Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου το κβαντικό σύστημά μας βρίσκεται στην κατάσταση. Τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή Â είναι μεταξύ τους κάθετα και αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων (χώρος Hlber) του συστήματός μας. Μπορούμε, επομένως, να κατασκευάσουμε μια ορθοκανονική βάση με τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή μας, την οποία ας συμβολίσουμε με a. Θεωρούμε αρχικά ότι το φάσμα των ιδιοτιμών του Â, το οποίο συμβολίζουμε με a, είναι διακριτό. Αναλύουμε την κατάσταση στην ορθοκανονική βάση a C a Για να υπολογίσουμε τους μιγαδικούς συντελεστές του αναπτύγματός, δηλαδή τα C, προβάλλουμε την κατάσταση σε έναν τυχαίο άξονα a του χώρου των καταστάσεων. ak a k Ορθοκανονική βάση ak ak C a ak C a C ak a C k Ck C k a k Επομένως a a Θα είναι a a a a a a a a a,, a a a a a a a Δηλαδή a a a a 1 (Σχέση πληρότητας της βάσης a ) Αν 1 a a a a 1 a a a a 1,, a a 1 a a 1 Τι είναι το a ; Ως μέτρο μιγαδικού αριθμού, είναι μη αρνητικό, δηλαδή άθροισμα όλων των k a 1 a. Επίσης, το a είναι ίσο με τη μονάδα. Μπορούμε, επομένως, να

ερμηνεύσουμε το a ως την ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ το σύστημά μας, που περιγράφεται από το διάνυσμα κατάστασης, να βρεθεί στην ιδιοκατάσταση του τελεστή Â. Τότε, όμως, ο  έχει τιμή a A a a a, δηλαδή την αντίστοιχη ιδιοτιμή του. Επομένως, a είναι η πιθανότητα ο τελεστής  να πάρει τιμή a. Θυμίζουμε ότι οι τιμές που μπορεί να πάρει ο και μόνο αυτές. a : P a (η πιθανότητα ο  να πάρει την τιμή a ) a  είναι οι ιδιοτιμές του, Έτσι, θα έχουμε A a P a a a a a a a a a a a a A Αυτή είναι η αναπαράσταση του τελεστή A στη βάση των ιδιοδιανυσμάτων του a. Μια άλλη απόδειξη της τελευταίας ισότητας είναι η εξής: a a a a a a a a a Όμως A a a a a A a a Επειδή ο  είναι ερμιτιανός A A, οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικοί αριθμοί, δηλαδή a a, επομένως a A a a a a a A a a a A Άρα a a a a a A a a A 1  Επομένως A A Είναι φανερό ότι η μέση τιμή του τελεστή Â είναι η μέση τιμή του φυσικού μεγέθους που αντιπροσωπεύει ο τελεστής. Έτσι, E H, p p, L L, κ.λπ. Αν το φάσμα των ιδιοτιμών του τελεστή Â είναι συνεχές, τότε dac a a, όπου η ολοκλήρωση γίνεται στο πεδίο τιμών των ιδιοτιμών a, οι οποίες είναι πραγματικές, αφού ο  είναι ερμιτιανός.

a a dac a a da a C a a dac a a a dac a a a C a C a a Η σχέση a a a a aa είναι η σχέση ορθοκανονικότητας της βάσης μας στο συνεχές, είναι δηλαδή γενίκευση της σχέσης ορθοκανονικότητας ak a k, που ισχύει στο διακριτό φάσμα. Οπότε, da a a Θα είναι da a a da a a dada a a a a dada a a a a da a a da a a da a a Δηλαδή da a a βάσης Αν a ) 1... da a a 1 da a a 1 (Σχέση πληρότητας της da a 1 Βλέπουμε λοιπόν ότι η σχέση a 1 του διακριτού φάσματος, στο συνεχές γίνεται da a 1. Εφόσον, λοιπόν, το  την τιμή a, το a είναι η πιθανότητα να πάρει ο a da είναι η πιθανότητα ο  να έχει τιμή στο διάστημα a, a da, επομένως a είναι η πυκνότητα πιθανότητας ο  να έχει τιμή στο διάστημα a, a da, τη χρονική στιγμή. Επομένως, η μέση τιμή του  είναι  a a da Θα είναι  a a da daa a a daa a a daa a a  Αυτή είναι η αναπαράσταση του τελεστή A στη βάση των ιδιοδιανυσμάτων του a Άλλη απόδειξη της τελευταίας ισότητας daa a a da a a a da a a a Όμως a A a a a a a a A

