ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 8. -
opyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 202. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. ll rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. - 8.2 -
. ΒΑΣΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ 4 ΜΕΛΩΝ Εκπαιδευτική Ενότητα 8 η Μηχανισμός Τεσσάρων Μελών Y I Y 2 Β O 2 l 2 φ 3 X 2 Y 3 δ Ψ ΞO 3 Y Α φ 2 l O I ΞO X θ Ξ φ d l 4 X 3 l 3 φ X I Σχήμα. Κλειστή κινηματική αλυσίδα 4 μελών και τα αντίστοιχα σωματοπαγή συστήματα συντεταγμένων Η κλειστή αλυσίδα τεσσάρων μελών φαίνεται στο Σχήμα και προκύπτει από τη σύνδεση τεσσάρων στερεών μελών,,, μεταξύ τους μέσω αρθρώσεων στα σημεία,,,. Με τη χρήση του ομογενούς μετασχηματισμού, μπορεί να προκύψει η βασική κινηματική σχέση που την χαρακτηρίζει. ) ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Χ ΙΟ ΙY Ι Ορίζεται με αρχή το σημείο Α του μηχανισμού. Ο άξονας Ο ΙΧ I ορίζεται κατά την κατεύθυνση του μέλους Α. H θέση του σημείου στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων Χ ΙΟ ΙY Ι είναι: 4 r,i = [l 0 ] () 2) ΣΩΜΑΤΟΠΑΓΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Χ Ο Y Το σημείο Ο ορίζεται στην αρχή Α του πρώτου μέλους ΑΒ και ο άξονας Ο Χ ορίζεται κατά την κατεύθυνση του μέλους ΑΒ. Η μετάβαση από το Χ ΙΟ ΙY Ι στό Χ Ο Y προκύπτει από περιστροφή του Χ ΙΟ ΙY Ι περί τον άξονα Ο Ζ =Ο ΙΖ Ι κατά κατά φ. Αρα, τα μητρώα του ομογενούς μετασχηματισμού προκύπτουν: 0 0 Μεταφορά: TI, = [ 0 0] (2) - 8.3 -
cosφ sinφ 0 Περιστροφή: R I, = [ sinφ cosφ 0] (3) Μητρώο ομογενούς μετασχηματισμού: cosφ sinφ 0 Η I, = R I, T I, = [ sinφ cosφ 0] (4) 2) ΣΩΜΑΤΟΠΑΓΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Χ 2Ο 2Y 2 Το σημείο Ο 2 ορίζεται στην αρχή του επόμενου (δεύτερου) μέλους Β και ο άξονας Ο 2Χ 2 ορίζεται κατά την κατεύθυνση του μέλους Β. Η μετάβαση από το Χ Ο Y στό Χ 2Ο 2Y 2 προκύπτει από μία διαδοχική: ) Mεταφορά του Χ Ο Y κατά τον άξονα Ο Χ ίση με l και Β) κατά μία περιστροφή περί τον άξονα Ο 2Ζ 2 κατά κατά μία γωνία φ 2. Αρα, τα μητρώα του ομογενούς μετασχηματισμού προκύπτουν: 0 l Μεταφορά: T,2 = [ 0 0] (5) cosφ 2 sinφ 2 0 Περιστροφή: R,2 = [ sinφ 2 cosφ 2 0] (6) Μητρώο ομογενούς μετασχηματισμού: cosφ 2 sinφ 2 l Η I,2 = R I,2 T I,2 = [ sinφ 2 cosφ 2 0 ] (7) 3) ΣΩΜΑΤΟΠΑΓΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Χ 