Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες προκύπτουν από την συνέλιξη της f (6..) (f K δ )(x) = f(x y)k δ (y) dλ(y) R µε µια οικογένεια (K δ ) συναρτήσεων οι οποίες ικανοποιούν κατάλληλες συνθήκες. Ορισµός 6.. (οικογένεια καλών πυρήνων). Μια οικογένεια (K δ ) δ>0 συναρτήσεων στο R λέγεται οικογένεια καλών πυρήνων, ή πιο απλά πυρήνας, αν ικανοποιεί τα εξήσ: (i) Για κάθε δ > 0, (6..) R K δ (y) dλ(y) =. (ii) Υπάρχει σταθερά M > 0 ώστε, για κάθε δ > 0, (6..3) K δ (y) dλ(y) M. (iii) Για κάθε η > 0, (6..4) lim δ 0 y η R K δ (y) dλ(y) = 0. 9

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Η συνέλιξη f K δ µιας ϕραγµένης µετρήσιµης συνάρτησης f µε µια οικογένεια καλών πυρήνων (K δ ) δ>0 συγκλίνει στην f σε κάθε σηµείο στο οποίο η f είναι συνεχήσ: Θεώρηµα 6... Εστω {K δ } δ>0 µια οικογένεια καλών πυρήνων και έστω f : R C ϕραγµένη µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε, για κάθε x R στο οποίο η f είναι συνεχής, έχουµε (6..5) lim δ 0 (f K δ )(x) = f(x). Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής στο x και ϑεωρούµε τυχόν ε > 0. Από τη συνέχεια της f στο x, υπάρχει δ > 0 ώστε : αν y < η τότε f(x y) f(x) < ε. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (i) της (K δ ), γράφουµε (f K δ )(x) f(x) = K δ (y)f(x y) dλ(y) f(x) = K δ (y)[f(x y) f(x)] dλ(y). Συνεπώς, (f K δ )(x) f(x) = K δ (y)[f(x y) f(x)] dλ(y) y <η K δ (y) f(x y) f(x) dλ(y) + K δ (y) f(x y) f(x) dλ(y). y η Για το πρώτο ολοκλήρωµα παρατηρούµε ότι : αν y < η τότε f(x y) f(x) < ε. Χρησιµοποιώντας και την ιδιότητα (ii) της (K δ ), παίρνουµε K δ (y) f(x y) f(x) dλ(y) ε K δ (y) dλ(y) Mε. y <η R Για το δεύτερο ολοκλήρωµα χρησιµοποιούµε την υπόθεση ότι η f είναι ϕραγµένη και την ιδιότητα (iii) της (K δ ) για το συγκεκριµένο η: έχουµε K δ (y) f(x y) f(x) dλ(y) K δ (y) ( f(x y) + f(x) dλ(y) y η καθώς το δ 0. Συνεπώς, y η f y η (6..6) lim sup (f K δ )(x) f(x) Mε, δ 0 K δ (y) dλ(y) 0 Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι (f K δ )(x) f(x) καθώς το δ 0.

6.. ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΚΑΛΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ 93 Ορισµός 6..3 (οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας). Μια οικογένεια (K δ ) δ>0 συναρτήσεων στο R λέγεται οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας, ή πιο απλά προσέγγιση της µονάδας, αν ικανοποιεί τα εξήσ: (i) Για κάθε δ > 0, (6..7) R K δ (y) dλ(y) =. (ii) Υπάρχει σταθερά M > 0 ώστε, για κάθε δ > 0 και για κάθε y R, (6..8) K δ (y) M δ και, για κάθε δ > 0 και για κάθε y R \ {0}, (6..9) K δ (y) Mδ y. Παρατηρήστε ότι η πρώτη ανισότητα στην (ii) είναι ισχυρότερη από την δεύτερη όταν y δ. Τελείως αντίστοιχα, η δεύτερη ανισότητα στην (ii) είναι ισχυρότερη από την πρώτη όταν y δ. Η επόµενη πρόταση δείχνει ότι οι υποθέσεις του Ορισµού 6..3 είναι ισχυρότερες από αυτές του Ορισµού 6... Πρόταση 6..4. Κάθε οικογένεια (K δ ) δ>0 προσεγγίσεων της µονάδας είναι οικογένεια καλών πυρήνων. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι υπάρχει R > 0 ώστε : για κάθε δ > 0, (6..0) K δ (y) dλ(y) R. R Εστω δ > 0. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (ii) των προσεγγίσεων της µονάδας, γράφουµε K δ (y) dλ(y) = K δ (y) dλ(y) + K δ (y) dλ(y) R M δ = M δ y <δ y <δ y <δ dλ(y) + Mδ = M δ + Mδ δ δ = 4M. y δ dλ(y) + Mδ dλ(y) y δ y δ dλ(y) y

