Με βάση τα παραπάνω ορίζουμε την αναμενόμενη χρησιμότητα (expected utility) EU(A) μιας επιλογής A ως εξής:

ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΠΙΛΟΓΗ Στην παρούσα ενότητα θα ασχοληθούμε με την περιγραφή και ανάλυση των μηχανισμών με τους οποίους κοινωνικές ομάδες μπορούν να επιλέγουν μεταξύ εναλλακτικών προτάσεων. Απόρροια κάθε τέτοιας επιλογής είναι η υιοθέτηση από την ομάδα συμπεριφορών και δράσεων συμβατών με την επιλογή τους. Οι συγκεκριμένοι μηχανισμοί βρίσκουν μεγάλη εφαρμογή σε ένα πλήθος περιπτώσεων κοινωνικής υπολογιστικής που περιλαμβάνουν ηλεκτρονικές ψηφοφορίες ή δημοσκοπήσεις, συστήματα παροχής συστάσεων (recommender systems) κλπ. Πριν ασχοληθούμε με τρόπους λήψης αποφάσεων σε ομάδες θα ασχοληθούμε γενικά με την περιγραφή του προβλήματος της λήψης αποφάσεων. Το Πρόβλημα της Απόφασης Το πρόβλημα της απόφασης (decision problem) ορίζεται ως εξής: Υπάρχουν μια σειρά από επιλογές Α 1, A 2,.., A n ανάμεσα στις οποίες πρέπει να επιλέξουμε μια. Υπάρχει ένα πλήθος Ο 1, Ο 2,.., Ο m από αμοιβαία αποκλειόμενα και εξαντλητικά αποτελέσματα των επιλογών μας δηλαδή οπωσδήποτε ένα και μόνο ένα από αυτά θα συμβεί ως αποτέλεσμα της επιλογής μας και τα Ο i καλύπτουν όλες τις δυνατές επιλογές. Αν επιλέξουμε μια εκ των Α τότε αυτή μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα το Ο j με πιθανότητα P(Ο i ) και χρησιμότητα (utility) U(Ο i ) Με βάση τα παραπάνω ορίζουμε την αναμενόμενη χρησιμότητα (expected utility) EU(A) μιας επιλογής A ως εξής: EU (A k )= P(Οi) U (Οi) για ι=1, 2,..., m (1) Tο πιο διαδεδομένο μοντέλο λήψης αποφάσεων ορίζει ότι θα πρέπει να προτιμήσουμε την επιλογή A k η οποία μεγιστοποιεί την αναμενόμενη χρησιμότητα. Το συγκεκριμένο μοντέλο είναι απόρροια του ορθολογικού μοντέλου συμπεριφοράς. Για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (1) για την αναμενόμενη χρησιμότητα κάποιας επιλογής σε ένα υπολογιστικό περιβάλλον θα πρέπει να γνωρίζουμε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των αποτελεσμάτων κάθε επιλογής. Επιπροσθέτως θα πρέπει να ποσοτικοποιήσουμε τη χρησιμότητα κάθε αποτελέσματος. Ο τρόπος ποσοτικοποίησης που χρησιμοποιείται προκύπτει από μια ακολουθία αξιωμάτων και ένα θεώρημα που έχουν προταθεί από τους von Neumann και Morgenstern και βασίζονται στην έννοια της κλήρωσης (lottery).. Ειδικότερα ορίζουμε ένα σύνολο από βραβεία X={ Α, Β, Γ,... } τα οποία μπορούμε να κερδίσουμε συμμετέχοντας σε μια κλήρωση για καθένα από αυτά. Οι κληρώσεις μπορεί να είναι και μικτές στις οποίες μπορούμε να κερδίσουμε ένα από κάποιο σύνολο βραβείων με διαφορετικές πιθανότητες. Για παράδειγμα, μπορούμε να συμμετάσχουμε σε μια μικτή κλήρωση ApB στην οποία μπορούμε να κερδίσουμε το βραβείο Α με πιθανότητα p και το B με πιθανότητα (1-p) (επομένως ApB=p*A+(1-p)*B). Ανάμεσα σε όλες τις πιθανές κληρώσεις μπορούμε να ορίσουμε σχέσεις προτίμησης ως εξής: Α Β, σημαίνει ότι προτιμούμε να συμμετάσχουμε στην κλήρωση Α από την Β Α ~ Β, σημαίνει ότι είμαστε αδιάφοροι ανάμεσα στις κληρώσεις Α και Β Οι von Neumann και Morgenstern όρισαν τέσσερα αξιώματα τα οποία αναφέρονται στις σχέσεις

