Μηχανικές ταλαντώσεις

Απλή αρμονική ταλάντωση Μηχανικές ταλαντώσεις Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Στην απλή αρμονική ταλάντωση: α. Η απομάκρυνση και η ταχύτητα έχουν πάντοτε το ίδιο πρόσημο. β. Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο. γ. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο. δ. Όταν η απομάκρυνση είναι αρνητική, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι θετικές. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 2. Ποια από τις ακόλουθες σχέσεις περιγράφει απλή αρμονική ταλάντωση σώματος που είναι δεμένο σε κατακόρυφο ελατήριο; α. ΣF = 10 x, β. F ελ = 10 x, γ. ΣF = -10 x, δ. F ελ = -10 x. 3. Στην απλή αρμονική ταλάντωση, η ταχύτητα του σώματος: α. Έχει την ίδια φάση με την απομάκρυνση. β. Έχει διαφορά φάσης π με τη δύναμη επαναφοράς. γ. Έχει μέγιστη τιμή στη θέση ισορροπίας. δ. Έχει μέγιστη τιμή στις θέσεις x = ± Α. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 4. Στην απλή αρμονική ταλάντωση, η δυναμική ενέργεια του συστήματος: α. Είναι μέγιστη στη θέση ισορροπίας. β. Είναι ίση με την ολική ενέργεια της ταλάντωσης στις θέσεις x = ± Α. γ. Είναι αρνητική για Α< x < 0. δ. Είναι ανάλογη με την απομάκρυνση. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 5. Στην απλή αρμονική ταλάντωση, στη διάρκεια μιας περιόδου: α. Η δυναμική ενέργεια παίρνει τη μέγιστη τιμή της μόνο μία φορά. β. Η κινητική ενέργεια παίρνει τη μέγιστη τιμή της μόνο μία φορά. γ. Η δυναμική ενέργεια είναι ίση με την κινητική μόνο μία φορά. δ. Η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 6. Στην απλή αρμονική ταλάντωση, η ολική ενέργεια του συστήματος: α. Μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. β. Είναι πάντοτε μικρότερη από τη δυναμική ενέργεια. γ. Είναι πάντοτε μεγαλύτερη από την κινητική ενέργεια. δ. Καθορίζει το πλάτος της ταλάντωσης Α και τη μέγιστη ταχύτητα υ max. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 7. Στην απλή αρμονική ταλάντωση ενός σώματος με περίοδο Τ και πλάτος Α, για να πάει το σώμα από τη θέση ισορροπίας Ο (x = 0) στην ακραία θέση Ρ (x = +A) απαιτείται χρόνος Τ 4. Άρα: α. Για να πάει το σώμα από τη θέση Ο στη θέση Γ (x = + Α 2 ) απαιτείται χρόνος Τ 8. β. Για να πάει το σώμα από τη θέση Γ (x = + Α 2 ) στη θέση Ρ (x = +A) απαιτείται χρόνος Τ 8. γ. Το σώμα διανύει την απόσταση ΟΓ σε μικρότερο χρόνο απ ότι την απόσταση ΓΡ.

2 δ. Το σώμα διανύει την απόσταση ΓΡ σε χρόνο μικρότερο από Τ 8. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 8. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η συνισταμένη δύναμη που δέχεται το σώμα: Α. είναι σταθερή. Β. είναι ανάλογη της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας. Γ. έχει το ίδιο πρόσημο με την απομάκρυνση. Δ. σε κάποια χρονικά διαστήματα έχει το ίδιο πρόσημο με την ταχύτητα του σώματος. Ε. έχει φορά πάντα προς τη θέση ισορροπίας. Στ. έχει φορά πάντα αντίθετη με την επιτάχυνση. Ποιες προτάσεις είναι σωστές; 9. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Σωστό ή λάθος: Α. Στη θέση ισορροπίας είναι x = 0, υ = ±υ max και α = 0. Β. Στην ακραία θέση x = -A, η ταχύτητα είναι υ = 0 και α = +α max. Γ. Η φάση της επιτάχυνσης είναι μεγαλύτερη κατά π από τη φάση της απομάκρυνσης. Δ. Η φάση της δύναμης επαναφοράς είναι ίση με τη φάση της επιτάχυνσης. Ε. Στις ακραίες θέσεις η δύναμη επαναφοράς είναι F = 0. 10. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Σωστό ή λάθος; Η δύναμη επαναφοράς: Α. είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που α- σκούνται στο σώμα. Β. είναι ανάλογη με την απομάκρυνση. Γ. είναι ανάλογη με την επιτάχυνση. Δ. έχει πάντα τη φορά της κίνησης του σώματος. Ε. είναι πάντα αρνητική. 11. Ένα σώμα είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς και ε- κτελεί ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Σωστό ή λάθος; (Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας). Α. Η σταθερά επαναφοράς D εξαρτάται από τη μάζα του σώματος. Β. Η σταθερά επαναφοράς D εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης. Γ. Η δύναμη επαναφοράς είναι κάθε στιγμή ίση με τη δύναμη του ελατηρίου. Δ. Η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από τη σκληρότητα του ελατηρίου. Ε. Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι αντιστρόφως ανάλογη του πλάτους της ταλάντωσης. Στ. Η θέση ισορροπίας είναι η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Ζ. Αν το πείραμα γινόταν στο διάστημα εκτός πεδίου βαρύτητας, τότε το σώμα δεν θα εκτελούσε απλή αρμονική ταλάντωση. 12. Δύο σώματα Α και Β, με την ίδια μάζα, εκτελούν κατακόρυφη ταλάντωση δεμένα στα άκρα δύο ελατηρίων που έχουν σταθερές 1 και 2 α- ντίστοιχα. Τα άλλα άκρα των ελατηρίων είναι ακλόνητα στερεωμένα. Η μέγιστη επιτάχυνση ταλάντωσης είναι ίδια και για τα δύο σώματα. Άρα ο λόγος των πλατών των ταλαντώσεων είναι: α. 2 1 β. 2 1 γ. 1 2 δ. 1 Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. 13. Ένα σύστημα μάζας - ελατηρίου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αντικαθι- 2.

