ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΣΕ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μεταπτυχιακή Εργασία ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΣΕ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΒΑΣΕΙ ΚΥΛΙΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ υπό ΜΠΕΣΛΕΜΕ ΑΝΤΩΝΙΟΥ Διπλωματούχου Μηχανολόγου Μηχανικού Α.Π.Θ., 2001 Υπεβλήθη για την εκπλήρωση μέρους των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης 2013

2013 Αντώνιος Μπεσλεμές Η έγκριση της μεταπτυχιακής εργασίας από το Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας δεν υποδηλώνει αποδοχή των απόψεων του συγγραφέα (Ν. 5343/32 αρ. 202 παρ. 2). ii

Εγκρίθηκε από τα Μέλη της Τριμελούς Εξεταστικής Επιτροπής: Πρώτος Εξεταστής (Επιβλέπων) Δρ. Γεώργιος Λυμπερόπουλος Καθηγητής, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Δεύτερος Εξεταστής Δρ. Δημήτριος Παντελής Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τρίτος Εξεταστής Δρ. Γεώργιος Σαχαρίδης Λέκτορας, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας iii

Ευχαριστίες Πρώτα απ όλα, θέλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα της μεταπτυχιακής εργασίας μου, Καθηγητή κ. Γεώργιο Λυμπερόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια και καθοδήγησή του κατά τη διάρκεια της δουλειάς μου. Επίσης, είμαι ευγνώμων στα υπόλοιπα μέλη της εξεταστικής επιτροπής της μεταπτυχιακής εργασίας μου, Καθηγητές κκ. Δημήτριο Παντελή, Γεώργιο Σαχαρίδη, για την προσεκτική ανάγνωση της εργασίας μου και για τις πολύτιμες υποδείξεις τους. Οφείλω ευχαριστίες στον Επιστημονικό Συνεργάτη, Καθηγητή Πληροφορικής του Τ.Ε.Ι. Λαμίας κ. Ευάγγελο Κατσαούνο, για την πολύτιμή του βοήθεια στο υπολογιστικό κομμάτι της εργασίας μου. Ευχαριστώ τους συναδέλφους και πολύ καλούς φίλους μου, Χαράλαμπο Παπαευσταθίου, Δημήτριο Διαμαντή και Ευάγγελο Σκιαδόπουλο για την αμέριστη συμπαράσταση και τη γόνιμη συνεργασία που είχαμε καθ όλη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών. Ευχαριστώ τέλος, τις συναδέλφους και φίλες μου Αναστασία Σπάθη και Σταυρούλα Τσιούτρα για την ηθική υποστήριξή τους. Αφιερώνω αυτήν την μεταπτυχιακή εργασία στον πατέρα μου... Αντώνης Μπεσλεμές iv

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΣΕ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΒΑΣΕΙ ΚΥΛΙΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΠΕΣΛΕΜΕΣ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, 2013 Επιβλέπων Καθηγητής: Δρ. Γεώργιος Λυμπερόπουλος, Καθηγητής Στοχαστικών Μεθόδων στην Διοίκηση Παραγωγής Περίληψη Στην παρούσα εργασία εξετάζουμε τη μεταβολή των αποθεμάτων ασφαλείας της εφοδιαστική αλυσίδας μιας υποθετικής γραμμής παραγωγής, για την οποία έχουμε εξελισσόμενες προβλέψεις για τη ζήτησή τους. Για τη μαθηματική επίλυση συνδυάζουμε μια μέθοδο πρόβλεψης των τιμών των μελλοντικών ζητήσεων (θεωρούμε ότι ακολουθούν τη λογική της μεθόδου Winters) και μια μέθοδο βελτιστοποίησης (χρησιμοποιούμε τη μελέτη των Schoenmeyr και Graves (2009)). Με βάση τις υποθέσεις που αφορούν τις προβλέψεις, τη ζήτηση και τη δομή της εφοδιαστικής αλυσίδας, πραγματοποιούμε ένα μεγάλο αριθμό δοκιμών, ώστε να παρατηρήσουμε την εξέλιξη της αντικειμενικής συνάρτησης κόστους αλλά και των αποθεμάτων ασφαλείας, συναρτήσει τόσο των παραμέτρων που σχετίζονται με τη μέθοδο πρόβλεψης, όσο και με τη μέθοδο βελτιστοποίησης. Η επίλυση του συγκεκριμένου συνδυαζόμενου μοντέλου έγινε με τη βοήθεια του Excel και τη χρήση μακροεντολών(visual Basic) με τις οποίες μπορέσαμε να εξετάζουμε και να συγκρίνουμε οποιονδήποτε ταυτόχρονο συνδυασμό παραμέτρων και των δύο μεθόδων. v

