Măsurarea impedanţelor eprezentări forma carteziană: forma polară: unde: + X + jx j e ϕ ϕ arctg X caracteristici ale impedanţelor: natura, dată de semnul componentei imaginare: X > 0 natură inductivă, X < 0 natură capacitivă, X 0 natură rezistivă modelul: serie sau paralel
Modele Modelul serie: se preferă reprezentarea : + jx s jx s Modelul paralel: se preferă reprezentarea Y: Y G+ jb Y e jϕ Y p jx p Conversii între modele Ambele modele (serie sau paralel) modelează corect impedanţa valoarea este aceeaşi: s jx s + j jx + jx X + X p p s s relaţii de echivalenţă: p p s s p + X s s s X p + X X s s s Concluzie: cunoscînd elementele unui model (s/p) se pot determina elementele celuilalt model (p/s)
Factorul de calitate Pe baza puterilor activă/reactivă disipate în impedanţă: Pr Q P Q mare: efect predominant reactiv (inductiv/capacitiv) Q mic: efect predominant rezistiv (pierderi mari) eciproc: factorul de pierderi: sau: unghiul de pierderi: δ arctg arctg D Q a D Q Factorul de calitate (cont d) Modelul serie: I prin s şi X s este acelaşi: P r P a X I s s I Q s X s s s jx s Modelul paralel: U la bornele p şi X p este aceeaşi: U P p r X p p Q jx p p U X p Pa p 3
Factorul de calitate (cont d) elaţia Q s Q p? escriem relaţiile de echivalenţă: p + X s s s X p + X X s s s Obs: p /X p X s / s Q p Q s Q: rezultat aşteptat? Hint: este vorba de modele diferite ale aceleiaşi componente, al cărui model poate fi necunoscut! Q este o mărime cu semnificaţie fizică (vezi. def) Q s Q p Q Conversii între modele (revisited) relaţiile de echivalenţă: p + X s s s X p + X X s s s pe baza def. Q: ( ) p s + Q Xp Xs + Q 4
Conversii cazuri particulare pt. Q mare (suficient Q > 0) p Q s Xp Xs se conservă reactanţa între modele pt Q mic: X p p s X Q s se conservă rezistenţa între modele Modele (revisited) Modelul s/p poate fi fizic sau echivalent Modelul fizic: valorile, X corespund unor mărimi fizice reale Ex: bobină reală bobină ideală + rezistenţa sîrmei s jx s X s corespunde ωl, s corespunde rez. sîrmei s +jωl Avantaj folosire model fizic: valorile numerice corespund valorilor aşteptate Ex: s rezistenţa sîrmei rezistenţă mică 5
Modele (cont d) Modelul echivalent: nu corespunde unor mărimi fizice reale Ex. Bobină reală modelată prin: p jx p / / p j/ωl Q: De ce se foloseşte? A: structura fizică nu e întotdeauna cunoscută ( cutie neagră ) modelul echivalent modelează la fel de bine componenta fizică Dezavantaj: valorile numerice nu corespund valorilor fizice aşteptate (dacă acestea se cunosc) Modele (cont d) Ex: folosirea modelului echivalent (paralel) la bobină: p jx p calc. p s ( + Q ) pe baza s şi Q reale s (fizic) mic rezistenţa sîrmei Q mare p (echivalent) mare nu corespunde cu realitatea (realitatea măsurarea rezistenţei bobinei la ohmetru) Observaţii: modelul e în continuare corect matematic unele impedanţe (combinaţii multiple serie-paralel) nu corespund unui anumit model fizic simplu s sau p oricare model e la fel de bun 6
Impedanţe parazite apar pe lîngă impedanţa reală necunoscută nu sînt constante depind de forma, poziţia şi modul de conectare al impedanţei în circuit ex: apropierea mîinii operatorului, strîngerea unor borne cu şurub etc. Clasificare: impedanţe parazite mici: model: serie cu impedanţa necunoscută uzual: rezistenţe de contact, rezistenţele terminalelor, rezistenţele cablurilor de măsura impedanţe parazite mari: model: paralel uzual: rezistenţe de izolaţie, de scurgere, de pierderi, capacităţi parazite Măsurarea impedanţelor mici x / x mici: impedanţele parazite mici (serie) nu sînt neglijabile putem neglija impedanţele parazite mari (paralel) Aplicaţie: măsurarea indirectă a prin injectare de curent I x I căci v x U x /I x 7
