Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 18 Ιουνίου 216

Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 2 1.1 Γενικές Παρατηρήσεις.................................... 2 1.2 Βασικοί Ορισµοί....................................... 2 2 Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής. 3 2.1 Μαθηµατική Μοντελοποίηση................................ 3 3 ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως. 4 3.1 Εισαγωγή.......................................... 4 4 Ταξινόµηση ιαφορικών Εξισώσεων εύτερης Τάξεως. 6 4.1 Εισαγωγή.......................................... 6 4.2 Η κυµατική Εξίσωση και η Εξίσωση ιάχυσης....................... 6 4.2.1 Η κυµατική Εξίσωση................................. 6 4.2.2 Η Εξισωση ιάχυσης................................. 7 5 Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. 9 5.1 Εισαγωγή.......................................... 9 5.2 Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης.............................. 9 5.2.1 Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση........................... 1 5.2.1.i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής.......... 12 5.2.1.ii Ενέργεια.................................. 17 5.2.2 Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση......................... 19 5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης............................... 3 5.3.1 Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης........................... 3 5.3.1.i Ενέργεια................................... 37 5.3.2 Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης......................... 37 5.3.2.i Η αρχή του Duhamel............................ 38 6 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών. 47 6.1 Εισαγωγή.......................................... 47 6.2 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών.......................... 49 6.2.1 Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας.......................... 49 6.2.1.i Dirichlet ΣΣ................................ 49 6.2.1.ii Neuma ΣΣ............................... 58 6.2.1.iii Περιοδικές ΣΣ.............................. 64 6.2.1.iv Η Αρχή του Μεγίστου............................ 7 6.2.2 Κυµατική Εξίσωση.................................. 7 6.2.2.i Dirichlet ΣΣ................................ 7 6.2.2.ii Neuma ΣΣ................................ 74 ii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii 6.2.2.iii Περιοδικές ΣΣ............................... 76 6.3 Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών............................... 76 6.3.1 Εξίσωση aplace................................... 76 6.3.1.i Το Πρόβληµα Dirichlet........................... 77 6.4 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά...... 89 7 Σειρές Fourier 91 7.1 Σειρές Fourier........................................ 92 7.1.1 Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier.............. 92 7.2 Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης....................... 94 7.2.1 Περιοδικές Συναρτήσεις............................... 94 7.2.2 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις.......................... 95 7.2.3 Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα..................... 96 7.2.3.i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης................ 96 7.2.3.ii Η Σειρά Fourier Μίας Άρτιας Συνάρτησης................. 97 7.3 Θεωρήµατα Σύγκλισης................................... 12 7.3.1 Είδη Σύγκλισης Σειρών............................... 12 7.3.2 Το Θεώρηµα Σύγκλισης............................... 14 7.3.3 Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier................... 17 7.3.3.i Παράγωγος Σειράς Fourier......................... 17 7.3.3.ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier........................ 11 7.4 Σειρές Fourier σε ιαστήµατα................................ 111 7.4.1 Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων........................ 111 7.4.2 Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων................... 113 7.4.2.i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης................ 113 7.4.2.ii Η Σειρά Fourier της Άρτιας Περιοδικής Επέκτασης............ 113 7.4.2.iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης........... 113 7.4.2.iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier............... 113 7.4.2.v Το Θεώρηµα Σύγκλισης........................... 114 7.4.2.vi Σχεδίαση Σειρών Fourier.......................... 115 7.4.3 Η Συνέχεια της Σειράς Fourier............................ 119 7.4.4 Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα..................... 12 7.4.5 Ολοκλήρωση Σειράς Fourier............................. 122 7.4.6 Το ϕαινόµενο Gibbs................................. 122 7.5 Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier............. 122 7.5.1 Ορθογωνιότητα και ΣΣ............................... 124 7.5.2 Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier....................... 13 8 Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. 131 8.1 Εισαγωγή.......................................... 131 8.2 Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 132 8.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ.......................... 134 8.4 Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις........................ 137 8.4.1 Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις............... 143 9 Θεωρία Sturm-iouville. 153 9.1 Εισαγωγή.......................................... 