Семинарски рад из линеарне алгебре

Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6

Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити карактеристични и минимални полином матрице, а затим. б) Наћи сопствене вредности и сопствене векторе матрице. в) Одредити дијагоналну матрицу и регуларну матрицу S, тако да је S S, тј. S S, а одатле и,,,... г) Да ли је матрица дијагонализабилна? Образложити. д) Како гласи нормални систем линеарних диференцијалних једначина ако је његова матрица? ђ) На основу тога и б) решити тај систем. е) Написати квадратну форму која за матрицу има и свести је на канонски облик.

Линеарна алгебра семинарски рад Решење: Equato Secto Карактеристични полином матрице јесте: а) p ( ) det λ+ ( λ ) ( λ ) λ λ λ λ λ λ λ λ + λ + + λ (а.) где је важи: - јединична матрица. m матрице представља полином минималног степена m тако да Минимални полином m m m O где је O - нула матрица. Према Cayley-Hamlto-овој теореми увек важи: p O па, према томе, степен минималног полинома матрице је увек мањи или једнак од степена њеног карактеристичног полинома. Пошто је степен карактеристичног полинима три, минимални полином може бити степена један, два или три. Уколико би степен минималног полинома био један, потребно је да важи: односно: + α O α Очигледно је да ова једначина не може бити задовољена ни за једно α R, па минимални полином матрице не може бити степена један. Уколико је степен минималног полинома два, биће: + α+ α O (а.) а како је: то је: (а.) ( α ) α + + O (а.4)

Линеарна алгебра семинарски рад Ова једначина је задовољена за α и α, па је минимални полином матрице степена два и има облик: m (а.5) Међутим, налажење минималног полинома преко изложеног поступка се компликује ако је матрица вишег реда. Постоје бар два општа поступка налажења минималног полинома матрице. Први се састоји у налажењу индекса сваке од сопствених вредности матрице. Индекс сопствене вредности λ јесте најмањи број за који важи: ra Минимални полином се налази из: ( λ ) ra ( λ ) + (а.6) m s ( m λ ) (а.7) где је s - број различитих сопствених вредности матрице. Напомиње се да пошто је: ( ) ( ) ra λ < ra,,..., s то је: ( ) de λ (а.8) те за степен минималног полинома матрице реда важи: ( m ) s st m (а.9) Сопствене вредности посматране матрице се лако уочавају из њеног карактеристичног полинома (а.) и износе λ и λ ( s две различите сопствене вредности). Како је: ra (( λ) ) ra ra + ra (( λ ) ) ra ra ra то је: ( λ ) de

Линеарна алгебра семинарски рад 4 Исто тако, за другу сопствену вредност има се: ( ) ra λ ra ra + ra (( λ) ) ra ra 4 ra 4 одакле следи: de λ На основу (а.7) и малопређашњег, минимални полином матрице m + је: Други поступак налажења минималног полиномa је у вези с Gram-Schmt-овом методом ортонормализације базе векторског простора у коме је дефинисан унутрашњи (скаларни) производ. За векторе a и b из векторског простора V унутрашњи производ обележаваће се са: Посматра се векторски простор ознаци spa {,,..., } ab V C разапет над скупом вектора {,,,..., } (у V ) и дефинисан над неким скаларним пољем F (најчешће или поље R реалних или поље C комплексних бројева). Овде су вектори квадратне матрице реда и није тешко показати да скуп V, операција сабирања матрица, операција множења матрице скаларом и скаларно поље F дефинишу један векторски простор. Унутрашњи производ два вектора у овом векторском простору дефинишимо на следећи начин: * B trace B B, V (а.) ( * * где је trace B) траг матрице B ( ). Овако дефинисан унутрашњи производ * задовољава све особине које мора да поседује један унутрашњи производ *. Норма вектора из векторског простора у коме је дефинисан унутрашњи производ увек се може дефинисати на следећи начин: a a a a V (а.) У овом случају та норма ће имати облик: * Унутрашњи производ је функција која пресликава V V у F и има следеће особине:. aa aa a o. a αb α b a α F. ab+ c ab+ ac 4. ab које важе за abc,, V ba (функција је ''коњуговано од'')

