ο a. 3) α β=γ β (α β) β -1 =(γ β) β -1 α (β β -1 )=γ (β β -1 ) α ε=γ ε α=γ. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε και την άλλη σχέση. Το επόμενο θεώρημα μας λέει ότι ο ορισμός της ομάδας θα μπορούσε να ήταν λακωνικότερος (απλούστερος) αλλά δυσκολότερος στην εφαρμογή του. Από αυτό το σημείο και κάτω δεν θα γράφουμε την πράξη, εκτός και αν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης. Επίσης το ουδέτερο στοιχείο θα το συμβολίζουμε με 1 ή 0 αν η πράξη είναι αβελιανή.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 20 17. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω ότι το (Ο, ) είναι ημιομάδα. Αν υπάρχει ένα στοιχείο ε ώστε να είναι δεξιό (αριστερό) ουδέτερο, α1=α για όλα τα α, και κάθε στοιχείο α έχει δεξιό (αριστερό) αντίστροφο β, αβ=1. Τότε το (Ο, ) είναι ομάδα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί να δείξουμε ότι οι ιδιότητες αυτές ισχύουν και από αριστερά. Ζητάμε λοιπόν 1α=α. Ας θεωρήσουμε ότι αυτό ισχύει ώστε να καταλήξουμε σε κάτι γνωστό. Γνωρίζουμε ότι για κάθε α υπάρχει β ώστε αβ=1. 1α=α (1α)β=αβ 1(αβ)=1 1 1=1 Αυτό όμως ισχύει. Άρα το ουδέτερο είναι δεξιό και αριστερό. Πρέπει να δείξουμε ότι το δεξιό αντίστροφο είναι επίσης και αριστερό, βα=1. Για το στοιχείο β, σύμφωνα με την υπόθεση υπάρχει δεξιό αντίστροφο γ, δηλαδή βγ=1. αβ=1 (αβ)γ=1γ α(βγ)=γ α1=γ α=γ Δηλαδή βγ=1 βα=1. Παράδειγμα. Στο σύνολο ορίζουμε την πράξη α β=α. Εύκολα δείχνουμε ότι η πράξη είναι προσεταιριστική και το 1 είναι δεξιά μονάδα, α 1=α. Επίσης το 1 είναι και αριστερό αντίστροφο για κάθε ακέραιο, 1 α=α. Η πράξη αυτή όμως δεν έχει αριστερή μονάδα.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 21 1) Έστω (Ο,*) ομάδα. Α) Ο αβελιανή ανν (α*β) -1 =α -1 *β -1, για όλα τα στοιχεία της. Β) Ο αβελιανή ανν (α*β) 2 =α 2 *β 2, για όλα τα στοιχεία της. Γ) Ο αβελιανή, αν α 2 =e, για κάθε στοιχεία της. Δ) Αν α στοιχείο της Ο, τότε Ο={αβ βο}. 2) Έστω (Ο,*) ημιομάδα με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Αν ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής, α*β=α*γ β=γ και β*α=γ*α β=γ για όλα τα στοιχεία της, τότε είναι ομάδα. 3) Έστω (Ο,*) ημιομάδα. Αν για κάθε α και β υπάρχει γ ώστε α*γ=β και δ ώστε δ*α=β, τότε είναι ομάδα.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 22 ΟΜΑΔΕΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η έννοια της ομάδας προέκυψε από συγκεκριμένα γεωμετρικά προβλήματα. Τις συμμετρίες. Εδώ θα αναφερθούμε μόνο σε συγκεκριμένες συμμετρίες του ισοπλεύρου τριγώνου και τετραγώνου, αλλά αυτές δεν εξαντλούν τις εφαρμογές σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, φυσικής, τέχνης και αλλού. Ας μελετήσουμε τις συμμετρίες του ισοπλεύρου τριγώνου. Δηλαδή όλες τις 1-1 και επί απεικονίσεις που διατηρούν την απόσταση. Αυτές θα είναι 1-1 και επί απεικονίσεις που απεικονίζουν τις κορυφές στις κορυφές. Αλλά όχι μόνο. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΤΡΟΦΕΣ 1 = ΤΑΥΤΟΤΙΚΗ R = ΣΤΡΟΦΗ ΚΑΤΑ 120 Ο

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 23 R = RR = ΣΤΡΟΦΗ ΚΑΤΑ 240 Ο ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΕΣ V1 V2