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Άρα, έχουµε το Ϲητούµενο µε R = 4M. Για την τρίτη ιδιότητα της οικογένειας καλών πυρήνων, σταθεροποιούµε η > 0 και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα (iii) των προσεγγίσεων της µονάδας, γράφουµε (6..) καθώς το δ 0. y η dλ(y) K δ (y) dλ(y) Mδ y η y = M η δ 0 Παραδείγµατα 6..5. (α) Εστω ϕ : R R µια µη αρνητική, ϕραγµένη συνάρτηση που µηδενίζεται έξω από το [, ] και έχει ολοκλήρωµα (6..) R ϕ(y) dλ(y) =. Για κάθε δ > 0 ορίζουµε K δ (y) = δ ϕ(δ y). Η (K δ ) δ>0 είναι οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας. (ϐ) Ο πυρήνας της ϑερµότητας H t στο R ορίζεται ως εξήσ: (6..3) H t (y) = (4πt) / e y /4t. Η οικογένεια (H δ ) δ>0 είναι οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας. Το επόµενο ϐασικό ϑεώρηµα «επεκτείνει» το Θεώρηµα 6... Θεώρηµα 6..6. Εστω (K δ ) δ>0 οικογένεια προσεγγίσεων της µονάδας. L (R) ισχύει Για κάθε f (6..4) lim δ 0 (f K δ )(x) = f(x) σε κάθε σηµείο Lebesgue x της f. Συνεπώς, f K δ f σχεδόν παντού καθώς το δ 0. Για την απόδειξη του Θεωρήµατος 6..6 ϑα χρησιµοποιήσουµε το ακόλουθο λήµµα. Λήµµα 6..7. Εστω f L (R) και έστω f Leb(f). Ορίζουµε (6..5) A(r) = f(x y) f(x) dλ(y), r > 0. r y r Τότε, η συνάρτηση A είναι ϕραγµένη, συνεχής, και (6..6) lim r 0 A(r) = 0.

6.. ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΚΑΛΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ 95 Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι η A(r) είναι συνεχής. Αρκεί να δείξουµε ότι η συνάρτηση r ra(r) είναι συνεχής σε κάθε r > 0. Θα χρησιµοποιήσουµε την απόλυτη συνέχεια του ολοκληρώµατοσ: αφού f L (R), αν ϑεωρήσουµε µια ακολουθία r k r + τότε 0 r k A(r k ) ra(r) = f(x y) f(x) dλ(y) y r k = f(x y) f(x) dλ(y) 0 r< y r k y r f(x y) f(x) dλ(y) καθώς το k, διότι η y f(x y) f(x) είναι τοπικά ολοκληρώσιµη και λ({y : r < y r k }) 0 όταν k. Παρόµοιο επιχείρηµα δείχνει τη συνέχεια από αριστερά. Αφού x Leb(f) έχουµε (6..7) lim λ(i) 0 x I Οµως, (6..8) A(r) = άρα είναι ϕανερό ότι A(r) 0 καθώς το r 0. f(z) f(x) dz = 0. l(i) I x+r f(z) f(x) dz, l(x r, x + r) x r Η A είναι συνεχής και lim r 0 A(r) = 0. Συνεπώς, υπάρχει M > 0 ώστε 0 A(r) M για κάθε r [0, ]. Για r > γράφουµε A(r) = r r y r x+r x r x+r x r f(x y) f(x) dλ(y) f(z) dz + r y r f(z) dz + f(x) r r M := f + f(x). f(x) dλ(y) Επεται ότι 0 A(r) max{m, M } για κάθε r > 0. Απόδειξη του Θεωρήµατος 6..6. Εστω ε > 0. Βρίσκουµε πρώτα N N ώστε (6..9) k=n k < ε.

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Στη συνέχεια, για κάθε δ > 0 γράφουµε (f K δ )(x) f(x) f(x y) f(x) K δ (y) dλ(y) R f(x y) f(x) K δ (y) dλ(y) y δ + k δ< y k+ δ f(x y) f(x) K δ (y) dλ(y) M f(x y) f(x) dλ(y) δ y δ + Mδ f(x y) f(x) k δ< y k+ δ y dλ(y) Mδ M A(δ) + ( k δ) f(x y) f(x) dλ(y) = M A(δ) + = M A(δ) + M [A(δ) + y k+ δ Mδ ( k δ) (k+ δ)a( k+ δ) M k A(k+ δ) k A(k+ δ) όπου M = M. Τώρα, χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι A < και το γεγονός ότι lim δ 0 A(δ) = 0. Υπάρχει δ 0 > 0 ώστε για κάθε 0 < δ < δ 0 να έχουµε (6..0) A( k δ) < ε, k = 0,,..., N. 3 Τότε, για κάθε 0 < δ < δ 0 παίρνουµε N (f K δ )(x) f(x) M [A(δ) + M [ ε 3 + ( N ] k A(k+ δ) + ) ε 3 + A ] k M [ ε 3 + ε 3 + A ε = M ( + A )ε., ] k A(k+ δ) ] k k=n k=n Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έπεται ότι lim δ 0 (f K δ )(x) = f(x).

6.. ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΚΑΛΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ 97 Το τελευταίο ϑεώρηµα αυτής της παραγράφου αναφέρεται στη σύγκλιση της f K δ στην f ως προς την. Θεώρηµα 6..8. Εστω (K δ ) δ>0 οικογένεια καλών πυρήνων. Για κάθε f L (R) και για κάθε δ > 0, η συνέλιξη (6..) (f K δ )(x) = f(x y)k δ (y) dλ(y) R είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση στον R, και (6..) (f K δ ) f 0 καθώς το δ 0. Απόδειξη. Εστω ε > 0. Για κάθε δ > 0 γράφουµε (f K δ ) f = (f K δ )(x) f(x) dλ(x) R f(x y) f(x) K δ (y) dλ(y) dλ(x) R R ( ) = f(x y) f(x) dλ(x) K δ (y) dλ(y) R R = f y f K δ (y) dλ(y), όπου f y (x) = f(x y). Τώρα, χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι (6..3) lim y 0 f y f = 0 (ϐλέπε Κεφάλαιο 4). ηλαδή, υπάρχει η > 0 ώστε (6..4) y < η = f y f < ε. R Τότε, χρησιµοποιώντας και την f y f f y + f = f, έχουµε (f K δ ) f f y f K δ (y) dλ(y) + f y f K δ (y) dλ(y) y <η y η ε K δ (y) dλ(y) + f K δ (y) dλ(y) R y η Mε + f K δ (y) dλ(y), y η όπου M := sup K δ < (αφού η (K δ ) είναι πυρήνας). χρησιµοποιώντας την (6..5) lim K δ (y) dλ(y) = 0, δ 0 y η Αφήνοντας το δ 0 και

