ΘΕΜΑ: ΚΩ ΙΚΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΙΠΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΡΟΓΛΟΥ

ΘΕΜΑ: ΚΩ ΙΚΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΙΠΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΑΡΟΓΛΟΥ

ΚΩ ΙΚΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΙΠΟΥ Πρόκειται για κυκλικούς κώδικες µήκους n πάνω από το σώµα Fq, όπου ο πρώτος περιττός και q τετραγωνικό υπόλοιπο modulon. Οι κώδικες τετραγωνικού υπολοίπου (quadatic esidue codes ή QRcodes) δεν είναι τόσο καλοί όσο άλλοι, όπως π.χ. οι BCH ή οι Reed - Mόlle κώδικες, µε την έννοια ότι δεν έχουν τόσο µεγάλη ελάχιστη απόσταση. Για παράδειγµα στους BCH µπορούµε να διαλέξουµε οσοδήποτε µεγάλη ελάχιστη απόσταση, ενώ στους QR- κώδικες, όπως θα δούµε στη συνέχεια, η καλύτερη εκτίµηση είναι d -d+ n Επιπλέον, είναι σχετικά σπάνια τα πρώτα n, για τα οποία το q είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modulo n. Όµως, έχουν αρκετές άλλες καλές ιδιότητες µε σηµαντικότερη ότι πολλοί τέλειοι κώδικες ανήκουν σε αυτήν την κατηγορία, όπως π.χ. οι δυαδικοί κώδικες του Hamming και του Golay. Έχουν, λοιπόν, µεγάλη αξία, τόσο ιστορική όσο και πρακτική. Ορισµός: Ένας ακέραιος α λέγεται τετραγωνικό υπόλοιπο modulo n (n Ζ- {}), αν υπάρχει k Ζ-{}, τέτοιος ώστε: α k modn Οι επόµενες προτάσεις είναι χρήσιµες για τον ακριβή ορισµό των QR- κωδίκων. Πρόταση : Έστω p ένας πρώτος περιττός και α ένας µη µηδενικός p- α p- α ακέραιος. Ισχύει: modp ή modp. Επιπλέον, το α είναι 3

τετραγωνικό υπόλοιπο modulo p ανν modp. Τέλος, υπάρχουν ακριβώς p- α p τετραγωνικά υπόλοιπα modulo p. Απόδειξη: Επειδή ο p είναι πρώτος, ο δακτύλιος Ζp είναι σώµα, και συνεπώς η οµάδας * Z p είναι κυκλική. Άρα, κάθε στοιχείο α αυτής ικανοποιεί: α p- modp. Εποµένως α p- modp, άρα α p- - modp p p α α + modp. Λόγω του ότι το Ζp είναι σώµα, έχουµε p- α p- α p- α ή + modp ± modp. Αν, τώρα το α είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modp, τότε k Z {}, α p- p k p modp α (k ) = k modp. Αντίστροφα, έστω ότι το α δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modulo p. Έστω, ακόµη, * λ Z p ένα στοιχείο τάξης p-. Τότε, ισχύει λ q α modp, όπου q περιττός (αφού αν το q ήταν άρτιος, τότε το α θα ήταν τετραγωνικό υπόλοιπο). Εποµένως, p- p α q (λ ) = λ p- q modp. Όµως, p q δεν διαιρείται από το p-, δηλαδή την τάξη του λ. Άρα, αναγκαστικά, p q p p λ / modp α / modp α modp Για το τελευταίο, παίρνουµε πάλι ένα στοιχείο * λ Z p τάξης p-. Τότε, τα στοιχεία του συνόλου {λ β :β p-, β θετικός άρτιος} είναι διακεκριµένα modp, αφού: λ β λ β' modp λ β-β' modp β-β'=p- ή β-β'= β=β', αφού β-β' <p-. Κάθε στοιχείο αυτού του συνόλου είναι τετραγωνικό 4

