KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06 Vilnius, 2010

Pratarm e ia knyga nore iau uºbaigti vadoveliu serij, i kuri viena vertus pabandºiau sudeti visk, k pasiseke i²mokti ir kuo veliau teko dometis. Kita vertus ²iose knygose sudedu minimalu kieki ºiniu, kurias turetu isigyti universitete b usimas zikas teoretikas. Manau, kad serijoje turi b uti ²ios knygos: Paskaita 1 I Kompleksiniai skai iai ir funkcijos Ciklonas 2003 II C, C ++, OOP, Mokomes programuoti Ciklonas 2005 III Klasikine Mechanika i knyga IV Elektrodinamika Ciklonas 2001 V Kvantine Mechanika PU paskaitos VI Statistine Mechanika VU paskaitos VII Kietojo K uno Fizika Ciklonas 2002 VIII Hidrodinamika VU paskaitos Taigi ²i knyga skiriama Klasikinei mechanikai. Ir tai yra pirmasis teorines zikos kursas. Jo tikslas yra supaºindinti studentus su materialaus ta²ko dinamika, i²mokyti juos taikyti zikoje paprast sias diferencialines lygtis ir jas spr sti, o taip pat supaºindinti su moderniais klasikines mechanikos principais ir ivairiomis jos formuluotemis, kurios veliau b utu naudingos ir kitose zikos srityse. Ra²ydamas ²i kurs vadovavausi dviejomis knygomis: Goldsteinu ir Landau. O uºdavinius nura²inejau ir i² kitu knygu, bei bandºiau prisiminti, k sprendºiau studijuodamas Maskvos universiteto zikos fakultete, ir uºdavinius, su kuriais susid uriau dalyvaudamas zikos bei matematikos olimpiadose, bei jas ruo²damas. iii

Turinys 1 IVADAS 1 2 PRINCIPAI 9 2.1 Koordina iu transformacija.................. 9 2.2 Dalambero principas...................... 11 2.3 Lagranºo lygtys......................... 13 2.4 Lagranºianas.......................... 15 2.5 Pavyzdys............................ 17 2.6 Priklausantis nuo grei io potencialas............. 19 2.7 Disipacine funkcija....................... 21 3 VARIACINIAI PRINCIPAI 23 3.1 Hamiltono principas...................... 23 3.2 Funkcionalo minimumas.................... 26 3.3 Variacinis skai iavimas..................... 29 3.4 Daugelio laisves laipsniu uºdavinys.............. 30 3.5 Tvermes desniai......................... 31 4 HARMONINIS OSCILIATORIUS 33 4.1 Nuosavi svyravimai....................... 33 4.2 Harmoninis osciliatorius su trintimi.............. 38 4.2.1 Maºa trintis (γ 1).................. 40 4.2.2 Didele trintis (γ 1)................. 42 4.3 Priverstiniai svyravimai.................... 46 4.4 Osciliatoriaus atsakas i sm ugi................. 50 4.5 Atsakas i bet koki jeg.................... 55 4.6 Pralenkian ioji Gryno funkcija................ 57 v

vi TURINYS 5 KEPLERIO UšDAVINYS 59 5.1 Judejimo lygtys......................... 59 5.2 Simetriju panaudojimas.................... 61 5.3 Keplerio desniai......................... 65 5.4 Judejimo lygties sprendimas.................. 66 5.5 Orbitos elementai........................ 69 5.6 Judejimo lyg iu integravimas pagal laik........... 72 5.7 Dimensiniai kintamieji..................... 75 5.8 Innitinis judejimas...................... 78 5.9 Sklaida.............................. 81 5.10 Sklaida be galo kieta sfera................... 84 5.11 Sklaida kuloniniu centru.................... 85 6 STANDAUS K UNO JUD EJIMAS 89 6.1 Mases centras.......................... 89 6.2 Judesio kiekio momentas.................... 90 6.3 Inercijos tenzorius....................... 92 6.4 Oilerio lygtys.......................... 95 6.5 Sukimosi stabilumas...................... 96 6.6 Koordina iu transformacija plok²tumoje........... 98 6.7 Oilerio kampai......................... 100 6.8 Kinetine besisukan io k uno energija............. 102 6.9 Rutulio sukimasis........................ 104 6.10 Simetrinio k uno sukimasis................... 105 6.11 Vilkelis.............................. 111 6.11.1 Kokybine analize.................... 114 6.11.2 Smarkiai uºsuktas vilkelis............... 116 7 MAšI SVYRAVIMAI 119 7.1 Uºdavinio formulavimas.................... 119 7.2 Du suri²ti osciliatoriai..................... 123 7.3 Grandinele........................... 125 8 HAMILTONO LYGTYS 133 8.1 Leºandro transformacija.................... 133 8.2 Modikuotas Hamiltono principas.............. 136 8.3 Harmoninio osciliatoriaus hamiltonianas........... 137 8.4 Elektrono hamiltonianas elektromagnetiniame lauke.... 138 8.5 Ciklines koordinates...................... 138

TURINYS vii 8.6 Puasono skliausteliai...................... 139 8.7 Kanonines transformacijos................... 140 8.8 Kintamieji veikimas kampas................. 142 8.9 Simplektine judejimo lyg iu forma.............. 143 8.10 Liuvilio teorema ir lygtis.................... 147 9 NETIESINIAI SVYRAVIMAI 151 9.1 Netiesinis osciliatorius..................... 151 9.2 Trikdºiu teorija......................... 153 9.2.1 Nulinis artinys..................... 154 9.2.2 Pirmasis artinys.................... 154 9.2.3 Sekuliariniai nariai................... 156 9.3 Daºniu atskyrimas....................... 158 9.3.1 Tikslus sprendinys................... 159 9.3.2 Formali lyg iu analize................. 162 9.4 Netiesinis rezonansas...................... 164 9.5 Adiabatinis invariantas..................... 167 9.6 Parametrinis rezonansas.................... 169 Pabaiga 173

1 IVADAS Klasikine mechanika yra vadinamas mokslas, kuri XVII a. pabaigoje sugalvojo ºymus anglu zikas ir matematikas Niutonas (Isaac Newton, 1642 1726 ). Jis laikomas klasikines zikos pradiniku. Nuo mokyklos laiku prisimenu tris Niutono desnius, i² kuriu svarbiausias yra antrasis, kitaip dar vadinamas judejimo lygtimis. Tas desnis sako, kad jeigu k un veikia jega F, tai jis juda su pagrei iu a, ir tas pagreitis yra toks: F = ma, (1.1) t. y. pagreitis yra proporcingas veikian iai jegai ir atvirk² iai proporcingas to k uno masei m. Fakti²kai tai ir yra visa klasikine mechanika. Ta iau tokios mechanikos mums yra per maºai. M usu tikslas i²mokti ²iuo desniu naudotis. Mes bandysime t judejimo lygti spr sti ir apra²yti papras iausiu zikiniu sistemu judejim. Visu pirma, matyt, reikia susitarti, kokias sistemas nagrinesime. Tradici²kai klasikine mechanika nagrineja materialaus ta²ko judejim. Nuo to ir pradesime. Materialu ta²k isivaizduosime kaip realu objekt, kurio charakteringi matmenys yra i² visu uºdavinyje, apie kuri dabar kalbame, sutinkamu matmenu patys maºiausi. Pavyzdºiui, jeigu mus domina šemes judejimas aplink Saul, tai akivaizdu, kad ²iame uºdavinyje yra du charakteringi matmenys: šemes skersmuo ir jos vidutinis nuotolis nuo Saules. I² ²iu dvieju dydºiu šemes skersmuo yra pats maºiausias. Todel paprastumo delei apsimoka i šemes skermeni nekreipti demesio, arba isivaizduoti, kad visa šemes mase yra sukoncentruota viename ta²ke, kuris ir juda aplink Saul. Beje, pa i Saul taip pat verta pakeisti kitu materialiniu ta²ku, kuriame sukoncentruota, b utent, Saules mase. Nereikia pamir²ti, kad visa tai i² esmes priklauso nuo uºdavinio, kuri ruo²iames spr sti. Juk jeigu ruo²tumes i kelion aplink pasauli, tai jokiu b udu negaletume ºemes laikyti materialiniu ta²ku. 1

