ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) x e = θ lnθ = x, θ>0. β) Αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x ρ, τότε το ρ είναι ρίζα του P(x). γ) εφα = εφα 1 εφ α. 1 - συνα δ) =. ε) εφ(α -β) = εφα - εφβ 1 + εφα εφβ. Α3. Να συμπληρώσετε στο τετράδιο στις παρακάτω ισότητες τα κενά που σημειώνονται με α).. = logαθ + logαθ. β) γ) 1 θ 1 log α θ k log θ όπου 0 <α1,και 1,,θ>0. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 x 4x Β1. Να βρείτε τις τιμές του κ αν γνωρίζετε ότι ο αριθμός ρ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). Β. Αν κ= α) να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο (x-1). β) να λύσετε την εξίσωση: P(x)=0. γ) να λύσετε την ανίσωση : Ρ (x) 0. x Γ1. Να αποδείξετε ότι: x x x x. x Γ. Να λύσετε την εξίσωση x x 0, στο διάστημα 0, x Δίνεται η συνάρτηση f(x) ln x Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Δ. 1 Να βρεθεί το πρόσημο του αριθμού f( ). Δ3. Να λυθεί η εξίσωση f(x) 0. x Δ4. Να λυθεί η ανίσωση f(e ) f( 0) f( 1) f( 1). 1
ΦΥΛΛΟ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι: ημα =ημα συνα. Α. Πότε ένας αριθμός ρ λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου Ρ(χ); Α3. Να χαρακτηρίσετε σαν Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις, γράφοντας την απάντηση στο τετράδιο σας : i) Η διαίρεση ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x ρ δίνει υπόλοιπο πολυώνυμο 1 ου βαθμού. ii) Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό 1 log log. iii) Αν θ 1 >0, θ >0 ισχύει ότι 1 1 ln x iv) e x, για κάθε χ > 0 v) Η συνάρτηση f(x) = εφ x, έχει σύνολο τιμών το R Δίδεται η συνάρτηση: f(x) = x. x 1 Β1. Για ποιες τιμές της γωνίας x ορίζεται η συνάρτηση ; Β. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 1. Δίνεται η συνάρτηση x f ( x) ln(e 1) x. Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Γ. Να αποδείξετε ότι: f (ln ) ln 6. Γ3. Να λύσετε την εξίσωση: f ( x) x. Δίδεται το πολυώνυμο Ρ(x) = αx 3 βx +γ = 0 με α, β, γ R, α 0 όπου : (β 1) = α + γ Δ1. Να αποδείξετε ότι το χ 1 είναι παράγοντας του Ρ(χ). Δ. Αν επί πλέον ισχύει ότι : β = αγ τότε: i) Να αποδείξετε ότι α = β = γ. ii) Να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0.