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ παίρνουµε (6..6) lim sup (f K δ ) f Mε, δ 0 και αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι (f K δ ) f 0 καθώς το δ 0. 6. Cesàro αθροισιµότητα Ορισµός 6... Εστω {c k } ακολουθία µιγαδικών αριθµών. κατά Cesàro στον l C αν η ακολουθία (6..) C k := c + + c k k καθώς το k. l Λέµε ότι η {c k } συγκλίνει Πρόταση 6... Αν lim k c k = l τότε η {c k } συγκλίνει κατά Cesàro στον l. Απόδειξη. Κάνουµε πρώτα την επιπλέον υπόθεση ότι c k 0 και δείχνουµε ότι C k 0. Θεωρούµε ε > 0 και ϐρίσκουµε k (ε) N µε την ιδιότητα : c k < ε/. Τότε, για κάθε k > k έχουµε (6..) C k c + + c k k + k k k ε < c + + c k + ε k. για κάθε k k ισχύει Ο A := c + + c k εξαρτάται από το ε. Επιλέγουµε k (A) = k (ε) N µε την ιδιότητα : για κάθε k k, (6..3) c + + c k k Αν ϑέσουµε k 0 = max{k, k } τότε, για κάθε k k 0, = A k < ε. (6..4) C k A k + ε < ε. Άρα, C k 0. Για τη γενική περίπτωση εφαρµόζουµε το προηγούµενο στην ακολουθία c k := c k l. Παρατήρηση 6..3. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Η ακολουθία c k = + ( ) k αποκλίνει, αλλά συγκλίνει κατά Cesàro στο. Ορισµός 6..4. Εστω {c k } ακολουθία µιγαδικών αριθµών. Ορίζουµε (6..5) s = c k και σ = s k. k= k= Λέµε ότι η σειρά k= c k συγκλίνει κατά Cesàro στον s C αν (6..6) lim σ = s.

6.3. Ο ΠΥΡΗΝΑΣ ΤΟΥ FEJÉR 99 Παρατήρηση 6..5. Από την Πρόταση 6.. έπεται ότι : αν lim s = s τότε lim σ = s, άρα η σειρά k= c k συγκλίνει κατά Cesàro στον s. Από την άλλη πλευρά, αν z, z =, και αν ορίσουµε c k = z k, k 0, τότε η σειρά c k αποκλίνει διότι c k 0, όµως (6..7) lim σ = lim k s=0 z k = z. ηλαδή, η σειρά zk συγκλίνει κατά Cesàro στον z. 6.3 Ο πυρήνας του Fejér Ορισµός 6.3. (Cesàro µέσοι). Εστω f L (). Το -οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier της f ορίστηκε ως εξήσ: (6.3.) s (f, x) = k= f(k)e ikx. Ο -οστός Cesàro µέσος της σειράς Fourier της f ορίζεται από την (6.3.) σ (f, x) = s 0(f, x) + s (f, x) + + s (f, x),. Μπορούµε να εκφράσουµε την σ (f, t) σε κλειστή µορφή, γράφοντας εδοµένου ότι σ (f, x) = = = = = m=0 s m (f, x) m m=0 k= m k= ( ) k= ( ) k= ( ) f(k)e ikx m= k ikx f(k)e ikx ( k ) f(k)e ( k ) (6.3.3) s m (f, x) = (f D m )(x) f(k)e ikx.

00 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ όπου D m είναι ο m-οστός πυρήνας του Dirichlet, µπορούµε επίσης να γράψουµε (6.3.4) σ (f, x) = (f D m )(x) = m=0 ( f D ) 0 + D + + D (x). Ορισµός 6.3. (πυρήνας Fejér). Ο -οστός πυρήνας του Fejér είναι το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (6.3.5) F (x) = Παρατηρήστε ότι (6.3.6) F (x) = m m=0 k= m e ikx = m=0 D m (x). k= ( ) ( k ) e ikx. Μπορούµε επίσης να εκφράσουµε τον F σε κλειστή µορφή, χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι (6.3.7) D m (x) = si ( m + ) x si x. Γράφουµε F (x) = = = m=0 si ( m + ) x si x si (x/) Συνεπώς, έχουµε το εξήσ: m=0 = si (x/) si (x/) = Λήµµα 6.3.3. Για κάθε και για κάθε x R, (6.3.8) F (x) = και si si x ( (x/) si m + ) x m=0 [cos(mx) cos(m + )x] = si [ cos(x)] (x/) ( si ) (x/). si(x/) k= ( ) (6.3.9) F (x) = ( k ) e ikx ( ) si(x/). si(x/)