Măsurarea impedanţelor mici (cont d) x mică r, r rezistenţele terminalelor + contactelor doar două borne de conectare la x nu se pot separa U x I x (r + x +r ) Q: Să se calculeze eroarea sistematică comisă la această măsurătoare Conexiunea cuadripolară (4T) Idee: separarea bornelor de curent () şi tensiune () + 4 fire separate către x egulă: punem în evidenţă rezistenţa de contact/rezistenţa terminalului în serie cu fiecare bornă care ne conectează la x (include toate impedanţele parazite serie din acel punct) Contacte ascuţite: contacte cuţit (Kelvin) edesenaţi schema cu cele 4 rezistenţe! 8
Conexiunea cuadripolară (4T) (cont d) Idee: punerea r i în serie cu alte impedanţe mari a.î. să devină neglijabile r, << V r, serie V r 3,4 << sursă curent r 3,4 serie sursă curent căderea de tensiune pe r 3,4 există dar nu intervine U x x I x eroare sistematică: 0 Aplicaţie: punte de măsură 4T vezi puntea din laborator în c.a. LC-metru (măs. x ) 4 borne: Hc High Current Hp High Potential (Voltage) Lp Low Potential (Voltage) Lc Low Current Hc, Lc injectează curent în x Hp, Lp măsoară tensiunea pe x E V H c H p x Schema: vezi curs IEM an 3 L p în c.c. elimină ef. r serie fire măsură, contacte în c.a. elimină şi ef. inductanţei firelor de măsură A L c 9
Măsurarea impedanţelor mari x / x mari: impedanţele parazite mari (paralel) nu se pot neglija se pot neglija impedanţele parazite mici (serie) S x între bornele A,B S zeci...sute MΩ... G Ω A x B s Q: să se calculeze eroarea sistematică la măsurarea x Măsurarea impedanţelor mari (cont d) Soluţie: inel de gardă în jurul unei borne Efect: s divizat în sa + sb pînă aici nimic nou; sa + sb în continuare x A x B sa G sb 3 borne (A,B,G) configuraţie tripolară (3T) 0
Conexiunea tripolară (3T) memento: idee 4T: punerea r contact în serie cu alte impedanţe mari a.î. să devină neglijabile idee 3T: punerea sa,b în paralel cu alte impedanţe mici a.î. să devină neglijabile A x B sa G sb Conexiunea tripolară (3T) (cont d) Aplicaţie: măsurarea x (mari) Borna G se leagă la masă A x B sa G sb x << sa,b I A,B << I x I I x U 0 ( ampermetru 0) EU x +U U x x -U /I -E/I sa sursă tensiune dar sa >> sursă tensiune sb ampermetru dar sb >> ampermetru efect sa,b neglijabil prin punerea în pe impedanţe mici
Q: se văd borne, unde e a 3-a? A: ecranul cablului coaxial! Aplicaţie: punte de măsură 3T S în c.a. : s capacitatea parazită C p (de val. mică impedanţă mare) E V x obs. C p puncte de potenţial egal ( borne de masă) efect eliminat fără ecran C p x nu mai e neglijabil la x mari A Extindere: 4+3 5??? 4T+3T 5T (pentapolar) 4 cabluri ecranate, ecrane comune 5 borne! Măsurarea impedanţelor prin metoda punţii echilibrate (balanced bridge) ezumat: A. în c.c. puntea Wheatstone B. în c.a. : 8 tipuri de punţi bazate pe puntea Wheatstone punţi cu transformator C. punţi active
De ce punţi? puntea cea mai sensibilă metodă de măsură egalitatea x e (sau x e ) se determină la echilibrul punţii rezoluţia abilitatea de a detecta tensiuni de dezechilibru oricît de mici aplicaţii: punţi de măsură pentru,l,c cu echilibrare manuală şi automată senzori şi traductoare A. Puntea Wheatstone de c.c. [3] g 0 g 4 V E [] [] V, V 3 [4] Principiul punţii echilibrate: U U d 0 (ddezechilibru) Voltmetrul: indicator de nul; remember galvanometrul magnetoelectric cu 0 la mijloc? elaţia de echilibru: U U 3 4 Demonstraţie! 3