υπόλοιπο modulo p, ενώ το πλήθος των στοιχείων του είναι p. Άρα, υπάρχουν τουλάχιστον p τετραγωνικά υπόλοιπα modulo p. Όµοια, τα στοιχεία του συνόλου {λ β :β<p-, β θετικός περιττός} είναι όλα διαφορετικά p ανά, το πλήθος και δεν είναι τετραγωνικά υπόλοιπα. Άρα, τελικά, υπάρχουν ακριβώς p τετραγωνικά υπόλοιπα modulo p. Πόρισµα: Το είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modulo p αν και µόνον αν p ± mod8. Απόδειξη: Ονοµάζουµε p p - α = 3.... Τότε, (.)(.)(.3)... = α Άρα, P- το είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modulo p αν και µόνο αν p 4 6... ( p ) 3... modp. Το πρώτο µέλος είναι ισοδύναµο µε: (Πk ) (Π(p λj)) (Πk ) (Π( λj)) modp. i Κi άρτιος p- Ki λj περιττός p λj< i Κi άρτιος p- Ki λj περιττός p λj< Αν β το πλήθος των παραγόντων του γινοµένου π (-µj), τότε ισχύει, προφανώς: τετραγωνικό υπόλοιπο modulo p αν και µόνο αν (-) β.α α modp (-) β modp. Επειδή το πλήθος των παραγόντων είναι p (για το γινόµενο. 4. p p p p 6...(p-)) και λj< ανv λj < 4, ισχύει β = 4. 5

Ακόµη, (-) β modp ανν β άρτιος. Άρα, τετραγωνικό υπόλοιπο modulo p ανv p p 4 άρτιος. Θέτω p=8t +γ, όπου t Z και γ Ν, γ<8, γ περιττός (δηλαδή γ= ή 3 ή 5 ή 7). Τότε, p p γ γ p p = 4t + t 4 4. Άρα, 4 άρτιος ανv γ γ δ : = 4 άρτιος. Για γ=, έχουµε δ=, άρτιος. Για γ=3 έχουµε δ=, περιττός. Για γ=5 έχουµε δ=, περιττός. Για γ=7, έχουµε δ=, άρτιος. Άρα, p p 4 άρτιος αν και µόνο αν γ= ή 7 p ή 7mod8 p ± mod8. ±mod8. Συνεπώς, το είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modulo p αν και µόνο αν p Πρόταση : Θεωρούµε το σώµα Fq, q δύναµη πρώτου και το πολυώνυµο f(x) µε συντελεστές σε ένα σώµα - επέκταση του Fq. Αν για κάθε ρίζα α του f(x) και α q είναι ρίζα του f(x), τότε f(x) Fq[x]. Απόδειξη: Έστω ότι q=p m, p πρώτος και m N. Τότε το σώµα Fq, καθώς και κάθε επέκτασή του έχει χαρακτηριστική p. Υποθέτουµε ότι f(x)=α +α x+...+α n- x n-. Αν β,...,β n οι ρίζες του f(x), τότε f(x)=(x-β )...(x-β n ). Εποµένως, α k = β...β l l< l<... < ln-k n επίσης ρίζες του f(x). Άρα, ισχύει: ln k. Όµως, από την υπόθεση, β q q,..., βn 6

α k = β...β = β...β q q q l ln k l ln k k, k=,,...,n-, επειδή οι l< l <... < ln-k n l< l <... < ln- n q = α ρίζες β,...,β n ανήκουν σε σώµα χαρακτηριστικής p (επέκταση του F q =F pm ) και το q είναι δύναµη του p. Άρα, κάθε συντελεστής του πολυωνύµου f(x) είναι και ρίζα του πολυωνύµου x q -x. Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι το σύνολο των ριζών του x q -x, που βρίσκονται στο F q ή σε µία επέκτασή του, αποτελεί ένα σώµα µε q στοιχεία, άρα ταυτίζεται µε το F q. Εποµένως, οι συντελεστές του f(x) είναι στοιχεία του F q. ίνουµε, τώρα, τον ορισµό των κωδίκων τετραγωνικού υπολοίπου. Έστω n ένας περιττός πρώτος. Θεωρούµε το αλφάβητο F q (q δύναµη πρώτου), όπου υποθέτουµε ότι το q είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modulo n, δηλαδή ισχύει q n-/ modn. Έστω, ακόµη α µία πρωταρχική n - ρίζα της µονάδας. Ορίζουµε: * { λ F : µ F,λ } R = = = Το σύνολο των τετραγωνικών υπολοίπων n n µ modulo n. R = R. * F n Ορίζουµε, επίσης, τα πολυώνυµα: g (x) = (x α ) και g (x) = R (x α ) R Επειδή το πλήθος των τετραγωνικών υπολοίπων του F n είναι ίσο µε το πλήθος των στοιχείων του F n, που δεν είναι τετραγωνικά υπόλοιπα n =, είναι προφανές ότι deg g o =degg. 7

