Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε τα γεγονότα: Α i { η i στη μπάλα που τραβάμε είναι άσπρη }, Μ i { { η i στη μπάλα που τραβάμε είναι μαύρη }, όπου i = 1, 2. Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: P(A 1 M 2 ) = P(M 2 A 1 ) * P(A 1 ). Η P(A 1 ) δεν είναι τίποτα άλλο από την πιθανότητα η πρώτη μπάλα που τραβάμε από το κουτί να είναι άσπρη. Η P(M 2 A 1 ) είναι η πιθανότητα η δεύτερη μπάλα που τραβάμε από το κουτί να είναι μαύρη, δεδομένου ότι η πρώτη μπάλα που τραβήξαμε είναι άσπρη. Για να υπολογίσουμε αυτές τις δύο πιθανότητες χρησιμοποιούμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας: πιθανότητα ενδεχομένου αποτελέσματα που ικανοποιούν το ενδεχόμενο δυνατά αποτελέσματα 1
Επομένως: πλήθος άσπρων μπαλών στο κουτί κατά το πρώτο τράβηγμα συνολικός αριθμός μπαλών στο κουτί κατά το πρώτο τράβηγμα 3 5 Για την πιθανότητα P(M 2 A 1 ) παρατηρούμε ότι μετά το πρώτο τράβηγμα(στο οποίο έχουμε βγάλει άσπρη μπάλα) έχουν απομείνει 2 μαύρες και 2 άσπρες μπάλες. Επομένως: πλήθος μαύρων μπαλών στο κουτί κατά το δεύτερο τράβηγμα συνολικός αριθμός μπαλών στο κουτί κατά το δεύτερο τράβηγμα PM A 2 4 Συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι: PA M PM A PA 3 5 2 4 6 0.3 20 Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε το παραπάνω πρόβλημα είναι να συμβολίσουμε τις 3 άσπρες μπάλες με α 1, α 2, α 3 και τις 2 μαύρες μπάλες με μ 1, μ 2. Έτσι ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης θα αποτελείται από τα γεγονότα: Ν= { { α 1, μ 1 }, { α 1, μ 2 }, { α 1, α 2 }, { α 1, α 3 }, { α 2, μ 1 }, { α 2, μ 2 }, { α 2, α 1 }, { α 2, α 3 }, { α 3, μ 1 }, { α 3, μ 2 }, { α 3, α 1 }, { α 3, α 2 }, { μ 1, α 1 }, { μ 1, α 2 } { μ 1, α 3 },{ μ 1, μ 2 }, { μ 2, α 1 }, { μ 2, α 2 } { μ 2, α 3 }, { μ 2, μ 1 } }
Το γεγονός { α i, μ j } παριστάνει την περίπτωση που πρώτα τραβήξαμε την άσπρη μπάλα α i ενώ στο δεύτερο τράβηγμα βγάλαμε τη μαύρη μπάλα μ j. Το γεγονός { α i, α j } παριστάνει την περίπτωση που πρώτα τραβήξαμε την άσπρη μπάλα α i ενώ στο δεύτερο τράβηγμα βγάλαμε την άσπρη μπάλα α j. Το γεγονός { μ i, α j } παριστάνει την περίπτωση που πρώτα τραβήξαμε τη μαύρη μπάλα μ i ενώ στο δεύτερο τράβηγμα βγάλαμε την άσπρη μπάλα α j. Το γεγονός { μ i, μ j } παριστάνει την περίπτωση που πρώτα τραβήξαμε τη μαύρη μπάλα μ i ενώ στο δεύτερο τράβηγμα βγάλαμε τη μαύρη μπάλα μ j. Το ενδεχόμενο Α η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μαύρη ικανοποιείται όταν εμφανιστεί ένα από τα γεγονότα: { α 1, μ 1 }, { α 1, μ 2 }, { α 2, μ 1 }, { α 2, μ 2 }, { α 3, μ 1 }, { α 3, μ 2 }. To ενδεχόμενο Α συνεπώς θα περιλαμβάνει τα γεγονότα: Ν Α = { { α 1, μ 1 }, { α 1, μ 2 }, { α 2, μ 1 }, { α 2, μ 2 }, { α 3, μ 1 }, { α 3, μ 2 } }. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σχέσης (1) και λαμβάνοντας υπόψη ότι ο δειγματικός χώρος περιλαμβάνει 20 γεγονότα, θα έχουμε: 6 20 0.3 το οποίο ταυτίζεται με το αποτέλεσμα που βγάλαμε με τον πρώτο τρόπο.
