6 Εκπροσωπήσεις Ομάδων Σημείου

6 Εκπροσωπήσεις Ομάδων Σημείου Διδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε: - Να καταστρώνετε τις μήτρες εκπροσώπησης των ομάδων σημείου χρησιμοποιώντας διάφορες βάσεις. - Na καταστρώνετε τους χαρακτήρες της εκπροσώπησης μιας ομάδας. - Na αναγνωρίζετε αν μια εκπροσώπηση μητρών είναι αναγώγιμη ή μη. Προαπαιτούμενες γνώσεις - Απλές μαθηματικές έννοιες όπως τριγωνομετρικές σχέσεις και μεθοδολογία πολλαπλασιασμού μητρών. - Ευχέρεια στην εφαρμογή των διεργασιών συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής. - Γνώση των διεργασιών συμμετρίας τις οποίες περιέχει κάθε ομάδα σημείου. 6.. Εισαγωγή Η μελέτη της εξάρτησης μιας σειράς ιδιοτήτων ενός μορίου από τη συμμετρία του διευκολύνεται σημαντικά αν σε κάθε διεργασία συμμετρίας της ομάδας σημείου του μορίου αντιστοιχηθεί μια μήτρα, η οποία αποτελεί την εκπροσώπηση της διεργασίας συμμετρίας. Το σύνολο αυτών των μητρών αποτελεί μια μαθηματική εκπροσώπηση της ομάδας σημείου. Με την εισαγωγή των εκπροσωπήσεων η γεωμετρία των διεργασιών συμμετρίας αντικαθίσταται από την άλγεβρα των μητρών οι οποίες τις εκπροσωπούν. Η εφαρμογή της συμμετρίας στη μελέτη πολλών φυσικοχημικών ιδιοτήτων ενός μορίου συνίσταται στην εύρεση της επίδρασης των διεργασιών συμμετρίας του μορίου σε ιδιότητες όπως τα ατομικά τροχιακά, τα υβριδισμένα τροχιακά, τα μοριακά τροχιακά, οι δονητικές κινήσεις του μορίου. Η χρήση των εκπροσωπήσεων επιτρέπει την ανάλυση, με απλές μαθηματικές πράξεις, της συμπεριφοράς των ιδιοτήτων αυτών υπό την επίδραση των διεργασιών συμμετρίας. Η θεωρία των εκπροσωπήσεων αποτελεί σημαντικό μέρος της θεωρίας ομάδων. Στη συνέχεια, αφού αναλυθούν οι εκπροσωπήσεις μερικών αφηρημένων ομάδων, θα δοθεί ιδιαίτερη έμφαση στις εκπροσωπήσεις των ομάδων σημείου. Στο σημείο αυτό τονίζεται ότι μια ομάδα σημείου και η ισομορφική της αφηρημένη ομάδα, θα έχουν τις ίδιες εκπροσωπήσεις. Πριν όμως προχωρήσουμε στην ανάλυση των εκπροσωπήσεων θεωρείται σκόπιμο να παρατεθούν μερικά στοιχεία από την άλγεβρα των μητρών. 6.. Άλγεβρα Μητρών Ορισμός μήτρας και ορίζουσας Μια μήτρα (matrix) Α είναι μια ορθογωνική διάταξη m σειρών και n στηλών από σύμβολα ή αριθμούς, τα οποία χαρακτηρίζονται ως στοιχεία της μήτρας. Οι διαστάσεις της μήτρας είναι m n. Τα στοιχεία της μήτρας συμβολίζονται a ij και οι δείκτες i και j δηλώνουν τον αριθμό σειράς και στήλης αντιστοίχως, στις οποίες βρίσκεται κάθε στοιχείο. Η μήτρα Α και τα στοιχεία της, a ij, γράφονται όπως παρακάτω. 8

a a... a a... a i j n a a... ai ai... a n..................... a an ai ai... aii aij... ain m mn j j... ji jj... jn A = = a a a a a a a..................... am am... ami amj... a mn Στις εφαρμογές της θεωρίας των ομάδων στη μοριακή συμμετρία χρησιμοποιούνται μόνο οι τετραγωνικές μήτρες διάστασης m m, στις οποίες ο αριθμός των στηλών είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών και καλείται τάξη της μήτρας. Σε ειδικές περιπτώσεις και συγκεκριμένα για τον ορισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούνται η μήτρα σειρά ή το διάνυσμα σειράς και η μήτρα στήλη ή το διάνυσμα στήλης με διαστάσεις m και m αντιστοίχως. a a... a a... a i a j... a m, ai a j... a m ( ) Ορίζουσα μήτρας Η ορίζουσα (determinant) είναι μια συνάρτηση, η οποία συσχετίζει κάθε τετραγωνική μήτρα A με έναν αριθμό και συμβολίζεται ως Α ή det(a). Κάθε ορίζουσα det(a) συμβολίζει το άθροισμα συγκεκριμένων γινομένων των στοιχείων της μήτρας Α και είναι ίση με έναν αριθμό. Έτσι, οι ορίζουσες των μητρών, και είναι: A = a det( A) = a = a, A = det( A) = ab cd = ad bc, ( ) ab ( cd) ab c ab c A= de f det( A) = de f = a e f b df + c de gh i hi gi gh gh i Ίχνος τετραγωνικής μήτρας Το ίχνος (trace) μια τετραγωνικής μήτρας A τάξης m ισούται με το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων της και συμβολίζεται ως trace(a), δηλαδή: m trace( A) = a i ii Το ίχνος των μητρών οι οποίες εκπροσωπούν στοιχεία ομάδων ή διεργασίες ομάδων σημείου καλείται και χαρακτήρας της μήτρας και συμβολίζεται ως χ(α). 8

Μήτρα μονάδα Η μήτρα μονάδα είναι μια τετραγωνική μήτρα της οποίας τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με τη μονάδα και τα μη διαγώνια ίσα με μηδέν, μπορεί να έχει οποιαδήποτε τάξη και συμβολίζεται ως Ε. 0 0... 0 0... i = j E =, e {, 0 0... ij = δ ij = 0 i j............ δ ij : δέλτα του Kroenecker Η ορίζουσα της μήτρας ταυτότητας ισούται με τη μονάδα, det(e) =, και το ίχνος της trace(e) = m, όπου m είναι η τάξη της. Μήτρα μηδέν ή κενή μήτρα Η μήτρα μηδέν ή κενή μήτρα είναι μια μήτρα (όχι απαραίτητα τετραγωνική) της οποίας όλα τα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, μπορεί να έχει οποιαδήποτε τάξη και συμβολίζεται ως 0. 0 0 0... 0 0 0... O=, eij = 0, i, j 0 0 0............... Ισότητα μητρών Δύο μήτρες είναι ίσες αν έχουν τις ίδιες διαστάσεις και όλα τα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή, A= B a = b, i, j ij ij Προφανώς οι ίσες μήτρες έχουν ίσες ορίζουσες και ίχνη. Διαγώνια μήτρα Μια διαγώνια μήτρα είναι μια τετραγωνική μήτρα, της οποίας όλα τα μη διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με μηδέν. 0 0... 0 0... x i = j D=, dij = xδ ij = {, 0 0... 0 i j............ όπου x : οποιοδήποτε σύμβολο ή αριθμός Συμμετρική μήτρα Μια τετραγωνική μήτρα είναι συμμετρική, όταν κάθε σειρά m είναι ίση με τη στήλη m. 5 6 aij = aji, i, j πχ.. A= 5 6 0 84

Μεταθετική μήτρα Η μεταθετική μήτρα μιας μήτρας Α είναι η μήτρα η οποία προκύπτει από την Α, αν μετατραπούν οι σειρές σε στήλες ή αντιστρόφως και συμβολίζεται ως Ã. 4 7 B= A bij = aji, i, jπχ.. A= 4 5 6 B= A = 5 8 7 8 9 6 9 Είναι προφανές ότι μια συμμετρική μήτρα είναι ίση με τη μεταθετική της μήτρα και ότι det( A ) = det(α). Άθροισμα και διαφορά μητρών Το άθροισμα και η διαφορά (A ± B) δύο μητρών Α και Β ορίζονται μόνον αν οι μήτρες έχουν τις ίδιες διαστάσεις και ισούνται με μια μήτρα ίδιων διαστάσεων, C = A ± B. Κάθε στοιχείο της μήτρας C ισούται με το άθροισμα ή τη διαφορά των αντίστοιχων στοιχείων των μητρών Α και Β, δηλαδή C = A± B cij = aji ± bji, i, j. Είναι προφανές ότι A ± 0 = Α και A - Α = 0. Για τα ίχνη του αθροίσματος ή της διαφοράς A ± B, ισχύει: trace(α±β) = trace(a) ± trace(β). Άμεσο άθροισμα μητρών Το άμεσο άθροισμα Α Β δύο μητρών Α και Β με διαστάσεις m m και n n αντιστοίχως είναι μια μήτρα διαστάσεων (m+n) (m+n), η οποία έχει τις μήτρες A και B ως δύο τομείς διατεταγμένους στη διαγώνιο της και όλα υπόλοιπα στοιχεία της ίσα με 0. Για παράδειγμα για m = και n = ισχύει: a a a 0 0 a a a, a a a 0 0 0 b b 0 0 0 b b b b a a a 0 0 0 ( ) A b b a a a 0 0 ( 0 B) A= a a a B= A B= = Ο πολλαπλασιασμός δύο άμεσων αθροισμάτων με τις ίδιες διαστάσεις και την ίδια διάταξη τομέων ισοδυναμεί με το άμεσο άθροισμα των μητρών, το οποίο προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των επιμέρους τομέων, δηλαδή: A 0 C 0 AC 0 0 B 0 D 0 BD ( A B)( C D) = = = ( AC) ( BD) Για το ίχνος του άμεσου αθροίσματος A B, ισχύει trace(α Β) = trace(a) + trace(β). Πολλαπλασιασμός μήτρας επί αριθμό Ο πολλαπλασιασμός μιας μήτρας Α επί έναν αριθμό x συνίσταται στον πολλαπλασιασμό όλων των στοιχείων της επί τον αριθμό. Για παράδειγμα: 85