2 1. IVADAS Taigi bandome susiaurinti veikl, teigdami, kad klasikine mechanika yra materialaus ta²ko dinamika. Dinamika yra graiki²kos kilmes ºodis, rei²kiantis nuo jegos priklausanti dalyk. Todel galima dar pasakyti, kad klasikine mechanika nagrineja materialaus ta²ko judejim, kuri apsprendºia t ta²k veikian ios jegos. Matote, kaip nesunku isivelti i apibreºimu nagrinejim. Mes ivedeme tik vien materialaus ta²ko s vok, o kiek jau daug ºodºiu (paprastu ir nelabai suprantamu) teko pasakyti. O juk dar reikia pasakyti, kas tai yra jega ir kas tai yra mase. Ir gali i²kilti neikandamu klausimu. Pavyzdºiui, galima paklausti, kodel reikia dvieju dydºiu (jegos ir mases), kai i² (1.1) formules matosi, kad turetu pakakti tik vieno (F/m santykio) k uno pagrei iui suskai iuoti. Tokius klausimus vadinu losoja, ir mes jiems neskirsime demesio. Tiesiog manysime, kad savokos jega, mase ir pan. mums yra ºinomos ir iprastos. Ir tik kai i²kils kokiu nors nesusipratimu, bandysime tas s vokas ²iek tiek patikslinti ir pritaikyti konkretiems poreikiams. Klasikine mechanika yra vienas i² teorines zikos kursu. O pagrindinis teorines zikos instrumentas yra matematika. Todel svarbiausias m usu tikslas yra ivilkti materialaus ta²ko judejimo desnius i graºu matematini r ub. Taigi ir pradekime. Materialaus ta²ko judejim isivaizduosime, kaip judejim tam tikros erdves atºvilgiu. Jo padeti ²ioje erdveje charakterizuosime materialaus ta²ko koordinatemis vektoriumi r = {x, y, z}. (1.2) Manau, kad j usu nenustebinau, uºra²ydamas triju komponen iu vektoriu. Mes juk gyvename triju matavimu erdveje. Todel logi²ka ir bet kokio k uno judejim, nagrineti, b utent, toje triju matavimu erdveje. Ta iau tai nera b utina. Pavyzdºiui, traukinys gali judeti tik viena, i²ilgai begiu, kryptimi. Todel yra uºdaviniu, kuriuose koordina iu yra maºiau (o kartais ir daugiau). Pana²ius i traukini objektus (pavyzdºiui, ant virbalo uºvert karoliuk ) vadinsime vienma iais. Studijuodami klasikin mechanik tokiems labai paprastiems objektams (paprastiems modeliams) skirsime didºiausi demesi. Taigi sistemos apra²ym pradesime jos koordinates x ivedimu, kuri nurodo nagrinejamo objekto (materialaus ta²ko) nuotoli nuo ksuotos koordina iu sistemos atskaitos ta²ko x = 0. Daºniausiai mus domins ²ios koordinates priklausomybe nuo laiko, t. y. funkcija x = x(t), fakti²kai suteikianti i²sami informacij apie tos daleles (taip toliau vienu ºodºiu vadinsime nagrinejam materialuji ta²k ) judejim.

3 Pirm j daleles koordinates i²vestin pagal laik vadinsime daleles grei iu, o antr j v = dx dt x ẋ (1.3) a = d2 x dt 2 x ẍ (1.4) pagrei iu. Kaip matote, naudosime ivairius tu i²vestiniu ºymejimus. Panaudoj ²iuos ºymejimus, judejimo lygti (1.1) perra²ysime taip: mẍ = F (x, t). (1.5) Beje, nurodeme, kad dalel veikianti jega gali priklausyti ir nuo daleles koordinates, ir nuo laiko. Matome, kad pagal antr ji Niutono desni daleles judejimas apra²omas paprast ja antrosios eiles diferencialine lygtimi. Vadinasi, galime ²iek tiek sukonkretinti m usu tikslus. Toliau spr sime klasikines mechanikos uºdavinius, kurie susides i² dvieju daliu. Mes turesime sukonstruoti konkre i diferencialin lygti, apra²an i nagrinejamos sistemos judejim. Tai bus zikine uºdavinio dalis. Ir t diferencialin lygti turesime i²spr sti, surasdami daleles koordinat, kaip laiko funkcij. Tai bus antroji matematine uºdavinio dalis. Paºi urekime, kaip tai daroma. Tegul mus domina, kaip krenta ºemyn i² bok²to i²mestas k unas 1. Paºvelkime i 1.1 paveiksl, kur tai pabandºiau pavaizduoti. Paveikslo kaireje matome ilipusi i bok²t ºmogu, besiruo²ianti ºemyn mesti rutuli. Tai zikinis uºdavinio formulavimas. O paveikslo de²ineje parodytos m usu pastangos ²i uºdavini matematizuoti. Taigi manome, kad rutulys yra pakankamai sunkus ir jo vejas nenup us i ²on. Vadinasi, galime apsiriboti tik vienma iu rutulio judejimu tiesiai ºemyn. Todel paveikslo de²ineje nubreºeme tik vien nukreipt ºemyn x a²i. Atskaitos ta²k (x = 0) pasirinkome sutampan iu su bok²to vir²umi, kur ir prasideda mesto rutulio judejimas. Mases m rutuli, kuri dabar vaizduojame ta²ke x esan iu materialiniu ta²ku, veikia vienintele tiesiai ºemyn nukreipta jega F = mg, (1.6) 1 Egzistuoja legenda, kad tokius eksperimentus atliko Galilejus, metydamas ivairius daiktus nuo pasvirusio katedros bok²to Pizoje. Aizekas Azimovas savo knygoje (Isaac Asimov, Understanding Physics) ra²o, kad to niekada nebuvo ir Galilejus rideno k unus nuoºulniomis plok²tumomis.

4 1. IVADAS 1.1 pav. Laisvas k uno kritimas. kur g 9.81 ms 2 (1.7) yra laisvojo kritimo pagreitis. Dabar perra²ome judejimo lygti (1.5), pritaikydami j ²iam konkre iam krentan iam nuo bok²to rutuliui, arba tiesiog mẍ = mg, (1.8) ẍ = g. (1.9) Kaip jau minejome tai yra antrosios eiles diferencialine lygtis ir todel j reikia papildyti dviem pradinem s lygom. Jas nesunku sugalvoti. Manykim, kad m usu eksperimentas prasideda nuliniu laiko momentu ( t = 0), kai rutulys yra bok²to vir²uje (x = 0) ir jo greitis taip pat yra lygus nuliui. Taigi pradines s lygos yra tokios: x(0) = 0, (1.10a) ẋ(0) = 0. (1.10b) Tuo ir baigiasi pirmoji zikine uºdavinio dalis. Dabar imsimes matematikos. Mes turime i²spr sti diferencialin lygti (1.9) su pradinemis s lygomis (1.10).

5 y h h-y x m s R y R R x 0 F = mg x 1.2 pav. Judejimas nuoºulnia plok²tuma. ikart matematika triviali. Integruojame (1.9) lygti du kartus ir uºra- ²ome, kad x = c 0 + c 1 t + g 2 t2. (1.11) Dabar patenkindami pradines s lygas (1.10) surandame integravimo konstantas ir uºra²ome toki galutini m usu pirmojo klasikines mechanikos uºdavinio sprendini: x = g 2 t2. (1.12) Tai mums gerai ºinoma tolydºiai greitejan io judejimo kelio formule. Kad nesusidarytume klaidingo isp udºio, jog mechanika yra visai lengvas dalykas, i²spr sime dar vien ²iek tiek sudetingesni uºdavini, kuris parodytas 1.2 paveiksle. Tai raudonu sta iakampiu parodyto k uno judejimas nuoºulnia plok²tuma (pasvirusia kampu φ i horizontali x a²i melyna tiese). Manysime, kad nuoºulni plok²tuma yra be galo slidi ir nekreipsime demesio i trinti, kuri turetu atsirasti tarp k uno ir tos plok²tumos. K un, be abejo, isivaizduosime kaip materialuji ta²k, kuris randasi tiesiog minetoje plok²tumoje. Kaip matote, man teko pademonstruoti neilinius meninius sugebejimus ir pripie²ti pus puslapio, pasinaudojant jau nebe vienama iu, bet dvima iu vaizdu. Todel ir nubraiºiau dvi (x bei y) dekartines koordi-