3Ο 3Y 3 Το σημείο Ο 3 ορίζεται στην αρχή του επόμενου (τρίτου) μέλους και ο άξονας Ο 3Χ 3 ορίζεται κατά την κατεύθυνση του μέλους. Η μετάβαση από το Χ 2Ο 2Y 2 στό Χ 3Ο 3Y 3 προκύπτει από μία διαδοχική: ) Mεταφορά του Χ 2Ο 2Y 2 κατά τον άξονα Ο 2Χ 2 ίση με l 2 και Β) κατά μία περιστροφή περί τον άξονα Ο 3Ζ 3 κατά κατά μία γωνία φ 3. Αρα, τα μητρώα του ομογενούς μετασχηματισμού προκύπτουν: 0 l 2 Μεταφορά: T2,3 = [ 0 0] (8) - 8.4 -
cosφ 3 sinφ 3 0 Περιστροφή: R,2,3 = [ sinφ 3 cosφ 3 0] (9) Μητρώο ομογενούς μετασχηματισμού: cosφ 3 sinφ 3 l 2 Η,2,3= R 2,3 T 2,3 = [ sinφ 3 cosφ 3 0 ] (0) 4) ΒΑΣΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ H θέση του σημείου στο σωματοπαγές σύστημα συντεταγμένων Χ 3Ο 3Y 3 είναι: Αρα: 3 r,3 = [l 0 ] () r,i = HI,3 r,3 (2) HI,3 = HI, H,2 H2,3 (3) Απο τη βασική κινηματική σχέση (2),(3) προκύπτει: 40 cθ sθ 0 cθ 2 sθ 2 l cθ 3 sθ 3 l 2 30 [l ] = [ sθ cθ 0] [ sθ 2 cθ 2 0] [ sθ 3 cθ 3 0] [l ] 40 cθ sθ 0 cθ 2 cθ 3 sθ 2 sθ 3 cθ 2 sθ 3 sθ 2 cθ 3 l 2 cθ 2 + l 30 [l ] = [ sθ cθ 0] [ sθ 2 cθ 3 + cθ 2 sθ 3 sθ 2 sθ 3 + cθ 2 cθ 3 l 2 sθ 2 ] [l ] 40 cθ sθ 0 cos(θ 2 + θ 3 ) sin(θ 2 + θ 3 ) l 2 cosθ 2 + l 30 [l ] = [ sθ cθ 0] [ sin(θ 2 + θ 3 ) cos(θ 2 + θ 3 ) l 2 sinθ 2 ] [l ] 4 [l 0] = cosθ cos(θ 2 + θ 3 ) sinθ sin(θ 2 + θ 3 ) cosθ sin(θ 2 + θ 3 ) sinθ cos(θ 2 + θ 3 ) cosθ (l 2 cosθ 2 + l ) sinθ l 2 sinθ 2 30 [ sinθ cos(θ 2 + θ 3 ) + cosθ sin(θ 2 + θ 3 ) sinθ sin(θ 2 + θ 3 ) + cosθ cos(θ 2 + θ 3 ) sinθ (l 2 cosθ 2 + l ) + cosθ l 2 sinθ 2 ] [l ] 40 cos(θ + θ 2 + θ 3 ) sin(θ + θ 2 + θ 3 ) l cθ + l 2 cos(θ + θ 2 ) 30 [l ] = [ sin(θ + θ 2 + θ 3 ) cos(θ + θ 2 + θ 3 ) l sθ + l 2 sin(θ + θ 2 )] [l ] - 8.5 -
l 4 = l 3 cos(θ + θ 2 + θ 3 ) + l 2 cos(θ + θ 2 ) + l cosθ 0 = l 3 sin(θ + θ 2 + θ 3 ) + l 2 sin(θ + θ 2 ) + l sinθ } (4) Από τη γεωμετρία του σχ. προκύπτει: cos(2π + δ) = cosδ φ 2 + (φ δ) = 2π φ + φ 2 = 2π + δ { sin(2π + δ) = sinδ φ 3 + (π φ) + δ = 2π φ 3 = π + φ δ Άρα, φ + φ 2 + φ 3 = 2π + δ + π + φ δ = 3π + φ cos(φ + φ 2 + φ 3 ) = cos(3π + φ) = cos(2π + π + φ) = cos(π + φ) = cos(φ) sin(φ + φ 2 + φ 3 ) = sin(3π + φ) = sin(2π + π + φ) = sin(π + φ) = sin(φ) Άρα, για τις εξισώσεις (4) προκύπτει η βασική κινηματική σχέση της κλειστής κινηματικής αλυσίδας 4 μελών. l 4 = l cosθ + l 2 cosδ l 3 cosφ (5) 0 = l sinθ + l 2 sinδ l 3 sinφ (6) H κλειστή κινηματική αλυσίδα που φαίνεται στο Σχήμα έχει ένα βαθμό ελευθερίας και κατά συνέπεια αποτελεί μηχανισμό, σε αντίθεση με την κλειστή κινηματική αλυσίδα 3 μελών, η οποία έχει μηδενικούς Β.