6.3. Ο ΠΥΡΗΝΑΣ ΤΟΥ FEJÉR 0 Παρατηρήσεις 6.3.4. Από το Λήµµα 6.3.3 είναι ϕανερό ότι ο πυρήνας του Fejér F είναι µη αρνητική άρτια συνάρτηση. Λόγω της F ( x) = F (x), έχουµε (6.3.0) F (x) dλ(x) = π F (x) dλ(x) =. π 0 Επίσης, 0 F (x) Τέλος, για κάθε 0 < x < π έχουµε (6.3.) 0 F (x) = m=0 D m (x) (m + ) m=0 = [( ) + ] =. ( ) si(x/) si(x/) (x/π) = π x. Για τους Cesàro µέσους σ (f, x) ϑα χρησιµοποιούµε συχνά την αναπαράσταση (6.3.) ή την σ (f, x) = (6.3.3) σ (f, x) = f(x t)f (t) dλ(t) = π 0 ( ) f(x + t) + f(x t) F (t) dλ(t) (f(x + t) + f(x t)) F (t) dλ(t). Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν άµεσα από το γεγονός ότι η F είναι άρτια συνάρτηση (µε απλές αλλαγές µεταβλητής). Θεώρηµα 6.3.5 (Fejér). Εστω f L () και έστω x. Αν τα πλευρικά όρια f(x + 0) και f(x 0) υπάρχουν, τότε (6.3.4) σ (f, x) f(x + 0) + f(x 0) καθώς το. Ειδικότερα, αν η f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο ενός κλειστού διαστή- µατος I, τότε σ (f, x) f(x) οµοιόµορφα στο I. Απόδειξη. Γράφουµε σ (f, x) f(x) = π = π π 0 π 0 ( f(x + t) + f(x t) ( f(x + t) f(x + 0) + ) f(x + 0) + f(x 0) ) f(x t) f(x 0) F (t)dλ(t) F (t)dλ(t).

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Εστω ε > 0. Υπάρχει δ > 0 ώστε f(x + t) f(x + 0) < ε και f(x t) f(x 0) < ε για κάθε t (0, δ). Άρα, δ ( ) f(x + t) f(x + 0) f(x t) f(x 0) + F (t)dλ(t) π 0 δ ( ) f(x + t) f(x + 0) f(x t) f(x 0) + F (t)dλ(t) π π Στο (δ, π) έχουµε 0 δ 0 ε F (t) dλ(t) ε. (6.3.5) F (t) π δ. Συνεπώς, π ( ) f(x + t) f(x + 0) f(x t) f(x 0) + F (t)dλ(t) π δ π π ( ) f(x + t) f(x + 0) f(x t) f(x 0) δ + dλ(t) π δ M(f) δ 0 καθώς το. Άρα, (6.3.6) lim sup σ (f, x) f(x) ε και έπεται το Ϲητούµενο. Στην περίπτωση που η f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο ενός κλειστού διαστήµατος I, από την οµοιόµορφη συνέχεια της f στο I ϐλέπουµε ότι η επιλογή του δ στο παραπάνω επιχείρηµα είναι ανεξάρτητη από το x I (εξαρτάται µόνο από το ε), άρα σ (f, x) f(x) = f(x+0)+f(x 0) οµοιόµορφα στο I. Ενα πόρισµα του Θεωρήµατος 6.3.5 είναι η πυκνότητα των τριγωνοµετρικών πολυωνύ- µων στον (C(), ) και στον (L (), ) που είχε χρησιµοποιηθεί για την απόδειξη του λήµµατος Riema-Lebesgue. Θεώρηµα 6.3.6. Για κάθε g C() και για κάθε ε > 0 υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο q ε ώστε (6.3.7) g q ε < ε. Επίσης, για κάθε p <, για κάθε f L p () και για κάθε ε > 0 υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο q ε ώστε (6.3.8) f q ε p < ε.

6.3. Ο ΠΥΡΗΝΑΣ ΤΟΥ FEJÉR 03 Απόδειξη. Γνωρίζουµε ότι η σ (g) = g F είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο, ως συνέλιξη µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης µε το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο F. Από το προηγούµενο ϑεώρηµα έχουµε ότι σ (g) g οµοιόµορφα, διότι η g είναι συνεχής. ηλαδή, g σ (g) 0. Για το τυχόν λοιπόν ε > 0 έχουµε (6.3.9) g σ (g) < ε αν το είναι αρκετά µεγάλο. Αυτό αποδεικνύει τον πρώτο ισχυρισµό. Για τον δεύτερο, έστω f L p () και ε > 0. Μπορούµε να ϐρούµε g C() ώστε f g p < ε/. Στη συνέχεια, ϑεωρούµε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο q ε ώστε g q ε < ε/. Αφού (6.3.0) g q ε p = ( /p g(x) q ε (x) dλ(x)) p g q ε < ε/, ο ισχυρισµός έπεται από την τριγωνική ανισότητα για την p. Παρατήρηση 6.3.7. Για κάθε ορίζουµε δ = και K δ = F. Η οικογένεια {K δ } είναι προσέγγιση της µονάδας (στο ). Πράγµατι, για κάθε ισχύει (6.3.) K δ (t)dλ(t) = F (t)dλ(t) =. π Επίσης, (6.3.) K δ (t) = F (t) = δ και, για κάθε 0 < t < π, έχουµε (6.3.3) K δ (t) = F (t) π t = π δ t. Από τα αποτελέσµατα της Παραγράφου 6. (ή µια απλή παραλλαγή της απόδειξής τους) έχουµε το εξής ϑεώρηµα που «συµπληρώνει» το Θεώρηµα 6.3.5: Θεώρηµα 6.3.8. Εστω f L (). Για κάθε x Leb(f) ισχύει σ (f, x) f(x) καθώς το. Ειδικότερα, σ (f, x) f(x) σχεδόν παντού στο. Το επόµενο ϑεώρηµα αναφέρεται στην L p -σύγκλιση των Cesàro µέσων σ (f) στην f. Θεώρηµα 6.3.9. Εστω p <. Για κάθε f L ( ) ισχύει (6.3.4) lim σ (f) f p = 0.

