υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. - 9. -
Εφαρµογή (Θέµα εξετάσεων 9/ Μονάδες) ίδεται το δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος α. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εκπαιδευτική Ενότητα9 η Μοντελοποίηση υναµικών Συστηµάτων Εφαρµογή T 3 Α T 4 T M(t) 3 T 4 M(t) [Nm] M =39 t Α T Α3 T (α) Σχήµα : (α) υναµικό σύστηµα οδοντωτών τροχών και (β) Ασκούµενη εξωτερική ροπή Αναλυτικότερα, η εξωτερική στρεπτική ροπή (β) M t πλάτους M = 39Nm (βλ. Σχήµα β) ασκείται στον οδοντωτό τροχό T. Η κίνηση του τροχού T µεταδίδεται στον οδοντωτό τροχό T µέσω του εύκαµπτου άξονα A, για τον οποίο (άξονα) δίδεται ότι έχει µέτρο διάτµησης G =.7 N m, πολική ροπή αδρανείας J 4 =. m και µήκος L. = m. Η κίνηση του τροχού T µεταδίδεται στους οδοντωτούς τροχούς T 3 και T. Η κίνηση του τροχού T 3 µεταδίδεται στον οδοντωτό τροχό T 4 µέσω του άκαµπτου άξονα A, ενώ η κίνηση του τροχού T µεταδίδεται στον οδοντωτό τροχό T µέσω του άκαµπτου άξονα A 3. Οι αδράνειες των αξόνων A, A και A 3αµελούνται. Επίσης, δίδονται τα εξής στοιχεία: Τροχός T T T 3 T 4 T T Ακτίνα [ m ].4..... Αδράνεια kgm 3....7..7 Ζητούνται: Α) Οι εξισώσεις κίνησης του συστήµατος Β) Οι ιδιοσυχνότητες και τα ιδιοανύσµατα του συστήµατος Γ) Η χρονική απόκριση του συστήµατος για µηδενικές αρχικές συνήκες - 9.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Λύση Για το ερώτηµα (Α): Για την διατύπωση των εξισώσεων κίνησης του συστήµατος α χρησιµοποιηεί η Ενεργειακή Αρχή Lagrange. Συνολικά για το εξεταζόµενο σύστηµα, ισχύει: Η κινητική ενέργεια T του συστήµατος ισούται µε το άροισµα των κινητικών ενεργειών των επί µέρους στοιχείων του συστήµατος. Επειδή δίδεται ότι οι αδράνειες των αξόνων αµελούνται, τελικά στην κινητική ενέργεια του συστήµατος συνεισφέρουν µόνον οι οδοντωτοί τροχοί, άρα ισχύει: T = I + I + I 3 3 + I 4 4 + I + I () όπου I είναι η µαζική ροπή αδρανείας τροχού και είναι η γωνία περιστροφής τροχού. Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος ισούται µε το άροισµα των δυναµικών ενεργειών των επί µέρους στοιχείων του συστήµατος. Ωστόσο, στο συγκεκριµένο σύστηµα µόνον ο άξονας A είναι εύκαµπτος, άρα µόνον σε αυτό το στοιχείο αποηκεύεται δυναµική ενέργεια: x= L U = GJ dx () x= όπου J είναι η πολική ροπή αδρανείας (βλ. Παράρτηµα Α) του άξονα A, G το µέτρο διάτµησής του, L είναι το µήκος του και είναι η συνάρτηση, η οποία περιγράφει τη µεταβολή της γωνίας περιστροφής του άξονα A κατά το µήκος του. εχόµαστε ότι η συγκεκριµένη µεταβολή ακολουεί γραµµικό νόµο (γραµµική µεταβολή), οπότε α ισχύει (βλ. Παράρτηµα Β): x x L = + L (3) Η πρώτη χωρική παράγωγος της Εξ.