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 24 Ας δούμε τη δράση των συμμετριών στις κορυφές του τριγώνου. R: (1,2,3) (2,3,1) R : (1,2,3) (3,1,2) V1: (1,2,3) (1,3,2) V2: (1,2,3) (3,2,1) V3: (1,2,3) (2,1,3) Όπως παρατηρήσαμε και προηγουμένως, η κάθε συμμετρία καθορίζεται από την εικόνα της τριάδας (1,2,3) στον εαυτό της και τίποτα περισσότερο. Το πρώτο στοιχείο έχει 3 επιλογές το δεύτερο 2 και το τρίτο 1. Άρα συνολικά 3 2 1=3!=6. Έστω G={1,R,R,V1,V2,V3} το σύνολο των συμμετριών. Η σύνθεσή τους δίνεται από τον επόμενο πίνακα V3 1 R R V1 V2 V3 1 1 R R V1 V2 V3 R R R 1 V3 V1 V2 R =R 2 R 1 R V2 V3 V1 V1 V1 V2 V3 1 R R V2 V2 V3 V1 R 1 R V3 V3 V1 V2 R R 1 To σύνολο G με την προηγούμενη πράξη γίνεται ομάδα και μάλιστα όχι αβελιανή. Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία R και V1 δημιουργούν όλα τα υπόλοιπα. Τέτοιου είδους στοιχεία θα τα καλούμε γεννήτορες. Επίσης οι σχέσεις μεταξύ των στοιχείων είναι πολύ βασικές. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. R -1 =R, (R ) -1 =R, (V1) -1 =V1, (V2) -1 = V2, (V3) -1 =V3, RV1 V1R, V3=RV1, V2= V1R Βλέπουμε λοιπόν ότι οι ομάδες εμφανίζονται εντελώς φυσιολογικά μέσα από γεωμετρικές ιδιότητες. Από την άλλη μεριά θα μπορούσε να δει κάποιος το προηγούμενο

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 25 σύνολο με μια πράξη όπως περιγράφεται στον προηγούμενο πίνακα χωρίς να γνωρίζει ότι τα στοιχεία αυτά αποτελούν συμμετρίες του τριγώνου. Για ποιό λόγο λοιπόν να περιοριστούμε στην υφή των στοιχείων του συνόλου και στον τρόπο με τον οποίο ορίστηκε η πράξη; Αρκεί να γνωρίζουμε την πράξη. Ας θυμηθούμε ότι στη γραμμική άλγεβρα όταν έχουμε ένα διανυσματικό χώρο V διάστασης n, δεν έχει σημασία αν τα στοιχεία του είναι διανύσματα ή πίνακες ή απεικονίσεις. Θα είναι ισόμορφος με τον. Ότι διανυσματικές ιδιότητες έχει ο n, τις ίδιες θα έχει και ο V. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και στις ομάδες, όλα καθορίζονται από τη δομή και όχι από το είδος του συνόλου ή πως καθορίστηκε η πράξη. n Έστω Χ={1,2,3} και Σ3 το σύνολο όλων των 1-1 απεικονίσεων του Χ στον εαυτό του. Όπως είδαμε προηγουμένως, έχει 6 στοιχεία. Με τη σύνθεση το Σ3 εφοδιάζεται με μια πράξη, όπως και η G. Επειδή η σύνθεση απεικονίσεων είναι αφενός προσεταιριστική και αφετέρου κάθε 1-1 και επί απεικόνιση έχει αντίστροφη η οποία είναι επίσης 1-1 και επί, δηλαδή ανήκει στο Σ3, το Σ3 γίνεται ομάδα και δεν είναι άλλη από την G που μελετήσαμε προηγουμένως. Χάριν ευκολίας θα γράφουμε αντί για Rf και αντί για V1g. Ουσιαστικά έχουμε αποδείξει το επόμενο θεώρημα. 18. ΘΕΩΡΗΜΑ Το σύνολο των 1-1 απεικονίσεων σε τρία στοιχεία με τη σύνθεση είναι ομάδα και συμβολίζεται Σ3={1, f, f 2, g, fg, f 2 g}. H Σ3 γεννάται από δυο στοιχεία f και g τα οποία ικανοποιούν τις επόμενες ιδιότητες. f 3 =1=g 2 =(fg) 2 =(f 2 g) 2, fg gf, gf=f 2 g. Η Σ3 είναι λοιπόν μια μη αβελιανή ομάδα με 6 στοιχεία. Από τις προηγούμενες σχέσεις βλέπουμε ότι δεν είναι και τόσο απλή-εύκολη. Αυτό οφείλεται στο ότι γεννάται από δύο γεννήτορες οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με «περίεργες» σχέσεις. Ας αναρωτηθούμε ποια θα ήταν η πιο απλή-εύκολη ομάδα; Προφανώς αν γεννάται από ένα μόνο στοιχείο, θα είναι ευκολότερη. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται κυκλικές όπως θα δούμε πιο κάτω.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 26 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ ΣΤΡΟΦΕΣ x ΤΑΥΤΟΤΙΚΗ 1 ΣΤΡΟΦΗ ΚΑΤΑ 90 Ο R ΣΤΡΟΦΗ ΚΑΤΑ 180 Ο R =RR ΣΤΡΟΦΗ ΚΑΤΑ 270 Ο R =RRR