Puntea Wheatstone (cont d) 4 3 notăm 4 4x x putem nota şi: 3 e ± 0 n x ± 0 n e 0 +/-n reglaj decadic schimbă scara de măsură e reglaj continuu valoarea în cadrul scării Puntea Wheatstone (cont d) [3] g 4 E [] [] V, V 3 Q: putem schimba poziţia voltmetrului cu a sursei? A: da şi nu!!! [4] da: d.p.d.v. al relaţiei de echilibru 3 4 nu: d.p.d.v. al sensibilităţii memento: sensibilitatea S? 4
Sensibilitatea punţii Wheatstone Sensibilitatea S ieşire / intrare la noi: S ΔU Δ d E 4 4 se obţine S A ( + A) (cu notaţia 3 / 4 A) Demonstraţie! Sensibilitatea punţii Wheatstone (cont d) dorim Smax; Sf(A) ds/da 0 S A ( + A) se obţine pentru A S max 4 Demonstraţie! 5
Sensibilitatea punţii Wheatstone (cont d) Consecinţe: ) A /A; puntea nu cunoaşte sensul gravitaţiei demonstrăm că S(A)S(/A) A raportul oricăror rezistenţe care mărginesc V-metrul! A / 4 / 3 sau A / 3 / 4 dar nu / 3! ) A scara decadică cea mai sensibilă este pt. n+/- la măsurarea x f. mici/mari S scade motiv suplimentar pentru care p. Wheatstone nu e indicată pentru x de valori extreme Q: ce alte motive? A: conexiune T şi nu 3T/4T/5T!!! Sensibilitatea punţii Wheatstone (cont d) Sensibilitatea S 0 în jurul echilibrului (la ech.: 3 40 ) 4 40 +Δ Δ 4 4 << 40 S 0 devine: U 0 +Δ U ΔU d d d S Δ U ES d 0 Ud E A Δ + ( A) 0 4 40 4 40 notăm σ Δ/ 40 (s.n. dezechilibrul punţii) 6
Sensibilitatea punţii Wheatstone (cont d) σ Δ/ 40 U d S σ E observăm σ Δ/ 40 similar cu ε Δ/ adevărat σ eroare eroare de prag de sensibilitate ε PS Q: ce factor cauzează ε PS? A: U d < U min (citibil pe afişajul/scara voltmetrului) înlocuim ε ps U min SE 0 Puntea Wheatstone (cont d) Aplicaţie : calculaţi ε PS a unei punţi ştiind că se folosesţe un voltmetru numeric cu U CS V (afişaj maxim.999v, numit şi afişaj cu 3 ½cifre) Se mai dau: E0V, K Aplicaţie : Calculaţi eroarea relativă limită la măsurarea cu puntea precedentă, dacă toleranţele rezistenţelor sînt ε, % şi ε 3 0.% (Hint: aplicaţie a conceptelor de eroare limită şi a formulei de propagare a erorii la măsurătorile indirecte) 7
Puntea Wheatstone (cont d) Aplicaţie 3: puntea Wagner x 4 5 sc x 4 5 3 6 3 sc 6 punte în conexiune 3T faze: faza : v-metrul între 4-5, echilibrare din 6 Q: la ce este utilă această fază? faza : v-metrul între 3-4, echilibrare din sau 3 (punte clasică) Q: Să se determine condiţiile de echilibru şi modul de funcţionare Q3: redesenaţi schema pentru a funcţiona în c.a. Puntea Wheatstone (cont d) Aplicaţie 4: puntea Wheatstone în configuraţie 3T a) să se calculeze eroarea sistematică dacă borna G rămîne în aer b) să se determine modul optim de conectare al bornei G Se dau 00K 0K 3 MΩ s, s 00MΩ 8
Puntea Wheatstone (cont d) Aplicaţie 5: puntea Wheatstone în configuraţie 4T a) să se argumenteze poziţia şi efectul rezistenţelor de contact b) să se calculeze eroarea sistematică în conexiune T c) să se calculeze eroarea sistematică în conexiune 4T Se dau: 00 Ω K 3 0Ω r..r 4 0. Ω B. Punţi de c.a. g E d 4 x 3 c.. 4 complexe relaţia de echilibru: 3 4 se traduce în relaţii de echilibru: 3 4 ϕ +ϕ ϕ +ϕ 3 satisfacere simultană: necesită elemente reglabile (faţă de la c.c.) 9
Punţi de c.a. (cont d)... 4 pot fi oricum (model s/p, natură L//C) Q: se poate face o punte cu orice combinaţie de..4? A: trebuie respectate condiţii:. condiţia de convergenţă Definiţie: o punte este convergentă dacă se poate aduce la echilibru (U d 0) Contraexemplu:..3 rezistive, 4 capacitivă; nu se poate echilibra (componenta imaginară a lui U d va fi 0). condiţia de gradabilitate a reglajelor Definiţie: o punte este gradabilă dacă cele componente necunoscute ale 4x se pot grada independent în funcţie de componente reglabile ale... 3 Studiul gradabilităţii reglajelor Cond. echilibru: 3 4x Varianta : 4x ( / ) 3 3 s.n. punte de raport, s.n. braţe auxiliare, 3 braţ etalon braţele auxiliare sînt alăturate Varianta : 4x ( 3 )/ P 3 Y s.n. punte de produs, 3 s.n. braţe auxiliare, braţ etalon braţele auxiliare sînt opuse Demonstrăm că, pentru ca puntea să fie gradabilă: braţul etalon va fi complex braţele auxiliare sînt fie pur reale fie pur imaginare deci la fel pt. sau P 3 : sau P 3 reale: punţi de raport/produs real (în fază) sau P 3 imaginare: punte de raport/produs imaginar (în cuadratură) 0