153 9.2 Μη-Οµογενείς ΣΣ...................................... 153 9.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε.................................... 153 9.4 Τι να δω Γενικά....................................... 153 1 Παράρτηµα 154 1.1Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.......................... 154 Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 8.1 Εισαγωγή......................................... 131 8.2 Μη-Οµογενείς ΣΣ..................................... 132 8.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ......................... 134 8.4 Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις....................... 137 8.4.1 Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις.............. 143 8.1 Εισαγωγή. Σκοπός µας σε αυτή την ενότητα είναι να αναπτύξουµε τεχνικές οι οποίες ϑα µας επιτρέψουν να λύσουµε πιο γενικά προβλήµατα από αυτά τα οποία µπορούν να αντιµετωπιστούν µε τη µέθοδο χωριζοµένων µεταβλητών. Θέλουµε να λύσουµε προβλήµατα στα οποία µπορεί είτε οι συνοριακές συνθήκες να είναι µη οµογενείς ή η διαφορική εξίσωση να είναι µη οµογενής, ή τόσο η διαφορική εξίσωση όσο και οι συνοριακές συνθήκες να είναι µη οµογενείς. Για την επίλυση αυτών των προβληµάτων ϑα στηριχτούµε στα πανίσχυρα ϑεωρήµατα των σειρών Fourier του κεφαλαίου (7) τα οποία εξασφαλίζουν ότι σχεδόν όλες οι συναρτήσεις που συµπεριφέρονται καλά µπορούν να αναπτυχθούν σε σειρά Fourier. Ετσι, για ποιο λόγο να µη µπορούµε να υποθέσουµε από την αρχή ότι η λύση µίας Μ Ε µπορεί να δωθεί ως σειρά Fourier και στη συνέχεια να την αντικαταστήσουµε στη διαφορική εξίσωση και να προσπαθήσουµε να προσδιορίσουµε τους συντελεστές της, οι οποίοι ϑα καθορίζουν µονοσήµαντα τη λύση ; Η µέθοδος, τη λογική της οποίας, µόλις περιγράψαµε ονοµάζεται Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. Ξεκινάµε τη µελέτη µόνο µε προβλήµατα οµογενών Μ Ε µε µη οµογενείς ΣΣ και ϑα δείξουµε εκτός των άλλων, ότι για τις οικογένειες ΣΣ µε τις οποίες ασχολούµαστε µπορούµε πάντα µέσω ενός µετασχηµατισµού της άγνωστης συνάρτησης να µετασχηµατίσουµε το πρόβληµα µε τις µη οµογενείς ΣΣ σε ένα ισοδύναµο µε οµογενείς ΣΣ. Κατόπιν προχωρούµε στη µελέτη µη οµογενών Μ Ε µε µη οµογενείς ΣΣ και στηριζόµενοι στο αποτέλεσµα αυτό, δείχνουµε ότι µπορούµε να µετασχηµατίσου- µε πάντα αυτό το πρόβληµα σε ένα ισοδύναµο µε µη οµογενή Μ Ε αλλά µε οµογενείς ΣΣ. Αυτό είναι και το καλύτερο που µπορούµε να επιτύχουµε, οπότε παρουσιάζουµε τη Μέθοδο Αναπτύγ- µατος σε Ιδιοσυναρτήσεις για προβλήµατα µη οµογενών Μ Ε µε οµογενείς ΣΣ, ϑεωρώντας ότι αυτή είναι η γενικότερη δυνατή περίπτωση (δηλαδή ότι αν είχαν υπάρξει οι µη οµογενείς ΣΣ εµείς είχαµε µετασχηµατίσει το πρόβληµα στο ισοδύναµο του µε οµογενείς ΣΣ). 131

132 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. 8.2 Μη-Οµογενείς ΣΣ. Ας δούµε τώρα, τα πιθανά προβλήµατα που µπορεί να αντιµετωπήσουµε αν, πιστεύοντας τα ϑεωρήµατα για τη σύγκλιση των σειρών Fourier, προσπαθήσουµε να λύσουµε προβλήµατα οµογενών Μ Ε µε µηοµογενείς ΣΣ. Παράδειγµα 8.1 (Η Εξίσωση ιάχυσης µε Μη-Οµογενείς ΣΣ): Θεωρούµε το εξής πρόβληµα, t k 2 u =, x2 < x <, t > (8.2.1) u(, t) = h(t), t (ΣΣ 1) (8.2.2) u(, t) = j(t), t (ΣΣ 2) (8.2.3) u(x, ) =, x (ΑΣ) (8.2.4) Λόγω των µη-οµογενών ΣΣ η ΜΧΜ δεν µπορεί να εφαρµοστεί. Μπορούµε όµως πιστεύοντας τα σχετικά ϑεωρήµατα σύγκλισης να υποθέσουµε ότι η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος ϑα έχει τη µορφή u(x, t) = B (t) si (8.2.5) διότι πολύ απλά µπορούµε να το κάνουµε (ίσως εδώ παρασυρόµαστε και από το αντίστοιχο οµογενές πρόβληµα στο οποίο το σωστό ανάπτυγµα είναι σε ηµιτονική σειρά). Προφανώς B = 2 u(x, t) si dx (8.2.6) Βέβαια, τώρα µπορεί κάποιος να προβάλλει αντιρρήσεις λέγοντας ότι κάθε όρος του αναπτύγµατος (8.2.5) µηδενίζεται στο σύνορο (για x = ή x = δηλαδή) και εποµένως παραβιάζει τις συνοριακές συνθήκες. Οµως η απάντηση µας είναι ότι µπορούµε να απαιτήσουµε η σειρά να συγκλίνει µόνο στα εσωτερικά σηµεία και όχι στο σύνορο, πράγµα που µπορεί να εξασφαλιστεί είτε από το ϑεώρηµα (7.4.2) που εξασφαλίζει τη σηµειακή σύγκλιση σε ανοικτά διαστήµατα, είτε από την 2 σύγκλιση που έχει λιγότερες απαιτήσεις µέσω του ϑεωρήµατος (7.5.5). Το επόµενο ϐήµα είναι η παραγώγιση όρο προς όρο προκειµένου να ικανοποιηθεί η απαίτηση ότι η u(x, t) αποτελεί λύση της (8.2.1). Ετσι προκύπτει ότι t k 2 u x 2 = = [ db (t) + kb (t)( π ] )2 si (8.2.7) Η απαίτηση να ισχύει για κάθε x η παραπάνω σχέση συνεπάγεται, ϑέτοντας λ = ( π )2 ότι λύση αυτών των Σ Ε για κάθε είναι η db (t) + kλ B (t) =, (8.2.8) B (t) = A e kλ t (8.2.9) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.2. Μη-Οµογενείς ΣΣ. 133 όπου καµία από αυτές δεν µπορεί να ικανοποιεί τις ΣΣ (8.2.2) και (8.2.3). Τι είναι αυτό που πήγε στραβά ; ιότι κανονικά η µέθοδος ϑα έπρεπε να λειτουργεί εξαιτίας της γενικότητας των ϑεωρηµάτων σύγκλισης των σειρών Fourier. Το ϐασικό πρόβληµα είναι η παραγώγιση όρο προς όρο. Εµείς προσπαθήσαµε να εκφράσουµε τη λύση του προβλήµατος ως ηµιτονική σειρά Fourier και µετά απλώς παραγωγίσαµε όρο προς όρο ενώ, σύµφωνα µε τη διατύπωση του συµπεράσµατος (7.4.11) και του τύπου (7.4.15) γίνεται ϕανερό ότι δεν ϑα έπρεπε να το κάνουµε αυτό. Βλέπουµε ότι για το πρόβληµα µας η αποτυχία της όρο προς όρο παραγώγισης οφείλεται στις µη οµογενείς ΣΣ. Το παραπάνω πρόβληµα µπορεί να ξεπεραστεί εύκολα, αν κάνουµε την υπόθεση ότι η συνάρτηση u είναι συνεχής και πως η x είναι κατά τµήµατα λεία. Τότε, η λύση είναι απλώς να εφαρµόσουµε τον σωστό τύπο (7.4.15) ο οποίος σέβεται τις µη οµογενείς ΣΣ. Ας δούµε πως δουλεύει αυτός