3 στούμε το σώμα με άλλο μάζας m = 4 m χωρίς αλλαγή του πλάτους Α της ταλάντωσης. Σωστό ή λάθος: Α. Η ενέργεια της ταλάντωσης διπλασιάζεται. Β. Η συχνότητα υποδιπλασιάζεται. Γ. Η σταθερά επαναφοράς διπλασιάζεται. Δ. Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς διπλασιάζεται. Ε. Η μέγιστη ταχύτητα υποδιπλασιάζεται. Στ. Η μέγιστη κινητική ενέργεια διπλασιάζεται 14. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λάθος: Όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, τότε, α. σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήματα,. β. η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου, γ. η ταχύτητα αλλάζει πρόσημο στις ακραίες θέσεις, δ. η επιτάχυνση αλλάζει πρόσημο στη θέση ι- σορροπίας. 15. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή: Στην απλή αρμονική ταλάντωση, α. η φάση της απομάκρυνσης προηγείται της φάσης της ταχύτητας κατά π 2. β. η δύναμη και η απομάκρυνση είναι μεγέθη συμφασικά (ίδια φάση). γ. η φάση της απομάκρυνσης υπολείπεται της φάσης της επιτάχυνσης κατά π 2. δ. η φάση της επιτάχυνσης προηγείται της φάσης της ταχύτητας κατά π 2. 16. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Σε ποια θέση η ταχύτητα, η επιτάχυνση και η συνισταμένη δύναμη είναι: α) μηδέν β) μέγιστη. 17. Ένα σώμα βρίσκεται ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα δεμένο στον τοίχο. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για την κίνηση του σώματος σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) τη χρονική στιγμή t = 0 ασκούμε στο σώμα μία στιγμιαία ώθηση στη θέση ισορροπίας όπου βρισκόταν ακίνητο. β) τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε ελεύθερο το σώμα από τη θέση που το είχαμε απομακρύνει τεντώνοντας το ελατήριο. 18. * Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων Α και Β, που έχουν τα παρακάτω στοιχεία: α) Ίδιο πλάτος, ίδια συχνότητα και διαφορά φάσης π 2. β) Ίδιο πλάτος, ίδια συχνότητα και διαφορά φάσης π. γ) Πλάτος της Α διπλάσιο αυτού της Β, ίδια συχνότητα και διαφορά φάσης π 2. δ) Ίδιο πλάτος, ίδια αρχική φάση φ 0 =0 και συχνότητα της Α διπλάσια από αυτήν της Β. Στη συνέχεια να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις x = f(t) για κάθε περίπτωση α, β, γ, δ (στο ίδιο διάγραμμα τις καμπύλες Α και Β). 19. Αν διπλασιαστεί το πλάτος σε μία απλή αρμονική ταλάντωση, πώς μεταβάλλονται: α) η ολική ενέργεια της ταλάντωσης, β) η μέγιστη ταχύτητα, γ) η μέγιστη επιτάχυνση, δ) η περίοδος της ταλάντωσης. Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας.

4 20. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Στο διάγραμμα απεικονίζεται η μεταβολή της φάσης της ταλάντωσης με το χρόνο. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο x = f(t). 21. Σε έναν τόπο, μία άγνωστη μάζα είναι κρεμασμένη από σταθερό σημείο μέσω ιδανικού ελατηρίου και ισορροπεί. Αν διαθέτουμε μία μετροταινία και γνωρίζουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας στον τόπο αυτό, πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την περίοδο ταλάντωσης του συστήματος; φ(rad) 2π π 0 1 22. Για ένα σύστημα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση να γίνουν τα διαγράμματα U = f (x), Κ = f (x) και Ε = f (x), της δυναμικής, κινητικής και ολικής ενέργειας ταλάντωσης αντίστοιχα, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. 23. Η εξίσωση της απομάκρυνσης για ένα σύστημα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι x = Α ημ(ωt+ π ). Να γίνουν τα διαγράμματα 2 U = f (t), Κ = f (t), Ε = f (t), της δυναμικής, κινητικής και ολικής ενέργειας ταλάντωσης αντίστοιχα σε συνάρτηση με το χρόνο. t(s) α. οποιαδήποτε τιμή, β. τιμές που είναι ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου Τ, γ. μόνο τιμές που είναι άρτια πολλαπλάσια της περιόδου Τ, δ. τιμές που είναι περιττά πολλαπλάσια της περιόδου Τ. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. 25. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται στο μισό, σε χρόνο t. Σε χρόνο 3t το πλάτος της ταλάντωσης θα έχει μειωθεί: α. 4 φορές, β. 6 φορές, γ. 8 φορές, δ. 12 φορές. Βρείτε τη σωστή απάντηση. 26. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α = A 0 e -Λt. Αν τη χρονική στιγμή t 1 η ολική ενέργεια του συστήματος είναι Ε, τότε τη χρονική στιγμή t 2 = t 1 + T, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης, η ολική ενέργεια του συστήματος θα είναι: α. Εe ΛΤ, β. Εe 2ΛΤ, γ. Εe -2ΛΤ, δ. Εe -ΛΤ. Βρείτε τη σωστή απάντηση. 27. Ένα σύστημα εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις. Κάποια χρονική στιγμή έχει ενέργεια Ε. Όταν το πλάτος της ταλάντωσης θα έχει μειωθεί στο ένα τρίτο, η ενέργεια που θα έχει χάσει το σύστημα θα είναι: α. Ε 3, β. 2Ε 3, γ. Ε 9, δ. 8Ε 9. Βρείτε τη σωστή απάντηση. Φθίνουσες ταλαντώσεις 24. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α = A 0 e -Λt. Στη σχέση αυτή ο χρόνος t παίρνει: 28. Η σταθερά απόσβεσης μιας φθίνουσας ταλάντωσης εξαρτάται: α. μόνο από τις ιδιότητες του μέσου που αντιστέκεται στην κίνηση,