6 1. IVADAS na iu sistemos a²is. Vadinasi, ir judejimo lygtys bus taip pat dvi: mẍ = R x, (1.13a) mÿ = R y mg. (1.13b) Turb ut akivaizdi paskutinio de²ines lygties (1.13b) puses nario kilme. Mat k un veikia ºemes traukos jega (kaip ir ankstesniame rutulio nuo bok²to metimo uºdavinyje). i jega nukreipta i²ilgai y a²ies prie²inga jai kryptimi. Ta iau tai dar ne viskas. Mat k unas juda nuoºulnia plok²tuma. Vadinasi, yra dar viena jega R (nuoºulnios plok²tumos reakcijos jega), kuri neleidºia k unui judeti statmena nuoºulniai plok²tumai kryptimi. Jos dvi komponentes, R x bei R y, ir pridetos prie atitinkamu diferencialiniu lyg iu de²iniuju pusiu. Gautos lygtys labai pana²ios i anks iau i²spr st (1.9) lygti. Todel atrodo, kad jas i²spr sti taip pat nesunku. Ta iau yra keletas nemaloniu dalyku. Reakcijos jegos R x bei R y yra neºinomos. Tiesa, pasinaudojus trigonometrinemis formulemis, jas galima uºra²yti taip: R x = R sin φ, (1.14a) R y = R cos φ. (1.14b) Ta iau ir dabar lieka vienas neºinomas R dydis. Vadinasi, lyg iu sistema (1.13) yra nepilna. Todel prie² pradedant j spr sti reikia sugalvoti dar koki nors vien lygti. Prisiminsime, k unas, arba ji vaizduojantis materialus ta²kas turi judeti nuoºulnia plok²tuma. Vadinasi, bet kokiu laiko momentu turi b uti patenkinta tokia s lyga: xtgφ + y = h, (1.15) k manau nesunku nustatyti atkreipus demesi i 1.2 paveiksle matom gelton statuji trikampi. Taigi i² tikruju reikia spr sti lyg iu sistem, sudaryt i² triju tokiu lyg iu: ir pradiniu s lygu mẍ = R sin φ, (1.16a) mÿ = R cos φ mg, (1.16b) xtgφ + y = h (1.16c) x(0) = 0, (1.17a) y(0) = h, (1.17b) ẋ(0) = ẏ(0) = 0, (1.17c)

7 atitinkan iu k uno padeti eksperimento pradºioje (t = 0) auk² iausiame nuoºulnios plok²tumos ta²ke. Dvieju pirmuju diferencialiniu lyg iu (1.16a,b) funkcijos nera nepriklausomos, bet suri²tos tarpusavyje tre i ja algebrine s lyga (1.16c). Tikiuosi, kad jums tokia kombinuota diferencialiniu ir algebriniu lyg iu sistema nera baisi, ir j us ²iek tiek paprakaitav surasite jos teising sprendini s = gt2 2 sin φ, (1.18) nusakanti, kaip kinta k uno nuotolis s nuo vir²utinio nuoºulnios plok²tumos ta²ko r 0 = {0, h} i²ilgai tos plok²tumos laikui begant. Ta iau nesunku isivaizduoti, kokiu supainiotu taptu uºdavinys, jeigu nuoºulni plok²tuma b utu i²raityta ir dar ²iek tiek judetu laikui begant. Tada mes ne tik nebemoketume tokios lyg iu sistemos i²spr sti, bet vargu ar pasisektu mums j net uºra²yti. Taigi papildomos s lygos, ribojan ios k unu judejim, klasikineje mechanikoje yra labai nemalonus dalykas. Todel m usu pirmas uºadvinys bus perra²yti judejimo lygtis taip, kad jose neb utu tu nemaloniu s lygu. Tuo tikslu aptarsime Lagranºo lygtis. Vadinsime tai elementariaisias klasikines mechanikos principais. Po to pasimokysime tas Lagranºo lygtis sudarineti ir spr sti. Taip susipaºinsime su pa iais papras iausiais klasikines mechanikos modeliais: harmoniniu osciliatoriumi, Keplerio uºdaviniu, sklaida, standaus k uno judejimu bei kietojo k uno virpesiais. Antroje knygos dalyje imsimes sudetingesniu klasikines mechanikos principu: Hamiltono lyg iu, kanoniniu transformaciju, ir net pabandysime tai pritaikyti sistemoms su begalo dideliu laisves laipsniu skai iumi, k zikai megsta vadinti lauko teorija. Tokie dalykai be abejo nereikalingi, jeigu jums r upi tik suºinoti, kada paslysta prie sienos atremta ²luota. Bet tie sudetingi dalykai yra pla iai naudojami kitose moderniose teorines zikos srityse. Todel juos ir verta aptarti, pasinaudojus vaizdºiais klasikines mechanikos modeliais, prie kuriu tikiuosi mes greitai priprasime. ias paskaitas skaitau antr kart. Todel manau, kad pernai jau ²iek tiek pramokau tos klasikines ir ²imet pasiseks i²vengti klaidu, kurios pernai neretai mane persekiojo. Paskaitas paruo²iau naudodamasis Landau bei Goldsteino knygomis 2. 2 L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics, Butterworth-Heinenann, Oxford, 1976; H. Goldstein, Ch. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, Addison Wesley, New York, 2000.

8 1. IVADAS Turiu angli²kus bei rusi²kus tu knygu djvu-failus. Taip pat turiu pdffail savo pernyk² iu paskaitu. Jas be abejo taisysiu ir prie² kiekvien paskait ir po jos. Taigi semestro pabaigoje jos bus kitokios, negu dabar semestro pradºioje. J us galite tuos tris failus nusikopijuoti. O vienos grupes studentams, kuriems a² vesiu dar ir pratybas, si ulau nusikopijuoti dar vien uºdaviniu fail. Kaip jau minejau, studijuojant klasikin mechanik reikia ºinoti auk²t j matematik. Tikiuosi, kad j us t mokate. O jeigu nemokate, tai reikia j pasikartoti. Esu para² s knyg apie kompleksinius skai ius 3. J galima rasti fakulteto bibliotekoje. Paºi urekite i jos turini, kad isivaizduotumete, k i² tos auk²tosios matematikos reikia prisiminti. 3 Algirdas Matulis, Kompleksiniai skai iai ir funkcijos: analiziniu skai iavimu menas, www.skaityk.lt, Vilnius, 2003.

2 PRINCIPAI 2.1 Koordina iu transformacija Mes jau susitareme nagrineti materialaus ta²ko judejim. Ta iau kai kada manysime, kad sistemoje yra ir daugiau tu materialiniu ta²ku. Todel kalbedami apie principus manysime, kad nagrinejama sistema susideda i² keletos materialiniu ta²ku, kuriu koordinates indeksuosime, t. y. naudosime tokius tu koordina iu ºymejimus: r i : i = 1, 2,, N; (2.1) viso 3N koordina iu, arba 3N m usu sistemos laisves laipsniu. Ivade taip pat buvo suformuluotas pirmasis m usu tikslas: pabandyti perra²yti judejimo lygtis taip, kad neb utu judejim ribojan iu s lygu. Pats papras iausias b udas tai padaryti yra nauju kintamuju, suderintu su tomis s lygomis, ivedimas. Pavyzdºiui, ivade aptartame nuoºulnios plok²tumos uºdavinyje tai b utu vienintele koordinate s i²ilgai tos nuoºulnios plok²tumos (i²ilgai melynos tieses 1.2 paveiksle). Manau, kad akivaizdu, kad tada jokia papildoma s lyga mums neb utu reikalinga, nes tiesiog m usu k unas nebeturetu galimybes judeti kaip nors kitaip. Taigi pirmasis m usu ºingsnis bus visu koordina iu pakeitimas: r i = r i (q 1, q 2,, q M, t). (2.2) Naujos koordinates q 1, q 2,, q M neb utinai turi b uti ortogonalios. Vienintelis reikalavimas yra tas, kad tos naujos koordinates apra²ytu visus galimus m usu sistemos judejimus, suderintus su visomis judejim ribojan iomis s lygomis. Matote, pasirinkta koordina iu transformacija gali priklausyti ir nuo laiko. Tai nedidelis apibendrinimas, kuriuos visada stengsimes daryti, jeigu tai i² esmes neapsunkina analizes. Paºvelkime i 2.1 paveiksl, kuris iliustruoj teising nauju koordina iu pasirinkim. 9

