Συστήματα Πολλών Σωματίων

Δομή Διάλεξης Βασικές γενικεύσεις: Κυματοσυνάρτηση-Ενέργεια συστήματος πολλών σωματίων Μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια: Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων: Μονοσωματιδιακή περιγραφή στο σύστημα κέντρου μάζας. Ταυτοτικά (ίδια) σωμάτια: Μποζόνια Φερμιόνια. Η απαγορευτική αρχή του Pauli. Μέση απόσταση διακρίσιμων σωματίων, μποζονίων, φερμιονίων.

Βασικές Γενικεύσεις Κανονικοποίηση κυματοσυνάρτησης για ένα σωμάτιο: Για Ν σωμάτια: Τελεστής ορμής σωματίου i : x i ανεξάρτητες μεταβλητές : Ισχύει η εξίσωση Schrodinger: Για ιδιοκαταστάσεις της H έχουμε την γνωστή χρονική εξέλιξη: +1a

Μη Αλληλεπιδρώντα Σωμάτια Η Hamiltonian στην γενική περίπτωση είναι: Για ανεξάρτητα σωμάτια: Χωρισμός Μεταβλητών Δοκιμαστική Λύση: i 1 i 1 Hi i t +1b i 1, N i i 1, N i Χρονοανεξάρτητο δυναμικό

Μη Αλληλεπιδρώντα Σωμάτια Χωρισμός Μεταβλητών Δοκιμαστική Λύση: Χρονοανεξάρτητο δυναμικό Ολική Κυματοσυνάρτηση Ανεξάρτητων Σωματίων: +1c

Συστήματα Δύο Σωματίων Hamiltonian: Αλλαγή Μεταβλητών: +1d Ολική Μάζα: Ανοιγμένη Μάζα: Ολική Ορμή:

Συστήματα Δύο Σωματίων Χωρισμός Μεταβλητών Δοκιμαστική Λύση +1e +1g +1f Η ολική ορμή είναι P και διατηρείται ([P,H]=0)

+1f +1g

Δύο Σωμάτια: Σύστημα Κέντρου Μάζας (P =0) Είδαμε ότι: Άρα αφού Στο σύστημα κέντρου μάζας το σύστημα ανάγεται σε πρόβλημα ενός σωματίου.

Ταυτοτικά Σωμάτια Μετρήσεις δεν διακρίνουν μεταξύ ταυτοτικών (ίδιων) σωματίων. Άρα Με εναλλαγή των x 1, x 2 έχουμε: 2 i x, x e x, x 1 2 1 2 Επομένως: ή Bosons Fermions

Κυματοσυναρτήσεις Μποζονίων και Φερμιονίων Σύστημα δυο μη αλληλεπιδρόντων μποζονίων με ιδιοκατάσταση ενός σωματίου ψ(x,e). Ε: Ποια είναι η ολική κυματοσυνάρτηση δυο μποζονίων με ενέργειες Ε α, Ε b ; (συμμετρική ως προς x 1, x 2 και κανονικοποιημένη) +1h Σύστημα δυο μη αλληλεπιδρόντων φερμιονίων με ιδιοκατάσταση ενός σωματίου ψ(x,e). Ε: Ποια είναι η ολική κυματοσυνάρτηση δυο φερμιονίων με ενέργειες Ε α, Ε b ; (αντισυμμετρική ως προς x 1, x 2 και κανονικοποιημένη) +1i

Απαγορευτική Αρχή για Φερμιόνια Σύστημα δυο μη αλληλεπιδρόντων φερμιονίων με ιδιοκατάσταση ενός σωματίου ψ(x,e). Ε: Ποια είναι η ολική κυματοσυνάρτηση δυο φερμιονίων με ενέργειες Ε α, Ε b ; Για Ε α =Ε b έχουμε ψ Ε fermion =0 (αντισυμμετρική ως προς x 1, x 2 και κανονικοποιημένη) Απαγορευτική Αρχή (Pauli): Δύο φερμιόνιa δεν μπορούν να βρίσκονται στην ίδια μονοσωματιδιακή ιδιοκατάσταση της H.

Διακρίσιμα Σωμάτια Μετρήσεις διακρίνουν μεταξύ διακρίσιμων (διαφορετικών) σωματίων. Άρα δεν ισχύει ο περιορισμός ότι Μένουμε στην γενική μορφή (μη αλληλεπιδρώντα): Μέση τετραγωνική απόσταση μεταξύ σωματίων: +1j όπου:

Μέση Τετραγωνική Απόσταση Μέση τετραγωνική απόσταση μεταξύ διακρίσιμων σωματίων: όπου: Μέση τετραγωνική απόσταση μεταξύ μποζονίων: +1k όπου: Μέση τετραγωνική απόσταση μεταξύ φερμιονίων: +1l Άρα τα φερμιόνια διατηρούν μεγαλύτερη μέση απόσταση από τα διακρίσιμα σωμάτια και ακόμα μεγαλύτερη από τα αντίστοιχα μποζόνια!