Studiul convergenţei punţii Echilibrare U CD 0; mărimi complexe: reprez. vectorială: scop: deplasarea C, D în planul complex a.î. C D U CD 0 deplasarea C,D reglarea celor elem. reglabile Q: cum modelăm această deplasare? A: cazuri: în apropierea echilibrului şi departe de echilibru DB AD CB AC AC AD CD CD U U U U E U U U U + + 0 Studiul convergenţei punţii (cont d) CA : convergenţa în apropierea echilibrului notăm a,b cele elemente reglabile: Condiţia de echilibru devine: În apropierea echilibrului a a 0, b b 0, P 0, Q 0 Variaţia U CD /E la variaţia a sau b derivare: ), ( ), ( ) )( ( 4 3 4 3 4 3 3 b a Q b a P E U CD + + + + 0 ), ( 0 0, b a b a P β α j b CD j a CD P e b P Q b Q P b P Q Q b E U P e a P Q a Q P a P Q Q a E U ) / ( ) / (
Studiul convergenţei punţii (cont d) Unghiul de convergenţă: γ c β-α eprezentare: Planul complex: domeniul de variaţie al U CD Originea axelor: a 0, b 0 (echilibru) sau pct. C 0 D 0 La diferite valori aa 0 +k a, bb 0 +k b se obţin drepte paralele cu dreptele iniţiale familii de drepte paralele variante: Deplasăm C şi D, alternativ, pînă ajungem la C 0, D 0 Deplasăm D (pînă ajungem la D 0 ), menţinînd fix C C 0 Studiul convergenţei punţii (cont d) convergenţa proces iterativ; Ex: C(a) D(b) C(a) D(b) etc. tipic sînt necesare mai multe manevre
Studiul convergenţei punţii (cont d) Legătura γ c rapiditatea echilibrării (nr. de manevre): U CD (i+) U CD (i) cos γ c după n manevre: U CD (i+n) U CD (i) (cos γ c ) n U CD (i) /m ( notăm (cos γ c ) n /m ) deci după n manevre tensiunea de dezechilibru s-a redus de m ori; calc. n: log m n log cosγ C OBS: pt γ c 90º se observă n Studiul convergenţei punţii (cont d) CA : convergenţa punţii departe de echilibru nu se mai poate aproxima deplasarea prin prima derivată nu se mai def. elem. reglabile (a,b) se def. parametrii generalizaţi (α,β,γ) din care se vor alege elem. reglabile deplasarea pct. C,D nu se mai face pe drepte ci pe arce de cerc (dreapta aproximare a arcei de cerc în apropierea originii) 3
Studiul convergenţei punţii (cont d) Convergenţa punţii departe de echilibru Q: pentru puntea ABCD, care sînt combinaţiile posibile de cîte braţe (ACB şi ADB)? identificăm param. generalizaţi în aceste combinaţii A: 6 combinaţii (fără a ţine seama de ordinea celor braţe), întrucît din considerente de gradabilitate, braţe trebuie să fie elemente pure ( sau C). Combinaţiile sînt prezentate în tabelul următor parametrii generalizaţi (α,β,γ) se iau pentru modelul serie şi Y pentru paralel Studiul convergenţei punţii (cont d) Braţe ACB sau ADB unghi(u CA,U BA ) α β γ + /ωc - /ωc /ωc 3 - / / ωc 4 + ωc ωc / - ωl 3 + / / / ωl Notaţii: α elementul singur într-un braţ (braţ auxilar) β elementul de aceeaşi natură cu α, în braţul etalon γ elementul de natură diferită de α, în braţul etalon OBS: Nu există, 4 deoarece nu există L pur 4
Studiul convergenţei punţii (cont d) punte convergentă: legarea AA, BB pentru seturi de braţe cu acelaşi semn de unghi sau AB, BA pentru seturi cu semne opuse punte neconvergentă: invers faţă de cazul precedent Combinaţii convergente din tabel: 8 punţi, studiate în continuare pentru fiecare punte se aleg elem reglabile: mai multe combinaţii posibile; alegem (α,β) sau (β,γ) Q: determinaţi, pentru fiecare punte, relaţiile de echilibru şi alegerea elementelor reglabile (cîte variante) Structuri de punţi convergente, în fază 5