(3) είναι: d x x = + = + = dx L L L L L (4) Η ενέργεια P C του συστήµατος, η οποία διαχέεται, είναι µηδενική, διότι στο σύστηµα δεν υπάρχουν στοιχεία διάχυσης ενέργειας (δεν υπάρχουν αποσβεστήρες), άρα ισχύει: P = () C Η, προσφερόµενη στο σύστηµα, ισχύς P t οφείλεται στην επιβολή της εξωτερικής ροπής M( t ) και ισχύει: P = M t = M P = M () t t - 9.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για την εύρεση των Βαµών Ελευερίας (ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές) του συστήµατος, καταγράφουµε όλες τις κινηµατικές µεταβλητές, οι οποίες εµφανίζονται στους ανωτέρω ενεργειακούς όρους, καώς και όλες τις µεταξύ τους συσχετίσεις. Παρατηρούµε ότι στους ανωτέρω ενεργειακούς όρους εµπλέκονται οι εξής κινηµατικές µεταβλητές: Από τη µετάδοση κίνησης µεταξύ των οδοντωτών τροχών, ισχύει: Σχέση µετάδοσης µεταξύ των τροχών T και T 3 : i,, 3, 4,, (7) ω r r r = = = = = (8) 3 3 3 3 ω3 3 r r3 r3 Η µετάδοση κίνησης µεταξύ των τροχών T 3 και T 4 επιτυγχάνεται µέσω του άκαµπτου άξονα A, άρα ισχύει: = = (9) 3 4 3 4 Σχέση µετάδοσης µεταξύ των τροχών T και T : i ω r r r = = = = = () ω r r r Η µετάδοση κίνησης µεταξύ των τροχών T και T επιτυγχάνεται µέσω του άκαµπτου άξονα A 3, άρα ισχύει: = = () Από τις Εξ.(7,8,9,,) προκύπτει ότι εµφανίζονται έξι () κινηµατικές µεταβλητές, οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µέσω τεσσάρων (4) εξισώσεων, άρα οι Βαµοί Ελευερίας (Β.Ε.) του συστήµατος είναι: Ως Βαµούς Ελευερίας, επιλέγουµε: ( B. E.) = 4= () την γωνία περιστροφής, διότι αυτή η µεταβλητή δεν εµφανίζεται σε καµία από τις Εξ.(8,9,,) (εξισώσεις µέσω των οποίων συνδέονται µεταξύ τους οι κινηµατικές µεταβλητές του συστήµατος) την γωνία περιστροφής, διότι η επιλογή αυτή βολεύει στην εκτέλεση πράξεων (αντί της γωνίας, είναι δυνατόν να επιλεχεί οποιαδήποτε άλλη από τις γωνίες 3, 4,, ). Βάσει των ανωτέρω επιλογών και αντικαιστώντας στις Εξ.(,), προκύπτει: T = ( I + I + I 3 3 + I 4 4 + I + I ) - 9. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - r r r r T = I + I + I3 + I4 + I + I r 3 r 3 r r r r r T = I + I + I 3 + I 4 + I r + I r3 r3 r r r r r r T = I + I+ I3 + I4 + I + I r3 r3 r r r r T = I + I + ( I + I ) + ( I + I ) 3 4 r3 r I (3) Ορίζουµε την ισοδύναµη ροπή αδρανείας I ίση µε: I = I + I + I r + I + I r 3 4 r3 r (4) Από τον συνδυασµό των Εξ.(3,4), η κινητική ενέργεια T του συστήµατος ισούται µε: T = I + I () Σχετικά µε τη δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, εωρώντας σταερό µέτρο διάτµησης G και σταερή πολική ροπή αδρανείας Εξ.(,4) δίδει: J p κατά µήκος του άξονα, ο συνδυασµός των x= L x= L x= L ( ) L L L x= x= x= U = GJ dx= GJ dx= GJ dx= GJ L U GJ = L k ( ) () Ορίζουµε την ισοδύναµη σταερά ελατηρίου k ίση µε: k GJ = L (7) Εισάγοντας την Εξ.() στην Εξ.(7), προκύπτει: U = k (8) Ανακεφαλαιώνοντας, από τις Εξ.(,,,8), ισχύει: - 9. -