5 β. μόνο από το σχήμα του σώματος που ταλαντώνεται, γ. μόνο από το μέγεθος του σώματος που ταλαντώνεται, δ. από όλα τα παραπάνω. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. 29. Όταν η σταθερά απόσβεσης μιας φθίνουσας ταλάντωσης αυξάνεται από την τιμή b 1 στην τιμή b 2, χωρίς να γίνεται πολύ μεγάλη, τότε: α. ο ρυθμός μείωσης του πλάτους μειώνεται, β. η περίοδος της ταλάντωσης μειώνεται, γ. ο ρυθμός μείωσης της ολικής ενέργειας αυξάνεται, δ. η κίνηση γίνεται απεριοδική. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. 30. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση η δύναμη που α- ντιστέκεται στην κίνηση έχει πάντα φορά: α. προς τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, β. ίδια φορά με τη φορά της απομάκρυνσης του σώματος, γ. σταθερή, δ. αντίθετη στην ταχύτητα του σώματος. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. 31. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση η δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση είναι της μορφής F = -bυ. Ποια από τα παρακάτω μεγέθη ελαττώνονται εκθετικά με το χρόνο; α. η απομάκρυνση β. το πλάτος της ταλάντωσης γ. η δυναμική και η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης δ. η ολική ενέργεια της ταλάντωσης 32. Ένα μικρό μεταλλικό σώμα μάζας m είναι κρεμασμένο από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς. Εκτελούμε δύο διαφορετικά πειράματα κατά τα οποία θέτουμε σε ταλάντωση το σώμα, στη μία περίπτωση στον αέρα και στην άλλη εξ ο- λοκλήρου βυθισμένο σε νερό. Αν και στις δύο περιπτώσεις το αρχικό πλάτος είναι το ίδιο, σε ποια περίπτωση θα διαρκέσει περισσότερο η ταλάντωση και γιατί; Συντονισμός 33. Η ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης ενός συστήματος είναι f 0. Το σύστημα μπορεί να ταλαντώνεται με συχνότητα f > f 0, όταν εκτελεί: α. ελεύθερη αμείωτη ταλάντωση, β. ελεύθερη φθίνουσα ταλάντωση, γ. εξαναγκασμένη ταλάντωση, δ. οτιδήποτε από τα παραπάνω. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την. 34. Ένα μηχανικό σύστημα με ιδιοσυχνότητα f 0 = 16 Hz εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης, της οποίας η συχνότητα είναι αρχικά f 1 = 20 Hz. Αν η συχνότητα της εξωτερικής δύναμης αυξηθεί σε f 2 = 40 Hz, το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος: α. θα αυξηθεί. β. θα μειωθεί. γ. αρχικά θα αυξηθεί μέχρι μια μέγιστη τιμή και στη συνέχεια θα μειωθεί. δ. θα παραμείνει αμετάβλητο. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την. 35. Σώμα μάζας m εξαρτάται από κατακόρυφο ε- λατήριο σταθεράς και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης σταθερής συχνότητας f > f 0, ό- που f 0 η ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Αν η

6 μάζα του σώματος ήταν μεγαλύτερη κατά Δm, ποια θα ήταν η μεταβολή: α. στην ιδιοσυχνότητα f 0 του συστήματος β. στη συχνότητα της ταλάντωσης γ. στο πλάτος της ταλάντωσης; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 36. *Τα σώματα Σ1, Σ2 και Σ3 του σχήματος που είναι δεμένα στα ελατήρια, έχουν ίσες μάζες m 1 = m 2 = m 3. Όταν εκτελούν ελεύθερες αμείωτες ταλαντώσεις, οι περίοδοι είναι Τ 1 = 1 s, Τ 2 = 2 s και Τ 3 = 3 s αντίστοιχα. Θέτουμε τη σανίδα σε κατακόρυφη ταλάντωση με συχνότητα f = 1 Hz. Να αιτιολογήσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές. Α. Η περίοδος ταλάντωσης του Σ1 είναι 1 s. Β. Η περίοδος ταλάντωσης του Σ2 είναι 2 s. Γ. Τα τρία σώματα ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα f = 1 Hz. Δ. Το πλάτος της ταλάντωσης του Σ1 είναι μεγαλύτερο από τα πλάτη των ταλαντώσεων των άλλων σωμάτων. Ε. Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σωμάτων 2 και 3 είναι ίσα. 37. *Σε μία εξαναγκασμένη ταλάντωση το πλάτος μεταβάλλεται με τη συχνότητα του διεγέρτη όπως φαίνεται στο σχήμα. Να αιτιολογήσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές. α. Στις συχνότητες f 1 και f 2 προσφέρονται από το διεγέρτη ίσα ποσά ενέργειας ανά δευτερόλεπτο. β. Στη συχνότητα f 1 περισσότερη ενέργεια μεταφέρεται από το ταλαντούμενο σύστημα προς το περιβάλλον (απώλειες ενέργειας), παρά από το διεγέρτη προς το ταλαντούμενο σύστημα. γ. Στη συχνότητα f 0 συμβαίνουν οι μεγαλύτερες απώλειες ενέργειας από το ταλαντούμενο σύστημα προς το περιβάλλον. 38. Σε σύστημα μάζας ελατηρίου, εκτός από τη δύναμη επαναφοράς F επ = - Dx, δρουν επίσης δύναμη αντίστασης F 1 = - bυ και περιοδική δύναμη F = F max ημωt, όπου το ω μπορεί να μεταβάλλεται. Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή; α. Το σύστημα ταλαντώνεται με την ιδιοσυχνότητά του f 0. β. Το πλάτος ταλάντωσης είναι ανεξάρτητο της γωνιακής συχνότητας ω. γ. Η συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος είναι ίση με τη συχνότητα της περιοδικής δύναμης. δ. Όταν αυξάνεται η συχνότητα της περιοδικής δύναμης, το πλάτος της ταλάντωσης πάντα αυξάνεται.

7 Σύνθεση ταλαντώσεων 39. Ταλαντωτής εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις αντίστασης x 1 = f(t) και x 1 = f(t) με ίσες συχνότητες, οι οποίες εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η ενέργεια του ταλαντωτή όταν εκτελεί τη συνισταμένη ταλάντωση ισούται με Ε, ενώ όταν εκτελεί την καθεμιά από τις δύο συνιστώσες ταλαντώσεις ξεχωριστά, ισούται με Ε 1 και Ε 2 αντίστοιχα. Α. Οι παραπάνω ενέργειες ικανοποιούν τη σχέση Ε = Ε 1 + Ε 2 μόνο όταν η διαφορά φάσης μεταξύ των συνιστωσών ταλαντώσεων ισούται με: ι. μηδέν ιι. 90 0 ιι. 60 0 Β. Οι παραπάνω ενέργειες ικανοποιούν τη σχέση Ε = Ε 1 = Ε 2 μόνο όταν συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν ίσα πλάτη και διαφορά φάσης: ι. μηδέν ιι. 180 0 ιι. 120 0 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας σε κάθε περίπτωση. 40. Τι πρέπει να ισχύει, ώστε ένα σώμα που εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω από το ίδιο σημείο να παραμένει ακίνητο; 41. Ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις περιγράφουν απλή αρμονική ταλάντωση; α. x = ημt συνt β. x = συν 2 t - ημ 2 t γ. x = ημt + συνt δ. x = ημt 2 42. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις του ίδιου πλάτους και της ίδιας διεύθυνσης. Οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων f 1 και f 2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Σωστό ή λάθος; Α. Η τελική κίνηση του σώματος είναι απλή αρμονική ταλάντωση. Β. Το πλάτος της συνισταμένης κίνησης μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. Γ. Η μέγιστη τιμή του πλάτους της συνισταμένης κίνησης είναι 2Α. Δ. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων πλάτους είναι σταθερός. Ε. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους αυξάνεται όταν η διαφορά f 1 f 2 μειώνεται. 43. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω από το ίδιο σημείο, με την ίδια διεύθυνση και με εξισώσεις x 1 = 5 ημ502πt και x 2 = 5 ημ500πt. Σωστό ή λάθος; Α. Η συχνότητα της σύνθετης περιοδικής κίνησης είναι f = 250,5 Hz 250 Hz. Β. Η συχνότητα του διακροτήματος που προκύπτει είναι f Δ = 250,5 Hz. Γ. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της σύνθετης κίνησης είναι Δt = 1 s. Δ. Στο χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της σύνθετης κίνησης το σώμα εκτελεί περίπου 250 ταλαντώσεις. Να αιτιολογηθούν οι απαντήσεις. 44. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω από το ίδιο σημείο με το ίδιο πλάτος και με συχνότητες f 1 και f 2 που διαφέρουν 1 Hz. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις έχουμε διακρότημα; Α. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν την ίδια διεύθυνση και συχνότητες f 1 = 1 Hz και f 2 = 2 Hz. Β. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν την ίδια διεύθυνση και συχνότητες f 1 = 2000 Hz και f 2 = 2001 Hz. Γ. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν κάθετες διευθύνσεις και συχνότητες f 1 = 2001 Hz και f 2 = 2000 Hz.