προτίμησης σε κληρώσεις. Υποθέτοντας ότι το K είναι ένα σύνολο από κληρώσεις (μικτές ή όχι) τα μέλη του ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα: 1. Πληρότητα. Για κάθε Α, Β που ανήκουν στο K ισχύει ότι Α Β ή Β Α ή Α ~ Β. 2. Μεταβατικότητα. Για κάθε Α, Β, Γ που ανήκουν στο K ισχύει ότι αν Α Β και Β Γ τότε Α Γ 3. Συνέχεια. Για κάθε Α, Β, Γ που ανήκουν στο K ισχύει ότι αν Α Β Γ τότε υπάρχουν πιθανότητες p, q για τις οποίες ισχύει ότι ΑpΓ Β ΑqΓ 4. Ανεξαρτησία. Για κάθε Α, Β, Γ που ανήκουν στο K ισχύει ότι Α Β Γ αν και μόνο αν για κάθε πιθανότητα p ισχύει ότι ΑpΓ ΒpΓ Σύμφωνα με το θεώρημα της αναπαράστασης των von Neumann και Morgenstern, μια σχέση προτίμησης μεταξύ κληρώσεων ικανοποιεί τα ανωτέρω τέσσερα αξιώματα όταν και μόνο όταν υπάρχει μια συνάρτηση χρησιμότητας u τέτοια ώστε: 1. αν A B, τότε u(a) > u(b), 2. u(apb) = p u(a) + (1 - p) u(b), 3. για κάθε συνάρτηση u που ικανοποιεί τις σχέσεις (1) και (2) υπάρχουν αριθμοί a > 0 και b τέτοιοι ώστε u = a * u + b. Σύμφωνα με τα ανωτέρω η ανάθεση αριθμητικών τιμών για τη χρησιμότητα κάθε δυνατής κλήρωσης στο σύνολο K μπορεί να γίνει με τα ακόλουθα βήματα: Ανάθεσε τη τιμή 1 στην χρησιμότητα της κλήρωσης A i για την οποία ισχύει ότι A i A j για κάθε j διαφορετικό του ι όπου A i, A j ανήκουν στο K. Επομένως u(a i ) = 1. Η A i επομένως αντιστοιχεί στην περισσότερο προτιμητέα κλήρωση Ανάθεσε την τιμή 0 στην χρησιμότητα της κλήρωσης A k η για την οποία ισχύει ότι A j A k για κάθε j διαφορετικό του k όπου A k, A j ανήκουν στο K. Επομένως u(a k ) = 0. Η A k επομένως αντιστοιχεί στην λιγότερο προτιμητέα κλήρωση Για κάθε άλλη κλήρωση B διαφορετική από τις A i, A k όρισε την πιθανότητα p για την οποία ισχύει ότι A i pa k = B. Η πιθανότητα p εκφράζει τη χρησιμότητα της Β στο σύνολο K. Επομένως u(b)=p. Ο μηχανισμός υπολογισμού της χρησιμότητας μιάς επιλογής και η εφαρμογή της αρχής της μεγιστοποίησης της αναμενόμενης χρησιμότητας είναι χρήσιμα εργαλεία για την λήψη αποφάσεων κάτω από κίνδυνο (decision making under risk). Με τον όρο αυτό αναφερόμαστε σε περιπτώσεις στις οποίες οι πιθανότητες εμφάνισης των αποτελεσμάτων κάθε επιλογής είναι γνωστές. Υπάρχουν όμως αρκετές περιπτώσεις στις οποίες οι συγκεκριμένες πιθανότητες δεν είναι γνωστές. Στην περίπτωση αυτή μιλάμε για το πρόβλημα της λήψης αποφάσεων υπό αβεβαιότητα (decision making under uncertainty). Η αντιμετώπιση της κλάσης των προβλημάτων αυτών δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσει την ανάλυση των von Neumann και Morgenstern. Ακόμη όμως και σε περιπτώσεις στις οποίες μπορεί να εφαρμοστεί η ανάλυση των von Neumann και Morgenstern η εμπειρία διδάσκει ότι τα άτομα σε αρκετές περιπτώσεις δεν επιδεικνύουν την ορθολογική συμπεριφορά που προβλέπει η συγκεκριμένη ανάλυση. Υπάρχουν δύο κύρια παραδείγματα ανορθολογικής συμπεριφοράς στα οποία αξίζει να αναφερθούμε: το παράδοξο του Alais και το παράδοξο του Ellsberg. Στο παράδοξο του Alais καλούμαστε να επιλέξουμε μεταξύ δύο κληρώσεων Α και Β με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Στην κλήρωση Α υπάρχει μια πιθανότητα 100% να κερδίσουμε 100 ευρώ.