a a a xa xa xa A = a a a xa = xa xa xa a a a xa xa xa Σε ότι αφορά την ορίζουσα και το ίχνος του γινομένου μιας τετραγωνικής μήτρας A διάστασης (m m) επί έναν αριθμό x ισχύει det(xa) = x m det(α) και trace(xa) = xtrace(α). Γινόμενο μητρών Το γινόμενο δύο μητρών Α και Β ορίζεται μόνον όταν οι διαστάσεις της πρώτης είναι (m n) και της δεύτερης (n p), δηλαδή αν ο αριθμός των στηλών της πρώτης είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών της δεύτερης. Σε αυτή την περίπτωση οι δύο μήτρες καλούνται σύμφωνες. Από τον πολλαπλασιασμό των μητρών, Α και Β προκύπτει μια μήτρα C = AB με διαστάσεις (m p). Τα στοιχεία c ij της μήτρας C είναι ίσα με το άθροισμα των γινομένων ένα προς ένα των στοιχείων της σειράς i της Α και της στήλης j της Β και υπολογίζονται με τη βοήθεια της ακόλουθης σχέσης: n πχ = C = AB c = = = ij aikbkj, i, m & j, p.. k Κατά τον πολλαπλασιασμό των μητρών, εκτός ειδικών περιπτώσεων, δεν ισχύει η ιδιότητα της αντιμετάθεσης, δηλαδή AB ΒΑ. Για παράδειγμα, ενώ το παραπάνω γινόμενο C = AB μπορεί να οριστεί, το γινόμενο ΒΑ δεν ορίζεται λόγω ασυμφωνίας των διαστάσεων των μητρών Β και Α (n p)(m n). Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει πάντα και κατά τον πολλαπλασιασμό τετραγωνικών μητρών. μήτρα μονάδα αντιμετατίθεται με κάθε μήτρα. Κατά τον πολλαπλασιασμό ισχύει η προσεταιριστική, A(BC) = (AB)C, και η επιμεριστική ιδιότητα, A(B+C) = AB + BC. Επίσης ισχύει det(ab) = det(a)det(b). Ιδιαίτερες περιπτώσεις πολλαπλασιασμού, οι οποίες απαντώνται στη μοριακή συμμετρία, είναι αυτές των μητρών με τις ακόλουθες διαστάσεις: (m m)(m m) (m m), ( m)(m m) ( m), (m m)(m ) (m ), (m )( m) (m m) και ( m)(m ) ( ). Άμεσο γινόμενο μητρών Το άμεσο γινόμενο Α Β δύο μητρών Α και Β με διαστάσεις m m και n n αντιστοίχως είναι μια μήτρα διαστάσεων (mn) (mn) τα στοιχεία της οποίας υπολογίζονται ως ακολούθως: b b b b b b ( b ) ( ) ( ) b b b b b ( ) ( ) ( ) b b b b b b ( b b ) ( b b ) ( b b ) a a a a a a = b b b b b b b b A a a a, B= ( ) = b b A B a b b a b b a b b a a a a a a ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab A B= ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab a a b b ab a b ab ab ab ab 86

Για το ίχνος του άμεσου γινομένου A B δύο μητρών Α και Β ισχύει trace(α Β) = trace(a)trace(β). Αντίστροφη μήτρα Για κάθε τετραγωνική μήτρα Α η οποία έχει μη μηδενική ορίζουσα (det(α) 0) ορίζεται η αντίστροφος της με βάση την ακόλουθη εξίσωση: ΑΑ - = Α - Α = E Όταν det(α) = 0 η μήτρα Α καλείται μοναδική, ενώ αν det(α) 0 καλείται μη μοναδική. Η αντίστροφός μιας τετραγωνικής μήτρας τάξης m υπολογίζεται όπως παρακάτω A A / det( A) A / det( A)... An / det( A) A / det( A) A / det( A)... A / det( A)............ An / det( A) An / det( A)... Ann / det( A) n = όπου Α ij είναι ο συνπαράγοντας του στοιχείου a ij, δηλαδή η ορίζουσα της τετραγωνικής μήτρας τάξης m-, η οποία προκύπτει, αν από τη μήτρα Α αφαιρεθούν η σειρά i και η στήλη j, πολλαπλασιασμένη επί (-) i+j. Είναι προφανές ότι για τις μη τετραγωνικές μήτρες δεν ορίζεται αντίστροφος, καθώς για αυτές δεν ορίζονται η μήτρα μονάδα και η ορίζουσα. Τέλος, η ορίζουσα της αντίστροφης μήτρας είναι det(a - ) = /det(a). Διαίρεση μητρών Από τη διαίρεση δύο τετραγωνικών μητρών Α και B, εφόσον det(β) 0, ορίζεται ως ο πολλαπλασιασμός από δεξιά της Α επί την αντίστροφο της Β. Η μήτρα πηλίκο της διαίρεσης P προκύπτει με βάση τις σχέσεις: PB = A PBB = AB PE = AB P = AB Ορθογωνική μήτρα Μια μήτρα Α είναι ορθογωνική όταν η μεταθετική της ισούται με την αντίστροφό της, δηλαδή. A= A Μετασχηματισμός ομοιότητας και συζυγείς μήτρες Αν για δύο μήτρες Α και Β υπάρχει μια μήτρα S τέτοια ώστε: S - ΑS = Β οι μήτρες Α και Β σχετίζονται με έναν μετασχηματισμό ομοιότητας και καλούνται συζυγείς μήτρες. Οι ορίζουσες δύο συζυγών μητρών είναι ίσες. Συνεπώς, κάθε μετασχηματισμός ομοιότητας δεν αλλάζει την ορίζουσα μιας μήτρας, αφού: det(β) = det(s - ΑS) = det(s - )det(α)det(s) = [/det(s)]det(α)det(s) = det(α) Επίσης, τα ίχνη δύο συζυγών μητρών είναι ίσα. Συνεπώς, κάθε μετασχηματισμός ομοιότητας δεν αλλάζει το ίχνος μιας μήτρας, δηλαδή: trace(β) = trace(s - ΑS) = trace(α) 87

6.. Εκπροσωπήσεις Μαθηματικών Ομάδων με Μήτρες Για κάθε μαθηματική ομάδα G = {Ε, Α, Β, C, } με τάξη h μπορεί να βρεθεί ένα σύνολο από h μήτρες διάστασης m m, κάθε μια από τις οποίες αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο της ομάδας. Η μήτρα η οποία αντιστοιχεί στο στοιχείο X της ομάδας καλείται εκπροσώπηση του στοιχείου Χ και συμβολίζεται ως R m (X). Το σύνολο των μητρών εκπροσώπησης των στοιχείων της ομάδας αποτελεί επίσης μια μαθηματική m m m m ομάδα {R (E), R (A), R (B), R (C), }, η οποία είναι ισόμορφη με την G, καλείται εκπροσώπηση της ομάδας και συμβολίζεται ως R m (G). Οι λειτουργίες της εκπροσώπησης με μήτρες των στοιχείων Χ και της ομάδας G συμβολίζονται ως X R m (X) και G R m (G) αντιστοίχως. Η διάσταση m των μητρών, οι οποίες συνιστούν μια εκπροσώπηση μιας ομάδας καλείται διάσταση της εκπροσώπησης. Μια εκπροσώπηση μητρών μιας ομάδας καλείται πιστή εκπροσώπηση όταν κάθε στοιχείο της ομάδας εκπροσωπείται από διαφορετική μήτρα και μη πιστη εκπροσώπηση όταν κάποια στοιχεία της ομάδας εκπροσωπούνται από την ίδια μήτρα. Το ίχνος μιας μήτρας R m (X) η οποία εκπροσωπεί ένα στοιχείο Χ μιας ομάδας καλείται χαρακτήρας της εκπροσώπησης ή του στοιχείου και συμβολίζεται ως χ(χ). Όπως θα δούμε στη συνέχεια οι χαρακτήρες των εκπροσωπήσεων είναι εξαιρετικά χρήσιμοι, διότι φέρουν όλες τις απαιτούμενες πληροφορίες των εκπροσωπήσεων οι οποίες χρειάζονται στη μοριακή συμμετρία. Το σύνολο των χαρακτήρων των μητρών εκπροσώπησης {χ(e), χ(a), χ(b), χ(c), } της ομάδας καλείται εκπροσώπηση χαρακτήρων και συμβολίζεται ως Γ m (G). Στη συνέχεια θα δοθούν μερικές εκπροσωπήσεις μητρών και χαρακτήρων για τις αφηρημένες ομάδες Ζ Ζ και Ζ του Πίνακα 5..β (βλ. Παράγραφο 5..). Εκπροσώπηση Ζ Ζ R (Ζ Ζ ) Ας υποθέσουμε ότι κάθε μια από τις μήτρες R (X) διαστάσεων του συνόλου μητρών R εκπροσωπεί κάθε ένα από τα στοιχεία Χ της αφηρημένης ομάδας Ζ Ζ. ( ) ( ) ( ) ( ) E R E A R A B R B C R C 0 0 0 0 0 0 0 0 R ( E) = 0 0 R ( A) = 0 0 R ( B) = 0 0 R ( C) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Το σύνολο μητρών R αποτελεί μια εκπροσώπηση της ομάδας Ζ Ζ. Το σύνολο μητρών R αποτελεί μαθηματική ομάδα καθώς πληροί όλες τις ιδιότητες των μαθηματικών ομάδων. Πίνακας 6.α-Πίνακες πολλαπλασιασμού των ομάδων Ζ Ζ και R. Ζ Ζ Ε Α Β C R R (Ε) R (A) E E A B C R (Ε) R (Ε) R (A) A A E C B R (A) R (A) R (Ε) B B C E A R (B) R (B) R (C) C C B A E R (C) R (C) R (B) R (B) R (B) R (C) R (Ε) R (A) R (C) R (C) R (B) R (A) R (Ε) Για παράδειγμα, εύκολα διαπιστώνεται ότι ο πολλαπλασιασμός οποιωνδήποτε δύο στοιχείων της ομάδς R ισούται με ένα άλλο στοιχείο της (κλειστότητα), υπάρχει το στοιχείο R (Ε) για το οποίο ισχύει R (Ε) R (Χ) = R (Χ) R (Ε) = R (Χ) (ταυτότητα) και το αντίστροφο κάθε στοιχείου της είναι επίσης στοιχείο της ομάδας: R (Ε) - = R (Ε), R (A) - = R (A), R (B) - = R (B), R (C) - = R (C) (ύπαρξη αντίστροφων στοιχείων). 88