8 Δ. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν την ίδια διεύθυνση και η περίοδος της μίας απ αυτές είναι 10-3 s. 45. Διαπασών συχνότητας 512 Hz και τεντωμένη χορδή πάλλονται ταυτόχρονα και ακούγονται 4 διακροτήματα ανά δευτερόλεπτο. Αν αυξήσουμε ελάχιστα τη συχνότητα ταλάντωσης της χορδής, τότε παύουν να ακούγονται διακροτήματα. Επομένως η αρχική συχνότητα της χορδής είναι: α. 504 Hz β. 508 Hz γ. 512 Hz δ. 516 Hz. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την. Από δύο διαφορετικές μουσικές πηγές παράγονται δύο απλοί ήχοι με συχνότητες f 1 = 2000 Hz και f 2 = 1998 Hz. Το αυτί ενός ανθρώπου αντιλαμβάνεται έναν ήχο ο οποίος άλλοτε «σβήνει» και άλλοτε α- ποκτά μέγιστη ένταση. Να υπολογιστεί το ελάχιστο χρονικό διάστημα μεταξύ ενός μηδενισμού της έ- ντασης του ήχου και μιας μεγιστοποίησής του. 46. Από δύο διαφορετικές μουσικές πηγές παράγονται δύο απλοί ήχοι με συχνότητες f 1 = 2000 Hz και f 2 = 1998 Hz. Το αυτί ενός ανθρώπου αντιλαμβάνεται έναν ήχο ο οποίος άλλοτε «σβήνει» και άλλοτε αποκτά μέγιστη έ- νταση. Να υπολογιστεί το ελάχιστο χρονικό διάστημα μεταξύ ενός μηδενισμού της έντασης του ήχου και μιας μεγιστοποίησής του.

9 Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Απλή αρμονική ταλάντωση 1. Ένα σώμα μάζας m = 0,1 g εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ = 2 s. Τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση x = +0,1 3 m, και έχει αρνητική ταχύτητα (υ < 0). Αν η ενέργεια της ταλάντωσης είναι 2π 2 10-3 J, να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της συνισταμένης δύναμης. [Απ. x = 0,2 ημ(πt+ 2π 3 ), υ = 2 10-1 πσυν(πt+ 2π 3 ), ΣF = -2π 2 10-2 ημ(πt+ 2π 3 )] 2. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ = 0,5 s. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, κινούμενο κατά τη θετική φορά. Η αλγεβρική τιμή της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο σώμα δίνεται από τη σχέση F = -800 x (x και F σε μονάδες του S.I.). Από t = 0 έως t = Τ 12 η κινητική ενέργεια του σώματος ελαττώνεται κατά 1J. α) Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια και το πλάτος της ταλάντωσης. [Απ. 4 J, 10 cm] β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης. [Απ. x = 0,1ημ4πt (S.I.)] γ) Να βρείτε τη δύναμη επαναφοράς τη χρονική στιγμή t = Τ. [Απ. -40 N] 12 3. Το ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 100 Ν/m στερεώνεται στην κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ = 30 0 και στο άλλο άκρο του δένεται σώμα μάζας m = 4 g, που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί. A. Να δείξετε ότι, αν μετακινήσουμε το σώμα κατά τη διεύθυνση του ελατηρίου και στη συνέχεια το αφήσουμε ελεύθερο, το σύστημα θα ε- κτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο. [Απ. 0,4πs] B. Μετακινούμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του μέχρι τη θέση φυσικού μήκους του ε- λατηρίου και το αφήνουμε ελεύθερο. Υπολογίστε: α) το πλάτος της ταλάντωσης. [Απ. 20 cm] β) το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σώματος. [Απ. 1 m/s] γ) τη μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης. [Απ. 2 J] δ) τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. [Απ. 8 J] (Δίνεται g = 10 m/s 2 ) 4. Το σώμα Σ μάζας m = 0,5 Kg του σχήματος αρχικά ηρεμεί δεμένο στο άκρο ελατηρiου σταθεράς = 50 Ν/m. Είναι δεμένο επίσης μέσω νήματος με σώμα Σ' μάζας m' = 1 g. Αν το νήμα κοπεί να βρείτε: α) την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα Σ. [Απ. 0,2π s]