Линеарна алгебра семинарски рад 5 * trace (а.) и представља тзв. Frobeus-ову матричну норму. Суштина одређивања минималног полинома матрице Gram-Schmt-овом методом јесте налажење најмањег броја за који је вектор линеарно зависан од вектора,,... тј. да се може представити у виду: α (а.) Јасно је да ће тада минимални полином имати облик: α (а.4) m У том случају скуп вектора{,,,..., } је линеарно независан и одређује базу векторског простора V. Ова база у општем случају није ортогонална * нити су вектори, који чине ту базу, нормирани на јединицу. Да би се она ортонормирала бира се произвољан базни вектор (нека је то ) кога је једноставно нормирати на следећи начин: trace * ( ) (а.5) где је јединични вектор колинеаран с. Даље, узима се други вектор неортонормиране базе и тражи се јединични вектор компланаран с векторима и и истовремено ортогоналан с вектором. Вектор се тада може записати као: одакле се налази да је: + (а.6) (а.7) Пошто треба да буде, то се нормирањем (а.7) добија да је: тј. ± (а.8) Не утичући на ортонормализацију, једначина (а.8) се може узети са знаком ''+''. Знак у једначини (а.8) утиче само на смер вектора. Да би база {,,..., } изражава условом: a a a била ортогонална, потребно је да су сви базни вектори међусобно ортогонални што се a a, j,,..., j j

Линеарна алгебра семинарски рад 6 Тада (а.7) постаје: (а.9) чиме је у потпуности одређен јединични вектор. Следећи корак је налажење јединичног вектора ортогоналног на и и компланарног с вектором неортономиране базе {,,,..., } и његовом ортогоналном пројекцијом на хиперраван одређену векторима и. Ако се ова пројекција обележи с P може се писати да је: P + (а.) и вектор је одређен са: P P (а.) За -ти јединични вектор биће: P P (а.) где је пројекција вектора на хиперпростор (или потпростор векторског простора V ) P разапет над векторима Нека је ν ( ν ) { },,...,.. Једначина (а.) може се записати као: ( ) ( ) ( ) ( ν ) + + + + за... за > Ако се посматрају матрице записати у матричном облику:... и... онда се претходни израз може

Линеарна алгебра семинарски рад 7 ν L O ν L...... O O ν L M M M O M O O O L ν (а.) Gram-Schmt-ов поступак треба спроводити све док за неко { } { } не постане P. Тада ће spa,,..., spa,,...,, односно, ће бити линеарна комбинација вектора,,..., и важиће (а.). Да би се одредили коефицијенти α у (а.) израз (а.) може се написати на следећи начин: ν L O ν L O O ν L M M M O M M O O O L ν O O O L O O...... O (а.4) с обзиром на то да је следећи начин: P одакле следи O и + ν +. Изаберимо матрице R и C на R ν L O ν L O O ν L C M M M M O M ν O O O L Имајући у виду (а.4) може се писати: K C K K R (а.5) одакле се добија: K R C (а.6)

Линеарна алгебра семинарски рад 8 Матрица R C има следаћи облик: R C α α M α (а.7) одакле се лако очитавају коефицијенти α, α, K, α које треба уврстити у (а.4) да би се добио минимални полином матрице. Применимо овај поступак одређивања минималног полинома на задату матрицу. Има се редом: (а.8) У наставку уводи се смена p P. Биће: где је: P p p trace P P * (( ) ( ) ) * P trace (а.9) (а.) Пошто су матрице с реалним коефицијентима, у наставку се користи чињеница да је *. trace( ) trace trace trace p 4 p p p 8 p trace( p p) 6

Линеарна алгебра семинарски рад 9 6 (а.) Даље је: P p trace trace p (( P) ( P) ) ( ) trace ( ) P + (а.) (а.) Пошто је, биће: ( ) ( ) ( ) trace trace 6 trace trace p P O P (а.4) Како важи (а.4) то се овде зауставља с даљим спровођењем Gram-Schmt-овог поступка и закључује се да је минимални полином матрице другог реда. Матрице R и C имају следећи облик: R C 6 O O (а.5) начин: Инверзна матрица матрице R се одређује на основу матрице R на следећи 6 R 6 6 adj( R ) det R R O

Линеарна алгебра семинарски рад И на крају, коефицијенти α и α одређени су следећом једначином: 6 α α α α R C (а.6) O O : Заменом ових коефицијената у (а.4) још једном се добија да је минимални полином матрице m (а.7) Под овом тачком остало је још да се одреди инверзна матрица матрице. То се може урадити класичном методом тражења адјунговане матрице матрице и детерминанте матрице, али овде се, без доказа, излаже поступак налажења инверзне матрице применом Gauss-Jordaовог поступка. Наиме, посматра се матрица над којом се примењују елементарне трансформације матрица над врстама тако да се њена подматрица сведе на јединичну матрицу. Када се ово свођење изврши подматрица матрице биће сведена на. То се може записати на следећи начин: низ елеметарних трансформација матрице над врстама } K На конкретном примеру то изглада овако: где је извршена елементарна трансформација замене прве и треће врсте. Као што се види, важи:

Линеарна алгебра семинарски рад Equato Secto (Net) Сопствена вредност λ квадратне матрице векторску једначину: б) представља скалар који задовољава следећу λ, o (б.) где је са C означена колона матрица која се једноставно назива вектор, а o је нула вектор. Ова једначина се може написати и другачије: ( λ ) o (б.) Свако нетривијално решење ове једначине назива се сопствени вектор матрице и представља елемент тзв. сопственог простора N λ * матрице. Да сопствени простор не би садржао само нула вектор, односно, да не би било N( λ ) { } o, који се у том случају назива нула сопствени простор, потребно је и довољно да матрица λ буде сингуларна тј. да је det λ (доказ овога се изоставља). За наш случај, користећи (а.), биће: ( λ ) ( λ ) ( λ ) det + (б.) одакле се налазе три сопствене вредности матрице од којих су две међусобно исте: λ λ, λ (б.4) Скуп сопствених вектора матрице означимо са S. Он се може представити као: V ( ) {} Овај скуп се одређује тако што се одреди N ( λ ) SV N λ o (б.5) за сваку сопствену вредност λ понаособ (потребно је и довољно узети само различите сопствене вредности), а онда изврши сумирање добијених нулпростора. Ево како се то ради у конкретном случају:. λ λ B ( ) B o o * Ознака N ( ) се односи на тзв нулпростор матрице и представља скуп свих вектора који задовољавају једначину o тј. { } N o C m

Линеарна алгебра семинарски рад (б.6) За слободне променљиве се узимају и, а из прве једначине се добија да је, тако да једначину (б.6) задовољавају сви вектори облика: +, (, ) C (б.7) или: N spa, (б.8). λ λ + B ( ) B + o o (б.9) За слободну променљиву узима се., (б.) N ( + ) spa (б.)

Линеарна алгебра семинарски рад Према томе скуп сопствених вектора матрице је дат са: V { } { } S N + N + N + o N + N + o spa,, {} o (б.) Equato Secto (Net) Једна од матрица која своди матрицу трансформацијом S S в) јесте матрица S чија је вредност: на дијагонални облик dag (,, ) S (в.) при чему представљају сопствене вредности матрице. Зашто је ово матрица која дијагонализује матрицу, које су све матрице које дијагонализују матрицу и када је матрица дијагонализабилна одговорено је у решењу задатка под тачком г). За одређивање дијагоналне матрице потребно је одредити матрицу S. Она се одређује помоћу Gauss-Jorda-овог поступка: S.5.5.5.5.5.5 S.5.5.5.5 S (в.) S S.5.5.5.5.5.5 dag,,.5.5 (в.) Матрица се одређује следећим разматрањем:

Линеарна алгебра семинарски рад 4 S S K (в.4) S S S S S S S S S.5.5 S.5.5 ( ) +.5 +.5 + +.5 ( ).5 ( ).5.5 +.5 ( ( ) + ).5 ( ( ) + ),, + N (в.5) Equato Secto (Net) Две квадратне матрице г) и B су сличне кадгод постоји несингуларна матрица P таква да је: P P B (г.) За квадратну матрицу реда каже се да је дијагонализабилна ако је слична дијагоналној матрици. Показаће се да је матрица дијагонализабилна ако и само ако поседује потпун скуп сопствених вектора. Потпун скуп сопствених вектора матрице је било који скуп од линеарно независних сопствених вектора матрице. Могу се доказати следеће тврдње: -да би матрица имала потпун скуп сопствених вектора потребно је и довољно да је: dm N( λ) (г.) -ако је S { },, K, један комплетан скуп сопствених вектора, онда је то и сваки скуп: { α, α,, α } α, α,, α ( α, α,, α ) S K K K C (г.) ТЕОРЕМА: Квадратна матрица реда је дијагонализабилна ако и само ако поседује потпун скуп сопствених вектора. Тада је: ( λ λ λ ) dag,, K, P P (г.4) где колоне матрице P образују један потпун скуп сопствених вектора. ДОКАЗ:(потребност) Нека је квадратна матрица дијагонализабилна. Тада постоји несингуларна матрица P која матрицу преводи на дијагоналан облик трансформацијом:

Линеарна алгебра семинарски рад 5 P P a K a K M M O M K a a K a K P P KP P P KP M M O M K a где је с P означена -та колона матрице P. Последња једначина је еквивалентна следећем систему једначина: P ap,, K, (г.5) Како је матрица P несингуларна, то ниједна њена колона није са свим нулама, и пошто важи (г.5), колоне матрице P представљају линеарно независне сопствене векторе матрице, а скалари a њене сопствене вредности. Дакле, матрица има потпун скуп сопствених вектора. (довољност) Нека матрица Тада ће важити: има потпун скуп сопствених вредности и нека је он: { } S,, K, λ,, K, (г.6) где су λ, K, сопствене вредности матрице. Систем једначина (г.6) може се записати као: λ K λ K K K (г.7) M M O M K λ Пошто су вектори,, K линеарно независни, матрица K је несингуларна па је једначина (г.7) еквивалентна једначини: λ K λ K K K (г.8) M M O M K λ