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 27 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ Χ H ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ Υ V ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ Χ=Υ D ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ Χ=-Υ D

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 28 Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι επόμενες σχέσεις μεταξύ των συμμετριών. D=RH, V=R 2 H, D =R 3 H, RH HR Ονομάζουμε D4 το σύνολο των συμμετριών του τετραγώνου D4={1,R,R,R,H,V,D,D }. Η σύνθεση των συμμετριών του τετραγώνου δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα 1 R R R H V D D 1 1 R R R H V D D R R R R 1 D D V H R =R 2 R R 1 R V H D D R =R 3 R 1 R R D D H V H H D V D 1 R R R V V D H D R 1 R R D D H D V R R 1 R D D V D H R R R 1 To σύνολο D 4 με την προηγούμενη πράξη γίνεται ομάδα και καλείται διεδρική τάξης 8. 19. ΟΡΙΣΜΟΣ Η ομάδα που δημιουργείται από τις συμμετρίες ενός κανονικού ν πολυγώνου καλείται διεδρική ομάδα (dihedral group) τάξης 2ν και συμβολίζεται με Dν. Θα δούμε πιο κάτω ότι η Dν γεννάται από δυο στοιχεία, περιέχει 2ν στοιχεία και είναι υποομάδα της συμμετρικής ομάδας Σν.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 29 ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ, ΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ Η πρώτη ομάδα που μελετήσαμε ήταν η (,+). Αυτή έχει άπειρα στοιχεία, είναι αβελιανή και κυρίως έχει την ιδιότητα κάθε στοιχείο της α να δημιουργείται από το στοιχείο 1 το οποίο θα καλούμε γεννήτορα (generator),1,,( 1) a 1... 1 Η ομάδα ( ν={ 0 }, ) έχει ακριβώς τις ίδιες ιδιότητες με τη (,+) εκτός από το ότι είναι πεπερασμένη. Εδώ ο γεννήτορας είναι το 1. Η Σ3 δεν έχει αυτήν την ιδιότητα. Έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με την 6 αλλά διαφορετική δομή-πράξη. Η 6 έχει απλούστερη δομή. Μπορούμε να τη δούμε και γεωμετρικά. Είναι το σύνολο των στροφών κατά 60 ο στο μοναδιαίο κύκλο με την πρόσθεση. Στρ60 ={0 ο, 60 ο, 120 ο, 180 ο, 240 ο, 300 ο }. Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τα στοιχεία της σέβεται την πράξη. aa o o 60 mod 360 a 6 με την Στρ60 ώστε η αντιστοιχία αυτή να και ( ) ( ) 60 mod360 a b a b o o 120 ο 2 60 ο 1 180 ο 3 0 ο 0 240 ο 4 300 ο 5

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 30 Οι απλούστερες ομάδες είναι αυτές που παράγονται από ένα μόνο στοιχείο όπως η ( 6, ). 20. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια ομάδα Ο καλείται κυκλική (cyclic), αν υπάρχει ένα στοιχείο της α ώστε κάθε άλλο στοιχείο της να είναι δύναμη ή άθροισμα αυτού, β=α κ ή β=κα για κάποιον ακέραιο κ. Ο α καλείται γεννήτορας και γράφουμε Ο=<α>={α κ κ ακέραιος }. Παράδειγμα. Η Σ3 δεν είναι κυκλική όπως έχουμε δει αλλά ούτε και η (,+). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν ήταν κυκλική, θα υπήρχε ρητός r/q (προφανώς r<q και πρώτοι μεταξύ τους) και κάθε ρητός θα ήταν πολλαπλάσιο αυτού. Άρα θα είχαμε q ( k 1) r, αδύνατον αφού είναι πρώτοι μεταξύ τους. 21. ΟΡΙΣΜΟΣ q r r k q q Μια ομάδα καλείται πεπερασμένης τάξης (of finite order), αν έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Διαφορετικά καλείται άπειρη (of infinite order). οπότε Θα αποδείξουμε αμέσως στοιχειώδεις ιδιότητες. 22. ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω (Ο, ) είναι ομάδα και α στοιχείο της. Έστω κ και ν ακέραιοι, τότε ισχύει, 1) α κ α ν =α κ+ν 2) (α -1 ) κ =α -κ =(α κ ) -1 3) (α κ ) ν =α κν (α ν ) κ.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 31 ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Η απόδειξη στηρίζεται στην προσεταιριστική ιδιότητα και στην αα -1 =1. Αν οι κ και ν είναι φυσικοί, τότε η σχέση είναι γνωστή από την προσεταιριστική ιδιότητα. Αν είναι και οι δύο αρνητικοί, πάλι χρησιμοποιούμε την προσεταιριστική και την (α -1 ) -κ =α κ. Υποθέτουμε ότι ο ένας (κ) είναι θετικός και ο άλλος (ν) αρνητικός με κ>-ν. Τότε α (κ+ν)-ν α ν =α κ+ν α -ν α ν =α κ+ν 1=α κ+ν. 2) Αν χρησιμοποιήσουμε το προηγούμενο θα έχουμε α κ α -κ =1. Δηλαδή (α κ ) -1 =α -κ και α κ =(α -κ ) -1. 1 1 Για κ θετικό θα έχουμε... a a a k (α -1 ) -κ (α -1 ) κ =1 και (α κ ) -1 = (α -1 ) κ. k. Αν κ<0, τότε πάλι από το προηγούμενο θα έχουμε 3) Αν ν>0 χρησιμοποιούμε το 1) ν φορές. Αν είναι αρνητικό, τότε χρησιμοποιούμε πρώτα το 2) και μετά το 1). Θα μελετήσουμε τώρα ένα περίεργο φαινόμενο που μπορεί να συμβαίνει μεταξύ των στοιχείων μιας ομάδας. Παράδειγμα. 1) Η ομάδα Μ(2x2, αλλά δεν είναι κυκλική, αφού ο πίνακας του πίνακα a b 0 0 c d 0 0 n 0 0 0. ) των 2x2 πινάκων με την πρόσθεση είναι άπειρη 0 0 0 n δεν μπορεί να δημιουργηθεί με αθροίσματα. Επίσης δεν υπάρχει ακέραιος κ ώστε κ a c b d = 0 0 0 0 για 2) Το σύνολο Μ(2x2) είναι εφοδιασμένο με γινόμενο αλλά δεν είναι ομάδα. Περιέχει όμως την πολλαπλασιαστική ομάδα GL(2, ). Δηλαδή όλους τους αντιστρέψιμους πίνακες. Είναι και αυτή άπειρη ομάδα, αφού περιέχει τους πίνακες της μορφής n 0 0 1 για όλους τους φυσικούς k 2 2 0 1 0 n. Δεν υπάρχει όμως φυσικός κ ώστε 0 1 0 1. Αλλά 1 0 1 0 0 1 0 1.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 32 Βλέπουμε λοιπόν ότι τα στοιχεία της GL(2, δυνάμεις τους δεν γίνονται ποτέ μονάδα, μονάδα. 23. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 0 0 1 ) χωρίζονται σε δυο κατηγορίες, αυτά που οι, και αυτά που κάποια δύναμή τους είναι Έστω Ο ομάδα και α στοιχείο της. Το α θα έχει πεπερασμένη τάξη, αν υπάρχει φυσικός κ ώστε α κ =1. Διαφορετικά θα λέμε ότι έχει άπειρη τάξη. Ο μικρότερος φυσικός κ για τον οποίο α κ =1, θα καλείται τάξη (order) του α και θα γράφουμε ο(α)=κ. Διαφορετικά θα γράφουμε ο(α)=. Η τάξη της Ο είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου Ο και συμβολίζεται με Ο. 24. ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω Ο ομάδα και α στοιχείο της. 1) ο(α)=ο(α -1 ). 2) Αν ο(α)=κ και α ν =1, τότε το κ διαιρεί το ν. 3) Αν ο(α)=κ και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του κ και ν είναι λ, τότε ο(α ν ) = κ/λ.. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Έστω ο(α)=κ, τότε α κ =1 και (α κ ) -1 =(α -1 ) κ =1-1 =1 σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση. Αν υπήρχε ν<κ ώστε (α -1 ) ν =1, τότε πάλι από το προηγούμενο θεώρημα θα είχαμε (α -1 ) ν =(α ν ) -1 =1 και α ν =1. Αδύνατον. Άρα ο(α -1 ) κ =κ. Αν ο(α)=, τότε θα έχουμε επίσης ο(α -1 )=. Διότι αν είχαμε ο(α -1 )=κ, τότε επειδή (α -1 ) -1 =α και ο((α -1 )) -1 =κ. Δηλαδή ο(α)=κ. 2) Εφόσον α ν =1, θα πρέπει κ<ν. Εφαρμόζοντας την Ευκλείδεια διαίρεση έχουμε, ν=πκ+υ. Εδώ 0υ<κ. Γράφουμε λοιπόν α ν =α πκ+υ =(α κ ) π α υ =1α υ =α υ. Αλλά, α ν =1. Άρα α υ =1. Αδύνατον εκτός αν υ=0. Δηλαδή ν=πκ.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 33 3) Δίνεται ότι ΜΚΔ(κ, ν)=λ. Άρα ΜΚΔ(κ/λ, ν/λ)=1. Δηλαδή οι ακέραιοι κ/λ και ν/λ είναι πρώτοι μεταξύ τους. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτές τις σχέσεις στους εκθέτες. (α κ ) ν/λ =(α ν ) κ/λ =1 Έστω μ>0 με μ<κ/λ και (α ν ) μ =1. Θα δείξουμε ότι ο κ/λ διαιρεί τον μ, άτοπο. Αφού α νμ =1, ο κ διαιρεί τον νμ. Άρα ο κ/λ διαιρεί τον νμ/λ. Επειδή όμως (ν/λ,κ/λ)=1 έχουμε ότι ο κ/λ διαιρεί τον μ. 25. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω Ο κυκλική ομάδα και α γεννήτοράς της. 1) Αν ο(α)=, τότε α κ α λ για κ λ. 2) Αν ο(α)=ν, τότε α κ =α λ για κλmodν. Επίσης Ο={1,α,α 2,α 3,,α ν-1 }. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Έστω ο(α)= και κ λ. Αν είχαμε α κ =α λ, τότε θα είχαμε επίσης α κ-λ =1. Και η τάξη του α θα ήταν πεπερασμένη. Αδύνατον. 2) Σ αυτήν την περίπτωση η τάξη του α είναι ν. Αν έχουμε α κ =α λ, τότε θα είχαμε επίσης α κ-λ =1. Και σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση, το ν διαιρεί το κ-λ. Το αντίστροφο είναι ακριβώς το ίδιο. Αν κ-λ=πν, τότε θα έχουμε επίσης α κ-λ =1. Δηλαδή α κ =α λ. Έστω κ>ν, τότε κ=πν+υ και α κ =α πν+υ. Άρα θα έχουμε α κ =α υ. Δηλαδή Ο={1,α,α 2,α 3,,α ν-1 }. 26. ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω Ο κυκλική ομάδα, τότε είναι και αβελιανή. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού η Ο είναι κυκλική, κάθε στοιχείο της γράφεται α κ για κάποιον ακέραιο κ. Θα πάρουμε δυο στοιχεία της και θα δείξουμε ότι μετατίθενται. α κ α λ =α κ+λ =α λ+κ =α λ α κ Γνωρίζουμε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο, η αβελιανή ομάδα (,+) δεν είναι κυκλική.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 34 1) Έστω G ομάδα και α, β στοιχεία πεπερασμένης τάξης. Δείξτε ότι ο(αβα -1 )=ο(β) και ο(αβ)= ο(βα). 2) Έστω G αβελιανή ομάδα και α, β στοιχεία πεπερασμένης τάξης ώστε (ο(α),ο(β))=1. Δείξτε ότι ο(αβ)=ο(α)ο(β). 3) Είναι η ομάδα (, *) με πράξη α*β=α+β-1 κυκλική; 4) Δώστε παράδειγμα άπειρης ομάδας της οποίας κάθε στοιχείο έχει πεπερασμένη τάξη. 5) Αν η Ο είναι άπειρη κυκλική, τότε έχει μόνο δύο γεννήτορες. 6) Έστω α και β δυο μη τετριμμένα στοιχεία μιας ομάδας Ο. Αν ο(β)=2 και βαβ -1 =α 2, βρείτε την τάξη του α. 7) Αν η τάξη της Ο είναι άρτια τότε υπάρχει μη τετριμμένο στοιχείο α με τάξη 2. 8) Έστω 1 a b G 0 1 c a, b, c p, p 2 0 0 1 πολύ p και να βρείτε την τάξη της. Ο p είναι πρώτος.. Δείξτε ότι κάθε στοιχείο της έχει τάξη το 9) Στην GL(2, ) βρείτε την τάξη των στοιχείων τους. Κάντε το ίδιο για τα 1 1 1 1, 0 1 0 1. 1 0 1 1, 0 1 0 1 και του γινομένου 10) Για τα στοιχεία α, β και γ της ομάδας Ο ισχύουν οι σχέσεις α=βγ=γβ και β κ =1=γ ν με κ,ν φυσικούς πρώτους μεταξύ τους. Δείξτε οτι υπάρχουν πρώτοι μεταξύ τους μ και λ ώστε β=α μ και γ=α λ.