10 β) τη μέγιστη ταχύτητά του. [Απ. 2 m/s] (Δίνεται g = 10 m/s 2 ) 5. *Τα σώματα Σ 1 και Σ 2 με μάζες m 1 = 0,2 Kg και m 2 = 0,8 Kg αντίστοιχα, ηρεμούν δεμένα στα άκρα του κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = 100 Ν/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε τη μέγιστη επιπλέον συσπείρωση που μπορούμε να προκαλέσουμε στο ελατήριο, σπρώχνωντας τo σώμα Σ 1 προς τα κάτω, ώστε όταν το αφήσουμε ελεύθερο μόλις να μη σηκωθεί από το δάπεδο το σώμα Σ 2. [Απ. 0,1 m] (Δίνεται g = 10 m/s 2 ) 6. *Πάνω στο δίσκο Δ μάζας 0,1 Kg που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα έχει τοποθετηθεί σώμα Σ μάζας 0,3 Kg. Ο δίσκος είναι δεμένος στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς 40 Ν/m. Συμπιέζουμε το σύστημα σώμα δίσκος κατά x και το αφήνουμε ελεύθερο. α) Να δείξετε ότι το σύστημα σώμα δίσκος θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος ίσο με x. β) Να δείξετε ότι το σώμα Σ δεν χάνει την επαφή του με τον δίσκο για θέσεις κάτω από την θέση ισορροπίας του συστήματος. γ) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της απλής αρμονικής ταλάντωσης που μπορεί να εκτελεί το σύστημα χωρίς το σώμα Σ να χάνει την επαφή του με το δίσκο. [Απ. 0,1 m] (Δίνεται g = 10 m/s 2 ) 7. *Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 200 N/m είναι στερεωμένο σε oριζόντιο δάπεδο. Στο άλλο άκρο του είναι σταθερά συνδεδεμένος δίσκος Α μάζας Μ = 1,5 Kg. Πάνω στο δίσκο είναι τοποθετημένο σώμα Β μάζας m = 0,5 Kg και το σύστημα ισορροπεί. Πιέζουμε το σύστημα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y 0 = το αφήνουμε ελεύθερο. A B 5 10 m και α) Να δείξετε ότι το σώμα θα εγκαταλείψει το δίσκο Α. [Απ. στη θέση - 0,1 m] β) Ποια είναι κατά μέτρο η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος Β τη στιγμή που εγκαταλείπει το δίσκο; [Απ. 2 m/s, 10 m/s 2 ] γ) Σε ποιο ύψος θα φθάσει το σώμα Β πάνω από τη θέση που εγκατέλειψε το δίσκο; [Απ. 0,2 m] Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και g = 10 m/s 2. y 0 8. *Το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 500 N/m είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Στο άλλο άκρο του

11 συνδέεται σώμα Σ 1 μάζας m 1 = 4 Kg. Πάνω στο σώμα Σ 1 βρίσκεται Σ 2 μάζας m 2 = 1 Kg και το σύστημα ισορροπεί. Μεταξύ σώματος Σ 1 και δαπέδου δεν υπάρχει τριβή ενώ μεταξύ των σωμάτων Σ 1 και Σ 2 υπάρχει τριβή με συντελεστή μ = 0,6. Απομακρύνουμε το σύστημα κατά x = 0,05 m από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. κατάλληλη οριζόντια δύναμη F, οπότε το σώμα αρχίζει να μετακινείται από τη θέση ισορροπίας του με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α = 3,75 m/s 2 και κάποια χρονική στιγμή, που τη θεωρούμε ως t = 0, το νήμα κόβεται. m F α) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή που κόβεται το νήμα. α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σύστημα. [Απ. 10 rad/s] β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της στατικής τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ των σωμάτων κατά την παραπάνω ταλάντωση. [Απ. 5 Ν] γ) Αντικαθιστούμε το ελατήριο με νέο ελατήριο και αφού απομακρύνουμε το σώμα κατά x = 0,05 m από τη θέση ισορροπίας του το αφήνουμε ελεύθερο. Ποια είναι η μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή της σταθεράς του νέου ελατηρίου ώστε να μην ολισθαίνει το σώμα Σ 2 πάνω στο Σ 1; [Απ. 600 N/m] (Δίνεται g = 10 m/s 2 ) 9. *Ένα σώμα μάζας m = 2 g είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 50 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το σώμα είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάπεδο και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Στο σώμα έχουμε δέσει μη εκτατό νήμα αλελητέας μάζας με όριο θραύσεως Τmax = 12,5 N. Ασκούμε στο άλλο άκρο του νήματος [Απ. 0,1 m] β) Για την κίνηση του σώματος μετά το κόψιμο του νήματος, i) να βρείτε τη μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος. [Απ. 10g m/s 2 ] ii) να γράψετε την εξίσωση της δύναμης που ασκεί το ελατήριο σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως θετική φορά, αυτή της δύναμης F. [Απ. Fελ = -10 ημ(5t+ π 6 )] iii) να υπολογίσετε τη χρονική διάρκεια κίνησης του σώματος καθώς και το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη χρονική στιγμή t = 0 έως τη χρονική στιγμή που το ελατήριο βρίσκεται για πρώτη φορά στην κατάσταση μέγιστης επιμήκυνσής του. [Απ. π 15 s, -0,75 J] 10. *Το σώμα του σχήματος μάζας m = 2 g είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι συνδεδεμένο σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το σώμα ισορροπεί σε επαφή με το λείο οριζόντιο δάπεδο και με το ελατήριο να βρίσκεται στην κατάσταση φυσικού μήκους

12 του. Από τη χρονική στιγμή t = 0 και μετά ασκούμε στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 40 N, οπότε αυτό εκτελεί ταλάντωση. α) Να δείξετε ότι η ταλάντωση αυτή είναι απλή αρμονική και να υπολογίσετε τη συχνότητά της. [Απ. 5 π Hz] β) Nα γράψετε τη χρονική εξίσωση της συνισταμένης δύναμης που δέχεται το σώμα, θεωρώντας ως θετική, τη φορά της δύναμης F. [Απ. ΣF = -40 ημ(10t+ 3π 2 ) = 40 συν10t] γ) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης του ελατηρίου από τη χρονική στιγμή t = 0 έως τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του. [Απ. -4 J] δ) Να βρείτε την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τις χρονικές στιγμές που το πηλίκο της κινητικής ενέργειας του σώματος προς την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης ισούται με Κ 1 =. [Απ. 20 3 J/s] U 3 Κρούση και ταλάντωση 11. To ένα άκρο κατακόρυφου έλατηρίου σταθεράς m = 30 Νlm στερεώνεται ακλόνητα σε οροφή και στο ελεύθερο άκρο του προσδένεται σώμα Σ μάζας Μ = 1,85 g. 'Ενα βλήμα μάζας m = 150 g κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, F υ 0 m στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και σφηνώνεται στο κέντρο μάζας του σώματος Σ με ταχύτητα μέτρου υ 0 = 10 mls. α) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση; [Απ. 0,75 m/s] β) Ποιο είναι το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος μετά την κρούση; [Απ. 20 cm] γ) Τι ποσοστό της κινητικής ενέργειας του βλήματος τη στιγμή που συγκρούεται με το σώμα Σ αποτελεί η ολική ενέργεια της ταλάντωσης του συστήματος μετά την κρούση; [Απ. 8 %] Δίνεται: g =10 m/s 2. 12. Σώμα μάζας M = 9 g ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο κατακόρυφου ελατηρίου άκρο σταθεράς = 100 N/m. Από ύψος h = 5 m πάνω από το σώμα αυτό ρίχνουμε κατακόρυφα με αρχική ταχύτητα μέτρου υ 0 = 10 m/s ένα σώμα μάζας m = 1 g, το οποίο συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας Μ. α) Να αποδείξετε ότι το συσσωμάτωμα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδό της. [Απ. 5 10 β) Να προσδιορίσετε τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. [Απ. 0,1 m] γ) Να βρείτε το πλάτος Α της ταλάντωσης. [Απ. 0,1 21 m] Δίνεται: g = 10 mls 2. s] 0