Επομένως da a a a da a a A da a a A 1 Â Έτσι, λοιπόν, A A Παρατηρήσεις 1) Αν a a a είναι η πυκνότητα πιθανότητας ο Â να έχει τιμή στο διάστημα a, a da. Αν A x a x, η πυκνότητα πιθανότητας στον χώρο των θέσεων, τη στιγμή. Αν A p a p, η πυκνότητα πιθανότητας στον χώρο των ορμών, τη στιγμή. ) Αν ο Â έχει μη αρνητικές ιδιοτιμές A a a da A Παραδείγματα ιδιοτιμές p p, αφού p p p T 1 1 x x E Ελ. σωμ. p p Θα βρούμε τώρα τη σχέση που δίνει τη μέση τιμή του Â στην αναπαράσταση θέσης και στην αναπαράσταση ορμής. ) Αναπαράσταση θέσης dx x x 1 Σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων x του τελεστή θέσης, που στην αναπαράσταση θέσης είναι τα διανύσματα βάσης του χώρου των καταστάσεων χώρος Hlber. A A dx x x A dx x x A dx x x A dx x A x x A dx x A x x ) Αναπαράσταση ορμής

dp p p 1 Σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων p του τελεστή ορμής, που στην αναπαράσταση ορμής είναι τα διανύσματα βάσης του χώρου των καταστάσεων χώρος Hlber. A A dp p p A dp p p A dp p p A dp p A p p A dp p A p p Παρατηρούμε ότι dx x A x x dp p A p p είναι η έκφραση του τελεστή έκφραση του τελεστή, όπου  x  στην αναπαράσταση θέσης και  p είναι η x x είναι η  στην αναπαράσταση ορμής. προβολή της κατάστασης του συστήματος, μια χρονική στιγμή που μπορούμε να θεωρήσουμε ως χρονική στιγμή μηδέν ( ), στην τυχαία ιδιοκατάσταση p p είναι η προβολή της x του τελεστή της θέσης x. Ομοίως, κατάστασης στην τυχαία ιδιοκατάσταση p του τελεστή της ορμής p. Είναι φανερό ότι η μέση τιμή υπολογίστηκε μια αρχική χρονική στιγμή, που θεωρήσαμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ως χρονική στιγμή μηδέν ( ). Θα αποδείξουμε τώρα το θεώρημα του Ehrefes, που μας δίνει τη χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής ενός τελεστή. ΘΕΩΡΗΜΑ EHRENFEST Δείξαμε ότι η μέση τιμή ενός ερμιτιανού τελεστή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ως χρονική στιγμή μηδέν, είναι A A, όπου είναι η κατάσταση του συστήματός μας τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Είναι φανερό ότι αν χρονική στιγμή είναι η κατάσταση του συστήματός μας μια τυχαία, τότε A A, όπου A είναι η μέση τιμή του τελεστή Â τη χρονική στιγμή. Θα είναι d A d d da A A d d d d d A d

Εφόσον δεν έχουμε χρησιμοποιήσει κάποια αναπαράσταση για τον τελεστή Â, ούτε για την κατάσταση του συστήματος,, η μόνη εξάρτησή τους είναι d από τον χρόνο. Έτσι, οι χρονικές παράγωγοι είναι ολικές, όχι μερικές. d Για να προχωρήσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του Schrodger, που περιγράφει τη χρονική εξέλιξη μιας τυχαίας κατάσταση του συστήματος. d d H H d d Και H H d d H H d d Άρα d A da H A d d A H H A A H da da H A A H d d d A da H, A d d d A, da H A d Θεώρημα Ehrefes d Αν ο τελεστής d A d Όπου, με Â δεν εξαρτάται από τον χρόνο, δηλαδή αν H, A da συμβολίζουμε τη μέση τιμή τη χρονική στιγμή. d, τότε Παρατηρήσεις 1) Αν η αρχική κατάσταση του συστήματος, τη χρονική στιγμή μηδέν, είναι ιδιοκατάσταση της χαμιλτονιανής (ιδιοκατάσταση της ενέργειας), η οποία θεωρούμε ότι δεν εξαρτάται από τον χρόνο, τότε H H E E e e e e, όπου E είναι η ενέργεια της ιδιοκατάστασης. Έτσι, η μέση τιμή του τελεστή Â, ο οποίος θεωρούμε ότι δεν εξαρτάται από τον χρόνο, θα είναι, τη χρονική στιγμή,