Αν εκτελέσουμε τους πολλαπλασιασμούς των μητρών, καταστρώσουμε τον πίνακα πολλαπλασιασμού της ομάδας R (Πίνακας 6.α-) και το συγκρίνουμε με τον πίνακα πολλαπλασιασμού της ομάδας Ζ Ζ (Πίνακας 6.α-), διαπιστώνουμε ότι οι δύο πίνακες πολλαπλασιασμού έχουν την ίδια μορφή. Για παράδειγμα όταν για την Ζ Ζ ισχύει ΑΒ = BA = C, για την R ισχύει επίσης R (A) R (B) = R (B) R (A) = R (C). Έτσι, οι ομάδες Ζ Ζ και R είναι ισόμορφες και συνεπώς η R αποτελεί μια εκπροσώπηση της Ζ Ζ, δηλαδή Ζ Ζ R (Ζ Ζ ). Τέλος, η εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας καταστρώνεται από τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης και φαίνεται στον Πίνακα 6.β. Πίνακας 6.β Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας Ζ Ζ. Ζ Ζ Ε Α Β C Γ (Ζ Ζ ) - Εκπροσώπηση Ζ Ζ R (Ζ Ζ ) Το παρακάτω σύνολο R των μητρών R (X) διαστάσεων, κάθε μια από τις οποίες εκπροσωπεί ένα από τα στοιχεία της αφηρημένης ομάδας Ζ Ζ, αποτελεί μια εκπροσώπηση της ομάδας Ζ Ζ. ( ) ( ) ( ) ( ) E R E A R A B R B C R C 0 0 0 0 R ( E) = R ( A) = R ( B) = R ( C) = 0 0 0 0 Το σύνολο μητρών R αποτελεί μαθηματική ομάδα καθώς πληροί όλες τις ιδιότητες των μαθηματικών ομάδων. Για παράδειγμα, εύκολα διαπιστώνεται ότι ο πολλαπλασιασμός οποιωνδήποτε δύο στοιχείων της ισούται με ένα άλλο στοιχείο της (κλειστότητα), υπάρχει το στοιχείο R (Ε) για το οποίο ισχύει R (Ε) R (Χ) = R (Χ) R (Ε) = R (Χ) (ταυτότητα) και το αντίστροφο κάθε στοιχείου της είναι επίσης στοιχείο της ομάδας (R (Ε) - = R (Ε), R (A) - = R (A), R (B) - = R (B), R (C ) - = R (C ) (ύπαρξη αντίστροφων στοιχείων). Αν εκτελέσουμε τους πολλαπλασιασμούς των μητρών, καταστρώσουμε τον πίνακα πολλαπλασιασμού της ομάδας R (Πίνακας 6.γ-) και το συγκρίνουμε με τον πίνακα πολλαπλασιασμού της ομάδας Ζ Ζ (Πίνακας 6.γ-), διαπιστώνουμε ότι πράγματι οι δύο πίνακες πολλαπλασιασμού έχουν την ίδια μορφή, για παράδειγμα όταν για την Ζ Ζ ισχύει ΑΒ = BA = C, για την R ισχύει επίσης R (A) R (B) = R (B) R (A) = R (C). Έτσι, οι ομάδες Ζ Ζ και R είναι ισόμορφες και συνεπώς η R αποτελεί μια εκπροσώπηση της Ζ Ζ, δηλαδή Ζ Ζ R (Ζ Ζ ). Πίνακας 6.γ Πίνακες πολλαπλασιασμού των ομάδων Ζ Ζ και R. Ζ Ζ Ε Α Β C R R (Ε) E E A B C R (Ε) R (Ε) A A E C B R (A) R (A) B B C E A R (B) R (B) C C B A E R (C) R (C) R (A) R (A) R (Ε) R (C) R (B) R (B) R (B) R (C) R (Ε) R (A) R (C) R (C) R (B) R (A) R (Ε) 89

Τέλος, η εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας καταστρώνεται από τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης και φαίνεται στον Πίνακα 6.δ. Πίνακας 6.δ Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας Ζ Ζ. Ζ Ζ Ε Α Β C Γ (Ζ Ζ ) 0-0 Εκπροσώπηση Ζ R (Ζ ) Το παρακάτω σύνολο R των μητρών R (X) διαστάσεων, κάθε μια από τις οποίες εκπροσωπεί ένα από τα στοιχεία της αφηρημένης ομάδας Ζ, αποτελεί μια εκπροσώπηση της ομάδας Ζ. ( ) ( ) ( ) E R E A R A B R B 0 0 0 0 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) R E R A R B Το σύνολο μητρών R αποτελεί μαθηματική ομάδα καθώς πληροί όλες τις ιδιότητες των μαθηματικών ομάδων. Για παράδειγμα, εύκολα διαπιστώνεται ότι ο πολλαπλασιασμός οποιωνδήποτε δύο στοιχείων της ισούται με ένα άλλο στοιχείο της (κλειστότητα), υπάρχει το στοιχείο R (Ε) για το οποίο ισχύει R (Ε) R (Χ) = R (Χ) R (Ε) = R (Χ) (ταυτότητα) και το αντίστροφο κάθε στοιχείου της είναι επίσης στοιχείο της ομάδας: R (Ε) - = R (Ε), R (A) - = R (Β), R (B) - = R (Α) (ύπαρξη αντίστροφων στοιχείων). Αν εκτελέσουμε τους πολλαπλασιασμούς των μητρών, καταστρώσουμε τον πίνακα πολλαπλασιασμού της ομάδας R (Πίνακας 6.ε-) και το συγκρίνουμε με τον πίνακα πολλαπλασιασμού της ομάδας Ζ (Πίνακας 6.ε-), όπως φαίνεται παρακάτω: Πίνακας 6.ε Πίνακες πολλαπλασιασμού των ομάδων Ζ και R. Ζ E A B R R (Ε) R (A) E E A B R (Ε) R (Ε) R (A) A A B E R (A) R (A) R (B) B B E A R (B) R (B) R (Ε) R (B) R (B) R (Ε) R (A) διαπιστώνουμε ότι οι δύο πίνακες πολλαπλασιασμού έχουν την ίδια μορφή, για παράδειγμα όταν για την Ζ ισχύει ΑΒ = BA = Ε, για την R ισχύει επίσης R (A) R (B) = R (B) R (A) = R (Ε). Έτσι, οι ομάδες Ζ και R είναι ισόμορφες και συνεπώς η R αποτελεί μια εκπροσώπηση της Ζ, δηλαδή Ζ R (Ζ ). Τέλος, η εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας καταστρώνεται από τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης και φαίνεται στον Πίνακα 6.στ. Πίνακας 6.στ Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας Ζ. Ζ Ε Α Β Γ (Ζ ) 0 0 90