Ορισµός: Οι κώδικες µε πολυώνυµο γεννήτορα τα g o (x) και (x-)g o (x) ονοµάζονται κώδικες τετραγωνικού υπολοίπου (QR-κώδικες). Τα πολυώνυµα g και g έχουν συντελεστές από το F q. Αυτό προκύπτει άµεσα από την πρόταση (), αφού: Αν α, R ο µία οποιαδήποτε ρίζα του g o, τότε α q είναι, επίσης, ρίζα του g o, επειδή q R ο (αφού υποθέσαµε ότι το q είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modn). Οµοίως, αν R, τότε q R α q ρίζα του g. Εποµένως, οι κώδικες τετραγωνικού υπολοίπου είναι γραµµικοί κυκλικοί κώδικες πάνω από το σώµα F q. Ειδικά στην περίπτωση q=, έχουµε δει ότι ισχύει n ± mod8. Λήµµα: Θεωρούµε το µετασχηµατισµό π j :Fn i ij F n, j F* n. Εφαρµόζοντας τον π j πάνω στις θέσεις των ψηφίων των κωδικών λέξεων, ο κώδικας <g o > απεικονίζεται στον εαυτό του, όταν j R o και στον <g >, όταν j R. Απόδειξη: Έστω U <g > ένα κωδικό πολυώνυµο. Τότε, h(x) F q [x], τέτοιο ώστε U(x)=h(x)g(x). Εποµένως, αν α η πρωταρχική n-ρίζα της µονάδας, που αντιστοιχεί στο πολυώνυµο-γεννήτορα g o (x), τότε, α ρίζα του πολυωνύµου U(x). Αν το πολυώνυµο U(x) έχει τη µορφή: U(x)=α +α X+...+α n- x n-, α i F q, i=,..., n-, τότε η εικόνα του µέσω του µετασχηµατισµού π j, θα έχει τη µορφή: f(x)=α o +α x j. +...+α n- xj.(n- ) =α +α (x j ) +...+α n- (x j ) n-. Επιπλέον, Fq, έχουµε: f ( α ) = α + α( α j) n +...+α n- ( α j) = U( α j) Ro. Αν j R o, τότε α j ρίζα του U(x), επειδή j, Ro. Άρα, fα =, Ro. Εποµένως, το πολυώνυµο f(x) Ro 8

µηδενίζεται από κάθε ρίζα του g o (x), κατά συνέπεια g(x)/f(x) f <g o >. Εποµένως, όταν j R o, κάθε κωδική λέξη του <g o > απεικονίζεται σε κωδική λέξη. Άρα, η εικόνα του <g o > µέσω του πj είναι γραµµικός υπόχωρος του <g o >. Όµως, ο µετασχηµατισµός, αυτός (η εφαρµογή του πj στις θέσεις των ψηφίων των κωδικών λέξεων), είναι, προφανώς, γραµµικός ισοµορφισµός, άρα η διάσταση της εικόνας ισούται µε dim <g o >. Άρα, αναγκαστικά, ο <g ο > και η εικόνα του ταυτίζονται. Οµοίως, αν j R, τότε j R o, R, αφού n n () ( n / ) j = j ( ) ( ) = modn. Άρα, U( α j) f( α ) =, = R g (x)/f(x) f <g >. Συνεπώς, κάθε κωδική λέξη του <g o > απεικονίζεται σε κωδική λέξη του <g >. Όµως, (όµοια µε πριν) η εικόνα του <g o > έχει n διάσταση ίση µε dim<g o >=n-degg o =n- = n degg = dim < g >. Άρα, τελικά, στην περίπτωση j R, η εικόνα του κώδικα <g o > µέσω του µετασχηµατισµού πj ταυτίζεται µε τον κώδικα <g >. Θεώρηµα (): Αν c(x) ένα κωδικό πολυώνυµο του QR-κώδικα <g o >, c() και w(c)=d, ισχύουν: i) d n ii) Αν n - mod4, τότε d -d+ n. iii) Αν q= και n -mod8, τότε d 3 mod4. Απόδειξη: (i) Έστω c <g o >, c(). Τότε, (x-) δεν διαιρείται από c(x). Επιλέγουµε j R, οπότε αν c η εικόνα του c µέσω του µετασχηµατισµού π j, τότε c <g >, χάρη στο προηγούµενο λήµµα. Ο π j αποτελεί, απλώς, µια 9