10 2. PRINCIPAI y 0 x 1 l 1 ( x 1,y1) m 1 2 l 2 ( x 2,y2) m 2 2.1 pav. Dviguba ²vytuokle. Paveiksle parodyta dviguba ²vytuokle, arba dvieju materialiniu ta²ku sistema. Isivaizduosime, kad judejimas vyksta vertikalioje xy plok²tumoje. Atrodytu, kad toki dvimat dvieju m 1 bei m 2 masiu sistem reikia apra²yti keturiomis x 1, y 1, x 2 bei y 2 koordinatemis. Ta iau deka l 1 strypo pirmoji mase turi b uti nutolusi nuo pakabinimo ta²ko x = y = 0 ksuotu atsumu, o antras strypas l 2 ksuoja atstum tarp tu pa iu dvieju masiu. Todel sprendºiant uºdavini dekartineje keturmateje erdveje atsiranda dvi s lygos, ribojan ios tu dvieju masiu judejim. Noredami tu s lygu i²vengti ivedame dvi naujas φ 1 bei φ 2 koordinates. Akivaizdu, kad jos apra²o visus galimus m usu nagrinejamos sistemos judejimus. Mat mases negali b uti nukabintos nuo strypu. Vadinasi, strypu padetis nusako sistemos b usen, o strypai gali tik pasisukti nurodytais kampais. Taigi racionalu sistemos b usen apra²yti dviem φ 1 bei φ 2 kampais, ir b utent tiems kampams uºra²yti diferencialines lygtis. I²sprend tas lygtis ir surad kampu priklausomybes nuo laiko, dekarines

2.2. Dalambero principas 11 abieju masiu koordinates surasime pagal formules: x 1 = l 1 sin φ 1, (2.3a) y 1 = l 1 cos φ 1, (2.3b) x 2 = l 1 sin φ 1 l 2 sin φ 2, (2.3c) y 2 = l 1 cos φ 1 l 2 cos φ 2. (2.3d) tai ²ios keturios funkcijos ir iliustruoja bendr j koordina iu transformacij (2.2). Taigi mums reikia sugalvoti princip, kuris igalintu uºra²yti i² karto judejimo lyg iu analog φ 1 bei φ 2 koordinatems, arba q 1, q 2,, q M tipo koordinatems. 2.2 Dalambero principas Pedagoginiais sumetimais pradesime nuo statikos. Statika nagrineja rimties b uvyje esan ias sistemas. Pagal antr ji Niutono desni sistema gali rastis rimties b uvyje, t. y. jokia sistemos dalis nejudes, jeigu sumines kiekvien i² materialiniu ta²ku veikian ios jegos bus lygios nuliui: F i = 0. (2.4) i teisinga statikos s lyga i² tikruju yra per stipri. Mums pakaks gerokai silpnesnes s lygos. J sukonstruosime taip. Denuosime sistemos poslinki δr i, suderint su visomis judejim ribojan iomis s lygomis. Ji vadinsime virtualiuoju sistemos poslinkiu. Tai pabreºiame naudodami specialu simboli 'δ' vietoj iprasto diferencialo 'd'. Dabar padaugin (2.4) s lygas i² virtualiniu poslinkiu ir jas sudej, gauname toki silpnesn sistemos rimties b uvio s lyg : F i δr i = 0. (2.5) i ioje naujoje s lygoje deja dar nera jokios naujos zikines esmes. Todel pabandysime j ²iek tiek modikuoti. Prisiminsime, kad m usu sitema yra i² tikruju veikiama dvieju r u²iu jegu: F i = F (a) i + R i. (2.6) ƒia simboliu R i paºymejome jau mums ºinomas reakcijos jegas. O kit jegos dali F (a) i vadinsime aktyvi ja jega, nes b utent ²i jegos dalis gali i²²aukti realu sistemos poslinki. lotyni²kas ºodis virtualis rei²kia galimas, tariamas

12 2. PRINCIPAI Reikia prisipaºinti, kad ²is padalinimas yra gana subjektyvus (kaip beje ir daug kitu zikos dalyku). Mat, jeigu tektu skai iuoti reakcijos jegu dydºius, tai tektu ir jas vadinti aktyviomis jegomis ir ivesti tu jegu i²²auktus virtualiuosius poslinkius. Dabar istat paskutin i²rai²k i (2.5) s lyg, j perra²ome taip: i F (a) i δr i + i R i δr i = 0. (2.7) Prisimin, kad jegos ir poslinkio sandauga yra lygi tam tikram darbui, gaut i²rai²k traktuosime, kaip lygaus nuliui darbo s lyg. Tolesniuose savo samportavimuose apsiribosime tokiomis sistemomis, kuriose reakcijos jegos neatlieka jokio darbo: R i δr i = 0. (2.8) i Tai gana realisti²kas apribojimas, jeigu manysime, kad sistema negali patirti jokio poslinkio reakcijos jegos kryptimi. Prisiminkime kad ir be galo kiet nuoºulni plok²tum, aptart ivade. Taigi i² (2.7) bei (2.8) lyg iu seka, kad F (a) i δr i = 0, (2.9) i arba virtualaus darbo principas, pagal kuri rimties b uvyje aktyviu jegu atliekamas virtualus darbas yra lygus nuliui. Taip mums pasiseke suformuluoti ²ioki toki nauj princip. Mat prie- ²ingai negu judejimo lygtyse jame g uruoja tik aktyvios jegos ir jame nera reakcijos jegu. O mes juk ir stengiames tas reakcijos jegas eliminuoti i² visu m usu samprotavimu. Ta iau ²ie kukl us pasiekimai statikoje dar tik puse darbo. Mums juk reikia principo, kuris tiktu sistemos dinamikai apra²yti. Todel prisiminsime judejimo lygtis ir jas perra²ysime taip: ƒia ivedeme nauj dydi F i = ṗ i. (2.10) p = mṙ (2.11) impuls (arba judesio kieki), materialaus ta²ko mases ir grei io sandaug, kuri toliau labai daºnai naudosime.

2.3. Lagranºo lygtys 13 Judejimo lyg iai (2.10) galima sugalvoti ²iek tiek kitoki interpretacij. Galima sakyti, kad pagal j bet koki k un (ar materialuji ta²k ) veikianti jega i²²aukia to k uno impulso prieaugli. O galima t judejimo lygti perra²yti dar kart taip: F i ṗ i = 0 (2.12) ir sugalvoti jai dar vien kitoki interpretacij. Galima paskyti, kad gauta lygtis yra ne kas kitas, kaip ta pati statikos s lyga (2.4), tik joje be visu iprastu jegu F i prideta dar viena efektine jega p i, atsirandanti del k uno judejimo. Dabar, kaip ir anks iau, padauginsime (2.12) lygti i² virtualiu poslinkiu, suskai iuosime sum ir prisimin tai, kad virtualus reakcijos jegu darbas yra lygus nuliui, uºra²ysime, kad ( ) F (a) i ṗ δr = 0. (2.13) i i lygtis vadinama Dalambero principu, pagerbiant ºymu pranc uzu zik, losof ir matematik (Jean d'alembert, 1717 1783 ), kuris suformulavo bendruosius diferencialiniu lyg iu, apra²an iu mechaniniu sistemu judejim, sudarymo principus. Dalambero principas turi savyje tris mums labai svarbius dalykus. Jame nera reakcijos jegu, jame yra tik su judejim ribojan iomis s lygomis suderinti sistemos poslinkiai ir pagaliau jame yra impulso prieauglis. Visa tai mums suteikia vilti, kad pasiseks i²vesti patogias judejimo lygtis. Dabar tuo i²vedimu ir uºsiimsime. 2.3 Lagranºo lygtys Visu pirma prisiminsime, kad judejimo lygtis ºadejome i²vesti ne dekartinems koordinatems r, o apibendrintoms kordinatems q i, kurios jau i² anksto yra suderintos su visais judejimo apribojimais. Ir todel pagal (2.2) transformacijas virtualius sistemos poslinkius galime uºra²yti taip: δr i = j r i q j δq j, (2.14) kur δq j yra virtual us apibendrintu koordina iu poslinkiai. Jiems jau nebera jokiu papildomu s lygu. Taip pat manysime, kad jie pasirinkti taip, kad yra tarpusavyje nepriklausomi.