Τέλος, χρησιμοποιούμε μια υπόθεση εργασίας με πραγματικά δεδομένα για να δείξουμε ότι υπάρχουν σημαντικά οφέλη από την συμπερίληψη της διαδικασίας πρόβλεψης κατά τον καθορισμό των βέλτιστων αποθεμάτων ασφαλείας και καταλήγουμε σε ενδιαφέροντα συμπεράσματα για το κατά πόσο χρήσιμη είναι γενικά η πρόβλεψη ζήτησης για τέτοια συστήματα, αλλά και ειδικά για το που πλεονεκτούν αλλά και που υστερούν οι δύο χρησιμοποιούμενες μέθοδοι. vi

Πίνακας Περιεχομένων Κεφάλαιο 1Εισαγωγή...... 1 1.1 Κίνητρο και Υπόβαθρο... 1 1.2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση... 2 1.3 Οργάνωση Μεταπτυχιακής Εργασίας... 4 Κεφάλαιο 2 Μέθοδος Winters...... 6 2.1 Εποχικοί Δείκτες για Στατικές Σειρές... 7 2.2 Η Μέθοδος Winters για Εποχικά Προβλήματα... 8 2.3 Εξομάλυνση Σειράς S t... 9 2.4 Εξομάλυνση Τάσης G t... 9 2.5 Εξομάλυνση Εποχικών Συντελεστών Ct... 9 Κεφάλαιο 3 Μοντέλο Ελαχιστοποίησης Κόστους...... 11 3.1 Βασικές Έννοιες...11 3.2 Σύνδεση Μεθόδου Βελτιστοποίησης και Πρόβλεψης...12 Κεφάλαιο 4 Μοντέλο Αποθήκευσης και Παραγγελιών... 14 4.1 Πολιτική Παραγγελιών...15 4.2 Υπολογισμός των Αποθεμάτων...19 Κεφάλαιο 5 Βελτιστοποίηση...... 22 Κεφάλαιο 6 Μοντέλο Εφαρμογής...... 24 6.1 Παρουσίαση Συστήματος...24 6.2 Παραδοχές Αρχικοποίησης Μοντέλου (μέθοδος Winters)...25 6.3 Παραδοχές Αρχικοποίησης Μοντέλου (Schoenmeyr και Graves )...26 6.4 Γενικές Παραδοχές Αρχικοποίησης Μοντέλου...27 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική Επίλυση με τη Χρήση του Excel... 28 7.1 Βασικά Σημεία Επίλυσης...28 7.2 Διαδικασία Επίλυσης...29 7.3 Επαναληπτική Συγκριτική Διαδικασία Επίλυσης...35 7.4 Πίνακας Αποτελεσμάτων...35 vii