6.4. Εκπροσωπήσεις Ομάδων Σημείου με Μήτρες Όπως για κάθε μαθηματική ομάδα έτσι και για οποιαδήποτε ομάδα σημείου, ΟΣ, με τάξη h μπορεί να βρεθεί μια ισόμορφη ομάδα R m (ΟΣ) με στοιχεία h μήτρες τάξης m, R m (X), κάθε μια από τις οποίες εκπροσωπεί μια διεργασία συμμετρίας (Χ) της ομάδας και καλείται εκπροσώπηση της διεργασίας συμμετρίας Χ, X R m (X). Η ομάδα R m (ΟΣ) η οποία αποτελείται από το σύνολο των μητρών, R m (X), αποτελεί μια εκπροσώπηση της ομάδας σημείου, ΟΣ R m (ΟΣ). Μια εκπροσώπηση μητρών μιας ομάδας σημείου καλείται πιστή εκπροσώπηση, όταν κάθε διεργασία της ομάδας σημείου εκπροσωπείται από διαφορετική μήτρα και μη πιστή εκπροσώπηση, όταν κάποιες διεργασίες της ομάδας σημείου εκπροσωπούνται από την ίδια μήτρα. Η εκπροσώπηση των ομάδων σημείου με μήτρες είναι σημαντική επειδή διευκολύνει τη διερεύνηση της επίδρασης των διεργασιών συμμετρίας μιας ομάδας σημείου στις διάφορες ιδιότητες των μορίων οι οποίες ανήκουν σε αυτή, καθώς η γεωμετρία των διεργασιών συμμετρίας όπως και οι συνδυασμοί, τα αντίστροφα, οι δυνάμεις των διεργασιών κ.α., ανάγονται πλέον σε πράξεις στα πλαίσια της άλγεβρας των μητρών. Για κάθε διεργασία συμμετρίας και συνεπώς για κάθε ομάδα σημείου είναι δυνατόν να δομηθεί ένας μεγάλος αριθμός εκπροσωπήσεων, οι οποίες διαφέρουν τόσο στις διαστάσεις των μητρών, m, όσο και στη μορφή των μητρών. Η μεθοδολογία εύρεσης των επιμέρους μητρών εκπροσώπησης R m (X) των διεργασιών συμμετρίας μιας ομάδας σημείου ΟΣ συνίσταται στη μελέτη της επίδρασης κάθε διεργασίας συμμετρίας σε μια βάση και η έκφραση του αποτελέσματος της επίδρασης αυτής με μια μήτρα μετασχηματισμού. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι μια διεργασία Χ, όχι απαραίτητα διεργασία συμμετρίας, επιδρά σε τρία στοιχεία (a, b, c) και τα μετασχηματίζει σε τρία νέα στοιχεία (a', b', c') τα οποία είναι: a' = a, b' = c και c' = b. Αν τα στοιχεία αυτά γραφούν με μορφή μητρών (διανυσμάτων στήλης) ο μετασχηματισμός αυτός μπορεί να εκφραστεί με την παρακάτω εξίσωση μητρών: a 0 0 a a a a = a b 0 0 b b c b = = = c c 0 0c c b c = b Η μήτρα αποτελεί τη μήτρα μετασχηματισμού των τριών στοιχείων (a, b, c), τα οποία αποτελούν τη βάση με την οποία δομείται η συγκεκριμένη μήτρα μετασχηματισμού (εκπροσώπηση). Είναι προφανές ότι το πλήθος των στοιχείων της βάσης καθορίζει και τη διάσταση της μήτρας μετασχηματισμού. Το σύνολο των μητρών μετασχηματισμού οι οποίες αντιστοιχούν σε όλες τις διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου θα αποτελεί και την εκπροσώπηση της ομάδας σημείου R m (ΟΣ). Οι βάσεις οι οποίες χρησιμοποιούνται για την εύρεση των εκπροσωπήσεων των ομάδων σημείου, ποικίλουν ως προς το είδος, τη διάσταση και τη μορφή τους. Για κάθε βάση η οποία χρησιμοποιείται για τη δόμηση των μητρών θα προκύπτει και μια νέα και διαφορετική εκπροσώπηση της ομάδας σημείου. Στη συνέχεια θα αναλυθεί η μεθοδολογία εύρεσης εκπροσωπήσεων με τα ακόλουθα τέσσερα είδη βάσεων:. Δόμηση μητρών εκπροσώπησης με βάση τις μήτρες μετασχηματισμού οι οποίες εκφράζουν το αποτέλεσμα της επίδρασης των διεργασιών συμμετρίας στο διάνυσμα θέσης ενός σημείου, το οποίο ορίζεται από τις καρτεσιανές συντεταγμένες [x, y, ] του σημείου. Στην περίπτωση αυτή ως βάση νοείται το διάνυσμα (μήτρα) στήλη το οποίο αποτελείται από τις καρτεσιανές συντεταγμένες [x, y, ] του σημείου και η τάξη των μητρών μετασχηματισμού ισούται με.. Δόμηση μητρών εκπροσώπησης με βάση τις μήτρες μετασχηματισμού οι οποίες εκφράζουν το αποτέλεσμα της επίδρασης των διεργασιών συμμετρίας στις θέσεις ενός συνόλου διανυσμάτων τοποθετημένων σε συγκεκριμένες θέσεις ενός μορίου και συνιστούν ένα διανυσματικό χώρο. Στην περίπτωση αυτή ως βάση νοείται το διάνυσμα (μήτρα) στήλη, το οποίο αποτελείται από τα διανύσματα του διανυσματικού χώρου και η τάξη των μητρών μετασχηματισμού ισούται με το πλήθος των διανυσμάτων της βάσης. 9

. Δόμηση μητρών εκπροσώπησης με βάση τις μήτρες μετασχηματισμού οι οποίες εκφράζουν το αποτέλεσμα της επίδρασης των διεργασιών συμμετρίας σε ένα σύνολο συναρτήσεων οι οποίες συνιστούν ένα συναρτησιακό χώρο. Στην περίπτωση αυτή ως βάση νοείται το διάνυσμα (μήτρα) στήλη το οποίο αποτελείται από τις συναρτήσεις του συναρτησιακού χώρου και η τάξη των μητρών μετασχηματισμού ισούται με το πλήθος των συναρτήσεων της βάσης. 4. Δόμηση μητρών εκπροσώπησης με βάση τις μήτρες μετασχηματισμού οι οποίες εκφράζουν τις μεταθέσεις όλων ή μέρους των ατόμων του μορίου σε ισοδύναμες θέσεις ως αποτέλεσμα της επίδρασης των διεργασιών συμμετρίας. Στην περίπτωση αυτή η βάση αποτελείται από τα σύμβολα των ατόμων του μορίου στα οποία προστίθενται δείκτες οι οποίοι διαφοροποιούν τις ισοδύναμες θέσεις ίδιων ατόμων και η τάξη των μητρών μετασχηματισμού ισούται με το πλήθος των ατόμων της βάσης. Τέλος, τονίζεται ότι για τη δόμηση εκπροσωπήσεων πέραν των παραπάνω μπορούν να χρησιμοποιηθούν και άλλου τύπου βάσεις οι οποίες δεν κρίνεται σκόπιμο να περιγραφούν εδώ. 6.4.. Ορισμός του Καρτεσιανού Συστήματος Συντεταγμένων και Προσανατολισμός Μορίων Κατά τη δόμηση εκπροσωπήσεων των ομάδων σημείου είναι απαραίτητο να καθορισθεί το σύστημα συντεταγμένων και η τοποθέτηση σε αυτό ενός μορίου και των στοιχείων συμμετρίας της ομάδας σημείου στην οποία ανήκει. Η κατεύθυνση των αξόνων του ορθογωνικού καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Σύμφωνα με αυτόν η θετική κατεύθυνση των αξόνων x, y και ορίζεται από τον αντίχειρα, το δείκτη και το μέσο δάκτυλο του δεξιού χεριού όταν αυτά εκτείνονται ώστε να είναι κάθετα μεταξύ τους όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.4.α-. Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων πολλές φορές μπορεί να τοποθετηθεί στο χώρο με διαφορετικό προσανατολισμό από αυτόν του σχήματος 6.4.α-. Για παράδειγμα το σύστημα μπορεί να περιστραφεί περί έναν άξονα (π.χ. περί τον όπως στο Σχήμα 6.4.α-) ή ο άξονας να έχει άλλη κατεύθυνση όπως στο Σχήμα 6.4.α-. Σε κάθε περίπτωση όμως η σχετική φορά των αξόνων πρέπει να υπακούει στον παραπάνω κανόνα του δεξιού χεριού. Σχήμα 6.4.α Κανόνας του δεξιού χεριού και σύμφωνη με αυτόν παράσταση καρτεσιανών συστημάτων. Η τοποθέτηση των μορίων στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων εξαρτάται από την ομάδα σημείου στην οποίαν ανήκει. Προς τούτο έχουν καθιερωθεί οι παρακάτω κανόνες:. Η αρχή του συστήματος συντεταγμένων ταυτίζεται με το κέντρο μάζας του μορίου.. Ο άξονας ταυτίζεται με τον άξονα περιστροφής μεγαλύτερης τάξης, δηλαδή τον κύριο άξονα, C n. Αν υπάρχουν περισσότεροι του ενός άξονες C n (π.χ. D h ), ως άξονας ορίζεται αυτός ο οποίος διέρχεται από τα περισσότερα άτομα. Στα μόρια όπου εκτός από άξονες C n υπάρχει και ένας άξονας στροφοκατοπτρισμού S n (π.χ. D d ), ο άξονας ταυτίζεται με τον S n. Εξαίρεση των παραπάνω γίνεται στα τετραεδρικά μόρια όπου οι άξονες x, y και ταυτίζονται με τους τρεις άξονες C ή S 4.. Στα επίπεδα μόρια αν ο άξονας τοποθετηθεί όπως ορίζει ο ος κανόνας και είναι κάθετος στο μοριακό επίπεδο, ο άξονας x τοποθετείται επί του επιπέδου του μορίου με τρόπο ώστε να 9

διέρχεται από το μέγιστο πλήθος ατόμων. Αν ο κύριος άξονας και συνεπώς και ο άξονας κείται επί του επιπέδου του μορίου (π.χ. Η Ο, C v ) ο άξονας x τοποθετείται κάθετα στο επίπεδο. 4. Στα μη επίπεδα μόρια μετά τον ορισμό του άξονα όπως ορίζει ο ος κανόνας, ο άξονας x τοποθετείται έτσι ώστε το επίπεδο x να διέρχεται από όσο το δυνατόν περισσότερα άτομα. Αν αυτό δεν είναι δυνατόν η τοποθέτηση του επιπέδου δεν έχει ιδιαίτερη σημασία. Στο Σχήμα 6.4.β δίνονται μερικά παραδείγματα τοποθέτησης του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων σε διάφορα μόρια με βάση την ομάδα σημείου τους και τους παραπάνω κανόνες. Σχήμα 6.4.β Παραδείγματα τοποθέτησης του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων σε διάφορα μόρια. Στο σημείο αυτό πρέπει να διευκρινιστεί ότι οι παραπάνω τέσσερεις κανόνες είναι περισσότερο συμβάσεις παρά κανόνες με την αυστηρή έννοια του όρου. Σε πολλά βιβλία οι συγγραφείς ακολουθούν διαφορετική λογική τοποθέτησης των αξόνων. Αυτό, παρόλο που οδηγεί σε διαφορές στις μήτρες μετασχηματισμού και άλλα στοιχεία εφαρμογής της θεωρίας ομάδων στη μοριακή συμμετρία, σε καμία περίπτωση δεν οδηγεί σε διαφορετικά συμπεράσματα ως προς τη συμμετρική συμπεριφορά των μορίων και τις συνέπειες της στις φυσικοχημικές του ιδιότητες. Σε κάθε περίπτωση όμως, όταν εφαρμόζονται οι μέθοδοι οι οποίες θα περιγραφούν στη συνέχεια, πρέπει καταρχήν να δηλώνεται το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων το οποίο χρησιμοποιείται καθώς και η τοποθέτηση του μορίου σε αυτό. 6.4.. Εκπροσώπηση Ομάδων Σημείου με Βάση Διάνυσμα Θέσης Πριν προχωρήσουμε στη δόμηση εκπροσωπήσεων συγκεκριμένων ομάδων σημείου με βάση διάνυσμα θέσης, είναι χρήσιμο να δομήσουμε τις μήτρες μετασχηματισμού των καρτεσιανών συντεταγμένων [x, y, ] ενός σημείου του χώρου, τα οποία αντιστοιχούν στα πέντε είδη διεργασιών συμμετρίας. Μήτρα μετασχηματισμού ταυτότητας, Ε Η επίδραση της διεργασίας της ταυτότητας είναι προφανές ότι δε μεταβάλει τις συντεταγμένες ενός σημείου του χώρου και έτσι: x' x x' 0 0 x 0 0 y' = y y' = 0 0 y E 0 0 ' ' 0 0 0 0 Συνεπώς η ταυτότητα εκπροσωπείται από τη μήτρα μονάδα διαστάσεων. 9