ο τρόπος. Παράδειγµα 8.2 (Σωστή Λύση Παραδείγµατος (8.1) ): Αναπτύσουµε την άγνωστη συνάρτηση σε ηµιτονική σειρά, u(x, t) = B (t) si (8.2.1) γνωρίζοντας πάντα ότι απαίτησή µας είναι η u να ικανοποιεί την Μ Ε και τις ΣΣ. Αναπτύσουµε τις παραγώγους της u σε σειρά Fourier και αυτές. Ετσι, όπου, v (t) = 2 t = v (t) si t si dx = d 2 u(x, t) si dx = db (t) (8.2.11) (8.2.12) όπου η εναλλαγή µεταξύ παραγώγισης και ολοκληρώµατος ισχύει όταν η προς ολοκλήρωση ποσότητα είναι απλά συνεχής, οπότε δεν έχουµε πρόβληµα. Ουσιαστικά δείξαµε ότι για τη χρονική παράγωγο δεν έχουµε πρόβληµα να παραγωγίσουµε όρο προς όρο τη σειρά Fourier. Μένει τώρα ο όρος 2 u x 2 όπου για να ϕτάσουµε σε αυτόν πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε τον όρο x. Εφόσον έχουµε ηµιτονική σειρά ο σωστός τύπος είναι ο x = 1 [u(, t) u(, t)] + [ π B (t) + 2 ] [( 1) u(, t) u(, t)] cos = 1 [j(t) h(t)] + [ π B (t) + 2 [( 1) j(t) h(t)] ] cos (8.2.13) Θεωρούµε τώρα ότι η x µπορεί να παραγωγιστεί πάλι και έτσι 2 u x 2 = [ ( π )2 B (t) + 2π ] 2 [( 1) j(t) h(t)] si (8.2.14) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

134 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Ας ϑυµηθούµε ότι για το οµογενές πρόβληµα ιδιοτιµών, λ = ( ) π 2. Τότε, t k 2 u x 2 = [ db (t) + kλ B (t) + 2kπ 2 ] [( 1) j(t) h(t)] si = (8.2.15) και εφόσον ϑέλουµε αυτή η σχέση να ισχύει για κάθε ϑα πρέπει να µηδενίζεται ο συντελεστής του si ( π ) και έτσι προκύπτουν οι µη οµογενείς Σ Ε για τους συντελεστές B (k) db (t) + kλ B (t) = 2kπ 2 [( 1) j(t) h(t)] (8.2.16) για κάθε µία από τις οποίες (δηλ., για κάθε ) η λύση δίνεται από τον τύπο µε αρχική συνθήκη B () =. B (t) = Ce λ kt 2kπ 2 t e λ k(t s) [( 1) j(s) h(s)] ds (8.2.17) Μπορεί, τώρα, µε την παραπάνω µέθοδο να δώσαµε µία λύση όµως υπάρχουν δύο Ϲητήµατα τα οποία πρέπει να εξετάσουµε. Πρώτον, απαιτήσαµε από τη λύση µας να έχει όλες τις καλές ιδιότητες έτσι ώστε να µπορούµε να εφαρµόσουµε το συµπέράσµα (7.4.11) και τον τύπο (7.4.15) και δεύτερον, ϑέλουµε µεθόδους γενικές κατά την εφαρµογή των οποίων δεν ϑα χρειάζεται να ανατρέχουµε σε ειδικούς τύπους όπως ο τύπος (7.4.15)και τις οποίες ϑα µπορούµε εύκολα να εφαρµόσουµε και σε µη οµογενείς Μ Ε. Τέτοιες εναλλακτικές υπάρχουν και η µία ϐασίζεται στην λεγόµενη οµογενοποίηση των συνοριακών συνθηκών και η άλλη στη δεύτερη ταυτότητα του Gree. Για αυτό το λόγο ϑα ξεχάσουµε κατά κάποιο τρόπο τη λύση που µόλις παρουσιάσαµε και ϑα αναπτύξουµε τις άλλες δύο µεθόδους. Ξεκινάµε µε την οµογενοποίηση των ΣΣ. 8.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ. Για αρχή ϑα µελετήσουµε την περίπτωση µίας Μ Ε η οποία είναι οµογενής αλλά µε µη-οµογενείς ΣΣ απλής µορφής. Εστω λοιπόν ότι ϑέλουµε να λύσουµε την t c2 2 u =, x2 < x <, t > (8.3.1) u(, t) = T 1, t (ΣΣ 1) (8.3.2) u(, t) = T 2, t (ΣΣ 2) (8.3.3) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (8.3.4) όπου οι µη οµογενείς όροι των Dirichlet συνθηκών στα δύο σύνορα είναι απλώς δύο σταθερές, η T 1 και η T 2. Τώρα, ελπίζουµε πως έχει ήδη γίνει κατανοητό ότι εφόσον οι ΣΣ είναι µη-οµογενείς δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε τη ΜΧΜ. Για ΣΣ αυτού του είδους αλλά και γενικότερα, για Γραµµικά Προβλήµατα η συγκεκριµένη δυσκολία ξεπερνιέται διότι µπορώ να µετασχηµατίσω το πρόβληµα σε ένα ισοδύναµο µε οµογενείς ΣΣ και µάλιστα σχετικά εύκολα. Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.3. Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ. 135 Η Ουσία της Μεθόδου : Η ουσία είναι να µπορέσω να ϐρω µία συνάρτηση αναφοράς u r τέτοια ώστε να ικανοποιεί απλώς τις µη-οµογενείς ΣΣ (χωρίς να είναι λύση του προβλήµατος!) και µετά να την αφαιρέσω από την άγνωστη συνάρτηση u εκµεταλλευόµενος τη γραµµικότητα του προβλήµατος Εδώ που οι ΣΣ δεν εξαρτώνται από το χρόνο η όλη διαδικασία εύρεσης της συνάρτησης αναφοράς, την οποία ονοµάζω ϑερµοκρασία αναφοράς, εφόσον λύνω πρόβληµα διάδοσης ϑερµότητας, απλουστεύεται αν ϑεωρήσω την λύση ισορροπίας του προβλήµατος, δηλαδή αν λύσουµε πρώτα το πρόβληµα στάσιµης κατάστασης (steady state), 2 u r x 2 = (8.3.5) µε τις συνοριακές συνθήκες του αρχικού προβλήµατος. Παρατηρούµε ότι εφόσον αναφερόµαστε στη στάσιµη κατάσταση η λύση δεν πρέπει να εξαρτάται από τον χρόνο (δηλ., κανονικά ϑα έπρεπε να είχαµε Σ Ε αντί για Μ Ε για την εξίσωση στάσιµης κατάστασης) και έτσι εύκολα συµπεραίνουµε πως η στάσιµη λύση είναι η u r = ax + b µε a, b σταθερές. Εφαρµόζοντας τις δύο ΣΣ σε αυτή τη λύση προσδιορίζουµε τις τιµές των a, b και εύκολα προκύπτει ότι Προφανώς, η u r ικανοποιεί τις u r = T T 2 1 x + T 1 (8.3.6) Άρα, αν ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση r t =, και c2 2 u r x 2 = w(x, t) = u(x, t) u r όπου u(x, t) η αρχική άγνωστη συνάρτηση, τότε είναι προφανές ότι η w ικανοποιεί την 8.3.1 αλλά πλέον µε ΣΣ και ΑΣ Τελικά, δηλαδή, λύνω την w(, t) = w(, t) = } t > w(x, ) = f(x) u r (x) w(x, t) t c 2 2 w(x, t) x 2 = (8.3.7) µε οµογενείς ΣΣ! και κατάλληλα προσαρµοσµένη ΑΣ. Η λύση αυτού του προβλήµατος είναι γνωστή και είναι η w(x, t) = b e λ2 t si, λ = πc (8.3.8) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