14 2. PRINCIPAI Be tik k i²vestos virtualaus poslinkio i²rai²kos (2.14) mums dar reikia grei io i²rai²kos. Paºvelg i koordian iu transformacij (2.2), matome, kad ji turetu b uti tokia: v i = ṙ i = d dt r i(q 1, q 2,, q M, t) = j r i q j q j + r i t. (2.15) Dabar istat (2.14) i²rai²k i Dalambero princip (2.13) gauname toki formul : ( ) F (a) i ṗ i r i δq j = 0. (2.16) q j Pirm ji ²ios i²rai²kos nari perra²ysime taip: i,j i,j F (a) i r i q j δq j = j Q j δq j, (2.17) kur nauj dydi Q j = i F i r i q j (2.18) vadinsime apibendrinta jega. Atkreipsime demesi, kad apibendrinta koordinate q j nebutinai turi b uti ilgio dimensijos. Pavyzdºiui, 2.1 skyriuje aptartame dvidubos ²vytuokles pavyzdyje naujos koordinates ²vytuokliu atsilenkimo kampai buvo bedimenses. Todel ir apibendrintu jegu Q j dimensija gali b uti laisvai pasirinkta. Ta iau ju sandauga Q j q j visada yra darbo (arba energijos) dimensijos. Pertvarkysime ir antr ji (2.16) i²rai²kos nari. Ji uºra²ome taip: ṗ i r i q j = i { d dt ( mṙ i r i q j ) mṙ i d dt ( )} ri m r i r i = q i j q i j (2.19) Paskutiniame ²ios i²rai²kos naryje sukeisime diferencijavimo tvark ir ji perra²ysime taip: d dt ( ) ri q j = q j ṙ i = Beje, diferencijuodami greiti (2.15) pagal q j gauname, kad q j v i. (2.20) v i q j = r i q j. (2.21)

2.4. Lagranºianas 15 Dabar pasinaudoj (2.20) bei (2.21) formul (2.19) perra²ome taip: ṗ i r i = { ( d mv i v ) } i v i mv i q i j dt q i j q j [ ( )] ( ) = d 1 dt q j 2 mv2 i 1 q i j 2 mv2 i = d ( ) T T, dt q i j q j (2.22) kur vienu simboliu T = i 1 2 mv2 i (2.23) paºymejome vis m usu nagrinejamos sistemos kinetin energij. Paskaita 2 Pagaliau istat (2.17) bei (2.22) i²rai²kas i (2.16) formul Dalambero princip dar kart perra²ome taip: j { d dt ( T q j ) T } Q j δq j = 0. (2.24) q j Kadangi naujas apibendrintas koordinates pasirinkome taip, kad jos b utu nepriklausomos, tai (2.24) lygybe gali b uti patenkinta tik tada, kai bus lygios nuliui visos riestiniu skliaustu i²rai²kos. Vadinasi, judejimo lygtys gali b uti uºra²ytos taip: ( ) d T T = Q j. (2.25) dt q j q j Jos vadinamos Lagranºo lygtimis. Pranc uzu matematikas ir mechanikas teoretikas Lagranºas (Louis Lagrange, 1736 1813 ) suk ure variaciju metod ir apibendrino pirmtaku teorines mechanikos laimejimus. 2.4 Lagranºianas Lagranºo lygtis galima uºra²yti kiek graºiau konservatyvioms sistemoms, kuriose jega gali b uti i²reik²ta tam tikros skaliarines funkcijos potencialo gradientu: F i = i V = V r i. (2.26)

16 2. PRINCIPAI ƒia simboliu paºymetas vadinamasis nabla-operatorius, formalus diferencijavimo vektorius = { / x, / y, / z}. (2.27) I² (2.26) bei (2.18) formuliu i²plaukia tokia apibendrintos jegos i²rai²ka: Q j = i F i r i q j = i V r i r i q j = V q j. (2.28) Matome, kad nepriklausomai nuo to, kokios pasirinktos apibendrintos koordinates, konservatyvioms sistemoms apibendrinta jega visada gali b uti i²reik²ta potencialo gradientu. Diferencijuoti reikia, be abejo, pagal t jeg atitinkan i koordinat. Akivaizdu, kad potencialo ivedimas leidºia (2.25) lygti pakeisti tokia ²iek tiek graºesne lygtimi: d dt ( T q j ) (T V ) q j = 0. (2.29) Dabar atreipsime demesi, kad jeigu potencialas nepriklauso nuo grei iu, tai ji galima ira²yti ir i pirm ji (2.34) lygties nari, perra²ant j taip: [ ] d (T V ) (T V ) = 0. (2.30) dt q j q j O dabar sunku atsispirti pagundai ir nepaºymeti kinetines ir potencines energiju skirtumo vienu simboliu L = T V. (2.31) Tai labai svarbi klasikines mechanikos funkcija. Toliau j vadinsime lagranºianu. Jos deka judejimo lygtis galima uºra²yti labai trumpai ir eleganti²kai: d dt ( L q j ) L q j = 0. (2.32) Jos taip pat vadinamos Lagranºo lygtimis. Kai toliau minesime Lagranºo lygtis b utent jas ir turesime omenyje. Beje, dydis p i = L q i (2.33)

2.5. Pavyzdys 17 y x y l x m { x,y} 2.2 pav. Svyruokle. yra vadinamas apibendrintu impulsu, o pa i Lagranºo lygti galima perra²yti dar ir taip: ṗ i = L q i. (2.34) 2.5 Pavyzdys Tiek daug dirbome, kol i²vedeme Lagranºo lygtis. Todel dabar verta stabteleti, atsip usti ir pagalvoti, kokia viso to prasme. Pradedami i²vedim sakeme, kad norime sugalvoti universalu metod, palengvinanti judejimo lyg iu sudarym. Pasiºi urekime, ar tikrai mums tai pasiseke. Paveiksle 2.2 parodyta pakabinta ant lubu svyruokle mases m rutuliukas, palaikomas nesitempian io si ulo. M usu tikslas yra uºra²yti ²io rutuliuko judejimo lygti. Pats papras iausias b udas tai padaryti yra pasinaudoti dekartinemis rutuliuko koordinatemis, dekartine koordina iu sistema, kuri tame paveiksle ir parodyta. Ta iau mes ºinome, kad del si ulo, kuriuo tas rutuliukas priri²tas prie lubu, atsiras papildoma s lyga, kuri komplikuos tu lyg iu sudarym bei sprendim. Todel vietoje dekartiniu {x, y} koordina iu geriau naudoti vien kamp φ, kuris yra suderintas su ta rutuliuko judejim ribojan ia s lyga. Vadinasi, reikia uºra²yti tokio tipo lygti: φ =. (2.35)

18 2. PRINCIPAI Problema, k uºra²yti de²ineje ²ios lygties puseje. Tai ir turi i²spr sti tik k m usu i²vestos Lagranºo lygtys. Taigi darome pirm ir pati svarbiausi zikini ºingsni: konstruojame lagranºian pagal formul (2.31). Uºra²yti rutuliuko kinetines energijos priklausomyb nuo kampo φ nera lengva. Todel naudojames dekartine koordina iu sistema. Uºra²ome, kad diferencijuojame pagal laik x = l sin φ, y = l cos φ, (2.36) ẋ = l cos φ φ, ẏ = l sin φ φ (2.37) ir istatome tai i mokyklin kinetines energijos formul T = m 2 (ẋ2 + ẏ 2) = 1 2 ml2 φ 2. (2.38) Potencines energijos formule taip pat ºinoma ir paprasta: V = mgh = mgy = mgl cos φ. (2.39) Taigi m usu svyruokles lagranºianas yra toks: L = 1 2 ml2 φ 2 + mgl cos φ. (2.40) Tuo ir baigiasi pirmasis ºingsnis zikine uºdavinio dalis. Manau, kad uºra²yti skaliarin Lagranºo funkcij yra gerokai lengviau, negu sudarineti vektorines judejimo lygtis. Sekantis ºingsnis matematinis. Malonu, kad nebereikia galvoti. Niekas juk negalvoja daugindamas a²tuonis i² septyniu. Taigi prisimin (2.32) lygti ra²ome d dt ( ) L L φ φ = ml2 φ + mgl sin φ = 0 (2.41) ir φ + g sin φ = 0. (2.42) l Tai sudetinga netiesine antros eiles paprastoji diferencialine lygtis. Dabar mes jos nespr sime. Atidesime tai velesniam laikui, kai pasikaustysime matematikoje. Man atrodo, kad aptartas pavyzdys iliustruoja Lagranºo lygties panaudojim mechanikoje. Bent a² pats visada mechanines sistemos analiz pradedu nuo jos.