Μήτρα μετασχηματισμού αναστροφής, i Η επίδραση της διεργασίας της αναστροφής, ως προς το κέντρο των καρτεσιανών αξόνων όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.4.α μετατοπίζει ένα σημείο του χώρου με συντεταγμένες [x, y, ] σε ένα άλλο σημείο με συντεταγμένες [-x, -y, -]. Σχήμα 6.4.α Αναστροφή σημείου ως προς το κέντρο των καρτεσιανών αξόνων. Συνεπώς η διεργασία αναστροφής θα εκπροσωπείται από την παρακάτω μήτρα: x' x x 0 0 x 0 0 y' = y y = 0 0 y i 0 0 ' 0 0 0 0 Μήτρες μετασχηματισμού κατοπτρισμών, σ(x), σ(y), σ(xy) Η επίδραση της διεργασίας του κατοπτρισμού ενός σημείου ως προς κάθε ένα από τα επίπεδα τα οποία ορίζονται από τους καρτεσιανούς άξονες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.4.β, αλλάζει το πρόσημο της κάθετης στο επίπεδο αυτό συντεταγμένης του σημείου. Σχήμα 6.4.β Κατοπτρισμοί σημείου ως προς τα επίπεδα των καρτεσιανών αξόνων. 94

Συνεπώς οι τρεις δυνατοί κατοπτρισμοί θα εκπροσωπούνται από τις παρακάτω μήτρες: σ( x ): x' x x 0 0 x 0 0 y ' = y y = 0 0 y σ( x ) 0 0 ' 0 0 0 0 σ ( y ): x' x x 0 0 x 0 0 y ' = y y = 0 0 y σ ( y ) 0 0 ' 0 0 0 0 σ( xy): x' x x 0 0 x 0 0 y ' = y y = 0 0 y σ( xy) 0 0 ' 0 0 0 0 Μήτρες μετασχηματισμού περιστροφών, C n (x), C n (y), C n () Η επίδραση της διεργασίας της περιστροφής περί τον άξονα C n (), η οποία ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.4.γ, δε μεταβάλει τη συντεταγμένη, αλλά μόνον τις τιμές των συντεταγμένων x και y οι οποίες υπολογίζονται εύκολα τριγωνομετρικά. Σχήμα 6.4.γ Περιστροφή σημείου ως προς τον άξονα των x κατά γωνία θ. Έτσι η μήτρα η οποία εκπροσωπεί την περιστροφή C n () κατά γωνία θ=π/n θα έχει την παρακάτω μορφή. x' xσυν θ + yηµθ συν θ ηµθ 0 x C = ηµθ + συν θ = ηµθ συν θ n( ): y' x y 0 y ' 0 0 συν θ ηµθ 0 C ηµθ συν θ n( ) 0 0 0 Με την ίδια λογική οι μήτρες οι οποίες εκπροσωπούν τις διεργασίες C n (x) και C n (y) θα είναι οι παρακάτω. 95

Cn( x): x' x 0 0 x 0 0 y' = yσυνθ + ηµθ = 0 συνθ ηµθ y Cn( x) 0 συνθ ηµθ ' yηµθ συνθ 0 ηµθ συνθ 0 ηµθ συνθ + C n( y): x' xσυνθ + ηµθ συνθ 0 ηµθ x συνθ 0 ηµθ y' = y = 0 0 y C n( y) 0 0 ' xηµθ + συνθ ηµθ 0 συνθ ηµθ 0 συνθ Μήτρες μετασχηματισμού στροφοκατοπτρισμών, S n (x), S n (y), S n () Η επίδραση της διεργασίας του στροφοκατοπτρισμού ως προς άξονα ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα, S n (), εφόσον εμπεριέχει περιστροφή ως προς τον άξονα, μεταβάλει τις τιμές των συντεταγμένων x και y κατά τρόπο ανάλογο της περιστροφής C n (). Αλλάζει επίσης το πρόσημο της συντεταγμένης, καθόσον η διεργασία στροφοκατοπτρισμού εμπεριέχει και κατοπτρισμό ως προς το επίπεδο (xy). Ανάλογα ισχύουν και για τις διεργασίες στροφοκατοπτρισμού S n (x) και S n (y). Έτσι οι μήτρες, οι οποίες εκπροσωπούν τους τρεις στροφοκατοπτρισμούς είναι οι παρακάτω (θ=π/n). Sn( ): x' xσυνθ + yηµθ συνθ ηµθ 0 x συνθ ηµθ 0 y' = xηµθ + yσυνθ = ηµθ συνθ 0 y Sn( ) ηµθ συνθ 0 ' 0 0 0 0 S n( x): x' x 0 0 x 0 0 y' = yσυνθ + ηµθ = 0 συνθ ηµθ y S n( x) 0 συνθ ηµθ ' yηµθ + συνθ 0 ηµθ συνθ 0 ηµθ συνθ Sn( y): x' xσυνθ + ηµθ συνθ 0 ηµθ x συνθ 0 ηµθ y' = y = 0 0 y Sn( y) 0 0 ' xηµθ + συνθ ηµθ 0 συνθ ηµθ 0 συνθ Στην ίδια μήτρα εκπροσώπησης της διεργασίας S n () καταλήγει κανείς, αν λάβει υπόψιν του ότι ο στροφοκατοπτρισμός αποτελεί συνδυασμό της περιστροφής C n () και του κατοπτρισμού σ(xy), δηλαδή S n () = σ(xy) C n (). Έτσι η μήτρα μετασχηματισμού η οποία εκπροσωπεί τη διεργασία του στροφοκατοπτρισμού θα είναι το γινόμενο των μητρών μετασχηματισμού της περιστροφής C n () και του κατοπτρισμού σ(xy), δηλαδή: 0 0 συνθ ηµθ 0 συνθ ηµθ 0 συνθ ηµθ 0 σ( xy) Cn( ) 0 0 ηµθ συνθ 0 = ηµθ συνθ 0 Sn( ) ηµθ συνθ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Όλες οι παραπάνω μήτρες μετασχηματισμού είναι ορθογωνικές. Αυτό σημαίνει ότι η αντίστροφη τους είναι η μεταθετική τους, δηλαδή μια μήτρα στην οποία έχουν αντιμετατεθεί σειρές και στήλες. Η ιδιότητα αυτή διευκολύνει σημαντικά την εύρεση των μητρών μετασχηματισμού των αντιστρόφων, Χ -, των κατάλληλων και των ακατάλληλων διεργασιών περιστροφής. Έτσι, για παράδειγμα για τους άξονες C () και S () θα ισχύει (θ=π/): 96

/ / 0 / / 0 / / 0 C( ) / / 0 C( ) / / 0 = / / 0 0 0 0 0 0 0 / / 0 / / 0 / / 0 S( ) / / 0 C( ) / / 0 = / / 0 0 0 0 0 0 0 Τέλος, σε ότι αφορά στην ταυτότητα, την αναστροφή και τον κατοπτρισμό αξίζει να αναφερθούν οι παρακάτω ισοδυναμίες. συν ( π ) ηµ ( π ) 0 0 0 E=C( ) E ηµ ( π ) συν ( π ) 0 = 0 0 0 0 0 0 συν ( π ) ηµ ( π ) 0 0 0 σ ( xy) = S( ) σ( xy) ηµ ( π ) συν ( π ) 0 = 0 0 0 0 0 0 συν ( π ) ηµ ( π ) 0 0 0 i=s( ) i ηµ ( π ) συν ( π ) 0 = 0 0 0 0 0 0 Εκπροσώπηση C v R (C v ) με βάση διάνυσμα θέσης Στο Σχήμα 6.4.δ δίνονται τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v : Ε, C, σ ν (x), σ' ν (y). Σχήμα 6.4.δ Στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v. Με βάση τις παραπάνω γενικές μήτρες μετασχηματισμού και δεδομένου ότι για την περιστροφή C είναι θ = π εύκολα προκύπτουν οι παρακάτω εκπροσωπήσεις: 97

0 0 0 0 E R ( E ) = 0 0 C R ( C( )) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σv( x ) R ( σv( x )) = 0 0 σ' v( y ) R ( σ' v( y )) = 0 0 0 0 0 0 Η εκπροσώπηση της ομάδας σημείου C v R (C v ) η οποία προέκυψε είναι όμοια με την εκπροσώπηση Ζ Ζ R (Ζ Ζ ) η οποία αναλύθηκε στην παράγραφο 6.. Αυτό είναι απολύτως φυσιολογικό, αφού όπως είδαμε στο κεφάλαιο 5, η αφηρημένη ομάδα Ζ Ζ και η ομάδα σημείου C v είναι ισόμορφες με αντιστοιχία στοιχείων και διεργασιών E: E, A: C, Β: σ ν (x) και C: σ' ν (y) και συνεπώς αναμένεται να έχουν και τις ίδιες εκπροσωπήσεις. Τέλος, η εκπροσώπηση της ομάδας σημείου (Cv) με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης δίνεταιστον Πίνακα 6.4.α. Πίνακας 6.4.α Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας Ζ. Cv Ε C σν(x) σ' ν(y) Γ (Cv ) - Προφανώς η εκπροσώπηση της ομάδας σημείου C v με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης είναι ίδια με την εκπροσώπηση της ισομορφικής αφηρημένης ομάδας Ζ Ζ. Εκπροσώπηση C v R (C v ) με βάση διάνυσμα θέσης Στο Σχήμα 6.4.ε δίνονται τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου C v : Ε, C, C, σν, σ' ν, σ ν όπου ως σ ν λαμβάνεται το επίπεδο y. Σχήμα 6.4.ε Στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v. Η δόμηση των μητρών εκπροσώπησης των διεργασιών συμμετρίας της ομάδας προκύπτουν από τις παραπάνω γενικές μήτρες μετασχηματισμού των αξόνων και του επιπέδου κατοπτρισμού σ(y). Για τις διεργασίες περιστροφής, δεδομένου ότι για την περιστροφή C είναι θ = π/, ενώ για την C είναι θ = 4π/, εύκολα προκύπτουν οι παρακάτω εκπροσωπήσεις: 98