µετάθεση των συντελεστών του c. Κατά συνέπεια, ισχύει w( c )=w(c)=d και το άθροισµα των συντελεστών του ^ c (x) ισούται µε το άθροισµα των συντελεστών του c(x). Άρα, c ()=c() (x-) δεν διαιρείται από c (x). Εποµένως, το πολυώνυµο (c. c (x) είναι πολλαπλάσιο του n x = + x +... + x x n h ( x) F [ x], q, ( c c) (x)=h(x). (+x+...+x n- ), h(). Τότε, θέτω t(x)=h(x)-h(), οπότε ( c c) (x)= t(x)(+x...+x n- )+h()(+...+x n- ). Επειδή t()= (x-)/t(x) x n- /t(x)(+...+x n- ). Άρα, c. c h() (+...+x n- ) mod (x n- -) c *c=h(). (+...+x n- ). Όµως, το c *c έχει το πολύ d µη µηδενικούς συντελεστές, και συνεπώς, d w (h()(+...+x n- ))=n. n 4s (ii) Αν n - mod4, τότε ( ) ( ) ( ) s = = ( ) = ( ) = mod όπου s κάποιος ακέραιος. Άρα, - R. Συνεπώς, στην προηγούµενη d lj απόδειξη µπορούµε να πάρουµε j=-. Τότε, αν c(x)= α x, είναι j = j c(x) = d j= α j x l. Έχουµε λοιπόν: j 4 ^ c c d = d i j= i l l i j ( x) = α α x = j α i, j d i j α x i j l l i j + α +... + α. d Είναι φανερό, λοιπόν, ότι το πλήθος των µη µηδενικών συντελεστών του πολυωνύµου c* c είναι το πολύ d -d+, και συνεπώς d -d+ n.

iii) Στη δυαδική περίπτωση, όπου n - mod8 n=-mod4, είναι α =...=α d =, οπότε α... + α, αφού d περιττός. Εξάλλου, για τους + d = υπόλοιπους όρους του πολυωνύµου * ^ c c ( x), ισχύει: Οι όροι l i l j x και l µ l λ x απλοποιούνται µεταξύ τους αν και µόνο αν l i l j l µ l λ mod n l l mod n j l i l λ l µ Οι όροι j l i x και l λ l µ x απλοποιούνται µεταξύ τους. Άρα, αν κάποιοι όροι του πολυωνύµου απλοποιούνται, τότε απλοποιούνται κατά τετράδες. Συνεπώς, n=d -d+-4α, για κάποιο α Ν. Επειδή d περιττός, ισχύει d ή 3 mod4. Αν d mod4, τότε: n=d -d+-4α -+-4α = -4α - mod 4, άτοπο. Άρα, αναγκαστικά d 3 mod4. Στόχος µας είναι να αποδείξουµε ότι κάθε λέξη ελάχιστου βάρους του QRκώδικα <g > δεν διαιρείται (αν τη δούµε ως πολυώνυµο) µε το x-, οπότε η ελάχιστη απόσταση του κώδικα <g o > (άρα και του <(x-)g o (x)>, αφού <(x- )g (x)>c<g o >) φράσσεται από κάτω, µέσω των ανισοτήτων (i) και (ii) του προηγούµενου θεωρήµατος. Ο επόµενος ορισµός θα χρησιµοποιηθεί γι αυτό το σκοπό. Ορισµός: Έστω C ένας γραµµικός κυκλικός κώδικας και θ C ένα κωδικό πολυώνυµο. Αν για κάθε κωδική λέξη - πολυώνυµο h C, ισχύει: θ(x)*h(x)=h(x), τότε το πολυώνυµο θ(x) λέγεται Idempotent πολυώνυµο του κώδικα C. Σηµειώνεται (εγκυκλοπαιδικά) ότι υπάρχει µοναδικό τέτοιο πολυώνυµο, για κάθε κυκλικό κώδικα.