2.6. Priklausantis nuo grei io potencialas 19 2.6 Priklausantis nuo grei io potencialas Manau, kad praeitame skyriuje i²vestos Lagranºo lygtys yra tiesiog klasikines mechanikos papuo²alas. Jas i² tikruju labai patogu naudoti, kuo mes netrukus isitikinsime. Ta iau niekada nereikia pamir²ti svarbiausiu prielaidu, kurios buvo panaudotos jas i²vedant. Viena i² ju tai postulatas, kad potencialas nepriklauso nuo grei io. O ar yra atveju, kai tas potencialas nuo grei io priklauso? Pasirodo, kad yra. Ir tai labai svarbus uºdavinys, siejamas su ielektrintu daleliu judejimu elektromagnetiniame lauke. Todel ia ²i uºdavini ir aptarsime. Judanti elektromagnetiniame lauke elektron (taip trumpumo delei vadinsime visas ielektrintas daleles) veikia Lorenco jega 1 : F = e {E + 1c } [v B]. (2.43) ƒia simboliu e paºymejome elektrono kr uvio moduli, v yra to elektrono greitis, o E elektrinio lauko, bei B magnetines indukcijos vektoriai. Norint itraukti ²i jeg i Lagranºo lygtis (2.32) reikia sugalvoti tinkam potencial. Su pirmuoju (2.43) jegos nariu problemu nera, nes elektrostatini lauk visada galima i²reik²ti elektrostatinio potencialo gradientu E = V. O antrame Lorenco jegos naryje matome elektrono greiti v. Vadinasi, jeigu bandytume jam konstruoti potencial, to grei io i²vengti nepasisektu, ir nelabai daug yra vil iu, kad pasisektu elektronui uºra²yti tas pa ias graºias Lagranºo lygtis. Sukonstruoti potencialo judan iam elektromagnetiniame lauke elektronui i² tikruju nepasiseka. Ta iau pasirodo, kad jam galima uºra²yti lagranºian : L = T + ev e A v, (2.44) c kur A yra vektorinis elektromagnetinio lauko potencialas. Priminsiu, kad potencine elektrono energija yra ev, ir todel pastaroji i²rai²ka yra beveik kinetines ir potencines energiju skirtumas. io lagranºiano i²vedimas nera bendras receptas, igalintis tvarkytis su kitais nuo grei io priklausan iais potencialais. Todel jis nera pamokantis, ir ia jo nepateiksime. Pasitenkinsime patikrinimu, kad ista ius (2.44) lagranºian i Lagranºo lygtis (2.32) gaunamos teisingos judejimo lygtys elektronui, judan iam elektromagnetiniame lauke. 1 ºr. A. Matulis, Elektrodinamika, www.skaityk.lt, 2001, Vilnius, p. 89.

20 2. PRINCIPAI Pirmiausiai prisiminsime, kad priklausan iame nuo laiko elektromagnetiniame lauke ry²ys tarp potencialu ir lauku nusakomas tokiomis formulemis: E = V 1 A c t, (2.45a) B = rota. (2.45b) ios formules uºra²ytos gauso sistemoje. Tikiuosi, kad jeigu jums ²i sistema nepatinka, sugebesite patys perra²yti i²vedim SI sistemoje. Beje, tai bus ir neblogas patikrinimas, ar visk suprantante, apie k ia kalbama. Taigi istatome (2.44) lagranºian i Lagranºo lygtis (2.32) ir skai iuojame i²vestines. Diferencijuoti lagranºian pagal elektrono greiti nesunku: L v = T v e c v (A v) = mv e A = p. (2.46) c Pakeliui suradome ir elektrono impuls elektromagnetiniame lauke p, kuris dabar nebesutampa su mases ir grei io sandauga. O lagranºiano i²vestine pagal koordinat yra tokia: L r = e V e c (A v) = e V e {[v rota] + (v ) A}. (2.47) c Priminsiu, kad yra tokia vektorines analizes formule: [v rota] = [v [ A]] = (v A) (v )A. (2.48) Ja ir pasinaudojome i²vesdami (2.47) formul. Istat gautas i²vestiniu i²rai²kas i (2.32) formul uºra²ome judejimo lygtis m v e c da dt e V + e {[v rota] + (v ) A} = 0. (2.49) c Mums beliko ºengti dar vien paskutini ºingsni suskai iuoti piln j vektorinio potencialo laiko i²vestin. Ji yra tokia da dt = A + (v ) A. (2.50) t Vadinasi, galime elektrono judejimo lygti uºra²yti taip: m v = e c A t + e V e c [v rota] = ee e [v B], (2.51) c

2.7. Disipacine funkcija 21 kas sutampa su standartine elektrono judejimo lygtimi, kai ji veikia Lorenco jega (2.43). O tai ir rodo, kad mums pasiseke sukonstruoti ger elektrono lagranºian. Reziumuodami pasakysime, kad geru patarimu, k daryti, kai daleles potencialas ar jega priklauso nuo grei io, nera. Reikia tiesiog bandyti, ir kai kada gali pasisekti, kaip mums pasiseke su elektrono lagranºianu. 2.7 Disipacine funkcija Yra dar vienas svarbus atvejis, kai nepasiseka su potencialu ir kartu su lagranºianu. Tai sistema su disipacija. O disipatyviosios jegos (pavyzdºiui trintis) potencialo neturi. Jeigu trinties jegos yra ºinomos, tai papras iausia jas iskaityti, ira²ant jas i de²in (2.25) lygties pus, t. y. vietoj nario Q j. Kiek paprastesn lygti pasiseka sukonstruoti skystosios trinties atveju, kai trinties jega yra proporcinga grei iui, ir dekartineje koordian iu sistemoje yra tokia: F (tr) i = j α ij v j, (2.52) o α ij yra tam tikri proporcingumo koecientai, vadinami kinetiniais koecientais. Nagrinejant uktuacijas statistines mechanikos metodais pasiseka irodyti ²iu koecientu simetrij : α ji = α ij. (2.53) Tai igalina uºra²yti trinties jegas vienos skaliarines disipacines funkcijos pagalba: kur F (tr) i = v i F, (2.54) F = 1 α ij v i v j. (2.55) 2 ij ios funkcijos privalumas yra tai, kad ji vienodai uºra²oma bet kokioms apibendrintoms koordinatems, t. y. ºinant dvi sistemai b udingas funkcijas, lagranºian L ir disipacin funkcij F, judejimo lygtys uºra²omos tokiu standartiniu b udu: d dt ( L q j ) L q j = F q j. (2.56)

22 2. PRINCIPAI Beje dviguba disipacines funkcijos verte yra lygi sistemos energijos E nuostoliams per laiko vienet : d E = 2F. (2.57) dt

3 VARIACINIAI PRINCIPAI 3.1 Hamiltono principas Praeitame skyriuje mes i²vedeme mums labai svarbias Lagranºo lygtis i² Dalambero principo, kuris siejamas su momentine sistemos b usena tam tikru laiko momentu. Tokie principai yra vadinami diferencialiniais principais ir jie yra pla iai sutinkami ivairiose zikos srityse. Fizikoje taip yra ºinomi integralinai principai, kurie siejami su zikines sistemos elgesiu tam tikrame laiko intervale. Vienas i² tokiu integraliniu mechanikos principu yra Hamiltono principas. Hamiltonas (William Rowan Hamilton, 1805 1865 ) yra ºymus Airijos zikas, astronomas ir matematikas. Jam pasiseke suformuluoti modernius mechanikos principus. Nors Lagranºo lygtis mes jau ºinome, bet pakartosime ju i²vedim i² mineto integralinio Hamiltono principo tam, kad priprastume prie tu integraliniu principu, kurie zikoje nemaºiau svarb us, kaip ir diferencialiniai principai. Prie² pradedant ²i darb, apibre²ime kelet mums naudingu s voku. Visu pirma mums reikia patikslinti fraz sistemos judejimas (arba elgesys) tam tikrame laiko intervale. Mes jau susitareme sistem tam tikru laiko momentu charakterizuoti apibendrintu koordina iu rinkiniu: q 1, q 2,, q n. Patogu ²ias apibendrintas koordinates isivaizduoti, kaip dekartines koordinates tam tikroje erdveje, kuri toliau vadinsime kong uracine erdve. Ji parodyta 3.1 paveiksle. Atleiskite, kad ne visi kampai tarp a²iu yra pana² us i sta iuosius. Tai atsitiko todel, kad a² nelabai moku pie²ti paveikslus n- mateje erdveje. Akivaizdu, kad ²ioje erdveje konkreti sistemos b usena gali b uti pavaizduota ta²ku. Vienas toks raudonas A ta²kas ir parodytas 3.1 paveiksle. Laikui begant sitem charakterizuojantis koordina iu rinkinukas keisis. Vadinasi ta²kas judes ir bre² linij, kaip tai parodyta kaireje 3.2 paveiks- 23