0 0 / / 0 E R ( E ) = 0 0 C R ( C) = / / 0 0 0 0 0 C / / 0 0 0 ( C ) σ= / / 0 R ( ) = 0 0 0 0 0 0 σ R v v Για τη δόμηση των εκπροσωπήσεων των διεργασιών κατοπτρισμού σ' ν και σ ν της ομάδας σημείου C v δεν είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν όπως προηγούμενα, οι γενικές μήτρες μετασχηματισμού των επιπέδων κατοπτρισμού σ(x), σ(y) και σ(xy) αφού, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 6.4.ε, αυτά δεν ταυτίζονται με κανένα από τα επίπεδα αυτά. Στην περίπτωση αυτή, η δόμησή των μητρών προκύπτει είτε με βάση τριγωνομετρικές σχέσεις, ή ακόμη πιο απλά από την ανάλυση της διεργασίας σε συνδυασμούς διεργασιών (σ' ν = C σ ν και σ ν = C σν ), αφού η εκπροσώπηση μιας διεργασίας η οποία ισοδυναμεί με το συνδυασμό δύο άλλων ισούται με το γινόμενο των εκπροσωπήσεων των διεργασιών του συνδυασμού. Έτσι οι εκπροσωπήσεις των σ' ν και σ ν θα είναι: v v R v R R v σ' = C σ ( σ' ) = ( C ) ( σ ) / / 0 0 0 / / 0 σ' v R ( σ' v) = / / 0 0 0 = / / 0 0 0 0 0 0 0 σ" v = Cσv R ( σ" v) = R ( C ) R ( σv) / / 0 0 0 / / 0 σ" v R ( σ" v) = / / 0 0 0 = / / 0 0 0 0 0 0 0 Τέλος, η εκπροσώπηση της ομάδας σημείου με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης φαίνεται στον Πίνακα 6.4.β. Πίνακας 6.4.β Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας C v. Cv Ε C C σν σ' ν σ Γ (Cv ) 0 0 ν Παρατηρούμε ότι οι χαρακτήρες των εκπροσωπήσεων των διεργασιών συμμετρίας C και C οι οποίες, όπως είδαμε στην παράγραφο 5.6. είναι συζυγείς μεταξύ τους και συνιστούν μια κλάση, είναι ίσοι παρόλο που οι μήτρες εκπροσώπησής τους είναι διαφορετικές. Το ίδιο συμβαίνει και με τους χαρακτήρες των διεργασιών σ ν, σ' ν και σ ν, οι οποίες αποτελούν επίσης μια κλάση. 6.4.. Εκπροσώπηση Ομάδων Σημείου με Βάση Διανυσματικούς Χώρους Για την εύρεση της m-διάστατης εκπροσώπησης μιας ομάδας σημείου με βάση έναν διανυσματικό χώρο επιλέγονται καταρχήν μια σειρά από m διανύσματα, τα οποία είναι τοποθετημένα σε συγκεκριμένα σημεία του χώρου ή σε άτομα ενός μορίου το οποίο ανήκει στην ομάδα σημείου και έχουν συγκεκριμένο 99

προσανατολισμό. Τα ισοδύναμα διανύσματα επισημαίνονται με δείκτες και διατάσσονται σε μια μήτρα στήλη Α και στη συνέχεια καταστρώνεται μια μήτρα στήλη Α' με τις νέες θέσεις και τα πρόσημα των διανυσμάτων όπως προκύπτουν μετά από την εφαρμογή μιας διεργασίας συμμετρίας Χ. Τέλος, δομείται μια μήτρα μετασχηματισμού R(Χ) τέτοια ώστε Α'=R(Χ)Α. Η μήτρα R(Χ) αποτελεί εκπροσώπηση της διεργασίας Χ με βάση το συγκεκριμένο διανυσματικό χώρο και το σύνολο των μητρών εκπροσώπησης των διεργασιών της ΟΣ αποτελούν την m-διάστατη εκπροσώπηση της ομάδας σημείου, ΟΣ R m (ΟΣ). Εκπροσωπήσεις C v R (C v ) με βάση διανύσματα Στο Σχήμα 6.4.α δίνονται τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v : Ε, C, σ ν (x), σ' ν (y) και το μόριο Η Ο, το οποίο ανήκει στην ομάδα, τοποθετημένο με βάση τους γνωστούς κανόνες ώστε όλα τα άτομα να κείνται επί του επιπέδου y. Επίσης δίνονται δύο ίσα διανύσματα e α και e β τοποθετημένα με αρχή στα άτομα υδρογόνου και φορά παράλληλη προς τον θετικό άξονα x, τα οποία αποτελούν τη βάση της εκπροσώπησης. Σχήμα 6.4.α Το μόριο Η Ο, τα διανύσματα βάσης και τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου C v. Οι μήτρες στήλες με τα διανύσματα πριν και μετά την επίδραση κάθε διεργασίας συμμετρίας καθώς και οι αντίστοιχες μήτρες μετασχηματισμού είναι οι παρακάτω: eα e α 0 eα 0 = R ( E ) = E R ( E ) = eβ eβ 0 eβ 0 -eβ e α 0 eα 0 = R ( C) = C R ( C) = -eα eβ 0 eβ 0 eβ eα 0 eα 0 = R ( σv( x )) = σv( x ) R ( σ = eα eβ 0 e v( x )) β 0 -eα e α 0 eα 0 = R ( σ' v( y )) = σ' v( y ) R ( σ' v( y )) = -eβ eβ 0 eβ 0 Η δισδιάστατη εκπροσώπηση, η οποία προέκυψε είναι μια πιστή εκπροσώπηση C v R (C v ). Τέλος, η εκπροσώπηση της ομάδας σημείου με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης φαίνεται στον Πίνακα 6.4.α. 00

Πίνακας 6.4.α Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας C v. Cv Ε C σν(x) σ' ν(y) Γ (Cv ) 0 0 - Εκπροσωπήσεις D h R (D h ) με βάση διανύσματα Στο Σχήμα 6.4.β δίνονται τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου D h : Ε, C, C, σ h, S, σ ν και το μόριο BF, το οποίο ανήκει στην ομάδα, τοποθετημένο με βάση τους γνωστούς κανόνες, ώστε τα άτομα φθορίου να κείνται επί των επιπέδων σ ν, σ' ν και σ ν αντιστοίχως και το επίπεδο σ h να ορίζεται από τους τρεις άξονες C. Επίσης δίνονται και τρία ίσα διανύσματα e α, e β και e γ τοποθετημένα με αρχή τα άτομα φθορίου και φορά παράλληλη με τον άξονα C, τα οποία αποτελούν τη βάση της εκπροσώπησης. Σχήμα 6.4.β Το μόριο ΒF, τα διανύσματα βάσης και τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου D h. Οι μήτρες στήλες με τα διανύσματα πριν και μετά την επίδραση κάθε διεργασίας συμμετρίας καθώς και οι αντίστοιχες μήτρες μετασχηματισμού είναι οι παρακάτω. eα eα 0 0 eα 0 0 e β= R ( E ) eβ= 0 0 e β E R ( E ) = 0 0 eγ eγ 0 0 eγ 0 0 eβ eα 0 0 eα 0 0 e γ= R ( C) eβ= 0 0 e β C R ( C) = 0 0 eαγ e eγ 0 0 0 0 eγ eα 0 0 eα 0 0 e α= R ( C ) eβ= 0 0 e β C R ( C ) = 0 0 eβ eγ 0 0eγ 0 0 -e α e α 0 0 eα 0 0 -e γ= R ( C) eβ= 0 0 eβ C R ( C ) = 0 0 -eβγ e eγ 0 0 0 0 0

-eγ eα 0 0 eα 0 0 ' ' ' -e β= R ( C) eβ= 0 0 e β C R ( C) = 0 0 -e γ e eγ 0 0 0 0 α -eβ eα 0 0 eα " -e α= R ( C ) eβ= 0 0 eβ C -e eγ 0 0 eγ γ " " R C 0 0 ( ) = 0 0 0 0 -e α eα 0 0 eα 0 0 -e β= R ( σh) eβ= 0 0 e β σh R ( σh) = 0 0 -e 0 0 0 0 γγ e eγ -eβ eα 0 0 eα 0 0 -e γ= R ( S ) eβ= 0 0 e β S R ( S) = 0 0 -eαγ e 0 0 eγ 0 0 -eγ eα 0 0 eα 0 0 5 5 5 -e α= R ( S ) eβ= 0 0 e β S R ( S ) = 0 0 -e β eγ 0 0 eγ 0 0 e α e α 0 0 eα 0 0 eγ = R ( σv ) eβ= 0 0 e β σv R ( σv ) = 0 0 e 0 0 0 0 β eγ eγ eγ eα 0 0 eα 0 0 ' ' ' e β= R ( σv) eβ= 0 0 e β σv R ( σv) = 0 0 e 0 0 0 0 αγ e eγ eβ eα 0 0 eα 0 0 " " " eα = R ( σv ) eβ= 0 0 e β σv R ( σv ) = 0 0 e γ eγ 0 0 eγ 0 0 Η τρισδιάστατη εκπροσώπηση η οποία προέκυψε είναι μια πιστή εκπροσώπηση D h R (D h ). Τέλος, η εκπροσώπηση της ομάδας σημείου με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης φαίνεται στον Πίνακα 6.4.β. Πίνακας 6.4.β Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας D h. Dh Ε C C C C' C σh S S σν σ' ν σ Γ (Dh ) 0 0 - - - - 0 0 5 ν Παρατηρούμε ότι οι χαρακτήρες των εκπροσωπήσεων των διεργασιών συμμετρίας C και C, οι οποίες όπως είδαμε στο 5 ο κεφάλαιο αποτελούν μια κλάση, είναι ίσοι παρόλο που οι μήτρες εκπροσώπησής τους είναι διαφορετικές. Το ίδιο συμβαίνει και με τους χαρακτήρες των διεργασιών C, C ' και C, αλλά και των σ ν, σ' ν και σ ν, οι οποίες αποτελούν επίσης κλάσεις. 0