04 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Απόδειξη. Γράφουµε ( σ (f) f p = ( = ) /p σ (f, x) f(x) p dx (f(x + t) f(x))f (t) dλ(t) π p dx) /p. Υπάρχει h L q (), όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p, τέτοια ώστε h q = και ( p ) /p (f(x + t) f(x))f (t) dλ(t) dx = ( ) h(x) (f(x + t) f(x))f (t) dλ(t) dλ(x) = ( ) h(x)(f(x + t) f(x)) dλ(x) F (t) dλ(t) = ( /p h q f(x + t) f(x) dλ(x)) p F (t) dλ(t) ( /p f(x + t) f(x) dλ(x)) p F (t) dλ(t) όπου χρησιµοποιήσαµε το ϑεώρηµα Fubii και την ανισότητα Holder. Αν ϑέσουµε f t (x) = f(x + t), συνδυάζοντας τα παραπάνω έχουµε (6.3.5) σ (f) f p f t f p F (t) dλ(t). Ορίζουµε A(t) = f t f p. Γνωρίζουµε ότι η A είναι συνεχής στο 0, άρα (6.3.6) σ (A, 0) A(0) = 0 καθώς το. Οµως, σ (A, 0) = = A(t)F ( t) dλ(t) = A(t)F (t) dλ(t) f t f p F (t) dλ(t), άρα (6.3.7) σ (f) f p σ (A, 0) και έπεται το συµπέρασµα.

6.4. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΣΕΙΡΕΣ FOURIER05 Παρατηρήστε ότι το Θεώρηµα 6.3.9 έχει ως συνέπεια το δεύτερο µέρος του Θεωρήµατος 6.3.6. είχνει επίσης ότι η απεικόνιση f { f(k)} k= είναι -. Θεώρηµα 6.3.0 (µοναδικότητα). Εστω f L (). Αν f(k) = 0 για κάθε k Z, τότε f 0. Απόδειξη. Αφού f(k) = 0 για κάθε k, έχουµε (6.3.8) σ (f, x) = k= ( ) ( k ) f(k)e ikx = 0 για κάθε, δηλαδή σ (f) 0. Από το Θεώρηµα 6.3.9 ϐλέπουµε ότι (6.3.9) f p = σ (f) f p 0. Άρα, f p = 0 και αυτό δείχνει ότι f 0. 6.4 Χαρακτηρισµός των τριγωνοµετρικών σειρών που είναι σειρές Fourier Σε αυτήν την παράγραφο εξετάζουµε αν υπάρχουν κάποια απλά κριτήρια τα οποία να µας επιτρέπουν να δούµε αν κάποια τριγωνοµετρική σειρά είναι η σειρά Fourier µιας συνάρτησης f L p (). Θεωρούµε λοιπόν µια τριγωνοµετρική σειρά (6.4.) k= c k e ikt και τους Cesàro µέσους (6.4.) σ (t) = της σειράς (6.4.). k= ( ) ( k ) c k e ikt. Θεώρηµα 6.4.. Η (6.4.) είναι η σειρά Fourier µιας συνεχούς συνάρτησης f C() αν και µόνο αν η ακολουθία συναρτήσεων {σ } των Cesàro µέσων της συγκλίνει οµοιόµορφα στο. Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι υπάρχει f C() ώστε f(k) = c k για κάθε k Z. Τότε, (6.4.3) σ (x) = σ (f, x).

06 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Από το Θεώρηµα 6.3.5 συµπεραίνουµε ότι σ f οµοιόµορφα στο. Αντίστροφα, έστω ότι η {σ } συγκλίνει οµοιόµορφα σε κάποια συνάρτηση f στο. Η f είναι συνεχής ως οµοιόµορφο όριο τριγωνοµετρικών πολυωνύµων. Παρατηρούµε ότι, για κάθε k Z, αν ϑεωρήσουµε > k τότε ( (6.4.4) k ) c k = σ (x)e ikx dλ(x). Καθώς το έχουµε (6.4.5) ( k ) c k c k και, αφού σ f οµοιόµορφα, (6.4.6) σ (x)e ikx dλ(x) f(x)e ikx dλ(x) = f(k). Επεται ότι c k = f(k) για κάθε k, δηλαδή η (6.4.) είναι η σειρά Fourier της f. Στη συνέχεια µελετάµε την περίπτωση < p <. Θεώρηµα 6.4.. Εστω < p <. Η (6.4.) είναι η σειρά Fourier µιας συνάρτησης f L p () αν και µόνο αν η ακολουθία {σ } των Cesàro µέσων της είναι ϕραγµένη στον L p (). ηλαδή, αν υπάρχει M > 0 ώστε σ p M για κάθε. Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι ( σ (f) p = ( = = ) /p σ (f, x) p dλ(x) p ) /p f(x + t)f (t) dλ(t) dλ(x) /p f(x + t) dλ(x)) p F (t) dλ(t) ( f t p F (t) dλ(t), όπου f t (x) = f(x + t), χρησιµοποιώντας τον δυϊσµό όπως και στην απόδειξη του Θεωρή- µατος 6.3.9. Αφού f t p = f p για κάθε t, συµπεραίνουµε ότι (6.4.7) σ (f) p f p F (t) dλ(t) = f p για κάθε N.