136 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. µε b = Αυτό σηµαίνει ότι u(x, t) = w(x, t) + u r (x, t), δηλαδή, u(x, t) = [f(x) u r (x)] si dx (8.3.9) b e λ2 t si + T T 2 1 x + T 1 (8.3.1) Γενίκευση. Αµέσως τώρα, ϑα γενικεύσουµε για την περίπτωση όπου έχουµε µη οµογενείς ΣΣ οι οποίες είναι και χρονικά εξαρτόµενες αλλά και µη οµογενή Μ Ε. Εστω λοιπόν η t c2 2 u = Q(x, t), x2 < x <, t > (8.3.11) u(, t) = A(t), t (ΣΣ 1) (8.3.12) u(, t) = B(t), t (ΣΣ 2) (8.3.13) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (8.3.14) Αυτό το οποίο ισχυριζόµαστε, τώρα, είναι ότι το παραπάνω πρόβληµα δεν µπορούµε γενικά να το ϕέρουµε σε µορφή οµογενούς Μ Ε µαζί µε οµογενείς ΣΣ µε τη µέθοδο που αναπτύξαµε κατά την επίλυση του προηγούµενου προβλήµατος. Το καλύτερο που µπορούµε να κάνουµε µε αυτή τη µέθοδο είναι να οµογενοποιήσουµε τις ΣΣ. Ακόµη όµως και αυτό διευκολύνει πάρα πολύ τη διαδικασία επίλυσης όπως ϑα δούµε άµεσα. Παρατήρηση 8.3.1 (Μία Εξαίρεση): Μία εξαίρεση του παραπάνω ισχυρισµού µπορούµε να έχουµε όταν τόσο ο µη οµογενής όρος όσο και οι συνοριακές τιµές είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Σε αυτή την περίπτωση µπορούµε µέσω της εύρεσης της λύσης της στάσιµης κατάστασης να οµογενοποιήσουµε ταυτόχρονα την Μ Ε και τις ΣΣ. Για παράδειγµα µία κλασσική κατηγορία εξισώσεων στάσιµων καταστάσεων είναι η 2 u s x 2 = f(x), u s() = h, u s () = k Τότε η w = u u s λύνει το οµογενές πρόβληµα µε µηδενικές συνοριακές συνθήκες (Για το συµβολισµό εδώ κάποιος µπορεί να αναφερθεί στο προηγούµενο παράδειγµα), Συνεχίζουµε µε τη διαδικασία επίλυσης Ψάχνουµε εποµένως µία κατανοµή ϑερµοκρασίας u r (x, t) (παρατηρείστε ότι µπορεί να εξαρτάται και από τον χρόνο πλέον) την οποία ονοµάζουµε κατανοµή ϑερµοκρασίας αναφοράς από την οποία απλώς Ϲητούµε να ικανοποιεί τις ΣΣ } u r (, t) = A(t) t > u r (, t) = B(t) Τονίζουµε εδώ ότι µπορούµε να ϐρούµε πολλές τέτοιες, αλλά όσο πιο παλή είναι η µορφή της τόσο το καλύτερο για εµάς. Ορµώµενοι από τη µορφή της κατανοµής αναφοράς του στάσιµου προβλήµατος πιο πάνω, γενικεύουµε την εκεί κατανοµή αναφοράς στην u r (x, t) = B(t) A(t) x + A(t) (8.3.15) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 137 και εύκολα επαληθεύουµε ότι όντως ικανοποιεί τις ΣΣ. Από εδώ και πέρα συνεχίζουµε κατά τα γνωστά. Ορίζουµε την w(x, t) = u(x, t) u r (x, t) και παρατηρούµε ότι ισχύει t 2 u x 2 = w t + r t = 2 w x 2 + 2 u r x 2 } t c2 2 u x 2 = w t + r t c2 2 w x 2 c2 2 u r x 2 w t c2 2 w x 2 + r t c2 2 u r x 2 = Q(x, t) w t c2 2 w x 2 = Q(x, t) r t + c2 2 u r x 2 Θέτουµε Q(x, t) = Q(x, t) r t έτσι καταλήγουµε στην + c 2 2 u r x 2 (µη ξεχνάτε ότι η κατανοµή αναφοράς είναι γνωστή!) και w t c2 2 w = Q(x, t) (8.3.16) x2 για τη νέα άγνωστη συνάρτηση w. Είναι τώρα προφανές ότι επειδή η u r δεν είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης που ϑέλουµε να λύσουµε, ισχύει γενικά πως r t c2 2 u r x 2 άρα γενικά Q(x, t) Q(x, t). ηλαδή, η w και η u ικανοποιούν ίδιου τύπου Μ Ε αλλά µε διαφορετικούς µη οµογενείς όρους! Από την όλη διαδικασία έχουµε όµως κερδίσει ότι η w ικανοποιεί πλεόν οµογενείς ΣΣ } w(, t) = t > w(, t) = ενώ παρατηρούµε ότι µετασχηµατίζεται και η αρχική συνθήκη ως εξής w(x, ) = f(x) u r (x, ) = f(x) B() A() x A() g(x) (8.3.17) Στο παραπάνω παράδειγµα αναπτύξαµε τη ϐασική τεχνική µέσω της οποίας µετασχηµατίζουµε µία γραµµική µη οµογενή Μ Ε µε µη οµογενείς ΣΣ σε γραµµική Μ Ε µε διαφορετικό µη οµογενή όρο και διαφορετική ΑΣ αλλά µε οµογενείς ΣΣ. Ετσι, ϑεωρούµε ότι αν έχουν προκύψει µη οµογενείς ΣΣ εµείς έχουµε µε κατάλληλο τρόπο µετασχηµατίσει το όλο πρόβληµα σε ένα µε οµογενείς ΣΣ. Σε αυτή τη νέα µορφή ϑα εφαρµόσουµε τώρα µία τεχνική επίλυσης η οποία στηρίζεται στα πανίσχυρα ϑεωρήµατα των σειρών Fourier και η οποία ονοµάζεται Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. Τονίζουµε, ότι το γεγονός πως χρησιµοποιήσαµε την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας και όχι κάποια άλλη γραµµική Μ Ε δεύτερης τάξης, δεν αλλάζει σε τίποτε τη µεθοδολογία που αναπτύξαµε µέχρι τώρα. 8.4 Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. Η ουσία µε τη µέθοδο αναπτύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις είναι ότι αναπτύσουµε τη λύση της µη οµογενούς Μ Ε σε σειρά Fourier ως προς τις λύσεις του χαρακτηριστικού προβλήµατος ιδιοτιµών της Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

138 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. οµογενούς Μ Ε (επί της ουσίας, για αυτό το λόγο απαιτούµε σε αυτή την έκδοση της µεθόδου να έχουµε τουλάχιστον οµογενείς ΣΣ). Ξεκινούµε λοιπόν µε το πρόβληµα Το αντίστοιχο οµογενές πρόβληµα είναι w t c2 2 w = Q(x, t), x2 < x <, t > (8.4.1) w(, t) =, t (ΣΣ 1) (8.4.2) w(, t) =, t (ΣΣ 2) (8.4.3) w(x, ) = g(x), x (ΑΣ) (8.4.4) w t c2 2 w =, x2 < x <, t > (8.4.5) w(, t) =, t (ΣΣ 1) (8.4.6) w(, t) =, t (ΣΣ 2) (8.4.7) w(x, ) = g(x), x (ΑΣ) (8.4.8) για το οποίο προκύπτει µε τη ΜΧΜ το πρόβληµα ιδιοτιµών X + λx = X() = X() = του οποίου οι ιδιοτιµές και οι ιδιοσυναρτήσεις είναι ως γνωστό, οι αντίστοιχα. Θεωρούµε λοιπόν ότι η λύση έχει τη µορφή, 2 λ =, και X (x) = si w(x, t) = a (t)x (x) (8.4.9) (για να υποδηλώσουµε τη γενικότητα της µεθόδου χρησιµοποιούµε το συµβολισµό X (x) αντί για την αναλυτική έκφραση si ( π ) ) όπου τώρα οι συντελεστές a (t) δεν είναι πλέον ανάλογοι του exp { c 2 ( π )2 t } όπως συµβαίνει µε τη λύση του οµογενούς προβλήµατος. Προφανώς η (8.4.9) ικανοποιεί τις οµογενείς ΣΣ από κατασκευής εφόσον κάθε µία από τις X (x) = si ( π ) τις ικανοποιεί. Ενώ για την αρχική συνθήκη ισχύει ότι g(x) = w(x, ) = a ()X (x) (8.4.1) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 139 µε a () = g(x)x (x)dx = X 2(x)dx 2 g(x)x (x)dx (8.4.11) Προφανώς, το όλο πρόβληµα ανάγεται πλέον στον προσδιορισµό των συντελεστών a (t). Ενας από τους τρόπους προσδιορισµού, είναι η αντικατάσταση της έκφρασης (8.4.9) στην Μ Ε (8.4.5) και η όρο προς όρο παραγώγιση. Εχουµε, ϐεβαίως, δει τους κινδύνους που εγκυµονεί αυτή η µέθοδος και το πόσο προσεκτικοί πρέπει να είµαστε. Οµως το γεγονός ότι οι ΣΣ είναι οµογενείς έρχεται να µας λύσει τα