Άσκηση 2: Ένα κουτί περιέχει 3 μπάλες κάθε μια από τις οποίες μπορεί να είναι είτε μαύρη είτε όχι. Το πλήθος των μαύρων μπαλών στο κουτί είναι ένας ακέραιος αριθμός με τιμές είτε 0 είτε 1 είτε 2 είτε 3 με ίση πιθανότητα. Επιλέγουμε μια μπάλα από το κουτί. α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα η μπάλα να είναι μαύρη. β) Να υπολογίσετε την παραπάνω πιθανότητα στη γενική περίπτωση που το κουτί περιέχει n μπάλες. Λύση: α) Αρχικά ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Ν i { το κουτί περιέχει i μαύρες μπάλες }, με i = 0, 1, 2, 3. Τότε, από το νόμο της ολικής πιθανότητας, η πιθανότητα η μπάλα που επιλέγουμε να είναι μαύρη θα είναι: Επειδή το κουτί μπορεί να περιέχει είτε 0 είτε 1 είτε 2 είτε 3 μπάλες με ίση πιθανότητα, τα ενδεχόμενα Ν i θα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα: 1 4 Η δεν είναι τίποτα άλλο από την πιθανότητα να επιλέξουμε μαύρη μπάλα δεδομένου ότι το κουτί περιέχει i μαύρες μπάλες. Η πιθανότητα αυτή θα ισούται με:
αριθμών μαύρων μπαλών στο κουτί συνολικός αριθμός μπαλών στο κουτί 3 Συνεπώς η πιθανότητα να επιλέξουμε μια μαύρη μπάλα θα είναι: 0 3 1 4 1 3 1 4 2 3 1 4 3 3 1 4 1 2 β Στην περίπτωση που το κουτί περιέχει n μπάλες, τότε ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Νi το κουτί περιέχει i μαύρες μπάλες, με i 0, 1, 2,..., n. Η πιθανότητα η μπάλα που επιλέγουμε να είναι μαύρη προκύπτει και πάλι από το νόμο της ολικής πιθανότητας: Επειδή το κουτί μπορεί να περιέχει είτε 0 είτε 1... είτε n μπάλες με ίση πιθανότητα, τα ενδεχόμενα Ν i θα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα: 1 1 Η πιθανότητα να επιλέξουμε μαύρη μπάλα από το κουτί δεδομένου ότι αυτό περιέχει i μαύρες μπάλες θα ισούται με:
αριθμών μαύρων μπαλών στο κουτί συνολικός αριθμός μπαλών στο κουτί H πιθανότητα λοιπόν να επιλέξουμε μια μαύρη μπάλα θα είναι: 1 1 1 1 1 2 1 1 2
Άσκηση 3: Να θεωρηθεί ένα σύστημα επικοινωνίας που αποτελείται από Ν ανεξάρτητα κανάλια. Τα από αυτά έχουν πιθανότητα σωστής μετάδοσης π 1, τα έχουν πιθανότητα σωστής μετάδοσης π 2 και τα υπόλοιπα έχουν πιθανότητα σωστής μετάδοσης π 3. Το κανάλι επικοινωνίας μέσα από το οποίο στέλνεται ένα μήνυμα επιλέγεται τυχαία(από τα Ν ανεξάρτητα κανάλια) με την ίδια πιθανότητα, αλλά προκειμένου να αυξηθεί η πιθανότητα σωστής μετάδοσης κάθε μήνυμα στέλνεται από 2 κανάλια 1. Να υπολογιστεί η πιθανότητα σωστής μετάδοσης του παραπάνω συστήματος επικοινωνίας. 