6.5. ABEL ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΠΥΡΗΝΑΣ ΤΟΥ POISSON 07 Για την αντίστροφη κατεύθυνση ϑα χρησιµοποιήσουµε το εξήσ: αν < p < και {f } είναι µια ϕραγµένη ακολουθία στον L p () τότε υπάρχει υπακολουθία {f k } της {f } η οποία συγκλίνει ασθενώς σε κάποια g L p (): αυτό σηµαίνει ότι (6.4.8) f k (x)h(x) dλ(x) g(x)h(x) dλ(x) για κάθε h L q (), όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p. Μια άµεση απόδειξη αυτού του ισχυρισµού έχουµε αν σκεφτούµε ότι η µοναδιαία µπάλα B p του L p () είναι ασθενώς συµπαγής (διότι ο L p είναι αυτοπαθής χώρος, άρα ισοδύναµα µιλάµε για τη µοναδιαία µπάλα του (L q ()) µε την w -τοπολογία). Επίσης, η ασθενής τοπολογία στην B p είναι µετρικοποιήσιµη διότι αναφερόµαστε σε διαχωρίσιµους χώρους. Εφαρµόζουµε λοιπόν αυτό το αποτέλεσµα για την {f } η οποία περιέχεται σε κάποιο πολλαπλάσιο της B p. Υποθέτουµε ότι η {σ (f)} είναι ϕραγµένη στον L p (). Τότε, υπάρχει υπακολουθία {σ k (f)} της {σ (f)} η οποία συγκλίνει ασθενώς σε κάποια g L p (): για κάθε h L q (), (6.4.9) σ k (f, x)h(x) dλ(x) g(x)h(x) dλ(x). Οπως και στην προηγούµενη απόδειξη, παρατηρούµε ότι, για κάθε m Z, αν ϑεωρήσουµε k > m τότε (6.4.0) Καθώς το έχουµε (6.4.) ( m ) c m = σ k (f, t)e imt dλ(t). k ( m ) c m c m k + και, αφού η t e imt ανήκει στον L q (), (6.4.) σ k (f, t)e imt dλ(t) g(t)e imt dλ(t) = ĝ(m). Επεται ότι c m = ĝ(m) για κάθε m, δηλαδή η (6.4.) είναι η σειρά Fourier της g. 6.5 Abel αθροισιµότητα και ο πυρήνας του Poisso Μια σειρά µιγαδικών αριθµών c k λέγεται Abel αθροίσιµη στον s C αν για κάθε 0 r < η σειρά (6.5.) A(r) = c k r k

08 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ συγκλίνει, και (6.5.) lim A(r) = s. r Οι ποσότητες A(r) λέγονται Abel µέσοι της σειράς c k. Αποδεικνύεται ότι αν η σειρά c k συγκλίνει στον s τότε είναι και Abel αθροίσιµη στον s. Αποδεικνύεται επίσης ότι αν η σειρά c k είναι Cesàro αθροίσιµη στον s τότε είναι και Abel αθροίσιµη στον s. Το παράδειγµα της σειράς (6.5.3) ( ) k (k + ) = + 3 4 + 5 δείχνει ότι µια σειρά µπορεί να είναι Abel αθροίσιµη χωρίς να είναι Cesàro αθροίσιµη. Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι (6.5.4) A(r) = για κάθε 0 r <, συνεπώς ( ) k (k + )r k = (6.5.5) lim r A(r) = 4. ( + r) Οµως, η σειρά αυτή δεν είναι Cesàro αθροίσιµη : ϑα έπρεπε να ισχύει lim (s /) = 0. Για αποδείξεις των παραπάνω ισχυρισµών παραπέµπουµε στο Παράρτηµα και τις σχετικές ασκήσεις. Ορισµός 6.5. (πυρήνας του Poisso). Για κάθε 0 r < ϑεωρούµε τη συνάρτηση P r : [ π, π] C που ορίζεται µέσω της (6.5.6) P r (x) = k= r k e ikx. Χρησιµοποιώντας το κριτήριο του Weierstrass ϐλέπουµε ότι η σειρά στο δεξιό µέλος συγκλίνει απολύτως για κάθε x και οµοιόµορφα σαν σειρά συναρτήσεων στο [ π, π]. συνάρτηση P r λέγεται r-πυρήνας του Poisso. Από την οµοιόµορφη σύγκλιση της σειράς (6.5.6) έπεται (εξηγήστε γιατί) ότι (6.5.7) Pr (k) = r k, k Z. Μπορούµε να δείξουµε ότι ο πυρήνας P r παίρνει µη αρνητικές πραγµατικές τιµέσ: δίνεται µάλιστα από την (6.5.8) P r (x) = r r cos x + r. Η