Στην κλήρωση Β υπάρχει μια πιθανότητα 1% να κερδίσουμε τίποτα, 10% πιθανότητα να κερδίσουμε 500 ευρώ και 89% πιθανότητα να κερδίσουμε 100 ευρώ. Αντιμέτωποι με το ανωτέρω δίλημμα η εμπειρία έχει δείξει ότι οι περισσότεροι από εμάς θα προτιμήσουν την κλήρωση Α επιλέγοντας τη σιγουριά των 100 ευρώ. Ας υποθέσουμε στη συνέχεια ότι έχουμε να επιλέξουμε μεταξύ των κληρώσεων Γ και Δ με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Στην κλήρωση Γ υπάρχει μια πιθανότητα 11% να κερδίσουμε 100 ευρώ και 89% πιθανότητα να κερδίσουμε τίποτα. Στην κλήρωση Δ υπάρχει μια πιθανότητα 10% να κερδίσουμε 500 ευρώ και 90% πιθανότητα να κερδίσουμε τίποτα. Αντιμέτωποι με το ανωτέρω δίλημμα η εμπειρία έχει δείξει ότι οι περισσότεροι από εμάς θα προτιμήσουν την κλήρωση Δ. Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι οι επιλογές Α και Δ που προτιμά η πλειοψηφία είναι ασύμβατες μεταξύ τους αν χρησιμοποιήσουμε την ανάλυση των von Neumann και Morgenstern. Σύμφωνα με την συγκεκριμένη ανάλυση οι χρησιμότητες για το καθένα από τα βραβεία στις ανωτέρω κληρώσεις είναι: u(500 )=1, u(0 )=0, u(100 )=x, όπου 0 < x < 1 ενω η αναμενόμενη χρησιμότητα καθεμίας από τις κληρώσεις υπολογίζεται ως εξής: u(a)=x u(b)=0.1+0.89*x u(γ)=0.11*x u(δ)=0.1 Από τις ανωτέρω σχέσεις προκύπτει ότι: u(a) - u(b) = u(γ) - u(δ)= 0.11*x 0.1 και επομένως η επιλογή Γ θα πρέπει να είναι προτιμότερη από την Δ όπως η Α είναι προτιμότερη από την Β!! Στο παράδοξο του Ellsberg θεωρούμε ότι υπάρχει μαι κληρωτίδα που περιέχει 90 μπάλες 30 εκ των οποίων είναι κόκκινες και οι υπόλοιπες 60 μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε συνδυασμός μπλε και κίτρινων μπαλών. Σε πρώτη φάση καλούμαστε να επιλέξουμε μεταξύ δύο κληρώσεων Α και Β με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Στην κλήρωση Α κερδίζουμε μια εβδομάδα πληρωμένες διακοπές στη Μύκονο αν τραβήξουμε από την κληρωτίδα μια κόκκινη μπάλα. Στην κλήρωση Β κερδίζουμε μια εβδομάδα πληρωμένες διακοπές στη Μύκονο αν τραβήξουμε από την κληρωτίδα μια μπλε μπάλα. Αντιμέτωποι με το ανωτέρω δίλημμα η εμπειρία έχει δείξει ότι οι περισσότεροι από εμάς θα προτιμήσουν την κλήρωση Α. Ας υποθέσουμε στη συνέχεια ότι έχουμε να επιλέξουμε μεταξύ των κληρώσεων Γ και Δ με τα

ακόλουθα χαρακτηριστικά: Στην κλήρωση Γ κερδίζουμε μια εβδομάδα πληρωμένες διακοπές στη Μύκονο αν τραβήξουμε από την κληρωτίδα μια κόκκινη ή κίτρινη μπάλα. Στην κλήρωση Δ κερδίζουμε μια εβδομάδα πληρωμένες διακοπές στη Μύκονο αν τραβήξουμε από την κληρωτίδα μια μπλε ή κίτρινη μπάλα.. Αντιμέτωποι με το ανωτέρω δίλημμα η εμπειρία έχει δείξει ότι οι περισσότεροι από εμάς θα προτιμήσουν την κλήρωση Δ. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να αποδείξουμε ότι σύμφωνα με την ανάλυση των von Neumann και Morgenstern οι επιλογές Α και Β έχουν την ίδια αναμενόμενη χρησιμότητα και το ίδιο συμβαίνει με τις Γ και Δ. Επομένως σε καθεμία περίπτωση δεν θα πρέπει να εμφανιζόταν κάποια ιδιαίτερη προτίμηση μεταξύ των δύο κληρώσεων. Το γεγονός ότι εμπειρικά εμφανίζεται μια τέτοια διαφορά αποτελεί σαφή ένδειξη ότι η συγκεκριμένη ανάλυση δεν προβλέπει ικανοποιητικά την ανθρώπινη συμπεριφορά σε παρόμοιες περιπτώσεις. Το Πρόβλημα της Απόφασης σε Ομάδες Στην προηγούμενη ενότητα αναλύσαμε το πρόβλημα της απόφασης στο επίπεδο του ατόμου. Αναφερθήκαμε στις συνθήκες τις οποίες ικανοποιούν οι ατομικές προτιμήσεις περιγράφοντας τέσσερα σχετικά αξιώματα. Αναφέραμε επίσης ότι τα συγκεκριμένα αξιώματα μας επιτρέπουν να ποσοτικοποιήσουμε τις ατομικές προτιμήσεις χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις χρησιμότητας. Στο επίπεδο της ομάδας υποθέτουμε ότι καθένα από τα μέλη της ομάδας συμπεριφέρεται ορθολογικά και επομένως, για ποράδειγμα, ότι οι προτιμήσεις του ικανοποιούν τη μεταβατικότητα και τα υπόλοιπα σχετικά αξιώματα. Ο σκοπός της ομάδας είναι να λάβει δίκαιες αποφάσεις. Προφανώς στην κατηγορία των δίκαιων αποφάσεων δεν συμπεριλαμβάνονται αποφάσεις οι οποίες ταυτίζονται πάντα με τις προτιμήσεις ενός συγκεκριμένου μέλους της ομάδας. Με άλλα λόγια δεν αναφερόμαστε σε αυταρχικές ομάδες. Υποθέτουμε επίσης ότι κάθε μέλος της ομάδας υποβάλλει ένα διατεταγμένο σύνολο προτιμήσεων το οποίο καλύπτει όλο το σύνολο των διαθέσιμων προτιμήσεων. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι μια παρέα τριών φίλων (Φ1, Φ2 και Φ3) θέλει να αποφασίσει πως θα περάσει το σαββατόβραδο της. Μετά από αρκετή σκέψη οι τρεις φίλοι καταλήγουν σε τρεις εναλλακτικές προτάσεις: 1. Κινηματογράφος 2. Ταβέρνα 3. Παιχνίδι στον Υπολογιστή Οι προτιμήσεις καθενός από αυτούς είναι: Φ1: 1 2 3 Φ2: 2 3 1 Φ3: 3 1 2 Ποια είναι στην περίπτωση αυτή η βούληση της ομάδας; Όπως θα δούμε στη συνέχεια η βούληση της ομάδας εξαρτάται από τη συνάρτηση η οποία θα χρησιμοποιηθεί για να αντιστοιχίσει τα διατεταγμένα σύνολα προτιμήσεων των μελών της σε μια ομαδική (ή κοινωνική) διάταξη. Αναφερόμαστε στη συγκεκριμένη διαδικασία ως τη διαδικασία συνάθροισης (aggregation procedure) ή τη λειτουργία της κοινωνικής ευμάρειας (social welfare function). Μια

συνάρτηση που αντιστοιχίζει σύνολα προτιμήσεων σε μια τελική λίστα από διατεταγμένες προτιμήσεις αναφέρεται ως συνάρτηση κοινωνικής επιλογής (social choice function). Διαδικασίες συνάθροισης Μέθοδος Condorcet Μια πιθανή διαδικασία συνάθροισης είναι γνωστή ως μέθοδος Condorcet και συγκρίνει ανά δυο όλες τις πιθανές αποφάσεις. Η απόφαση που υπερτερεί κατά πλειοψηφία έναντι όλων των άλλων σε αυτές τις διμερείς συγκρίσεις αποτελεί τη βούληση της ομάδας. Στο παράδειγμα μας παρατηρούμε ότι δύο φίλοι προτιμούν την 1 έναντι της 2 και ένας μόνο προτιμά την 2 έναντι της 1. Επομένως κατά πλειοψηφία η 1 υπερτερεί της 2. Επίσης, δύο φίλοι προτιμούν την 2 έναντι της 3 και ένας μόνο προτιμά την 3 έναντι της 2. Επομένως κατά πλειοψηφία η 2 υπερτερεί της 3. Τέλος, δύο φίλοι προτιμούν την 3 έναντι της 1 και ένας μόνο προτιμά την 1 έναντι της 3. Άρα κατά πλειοψηφία η 3 υπερτερεί της 1. Αν απεικονίσουμε τις επιμέρους διατάξεις σε μια ολική διάταξη καταλήγουμε ότι στο επίπεδο της ομάδας κατά πλειοψηφία ισχύει ότι: 1 2 3 1 Δυστυχώς στο παράδειγμα μας η μέθοδος Condorcet δεν παράγει μια διατεταγμένη ακολουθία προτιμήσεων καθώς καταλήγει σε έναν κύκλο στον οποίο δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. Μια τέτοια περίπτωση είναι γνωστή ως το παράδοξο του Condorcet. Απαρίθμηση κατά Borda Μια εναλλακτική διαδικασία συνάθροισης είναι γνωστή ως απαρίθμηση κατά Borda (Borda Count). Στη διαδικασία αυτή έστω ότι θέλουμε να επιλέξουμε μεταξύ m αποφάσεων. Κάθε μέλος της ομάδας βαθμολογεί με μηδέν (0) την λιγότερο επιθυμητή επιλογή, με 1 την δεύτερη λιγότερο επιθυμητή επιλογή του... και με m-1 την πρώτη επιλογή του. Στη συνέχεια υπολογίζεται το άθροισμα των βαθμών που πήρε συνολικά κάθε επιλογή από όλα τα μέλη της ομάδας. Η ομάδα αποφασίζει να ακολουθήσει την επιλογή που λαμβάνει τη μεγαλύτερη βαθμολογία. Στο παράδειγμα μας το άθροισμα κάθε επιλογής υπολογίζεται ως εξής: βαθμός(1)= 2+0+1 =3 βαθμός(2)= 1+2+0 =3 βαθμός(3)= 0+1+2 =3 και επομένως η ομάδα είναι αδιάφορη ως προς ποια απόφαση θα υιοθετήσει (1 ~ 2 ~ 3) καθώς όλες λαμβάνουν την ίδια βαθμολογία. Σε μια τέτοια περίπτωση και υποθέτοντας ότι και οι τρεις φίλοι προτιμούν να πάνε κάπου, έστω και στην τελευταία τους επιλογή, ένας πιθανός τρόπος απόφασης μπορεί να προέλθει από μια τυχαία διαδικασία όπως το ρίξιμο ενός ζαριού. Παρατηρούμε λοιπόν ότι η μέθοδος Condorcet δεν παράγει πάντα μια απόφαση για την ομάδα ενώ η μέθοδος του Borda καταλήγει πάντα σε κάποια απόφαση. Μια επίσης ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι όταν η μέθοδος Condorcet καταλήγει σε κάποια απόφαση αυτή δεν είναι απαραίτητα ίδια με αυτήν της Borda όπως αποδεικνύει το ακόλουθο παράδειγμα. Έστω ότι σε μια ομάδα πέντε μέλη της επιλέγουν 1 2 3, ένα μέλος της επιλέγει 1 3 2, ενώ τέσσερα μέλη της επιλέγουν 2 3 1. Κατά συνέπεια με μια πλειοψηφία 6 προς 4 η 1 υπερτερεί έναντι της 2, με μια πλειοψηφία 6 προς 4 η 1 υπερτερεί της 3 ενώ με πλειοψηφία 9 προς 1 η 2 υπερτερεί της 3. Επομένως η διάταξη των αποφάσεων που προκύπτει για την ομάδα από την εφαρμογή της μεθόδου Condorcet είναι 1 2 3. Η απαρίθμηση κατα Borda στη συγκεκριμένη περίπτωση καταλήγει στην ακόλουθη βαθμολογία:

βαθμός(1)= 5*2+1*2 =12 βαθμός(2)= 5*1+4*2 =13 βαθμός(1)= 1*1+4*1 =5 και επομένως η μέθοδος καταλήγει στη διάταξη 2 1 3. Πλουραλιστική μέθοδος Μια τρίτη εναλλακτική μέθοδος είναι η πλουραλιστική (plurality) μέθοδος στην οποία επιλέγεται η απόφαση η οποία θα βρεθεί στην πρώτη θέση των επιλογών του μεγαλύτερου πλήθους μελών της ομάδας από όλες τις υπόλοιπες. Σημειωτέον ότι δεν είναι απαραίτητο το μεγαλύτερο πλήθος να αποτελεί την πλειοψηφία των μελών της ομάδας. Στο παράδειγμα μας επειδή η 1 έρχεται στην πρώτη θέση σε έξι περιπτώσεις, η 2 σε τέσσερις και η 3 σε καμία αυτό σημαίνει ότι η 1 θα υιοθετηθεί ως επιλογή της ομάδας. Το σύστημα του Hare Το σύστημα του Hare βασίζεται στην ιδέα της διαμόρφωσης μιας τελικής λίστας προτιμήσεων μέσα από διαδοχικές διαγραφές επιλογών ο οποίες δεν είναι ιδιαίτερα επιθυμητές. Κατά τη διαδικασία αυτή αρχικά εντοπίζουμε την (τις) επιλογή (-ές) η οποία εμφανίζεται στην κορυφή του μικρότερου αριθμού λιστών από προτιμήσεις και την διαγράφουμε από όλες τις λίστες. Αυτή η επιλογή αποτελεί και την λιγότερο επιθυμητή επιλογή. Η διαδικασία συνεχίζεται με τον εντοπισμό στο καινούργιο σύνολο από λίστες της (των) επιλογών που εμφανίζονται στην κορυφή του μικρότερου αριθμού λιστών και την διαγραφή τους από αυτές κ.ο.κ. μέχρις ότου καταλήξουμε σε λίστες που περιέχουν μια μοναδική επιλογή ή μια ομάδα ισόβαθμων επιλογών η οποία και ανακηρύσσεται νικητής. Αν σε οποιοδήποτε βήμα διαπιστώσουμε ότι υπάρχει μια επιλογή η οποία εμφανίζεται πρώτη στις περισσότερες από τις μισές λίστες τότε δε χρειάζεται να συνεχίσουμε αφού αυτή η επιλογή θα ανακηρυχθεί νικητής. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε 7 εκλογείς και πέντε ενδεχόμενα a, b, c, d, e. Έστω επίσης ότι έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα της ψηφοφορίας: a a a c c b e b d d b d c c c b b d b d d d e e e a a b e c c a e e a Αρχικά διαγράφουμε την επιλογή d επειδή δεν εμφανίζεται πρώτη σε καμία λίστα επιλογών. Οι λίστες μας τώρα γίνονται: a a a c c b e b b b b b c c c e e e a a b e c c a e e a Στη συνέχεια διαγράφουμε τις επιλογές b, e οι οποίες εμφανίζονται πρώτες μία μόνο φορά. Οι λίστες μας τώρα γίνονται:

a a a c c c c c c c a a a a Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι η επιλογή c εμφανίζεται πρώτη στις περισσότερες από τις μισές λίστες επιλογών και για τον λόγο αυτό ανακηρύσσεται νικητής. Ακολουθιακή ψηφοφορία ανά ζεύγη με καθορισμένη ατζέντα Η μέθοδος της ακολουθιακής ψηφοφορίας ανά ζεύγη με καθορισμένη ατζέντα (sequential pairwise voting with a fixed fgenda) χρησιμοποιεί μια καθορισμένη εκ των προτέρων ατζέντα (σειρά) με την οποία θα εξεταστούν οι πιθανές προτιμήσεις σε ζεύγη. Αρχικά η πρώτη επιλογή στην ατζέντα συγκρίνεται με τη δεύτερη και επιλέγεται αυτή που υπερτερεί μεταξύ τους όπως θα γινόταν και στη μέθοδο Condorcet. Στη συνέχεια η επιλογή που επικρατεί συγκρίνεται με την τρίτη επιλογή στην ατζέντα κ.