Κινητική ενέργεια T συστήµατος: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - T = I + I U = k υναµική ενέργεια U συστήµατος: ιάχυση ισχύος συστήµατος: P C = Προσφερόµενη ισχύς στο σύστηµα: Pt = M Η µαηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange, είναι: L L PC Pt t q q + q = q (9) όπου ως q συµβολίζεται η ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή (Βαµός Ελευερίας). Άρα: Για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q=, ισχύει: Για τον αδρανειακό όρο: ( T U) L L L = = + ( ) = q Παραγωγίζοντας την Εξ.() ως προς το χρόνο, προκύπτει: q= I I k q I = () d L d = ( I ) = I dt dt () Για τον όρο ελαστικότητας: L q L T U = = = I + I k q L L = = ( k ( ) ) k ( ) () Για τον όρο διάχυσης: Για τον όρο διέγερσης: PC q q= q = P C = Pc = Pt q= P t Pt = q ( M ) = M = q (3) (4) Εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange για τον Βαµό Ελευερίας q=, ισχύει: L L PC Pt q= L L P C Pt + = + = q = t q q q q t () Με αντικατάσταση στην Εξ.(4), προκύπτει: - 9.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - L L P P t I k M I k M C t + = + = = () Κατ αντιστοιχία, για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q=, ισχύει: Για τον αδρανειακό όρο: ( T U) L L L = = + ( ) = q Παραγωγίζοντας την Εξ.(7) ως προς το χρόνο, προκύπτει: q= I I q k I = (7) ( ) d L d = I = I dt dt (8) Για τον όρο ελαστικότητας: L = ( ) L q T U q = = I + I k L L = + =+ ( k ( ) ) k ( ) (9) Για τον όρο διάχυσης: Για τον όρο διέγερσης: PC q q= q = P C = Pc = Pt q= P t Pt = ( M ) = q = q (3) (3) Εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange για τον Βαµό Ελευερίας q=, ισχύει: L L PC Pt q= L L P C Pt + = + = q = t q q q q t (3) Με αντικατάσταση στην Εξ.(3), προκύπτει: L L P P t C t + I k I k = + + = + = (33) Συνοψίζοντας, η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής Lagrange καταλήγει στις εξισώσεις: ( ) (34) I k = M I ( ) + k = Οι Εξ.(34,3), σε µητρωϊκή γραφή, λαµβάνουν τη µορφή: (3) - 9.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - I k k M + = I k k (3) Η Εξ.(3) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του συστήµατος. Από την εκφώνηση, δίδεται: Επίσης, από την εκφώνηση, δίδεται: I 3. = kgm (37) M = 39Nm (38) Αριµητική αντικατάσταση στην Εξ.(4) δίδει: r r.. I = I+ ( I3+ I4) + ( I+ I) =.+ (.+.7) + (.+.7) r3 r......... 4. 9. I = + + = + I = kgm (39) Αριµητική αντικατάσταση στην Εξ.(7) δίδει: L.. GJ.7.. k = = = k = 3 Nm (4) Ο συνδυασµός των Εξ.(3,37,38,39,4) δίδει: 3. + 3. 3. 39. 9. + = 3. 3. + M K f (4) Στην Εξ.(4) αναγνωρίζουµε τα µητρώα M, K καώς και το διάνυσµα f. Για το ερώτηµα (Β): Για τον υπολογισµό των ιδιοτιµών, επιλύουµε την εξίσωση: ( M K) λ = ω ω ( λm K) det + = det + = (4) Αντικαιστώντας στην Εξ.