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 35 ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ Μέχρι τώρα μελετήσαμε σύνολα εφοδιασμένα με μια πράξη ώστε να ικανοποιούν τις ιδιότητες της ομάδας. Ένα εύλογο ερώτημα είναι, αν κάποιες από αυτές συνδέονται μεταξύ τους ώστε το ένα σύνολο να είναι υποσύνολο του άλλου,, τότε συνδέονται μεταξύ τους σαν ομάδες; Παραδείγματος χάριν το (,+) με το (,+). Αν περιορίσουμε την πρόσθεση του να εφαρμόζεται μόνο στο υποσύνολό του, τότε δεν έχουμε τίποτα άλλο από τη γνωστή ομάδα (,+). Λέμε ότι η (,+ ) είναι υποομάδα της (,+). Σ αυτήν την ενότητα θα μελετήσουμε συνθήκες ώστε υποσύνολα ομάδων να αποτελούν ομάδες με την ίδια πράξη από μόνες τους. Έστω (Ο, ) ομάδα και Υ Ο. Για να είναι το (Υ, ) ομάδα, με την ίδια πράξη, πρώτα από όλα θα πρέπει η πράξη να είναι καλά ορισμένη. Παραδείγματος χάριν, αν Υ={0,1,2} βλέπουμε ότι η πράξη δεν είναι καλά ορισμένη, 1+2=3Υ. Ας υποθέσουμε ότι η πράξη είναι καλά ορισμένη στο υποσύνολο Υ. Αν εφαρμόσουμε την πράξη σε τρία στοιχεία του Υ, α β γ, επειδή είναι και στοιχεία του Ο και η πράξη είναι προσεταιριστική, θα είναι αναγκαστικά προσεταιριστική και στο Υ. Δηλαδή θα ισχύει (α β) γ=α (β γ) και στο σύνολο Υ. Αρκεί λοιπόν να εξετάσουμε την ύπαρξη του μοναδιαίου και του αντιθέτου-αντιστρόφου. 27. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω (Ο, ) ομάδα και Υ υποσύνολο του Ο. Το ζεύγος (Υ, ) θα καλείται υποομάδα (subgroup), αν αποτελεί ομάδα από μόνο του. Γράφουμε Υ Ο. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Οι θετικοί ρητοί με τον πολλαπλασιασμό (, ) αποτελούν ομάδα όπως και οι ρητοί με την πρόσθεση (,+). Παρότι, δεν είναι η μια υποομάδα της άλλης αφού έχουν διαφορετικές πράξεις. 2) Αν ΥΟ υποομάδα, θα περιέχει τουλάχιστον το μοναδιαίο στοιχείο 1. Δηλαδή 1Α. Το υποσύνολο Α={1} είναι η μικρότερη υποομάδα και την καλούμε τετριμμένη υποομάδα. Η αντίθετη ακραία περίπτωση είναι όταν Υ=Ο. Οποιαδήποτε άλλη περίπτωση θα ικανοποιεί τη σχέση {1}<Υ<Ο και θα καλείται γνήσια υποομάδα. Θα δούμε αμέσως ένα κριτήριο σύμφωνα με το οποίο θα εξετάζουμε σύντομα αν ένα υποσύνολο αποτελεί υποομάδα.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 36 28. ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω Ο ομάδα και Υ μη-κενό υποσύνολό της. Το Υ είναι υποομάδα αν και μόνο αν ισχύουν οι επόμενες συνθήκες. 1) Η πράξη να είναι καλά ορισμένη, για κάθε α και βυ ισχύει ότι αβυ. 2) Για κάθε α Υ ισχύει ότι α -1 Υ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν ΥΟ είναι υποομάδα, τότε οι δύο συνθήκες ικανοποιούνται. Ας υποθέσουμε ότι ικανοποιούνται οι δύο συνθήκες και ας δείξουμε ότι είναι υποομάδα. Από την 1) η πράξη είναι καλά ορισμένη. Όπως σημειώσαμε πιο πάνω θα είναι και προσεταιριστική, διότι είναι και στην Ο. Από τη 2) γνωρίζουμε ότι ο αντίστροφος κάθε στοιχείου του Υ είναι επίσης στοιχείο του Υ. Αρκεί να δείξουμε ότι το Υ περιέχει και το μοναδιαίο. Εφόσον Υ. υπάρχει στοιχείο αυ, άρα από τη συνθήκη 2) υπάρχει και το α -1. Από τη συνθήκη 1) και το στοιχείο αα -1Υ. Δηλαδή 1Υ. Δείξαμε λοιπόν ότι αν ικανοποιούνται οι δύο συνθήκες το Υ είναι υποομάδα. Π αράδειγμα. 1) (,+) (,+) (,+) (,+). 2) Οι θετικοί ρητοί στους μη-μηδενικούς ρητούς. (, ) ( *, ). 3) (, ) (, ) ( *, ). 4) Έστω Ο ομάδα και α στοιχείο της. Το υποσύνολο Υ={α κ κ ακέραιος} αποτελεί κυκλική υποομάδα της Ο. Η Ο δεν είναι απαραίτητα κυκλική. 5) Η ομάδα του Klein ορίζεται ως εξής. V={1,α,β,γ}με σχέσεις μεταξύ των στοιχείων, α 2 =β 2 =γ 2 =1, αβ=βα=γ, βγ=γβ=α, αγ=γα=β Ας βρούμε όλες τις γνήσιες υποομάδες της. <α>={1,α}, <β>={1,β}, <γ>={1,γ}. 6) Έστω GL(2, ) η γενική γραμμική ομάδα των 2x2 πινάκων στους πραγματικούς (φυσικά με το γινόμενο) και Υ= τριγωνικών πινάκων. Επειδή a 0 b ac 0 c a b d e ad ae bf 0 c 0 f 0 cf το υποσύνολό της των άνω και acdf 0, η πράξη