ΦΥΛΛΟ 3 ΘΕΜΑ Α Α1. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 1) συν(α + β)=.. ) συν(α β)=.. Α. Να αποδείξετε ότι συνα=συν α 1. Α3. Να χαρακτηρίσετε σαν Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: 1) Η συνάρτηση f(x)=ημx είναι περιοδική με περίοδο π. ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) δια x ρ είναι ένα πολυώνυμο 1 ου βαθμού. 0,. 3) Η συνάρτηση f(x) = lnx είναι γνησίως αύξουσα στο 4) ln e x x Α4. Δίδεται η συνάρτηση f(x)= x. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις δεν είναι σωστή: 1 f ( ) f ( 3),. f ( 3) f ( 5), 3. f (0,5) f (0,8), 4. f (1,3) f ( 1,3 ) Δίδεται η συνάρτηση με τύπο f(x) ln x 5 ln x1 3 ln x1 5 ln x1 3 Β1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. B. Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0.. Έστω πολυώνυμο Ρ(x)=αx 3 +(β-1)x -3x-β+6, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. Γ1. Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) με το x+1 είναι ίσο με, να βρεθούν τα α και β. Γ. Αν α= και β=4, να λύσετε την εξίσωση: Ρ(ημx)=0. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 - x - 4x + 4. Δ1. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ρ = 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). Δ. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο (x-1). Δ3. Να λύσετε την εξίσωση: x 3 + 4 = x + 4x Δ4. Να λύσετε την ανίσωση : Ρ (x) 0 3
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 4 Α.1. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα τον x - ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Α.. Να γράψετε δύο τύπους του συνα. Α.3. Να γράψετε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών για κάθε μία από τις συναρτήσεις f(x) = α x και g(x) = log α x με 0 < α 1. Α.4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστή, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) 1 1 β) Στο πολυώνιμο P x x x... x με ακέραιους συντελεστές, κάθε διαιρέτης του σταθερού όρου 0, είναι ρίζα του P(x). 1 1 0 γ) Αν 0 < α 1 τότε ισχύει: log α (θ 1 + θ ) = log α θ 1 log α θ με θ1, θ >0. δ) Αν α > 1 τότε η f (x) = α x είναι γνησίως αύξουσα στο. ε) Αν D = 0, τότε το γραμμικό σύστημα x, x y x y είναι πάντα αδύνατο. Δίνεται η συνάρτηση f x x 1, x. Β.1. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή, η ελάχιστη τιμή και η περίοδος της συνάρτησης f(x). Β.. Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τον άξονα x'x στο [0, π]. B.3. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 5 f f f 1 1 6 K 1 f 4 4
3 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f x x x x, για την οποία ισχύουν: Το υπόλοιπο της διαίρεσης της f(x) δια x + είναι 4. Η C f διέρχεται από το σημείο Α(0,8). Η f (X) έχει παράγοντα το x - 1. Γ.1. Να δείξετε ότι: α = 1, β = -10 και γ = 8. Γ.. α) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0. β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C f είναι κάτω από τον άξονα x'x. Γ.3. Να λύσετε την ανίσωση: x 4. f x f x f x 18 f x με x και 3 1 1 x h x ln ln 1 ln 1 ln 1 με x > 0. x x 1 x Δίνονται οι συναρτήσεις: x 1 Δ1. Δίνεται η συνάρτηση g x ln f ln x. α) Να υπολογίσετε το f ln x. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g x ln f ln x x. Δ.. Να δείξετε ότι 3 h x ln Δ.3. Να λύσετε την εξίσωση g(x) = h(x) με x >1. Δ.4. Να βρείτε τις τιμές του x ώστε να υπάρχει και να ισχύει f 1 ln x f ln x 6f 1 5