(4) τα µητρώα M και K από την Εξ.(4), προκύπτει: 3. + 3. 3. det λ + = 9. 3. + 3. λ 3.+ 3. 3. det = 3. λ 9.+ 3. - 9.9 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - λ 3.+ 3. 3. det 3. = λ 9.+ 3. 3. λ 3. λ +. 3. + det = det = λ 9. λ 3. + + 3. λ.+ 3. λ + 3. µ det = det = (43) λ 9. λ + 3.+ 3. µ Ορίζουµε τη βοηητική µεταβλητή: λ µ = (44) Εισάγοντας την Εξ.(44) στην Εξ.(43), προκύπτει: µ + det = ( µ + )( 3µ + ) = 3µ + ( µ ( µ ) ( µ )) ( µ µ µ ) 3 + + + = 3 3 + = µ = µ = 3µ 3µ = µ ( 3µ 3) = 3 3µ 3= µ = 3 λ λ µ = = µ = λ = µ =.433 λ λ =.433 =.433 (4) Ωστόσο, ισχύει (βλ. Εξ.(4)):.( 4) ω Εξ ω = = ω = rad s λ= ω ω =.433 ω =.433 ω = 8.8rad s (4) Στην Εξ.(4) διατηρήηκαν οι ετικές ρίζες των ποσοτήτων ω και ω διότι τα µητρώα M και K είναι ετικά ορισµένα και τέτοια µητρώα έχουν µη-αρνητικές ιδιοτιµές (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8/σελ.8.). Εποµένως, οι ιδιοσυχνότητες του συστήµατος είναι: ω = rad s και ω = 8.8 rad s (47) - 9. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Τα ιδιοανύσµατα του συστήµατος υπολογίζονται από την εξίσωση: Συνεπώς: για το πρώτο ιδιοάνυσµα ισχύει: ( ωi ) M + K Φ i =, i=, = k k Φ k Φ k Φ = + Φ = Φ = = k k Φ k Φ + k Φ = ω ( ω M K) K (48) k Φ k Φ = k k k k Φ Φ = Φ = Φ Φ =Φ kφ kφ = (49) Συνεπώς, το πρώτο ιδιοάνυσµα είναι: Φ Φ Φ Φ Φ = Φ = = =Φ Φ = () Ως Βαµοί Ελευερίας είχαν επιλεχεί οι κινηµατικές µεταβλητές και (βλ. σελ.8.). Συνεπώς, οι συνιστώσες του ιδιοανύσµατος είναι οι µεταβλητές και, Φ οι οποίες, σύµφωνα µε την Εξ.(), εµφανίζουν αναλογία : (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8, σελ.8.7). Η φυσική ερµηνεία αυτού, είναι ότι οι τροχοί T και T περιστρέφονται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα, ως εάν ο άξονας A είναι άκαµπτος. για το δεύτερο ιδιοάνυσµα ισχύει: I k k Φ + Φ = ω + = I k k Φ ( ω M K) ω I+ k k Φ = k I k ω + Φ () Με αριµητική αντικατάσταση στην Εξ.(), προκύπτει:.433 3.+ 3. 3. Φ = 3..433 9. 3. Φ +.433 3.+ 3. 3. Φ = 3..433 9.+ 3. Φ 9.99 3. Φ 9.99Φ 3.Φ = 3.33Φ Φ = 3..897 = Φ 3.Φ.897Φ = 3.34Φ Φ = 3.33Φ Φ = 3.33Φ Φ = 3.33Φ = Φ Φ =.3Φ 3.34Φ Φ = () Συνεπώς, το δεύτερο ιδιοάνυσµα είναι: - 9. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Φ.3Φ.3.3 Φ Φ.. Φ = Φ = = =Φ Φ = (3) Κατ αντιστοιχία µε το πρώτο ιδιοάνυσµα, οι συνιστώσες του ιδιοανύσµατος είναι οι Φ µεταβλητές και, οι οποίες, σύµφωνα µε την Εξ.(3), εµφανίζουν αναλογία (.3 :) (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8, σελ.8.7). Η φυσική ερµηνεία αυτού, είναι ότι οι τροχοί T και T δεν περιστρέφονται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα, µε αποτέλεσµα ο άξονας A να υφίσταται στρέψη. Για το ερώτηµα (Γ): Η απόκριση του συστήµατος προκύπτει από την επίλυση της Εξ.