ο,κ, Σε καθε γύρο οι επιλογές που χάνουν διαγράφονται από τις λίστες επιλογών. Νικητής ανακηρύσσεται η επιλογή που θα υπερτερήσει όταν θα συγκριθεί με το τελευταίο στοιχείο της ατζέντας (ή η ομάδα πιλογών σε περίπτωση ισοβαθμίας). Αν εφαρμόσουμε τη συγκεκριμένη μέθοδο στο προηγούμενο παράδειγμα του συστήματος Hare χρησιμοποιώντας την ατζέντα a, b, c, d, e. Συγκρίνοντας τα πρώτα δύο μέλη της ατζέντας a και b παρατηρούμε ότι η επιλογή b εμφανίζεται σε υψηλότερη θέση από την a σε τέσσερις από τις επτά συνολικά λίστες και επομένως η a υπερισχύει της b και η b διαγράφεται από όλες τις λίστες. Στη συνέχεια συγκρίνουμε την a με την c που αποτελεί το τρίτο μέλος της ατζέντας. Πάλι η b υπερισχύει. Στη συνέχεια την συγκρινουμε με την d από την οποία ηττείται και τελικά συγκρίνεται η d με την e και υπερισχύει η d η οποία και ανακηρύσσεται νικητής. Δικτατορική μέθοδος Η δικατορική μέθοδος είναι αρκετά απλή. Διάλεξε έναν από τους εκλογείς και ονόμασε τον δικτάτορα. Δοθέτων των λιστών προτίμησης αγνόησε όλες τις υπόλοιπες λίστες εκτός από αυτήν του δικτάτορα. Η επιλογή που βρίσκεται στην κορυφή της δικτατορικής λίστας ανακηρύσσεται νικητής. Υπάρχουν αρκετές άλλες διαδικασίες συνάθροισης που μπορεί να εφαρμοστούν. Για παράδειγμα στη μέθοδο της ψηφοφορίας αποδοχής (approval voting), οι ψηφοφόροι υποβάλουν μια μη διατεταγμένη λίστα με επιλογές τις οποίες θεωροιύν ως κατάλληλες. Νικητής αναδεικνύεται η επιλογή με τη μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης σε όλες τις λίστες. Η μέθοδος χρησιμοποιείται στην εκλογή του Γενικού Γραμματέα του ΟΗΕ και σε διάφορες εκλογές στην Ευρώπη και στις ΗΠΑ. Για την ακρίβεια προκύπτει ότι για κάθε πιθανή διάταξη επιλογών στο επίπεδο της ομάδας υπάρχει μια διαδικασία συνάθροισης η οποία μπορεί να καταλήξει στη συγκεκριμένη διάταξη. Πως λοιπόν μπορούμε να αξιολογήσουμε τις διαδικασίες συνάθροισης; Μια πιθανή μέθοδος είναι να καταλήξουμε σε μια σειρά από αξιώματα που μια τέτοια διαδικασία θα πρέπει να ικανοποιεί ώστε να γίνει αποδεκτή όπως κάναμε και στο ατομικό επίπεδο. Μια δεύτερη μέθοδος αξιολογεί κάθε διαδικασία συνάθροισης σε σχέση με τον σκοπό που υπηρετεί. Για παράδειγμα η διαδικασία με την οποία οι τρεις φίλοι επιλέγουν τον τρόπο διασκέδασης τους το σαββατόβραδο αποσκοπεί στη μεγιστοποίηση της ψυχαγωγίας τους ενώ η μέθοδος με την οποία ένα σώμα ενόρκων σε μια δίκη αποφασίζει για την αθωότητα ή όχι ενός κατηγορουμένου αποσκοπεί στην απονομή δικαιοσύνης. Σε αυτές τις περιπτώσεις οι διαδικασίες συνάθροισης μπορεί να είναι διαφορετικές. Αξιωματικές Μέθοδοι Στις αξιωματικές μεθόδους ορίζουμε ένα σύνολο από αξιώματα τα οποία θα πρέπει να ικανοποιούνται από μια διαδικασία συνάθροισης και στη συνέχεια ελέγχουμε ποιες διαδικασίες συνάθροισης ικανοποιούν όλα τα αξιώματα του συνόλου. Υπάρχουν δυο αρκετά ενδιαφέροντα

θεωρήματα τα οποία προκύπτουν από τη χρήση τέτοιων μεθόδων. Θεώρημα του May Ορίζουμε τα εξής τρία αξιώματα τα οποία θα πρέπει να ικανοποιούνται από μια διαδικασία συνάθροισης: 1. Ανωνυμία (Anonymity). Αλλάζοντας αμοιβαία τις διατάξεις επιλογών δυο οποιωνδήποτε μελών της ομάδας δεν μεταβάλλει τη διάταξη στο επίπεδο της ομάδας. 2. Ουδετερότητα (Neutrality). Τα ονόματα των επιλογών δεν επηρεάζουν την τελική διάταξη στο επίπεδο της ομάδας. Ειδικότερα, αν επιλέξουμε να κάνουμε μια ανταλλαγή δυο συγκεκριμένων επιλογών σε όλες τις ατομικές διατάξεις επιλογών των μελών της ομάδας, η τελική διάταξη στο επίπεδο της ομάδας θα αντικατοπτρίζει την καινούργια διάταξη των επιλογών που ανταλλάχθηκαν. 3. Θετική απόκριση (Positive Responsiveness). Αν η επιλογή Α ισοβαθμεί με κάποια άλλη επιλογή στην τελική κατάταξη της ομάδας και σε μια ατομική κατάταξη βελτιώσει τη θέση της κατά ένα βήμα τότε θα πρέπει να αναδειχθεί νικητής στην τελική κατάταξη για την ομάδα. Σύμφωνα με το θεώρημα του May μια διαδικασία συνάθροισης ανάμεσα σε δύο επιλογές ικανοποιεί τα τρία ανωτέρω αξιώματα όταν και μόνο όταν είναι η πλουραλιστική μέθοδος. Θεώρημα του Arrow Ορίζουμε τα εξής τέσσερα αξιώματα τα οποία θα πρέπει να ικανοποιούνται από μια διαδικασία συνάθροισης: 1. Αποδοτικότητα κατά Pareto (Pareto Efficiency). Αν σε όλες τις διατάξεις επιλογών των μελών της ομάδας η επιλογή Α εμφανίζεται σε υψηλότερη θέση από την επιλογή Β τότε το ίδιο θα πρέπει να ισχύει και στην τελική διάταξη στο επίπεδο της ομάδας. 