6.4.4. Εκπροσώπηση Ομάδων Σημείου με Βάση Συναρτησιακούς Χώρους Για την εύρεση της m-διάστατης εκπροσώπησης μιας ομάδας σημείου με βάση ένα συναρτησιακό χώρο επιλέγονται καταρχήν μια σειρά από m συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις αυτές διατάσσονται σε μια μήτρα στήλη Α και στη συνέχεια καταστρώνεται η μήτρα στήλη Α' με τις μορφές των συναρτήσεων μετά από την εφαρμογή μιας διεργασίας συμμετρίας Χ. Στη συνέχεια δομείται μια μήτρα R(Χ) τέτοια ώστε Α' = R(Χ)Α. Η μήτρα R(Χ) αποτελεί εκπροσώπηση της διεργασίας Χ με βάση το συγκεκριμένο συναρτησιακό χώρο. Το σύνολο των μητρών εκπροσώπησης των διεργασιών συμμετρίας της ομάδας σημείου αποτελεί την m- διάστατη εκπροσώπησή της, ΟΣ R m (ΟΣ). Εκπροσωπήσεις C v R m (C v ) με βάση τις καρτεσιανές συναρτήσεις και τα δυαδικά τους γινόμενα Στο Σχήμα 6.4.4a δίνονται τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v : Ε, C, σ ν (x), σ' ν (y) τοποθετημένα στους καρτεσιανούς άξονες. Σχήμα 6.4.4α Στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v. Η μορφή των συναρτήσεων x, y,, x, y,, x, y και xy μετά την επίδραση κάθε διεργασίας συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται στον ακόλουθο Πίνακα 6.4.4α. Πίνακας 6.4.4α Επίδραση των διεργασιών συμμετρίας της ομάδας σημείου C v στις συναρτήσεις x, y,, x, y,, x, y και xy. Cv Ε C σν(x) σ' ν(y) x x -x x -x y y -y -y y x x x x x y y y y y x x -x x -x y y -y -y y xy xy xy -xy -xy Οι μήτρες εκπροσώπησης με βάση τις συναρτήσεις x, y και θα είναι: 0

x x 0 0 x 0 0 y = R ( E ) y = 0 0 y E R ( E ) = 0 0 0 0 0 0 -x x 0 0 x 0 0 -y = R ( C) y = 0 0 y C R ( C) = 0 0 0 0 0 0 x x 0 0 x 0 0 -y = R ( σv( x )) y = 0 0 y σv( x ) R ( σv( x )) = 0 0 0 0 0 0 -x x 0 0 x 0 0 y = R ( σ' v( y )) y = 0 0 y σ' v( y ) R ( σ' v( y )) = 0 0 0 0 0 0 Η εκπροσώπηση η οποία προέκυψε είναι όμοια με την εκπροσώπηση C v R (C v ), η οποία δομήθηκε προηγουμένως με βάση το διάνυσμα θέσης και συνεπώς προκύπτει και μια ίδια εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας σημείου. Οι μήτρες εκπροσώπησης με βάση τις συναρτήσεις x, y,, x, y και xy θα είναι: 6 6 x x x 0 0 y y 0 y 0 ( ) 0 = R E = ( ) 0 x x 0 E R E = x 0 0 0 y y 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 xy xy xy 6 6 R C C R C x x x 0 0 y y 0 y 0 ( ) 0 = = ( ) 0 -x x 0 = x 0 0 0 -y y 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 xy xy xy 6 6 σv σv σv x x x 0 0 y y 0 y 0 ( ( )) 0 = R x = ( ) ( ( )) 0 x x 0 x R x = x 0 0 0 -y y 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 -xy xy xy 6 6 σ v σ v σ v x x x 0 0 y y 0 y 0 ( ' ( )) 0 = R y = ' ( ) ( ' ( )) -x x 0 y R y = 0 x 0 0 y y 0 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 -xy xy xy Η εκπροσώπηση C v R 6 (C v ) αποτελεί μια πιστή εκπροσώπηση, ενώ η εκπροσώπηση της ομάδας σημείου με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης φαίνεται στον Πίνακα 6.4.4β. 04

Πίνακας 6.4.4β Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας C v. Cv Ε C σν(x) σ' ν(y) 6 Γ (Cv ) 6 Εκπροσωπήσεις C v R m (C v ) με βάση τις καρτεσιανές συναρτήσεις και τα δυαδικά τους γινόμενα Στο Σχήμα 6.4.4β δίνονται τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v : Ε, C, σ ν, σ' ν, σ ν τοποθετημένα στους καρτεσιανούς άξονες. Σχήμα 6.4.4β Στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v. Η μορφή των συναρτήσεων x, y,, x, y,, x, y και xy μετά την επίδραση κάθε διεργασίας συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται στον ακόλουθο Πίνακα 6.4.4γ. Πίνακας 6.4.4γ Επίδραση των διεργασιών συμμετρίας της ομάδας σημείου C v στις συναρτήσεις x, y,, x, y,, x, y και xy. σ Cv Ε C C x ν σ' ν σ x -(/)x+( /)y -(/)x-( /)y -x (/)x-( /)y (/)x+( /)y y y -( /)x-(/)y ( /)x-(/)y y -( /)x-(/)y ( /)x-(/)y x x (/4)x +(/4)y -( /)xy (/4)x +(/4)y +( /)xy x (/4)x +(/4)y -( /)xy (/4)x +(/4)y +( /)xy y y (/4)x +(/4)y +( /)xy (/4)x +(/4)y -( /)xy y (/4)x +(/4)y +( /)xy (/4)x +(/4)y -( /)xy x x -(/)x+( /)y -(/)x-( /)y -x (/)x-( /)y (/)x+( /)y y y -( /)x-(/)y ( /)x-(/)y y -( /)x-(/)y ( /)x-(/)y ν xy xy ( /4)x -( /4)y -(/)xy -( /4)x -( /4)y -(/)xy -xy -( /4)x +( /4)y +(/)xy ( /4)x -( /4)y +(/)xy Οι μήτρες εκπροσώπησης με βάση τις συναρτήσεις x, y και θα είναι: 05

x x 0 0 x 0 0 y = R ( E ) y = 0 0 y E R ( E ) = 0 0 0 0 0 0 -(/)x+( /)y x / / 0 x / / 0 -( /)x-(/)y = R ( C ) y = / / 0 y C R ( C) = / / 0 0 0 0 0 -(/)x-( /)y x / / 0 x / / 0 ( /)x-(/)y = R ( C ) y = / / 0 y C R ( C ) = / / 0 0 0 0 0 -x x 0 0 x 0 0 y = R ( σv) y = 0 0 y σv R ( σv) = 0 0 0 0 0 0 (/)x-( /)y x / / 0 x / / 0 -( /)x-(/)y = R ( σ' v( y )) y = / / 0 y σ' v R ( σ' v) = / / 0 0 0 0 0 (/)x+( /)y x / / 0 x / / 0 ( /)x-(/)y = R ( σ" v( y )) y = / / 0 y σ" v R ( σ" v) = / / 0 0 0 0 0 Η εκπροσώπηση η οποία προέκυψε είναι όμοια με την εκπροσώπηση C v R (C v ), η οποία δομήθηκε προηγουμένως με βάση το διάνυσμα θέσης και συνεπώς προκύπτει και μια ίδια εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας σημείου. Οι μήτρες εκπροσώπησης με βάση τις συναρτήσεις x, y,, x, y και xy θα είναι: x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) x = R E x = R x E E = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 xy xy xy (/4)x +(/4)y -( /)xy x /4 /4 0 0 0 - / x /4 /4 0 0 0 - / (/4)x +(/4)y +( /)xy y /4 /4 0 0 0 / y /4 /4 0 0 0 / 6 = ( 0 0 0 0 0 R C ) = 6 0 0 0 0 0 -(/)x+( /)y x 0 0 0 -/ / 0 ( )= x C R C 0 0 0 -/ / 0 -( /)x-(/)y y 0 0 0 - / -/ 0 y 0 0 0 - / -/ 0 /4 - /4 0 0 0 -/ /4 - /4 0 0 0 -/ ( /4)x -( /4)y -(/)xy xy xy (/4)x +(/4)y +( /)xy x /4 /4 0 0 0 / (/4)x +(/4)y -( /)xy y x /4 /4 0 0 0 / /4 /4 0 0 0 / 6 = ( y /4 /4 0 0 0 / R 0 0 0 0 0 v ) = -(/)x-( /)y σ x 6 0 0 0 0 0 0 0 0 -/ / 0 v ( v )= x σ R σ 0 0 0 -/ / 0 ( /)x-(/)y y 0 0 0 / -/ 0 y 0 0 0 / -/ 0 /4 - /4 0 0 0 -/ /4 - /4 0 0 0 -/ -( /4)x -( /4)y -(/)xy xy xy x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 ( v ) 0 0 0 0 0 ( v ) -x = R σ x = R x E σ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 -xy xy xy 06