ΦΥΛΛΟ 5 ΘΕΜΑ Α Α1. Να δείξετε ότι: log 1 log 1 log, όπου 0 1 και 1, 0 Α. Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων f(x)=lnx και g(x)=e x, σε διαφορετικό σύστημα αξόνων. Α3.Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις, να γράψετε στη κόλλα σας τον αριθμό που αντιστοιχεί και δίπλα το γράμμα (Σ) αν θεωρείται τη πρόταση σωστή, ή το γράμμα (Λ) αν θεωρείται ότι η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ισχύει: εφx=εφαx=κπ+α, όπου κζ και α πραγματικός σταθερός αριθμός. β) Η συνάρτηση f(x)=ημx στο διάστημα [0, π/] είναι γνησίως αύξουσα. γ) Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. 1 δ) Αν α>0 με α 1, τότε για οποιουσδήποτε θ1 και θ θετικούς, ισχύει: log log log ε) Για οποιονδήποτε αριθμό 0 < x < 1 ισχύει lnx > 0. 1. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x 3 x. Β1. Αν έχει παράγοντες το x- και το x να δείξετε ότι 4. Β. Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λύσετε την εξίσωση Ρ(x)=0. Β3. Να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) >0. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=συνx. Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της. Γ. Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση; Γ3. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) υν x 3 x. Δίνεται η συνάρτηση f xx 1lnx. Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Δ. Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f x0 Δ3. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) x 1(lnx). Δ4. Να λύσετε την ανίσωση : ln ln xf 1) 6
ΦΥΛΛΟ 6 ΘΕΜΑ Α Α1. Να σημειωθεί Σ (σωστό) ή Λ (λανθασμένο) σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις : α) Αν P(x)-Q(x) = 3 τότε βαθμός P(x)= βαθμός Q(x) β) Αν P(x), Q(x) πολυώνυμα βαθμών κ, λ αντίστοιχα, τότε το P(x)+Q(x) έχει βαθμό κ+λ γ) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το x-16 είναι 0 τότε το 4 είναι ρίζα του P(x) δ) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το x-6 είναι τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x+6 είναι Α. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = συνx, x [0,π]. Να γράψετε: α) την περίοδο της β) τα διαστήματα μονοτονίας της σε διάστημα μιας περιόδου γ) το σύνολο τιμών της. 1 Α3. Να αποδείξετε ότι :, όπου 0 και 0 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3συνx, x [0,π] Β1. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f και για ποιες τιμές του x παίρνει αυτές τις τιμές. Β. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 3/ Β3. Αν g(x) = (συνx ) 4, να βρεθούν τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 + (κ-)x +λx +6 Γ1. Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντα το x - και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το x -4 είναι 10, να υπολογίσετε τα κ και λ. Γ. Για κ= - και λ= 1, να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) <0. Γ3. Να λύσετε την εξίσωση: x x 3 x 1 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e x e x + 1) και g(x) = ln(e x 1). Δ1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g Δ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x. Δ3. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x) + ln. 7
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 7 Α1. Τι ονομάζουμε λογάριθμο του θετικού αριθμού x ως προς βάση 0, 1 ; Α. α) Ποια είναι η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου xμε το πολυώνυμο x; β) Πότε το πολυώνυμο x διαιρεί ή είναι παράγοντας του x; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Αν δύο πολυώνυμα έχουν τις ίδιες ρίζες, τότε είναι ίσα. β) Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f xe x είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της συνάρτησης gxln x ως προς τον άξονα y y. δ) Αν 0 1, ισχύει ότι log x x ε) x x, x Έστω πολυώνυμο Px το οποίο έχει παράγοντα το x και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το x 1 είναι 18. Β1. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Px με το x x 1. Έστω Pxx 3 7x 7x. Β. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης P βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x. Β3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f x Px Β4. Να λύσετε την ανίσωση : P xpx. 8