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 37 στο Υ είναι καλά ορισμένη και μάλιστα GL(2, ). 1 1 1 bc a b a a 0 c 1 0 c Υ. Άρα Υ 7) Έστω GL(2, ) η γενική γραμμική ομάδα των 2x2 πινάκων στους μιγαδικούς. Θα μελετήσουμε το υποσύνολο Q8={I, -I, J, -J, K, -K, L, -L}όπου Ι= 1 0 0 1, J= i 0 0 i, K= 0 1 1 0, L= 0 i i 0 Αυτή είναι η ομάδα των μοναδιαίων τεταρτονίων Q8. Κάνοντας πράξεις βλέπουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες J 2 =K 2 =L 2 =-I, JK=L, KJ=-L, LJ=K, JL=-K, KL=J, LK=-J Το υποσύνολο Q8 αποτελεί μη-αβελιανή υποομάδα με 8 στοιχεία η οποία γεννάται από το ζεύγος (J,K) ή (J,L) ή (K,L). Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία J, K, L έχουν τάξη 4. Έχουμε μελετήσει και άλλη ομάδα μη-αβελιανή με 8 στοιχεία, την ομάδα των συμμετριών του τετραγώνου D4. Αυτές έχουν μια ουσιώδη διαφορά. Η Q8 δεν έχει γεννήτορα τάξης 2 ενώ η ομάδα D4 έχει. 29. ΠΡΟΤΑΣΗ Όλες οι υποομάδες της άπειρης κυκλικής (,+) είναι της μορφής ν για τους φυσικούς ν. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν Υ είναι υποομάδα, τότε θα έχει ένα μικρότερο θετικό στοιχείο ν. Αν δεν υπάρχει θα είναι η τετριμμένη. Εφόσον νυ, και κάθε πολλαπλάσιό του... θα είναι στοιχείο της. Άρα ν. Αν υπήρχε στοιχείο λ το οποίο δεν είναι πολλαπλάσιο του ν, τότε σύμφωνα με την Ευκλείδεια διαίρεση θα έχουμε, λ=πν+υ με 0<υ<ν. Επειδή υ=λ-πν και τα στοιχεία λ και πν είναι στοιχεία της υποομάδας Υ θα είναι και το υ σαν άθροισμα. Άρα η Υ περιέχει στοιχείο μικρότερο του ν. Άτοπο. 30. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω Ο=<α> κυκλική ομάδα. Τότε κάθε υποομάδα της είναι επίσης κυκλική.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 38 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Υ μη τετριμμένη υποομάδα. Κάθε στοιχείο της θα είναι της μορφής α κ για κάποιον ακέραιο κ. Έστω ν ο μικρότερος φυσικός ώστε α νυ. Θα δείξουμε ότι Υ=<α ν >. Η απόδειξη μιμείται την προηγούμενη πρόταση. Εφόσον α νυ θα πρέπει και κάθε δύναμη αυτού του στοιχείου να είναι στοιχείο της Υ, δηλαδή α κνυ. Αν είχαμε α λυ με λ=πν+υ για 0<υ<ν, τότε α υ =α λ-πν =α λ α -πν Υ. Αυτό όμως αντιβαίνει στην υπόθεσή μας. Παράδειγμα. Ας βρούμε τις γνήσιες υποομάδες της ( 4 ={0,1,2,3 }, ). Μπορούμε να πάρουμε κάθε υποομάδα που γεννάται από ένα στοιχείο εκτός από τα 0 και 1. Είναι μόνο η < 2 >={0,2 } (το 2 διαιρεί το 4). Παρατηρούμε ότι με το 4). Πιο κάτω θα δούμε ακριβώς πως θα βρίσκουμε τις υποομάδες μιας κυκλικής. 4 =<1>=<3 > ( το 1 και 3 είναι πρώτοι Μια πολύ σημαντική υποομάδα είναι το κέντρο μιας ομάδας. 31. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω (Ο, ) ομάδα. Το κέντρο (center) της O, Ζ(Ο), είναι το υποσύνολό της το οποίο αποτελείται από τα στοιχεία που μετατίθενται με κάθε στοιχείο της. Ζ(Ο)={γΟ γα=αγ για κάθε αο} Το κέντρο είναι μη κενό γιατί περιέχει το μοναδιαίο, επίσης αν η Ο είναι αβελιανή τότε το κέντρο είναι εξορισμού όλη η ομάδα. 32. ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω (Ο, ) ομάδα. Το κέντρο (center) της O, Ζ(Ο), είναι υποομάδα της. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α και β στοιχεία του κέντρου της, τότε γ(αβ)=(γα)β=(αγ)β=α(γβ)=α(βγ)=(αβ)γ. Άρα και το στοιχείο αβ ανήκει στο κέντρο. Θα δείξουμε ότι και το αντίστροφο του α ανήκει στο κέντρο. α -1 γ=(γ -1 α) -1 =(αγ -1 ) -1 =γα -1. Παράδειγμα. Ας βρούμε το κέντρο της GL(2, ). Ας πάρουμε ένα τυχαίο στοιχείο a b c d και ας υποθέσουμε ότι αυτό μετατίθεται με κάθε στοιχείο της ομάδας. Θα επιλέξουμε