Σύστημα Ν φερμιονίων Πλήρως αντισυμμετρική κυματοσυνάρτηση (ορίζουσα Slater): Αν Ε i =Ε j τότε η ολική κυματοσυνάρτηση μηδενίζεται (απαγορευτική αρχή Pauli).

Σύνοψη Η κυματοσυνάρτηση συστήματος διακρίσιμων μη αλληλεπιδρόντων σωματίων προκύπτει ως το γινόμενο μονοσωματιδιακών κυματοσυναρτήσεων. Η κυματοσυνάρτηση συστήματος δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων προκύπτει ως το γινόμενο της κυματοσυνάρτησης ελεύθερου σωματίου επί την κυματοσυνάρτηση ενός άλλου σωματίου στο δυναμικό αλληλεπίδρασης. Σύστημα ταυτοτικών (μη διακρίσιμων σωματίων μπορεί να αποτελείται από μποζόνια ή φερμιόνια. Το σύστημα μποζονίων (φερμιονίων) έχει κυματοσυνάρτηση συμμετροποιημένων (αντισυμμετροποιημένων) γινομένων μονοσωματιδιακών κυματοσυναρτήσεων. Η μέση απόσταση σωματίων συστήματος φερμιονίων είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη απόσταση μποζονίων και διακρίσιμων σωματίων. Σε σύστημα φερμιονίων δεν υπάρχουν δύο σωμάτια στην ίδια μονοσωματιδιακή ενεργειακή κατάσταση (απαγορευτική αρχή Pauli).

Άσκηση 1 Βρείτε την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης και την κυματοσυνάρτηση συστήματος τριών φερμιονίων σε δυναμικό κουτιού μήκους L. Δυναμικό μη αλληλεπιδρώντων φερμιονίων Μονοσωματιδιακές κυματοσυναρτήσεις Ολική ενέργεια βασικής κατάστασης: Ολικά αντισυμμετρική κυματοσυνάρτηση Slater:

Άσκηση 2 Δύο μποζόνια αποτελούν σύστημα όπου οι μονοσωμοατιδιακές καταστάσεις είναι { i >}. Έστω ότι τα σωμάτια είναι αρχικά στις καταστάσεις i >, j > (i j). Βρείτε την πιθανότητα να βρεθούν τα σωμάτια στις καταστάσεις ξ> και η> (όχι απαραίτητα ιδιοκαταστάσεις). Ποια η πιθανότητα να βρεθεί ένα από αυτά στην κατάσταση ξ> ; Η κυματοσυνάρτηση του συστήματος: Η νέα κατάσταση είναι επίσης συμμετρική: Άρα η ζητούμενη πιθανότητα:

Άσκηση 2 Δύο μποζόνια αποτελούν σύστημα όπου οι μονοσωμοατιδιακές καταστάσεις είναι { i >}. Έστω ότι τα σωμάτια είναι αρχικά στις καταστάσεις i >, j > (i j). Βρείτε την πιθανότητα να βρεθούν τα σωμάτια στις καταστάσεις ξ> και η> (όχι απαραίτητα ιδιοκαταστάσεις). Ποια η πιθανότητα να βρεθεί ένα από αυτά στην κατάσταση ξ> ; Έστω η συμμετρική κατάσταση που αντιστοιχεί σε ξ> και k > : Άρα η ζητούμενη πιθανότητα:

Άλυτες Ασκήσεις Δείξτε ότι η ορίζουσα Slater για 2 και 3 φερμιόνια είναι αντισυμμετρική σε εναλλαγη οποιονδήποτε δύο φερμιονίων. Δείξτε ότι οποιαδήποτε συνάρτηση είναι άθροισμα μιας συμμετρικής και μιας αντισυμμετρικής συνάρτησης. Βρείτε την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης και την κυματοσυνάρτηση συστήματος τριών μποζονίων σε δυναμικό κουτιού μήκους L. Επαναλάβετε για την 1 η διεγερμένη κατάσταση στην περίπτωση μποζονίων και στην περίπτωση συστήματος φερμιονίων. Δύο φερμιόνια υπακούουν στην Χαμιλτονιανή Βρείτε την ενέργεια βασικής κατάστασης και την αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση (αγνοείστε το spin).