χέρια, διότι ισχύει ο εξής κανόνας : Κανόνας 8.4.1 (Η Ορο προς Ορο Παραγώγιση): Αν η w(x, t) και η w(x,t) x είναι συνεχείς και αν η w(x, t) λύνει πρόβληµα Μ Ε µε τις ίδιες οµογενείς ΣΣ, όπως κάνει και η X (x), τότε µπορούµε να παραγωγίσουµε όρο προς όρο τη σειρά χωρίς πρόβληµα! w(x, t) = a (t)x (x) Παρατηρούµε πόσο πιο χαλαρές είναι οι απαιτήσεις για την w στην περίπτωση µας σε σχέση µε τις απαιτήσεις του τύπου (7.4.15). Για να προχωρήσουµε είναι αναγκαίο να ασχοληθούµε και µε τον µη οµογενή όρο. Θεωρούµε, λοιπόν, ότι και αυτός µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις X (x), δηλ., Q(x, t) = q (t)x (x) q (t) = Q(x, t)x (x)dx (8.4.12) X 2(x)dx Ετσι, µε την παραγώγιση όρο προς όρο διαπιστώνουµε άµεσα ότι ισχύει πως [ ] da (t) + λ c 2 a X (x) = q (t)x (x) (8.4.13) οπότε, οι συντελεστές a (t) πρέπει να ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση da (t) + λ c 2 a = q (t) (8.4.14) µε άλλα λόγια για κάθε η έκφραση da (t) + λ c 2 a είναι ίση µε τον αντιστοιχο συντελεστή Fourier της Q(x, t). Η λύση της (8.4.14) είναι η εκφραση t a (t) = a ()e λ c2t + e λ c2 t Ας δούµε τώρα παραδείγµατα εφαρµογής της µεθόδου q (s)e λ c2s ds (8.4.15) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

14 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Παράδειγµα 8.3: Να λυθεί το πρόβληµα t 2 u x 2 = si(3x)e t, < x < π, t > (8.4.16) u(, t) =, t (ΣΣ 1) (8.4.17) u(π, t) = 1, t (ΣΣ 2) (8.4.18) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (8.4.19) Λύση. Ξεκινάµε οµογενοποιώντας τις ΣΣ. Σύµφωνα µε την παραπάνω συζήτηση η συνάρτηση ανα- ϕοράς είναι η u r (x, t) = x π (8.4.2) άρα, w(x, t) = u(x, t) x π (8.4.21) ενώ το πρόβληµα ιδιοτιµών του οµογενούς προβλήµατος έχει ως ιδιοτιµές τις λ = 2 και ως ιδιοσυναρτήσεις τις διότι εδώ = π. Ετσι, Ϲητάµε λύσεις της µορφής w(x, t) = X (x) = si(x) a (t) si(x) (8.4.22) Εξαιτίας της µορφής της u r (x, t) ο µη οµογενής όρος δεν αλλάζει και έτσι η άµεση αντικατάσταση δίνει [ ] da (t) + 2 a (t) X (x) = si(3x)e t (8.4.23) Τώρα, κανονικά πρέπει να αναπτύξουµε τον µη οµογενή όρο σε σειρά Fourier και να ϐρούµε τους συντελεστές του ώστε να διατυπώσουµε και να λύσουµε τις διαφορικές εξισώσεις των συντελεστών a (t). Οµως κάτι τέτοιο δεν χρειάζεται διότι εξαιτίας του όρου si(3x) ο µη οµογενής όρος είναι ήδη σε µορφή σειράς ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις si(x), απλά από όλη τη σειρά υπάρχει ένας µόνο µη µηδενικός συντελεστής για = 3 ενώ όλοι οι υπόλοιποι είναι µηδέν!. Ετσι, προκύπτουν οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις οι λύσεις των οποίων είναι : da (t) + 2 a (t) = { e t, = 3, 3 (8.4.24) { 1 a (t) = 8 e t + [ a 3 () 1 ] 8 e 9t, = 3 a ()e 2t, 3 (8.4.25) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 141 όπου οι συντελεστές a () προσδιορίζονται, προφανώς, από τις αρχικές συνθήκες και τέλος, a () = 2 π π [ f(x) x ] si(x)dx (8.4.26) π u(x, t) = w(x, t) + x π (8.4.27) Παράδειγµα 8.4: Να λυθεί το πρόβληµα 2 u t 2 2 u = cos(2πx) cos(2πt), x2 < x < 1, t > (8.4.28) (, t) =, x t (ΣΣ 1) (8.4.29) (1, t) =, x t (ΣΣ 2) (8.4.3) u(x, ) = f(x) = cos 2 (πx), x (ΑΣ 1) (8.4.31) (x, ) = g(x) = 2 cos(2πx), t x (ΑΣ 2) (8.4.32) Λύση. Παρατηρείστε ότι το πρόβληµα έχει οµογενείς ΣΣ οπότε προχωράµε κατευθείαν µε το ανάπτυγ- µα σε ιδιοσυναρτήσεις του προβλήµατος ιδιοτιµών. Το πρόβληµα εδώ έχει οµογενείς Neuma ΣΣ, άρα οι ιδιοτιµές είναι οι λ = (π) 2, =, 1, 2,... διότι = 1, ενώ οι ιδιοσυναρτήσεις είναι οι Ετσι, ϑεωρούµε ότι u(x, t) = 1 2 T o(t) + X (x) = cos(πx) T (t) cos(πx) (8.4.33) και µε άµεση αντικατάσταση αυτής της έκφρασης στη διαφορική εξίσωση (8.4.28) και την όρο προς όρο παραγώγιση προκύπτει 1 T 2 o (t) + [ T (t) + 2 π 2 T (t) ] cos(πx) = cos(2πt) cos(2πx) (8.4.34) όπου T σηµαίνει παραγώγιση ως προς τη χρονική µεταβλητή και αντίστοιχα για µεγαλύτερης τάξης παραγώγιση. Οπως και στο παράδειγµα που µόλις προηγήθηκε έτσι και εδώ ο µη οµογενής όρος είναι σε µορφή σειράς Fourier ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις cos(πx) µε µη µηδενικό συντελεστή, τον (cos(2πt)), για = 2 και όλους τους υπόλοιπους συντελεστές να είναι µηδέν. Ετσι, Για = : T (t) = (8.4.35) o Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

142 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Για = 2: Για, 2: Οι αντίστοιχες γενικές λύσεις είναι Για = : T 2 (t) + 4π2 T 2 (t) = cos(2πt) (8.4.36) T (t) + 2 π 2 T (t) =,, 2 (8.4.37) T o (t) = A o + B o t (8.4.38) Για = 2: T 2 (t) = A 2 cos(2πt) + B 2 si(2πt) + t si(2πt) (8.4.39) 4π Για, 2: T (t) = A cos(πt) + B 2 si(πt),, 2 (8.4.4) Άρα, u(x, t) = A o + B o t 2 + t 4π si(2πt) cos(2πx) + [A cos(πt) + B 2 si(πt)] cos(πx) (8.4.41) Για τον προσδιορισµό της ειδικής λύσης πρέπει να εφαρµόσουµε τώρα τις ΑΣ, η εφαρµογή των οποίων δίνει και έτσι τελικά u(x, ) = A o 2 + A cos(πx) = cos 2 (πx) = 1 2 + 1 cos(2πx) (8.4.42) 2 (x, ) t Άρα, η λύση έχει τη µορφή = B o 2 + πb cos(πx) = 2 cos(2πx) (8.4.43) A o = 1, A 2 = 1 2, A =,, 2 (8.4.44) B 2 = 1 π, B =, 2 (8.4.45) u(x, t) = 1 2 + [ 1 2 cos(2πt) + t + 4 4π ] si(2πt) cos(2πx) (8.4.46) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 143 8.4.1 Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Είδαµε ότι η µέθοδος αναπτύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις, όπως την αναπτύξαµε µέχρι στιγµής, απαιτεί οµογενείς ΣΣ και όρο προς όρο παραγώγιση για την επίλυση του προβλήµατος (είδαµε επίσης ότι οι δύο αυτές απαιτήσεις δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους). Το ερώτηµα είναι αν µπορούµε να κρατήσουµε την ουσία της µεθόδου χωρίς να χρειάζεται να καταφύγουµε σε κάποια