1 μπορεί να επιλεγεί και το ίδιο κανάλι 2 φορές. Στην περίπτωση αυτή περιμένουμε να γίνει η πρώτη αποστολή του μηνύματος από το επιλεχθέν κανάλι και μετά ξαναστέλνουμε από το ίδιο κανάλι το ίδιο μήνυμα. Λύση: Από τον τρόπο λειτουργίας του δοθέντος συστήματος επικοινωνίας διαπιστώνουμε πως για να έχουμε σωστή μετάδοση ενός μηνύματος αρκεί αυτό να ληφθεί σωστά τουλάχιστον από ένα από τα δύο κανάλια μέσα από τα οποία στέλνεται το μήνυμα αυτό. Άρα η πιθανότητα σωστής μετάδοσης του συστήματος επικοινωνίας θα είναι η πιθανότητα να σταλεί σωστά το μήνυμα τουλάχιστον από ένα από τα δύο κανάλια που χρησιμοποιούμε. Ορίζουμε λοιπόν τα ενδεχόμενα: Σ 1 { σωστή μετάδοση από το πρώτο κανάλι } και Σ 2 { σωστή μετάδοση από το δεύτερο κανάλι }. Η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι:
P(Σ 1 Σ 2 ) = P(Σ 1 ) + P(Σ 2 ) P(Σ 1 Σ 2 ) Επειδή τα κανάλια είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους: P(Σ 1 Σ 2 ) = P(Σ 1 ) * P(Σ 2 ) Στην περίπτωση που επιλέγεται το ίδιο κανάλι για τη δεύτερη μετάδοση του μηνύματος τα ενδεχόμενα Σ1 και Σ2 είναι και πάλι ανεξάρτητα γιατί θεωρούμε ότι δύο διαδοχικές μεταδόσεις μέσα από το ίδιο κανάλι δεν επηρεάζουν η μία την άλλη, και συνεπώς είναι ανεξάρτητες. Επομένως: P(Σ 1 Σ 2 ) = P(Σ 1 ) + P(Σ 2 ) P(Σ 1 ) * P(Σ 2 ) Επειδή το πρώτο και το δεύτερο κανάλι που χρησιμοποιούμε για τη μετάδοση ενός μηνύματος προέρχονται και τα δυο από το σύνολο των Ν καναλιών, η πιθανότητα σωστής μετάδοσης μέσα από τα δύο κανάλια θα είναι ίδια: P(Σ 1 ) = P(Σ 2 ) = P(Σ) οπότε: P(Σ 1 Σ 2 ) = 2 * P(Σ) P(Σ) 2 (1)
Για τον υπολογισμό της πιθανότητας σωστής μετάδοσης P(Σ) μέσα από ένα κανάλι ορίζουμε επίσης τα ενδεχόμενα: Ν i { μετάδοση από κανάλι με πιθανότητα σωστής μετάδοσης π i }, i= 1, 2, 3. Από το νόμο της ολικής πιθανότητας θα έχουμε: Οι πιθανότητες θα είναι: αριθμός καναλιών με πιθανότητα σωστής μετάδοσης συνολικός αριθμός καναλιών Επομένως: 4 1 4 2 1 2 Η πιθανότητα είναι απλά η πιθανότητα σωστής μετάδοσης μέσα από ένα κανάλι με πιθανότητα σωστής μετάδοσης. Eξ ορισμού η πιθανότητα θα ισούται με.
,, Επομένως, η πιθανότητα σωστής μετάδοσης μέσα από ένα κανάλι θα ισούται με: 1 4 1 2 1 4 Αντικαθιστώντας την πιθανότητα P(Σ) στη σχέση (1) προκύπτει: 1 2 2 2 2 2 4 η οποία είναι και η ζητούμενη πιθανότητα σωστής μετάδοσης του συστήματος επικοινωνίας που μελετάμε.