Θεώρηµα (): Για κατάλληλη επιλογή της πρωταρχικής n-ρίζας α της µονάδας, το πολυώνυµο θ(x):= x είναι το idempotent πολυώνυµο του R δυαδικού (q=) QR-κώδικα <g o (x)>, αν n mod8 και, αντίστοιχα, idempotent του δυαδικού QR-κώδικα <(x-)g o (x)>, αν n -mod8. Απόδειξη: Καταρχήν, ισχύει: { i : R } Ro, i R = R, i R o o. Πράγµατι, έχουµε ήδη δει ότι R, i, αν i R o και i R, αν i o R o R. Επίσης,,' Ro i = i' = ', άρα όλα τα στοιχεία του συνόλου { i } : είναι διακεκριµένα και συνεπώς πλήθος R o Είναι: [ ( x) ] = x = n. θ x. Αλλά, από την υπόθεση, έχουµε ότι R o R o R o. Συνεπώς, ισχύει [θ(x)] =θ(x). Εποµένως, ισχύει θ(α)= ή, για όλες τις πρωταρχικές n-ρίζες της µονάδας α. Aν i R o, τότε ( i ι i ) = ( α ) = α = α = θ( α) θ α R o R o R o. Αν i R, τότε θ(α i i i )+θ(α)= = + + + α + α α α... α n = R o R =+α+...+α n- α n -= = =, α αφού α α ρίζα του πολυωνύµου x n. x Επιλέγουµε, τώρα, αρχική n-ρίζα της µονάδας α, τέτοια ώστε θ(α)=. Υπάρχει τέτοιο α, αφού αν δεν υπήρχε, τότε ω αρχική n-ρίζα της µονάδας,

θα ήταν θ(ω)=. Όµως, n πρώτος, άρα όλες οι n-ρίζες της µονάδας εκτός του είναι πρωταρχικές. Τότε, το πολυώνυµο θ(x)- θα µηδενιζόταν από x n x όλες τις ρίζες του = + x +... + x n + x +... + x n /[ ( x) ] θ, άτοπο. Τότε, για θ(α)=, έχουµε θ(α i )=, i R o και θ(α i )=, i R. Τέλος, n θ () = = =, αν n mod8 και θ()=, αν n - mod8 (στο F ). R Συνεπώς, ( x ) θ ( x), αν n mod8 και (x-)+θ(x), αν n -mod8. Θέτω: g ( x) = go ( x) ( x ) go( x), αν n, αν n -mod8 mod8 Τότε, σε κάθε περίπτωση το πολυώνυµο g(x)[θ(x)-], µηδενίζεται από [ ] όλες τις n-ρίζες της µονάδας. ηλαδή, ( ) g( x) ( x) x n θ. Εποµένως, g(x)θ(x)-g(x) mod (x n -) g(x)θ(x) g(x)mod(x n -) g(x) * θ(x)=g(x). Όµως, κάθε κωδικό πολυώνυµο c(x) είναι πολλαπλάσιο του g(x)mod(x n -), δηλαδή υπάρχει h(x) F [x], c(x)=h(x) * g(x) θ(x) * c(x) = (θ(x) * g(x)) * h(x)=g(x) * h(x)=c(x). Εποµένως, το πολυώνυµο θ(x) είναι Idempotent πολυώνυµο του κώδικα <g(x)>, οπότε αποδείχτηκε ο ισχυρισµός µας. g Έστω, τώρα, α µία αρχική n-ρίζα της µονάδας και ( x) = Π ( x α ), ( x) Π ( x α ) R g =. Τότε, j F n *, είναι: α j αρχική R n-ρίζα της µονάδας, αφού (j, n)=, λόγω του ότι j<n και n πρώτος. Επίσης, είναι προφανές, ότι α i = α j i=j, i, j F n. Άρα, το σύνολο των πρωταρχικών n-ριζών της µονάδας είναι το {α j : j Fn*}. 3