Δίνεται η συνάρτηση : f x x 3 018 x x x Γ1. Να αποδείξετε ότι f x4x. Γ. Να γράψετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f, να βρείτε τη περίοδό της και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα 0,. Γ3. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y. Γ4. Να λύσετε στο διάστημα 0,, την εξίσωση: f x f x 3 6 Δίνονται οι συναρτήσεις f xln 4 ln e x 1και g xln e x 8 Δ1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. Δ. Να συγκρίνετε τους αριθμούς f e και f. Δ3. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. Δ4. Να λύσετε την ανίσωση : e e 8 f ln x f ln x 7 9
ΦΥΛΛΟ 8 ΘΕΜΑ A : Α1. Έστω α 0 με α 1. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θ > 0 και ισχύει ότι : logα logα A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. x β. Η συνάρτηση: f x = e έχει σύνολο τιμών το 0, γ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x = lnx είναι κάτω από τον άξονα x x. δ. Αν α,β, γ,δ ισχύει: ε. Η συνάρτηση α γ αδ + βγ β δ. x 3 f(x) = π είναι γνησίως φθίνουσα. : B1. Να λύσετε την ανίσωση: x 1 1 3 9 B. Να λύσετε τις εξισώσεις α) logx log x 1 log3 log β) 1- x 4 3 9 : 3 Δίνεται το πολυώνυμο Px = λx 6x +11x κ Γ1. Να βρεθούν οι κ, λ αν γνωρίζετε ότι : ο αριθμός 1 είναι ρίζα του Ρx και ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρx με το x είναι ίσο με 60. Γ Αν κ = 6 και λ = 1 να λυθεί η εξίσωση: Px = 0 Px Γ3. Να λύσετε την ανίσωση: < 0 x + x + 3 : π 5π ημ 017π + x συν + x συν 018π x ημ x 1 Δ1. Να δείξετε ότι: Δ Να λυθεί η εξίσωση: εφ x + 1 3 εφx - 3 0 (1) π π Δ3. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης (1) στο διάστημα :, 4 10
ΦΥΛΛΟ 9 ΘΕΜΑ A A1. α) Να ορίσετε την συνάρτηση f(x) = lnx, δηλαδή να βρείτε το πεδίο ορισμού της, το σύνολο τιμών της, η μονοτονία της και να γίνει η γραφική της παράσταση. β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες : log α α χ = log α 1=. log α (θ 1 : θ )= α log α θ =.. Α. Να γράψετε το σωστό ή το λάθος στα παρακάτω: 1. το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. το Ρ(χ)=χ 3 +5χ +6χ -1 +7 είναι πολυώνυμο του χ 3. Αν εφχ=θ τότε χ=κπ+θ, με κ ακέραιο 4. ln+ln3=ln6 5. η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = σφx έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τον άξονα y y. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = αχ 3-5χ + 8χ + β Β1. Να βρείτε τα α, β αν το Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):χ είναι το -4. Β. Για α=1 και β= -4 1. να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαἰρεσης Ρ(χ):(χ -3χ). να λυθεί η ανίσωση Ρ(χ)>0 π ημ(017π x) εφ( x) συν(018π x) Γ1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ 5π συν(019π x) σφ(01π x) συν( x) συνω ημω Γ. Να αποδείξετε ότι: συνω ημω Κ εφω Κ σφω, όπου Κ η τιμή της παράστασης του ερωτήματος Γ1. Έστω f(x)=(α-) x και g(x)=ln(3 x -1) Δ1. Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η f(x) να είναι εκθετική Δ. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των f,g Δ3. Για α=5 να λυθεί η εξίσωση g(χ)=ln[f (x) 3lne] 11