24 3. VARIACINIAI PRINCIPAI q 1 A { q 1, q 2,, q n } q 2 q n q3 3.1 pav. Kong uracine erdve. q 1 q 2 t 1 t 2 t 2 q 2 q 3 q n 0 t 1 q 1 3.2 pav. Trajektorija. lo puseje. Daºniausiai reikiamus mums trajektorijos ta²kus indikuosime atitinkamais laiko momentais. Taip 3.2 breºinyje parodyta raudona linija vaizduoja sistemos trajektorij kong uracineje erdveje, prasidedan i laiko momentu t 1 ir besit sian i iki laiko momento t 2. Toliau stengsiuosi i²vengti sudetingu daugiama iu breºiniu ir pie²iu visk dvimateje plok²tumoje. Taigi vietoje breºinio, parodyto 3.2 paveikslo kaireje pie²iu gerokai paprastesni breºini, parodyt to paties paveikslo de²ineje puseje, o jums teks isivaizduoti, kad tai yra daugiamate kong uracine erdve. Taigi 3.2 paveiksle parodyta linija ir charakterizuoja sistemos judejim tam tikrame laiko intervale, o ta²kas A 3.1 paveiksle charakterizuoja sistem tam tikru laiko momentu. Dabar jau galime suformuluoti integralini Hamiltono princip, galiojanti konservatyviai sistemai, apra²omai tam tikru lagranºianu L. Jis sako, kad

3.2. Funkcionalo minimumas 25 q 2 t 2 t 1 0 q 1 3.3 pav. Trajektoriju visuma. sistema laiko intervale {t 1, t 2 } juda taip, kad integralas I = t2 t 1 Ldt, (3.1) suskai iuotas i²ilgai judejimo trajektorijos, yra ekstremalus. Paai²kinsime tai papras iau. Norint surasti tikr j sistemos judejimo nuo ta²ko t 1 iki ta²ko t 2 trajektorij, reikia nupie²ti visas imanomas trajektorijas, jungian ias minetus du ta²kus kong uraciju erdveje, kaip tai schemi²kai parodyta 3.3 paveiksle melynomis kreivemis. Toliau reikia visoms trajektorijoms suskai iuoti (3.1) integralus ir i²rinkti i² ju pati ma- ºiausi (o kartais pati didºiausi ). iam ekstremaliam integralui atitinkanti sistemos trajektorija (manykim, kad tai yra ta, kuri paveiksle parodyta raudona kreive) ir bus tikroji sistemos judejimo trajektorija. Tai nelengvas darbas, ar ne? Matome, kad integralo (3.1) reik²me priklauso ne nuo konkre ios sistemos koordinates vertes, bet nuo funkcijos nuo sistemos trajektorijos. Toki dydi matematikai vadina funkcionalu. O zikai (3.1) funkcional vadina veikimu. Taigi privalome surasti funkcionalo ekstremum. Matematikai yra sugalvoj variacini skai iavim, kuris tokius uºdavinius sprendºia. Ji ir aptarsime sekan iame skyriuje.

26 3. VARIACINIAI PRINCIPAI x t n x n x 3 x 2 0 t 1 t x 1 0 h t 1 t 2 t 3 t n 3.4 pav. Trajektorijos diskretizacija. 3.2 Funkcionalo minimumas Manykim, kad turime vien materialuji ta²k kurio, vienma io judejimo trajektorija apra²oma funkcija x(t). B utent tokios trajektorijos, prasidedan ios laiko momentu t 1 ir uºsibaigian ios momentu t n, mes ir ie²kosime. Ji parodyta 3.4 paveikslo kaireje puseje. Pagal tik k suformuluot Hamiltono princip mes turime suskai iuoti funkcional ir surasti jo ekstremum. ios paprastos vienmates sitemos atveju tai yra toks integralas: Paskaita 3 I = tn t 1 dtl(x, ẋ, t). (3.2) Mus domins atvejis, kai trajektorijos galai (pradºia x 1 = x(t 1 ) ir pabaiga x n = x(t n )) yra ºinomi ir nekintami. Taigi kaip toki trajektorij surasti, pasinaudojus (3.2) funkcionalo ekstremumu? Sako, kad dabar kompiuteris gali atlikti uº mus visus darbus. Tuo galima netiketi. Bet kai neºinome, kaip spr sti uºdavini visada verta pagalvoti, kaip tai darytu kompiuteris. O kompiuteris integralu skai iuoti nemoka. Vadinasi, jeigu papra²ytume ji (3.2) i²rai²k suskai iuoti, j reiktu jam pateikti diskretizuotu pavidalu. Taigi padaliname laiko a²i ie²komos trajektorijos intervale i nedidelius vienodo h ilgio intervalus ir paºymej tiems laiko intervalams t i atitinkan ias koordinates vertes x i = x(t i ), veikimo funkcional perra²ome tokia suma: I = h n L(x i, ẋ i, t i ). (3.3) i=1

3.2. Funkcionalo minimumas 27 Turb ut niekam nekyla abejoniu, kad jeigu pasirinkti laiko intervalai bus pakankamai maºi, tai ²i suma sutaps su veikimo integralu norimu tikslumu. Gali tik kilti klausimas, kas tai yra ẋ i. Tai yra greitis trajektorijos t i ta²ke, kuri mes tuo apibre²ime. tai ²i sum kompiuteris skai iuoti moka. Reikia tik jam pasakyti, kam yra lyg us dydºiai t i, x i bei ẋ i. Skai iai t i yra tie, kuriuos mes pasirinkome 3.4 paveikslo de²ineje, o skai ius x i bei ẋ i kompiuteris turi pasirinkti pats, ir nustatyti, kada mineta suma yra maºiausia. Ir kuo kompiuteris daugiau ivairiu skai iu rinkinuku i²bandys, tuo geriau, tuo labiau mes b usime isitikin, kad jis surado i² tikruju t trajektorij, kuri minimizuoja veikimo funkcional. Perrinkineti visus minetu skai iu rinkinukus darbas i² tiesu gana kvailokas, bet kadangi kompiuteris skai iuoja labai greitai, tai jis t darba sekmingai ivykdys. Kaip sako patarle: kai yra jegos, tai proto nereikia. Dabar, kai isitikinome, kad kompiuteriui ²is darbas nera sunkus, galime ²iek tiek pagavoti, o kaip spr stume ²i uºdavini mes. Matome, kad (3.3) i²rai²ka nera joks funkcionalas, o tik daugelio kintamuju (x i bei ẋ i ) funkcija. O funkcijos ekstremumus, manau, mes skai iuoti mokame. I² tikruju, jeigu turime funkcij f = f(x) (3.4) ir norime suskai iuoti jos ekstremum (maksimum arba minimum ), tai turime surasti jos diferencial df = df dx. (3.5) dx Toliau samprotaujame taip. Ekstremume (kalno vir² uneje arba pa iame duobes dugne) yra nedidele horizontali sritis. Vadinasi, ia pasikeitus neºymiai argumentui funkcijos verte neturetu pasikeisti. Taigi df = 0 (3.6) yra funkcijos ekstremumo s lyga. Kadangi dx 0 (juk tikrindami funkcijos ekstremum mes privalome ²iek tiek nuo to ekstremumo nutolti), tai gauname mums iprast funkcijos ekstremumo s lyg : df = 0. (3.7) dx