Ε. Για το λόγο αυτό, αποτελεί τη βάση για μια ευρεία κατηγορία πρακτικών μηχανισμών. Αποτελεί επιπλέον και τη βάση για τη δημιουργία ευρείας κατηγορίας μηχανισμών με διάφορους τρόπους «χαλάρωσης» των κινηματικών περιορισμών, όπως π.χ. με τη χρήση πρισματικών συνδέσμων, οι οποίοι παρέχουν τη δυνατότητα μετακίνησης κατά μήκος ενός μέλους, ή/και την ουσιαστική κατάργηση μελών. 2.ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ 4 ΜΕΛΩΝ Η τυπική περίπτωση της χρήσης του μηχανισμού 4 μελών φαίνεται στο σχ. 2. Το μέλος (πλαίσιο) θεωρείται ακίνητο και εξασφαλίζει τη στήριξη του μηχανισμού. Το μέλος ΑΒ (οδηγόςείσοδος) χρησιμοποιείται για την παροχή κίνησης στο μηχανισμό. Το μέλος (ακόλουθος-έξοδος) θεωρείται ότι παρακολουθεί την κίνηση του οδηγού. Το μέλος Β (σύνδεσμος) συνδέει τον οδηγό με τον ακόλουθο. Είναι δυνατή η προσαρμογή διαφόρων στερεών σωμάτων στα μέλη του μηχανισμού, με τρόπο ώστε συγκεκριμένα σημεία τους (π.χ. Ε) να εκτελούν προσδιορισμένη τροχιά. - 8.6 -
ΟΔΗΓΟΣ (ΕΙΣΟΔΟΣ) Ε θ ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ δ ΑΚΟΛΟΥΘΟΣ (ΕΞΟΔΟΣ) φ Σχήμα 2. Κλειστή κινηματική αλυσίδα 4 μελών και τα αντίστοιχα σωματοπαγή συστήματα συντεταγμένων Στην τυπική περίπτωση, σαν βαθμός ελευθερίας (είσοδος) του μηχανισμού θεωρείται η γωνία θ, ενώ οι υπόλοιπες γωνίες φ (γωνία εξόδου), δ (γωνία περιστροφής συνδέσμου), και ψ μπορούν να προσδιοριστούν σαν συνάρτηση της γωνίας θ και του μήκους των 4 μελών του μηχανισμού: Από σχέσεις κλασσικής τριγωνομετρίας προκύπτει (σχ. ): d 2 = l 2 + l 2 4 2l l 4 cosθ (7) d 2 = l 2 2 + l 2 3 2l 2 l 3 cosψ (8) Από τις (7),(8) προκύπει η γωνία ψ: Από τις σχέσεις (5),(6) προκύπτει: cosψ = (l 2 2 +l 3 2 ) (l 2 +l4 2 )+2l l 4 cosθ 2l 2 l 3 (9) l 2 cosδ = l 4 + l 3 cosφ l cosθ (20) l 2 sinδ = l 3 sinφ l sinθ (2) Υψώνοντας τις (20),(2) στο τετράγωνο και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει: l 2 2 = (l 4 + l 3 cosφ l cosθ) 2 + (l 3 sinφ l sinθ) 2 (22) Χρισιμοποιώντας τις παρακάτω μεταβλητές, οι οποίες είναι συναρτήσεις της γωνίας θ προκύπτει: Προκύπτει η σχέση: R x = l 4 l cosθ (23) R y = l sinθ (24) R x cosφ + R y sinφ l 2 cosψ + l 3 = 0 (25) Χρισιμοποιώντας τις παρακάτω βασικές τριγωνμετρικές σχέσεις, cosφ = tan2 ( φ 2 ) + tan 2 ( φ (26) 2 ) - 8.7 -