(/4)x +(/4)y -( /)xy x /4 /4 0 0 0 / (/4)x +(/4)y + ( /)xy y x /4 /4 0 0 0 / /4 /4 0 0 0 / 6 = ( y /4 /4 0 0 0 / R ' 0 0 0 0 0 v ) = (/)x-( /)y σ x 6 0 0 0 0 0 0 0 0 / / 0 v ( v )= x σ' R σ' 0 0 0 / / 0 -( /)x-(/)y y 0 0 0 / -/ 0 y 0 0 0 / -/ 0 /4 /4 0 0 0 / /4 /4 0 0 0 / (- /4)x + ( /4)y + (/)xy xy xy + + (/4)x +(/4)y ( /)xy x /4 /4 0 0 0 / x /4 /4 0 0 0 / (/4)x +(/4)y -( /)xy y /4 /4 0 0 0 / y /4 /4 0 0 0 / 6 = ( 0 0 0 0 0 R σ" v ) = 6 0 0 0 0 0 (/)x+( /)y x 0 0 0 / / 0 v ( v )= x σ" R σ" 0 0 0 / / 0 ( /)x-(/)y y 0 0 0 / -/ 0 y 0 0 0 / -/ 0 /4 - /4 0 0 0 / /4 - /4 0 0 0 / ( /4)x -( /4)y (/)xy xy xy Η εκπροσώπηση C v R 6 (C v ) αποτελεί μια πιστή εκπροσώπηση, ενώ η εκπροσώπηση της ομάδας σημείου με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης φαίνεται στον Πίνακα 6.4.4δ. Πίνακας 6.4.4δ Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας C v. Cv Ε C C σν σ' ν σ Γ (Cv ) 6 0 0 ν 6.4.5. Εκπροσώπηση Ομάδων Σημείου με Βάση τις Μεταθέσεις Ατόμων του Μορίου Κατά την εφαρμογή των διεργασιών συμμετρίας μιας ομάδας σημείου τα άτομα ενός μορίου, το οποίο ανήκει σ αυτήν, παραμένουν στη θέση τους ή μετατίθενται σε ισοδύναμες θέσεις, δηλαδή σε θέσεις όμοιων ατόμων. Για την εύρεση της m-διάστατης εκπροσώπησης μιας ομάδας σημείου τα m άτομα ενός μορίου, αφού επισημανθούν με δείκτες, διατάσσονται σε μια μήτρα στήλη Α και καταστρώνεται η μήτρα στήλη Α' με τις νέες θέσεις των ατόμων μετά από την εφαρμογή μιας διεργασίας συμμετρίας Χ. Στη συνέχεια δομείται μια μήτρα R(Χ) τέτοια ώστε Α' = R(Χ)Α. Η μήτρα R(Χ) αποτελεί εκπροσώπηση της διεργασίας Χ ενώ, το σύνολο των μητρών εκπροσώπησης των διεργασιών συμμετρίας της ομάδας σημείου αποτελεί τη m- διάστατη εκπροσώπηση της ομάδας σημείου, ΟΣ R m (ΟΣ). Εκπροσωπήσεις C v R m (C v ) με βάση τις μεταθέσεις των ατόμων του Η Ο Στο Σχήμα 6.4.5α δίνονται τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v : Ε, C, σ ν (x), σ' ν (y) και το μόριο Η Ο, το οποίο ανήκει στην ομάδα, τοποθετημένο στους καρτεσιανούς άξονες σύμφωνα με τους γνωστούς κανόνες (παράγραφος 6.4.), ώστε όλα τα άτομα να κείνται επί του επιπέδου x. Σχήμα 6.4.5α Το μόριο Η Ο και τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου C v. Οι μήτρες στήλες με τα άτομα πριν και μετά, την επίδραση κάθε διεργασίας και οι αντίστοιχες μήτρες συμμετρίας μετασχηματισμού είναι οι παρακάτω: 07

O O 0 0 O 0 0 α= R ( E ) α= 0 0 α E R ( E ) = 0 0 0 0 0 0 β β β O O 0 0 O 0 0 β= R ( C) α= 0 0 α C R ( C) = 0 0 0 0 0 0 α β β O O 0 0 O 0 0 β= R ( σv( x )) α= 0 0 α σv( x ) R ( σv( x )) = 0 0 0 0 0 0 α β β O O 0 0 O α= R ( σ' v( y )) α= 0 0 α σ' v( y ) 0 0 β β β 0 0 R ( ' ( y )) = 0 0 0 0 σ v Στην τρισδιάστατη εκπροσώπηση C v R (C v ) η οποία προέκυψε παρατηρούμε ότι τα ζεύγη των διεργασιών [Ε, σ' ν (y)] και [C, σ ν (x)] εκπροσωπούνται από την ίδια μήτρα. Συνεπώς, η εκπροσώπηση αυτή αποτελεί μια μη πιστή εκπροσώπηση. Η εκπροσώπηση της ομάδας σημείου με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης φαίνεται στον Πίνακα 6.4.5α. Πίνακας 6.4.5α Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας C v. Cv Ε C σ (x) Γ (Cv ) ν σ' ν (y) Κατά την επίδραση των διεργασιών συμμετρίας παρατηρούμε ότι κάθε άτομο υδρογόνου παραμένει στη θέση του ή μετατίθεται στη θέση του άλλου ατόμου υδρογόνου. Αντίθετα, το άτομο του οξυγόνου παραμένει πάντα στη θέση του. Αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να δομήσουμε τη δισδιάστατη εκπροσώπηση C v R (C v ) με βάση μόνο τα άτομα του υδρογόνου ως εξής: α α 0 α 0 ( ) ( ) = R E β = β 0 E R E = β 0 β α 0 α 0 = R ( C) R ( ) = α β 0 C C = β 0 β α 0 α 0 = R ( σv( x )) = v( x ) R ( v α β 0 σ σ ( x )) = β 0 α α 0 α 0 R ( ' v( y )) ' v( y ) R ( ' v( y )) = σ β = = β 0 σ σ β 0 Η εκπροσώπηση αυτή της ομάδας σημείου με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης φαίνεται στον Πίνακα 6.4.5β. 08

Πίνακας 6.4.5β Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας C v. Cv Ε C σν(x) σ' ν(y) Γ (C v ) 0 0 Επίσης μπορούμε να δομήσουμε τη μονοδιάστατη εκπροσώπηση C v οξυγόνου (Ο) ως εξής: R (C v ) με βάση μόνο το άτομο του ( O ) = R ( E )( O) = ( )( O ) E R ( E ) = ( ) ( O ) = R ( C) ( O) = ( )( O ) C R ( C) = ( ) ( O ) = R ( σv( x ))( O) = ( )( O ) σv( x ) R ( σv( x )) = ( ) ( O ) = R ( σ' ( y ))( O) = ( )( O ) σ' ( y ) R ( σ' ( y )) = ( ) v v v Η εκπροσώπηση αυτή της ομάδας σημείου με βάση τους χαρακτήρες των μητρών εκπροσώπησης φαίνεται στον Πίνακα 6.4.5γ. Πίνακας 6.4.5γ Εκπροσώπηση χαρακτήρων της ομάδας C v. Cv Ε C σν(x) σ' ν(y) Γ (Cv ) Από τα παραπάνω συνάγεται ότι, τα άτομα τα οποία μπορούν να συμπεριληφθούν στη βάση της εκπροσώπησης μπορεί να είναι ένα μέρος των ατόμων του μορίου, αρκεί βέβαια κάθε άτομο της βάσης να παραμένει στη θεση του ή να μετατίθεται στη θέση ενός άλλου ατόμου της βάσης. Για παράδειγμα η βάση δε μπορεί να συνίσταται από τα άτομα Ο και Η α, καθόσον όπως εύκολα διαπιστώνεται το Η α με την επίδραση των διεργασιών C και σ ν (x) μετατίθεται στη θέση του Η β το οποίο δεν ανήκει στη βάση και έτσι δεν είναι δυνατή η δόμηση των αντίστοιχων μητρών μετασχηματισμού και τελικά της εκπροσώπησης, όπως φαίνεται στη συνέχεια. Ο Ο 0 Ο 0 ( ) ( ) = R E α = R = α 0 E E α 0 Ο Ο 0 Ο ( )? = R C β = α 0? C α Ο Ο 0 Ο R ( v( x )) v( x )? = σ β = α 0? σ α Ο Ο = R ( ' v( y )) σ 0 0 ' v( ) ( ' v( )) γ = y R y = α 0 σ σ 0 Τα παραπάνω ισχύουν για όλα τα είδη των βάσεων. Έτσι, κάθε βάση εκπροσώπησης πρέπει να είναι πλήρης, δηλαδή η επίδραση των διεργασιών συμμετρίας να μετασχηματίζει κάθε στοιχείο της βάσης σε στοιχείο το οποίο ανήκει στη βάση. 09

Εκπροσωπήσεις C v R m (C v ) με βάση τις μεταθέσεις των ατόμων της ΝΗ Στο Σχήμα 6.4.5β δίνονται τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας C v : Ε, C, σ ν, σ' ν, σ ν και το μόριο ΝΗ, το οποίο ανήκει στην ομάδα, τοποθετημένο με βάση τους γνωστούς κανόνες (παράγραφος 6.4.) ώστε τα άτομα Η α, Η β και Η γ να κείνται επί των επιπέδων σ ν, σ' ν και σ ν αντιστοίχως. Σχήμα 6.4.5β Το μόριο ΝΗ και τα στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου C v. Οι μήτρες στήλες με τα άτομα πριν και μετά την επίδραση κάθε διεργασίας συμμετρίας και οι αντίστοιχες μήτρες μετασχηματισμού είναι οι παρακάτω. N N 0 0 0 N 0 0 0 α 4 α 0 0 0 α 4 0 0 0 R ( ) R ( ) β = E β = 0 0 0 β E E = 0 0 0 γ γ 0 0 0 γ 0 0 0 N N 0 0 0 N 0 0 0 β 4 α 0 0 0 = R ( ) α 4 0 0 0 = C γ β R ( ) 0 0 0 β C C = 0 0 0 α γ 0 0 0 γ 0 0 0 N N 0 0 0 N 0 0 0 γ 4 α 0 0 0 α 4 R ( ) 0 0 0 R ( ) = C α β = = 0 0 0β C C 0 0 0 β γ 0 0 0 γ 0 0 0 N N 0 0 0 N 0 0 0 α 4 α 0 0 0 α 4 0 0 0 R ( v) v R ( v) γ = σ β = 0 0 0 β σ σ = 0 0 0 β γ 0 0 0 γ 0 0 0 0