2. Ανεξαρτησία έναντι άσχετων εναλλακτικών επιλογών (Independence of Irrelevant Alternatives). Η διάταξη μεταξύ δύο επιλογών στην τελική διάταξη της ομάδας θα πρέπει να εξαρτάται μόνο από τη διάταξη των δύο αυτών επιλογών στις ατομικές διατάξεις των μελών της ομάδας. 3. Δημοκρατικότητα (Non-Dictatorship). Η τελική διάταξη της ομάδας δεν θα πρέπει να συμπίπτει πάντα με την διάταξη ενός συγκεκριμένου μέλους της ομάδας. Με άλλα λόγια, η ομάδα δε θα πρέπει να περιέχει ένα δικτάτορα. Στην αντίθετη περίπτωση ορίζουμε ότι η διαδικασία συνάθροισης είναι δικτατορική. 4. Ολοκληρωτική Κάλυψη (Universal Domain). Η διαδικασία συνάθροισης θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη της όλες τις ατομικές διατάξεις επιλογών και να παράγει πάντα μια τελική διάταξη στο επίπεδο της ομάδας. Το θεώρημα του Arrow ορίζει ότι σε ομάδες πεπερασμένου αριθμού μελών (>1) δεν υπάρχει διαδικασία συνάθροισης η οποία εξετάζει τρεις ή περισσότερες εναλλακτικές επιλογές και ικανοποιεί τα τέσσερα αξιώματα που αναφέραμε. Καμία από τις μεθόδους που εξετάσαμε μέχρι τώρα δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του συγκεκριμένου θεωρήματος. Η μέθοδος Condorcet δεν παράγει πάντα μια τελική διάταξη επομένως δεν παρέχει Ολοκληρωτική Κάλυψη. Η μέθοδος Borda δεν ικανοποιεί την Ανεξαρτησία έναντι άσχετων εναλλακτικών επιλογών όπως καταδεικνύει το ακόλουθο παράδειγμα. Έστω ότι ότι σε μια ομάδα τριών μελών έχουμε τις ακόλουθες διατάξεις επιλογών:

Α: 1 2 3 Β: 1 3 2 Γ: 2 3 1 Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι: βαθμός(1)= 2*2 =4 βαθμός(2)= 2+1 =3 και επομένως 1 2. Τώρα προσθέτουμε μια καινούργια επιλογή 4 χωρίς να μεταβάλλουμε τις σχετικές θέσεις των υπολοίπων επιλογών. Α: 4 1 2 3 Β: 1 3 2 4 Γ: 2 3 4 1 Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι: βαθμός(1)= 2+3 =5 βαθμός(2)= 1+1+3 =5 και επομένως 1 ~ 2. Άρα η εισαγωγή του 4 επηρέασε τη σχετική θέση των 1 και 2. Μονοτονικότητα Μια ακόμα ιδιότητα των μεθόδων συνάθροισης που είναι ενδιαφέρουσα είναι η μονοτονικότητα (monotonicity). Αν υποθέσουμε ότι x είναι η νικήτρια επιλογή μίας μεθόδου συνάθροισης, τότε η συγκεκριμένη μέθοδος είναι μονοτονική όταν μετακινώντας την x κατά ένα βήμα ψηλότερα σε μια οποιαδήποτε από τις λίστες επιλογών (δηλ. ανταλάσσοντας την θέση της x με την επιλογή ακριβώς από πάνω της) διατηρεί την x ως νικήτρια επιλογή. Προφανώς κάποια μέθοδος συνάθροισης που δεν είναι μονοτονική είναι ιδιαίτερα παράδοξη. Δημοψηφίσματα Τα δημοψηφίσματα αποτελούν μια ιδιαίτερη κατηγορία μεθόδων επιλογής σε ομάδες κατά την οποία οι εκλογείς δεν υποβάλουν μια λίστα με επιθυμητές επιλογές αλλά απαντούν με ένα ΝΑΙ ή ένα ΟΧΙ σε μια συγκεκριμένη ερώτηση. Σε ένα τέτοιο σύστημα ένα σύνολο ψηφοφόρων που διαλέγει την ίδια απάντηση αποτελεί έναν συνασπισμό (coalition). Συνασπισμοί ικανοί να επιβάλλουν την απόφαση τους στα πλαίσια του συστήματος ονομάζονται νικηφόροι. Συνήθως τα δημοψηφικά συστήματα είναι μονοτονικά. Υπάρχουν τρεις εναλλακτικοί τρόποι να περιγραφεί ένα δημοψηφικό σύστημα: Με τον ορισμό του αριθμού των ψήφων που κάθε εκλογέας διαθέτει και τον ορισμό του πλήθους των ψήφων που απαιτούνται για να περάσει μια πρόταση. Πιο γενικά, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα δημοφηψικό σύστημα αναθέτοντας συντελεστές βαρύτητας σε κάθε ψηφοφόρο (οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί) και ορίζοντας ένα συγκεκριμένο αριθμό q ως το ελάχιστο όριο ψήφων που θα πρέπει να συγκεντρωθούν ώστε να εγκριθεί μια πρόταση. Ο αριθμός q είναι γνωστός ως ποσόστωση (quota). Ένα σύστημα το οποίο περιγράφεται πλήρως από τους συντελεστές βαρύτητας των ψηφοφόρων και την ποσόστωση ονομάζεται διαβαθμισμένο (weighted). Με την απαρίθμηση όλων των νικηφόρων συνασπισμών Με ένα συνδυασμό των δυο αννωτέρω που καλύπτει κα περιπτώσεις με ειδκές ρήτρες η μη τη δυνατότητα βέτο.