(3), η οποία επαναλαµβάνεται για την πληρότητα του κειµένου: I k k M + = I k k (4) Για την επίλυση της Εξ.(4) α χρησιµοποιηεί ο Ιδιοανυσµατικός Μετασχηµατισµός, ο οποίος για το εξεταζόµενο διβάµιο δυναµικό σύστηµα γράφεται ως εξής (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8/Εξ.()): i= Φ Φ Φ Φ ( t) = Φ q ( t) = q ( t) + q ( t) i i i= () Στην Εξ.() είναι γνωστές οι συνιστώσες των ιδιοανυσµάτων (βλ. Εξ.(,3)). Συνεπώς, αρκεί να υπολογισούν οι γενικευµένοι Βαµοί Ελευερίας qi( t ). Σύµφωνα µε την Εκπαιδευτική Ενότητα 8/σελ.8., κάε ένας γενικευµένος Βαµός Ελευερίας qi( t ) προκύπτει από την επίλυση της ακόλουης εξίσωσης: όπου T Φi F q i( t) + ωi qi( t) = () m ω i είναι η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος, η οποία αντιστοιχεί στον i Βαµό Ελευερίας, είναι το διάνυσµα της εξωτερικής διέγερσης και F µάζα, η οποία ισούται µε: m =Φ MΦ T ii i i ii m ii είναι η γενικευµένη Εποµένως, για κάε έναν από τους Βαµούς Ελευερίας και του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος, α πρέπει να υλοποιηούν τα ακόλουα βήµατα: να υπολογισεί η γενικευµένη µάζα, στη συνέχεια να επιλυεί η Εξ.() και το αποτέλεσµα της επίλυσης για κάε (Β.Ε.) να εισαχεί στην Εξ.(). (7) - 9. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Με βάση τα ανωτέρω, για τον Βαµό Ελευερίας ισχύει: Υπολογισµός γενικευµένης µάζας m T Εξ.( 4) 3. 3. m =Φ MΦ.( ) m = [ ] = [ ] m = 39. Εξ 9. 9. (8) Επίλυση της Εξ.() Σε αυτό το βήµα, απαιτείται ο υπολογισµός της ποσότητας T Φi F, όπου mii F είναι το διάνυσµα της εξωτερικής διέγερσης. Από το Σχήµα β, προκύπτει ότι η εξωτερικά ασκούµενη ροπή M( t ) (εξωτερική διέγερση) είναι βηµατικής µορφής (έχει µηδενική τιµή µέχρι την αρχή µέτρησης του χρόνου, οπότε και λαµβάνει ακαριαία την τιµή M, η οποία παραµένει σταερή στο χρόνο). Συνεπώς, η ροπή M( t ) είναι δυνατόν να γραφεί και ως εξής: * όπου ως H ( t) M H * F = t συµβολίζεται η συνάρτηση Heaviside (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 9/σελ.9.3). Αριµητική αντικατάσταση στην Εξ.(9) δίδει: * * 39H t H t F = = 39 Συνεπώς, η Εξ.() λαµβάνει την ακόλουη µορφή: * T Ε ξ.( 4 ): ω= H t 39 * q ( t) + ω q( t) = Φ F q ( t) = [ ] 39 = H ( t) m 39. 39. Η λύση της Εξ.() είναι: * t> (9) () q t = H t q t = () t = = + = + + q t q t t c q t c t c () Για µηδενικές αρχικές συνήκες (δεδοµένο εκφώνησης), η Εξ() γίνεται: q t t Κατ αντιστοιχία, για τον Βαµό Ελευερίας ισχύει: Υπολογισµός γενικευµένης µάζας m = (3) T Εξ.( 4) 3..3 9. m =Φ MΦ.( 3) m = [.3.] = [.3. Εξ ] 9.. 9. - 9.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Επίλυση της Εξ.