13 13. Σώμα Σ 1, μάζας m 1 = 1 g βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στο ένα άκρο ελατηρίου, σταθεράς Κ = 100 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένo. To σώμα Σ 1, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x = 0,2ημωt (S.I.). Ακριβώς πάνω από τη θέση ισορροπίας του σώματος Σ 1, και σε ύψος h βρίσκεται ένα δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας m 2 = 1 g. To σώμα Σ 2 αφήνεται ελεύθερο, όταν το σώμα Σ 1 βρίσκεται στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνσή του, και προσκολλάται στην πάνω επιφάνεια του σώματος Σ 1, όταν αυτό διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά. Σ 2 h A Σ 1 Να υπολογίσετε: α) Τη γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης του σώματος Σ 1. [Απ. 10 rad/s] β) Το ύψος h από το οποίο αφέθηκε το σώμα Σ 2. [Απ. 0,125 m] γ) Το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά την πλαστική κρούση. [Απ. 10 2 cm] δ) Τη μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης εξαιτίας της κρούσης. [Απ. -1J] Δίνεται: g = 10 m/s 2 και π 2 10. 14. To ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = 100 N/m στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο και στο άλλο άκρο προσδένεται ξύλινο σώμα μάζας M = 0,95 g, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας m = 50 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 100 m/s και σφηνώνεται στο κέντρο μάζας του ακίνητου ξύλινου σώματος. Η διεύθυνση της κίνησης του βλήματος ταυτίζεται με τον άξονα του ελατηρίου. Ζητούνται: m υ M α) Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος. [Απ. 0,5 m] β) Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του συστήματος. [Απ. 10 rad/s] γ) Η εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, αν ως αρχή των χρόνων (t=0) θεωρηθεί η στιγμή που το βλήμα σφηνώνεται στο ξύλινο σώμα και ως θετική, η φορά κίνησης του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. [Απ. 0,5 ημ10t] δ) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που γίνεται ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος. [Απ. 5 %] 15. Βλήμα μάζας m κινούμενο με ταχύτητα μέτρου υ 0 = 16 mls, συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα Α μάζας m 1 = 3 m που βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση = 15,7 cm από σημείο Ο του επιπέδου στην ευθεία κίνησης του βλήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Σώμα Β μάζας m 2 = 4 m είναι προσδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, το

14 άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ο άξονας του ελατηρίου συμπίπτει με τη διεύθυνση κίνησης του βλήματος. Αρχικά το ελατήριο είναι συμπιεσμένο, ώστε το σώμα Β να απέχει απόσταση d 1 από το σημείο Ο που αντιστοιχεί στη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου. Τη χρονική στιγμή που το βλήμα προσκρούει στο σώμα Α, το σώμα Β αφήνεται ελεύθερο. To συσσωμάτωμα του βλήματος και του σώματος Α κινούμενο με ταχύτητα μέτρου υ 1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Β τη στιγμή που αυτό έχει τη μέγιστη ταχύτητά του για πρώτη φορά. Να υπολογίσετε: α) Το μέτρο υ 1, της ταχύτητας του συσσωματώματος. [Απ. 4 m/s] β) Το μέτρο 2 της ταχύτητας του σώματος Β αμέσως μετά την κρούση του με το συσσωμάτωμα. [Απ. 4 m/s] γ) Την περίοδο ταλάντωσης του σώματος Β. [Απ. 0,157 s] δ) To νέο πλάτος d 2 της ταλάντωσης του σώματος Β μετά την κρούση του με το συσσωμάτωμα. [Απ. 0,1 m] Δίνεται π = 3,14. (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΙΟΥΛΙΟΣ 2002) 16. Ένα σώμα 1 μάζας m 1 είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς = 1156 Ν/m. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η συνάρτηση που περιγράφει την ταχύτητα της ταλάντωσης με το χρόνο δίνεται από την εξίσωση υ = 3,4 συν17t (SΙ). Τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση x 1 = +10 3 cm απομακρυνόμενο από τη θέση ισορροπίας, ένα κομμάτι στόκου μάζας m 2 = 0,25 g κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα υ 2 = 27,2 m/s και σε αντίθετη κατεύθυνση προs το m 1 συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με αυτό. α) Να υπολογίσετε τη μάζα m 1. [Απ. 4 g] β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος 1, ελάχιστα πριν την κρούση. [Απ. 1,7m/s] γ) Να υπολογίσετε το πλάτος της νέας ταλάντωσης. [Απ. 10 3 cm] δ) Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει την απομάκρυνση με το χρόνο για τη νέα ταλάντωση, αν θεωρήσουμε t = 0 τη στιγμή που γίνεται η κρούση. [Απ. x = 0,1 3 ημ(4 17 t+ π ) (SΙ) ] 2 17. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς = 100π 2 Νlm έχει το κάτω του άκρο στερεωμένο σε δάπεδο και στο πάνω άκρο στερεωμένο ένα σώμα 2 μάζας m 2 = 1 g. Από σημείο που απέχει h = 1,8 m πάνω από το σώμα 2 και βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με αυτό, αφήνουμε να πέσει ένα σώμα μάζας m 1 = 0,5 g. Η κρούση των σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική.