Πολιτική Ισχύς Η έννοια της ισχύος που μας ενδιαφέρει στο συγκεκριμένο σημείο αφορά στη δυνατότητα κάποιου ψηφοφόρου να επηρεάσει αποφασιστικά με τη ψήφο του την επιλογή της ομάδας. Υπάρχουν δύο κύριοι δείκτες που αποτιμούν ένα τέτοιο είδος ισχύος: ο δείκτης Shapley-Subik και ο δείκτης Banzhaf. Για να κατανοήσουμε τον τρόπο λειτουργίας των καθενός απο τους ανωτέρω δείκτες εισάγουμε την έννοια του κεντρικού (pivotal) ψηφοφόρου. Κεντρικός ψηφοφόρος σε μια διάταξη ψηφοφόρων είναι αυτός που η προσχώρηση του στη διάταξη την μετατρέπει σε νικηφόρα. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι X = {p 1,..., p 7 } είναι ένα σύνολο ψηφοφόρων στο οποίο κάθε ψηφοφόρος έχει από μια ψήφο εκτός από τον p4 ο οποίος έχει τρείς ψήφους. Έστω ότι η ποσόστωη ορίζεται στο πέντε, επομένως για να περάσει μια πρόταση απαιτούνται πέντε ψήφοι. Ας εξετάσουμε την διάταξη η οποία σχηματίζεται από την ακολουθία ψηφοφόρων: p7, p3, p5, p4, p2, p1, p6. Επειδή ο συνασπισμός {p7, p3, p5 } δεν είναι νικηφόρος αλλά ο συνασπισμός {p7, p3, p5, p4} είναι νικηφόρος συμπεραίνουμε ότι ο p4 είναι ο κεντρικός ψηφοφόρος στη συγκεκριμένη διάταξη. Ο δείκτης Shapley-Subik (SSI) για έναν ψηφοφόρο p ορίζεται ως ο λόγος των διατάξεων στις οποίες ο p αποτελεί τον κεντρικό ψηφοφόρο προς το πλήθος των πιθανών διατάξεων στο συνολο των ψηφοφόρων. Αν το πλήθος των ψηφοφόρων είναι n τότε ο παρανόμαστής του δείκτη θα είναι ίσος με n!. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε ένα σύνολο τριών ψηφοφόρων {p1, p2, p3} στους οποίους ο p1 έχει 50 ψήφους ο p1 έχει 49 ψήφους και ο p3 έχει μια ψήφο. Έστω επίσης ότι η ποσόστωη έχει οριστεί στους 51 ψήφους. Οι έξι πιθανές διατάξεις (3! = 3 2 1 = 6) περιγράφονται παρακάτων με τον κεντρικό ψηφοφόρο υπογραμμισμένο σε καθεμία: p1 p2 p3 p1 p3 p2 p2 p1 p3 p2 p3 p1 p3 p1 p2 p3 p2 p1 Επειδή ο p1 είναι κρίσιμος σε τέσσερις διατάξειος, SSI( p1 ) = 4/6 = 2/3. Επειδή ο p2 είναι κρίσιμος σε μια διάταξη, SSI( p2 ) = 1/6. Επειδή ο p3 είναι κρίσιμος σε μια διάταξη, SSI( p3 ) = 1/6. Παρατηρήστε ότι παρόλο που ο p2 έχει 49 φορές περισσότερες ψήφους από τον p3 και οι δύο έχουν τη ίδια πολιτική ισχύ σε σχέση με τον SSI. Για έναν ψηφοφόρο p σε ένα δημοψηφικό σύστημα ορίζουμε τον δεικτη Banzhaf (ΤΒP) ως το πλήθος των συνασπισμών C που ικανοποιούν τις παρακάτω τρεις προϋποθέσεις: Ο p είναι μέλος του C. Ο C είναι νικηφόρος. Αν ο p αποχωρήσει απο τον C, ο συνασπισμός που προκύπτει δεν είναι νικηφόρος. Σε αυτήν την περίπτωση χαρακτηρίζουμε τον p ως κρίσιμο για τον C. Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο παράδειγμα υπολογίζουμε τους νικηφόρους συνασπισμούς ως: 1. C1 = {p1, p2, p3 }

2. C2 = {p1, p2 } 3. C3 = {p1, p3 } Για τον TBP(p1), παρατηρούμε ότι ο p1 περιλαμβάνεται σε καθένα από τους νικηφόρουυς συνδυασμούς και επομένως κια κρίσιμος για καθένα από αυτούς. Ο p2 είναι κρίσιμος για τον C2 και ο p3 για τον C3. Επομένως: TBP(p1) = 3 TBP(p2) = 1 TBP(p3) = 1