() m =.7 (4) * T q t ω q t F q( t) ω q( t) [.3.] 39 H t + = Φ + = m.7 39 * 7 * q ( t) + ω q( t) =.3H ( t) q( t) + ω q( t) = H ( t).7.7 * ω () q t + q t = H t Η Εξ.() περιγράφει ένα µονοβάµιο δυναµικό σύστηµα. Για την επίλυσή της, α χρησιµοποιηεί ο Μετασχηµατισµός Laplace. Λαµβάνοντας υπόψη µηδενικές αρχικές συνήκες, όπως ορίζει η εκφώνηση, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα /παράδειγµα σελ..): { ω } { } { } ω { } { } L q t + q t = L H t L q t + L q t = L H t * * s Q( s) + ωq( s) = ( s + ω) Q( s) = s s Q ( s) = s s ( + ω) () Σύµφωνα µε την τεχνική των µερικών κλασµάτων, η Εξ,() γράφεται ως εξής (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα /σελ..3): Q ( + ω) ( + ) ω A B s B A s B s B s A s A B s B s = = = + + ( s) s s + ω s s + ω s s + ω Q( s) = Από τις Εξ.(,7), προκύπτει: Q s A B s B s+ Aω s( s + ω) A B s Bs+ Aω = = s( s + ω) s( s + ω) B = ( A B) = B = A ω B = B = B = Aω = A = A = ω ω Ο συνδυασµός των Εξ.(,8) δίδει: (7) (8) - 9.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Q s ω ω = = s ( s + ω) s ( s + ω) A Bs+ B ( s) s Q( s) = ω s ( s + ω) (9) Εφαρµόζοντας τον Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Laplace στην Εξ.(9), προκύπτει: s s L { Q( s) } = L = L + = ω s ( s + ω) ω s ω ( s + ω) s s = L + L = L + L ω s ω ( s + ω) ω s ω ( s + ω) q t H t t q t H t t ω ω ω * * = + cs( ω ) = cs( ω ) (7) Αντικαιστώντας τα ανωτέρω στην Εξ.(), προκύπτει: Φ Φ.3 q ( * t q t t H ( t) cs( ωt) ) = + = + ω Φ Φ.3 = 8.8 ( ) ω 8.8rad s * = t H t cs 8.8t.3 t.38 H t cs 8.8t -3 * = ( ) (7) Η Εξ.(7) περιγράφει την απόκριση του συστήµατος. Παρατήρηση Η Εξ.(7) περιγράφει την απόκριση ενός διβάµιου δυναµικού συστήµατος της µορφής που απεικονίζεται στο Σχήµα, το οποίο είναι ισοδύναµο αυτού του Σχήµατος. I Αξ M(t) I Σχήµα : Ισοδύναµο διβάµιο σύστηµα - 9. -
Η πρώτη χρονική παράγωγος της Εξ.(7) είναι: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - -3.3 = t.38 sin 8.8 όρος # όρος # ( t) (7) Στην Εξ.(7) αναγνωρίζουµε δύο όρους: Ο όρος # περιγράφει µία γραµµική αύξηση της γωνιακής ταχύτητας του στοιχείου µε ροπή αδρανείας I και της γωνιακής ταχύτητας του στοιχείου µε ροπή αδρανείας I (βλ. Σχήµα ). Η φυσική σηµασία αυτού του όρου είναι ότι η βηµατική επιβολή της εξωτερικής ροπής M( t ) (βλ. Σχήµα β) τείνει να αυξήσει, µε γραµµικό και ίδιο τρόπο, την γωνιακή ταχύτητα των εν λόγω στοιχείων. Ο όρος # περιγράφει µία αρµονική µεταβολή της γωνιακής ταχύτητας και των προαναφερέντων στοιχείων. Η φυσική σηµασία αυτού του όρου είναι ότι η σχετική γωνιακή ταχύτητα των στοιχείων, τα οποία συνδέονται µεταξύ τους µέσω του εύκαµπτου άξονα Aξ, µεταβάλλεται χρονικά. Με άλλα λόγια, τα εν λόγω στοιχεία εµφανίζουν στροφική ταλάντωση. Η ανωτέρω παρατήρηση είναι ιδιαιτέρως χρήσιµη στα πλοία, και συγκεκριµένα στη σχεδίαση του άξονα για τη µετάδοση κίνησης από τον κινητήρα στην προπέλα. - 9. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Περί ροπής αδρανείας και µαζικής ροπής αδρανείας κυκλικής διατοµής Από τη εωρία της Μηχανικής του Παραµορφωσίµου Σώµατος, η πολική ροπή αδρανείας και η µαζική ροπή αδρανείας µίας κυκλικής διατοµής ορίζονται όπως φαίνεται στο Σχήµα Α.. da dm = ρ da r r J = A r da I = A r dm (α) (β) Σχήµα Α.: Κυκλική διατοµή: (α) πολική ροπή αδρανείας και (β) µαζική ροπή αδρανείας Ειδικότερα, για τη µαζική ροπή αδρανείας ισχύει: ρ= cnst I = r dm= r ρda I = ρ r da I = ρj A A A J (Α.) Υπενυµίζεται ότι σε επίπεδα σχήµατα, η πυκνότητα ρ ορίζεται ανά µονάδα εµβαδού. Συνεπώς, η πολική ροπή αδρανείας J έχει διαστάσεις 4 I έχει διαστάσεις ML. Τυπικές µονάδες µέτρησης είναι: για την πολική ροπή αδρανείας J : για τη µαζική ροπή αδρανείας I : 4 m kg m L, ενώ η µαζική ροπή αδρανείας - 9.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Περί γραµµικής παρεµβολής Έστω ευύγραµµο τµήµα, το οποίο ενώνει δύο σηµεία ( x, y ) και (, ) x y του επιπέδου (βλ. Σχήµα Β.). Ισοδύναµα, έστω η γραµµική παρεµβολή µεταξύ των τιµών ( x, y ) και (, ) y y x y. y y y y y x x x x= x+ L (α) (β) Σχήµα Β.: Γραµµική παρεµβολή µεταξύ δύο σηµείων του επιπέδου: (α) στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων και (β) σε µετατοπισµένο σύστηµα συντεταγµένων y L X Από τη Γραµµική Άλγεβρα, είναι γνωστό ότι η εξίσωση του προαναφερέντος ευυγράµµου τµήµατος (βλ. Σχήµα Β.α) είναι: y y y y = x x x x (Β.) όπου το πεδίο ορισµού της ανεξάρτητης µεταβλητής x είναι: Επιλύοντας την Εξ.(Β.) ως προς y, προκύπτει: x [ x, x ] (Β.) y y x x x x x x y= x x + y = y y + y = y y + y x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x y= y + y x x x x (Β.3) Ωστόσο, από το Σχήµα Β.α, προκύπτει ότι ισχύει: x = x + L (Β.4) Εισάγοντας την Εξ.(Β.4) στην Εξ.(Β.3), προκύπτει: x x x x x x x x y= y + y y= y + y x + L x x + L x L L (Β.) - 9.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Επίσης, εάν µετατοπισεί ο άξονας των τεταγµένων στη έση x (βλ. Σχήµα Β.β), τότε προκύπτει η µετασχηµατισµένη µεταβλητή: Το πεδίο ορισµού της µεταβλητής X είναι: X = x x (Β.) [, ] [, ] [, ] x x x x x x x x x X L (Β.7) Ο συνδυασµός των Εξ.(Β., Β., Β.7) δίδει: X X y= y+ y, X, L L L N ( X) N( X) [ ] (Β.8) Η Εξ.(Β.8) πληροφορεί ότι στον υπολογισµό της τιµής y, µέσω γραµµικής παρεµβολής σε ένα διάστηµα [ x, x ], συµµετέχουν οι τιµές στα άκρα του διαστήµατος [, ] συγκεκριµένη βαρύτητα, η οποία περιγράφεται από τις συναρτήσεις N( X ) και. N Εξ.(Β.8)), όπου X είναι η µετασχηµατισµένη µεταβλητή της Εξ.(Β.). x x µε X (βλ. - 9.9 -