15 σταματά σε σημείο Δ, όπου και απομακρύνεται από την ευθεία ταλάντωσης του σώματος 1. α) Να υπολογίσετε τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. [Απ. -2 m/s, 4 m/s] β) Να γραφεί η συνάρτηση που περιγράφει πώς μεταβάλλεται η απομάκρυνση με το χρόνο γιά το σώμα 2, αν θεωρήσουμε t = 0 τη στιγμή της κρούσης και ότι την στιγμή αυτή το σώμα 2 κινείται προs την αρνητική κατεύθυνση του άξονα των y'y. [Απ. x = 0,4/π ημ(10πt +π)] γ) Να βρεθεί πόσο απέχουν τα δύο σώματα τη στιγμή που το σώμα 2 διέρχεται γιά πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προs τη θετική κατεύθυνση του άξονα y'y, καθώς και οι ταχύτητές τους εκείνη τη στιγμή. [Απ. 0,15 m, +1 m/s, +4 m/s] Δίνεται g = 10 mls 2. 18. Σώμα 1 μάζας m 1 = 4 g ισορροπεί ακίνητο σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30 0, δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 400 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Ένα άλλο σώμα 2 μάζας m 2 = m 1 κρατείται ακίνητο σε απόσταση d = 0,1 3 m από το σώμα 1. Κάποια στιγμή βάλλουμε το σώμα 1 με ταχύτητα υ στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και τη χρονική στιγμή που θεωρούμε t = 0 αυτό συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το ακίνητο σώμα 2, το οποίο είχαμε αφήσει ελεύθερο ελάχιστα πριν. Το σώμα 2 μετά την κρούση διανύει απόσταση d 1 = 0,1 m και α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ορμής του σώματος1 ελάχιστα πριν την κρούση. [Απ. 4 g m/s] β) Να υπολογίσετε το πηλίκο των ενεργειών ταλάντωσης του σώματος 1 πριν και μετά την κρούση. [Απ. 4/3] γ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος 1 μετά την κρούση σε συνάρτηση με τον χρόνο. Θεωρήστε θετική φορά αυτή της αρχικής ταχύτητας του σώματος 1. [Απ. F επ = -40 3 συν10t] δ) Να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή εκτόξευσης το σώμα 1 επανέρχεται στο σημείο βολής. [Απ. π s] 12 Δίνεται: g = 10 m/s 2. Η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. 19. Σώμα Σ1 μάζας m = 0,5 g είναι δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 50 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο στο δάπεδο. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί. Δεύτερο σώμα Σ2, ίσης μάζας με το προηγούμενο, αφήνεται από ύ- ψος h = 0,8 m από το Σ1. Το Σ2 συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το Σ1, η κρούση θεωρείται

16 ακαριαία και το συσσωμάτωμα που δημιουργείται εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, στην οποία θεωρούμε θετική τη φορά προς τα κάτω. Σ 2 Σ 1 Να βρεθούν: α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. [Απ. 2 m/s] β) η απώλεια ενέργειας του συστήματος λόγω της κρούσης. [Απ. 2 J] γ) το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [Απ. 0,3 m] δ) οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας και της ορμής του συσσωματώματος, όταν αυτό διέρχεται από τη θέση της κρούσης, κινούμενο με φορά προς τα κάτω. [Απ. 10 J/s, +5 g. m/s 2 ] ε) η δύναμη του ελατηρίου σε συνάρτηση με την απομάκρυνση F ελ = f(x) και η αντίστοιχη γραφική παράσταση. [Απ. F ελ = -10-50x] στ) το έργο της δύναμης του ελατηρίου κατά την κίνηση του συσσωματώματος από την α- νώτερης (x = -A) μέχρι την κατώτερη (x = +A) ακραία θέση της ταλάντωσης. [Απ. -6 J] Δίνεται: g = 10 mls 2. 20. Από σημείο Δ της οροφής έχουμε κρεμάσει κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς = 200 Ν/m,στο άλλο άκρο του οποίου έχουμε στερεώσει σώμα Σ1 μάζας m 1.Το σώμα αυτό ι- σορροπεί ακίνητο κρεμασμένο από το κάτω h άκρο του ελατηρίου. Σώμα Σ2, μάζας m 2 κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και τη χρονική στιγμή t = 0 συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το Σ1. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει ε- κτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης y = 0,6ημ(5t+ π ) (SΙ). Nα υπολογιστούν: α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. [Απ. 1,5 3 m/s] β) το πηλίκο της θερμότητας που εκλύθηκε ε- ξαιτίας της κρούσης προς την ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [Απ. 1/4] γ) η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ2 ε- ξαιτίας της κρούσης. [Απ. -3 3 g. m/s] δ) ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης του συσσωματώματος τη χρονική στιγμή ελάχιστα μετά την κρούση. [Απ. +90 3 J/s] Δίνεται: g = 10 mls 2. 21. Από την κορυφή πλάγιου επιπέδου, γωνίας φ = 30, στερεώνεται δια μέσου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 100 Ν/m σώμα μάζας m 2 = 3 g και το σύστημα ισορροπεί πάνω στο πλάγιο επίπεδο. Από τη βάση του πλάγιου επιπέδου κινείται προς τα πάνω σώμα μάζας m 1 = 2 g με αρχική ταχύτητα υ 0 = 12 mls, που έχει τη διεύθυνση του ελατηρίου. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Η αρχική τους απόσταση είναι S = 4,4 m. 6

17 β) Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σφαιριδίου εξαιτίας της κρούσης. [Απ. 4,88 g m/s] Να βρείτε: α) To μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m 1, αμέσως πριν την κρούση. [Απ. 10 m/s] β) Tο μέτρο της ταχύτητας του συστήματος των δύο σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση. [Απ. 4 m/s] γ) Tο πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος των δύο σωμάτων. [Απ. 0,9 m] Δίνεται: g = 10 mls 2. Οι τριβές δεν λαμβάνονται υπ όψιν. 22. Ένα σώμα 1 μάζας m 1 = 1 g ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ (ημφ = 0,8, συνφ= 0,6), δεμένο στο ένα άκρο ε- λατηρίου σταθεράς = 100 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. γ) το πηλίκο της κινητικής προς την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του συσσωματώματος τη χρονική στιγμή t = 0. [Απ. 0,5625] Δίνεται: g = 10 m/s 2. Η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Φθίνουσες ταλαντώσεις 23. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση Α = A 0 e -Λt. α) Σε πόσο χρόνο το πλάτος της ταλάντωσης θα Α 0 γίνει 2 ; [Απ. ln2 Λ ] β) Αν για κάθε πλήρη ταλάντωση η επί τοις % ελάττωση της ολικής ενέργειας Ε της ταλάντωσης είναι 36 %, να βρείτε την επί τοις % μεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης. [Απ. -20 %] 24. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση με μικρή απόσβεση η αρχική ενέργεια του συστήματος είναι Ε 0 = 64 J, η σταθερά Λ = ln2 s -1 και η απομάκρυνση στη διάρκεια της πρώτης περιόδου της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση x = 8 10-2 συν2πt (S.I.). α) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης μετά από τρεις πλήρεις ταλαντώσεις και την απώλεια ενέργειας μέχρι τότε. [Απ. 10-2 m, 63 J] Ένα μικρό σφαιρίδιο μάζας m 2 = 3 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 0 = 2 m/s και τη χρονική στιγμή t = 0 σφηνώνεται στο κέντρο μάζας του σώματος 1. Να υπολογίσετε: α) Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. [Απ. 0,9 m/s] β) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, και της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο κατά τη διάρκεια της έκτης περιόδου της φθίνουσας ταλάντωσης. [Απ. x = 25 10-4 συν2πt, υ =-50 10-4 πημ2πt]