28 3. VARIACINIAI PRINCIPAI Kadangi m usu nagrinejama i²rai²ka (3.3) yra daugelio kintamuju funkcija, tai jos diferencialas priklausys nuo visu tu kintamuju diferencialu, b utent, di = h n i=1 o ekstremume jis turtu b uti lygus nuliui, t. y. { L dx i + L } dẋ i, (3.8) x i ẋ i di = 0, (3.9) i² kur i²plaukia, kad visos lagranºiano i²vestines turetu b uti lygios nuliui. Ta iau neskubekime. Mes juk dar nepasakeme, kas tai yra greitis ẋ i. M usu diskretizuotame modelyje, kuriame nebera pa ios trajektorijos, o yra tik pavieniai ta²kai x i, greiti matyt, reikia apibreºti taip: ẋ i = 1 h (x i+1 x i ). (3.10) Jums gali nepatikti ²i nesimetrine i²rai²ka. Ir i² tikruju, jeigu spr stume ²i uºdavini su kompiuteriu, tai reiketu pagavoti, kaip j simetrizuoti. Ta iau mes juk tik losofuojame ir galime pasakyti, kad ²iu samprotavimu pabaigoje vis tiek skai iuosime rib h 0. O ribos skai iavimui toks subtilumas bus nesvarbus. I² (3.10) i²rai²kos i²plaukia analogi²kas grei iu bei koordina iu diferencialu ry²ys: dẋ i = 1 h (dx i+1 dx i ). (3.11) Matome, kad diferencialai (3.8) i²rai²koje dx i ir dẋ i nera nepriklausomi dydºiai. Todel ir skubotas i²vestiniu prilyginimas nuliui (3.8) formuleje b utu klaidingas. Taigi istatykime (3.11) i²rai²k i (3.8) formul ir pabandykime j pertvarkyti taip: n 1 di = h L(x i, ẋ i, t i ) dx i + x i=2 i n 1 { L(xi, ẋ i, t i ) = h + 1 x i h i=2 n 2 i=1 n 1 L(x i, ẋ i, t i ) dx i+1 ẋ i i=2 L(x i, ẋ i, t i ) dx i ẋ i ]} dx i [ L(xi 1, ẋ i 1, t i 1 ) ẋ i 1 L(x i, ẋ i, t i ) ẋ i (3.12)

3.3. Variacinis skai iavimas 29 Uºra²ydami pirm j ²ios lygybes eilut mes atsiºvelgeme i tai, kad pirmoji ir paskutionioji trajektorijos koordiante yra ksuota ir todel jos diferencialas yra lygus nuliui. O antrojoje eiluteje suvienodinome sumas pakeit vidurineje sumoje indeks i i 1. ioje i²rai²koje visi diferencialai yra nepriklausomi. Todel prilygin nuliui prie ju esan ius koecientus gauname toki algebriniu lyg iu sistem : L(x i, ẋ i, t i ) x i + 1 h [ L(xi 1, ẋ i 1, t i 1 ) L(x ] i, ẋ i, t i ) = 0 (3.13) ẋ i 1 ẋ i trajektoriju ta²kams x i nustatyti. O dabar suskai iuojame rib h 0 ir sugriºtame vel prie tolydinio uºdavinio formulavimo, atkreipdami demesi i tai, kad rei²kinys su lauºtiniais skliaustais yra ne kas kitas, kaip pilnoji laiko i²vestine su minuso ºenklu, ir pakeisdami skirtumines (3.13) lygtis tokia diferencialiniu lyg iu sistema: d dt ( ) L L = 0. (3.14) ẋ x Matote ie²kodami veikimo funkcionalo ekstremumo gavome jau anks iau m usu i²vestas Lagranºo lygtis vieno laisves laipsnio sistemai. Matyt, pana- ²iai gautume Lagranºo lygtis ir sistemai, turin iai daugiau laisves laipsniu. 3.3 Variacinis skai iavimas Praeitame skyriuje pateiktas funkcionalo minimumo skai iavimas buvo gana skaidrus, bet labai varginantis. Todel matematikai sugalvojo subtilesn ºymejimu sistem, igalinan i t pati rezultat gauti daug grei iau ir eleganti²kiau. Dabar ir paºi uresime, kaip tai reikia padaryti. Funkcionalo nediskretizuosime, o tiesiog uºra²ysime jo variacij : δi = tn t 1 { } L L dt δx + x ẋ δẋ. (3.15) ƒia δx bei δẋ yra koordinates ir grei io laiko funkciju variacijos (maºi prieaugliai). Jeigu j us man s paklausite, k visa tai rei²kia, tai a² atsakysiu, kad tai yra viso labo trumpas diskretizuotos (3.8) i²rai²kos paºymejimas.

30 3. VARIACINIAI PRINCIPAI Toliau sakomi tie patys ºodºiai ir daromi tie patys veiksmai. Koordinates ir grei io funkciju varijacijos nera nepriklausomos. Todel vien i² ju reikia i²naikinti. Tuo tikslu uºra²ome, kad L L d δẋ = ẋ ẋ dt δx = d dt ( L ẋ δx ) δx d dt ir integruojame antr ji (3.15) i²rai²kos nari dalimis: tn t 1 dt L L δẋ = ẋ ẋ δx tn tn { d dt t 1 t 1 dt ( ) L, (3.16) ẋ ( )} L δx (3.17) ẋ Pirmasis i² ²iu nariu lygus nuliui todel, kad trajektorijos galai nevariuojami. Atkreipkite demesi, kad ²is integavimas dalimis yra sumos pertvarkymo (3.12) ekvivalentas. Taigi pakeit antr ji (3.15) formules nari pagal (3.17) formul, gauname toki veikimo funkcionalo variacijos i²rai²k : δi = tn t 1 { L dt x d dt ( )} L δx. (3.18) ẋ Toliau sakome ºodºius, kad funkcionalo ekstremume jo variacija turi b uti lygi nuliui δi = 0. (3.19) Kadangi koordinates, kaip laiko funkcijos, variacija gali b uti bet kokia, tai privalo b uti lygus nuliui prie jos esantis koecientas, i² ko tuoj pat i²plaukia Lagranºo lygtis (3.14). Matote uºra² vos keturias formules gavome tas pa ias lygtis, kurias praeitame skyriuje i²vedeme tik prasimu² pro diskretizuoto funkcionalo indeksu pyn. is eleganti²kas metodas vadinamas variaciniu skai iavimu. Ta iau jeigu kam nors tai atrodo per daug formalu ir nesuprantama, tai visada galima gauti tuos pa ius rezultatus uki²kai diskretizuojant uºdavini, kaip tai buvo padaryta praeitame skyriuje. Beje, jeigu susipainiojate ar ko nors nesuprantate, tai visada taip reikia ir daryti. 3.4 Daugelio laisves laipsniu uºdavinys Dabar pakalbesime apie tai, k reikia daryti, kai koordina iu yra ne viena, o daug, t. y. kai turime daugelio laisves laipsniu uºdavini. Manau, kad

3.5. Tvermes desniai 31 ivaldºius variacinio skai iavimo technik, tai visai nesunku padaryti. Reikia tik prisiminti, kad dabar lagranºianas priklauso nuo daugelio funkciju L = L(q 1, q 2,, q n, q 1, q 2,, q n, t) (3.20) ir taip pat prisiminti daugelio kintamuju funkcijos diferenciajavimo taisykles bei jas pritaikyti funkciju varijacijoms. Tikiuosi, kad nebus sunku suprasti, jog to pasekoje teks pakeisti (3.15) bei (3.18) lygtis tokiomis: δi = = tn t 1 tn t 1 n { L dt δq i + L } δ q i q i=1 i q i n { L dt d ( L q i dt q i i=1 )} δq i. (3.21a) O dabar manydami, kad visos funkciju variacijos yra nepriklausomos, prilyginame nuliui koecientus prie ju ir gauname diferencialiniu lyg iu sistem ( ) d L L = 0. (3.22) dt q i q i kuri sutampa su anks iau gautomis Lagranºo lygtimis (2.32). 3.5 Tvermes desniai Prie² pradedami spr sti konkre ius uºdavinius atkreipsime demesi dar i kelet svarbiu momentu. Vienas i² ju tai ry²ys tarp simetrijos ir tvermes desniu. Jis siejamas su ºymios vokie iu matematikes Neter ( Emmy Noether, 1882 1935 ) vardu, kartais net vadinamas Neter teorema. Ideja yra tokia. Fizikoje daºnai nagrinejamos sistemos, kurios yra invarianti²kos transliacijos atºvilgiu. Transliaci²kai invariantine sistema yra vadinama tokia sistema, kurioje prie kurios nors i² jos koordina iu pridejus bet koki dydi, niekas tos sistemos elgesyje nepasikei ia. Akivaizdu, kad tokios transliaci²kai invariantines sistemos Lagranºo funkcija turi nepriklausyti nuo minetos koordinates. Tegul tai bus q j koordinate. J iprasta vadinti cikline koordinate. Paºvelg i (3.22) lygti matome, kad ciklin koordinat atitinka tokia trumpesne Lagranºo lygtis: d dt ( ) L = 0. (3.23) q j