E E E E A A e Ae Ae e A A A Δηλαδή, στις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, οι μέσες τιμές των φυσικών μεγεθών δεν εξαρτώνται από τον χρόνο. Γι αυτό οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας λέγονται και στάσιμες καταστάσεις. d E ), dh d E dh H H d d d d Αν ο τελεστής της ενέργειας, δηλαδή η χαμιλτονιανή, δεν εξαρτάται από τον χρόνο dh d E, τότε E σταθερή, δηλαδή η μέση ενέργεια του d d συστήματος είναι σταθερή. Έτσι, αν το σύστημα βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, τότε η ενέργειά του θα είναι σταθερή. da Δείξαμε ότι όταν d d A, τότε H, A d 1) Αν ο τελεστής Â μετατίθεται με τη χαμιλτονιανή, δηλαδή αν H, A, d A τότε A χρονικά σταθερή. d ) Επειδή A, H ερμιτιανοί τελεστές, H, A = HA AH = HA AH = AH HA H, A HA AH H, A = H, A H, A αντιερμιτιανός. Αν 1 d A,,, H A r r H A r r r d d A r r A c d. Επειδή ο Â είναι ερμιτιανός, οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικές, οπότε A, επομένως και το c. r r Έτσι, A c A Παραδείγματα 1) p H (ελεύθερο σωμάτιο) r A A A

p 1 1 1 1 x, H x, x, p x, pp xpp ppx xpp pxp pxp ppx 1 1 1 xpp pxp pxp ppx xp px p p xp px x, p p p x, p 1, p p p p x H p H, x p Επομένως, για το ελεύθερο σωμάτιο p p p H, x p p d p v, η σχέση που ισχύει στην κλασική φυσική. d Θα υπολογίσουμε τώρα το p. Είναι p 1 d p p, H p, p, p d p p p (σταθερή) Άρα p p p x x (ελεύθερο σωμάτιο) d d Δηλαδή η μέση ορμή του ελεύθερου σωματίου είναι ανεξάρτητη του χρόνου, ενώ η μέση θέση του εξαρτάται γραμμικά από τον χρόνο, όπως ένα κλασικό σωμάτιο που κινείται με σταθερή ταχύτητα (ορμή). Αν το ελεύθερο σωμάτιο βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση της ορμής, με ιδιοτιμή, ας 1 πούμε, p, τότε p p p = p p Επομένως, p x x d ) (Γενίκευση του προηγούμενου) p H V x (σωμάτιο σε χρονοανεξάρτητο δυναμικό) p 1 x, H x, V x x, p x, V x Αν η συνάρτηση V z μπορεί να γραφτεί ως σειρά δυνάμεων του z, δηλαδή αν, με άλλα λόγια αν η V z z,, z V z είναι αναλυτική, τότε x, V x, επομένως 1 1 1 x, H x, p x, pp x, p p p x, p 1, p p p x H p H, x p Άρα 1 H, x p p d p d

Δηλαδή η σχέση που βρήκαμε για το ελεύθερο σωμάτιο, με τη διαφορά ότι τώρα η μέση ορμή δεν είναι χρονικά σταθερή, αφού p p H, p V x, p, p V x, p V x, p (εν γένει), άρα d p H, p = V x, p (εν γένει) d Παρατηρήστε επίσης ότι d p d p d d d d d p (β' νόμος του Newo) d d Δύναμη Επιτάχυνση F a Αν V x 1 kx 1 x (αρμονικός ταλαντωτής) 1 1 1 1 V x, p x, p x, p xx, p x x, p x, p x 1 1 x x x x V x, p x Άρα x x d p d x x x d d d x d d d x x αρμονικού ταλαντωτή. Η λύση της τελευταίας δ.ε. είναι, η κλασική εξίσωση κίνησης του x Ae Be Αν τη χρονική στιγμή, ο αρμονικός ταλαντωτής βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση της ενέργειας, δηλαδή αν E, τότε x και απόδειξη είναι εύκολη, μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, με τους τελεστές δημιουργίας καταστροφής, ή μπορούμε να κάνουμε την απόδειξη στην αναπαράσταση θέσης, αν αξιοποιήσουμε το γεγονός ότι οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις x έχουν σταθερή ομοτιμία, είναι δηλαδή είτε άρτιες είτε περιττές. Από την εξίσωση θα έχουμε x A B B A x A e e p. Η x A cos s cos s As x As Acos Acos p A A d d p

Άρα x και p d Δηλαδή αν x p x p. Εξάλλου, επειδή ο τελεστής x (όπως και ο p ) είναι ερμιτιανός, οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικές, επομένως x x = x Ae Be = Ae Be A e B e Ae Be B e A e Ae Be επειδή ισχύει B A e A B e B A και A B A B και A B A x Ae A x Ae Ae Γενικά, έστω ότι x x και p p, εν γένει. Θα είναι p d x A B, p Ae Be A B A B d p A B p x p x A B x A A x A B p p A B A B p x p x B B 1 p x p A A x x p 1 p B B x Παρατηρήστε ότι B A, όπως αναμέναμε. 1 p 1 p 1 p x x e x e x e e e e p p x cos s x x cos s (η κλασική σχέση) Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosa@hoal.co