από τις δύο πρηγούµενες απαιτήσεις. ηλαδή, να µπορεί να αναπτυχθεί η λύση ενός προβλήµατος µε µη-οµογενή Μ Ε και µη-οµογενείς ΣΣ ως προς κατάλληλο σύνολο ιδιοσυναρτήσεων χωρίς άλλη προεργασία. Προκύπτει ότι η απάντηση σε αυτό το ερώτηµα είναι ϑετική αν χρησιµοποιηθεί ο δεύτερος τύπος του Gree. Αυτή τη µέθοδο ϑα παρουσιάσουµε τώρα αν και ϑα έχουµε και την ευκαιρία να επενέλθουµε σε αυτήν κατά τη µελέτη της ϑεωρίας Sturm-iouville. Οπως και πριν, ϑα παρουσιαστεί η µέθοδος µέσα από παραδείγµατα. Για την ακρίβεια, το πρώτο πρόβληµα που ϑα κληθούµε να µελετήσουµε είναι αυτό µε το οποίο ξεκινήσαµε αυτό το κεφάλαιο, δηλ., το πρόβληµα του παραδείγµατος (8.1). Θέλουµε να λυθεί το πρόβληµα t k 2 u =, x2 < x <, t > (8.4.47) u(, t) = h(t), t (ΣΣ 1) (8.4.48) u(, t) = j(t), t (ΣΣ 2) (8.4.49) u(x, ) =, x (ΑΣ) (8.4.5) Η πρώτη απαίτηση, πιστεύοντας τα ϑεωρήµατα σύγκλισης Fourier, είναι να αναπτυχθεί η λύση σε σειρά ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του χαρακτηριστικού προβλήµατος ιδιοτιµών του αντίστοιχου οµογενούς (και ως προς τη Μ Ε και ως προς τις ΣΣ) προβλήµατος. Ετσι, µε την προυπόθεση, ότι η u(x, t) είναι απλώς µία συνεχής συνάρτηση απαιτούµε, µε u(x, t) = u (t) = 2 u (t) si (8.4.51) u(x, t) si dx (8.4.52) ενώ προφανώς λόγω της αρχικής συνθήκης ϑα πρέπει u () =. Κάνουµε τώρα την υπόθεση ότι και οι παράγωγοι της u(x, t) είναι συνεχείς, οπότε µπορούµε και αυτές να τις ανατύξουµε σε σειρά Fourier. Ετσι, µε t = v (t) si v (t) = du (t) (8.4.53) (8.4.54) όπου η ισότητα αυτή, δείχνεται µε τόν ίδιο ακριβώς τρόπο όπως στον τύπο (8.2.12). Επίσης, ϑεωρούµε και το ανάπτυγµα 2 u x 2 = w (t) si (8.4.55) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

144 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. µε συντελεστές w (t) = 2 2 u(x, t) x 2 si dx (8.4.56) όπου προσέξτε ότι η ϐασική διαφορά, µε ότι είχαµε κάνει µέχρι στιγµής, είναι πως δεν απαιτούµε οι συντελεστές του αναπτύγµατος της 2 u x 2 να προκύπτουν από την όρο προς όρο παραγώγιση της σειράς για την u(x, t). Για την εφαρµογή της δεύτερης ταυτότητας του Gree (G 2 ), (7.5.8), γράφουµε, περισσότερο για ευκολία, την τελευταία έκφραση ως εξής, w (t) = 2 [u](x, t)x dx (8.4.57) όπου αφενός [u](x, t) = 2 u(x,t) x 2 και αφετέρου µε το συµβολισµό [u](x, t) εννοούµε ότι η δράση του διαφορικού τελεστή πάνω στη u είναι συνάρτηση των µεταβλητών (x, t). Στη συνέχεια και όπου δεν υπάρχει περίπτωση παρανόησης µπορεί απλώς, για οικονοµία χώρου, να χρησιµοποιήσουµε και το συµβολισµό [u] για να υποδηλώσουµε τη δράση του τελεστή πάνω στη u χωρίς να κάνουµε αναφορά στη συναρτησιακή εξάρτηση. Επίσης ας µη ξεχνάµε ότι X (x) = si ( π ). Θα εφαρµόσουµε τη δεύτερη ταυτότητα για την άγνωστη συνάρτηση u και την ιδιοσυνάρτηση X, όπου τώρα άρα, ( [u]x + [X ]u) dx = [ x X + X ] x u (8.4.58) 2 [X ] = λ X = X (8.4.59) X x [u]x dx = = λ = cos [ [X ]udx + x X + X ] x u = λ 2 u (t) + [ X udx + x X + X ] x u [ x X + X ] x u (8.4.6) (8.4.61) και πλεόν, ϑα ασχοληθούµε µε το δεύτερο όρο του δεξιού µέλους, δηλαδή µε τις τιµές στο σύνορο. Αυτός δίνει [ x X + X ] [ x u = ] x X + u cos (8.4.62) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 145 όπου, αν ανακαλέσουµε ότι si = si(π) = ο πρώτος όρος του παραπάνω αθροίσµατος δίνει µηδέν (διότι X (x) = si ( π ) ) και άρα µένουµε µόνο µε τον όρο [ ] [ ] u cos = u(, t) cos(π) u(, t) (8.4.63) λαµβάνοντας, τώρα, υπόψιν µας τις συνοριακές συνθήκες και το γεγονός ότι cos(π) = ( 1) ο όρος αυτός γίνεται [ ] u(, t) cos(π) u(, t) = [( 1) j(t) h(t)] (8.4.64) Συνοψίζοντας, w (t) = 2 [u](x, t)x dx = λ u (t) 2π 2 [( 1) j(t) h(t)] (8.4.65) Τέλος, λόγω της (8.4.53) και της (8.4.56) η Μ Ε απαιτεί να ισχύει v (t) kw (t) = 2 [ ] t k 2 u x 2 si dx = 2 dx = (8.4.66) (παίρνουµε δηλαδή κατά κάποιο τρόπο τον ηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της Μ Ε) και όπου, µέσω της (8.4.54) και λόγω της (8.4.65), γίνεται du (t) kw (t) = du (t) + kλ u (t) = 2kπ [( 1) j(t) h(t)] (8.4.67) Αυτή ακριβώς είναι και η διαφορική εξίσωση στην οποία καταλήξαµε κατά την επίλυση του ίδιου προβλήµατος στο παράδειγµα (8.2). Εδώ µπορεί να µπερδευτεί κάποιος και να αρχίσει να ανρωτιέται για ποιο λόγο να προσπαθήσουµε να ϐρούµε µία νέα µέθοδο όταν ήδη µπορούµε να πάρουµε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσµα µε την παλιά. Η απάντηση, έχει να κάνει µε το ότι η δεύτερη µέθοδος είναι πολύ πιο γενική, ισχύει µε πολύ πιο χαλαρές απαιτήσεις από ότι η πρώτη και άρα µπορεί να χρησιµοποιηθεί έτσι ώστε να αντιµετωπίσει πολύ περισσότερο προβλήµατα περιορίζοντας το περιθώριο λάθους που πιθανόν ϑα είχαµε µε την όρο προς όρο παραγώγιση για παράδειγµα. Τέλος, στον κόσµο της επιστήµης είναι σύνηθες να µπορεί το ίδιο πρόβληµα να αντιµετωπιστεί µε διαφορετικές µεθόδους. Ετσι, το ποια µέθοδο χρησιµοποιεί κανείς κάθε ϕορά είναι Ϲήτηµα υποβάθρου, ϕύσης και δυσκολίας προβλήµατος αλλά και προσωπικής επιλογής, Συνεχίζουµε µε ένα παράδειγµα ακόµη, το οποίο περιγράφει τη διάδοση κύµατος σε οµογενές µέσο, υπό τη επίδραση εξωτερικού αιτίου f(x, t) και µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet και στα δύο άκρα. Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