Линеарна алгебра семинарски рад 6 Значи, P K, а матрица је слична дијагоналној матрици тј. дијагонализабилна је. Доказ је завршен. Што се тиче матрице из овог задатка, њен скуп сопствених вектора дат је једначином (б.) одакле се лако закључује да матрица има потпун скуп сопствених вектора. Заиста, један такав скуп је управо: S,, (г.9) па на основу претходне теореме матрица трансформацијом S S. S ће дијагонализовати матрицу Equato Secto (Net) Нормални систем линеарних диференцијалних једначина чија је матрица на неком интрвалу t [ a, b], има облик: д) () t, дефинисана & t + u t (д.) где је () t a, b. За овај задатак нормални систем диференцијалних једначина у развијеном облику гласи: u t векторска функција такође дефинисана на интрвалу [ ] () () & + u t & + u t & + u t (д.) ђ) Equato Secto (Net) Пошто у задатку није дефинисана функција u( t ), усваја се u() t систем: o и решава хомогени & (ђ.) Може се показати да је за константну дијагонализабилну матрицу реда опште решење овог система дато у облику: λt λt λt α e v + α e v + K + α e v (ђ.),, K, један потпун скуп сопствених вектора матрице који одговарају њеним сопственим вредностима λ, λ, K λ, а коефицијенти α, α, K α се одређују из почетног услова: где је { v v v }

Линеарна алгебра семинарски рад 7 α α αv+ αv + K+ α v v v v K M M α α α v v K v M α (ђ.) (ђ.4) С обзиром на то да су одредеђени сопствени вектори и сопстване вредности матрице из задатка, може се одмах написати опште решење одговарајућег хомогеног линеарног система диференцијалних једначина у виду: t α α e α + + e t (ђ.5) Ако је почетни услов ( o) [ ], онда се коефицијенти, α α и α налазе из: α α α (ђ.6) где после одређивања одговарајуће инверзне матрице добија: α α α.5.5 α.5 + α.5.5 α.5 ( + ) (ђ.7) те се опште решење (ђ.5) може написати као: t.5( ) e.5( ) + + + + e t (ђ.8)

Линеарна алгебра семинарски рад 8 Equato Secto (Net) За посматрану матрицу е) квадратна форма има облик: Quad + [ ] (е.) Све матрице с особином називају се нормалне матрице. Може се показати да је матрица нормална ако и само ако постоји унитарна матрица * тако да важи: ( λ λ λ ) dag,, K, (е.) и чије колоне образују потпун ортонормиран скуп сопствених вектора матрице. На основу реченог под г), јасно је да λ, λ, K λ представљају сопствене вредности матрице. Ако је реална симетрична матрица, тј., онда је и. Дакле, свака реална симетрична матрица је нормална. Ове чињенице искористиће се за свођење квадратне форме на канонски облик: Q uad α y (е.) Квадратна форма било које реалне матрице може се свести на канонски облик следећим поступком: Q ( ) uad + + + (е.4) + Матрица B је симетрична, а самим тим и нормална. Нека је унитарна матрица чије колоне образују потпун ортонормиран скуп сопствених вектора матрице B. Може се показати да реалне симетричне матрице имају потпун скуп реалних сопствених вектора међусобно ортогоналних, па је зато и матрица реална. Има се: uad Q B B B B y D y (е.5) где је: ( K ) D D dag λ B, λ B,, λ B λ B сопствене вредности матрице B y Q uad Једначином (е.5) квадратна форма је управо записана у облику (е.). Спроведимо овај поступак за квадратну форму (е.). Матрица је већ симетрична, те је B. Користећи се матрицом S из (в.) и констатацијом из (г.), налази се унитарна матрица нормирањем сопствених вектора који чине колоне матрице S. Наиме: * Матрица је унитарна акко је.

Линеарна алгебра семинарски рад 9 S S S S S S (е.6) S, S S (е.7) D Канонски облик квадратне форме за матрицу је: y Quad y D y [ y y y ] y y y + y y (е.8) где је: y ( ) y y y + ( + )

Линеарна алгебра семинарски рад Литература. Meyer Carl, Matr alyss ad ppled Lear lgebra,sm,.. Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, Госиздат, Москва, 954.. Беллман Р., Введение в теорию матриц, Наука, Москва, 976.