6.5. ABEL ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΠΥΡΗΝΑΣ ΤΟΥ POISSON 09 Για την απόδειξη της τελευταίας ισότητας ϑέτουµε ω = re ix. Τότε, P r (x) = = r k (e ix ) k + k= r k (e ix ) k = ω k + ω s = ω + ω ω = ω ω. s= (re ix ) k + (re ix ) s s= = ω + ( ω)ω ( ω)( ω) εδοµένου ότι ω = r και ω = re ix = ( r cos x) ir si x, καταλήγουµε στην (6.5.9) P r (x) = r ( r cos x) + r si x = r r cos x + r. Θα αποδείξουµε ότι η οικογένεια {P r } 0 r είναι οικογένεια καλών πυρήνων. εδο- µένου ότι το σύνολο δεικτών είναι τώρα το διάστηµα [0, ), αυτό που χρειάζεται να τροποποιήσουµε είναι η τρίτη συνθήκη του ορισµού. Ουσιαστικά Ϲητάµε το εξήσ: για κάθε ακολουθία {r } στο [0, ) µε r, Ϲητάµε η ακολουθία {P r } = να είναι ακολουθία καλών πυρήνων. Η δεύτερη συνθήκη του ορισµού είναι άµεση συνέπεια της πρώτης συν- ϑήκης, διότι οι P r παίρνουν µη αρνητικές πραγµατικές τιµές. Αποδεικνύουµε λοιπόν την εξής πρόταση. Πρόταση 6.5.. Για κάθε 0 r < έχουµε (6.5.0) π π P r (x) dλ(x) =, και για κάθε 0 < δ < π ισχύει ότι (6.5.) lim r δ x π P r (x) dλ(x) = 0. Απόδειξη. Εστω 0 r <. Αφού η σειρά συναρτήσεων P r (x) = k= r k e ikx συγκλίνει οµοιόµορφα στο [ π, π], έχουµε (6.5.) π P r (x) dλ(x) = π k= r k π π π e ikx dλ(x) = r0 e 0 dλ(x) =, π χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι π π eikx dλ(x) = 0 αν k 0. Εστω τώρα 0 < δ < π και έστω / r <. Εχουµε (6.5.3) r cos x + r = ( r) + r( cos x) ( r) + r( cos δ) c δ = cos δ > 0

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ για κάθε δ x π (διότι cos x cos δ). Συνεπώς, (6.5.4) 0 δ x π P r (x) dλ(x) δ x π όταν r. Επεται το συµπέρασµα της πρότασης. r c δ dλ(x) c δ ( r ) 0 Ορισµός 6.5.3 (Abel µέσοι της f). Εστω f L (). Για κάθε 0 r < ορίζουµε τον r-abel µέσο της f µέσω της (6.5.5) A r (f)(x) = k= r k f(k)e ikx. Αφού η ακολουθία { f(k) } είναι ϕραγµένη, το κριτήριο του Weierstrass δείχνει ότι η σειρά συναρτήσεων στο δεξιό µέλος συγκλίνει οµοιόµορφα στον. Παρατηρήστε ότι A r (f)(x) είναι ο r-abel µέσος της σειράς Fourier S(f) της f. Λόγω της οµοιόµορφης σύγκλισης της σειράς (6.5.5), µπορούµε να γράψουµε A r (f)(x) = = k= k= π = = π π r k f(k)e ikx π ( r k π ( f(y) π = (f P r )(x). k= f(y)p r (x y) dλ(y) ) f(y)e iky dλ(y) e ikx r k e ik(y x) ) dλ(y) Αφού η {P r } είναι οικογένεια καλών πυρήνων, παίρνουµε αµέσως το εξής. Θεώρηµα 6.5.4. Εστω f L (). Τότε, η σειρά Fourier S(f) της f είναι Abel αθροίσιµη στην f σε κάθε σηµείο συνέχειας της f: αν η f είναι συνεχής στο x, τότε (6.5.6) A r (f)(x) f(x). Επιπλέον, αν η f είναι συνεχής σε κάθε x, τότε η σειρά Fourier S(f) της f είναι οµοιόµορφα Abel αθροίσιµη στην f: δηλαδή, (6.5.7) A r (f) οµ f.