146 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Παράδειγµα 8.5: Να λυθεί το παρακάτω πρόβληµα 2 u t 2 c2 2 u = f(x, t), x2 < x <, t > (8.4.68) u(, t) = h(t), t (ΣΣ 1) (8.4.69) u(, t) = k(t), t (ΣΣ 2) (8.4.7) u(x, ) = φ(x), x (ΑΣ 1) (8.4.71) (x, ) = ψ(x), t x (ΑΣ 2) (8.4.72) Λύση. Σύµφωνα µε τη µέθοδο, αναπτύσουµε τα πάντα στη σειρά Fourier που προκύπτει από το χαρακτηριστικό πρόβληµα ιδιοτιµών του οµογενούς προβλήµατος. Επειδή το οµογενές πρόβληµα έχει ΣΣ Dirichlet το ανάπτυγµα για την u(x, t) ϑα είναι ενώ για τις 2 u t 2 και 2 u x 2 u(x, t) = ϑεωρούµε ότι ϑα είναι αντίστοιχα u (t) si 2 u t 2 = v (t) si 2 u x 2 = w (t) si (8.4.73) (8.4.74) (8.4.75) Ο µη οµογενής όρος ϑα έχει ανάπτυγµα f(x, t) = f (t) si (8.4.76) και τέλος οι αρχικές συνθήκες ϑα έχουν αναπτύγµατα φ(x) = ψ(x) = φ si ψ si (8.4.77) (8.4.78) (8.4.79) Είναι, πάλι, εύκολο να δειχθεί ότι v (t) = 2 2 u t 2 si dx = d2 u (t) 2 (8.4.8) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 147 µε τρόπο εντελώς αντίστοιχο µε αυτόν της σχέσης (8.2.12) ενώ, ακριβώς όπως πριν w (t) = λ u (t) 2π 2 [( 1) k(t) h(t)] (8.4.81) Τώρα ϑα πάρουµε τον ηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της Μ Ε (δηλ., του αριστερού και του δεξιού µέλους) ο οποίος δίνει 2 ( 2 ) u t 2 c2 2 u x 2 si dx = v (t) c 2 w (t) = 2 v (t) c 2 w (t) = f (t) d2 u (t) 2 d2 u (t) 2 µε αρχικές συνθήκες c 2 w (t) = f (t) f(x) si dx = f (t) + c 2 λ u (t) = 2πc2 2 [( 1) k(t) h(t)] + f (t) (8.4.82) u () = φ (8.4.83) du () = ψ (8.4.84) Η τελευταία αυτή διαφορική εξίσωση είναι συνήθης, γραµµική, µη-οµογενής, δεύτερης τάξης µε σταθερούς συντελεστές και είναι της µορφής µε την αντιστοιχία ω 2 c 2 λ = c 2 ( π s o ψ. Η λύση της είναι η d 2 x(t) 2 + ω 2 x(t) = G(t) (8.4.85) x() = x o (8.4.86) dx() = s o (8.4.87) x(t) = x o cos(ωt) + s t o ω si(ωt) + ) 2, G(t) 2πc 2 [( 1) k(t) h(t)] + f 2 (t), x o φ και si (ω[t t ]) G(t ) (8.4.88) ω Για λόγους ευκολίας ϑα χρησιµοποιήσουµε την πιο πάνω αντιστοιχία για να εισάγουµε το συµβολισµό ω = c λ = πc και έτσι, για κάθε ϑα έχουµε ότι u (t) = φ cos (ω t) + ψ t si (ω ω t) 2πc2 2 + t si (ω [t t ]) ω [( 1) k(t) h(t)] + si (ω [t t ]) ω f (t ) (8.4.89) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

148 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Τώρα ϑα µελετήσουµε τη διάδοση κύµατος όταν έχουµε και τριβή. Η παρουσία τριβής εκφράζεται συνήθως µε έναν όρο ο οποίος είναι ανάλογος της εγκάρσιας ταχύτητας. Εχει δηλαδή τη µορφή r (x,t) t, r >, αν µε u συµβολίσουµε τη µετατόπιση. Αναφερόµαστε στη διάδοση σε οµογενές µέσο, χωρίς εξωτερικό αίτιο και µε περιοδική πηγή της µορφής Ae iωt στο ένα άκρο. Παράδειγµα 8.6: Να λυθεί το παρακάτω πρόβληµα 2 u t 2 c2 2 u + r =, x2 t < x <, t > (8.4.9) u(, t) =, t (ΣΣ 1) (8.4.91) u(, t) = Ae iωt, t (ΣΣ 2) (8.4.92) u(x, ) = φ(x), x (ΑΣ 1) (8.4.93) (x, ) = ψ(x), t x (ΑΣ 2) (8.4.94) Λύση. Σύµφωνα µε τη µέθοδο, αναπτύσουµε τα πάντα στη σειρά Fourier που προκύπτει από το χαρακτηριστικό πρόβληµα ιδιοτιµών του οµογενούς προβλήµατος. Εδώ είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι παρόλη την ύπαρξη της πρώτης παραγώγου ως προς το χρόνο, t, στη διαφορική εξίσωση η εφαρµογή της ΜΧΜ ϑα δώσει το κλασσικό πρόβληµα ιδιοτιµών για το χωρικό µέρος. Για την ακρίβεια, η εφαρµογή της ΜΧΜ ϑα δώσει τις παρακάτω δύο εξισώσεις αν υποθέσουµε ότι u(x, t) = X(x)T (t) d 2 T (t) 2 d 2 X(x) dx 2 + λx(x) = (8.4.95) dt (t) + r + λc 2 T (t) = (8.4.96) Εφόσον, το οµογενές πρόβληµα έχει ΣΣ Dirichlet το ανάπτυγµα για την u(x, t) ϑα είναι u(x, t) = u (t) si (8.4.97) ενώ για τις 2 u t 2, t, και 2 u x 2 ϑεωρούµε ότι ϑα είναι αντίστοιχα 2 u t 2 = v (t) si t = y (t) si 2 u x 2 = w (t) si (8.4.98) (8.4.99) (8.4.1) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 149 και τέλος οι αρχικές συνθήκες ϑα έχουν αναπτύγµατα φ(x) = φ si Είναι, πάλι, εύκολο να δειχθεί ότι y (t) = 2 v (t) = 2 ψ(x) = ψ si t si dx = du (t) (8.4.11) (8.4.12) (8.4.13) (8.4.14) 2 u t 2 si dx = d2 u (t) 2 (8.4.15) µε τρόπο εντελώς αντίστοιχο µε αυτόν της σχέσης (8.2.12). Επειδή, ο διαφορικός τελεστής του προ- ϐλήµατος ιδιοτιµών παραµένει ο ίδιος σε σχέση µε το προηγούµενο παράδειγµα (παράδειγµα (8.5) ), µπορούµε να εφαρµόσουµε ακριβώς τον τύπο (8.4.81) για τους συντελεστές w µε h(t) = και k(t) = Ae iωt w (t) = λ u (t) 2π 2 ( 1) Ae iωt (8.4.16) Τώρα ϑα πάρουµε πάλι το µετασχηµατισµό Fourier της Μ Ε (δηλ., του αριστερού και του δεξιού µέλους) ο οποίος δίνει 2 ( 2 ) u t 2 c2 2 u + r si x2 t dx = v (t) c 2 w (t) + ry = 2 dx = v (t) c 2 w (t) + ry = d2 u (t) 2 t + r du c2 w (t) = d2 u (t) 2 + r du + c2 λ u (t) = 2πc2 2 ( 1) Ae iωt (8.4.17) µε αρχικές συνθήκες u () = φ (8.4.18) du () = ψ (8.4.19) Η τελευταία αυτή διαφορική εξίσωση είναι συνήθης, γραµµική, µη-οµογενής δεύτερης τάξης µε στα- ϑερούς συντελεστές και είναι της µορφής d 2 x(t) 2 + 2γ dx(t) + ρ 2 x(t) = G(t) o (8.4.11) x() = x o (8.4.111) dx() = s o (8.4.112) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

15 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. µε την αντιστοιχία ρ 2 o c2 λ = c 2 ( ) π 2, G(t) 2πc 2 ( 1) Ae iωt 2, r 2γ, x o φ και s o ψ. Η λύση της είναι της µορφής x(t) = x o e γt cos(ρt) + γx + s o e γt si(ρt) + 1 ρ ρ t e γ(t t ) si ( ρ[t t ] ) G(t ) (8.4.113) όπου ρ = ρ 2 o γ2. Για λόγους ευκολίας ϑα χρησιµοποιήσουµε την πιο πάνω αντιστοιχία για να εισάγουµε το συµ- ϐολισµό ρ = c 2 λ γ 2 ενώ µας διευκολύνει επίσης να διατηρήσουµε το συµβολισµό r = 2γ και έτσι, για κάθε ϑα έχουµε ότι u (t) = x o e γt cos(ρ t) + γx + s o e γt si(ρ ρ t) ( 1) 2πc 2 A ρ 2 t e γ(t t ) si ( ρ [t t ] ) e iωt (8.4.114) Παρατηρούµε στην πιο πάνω έκφραση ότι η λύση αποτελείται από δύο µέρη, το µεταβατικό µέρος και το µέρος σταθερής κατάστασης u T (t) = x o e γt cos(ρ t) + γx + s o e γt si(ρ ρ t) u S (t) = ( 1) 2πc 2 A ρ 2 t e γ(t t ) si ( ρ [t t ] ) e iωt (8.4.115) Το χαρακτηριστικό της µεταβατικής λύσης είναι ότι αυτή µηδενίζεται ασυµπτωτικά µε την πάροδο του χρόνου εξαιτίας της ύπαρξης του όρου e γt. Άρα, για t, u (t) u S (t). Οµως ακόµη και η έκφραση για την