j g x = Π j x α Αν ( ) R, το πολυώνυµο γεννήτορας του QR-κώδικα, που αντιστοιχεί στην πρωταρχική n-ρίζα της µονάδας α j, τότε: j j g ( x) = Π x α g ( x) =, αν j R R o και j g = g, αν j R. Όµως, όπως ήδη έχει αναφερθεί, οι κώδικες <g o > και <g > είναι ισοδύναµοι. Κατά συνέπεια, όλοι οι QR- κώδικες µε πολυώνυµα, γεννήτορες τα g j, j F*,είναι ισοδύναµοι. Εποµένως, η ελάχιστη απόσταση του QRκώδικα µε πολυώνυµο γεννήτορα g o είναι ανεξάρτητη της επιλογής της αρχικής n-ρίζας της µονάδας α. Μπορούµε, λοιπόν, στη µελέτη της ελάχιστης απόστασης να υποθέτουµε ότι η α ικανοποιεί τη συνθήκη του προηγούµενου θεωρήµατος, ότι δηλαδή, θ(α)=. Θεωρούµε, τώρα, το σύνολο {,,,,..., n-}, όπου το σύµβολο ακολουθεί όλους τους συνήθεις κανόνες των αριθµητικών πράξεων. Θεωρούµε, επίσης, το σύνολο PSL(,n), που αποτελείται από όλους τους µετασχηµατισµούς της µορφής: αx + b x a, x=,,,..., n-, όπου αd- cx + d bc=,a,b,c,d F n. Θα δείξουµε ότι το σύνολο PSL(,n) αποτελεί οµάδα ως προς την πράξη της σύνθεσης και παράγεται από τους µετασχηµατισµούς S : x a x + και T:x a x, x=,,..., n-. Καταρχήν, αν: αx + b α' x + b' x a, αd - bc = και x a, α' d'-bc = cx + d c' x + d' 4

δύο στοιχεία του PSL (,n), τότε ο µετασχηµατισµός ( αα' + bc' ) x + d' b + αb' ( α' c + dc' ) x + d' d + cb' x a είναι η σύνθεσή τους και είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι (αα'+bc')(d'd+cb')-(d'b+αb')(α'c+dc')=. Συνεπώς, το σύνολο PSL (,n) είναι κλειστό ως προς την πράξη της σύνθεσης. Αν, µάλιστα, πάρουµε α'=d, b'=-b, c'=-c και d'=α, τότε ο προηγούµενος µετασχηµατισµός γίνεται ο ταυτοτικός του συνόλου {,,,..., n-}, ο οποίος παίζει το ρόλο του µοναδιαίου στοιχείου. Εποµένως, κάθε στοιχείο του PSL(,n) έχει αντίστροφο, άρα το ζεύγος (PSL(,n),) αποτελεί οµάδα. Τώρα, για κάθε λ F n, ορίζουµε τον µετασχηµατισµό S λ :F n U { } F n U { }, S λ (x)=x+λ. Παράγεται από τον µετασχηµατισµό S ως εξής: S λ =S o S o...os=s λ. Άρα, S λ <S, T>. Επίσης, ο µετασχηµατισµός S λµ λx : x a + x λµ + µ παράγεται από τους S λ, S µ, Τ: S λµ =S λο Τ ο S µ. Άρα, S λµ <S, T>. Τέλος, λx + λµ θεωρούµε τον µετασχηµατισµό s λµ :x a παράγεται από τους S λ, x + µ S µ, Τ: S λµ =S λο Τ ο S µ. Άρα, S λµ <S, T>. Τέλος, θεωρούµε τον µετασχηµατισµό Τ λµν :x ( λν ) x + λµν ν µ x + µ a. Τότε, Τ ( x) = + ν = λx + λµ ( x) Τ < S, T. λµν λx + λµ S v otos > λµ Θέτω α=λν-, b=λµν-ν-µ, c=λ, d=λµ-. λµν Παρατηρούµε ότι τα α, c, d µπορούν να πάρουν αυθαίρετες τιµές, ενώ το b ορίζεται από τη σχέση αd-bc=. Αυτό αποδεικνύει, ακριβώς τον ισχυρισµό µας. Έστω C ο επεκτεταµένος του κυκλικού κώδικα <g o > ως προς το σώµα F. Υποθέτουµε ότι το g o αντιστοιχεί σε µια n-ρίζα της µονάδας α, για την οποία θ(α)=. Τότε, από το θεώρηµα (), το θ είναι το Ιdempotent 5