Structuri de punţi convergente, în cuadratură OBS: posibilitatea de a lucra în IF alegerea el. regl. C, cu cursorii la masă Punţi convergente: concluzii Gradarea carteziană (β,γ) : reglaje pt. partea reală şi imaginară a x / Y x ω nu intervine în relaţia de gradare precisă (unghi de convergenţă 90º) elementele reglabile în acelaşi braţ (braţul etalon) elementele reglabile de naturi diferite constructiv mai scump Gradarea mixtă (α,β) : reglaje pt. partea imaginară a x / Y x şi Q x / D x ω intervine în relaţia de gradare mai puţin precisă (unghi de convergenţă < 90º) elementele reglabile în braţe diferite elementele reglabile de aceeaşi natură constructiv mai ieftin s.n. şi gradare industrială Necesitatea punţilor duale: o singură punte nu poate măsura Q/D de la 0 la 6
Observaţii şi concluzii punţi de c.a Gradarea indep. de frecvenţă posibilă doar la gradarea (β,γ) avantaje: frecvenţa semnalului nu trebuie cunoscută/controlată precis; mai mult, nici forma semnalului nu e critică Q: ce legătură are forma semnalului? A: formă nesinusoidală armonici pentru fiecare frecvenţă armonică relaţia de gradare este alta! Constructiv: 4 tipuri de punţi se combină într-un singur aparat, a.î. se poate măsura orice natură (,L,C) şi orice valoare Q/D Observaţii şi concluzii punţi de c.a Exemplu de punte manuală de c.a. 4 tipuri într-un singur aparat comparaţi cu puntea automată din laborator! 7
Sensibilitatea punţilor de c.a memento: S P.CC /4 la punţile de c.a. depinde de tip. interesează S căci IN nu e sensibil la faza tensiunii raport real: idem c.c., A real S max /4 pt. A raport imaginar: AjA 0, A 0 real S max / pt. A 0 produs: P fix, A complex şi variabil A 0 e jφ S max /( + cosφ) pt A 0 φ 0 S max /4 φ π/ S max / Demonstraţie! Punţi cu transformator elaţia de echilibru: / N /N Q: Avantaje transformator? Q: Dezavantaje transformator? 8
Punţi cu transformator Înlocuim transformatorul cu autotransformator Q: Dezavantaje autotransformator? Punţi cu transformator punte pentru medii/mari (cu gardă) Q: cum se elimină efectul impedanţelor de scurgere? elaţia de echilibru: / (N N 3 )/(N N 4 ) 9
Punţi cu transformator deducem relaţiile de echilibru şi de gradare! OBS: gradarea L x depinde de frecvenţă! Punţile cu trafo. punţi de raport real aceeaşi natură Ca şi la p.c.a. clasice, nu există L e ; Q: înseamnă că nu putem măsura L x? Conectarea, de pînă acum fcţ. de natura/modelul lor: a) capacitiv/serie b) capacitiv/paralel c) inductiv/serie c) inductiv/paralel Punţi active elimină dezavantajele transformatoarelor mai ieftine la aceeaşi precizie (sau mai bună) posibilităţi de automatizare pot folosi element de referinţă C pentru măsurarea L folosesc componente active 30
Punţi active Puntea LOGAN pentru impedanţe mici buffer (amplificator repetor pt + sau inversor pt -) rol: impedanţă mare de intrare şi mică de ieşire (sursă ideală de tensiune); izolează x, e de partea dreaptă a schemei elaţia de gradare: x α e Punţi active Puntea pentru admitanţe elaţii de gradare: C : G x αg C x βc L : G x αg L x /(ω β C), Avantaj: măsurarea L folosind C etalon 3
Aplicaţii punţi Puntea cu un braţ în T Determinaţi condiţiile de echilibru şi elementele reglabile în cazurile gradării carteziene şi mixte Care este rolul 3? Aplicaţii punţi Indicaţie (puntea cu un braţ în T ) transformăm Y în Y Δ Conversion + 3 + 3 a + 3 + 3 b + 3 + 3 c 3 Δ Y Conversion b c + + 3 a b c a c + + a b c a b + + a b c 3