6.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6.6 Ασκήσεις Οµάδα Α. Εστω c k σειρά πραγµατικών αριθµών. Ορίζουµε s = c + + c. είξτε ότι : k= (α) Αν η σειρά c k συγκλίνει στον s, τότε είναι Abel αθροίσιµη στον s. k= Υπόδειξη. Μπορείτε να υποθέσετε ότι s = 0 (εξηγήστε γιατί). είξτε πρώτα ότι, για κάθε r (0, ), c k r k = ( r) s k r k. k= k= (ϐ) Αν η σειρά c k είναι Cesàro αθροίσιµη στον s, τότε είναι Abel αθροίσιµη στον s. k= Υπόδειξη. Μπορείτε να υποθέσετε ότι s = 0 (εξηγήστε γιατί). είξτε πρώτα ότι, για κάθε r (0, ), c k r k = ( r) kσ k r k. k= k=. Εστω f, g : C ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. είξτε ότι, για κάθε N, (s (f)) g = s (f g) = f (s (g)). 3. Εστω {K δ } δ>0 µια οικογένεια καλών πυρήνων. είξτε ότι : για κάθε p >, ( π /p lim K δ p = lim K δ (x) dλ(x)) p = +. δ 0 δ 0 π 4. Εστω f : [ π, π] R άρτια ολοκληρώσιµη συνάρτηση µε την ιδιότητα : a k (f) 0 για κάθε k 0. είξτε ότι a k < +. 5. Εστω f : R R συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί την f(x) = f(x + ) = f(x + ) για κάθε x R. είξτε ότι η f είναι σταθερή. [Υπόδειξη : Θεωρήστε την g(x) = f ( x ) και υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της g.]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ 6. Εστω f : R C συνάρτηση -περιοδική και ολοκληρώσιµη σε κάθε κλειστό διάστηµα. Υποθέτουµε ότι, για κάποιο x R υπάρχουν τα πλευρικά όρια f(x ) := lim t x f(t) και f(x+ ) := lim t x + f(t). είξτε ότι η σειρά Fourier S(f) της f είναι Abel αθροίσιµη στο σηµείο x: πιο συγκεκριµένα, lim A r(f)(x) = lim r r (f P r)(x) = f(x ) + f(x + ). Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε το γεγονός ότι 0 P r (x) dλ(x) = π π 0 P r (x) dλ(x). 7. Για κάθε N ορίζουµε ( ) + cos t Q (t) = α, όπου η ϑετική σταθερά α επιλέγεται έτσι ώστε να έχουµε π Q (t) dλ(t) =. π είξτε ότι : αν f : R C είναι συνεχής -περιοδική συνάρτηση, τότε f Q οµ f. Παρατηρήστε ότι αυτό δίνει ακόµα µία απόδειξη του «τριγωνοµετρικού» προσεγγιστικού ϑεωρήµατος Weierstrass. 8. Για κάθε N ορίζουµε G (x) = F (x) si x, όπου F είναι ο -οστός πυρήνας του Fejér. είξτε ότι : αν είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από, τότε (x) = ( G )(x) για κάθε x R. Συµπεράνατε ότι (x) για κάθε x R. Αυτή είναι µια «ασθενής» έκδοση της ανισότητας του Berstei, η οποία ισχυρίζεται ότι για κάθε.

6.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 9. Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση και έστω a k, b k οι συντελεστές Fourier της f. Αν lim δείξτε ότι s (f) f οµοιόµορφα στο R. k= k a k + b k = 0, 0. Εστω f L (). είξτε ότι ο τελεστής : L () L () που ορίζεται µέσω της (g) = f g έχει νόρµα = f. Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε τον πυρήνα του Fejér F, N.. Εστω f L () µε την ιδιότητα k f(k) A για κάθε k Z. είξτε ότι, για κάθε και για κάθε x ισχύει Υπόδειξη. είξτε ότι s (f, x) f + A. s (f, x) = σ + (f, x) + k= k + f(k)e ikx.. Εστω p και έστω f L p () µε την ιδιότητα είξτε ότι η f είναι σταθερή. lim σ (f) f p = 0. 3. Εστω (f ) ακολουθία στον L () µε την ιδιότητα : για κάθε g L (), είξτε ότι lim f (k) = για κάθε k Z. lim g g f = 0. 4. Εστω f L (). είξτε ότι : για κάθε µετρήσιµο A, η σειρά f(k) e ikt dλ(t) είναι Cesàro αθροίσιµη στο A f(t) dλ(t). k A Οµάδα Β

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΙΜΟΤΗΤΑ 5. Εστω f : [ π, π] R αύξουσα συνάρτηση. είξτε ότι υπάρχει M > 0 ώστε f(k) M k για κάθε k Z \ {0}. Υπόδειξη. Υπολογίστε αρχικά τους συντελεστές Fourier συναρτήσεων της µορφής h := χ [bs,b s+ ]. Κατόπιν, δείξτε ότι η f προσεγγίζεται (ως προς την ) από κλιµακωτές συναρτήσεις της µορφής N g(x) = t k χ [bs,bs+ ](x), k= όπου π = b < b < < b N+ = π και f t t N f. 6. Εστω 0 < α και έστω f L (). Υποθέτουµε ότι για κάποιο t η f ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz f(t + x) f(t) A x α, x π. είξτε ότι : αν α < τότε ενώ αν α = τότε σ (f, t) f(t) π + α σ (f, t) f(t) A A α, l( + ). 7. Εστω {a } = ακολουθία µη αρνητικών πραγµατικών αριθµών µε τις εξής ιδιότητεσ: (α) a = a για κάθε, (ϐ) lim a = 0, και (γ) για κάθε > 0, a a + a +. είξτε ότι υπάρχει µη αρνητική f L () µε f(k) = a k για κάθε k Z. Υπόδειξη. είξτε ότι lim (a a + ) = 0 και ϑεωρήστε την συνάρτηση f(x) = (a + a + a ) F (x). = 8. (α) Εστω f L (). Υποθέτουµε ότι : για κάθε k 0 ισχύει f(k) = f( k) 0. είξτε ότι k= f(k) k < +.

6.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 (ϐ) είξτε ότι : αν a k > 0 και a k k= k = +, τότε η τριγωνοµετρική σειρά k= a k si kx δεν είναι σειρά Fourier κάποιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης. 9. Εστω f : [ π, π] R περιττή ολοκληρώσιµη συνάρτηση ώστε f(x) M για κάθε x [ π, π] και b k (f) 0 για κάθε k. είξτε ότι για κάθε και για κάθε x [ π, π]. s (f)(x) 5M