πολυώνυµο του κώδικα <g o (x)>, όταν n -mod8 ή, αντίστοιχα, του κώδικα ( < ) ( )>, όταν n mod8. Κατά συνέπεια, το πολυώνυµο θ(x) g x x παράγει τον κώδικα <g(x)>, όπου: g ( x) = go( x) ( x ) go( x), n -mod8, n mod8 αφού οι κωδικές λέξεις του <g(x)> είναι, ακριβώς, όλα τα πολλαπλάσια του θ(x). Εποµένως, ο πίνακας G, που έχει ως γραµµές του το θ(x) και όλα τα κυκλικά shift αυτού, παράγει τον κώδικα <g(x)>. Ισχυριζόµαστε ότι ο πίνακας:... Ι =, όπου c=(...), όταν n mod8 και c=(...), όταν n - T c G mod8, παράγει τον κώδικα C. Καταρχήν, η λέξη... µήκους n+ ανήκει στον κώδικα C. Πράγµατι, η λέξη... µήκους n αντιστοιχεί στο πολυώνυµο +x+...+x n-, που όπως είδαµε είναι πολλαπλάσιο του g o (x), άρα... (µήκους n) <g o (x)>. To paity check symbol αυτής είναι, αφού n περιττός και συνεπώς... (µήκους n+) C. Στην περίπτωση n mod8, έχουµε ( ) = n mod. w θ Άρα το paity check symbol του θ και κάθε κυκλικού shift αυτού είναι το. Επίσης, η λέξη... (µήκους n+) δεν ανήκει στον επεκτεταµένο του κώδικα <(x-)g o (x)>. Ο πίνακας M G παράγει τον τελευταίο, ο οποίος είναι γραµµικός υπόχωρος του C και έχει διάσταση n- deg [(x-)g o (x)]=n-deg g o -=dimc-. Κατά συνέπεια, ο πίνακας 6

M L G παράγει έναν υπόχωρο του C µε διάσταση ίση µε dimc, οπότε παράγει τον κώδικα C. Στην περίπτωση n -mod8, έχουµε: ( ) = n mod w θ, άρα το paity check symbol του θ και κάθε κυκλικού shift αυτού είναι. Εποµένως, ο πίνακας M G παράγει τον κώδικα C, και αφού... (µήκους n) C, και οι γραµµές του πίνακα M L G παράγουν τον κώδικα C. Σηµείωση: Όταν λέµε ότι ο κώδικας παράγεται από έναν πίνακα δεν εννοούµε ότι πρόκειται για γεννήτoρα πίνακα του εν λόγω κώδικα. εν εννοούµε ότι οι γραµµές του είναι γραµµικώς ανεξάρτητες, απλώς απαιτούµε να παράγουν τον κώδικα (ως διανύσµατα του n F q ). Αντίστοιχα ισχύουν και όταν λέµε ότι ένα πολυώνυµο παράγει κάποιον κυκλικό κώδικα. Υποθέτουµε, τώρα, ότι τα σύµβολα,,,..., n- χαρακτηρίζουν τις θέσεις των ψηφίων των κωδικών λέξεων του επεκτεταµένου κώδικα C του δυαδικού QR-κώδικα µε πολυώνυµο γεννήτορα το g. είξαµε πριν ότι ο πίνακας: L I = T C G παράγει τον κώδικα C, για κατάλληλη επιλογή της n-ρίζας της µονάδας α, που αντιστοιχεί στο πολυώνυµο g. H αρχική θέση των ψηφίων (δηλαδή η θέση ) συµβολίζει το paity check symbol των κωδικών λέξεων του κώδικα <g >. Τότε, ο 7