Θ Ε Ω Ρ Ι Α Ο Μ Α Δ Ω Ν 39 κάποια στοιχεία τα οποία θα μας βοηθήσουν να βρούμε το κέντρο. Άρα μετατίθεται και με το 0 1 1 0. a c b d Άρα a=d και b=c. Το στοιχείο γίνεται a b b a 0 1 1 0 b d a b a c 0 1 1 0 a a b b a b = = b a = = a b d b 0 1 1 0 c a c d. Θα μετατίθεται επίσης και με το 0 1 1 0 a b a b a b b a b a 1 1 0 1. Από την τελευταία σχέση των πινάκων έχουμε b=0. Το κέντρο λοιπόν αποτελείται από στοιχεία της μορφής a 0 0 a με α 0. Θα μελετήσουμε αμέσως μερικές βασικές ιδιότητες στις υποομάδες. Ξεκινάμε με μια ιδιότητα την οποία είδαμε ήδη στο παράδειγμα 7 μετά την πρόταση 28. 33. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω Ο ομάδα και Υ πεπερασμένο υποσύνολό της. Αν το Υ είναι κλειστό ως προς την πράξη της Ο, τότε είναι υποομάδα της. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Υ={α1,,ακ }. Επειδή η πράξη είναι κλειστή αρκεί να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο του έχει το αντίστροφο-αντίθετο του στο Υ. Ας πάρουμε το ακ και ας δείξουμε ότι (ακ) -1 Υ. Εφόσον η πράξη είναι κλειστή, αν πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία του Υ με ένα στοιχείο θα πάρουμε πάλι το Υ. Δηλαδή πρώτα θα δείξουμε ότι ακυ=υ {ακ α1,,ακ ακ }=Υ Αυτό είναι ισοδύναμο με ακαi ακαj για i j. Διαφορετικά θα είχαμε (ακ) -1 ακαi=(ακ) -1 ακαj. Από το νόμο της διαγραφής, αi=αj. Άρα υπάρχει αi με ακαi=ακ. Το αi είναι το ουδέτερο στοιχείο. Επίσης, θα υπάρχει αj με ακαj =αi. Το ακ λοιπόν έχει αντίστροφο στο Υ.

Ν. Κ Ε Χ Α Γ Ι Α Σ 40 Παράδειγμα. Ας βρούμε την τομή των υποομάδων 2 και 3 στην. Έστω α 2 3, τότε α=2κ=3λ για κάποιους ακεραίους κα και λ. Το α λοιπόν διαιρείται και από το 2 και από το 3. Άρα διαιρείται και από το γινόμενό τους. Οπότε α=6μ. Έχουμε λοιπόν 2 3 Ας εξετάσουμε τώρα την ένωση, 2 3. Αν η ένωση ήταν υποομάδα θα έπρεπε να ισχύει ότι το 2+3=5 είναι στοιχείο της. Αλλά 52 ούτε στο 3. Άρα η ένωση δεν είναι υποομάδα. Υπάρχει αντίστοιχη ιδιότητα στους διανυσματικούς υποχώρους. 6. Φυσικά ισχύει και το ανάποδο. Άρα 2 3 =6. 34. ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω Υ και Τ υποομάδες της ομάδας Ο. 1) Υ ΤΟ. 2) Υ ΤΟ αν και μόνο αν η μια υποομάδα είναι υποομάδα της άλλης. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1) Έστω α και β Υ Τ, τότε τα στοιχεία αυτά είναι και στοιχεία των Υ και Τ και το γινόμενο αβ θα είναι επίσης στοιχείο και των δύο. Άρα και της τομής. Πάλι από την ιδιότητα της υποομάδας θα έχουμε ότι και ο αντίστροφος α -1 θα είναι στοιχείο και των δύο. Η τομή λοιπόν ικανοποιεί τις δυο ιδιότητες της υποομάδας. 2) Αν Υ Τ, τότε Υ Τ=Τ Ο. Η αντίστροφη κατεύθυνση τώρα. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ατ-υ και βυ-τ. Τότε το αβτ Υ, αφού είναι υποομάδα. Δηλαδή αβτ ή Υ. Έστω ότι αβτ, επειδή ατα α -1 αβτ. Αδύνατον γιατί βτ. Το επόμενο θεώρημα μελετά τις υποομάδες μιας κυκλικής. 35. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω Ο=<α> κυκλική με ο(α)=ν. 1) Για οποιονδήποτε ακέραιο μ η ομάδα Ο έχει υποομάδα Υ τάξης μ αν και μόνο αν ο μ διαιρεί τον ν. 2) Αν ν=κμ, τότε η Ο έχει μοναδική υποομάδα τάξης μ. 3) <α τ >=<α υ > αν και μόνο αν (τ,ν)=(υ,ν).