ΘΕΜΑ A ΦΥΛΛΟ 10 Α1. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει ότι: ημ ω συν ω 1 Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Α3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: i) Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει μέγιστο για x=, τότε για κάθε x A ισχύει f (x) ii) Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα ψ ψ iii) Αν η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση g(x) f (x) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ iv) Αν ισχύει π 0 x, τότε ημx 0 v) Aν ημx=1, τότε ισχύει πάντα συνx=0 Αν ισχύει: Β1. Να βρείτε το ημx 6ημ x ημx 1 0 και B. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3π π x 3ημx 9συν x K 16εφ x σφ x 1 Δίνεται το πολυώνυμο Π(χ)=αχ 3 +3χ +βχ+α+1 Γ1. Αν το Π(χ) έχει ρίζα το -3 και παράγοντα το χ-1,να βρείτε τις τιμές των α,β. Γ. Για α= και β= - 8 να λυθεί η ανίσωση Π(χ)>0 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=logx,x>0 Δ1. Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης Α=f(1/100) f(100) Δ. Να αποδείξετε ότι : f (3) 3f () f (6) 1 1 f (0) Δ3. Να λυθεί η εξίσωση: (f(x)) 4 -(f(x)) 3 -(f(x)) -f(x)-=0 1
ΦΥΛΛΟ 11 ΘΕΜΑ A A1. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι : log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log α θ β)να συμπληρώσετε τις ισότητες : log α α χ =. log α 1=. log α (θ 1 : θ )= α log α θ =.. Α. Να γράψετε το σωστό ή το λάθος στα παρακάτω: 6. το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού 7. το Ρ(χ)=χ 3 +5χ +6χ -1 +7 είναι πολυώνυμο του χ 8. Αν εφχ=θ τότε χ=κπ+θ 9. ln+ln3=ln6 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = αχ 3-5χ + 8χ + β Α1. Να βρείτε τα α, β αν το Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):χ είναι το -4. Α. Για α=1 και β= -4 3. να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ -3χ) και. να λυθεί η ανίσωση Ρ(χ)>0 Έστω f(x)=(α-) x και g(x)=ln(3 x -1) Γ1. Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η f(x) να είναι εκθετική Γ. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των f,g Γ3. Για α=5 να λυθεί η εξίσωση g(χ)=ln[f (x) 3lne] Θεωρούμε τη συνάρτηση log 10 x 1 f x. Δ1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της f. f 1 f 3 Δ. Να αποδείξετε ότι 10 10 f log101 009. Δ3. Να λυθεί η εξίσωση f x f x log11 13
ΦΥΛΛΟ 1 ΘΕΜΑ A A1. Να αντιστοιχίσετε στον παρακάτω πίνακα κάθε εξίσωση της 1 ης στήλης με τη λύση της στη η στήλη. 1 η στήλη η στήλη Α. ημχ=1/ 1. χ=κπ+π/6 ή χ=κπ+π-π/6. χ=κπ-π/4 ή χ=κπ+π/4 Β. συνχ=1 3. χ=κπ π/ 4. χ=κπ Γ. εφχ=0 5. χ=κπ+π/4 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση 1. η εξίσωση 3χ 3-5χ+6=0 έχει ρίζα το 4. συνχ.συν3χ-ημχ.ημ3χ=συνχ 3. η f(x)=lnx έχει σύνολο τιμών το (0,+οο) 4. Κάθε μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό μηδέν Δίνεται το πολυώνυμο Π(χ)=αχ 3 +3χ +βχ+α+1 Β1. Αν το Π(χ) έχει ρίζα το -3 και παράγοντα το χ-1,να βρείτε τις τιμές των α,β. Β. Για α= και β=-8 να λυθεί η ανίσωση Π(χ)>0 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=4 x, x R. Γ1. Να τοποθετήσετε σε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, αιτιολογώντας την απάντηση, τους αριθμούς: f(1/), f( ), 1, f(-1). Γ. Να λύσετε την εξίσωση: f ( x) 3 f ( x) 4 0. Γ3. Να λύσετε την ανίσωση: f ( x ) > f (4). ln(3x 11) Δίνεται η συνάρτηση : f ( x). ln( x 5) Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Δ. Να δείξετε ότι το σημείο Α (7, f(7)) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ. Δ3. Να λύσετε την εξίσωση f(x)=. 14
ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: συνα = συν α 1 ΦΥΛΛΟ 13 Α. Αν 0 < α 1 και θ > 0 τότε τι ονομάζουμε λογάριθμο του θ με βάση το α; Α3. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: α) 1 ln 1 e. β) Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) είναι Ρ(ρ) 0 τότε το Ρ(x) δεν έχει παράγοντα το x-ρ. γ) Η εξίσωση συνχ=α με a >1, έχει άπειρες ρίζες. ln( ) ln ln, με 1, > 0. δ) 1 1 ε) Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι ου βαθμού τότε το υπόλοιπο έχει βαθμό το πολύ 1. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (λ+1) x 3 + ( x -1) ημλ + x -1, όπου λ R. Β1. Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-1 να είναι ίσο με το. Β. Να βρεθούν οι τιμές του λ R Β3. Για λ=0 να λυθεί η εξίσωση: Ρ(x) = 1., ώστε το Ρ(x) να έχει ρίζα το μηδέν. Δίνονται οι παραστάσεις ( x) x x και ( x) x x 4 4 4 4, x R. Γ1. Να αποδείξετε ότι : ( x) x και ( x) x. Γ. Να αποδείξετε ότι : x x x. 4 4 Γ3. Να λύσετε την εξίσωση : 6 ( x). 1 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) ln ln x x. 1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της f.. Να αποδείξετε ότι f ( x) ln x (ln x 1). 3. Να λυθεί η εξίσωση 1 f ( x) f e. f ( x) f e. 4. Να λυθεί η ανίσωση 15
ΘΕΜΑ A ΦΥΛΛΟ 14 16
17
ΘΕΜΑ A ΦΥΛΛΟ 15 18
19
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 16 Α1. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει P(ρ)=0. A. Σημειώστε Σ για τις Σωστές και Λ για τις Λάθος προτάσεις: α. Η συνάρτηση f(x) = συνx έχει περίοδο Τ = π. β. Το πολυώνυμο P(x) = αx + x + 7 αποκλείεται να έχει ρίζα το. γ. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα x η ορίζουσα D ισούται με μηδέν τότε το σύστημα δεν έχει πραγματική λύση. δ. Η συνάρτηση f(x) = e x είναι γνησίως αύξουσα. ε. Η συνάρτηση f(x) = lnx έχει σύνολο τιμών το R. Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) = x 3 + αx + (β-)x + α +15 Β1. Να βρεθούν τα α και β αν γνωρίζετε ότι το Ρ έχει παράγοντα το x +, ενώ η διαίρεσή του με το x 3 δίνει υπόλοιπο 35. Β. Για α = -1 και β = 3: α. να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) = 0 β. να βρεθούν τα x για τα οποία η γραφική παράσταση του Ρ βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x. Β3. Δίνεται το πολυώνυμο Q(x) = γx 3 + δx + x + 7. Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών γ και δ ώστε να ισχύει η σχέση: P(x) = Q(x) x 3 x x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3ημ. Γ1. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f. Γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της f. 0
Γ3. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 3συν(x - 3 ). Γ4. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = - 3 συν x. x e Έστω η συνάρτηση f(x) = ln x e. Δ1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Δ. Να δειχθεί ότι e f( e) e f(1 ) > e f(0 ). Δ3. Να λυθεί η ανίσωση f(x) > lnx. Δ4. Να λυθεί η εξίσωση f(e x ) = 0. 1
ΦΥΛΛΟ 17 ΘΕΜΑ Α A1. Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα χ-ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(x). A. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η συνάρτηση f(x)=συνx είναι γνησίως αύξουσα στο, 3 β. Η συνάρτηση f(x)= εφx παίρνει τιμές από όλο το R γ. log x x, για κάθε χ >0 και 0 < α 1 δ. Η εξίσωση εφχ=-1 έχει ως λύση χ= κπ - 4, κζ ε. 1. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 4 x 3 3 x x 1. Αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα x-1, B1. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P(x-7) διαιρείται δια x -4. B. Να βρείτε το θ 0, 3 x Δίνεται η συνάρτηση f(x)= ln x 1 Γ1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x)= lnx Γ3. Να λύσετε την ανίσωση f(e x )< x. Δίνονται οι παραστάσεις 018 και 1009 1009 4 1009 1 018 Δ1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f x 1 Δ. Αν και 1 : 4 3 1. Να λυθεί η ανίσωση 3 f x f x.. Να λυθεί η εξίσωση f f 1 x και να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα..