µετασχηµατισµός S:x x+, x=,,,...,n- απεικονίζει την τυχούσα γραµµή α α... α n- του πίνακα Ι στο διάνυσµα, α α n- α...α n-, αφού S, S,..., n - S. Συνεπώς, ο S απεικονίζει κάθε γραµµή του πίνακα Ι σε στοιχείο του εαυτού του. Αποδεικνύεται το ίδιο και για τον µετασχηµατισµό Τ: x x - (µάλιστα, η εικόνα κάθε γραµµής του πίνακα Ι µέσω του Τ γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός το πολύ τριών γραµµών του Ι). Όµως, δείξαµε προηγουµένως ότι η οµάδα PSL (, n) παράγεται από τους S και Τ. Άρα, κάθε στοιχείο αυτής απεικονίζει τον κώδικα C σε κάποιον υποκώδικα αυτού. Όµως, ο C και η εικόνα του είναι γραµµικώς ισόµορφοι, άρα αναγκαστικά ίσοι. Άρα, κάθε στοιχείο της PSL (,n) αφήνει τον C αναλλοίωτο. Θεώρηµα (3): Κάθε κωδική λέξη c ελάχιστου βάρους του δυαδικού κώδικα <g (x)> ικανοποιεί τη συνθήκη C(). Εποµένως, ικανοποιεί και τις σχέσεις (i) - (iii) του θεωρήµατος () (άρα, και η ελάχιστη απόσταση του κώδικα ικανοποιεί τις ίδιες σχέσεις). Απόδειξη: Έστω ότι c=c...c n-. Τότε, η λέξη c'= c c... c n- είναι στοιχείο του κώδικα C. ax + b Θεωρούµε ένα µετασχηµατισµό R : x, ad-bc=, x=,,,..., cx + d n- από την οµάδα PSL (,n). Τότε: ( ) R = a c, όταν a. c. Προφανώς, επιλέγοντας κατάλληλα τα a και c, το R( ) µπορεί να πάρει όλες τις τιµές του συνόλου * F n. Αν c()=, τότε W(c) άρτιο C =. Επιλέγουµε α και c τέτοια ώστε C. Τότε, από τα = R ( ) 8

προηγούµενα έχουµε: C R : C C...C C. Eπίσης, w(c R )= w(c')= R ( ) R () R (n ) + w (c )= w(c ) και c, το paity check της λέξης = R ( ) c... c R ( ) R (n ), που προφανώς ανήκει στον κώδικα <g >. R Όµως, W( C...C ) = W( C ) W( C ) = W( C) W( C), < R () R (n ) R ( ) άτοπο επειδή η C υποτέθηκε κωδική λέξη ελάχιστου βάρους. Κατά συνέπεια, ισχύει c(). 9

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω, ότι q= και n=7. Τότε, n πρώτος και n - mod8. 7 Το πλήθος των τετραγωνικών υπολοίπων στο F 7 είναι = 3. Έχουµε, a pioi, ότι τα στοιχεία και είναι τετράγωνα στο σώµα F 7. Επιπλέον, 5 = 5 = 3. 7+4 4mod7. Άρα και το 4 είναι τετραγωνικό υπόλοιπο. Εποµένως, τα τετραγωνικά υπόλοιπα στο σώµα F 7 είναι, ακριβώς, τα στοιχεία,, 4. Τότε, σύµφωνα µε το θεώρηµα (), για κατάλληλη επιλογή της αρχικής n-ρίζας της µονάδας α, το πολυώνυµο x+x +x 4 είναι το Idempotent πολυώνυµο του κώδικα µε γεννήτορα πολυώνυµο το g (x). Άρα, g (x) x+x +x 4. Αναλύουµε το x 7 - σε γινόµενο αναγωγών πολυωνύµων στο F [x] : x 7 -= (x-). (x 3 +x+). (x 3 +x+). Από αυτά τα 3, το µόνο που διαιρεί το x+x +x 4 είναι το πολυώνυµο x 3 +x+. Άρα, αναγκαστικά g (x)= x 3 +x+ και g (x)= x 3 +x +, (µε δεδοµένη την επιλογή της ρίζας α). Ο κώδικας <g > είναι ο [7,4] - κώδικας. H amming, που ως γνωστόν είναι τέλειος κώδικας. Ακόµη, d -d+ 7 d 3. Όµως, d<7 d=3 ή 4 ή 5 ή 6. Τέλος, από τη σχέση d 3mod4 προκύπτει, ότι η ελάχιστη απόσταση του κώδικα είναι 3. Όµως, όπως είναι γνωστό, όλοι οι δυαδικοί κώδικες Hamming είναι ισοδύναµοι. Άρα, όλοι οι δυαδικοί κώδικες Hamming είναι ισοδύναµοι προς τον QRκώδικα <x 3 +x+>. Πληροφοριακά, και µόνο, αναφέρουµε ότι ο δυαδικός κώδικας του Golay, έχει µήκος 3 -mod8. Ο κώδικας, αυτός, είναι άλλος ένας τέλειος κώδικας τετραγωνικού υπολοίπου.