στάσιµη κατάσταση µπορεί να πάρει ευκολότερη µορφή αν υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα. Τονίζουµε εδώ, ότι τέτοιου είδους ολοκληρώµατα είναι συνήθως πολύ δύσκολο να υπολογιστούν, αλλά η έκφραση e iωt κάνει τον υπολογισµό σχετικά εύκολο. Ετσι, αν ονοµάσουµε I (t) µόνο το ολοκλήρωµα χωρίς τους πολλαπλασιαστικούς παράγοντες, ισχύει I (t) = t = e γt e γ(t t ) si ( ρ [t t ] ) e iωt = t e γt si ( ρ [t t ] ) t e iωt = e γt = e γt ρ e (γ+iω)t (γ + iω) si(ρ t) ρ cos(ρ t) (γ + iω) 2 + ρ 2 = ρ e iωt e γt (γ + iω) si(ρ t) e γt ρ cos(ρ t) (γ + iω) 2 + ρ 2 e (γ+iω)t si ( ρ [t t ] ) = = (8.4.116) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 151 τώρα, και στην έκφραση την οποία καταλήξαµε παρατηρούµε ότι υπάρχουν οι όροι e γt (γ+iω) si(ρ t) e γt ρ cos(ρ t) οι οποίοι τείνουν στο µηδέν για t, άρα τελικά ϑα επιβιώσει µόνο ο όρος ρ e iωt (γ + iω) 2 + ρ 2 (8.4.117) Ετσι, συµµαζεύοντας όλα τα παραπάνω αποτελέσµατα, έχουµε lim u (t) = ( 1) 2πc 2 A ρ e iωt t ρ 2 (γ + iω) 2 + ρ 2 = ( 1) 2πc 2 Ae iωt [ ] 2 (γ + iω) 2 + ρ 2 (8.4.118) Για τον παρανοµαστή ισχύει ότι (γ + iω) 2 + ρ 2 = γ2 + ρ 2 ω2 + 2iγω = = γ 2 + c 2 λ γ 2 ω 2 + 2iγω = = c 2 λ ω 2 + 2iγω = c 2 λ (ω 2 irω) (8.4.119) όπου ϑυµηθείτε, ρ = c 2 λ γ 2 και r = 2γ. Ετσι καταλήγουµε στην εξής έκφραση lim u (t) = Ae iωt ( 1) 2πc 2 t 2 [c 2 λ (ω 2 irω)] = 2( 1) c 2 λ Aeiωt π [c 2 λ (ω 2 irω)] (8.4.12) Για λόγους που ϑα µας ϕανούν χρήσιµοι πιο µετά ϑέτουµε β 2 c 2 = ω 2 irω, και έτσι lim u (t) = Ae iωt 2( 1) c 2 λ t π [c 2 λ c 2 β 2 ] = 2( 1) λ Aeiωt π [λ β 2 ] (8.4.121) Επίσης, ας ϑυµηθούµε ότι λ = ( π )2, που αν αντικατασταθεί στον παραπάνω τύπο δίνει lim u (t) = Ae iωt 2( 1) 2 π [ 2 ] iωt 2( 1)π = Ae t 2 π 2 π 2 β 2 2 π 2 β 2 2 (8.4.122) 2 Εδώ, δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι αυτό που έχουµε υπολογίσει είναι οι συντελεστές της σειράς Fourier. Το ενδιαφέρον όµως είναι να ϐρούµε ποια είναι η ασυµπτωτική µορφή της λύσης του προβλήµατος, δηλαδή η u S (x, y) όπως ϑα την ονοµάσουµε. Επί της ουσίας ϱωτάµε να ϐρούµε τη συνάρτηση αν γνωρίζουµε τους συντελεστές Fourier αυτής χωρίς να ϑέλουµε να υπολογίσουµε την άπειρη σειρά. εν ϑα προχωρήσουµε σε άλλες λεπτοµέρειες και ϑα πρέπει απλώς να επαληθεύσετε ότι η έκφραση στην οποία καταλήξαµε είναι όντως οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης iωt si(βx) Ae si(β) (8.4.123) Για να γίνει αυτό χρειάζεται απλώς να υπολογίσει κάποιος το ολοκλήρωµα 2 si(βx) si dx Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

152 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. και να δείξει ότι 2 si(βx) si 2π si(β) cos(π) dx = π 2 2 β 2 2 (8.4.124) Παρατηρείστε ότι ο όρος Ae iωt, δεν εξαρτάται από το, οπότε δεν συµµετέχει στη σειρά και εποµένως µπορεί να ϐγει έξω από αυτήν. Στην όλη συζήτηση δεν ήµασταν καθόλου αυστηροί σε Ϲητήµατα που αφορούσαν τη σύγκλιση της σειράς Fourier και το ασυµπτωτικό όριο των συντελεστών. Η ύπαρξη του e iωt µπορεί να ϕαίνεται ότι δηµιουργεί προβλήµατα εξαιτίας του γεγονότος ότι έχουµε να κάνουµε µε µιγαδικούς αριθµούς. Οµως, επί της ουσίας είναι ένας κοµψός τρόπος για να δείξουµε ότι στο ένα άκρο έχουµε µία περιοδική πηγή. Αν ϑεωρούσαµε ότι έχουµε µόνο si(ωt) ή µόνο cos(ωt), τότε αυτό που ϑα παίρναµε στο τέλος ϑα ήταν απλώς το ϕανταστικό και το πραγµατικό µέρος αντίστοιχα, του αποτελέσµατος στο οποίο καταλήξαµε. Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Παράρτηµα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1.1Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων......................... 154 1.1 Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων. Για τις τριγονωµετρικές συναρτήσεις ισχύουν οι εξής ταυτότητες. si a = cos( π 2 cos a = si( π 2 a) (1.1.1) a) (1.1.2) si(a ± b) = si a cos b ± cos a si b (1.1.3) cos(a ± b) = cos a cos b si a si b (1.1.4) si 2a = s si a cos a (1.1.5) cos 2a = cos 2 a si 2 a = 2 cos 2 a 1 = 1 2 si 2 a (1.1.6) si a cos b = 1 [si(a + b) + si(a b)] 2 (1.1.7) cos a si b = 1 [si(a + b) si(a b)] 2 (1.1.8) si a si b = 1 [cos(a b) cos(a + b)] 2 (1.1.9) cos a cos b = 1 [cos(a + b) + cos(a b)] 2 (1.1.1) si 2 a si 2 b = si(a + b) si(a b) (1.1.11) cos 2 a cos 2 b = si(a + b) si(a b) (1.1.12) cos 2 a si 2 b = cos(a + b) cos(a b) (1.1.13) 154

1.1. Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων. 155 Σηµαντικά είναι τα εξής ολοκληρώµατα si[(a b)x] si(ax) si(bx)dx = 2(a b) si[(a + b)x] 2(a + b) + C, a b (1.1.14) si 2 (ax)dx = x 2 1 4a si(2ax) + C = x 2 1 si(ax) cos(ax) + C (1.1.15) 2a cos(ax) cos(bx)dx = si[(a b)x] 2(a b) + si[(a + b)x] 2(a + b) + C, a b (1.1.16) cos 2 (ax)dx = x 2 + 1 4a si(2ax) + C = x 2 + 1 si(ax) cos(ax) + C (1.1.17) 2a cos[(a b)x] cos[(a + b)x] si(ax) cos(bx)dx = + C, a b 2(a b) 2(a + b) (1.1.18) si(ax) cos(ax)dx = 1 2a cos2 (ax) + C (1.1.19) Για την ειδική περίπτωση όπου a = mπ, b = π τότε ισχύει ότι si( mπ ) cos(π cos[(m )π] x)dx = 2π(m ) {, + 2π(m + ) = 2 cos[(m + )π] 2π(m + ) π ( m ), m 2 2 + 2π(m ) + m = άρτιος m = περιττός (1.1.2) διότι, αν m = άρτιος m + = άρτιος και αντίστοιχα αν m = περιττός m + = περιττός Εκδοση : 18 Ιουνίου 216

Βιβλιογραφία Asmar, Nakhle H. (24). Partial Differetial Equatios With Fourier Series ad Boudary Value Problems. NJ: Pearso-Pretice Hall. Freilig, Gerhard, Vjatcheslav Yourko (28). ectures o Differetial Equatios of Mathematical Physics, A First Course. New York: Nova Sciece Publishers. Powers, David. (26). Boudary Value Problems ad Partial Differetial Equatios. Fifth. Amsterdam: Elsevier. Strauss, Walter A. (28). Partial Differetial Equatios, A Itroductio. 2νδ. Hoboke, NJ: Wiley. 156