sinφ = 2tan(φ 2 ) + tan 2 ( φ (27) 2 ) Η γωνία φ προκύπτει από τη σχέση: Με ανάλογο τρόπο, η γωνία δ προκύπτει ως: tan φ 2 = R y l 2 cos 2 ψ l 3 l 2 cosψ R x (28) tan φ 2 = l sinθ ± l 3 sinψ l 2 + l 4 l cosθ l 3 cosψ (29) 3.ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙKΩΝ TXYTHTΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ 4 ΜΕΛΩΝ Οι χρονικές παράγωγοι των εξισώσεων (5),(6) οδηγούν στις σχέσεις: l θ sinθ l 2 δ sinδ + l 3 φ sinφ = 0 (30) l θ cosθ + l 2 δ cosδ l 3 φ cosφ = 0 (3) Από τη σχέση (3) προκύπτει: l 2 δ sinδ = tanδ[l 3 φ cosφ l θ cosθ] (32) Από την (30) με αντικατάσταση της (32) προκύπτει: l θ sinθ tanδ[l 3 φ cosφ l θ cosθ] + l 3 φ sinφ = 0 l 3 φ sinφ l 3 φ tanδcosφ = l θ sinθ l θ tanδcosθ (33) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη την (33) με cosδ προκύπτει: l 3 φ (sinφcosδ sinδcosφ) = l θ (sinθcosδ sinδcosθ) l 3 φ sin(φ δ) = l θ sin(θ δ) φ = l θ l 3 Με ανάλογο τρόπο προκύπτει: sin(θ δ) sin(φ δ) δ = l sin(θ φ) θ l2 sin(δ φ) (34) (35) 4. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ 4 ΜΕΛΩΝ Η διερέυνηση της κινηματικής συμπεριφοράς του μηχανισμού 4 μελών είναι πολύ πιο σύνθετη από το μηχανισμό 3 μελών. Τα βασικά συμεράσματα που προκύπτουν είναι: - 8.8 -
NOMOS GRSHOF: ν s είναι το μήκος του μικρότερου μέλους του μηχανισμού, l είναι το μήκος του μεγαλύτερου μέλους του μηχανισμού και p,q τα μήκη των υπόλοιπων 2 μελών, όταν ισχύει η παρaκάτω συνθήκη του Grashof, ένα τουλάχιστον μέλος μπορεί να εκτελεί πλήρη περιστροφή: Συνθήκη του Grashof: s + l < p + q (36) Οι τύποι των μηχανισμών που ικανοποιούν τη συνθήκη Grashof (Μηχανισμοί Grashof ) φαίνονται στο σχ. 3. Στην περίπτωση των Σχ. 3α,β το μέλος με το μικρότερο μήκος είναι προσκείμενο στο πλαίσιο και εκτελεί πλήρη περιστροφή, ενώ το απέναντι μέλος εκτελεί παλινδρόμηση. Η περίπτωση του σχ. 3α έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές, όπως π.χ. σε υαλοκαθαριστήρες αυτοκινήτων, ποτιστικά, κ.λ.