18 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις - Συντονισμός 25. *Στο ένα άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = 100 N/m είναι συνδεδεμένο σώμα μάζας m = 1 g το οποίο μπορεί να κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το άλλο άκρο του ε- λατηρίου στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου κατά Α 0 = 0,2 m και το αφήνουμε ελεύθερο. Λόγω τριβών το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται κατά 20% μετά από κάθε πλήρη ταλάντωση. α) Ποια είναι η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. [Απ. 5/π Hz] β) Πόση ενέργεια αφαιρείται από τον ταλαντωτή μέσω του έργου των τριβών στη διάρκεια μιας περιόδου; [Απ. 0,72 J] γ) Πόση ενέργεια πρέπει να μεταφερθεί στο ταλαντούμενο σύστημα μέσω του έργου της εξωτερικής δύναμης σε χρόνο t = 62,8 s, ώστε να εκτελεί αμείωτες ταλαντώσεις με συχνότητα ίση με την ιδιοσυχνότητά του και πλάτος Α 0 ; [Απ. 72 J] 26. *Στη διάταξη του σχήματος ένα σώμα Σ μάζας m = 1 g κρέμεται στο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς. Το άλλο άκρο είναι δεμένο με νήμα, το οποίο περιβάλλει μία τροχαλία αμελητέας μάζας και είναι προσδεμένο στον τροχό Τ. Η διάταξη βρίσκεται μέσα σε χώρο ό- που η πίεση του αέρα ρυθμίζεται από αντλία, με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται η σταθερά απόσβεσης b. Ρυθμίζουμε την πίεση του αέρα, ώστε να είναι b = 0,5 g/s.η περιστροφή του τροχού με κατάλληλη συχνότητα αναγκάζει το σώμα Σ να εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση με μέγιστο πλάτος. Η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από την εξίσωση: υ = 2συν10t (S.I.). Να βρείτε: α) Τη συχνότητα περιστροφής του τροχού. [Απ. 5/π Hz] β) Τη σταθερά του ελατηρίου [Απ. 100 N/m] γ) Τη δύναμη αντίστασης που ασκείται από τον αέρα στο σώμα τη χρονική στιγμή t = π s. 30 [Απ. ο,5 Ν] δ) Το ρυθμό με τον οποίο ο διεγέρτης προσφέρει ενέργεια στο σύστημα, τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του. [Απ. 2 J/s] Δίνεται: π 2 10 Σύνθεση ταλαντώσεων 27. Σώμα μάζας m = 4 g εκτελεί ταυτόχρονα τρεις απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και θέσης ισορροπίας που περιγράφονται από τις εξισώσεις x 1 = 0,4ημ10t (SI), x 2 = 0,1ημ(10t+π) (SI) και x 3 = Α 3 ημ(10t+ 2π 3 ) (SI).

19 Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς που δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί ισούται με 120 Ν. α) Να υπολογίσετε το πλάτος Α της συνισταμένης ταλάντωσης. [Απ. 0,3 m] β) Να βρείτε το πλάτος Α3 της συνιστώσας ταλάντωσης x 3 = f(t). [Απ. 0,3 m] γ) Να γράψετε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. [Απ. Κ = 18 συν 2 (10t+ π 3 )] δ) Να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος τις χρονικές στιγμές που η δυναμική ε- νέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης που ε- κτελεί το σώμα ισούται με 2 J. [Απ. 10 m/s 2 ] 28. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση και με την ίδια θέση ισορροπίας. Οι γραφικές παραστάσεις των απομακρύνσεων σε συνάρτηση με το χρόνο για τις δύο ταλαντώσεις, φαίνονται στο κοινό διάγραμμα του σχήματος. x(m) γ) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή οι απομακρύνσεις των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων είναι μεταξύ τους αντίθετες για πρώτη φορά. [Απ. 5 6 s] 29. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και πλάτους που περιγράφονται από τις εξισώσεις x 1 = 0,02 ημ2πf 1 t και x 2 = 0,02 ημ2πf 2 t. Είναι f 1 f 2 με f 1 = 101 Hz. Από τη σύνθεση των δύο ταλαντώσεων προκύπτει ότι τη χρονική στιγμή t 1 = 1,25 s το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης μηδενίζεται για 3η φορά. Αν μειώσουμε τη συχνότητα f 2 κατά 1 Hz και ταυτόχρονα αυξήσουμε τη συχνότητα f1 κατά 1 Hz παρατηρούμε ότι στο χρονικό διάστημα 1,25 s οι μηδενισμοί του πλάτους είναι περισσότεροι από τρεις. Α. Πριν τη μεταβολή των συχνοτήτων: α) να υπολογίσετε τη συχνότητα f 2, τη συχνότητα της συνισταμένης ταλάντωσης και το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλά- 0,1 3 0,1 (1) (2) τους της. [Απ. 99 Hz, 100 Hz, 0,5 s] β) Να κάνετε τη γραφική παράταση του πλά- 0-0,1 0,5 1 1,5 2 t(s) τους της συνισταμένης ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο. -0,1 3 Β. Μετά τη μεταβολή των συχνοτήτων: α) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για κάθε μία τις δύο ταλαντώσεις. [Απ. x 1 = 0,1 3 ημπt, x 2 = 0,1ημ(πt+ π 2 )] β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για τη συνισταμένη α) να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο. [Απ. x = 0,04 συν4πt ημ200πt] β) να υπολογίσετε πόσες φορές μηδενίζεται η απομάκρυνση της συνισταμένης ταλάντωσης σε χρόνο 1 s. [Απ. 200] ταλάντωση. [Απ. x = 0,2ημ(πt+ π 6 )]

20 γ) να υπολογίσετε τον ελάχιστο χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. [Απ. 0,005 s] δ) αν η μάζα του σώματος είναι m = 0,1 g να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της ενέργειας του σώματος. [Απ. 32 J] Θεωρήστε π 2 = 10. Απόστολος Γεωργάκης Φυσικός