ΘΕΜΑ Α Α1. Να δείξετε ότι: i.. ii.. ΦΥΛΛΟ 18 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση 1.. x x ή x 1 1. 3. Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 1. 4. log log log 1 1 Α3. Τι ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α, όταν α > 0 και 1 Δίνεται το πολυώνυμο: 3 Β1. Αν το πολυώνυμο x 1,είναι -16 να βρείτε τα και. Β. Για 1 και 16 P x x x x 0, με, R. P x έχει παράγοντα το x και το υπόλοιπο της διαίρεσης με το να λυθεί η εξίσωση 0 P x. 3
Δίνεται η παράσταση: x 4 x 3 x 4 x 3 1 x 1 x Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Γ. Να δείξετε ότι: Α = 4 Γ3. Να λύσετε την εξίσωσ η: 8 x Δίνεται η συνάρτηση: f x ln 1 x Δ1. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες ορίζεται η εκθετική συνάρτηση f για κάθε x. Δ. Αν e e1 : i) να δείξετε ότι x f x e. ii) να λύσετε την ανίσωση f x f x 4
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 19 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x- ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ =Ρ(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση i. Η συνάρτηση f (x) = συν (x) έχει περίοδο Τ = π ii. συνα =1 ημ α iii. log α θ=x α x = θ. iv. εφ(α + β)= 1 v. ημx = ημα τότε x =κπ α Α3. Να μελετήσετε την συνάρτηση f (x) = ημx σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. Δίνεται η παράσταση: Α=ημ ( 3 x) συν( x ) +συν ( 3 x ) ημ ( x ). 3 6 3 6 Β1. Να δείξετε ότι Α =συνx. Β. Αν ημx = 4 5 με 0 < x < να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α. Β3. Να λυθεί η εξίσωση Α + 1 + συνx = 0. 5
Δίνεται το πολυώνυμο : Ρ(x) = x 4 + αx 3 (6 α)x + βx + β -3α + 1, το οποίο έχει παράγοντα το x -1. Γ1. Να βρεθούν οι τιμές των α και β. Γ. Αν α = -1 και β =1 i. Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) = 0. ii. Nα βρεθεί το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + x + 1. Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = ln(x + 5) και g(x) = ln(x +1). Δ1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. Δ. Να δείξετε ότι: g f g0 Δ3. Να λυθεί η ανίσωση : f(x) + g(x) >ln + ln3. 6
ΘΕΜΑ Α Α1. Να δείξετε ότι: συνα=συν α-1 ΦΥΛΛΟ 0 Α. Να συμπληρώσετε τους τύπους ημα =.. εφα =.. Α3. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου α/ αν συνα=3/5 και 3π/<α<π Α4. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση από τα παρακάτω: 1. Αν logα= τότε log(α 3 ) ισούται με : Α: -1 Β: Γ: 3α Δ: 10 Ε: 7. Αν το πολυώνυμο Π(χ)=χ 018 +λχ+ έχει παράγοντα το χ-1 τότε το λ ισούται με: Α: -1 Β: 1 Γ: 0 Δ: 3 Ε: -3 Α5. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της στήλης Β που περιέχει έναν παράγοντα του πολυωνύμου της στήλης Α. Στήλη Α α. χ 3-3χ+ β. χ -9 γ. χ 3 -αχ +α 3 Στήλη Β 1. χ-α. χ+α 3. χ-3 4. χ-1 Δίνεται το πολυώνυμο Π(χ)=3χ 3 +αχ +βχ+4 Β1. Αν το Π(χ) έχει παράγοντα το χ-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης Π(χ):(χ-) είναι 30, να αποδείξετε ότι α=8 και β= -15 Β. Να λυθεί η ανίσωση Π(χ)>0 7
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=log(x -1)+log-log(4x-1) Γ1. Για ποιες τιμές του χ ορίζεται η f(x); Γ. Να αποδείξετε ότι f(3/)=0 Γ3. Να λύσετε την εξίσωση f(x)=log1 Έστω f(x) = lnx, με x > 0 Δ1. Να αποδείξετε ότι αν f f f τότε: β = α γ Δ. Να λυθεί η εξίσωση : 3 f ( x) f ( x) 10 Δ3. Να λυθεί η εξίσωση : f(-ημx) f(συνx) = f(3), με x 0, 4 8