π. Στην περίπτωση του Σχ. 3γ το μέλος με το μικρότερο μήκος είναι το πλαίσιο. Tόσο ο οδηγός όσο και ο ακόλουθος μπορούν να εκτελούν πλήρη περιστροφή. Σε αντίθεση όμως με την αντίστοιχη περίπτωση των οδοντωτών τροχών, για σταθερή γωνιακή ταχύτητα εισόδου, η γωνιακή ταχύτητα εξόδου δεν είναι σταθερή, αλλά εξαρταται από τη θέση του μηχανισμού [σχέση (34)] Στην περίπτωση του Σχ. 3γ το μέλος με το μικρότερο μήκος είναι ο ακόλουθος, οποίος μπορεί να εκτελεί πλήρη περιστροφή. Σε περίπτωση που τα μέλη του μηχανισμού δεν ικανοποιούν τη συνθήκη του Grashof, προκύπτουν πολλές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις, μερικές από τις οποίες φαίνονται στο σχ. 4. Στο σχ. 4.α φαίνεται ο παράλληλος μηχανισμός, όπου τα απέναντι μέλη είναι ίσα μεταξύ τους. Ο οδηγός και ο ακόλουθος εκτελούν περιστροφή ίσης ακτίνας, ενώ ο ακόλουθος εκτελεί παράλληλη κίνηση. ΟΔΗΓΟΣ (ΕΙΣΟΔΟΣ) s ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘOΣ (ΕΞΟΔΟΣ) ΟΔΗΓΟΣ (ΕΙΣΟΔΟΣ) ΠΛΑΙΣΙΟ s ΑΚΟΛΟΥΘOΣ (ΕΞΟΔΟΣ) α β ΟΔΗΓΟΣ (ΕΙΣΟΔΟΣ) s ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘOΣ (ΕΞΟΔΟΣ) s ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ γ Σχήμα 3. Οι περιπτώσεις μηχανισμών τύπου Grashof. δ - 8.9 -
l S S l p S l S+l=p+q α β γ Σχήμα 4. Περιπτώσεις μηχανισμών που δεν ικανοποιούν τη σχέση Grashof. q Στο σχ. 4.β φαίνεται μία περίπτωση όπου s + l = p + q. Οταν τα τέσσερα μέλη βρεθούν στην ίδια ευθεία (κόκκινο χρώμα), ο μηχανισμός μπορεί να μπλοκάρει. Στο σχ. 4.γ φαίνεται μία περίπτωση όπου s + l > p + q. Και τα 3 μέλη εκτελούν παλινδομική κίνηση. Όπως φαίνεται από τις σχέσεις (9), (28),(29) υπάρχουν πολλές διατάξεις του μηχανισμού οι οποίες έχουν ίδιες μερικές ή και όλες τις γωνίες. Οι θέσεις με μαύρο και με πράσινο απεικονίζουν τις 2 εναλλακτικές οικογένειες τροχιών που μπορούν να ακολουθήσουν οι μηχανισμοί Grashof. Λύνοντας π.χ. το σύνδεσμο στην άνω διάταξη με τη μαύρη απεικόνιση και συναρμολογώντας εκ νέου το μηχανισμό στην κάτω διάταξη, προκύπει η συμμετρική οικογένεια τροχιών με την πράσινη διαγράμμιση. Η κόκκινη διαγράμμιση απεικονίζει τη θέση όπου η είσοδος και ο ακόλουθος έχουν ευθυγραμιστεί ( Νεκρό Σημείο ). Σε αυτή την περίπτωση δ=θ και όπως προκύπτει από τη σχέση (34), η γωνιακή ταχύτητα εξόδου σε αυτή τη θέση είναι μηδενική. Το σχ. 5β εικονίζει μια διάταξη πτυσσόμενου/αναδιπλούμενου μηχανισμού, με εκμετάλλευση της ιδιότητας του νεκρού σημείου. Β Β δ=θ Β φ Α θ θ Β Ψ α φ Κάλυμα Σώμα β Σχήμα 5. α) Πολλαπλές θέσεις μηχανισμού για ίδεις τιμές γωνιών και θέση νεκρού σημείου. β) Πτυσσόμενος/αναδιπλούμενος μηχανισμός. - 8.0 -