Κεφάλαιο 8 Αριθμητικές Εφαρμογές - Συμπεράσματα... 40 8.1 Αριθμητική Εφαρμογή 1 (μεταβολές των χρόνων επεξεργασίας)...40 8.1.1 Γενικά Συμπεράσματα...42 8.1.2 Συμπεράσματα Ιδιαίτερης Αναφοράς...45 8.2 Αριθμητική Εφαρμογή 2 (μεταβολές του κόστους αποθήκευσης)...46 8.2.1 Συμπεράσματα...47 8.3 Αριθμητική Εφαρμογή 3 (μεταβολές της σταθεράς εξομάλυνσης σειράς α)...48 8.3.1 Βέλτιστη Τιμή Σταθεράς Εξομάλυνσης Σειράς α της μεθόδου Winters...48 8.3.2 Επίδραση της Σταθεράς Εξομάλυνσης Σειράς α στο Μοντέλο Βελτιστοποίησης...49 8.3.3 Συμπεράσματα...52 8.4 Αριθμητική Εφαρμογή 4 (μεταβολές της σταθεράς εξομάλυνσης τάσης β)...54 8.4.1 Βέλτιστη Τιμή Σταθεράς Εξομάλυνσης Τάσης β της μεθόδου Winters...54 8.4.2 Επίδραση της Σταθεράς Εξομάλυνσης Τάσης β στο Μοντέλο Βελτιστοποίησης...55 8.4.3 Συμπεράσματα...58 8.5 Αριθμητική Εφαρμογή 5 (μεταβολές της σταθεράς εξομάλυνσης εποχικότητας γ)...59 8.5.1 Βέλτιστη Τιμή Σταθεράς Εξομάλυνσης Εποχικότητας γ της μεθόδου Winters...59 8.5.2 Επίδραση της Σταθεράς Εξομάλυνσης Εποχικότητας γ στο Μοντέλο Βελτιστοποίησης...60 8.5.3 Συμπεράσματα...62 8.6 Αριθμητική Εφαρμογή 6 (μεταβολές της μέσης τιμής της ζήτησης μ)...63 8.6.1 Συμπεράσματα...64 8.7 Αριθμητική Εφαρμογή 7 (μεταβολές της τάσης G)...65 8.7.1 Συμπεράσματα...66 8.8 Αριθμητική Εφαρμογή 8 (μεταβολές της καμπύλης εποχικότητας)...67 8.8.1 Συμπεράσματα...70 8.9 Αριθμητική Εφαρμογή 9 (μεταβολές του σφάλματος)...70 8.9.1 Συμπεράσματα...71 Κεφάλαιο 9 Σύνοψη Μεταπτυχιακής Εργασίας... 72 Βιβλιογραφία... 73 viii

ix

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Οι περισσότερες εταιρείες σχεδιάζουν τη λειτουργία της εφοδιαστικής αλυσίδας, βασιζόμενες στην πρόβλεψη της μελλοντικής ζήτησης, πάνω σε κάποιο χρονικό ορίζοντα σχεδιασμού. Επιπλέον, οι εταιρείες τακτικά ανανεώνουν και αναθεωρούν αυτές τις προβλέψεις βασιζόμενες στην παρακολούθηση των πωλήσεων, σε προηγούμενες παρατηρήσεις εξέλιξης της ζήτησης και σχετικές πληροφορίες για την αγορά. Με κάθε αναθεώρηση προβλέψεων, μια εταιρεία αναθεωρεί και τον προγραμματισμό της προμήθειας της εφοδιαστικής αλυσίδας, όσον αφορά τα χρονοδιαγράμματα για την παραγωγή και τη μεταφορά. Πράγματι, αυτή η διαδικασία ενημέρωσης και αναθεώρησης, έχει κεντρική θέση σε κάθε αλυσίδα εφοδιασμού καθώς και στη λειτουργία του προγραμματισμού που απαιτεί ο σωστός σχεδιασμός ενός συστήματος material requirements planning (MRP). 1.1 Κίνητρο και Υπόβαθρο Η πρόθεση αυτής της εργασίας είναι να εξετάσει την βέλτιστη τοποθέτηση των αποθεμάτων ασφαλείας στην εφοδιαστική αλυσίδα. Αυτό είναι ένα θέμα που υπόκειται σε μια δυναμική εξέλιξη των προβλέψεων για τη ζήτηση. Ειδικότερα, προσπαθούμε να συνδυάσουμε την πρόβλεψη που μας παρέχει η μέθοδος Winters με τον εφαρμοσμένο αλγόριθμο ελαχιστοποίησης του κόστους αποθήκευσης που έχουν αναπτύξει οι Schoenmeyr και Graves το 2009, με τον οποίο προσδιορίζουμε τα αποθέματα ασφαλείας, χρησιμοποιώντας πραγματικά μεγέθη τιμών ζήτησης. 1

1.2 Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Υπάρχουν αρκετές μελέτες πάνω στα συστήματα ελέγχου της εξέλιξης των αποθεμάτων ασφαλείας. Τα δημοφιλέστερα μοντέλα χρονοσειρών ζήτησης, όπως το ARIMA (Autoregressive integrated moving average), είναι κάποια αντικείμενα με τα οποία ασχολήθηκαν και χρησιμοποίησαν εκτενώς πολλοί ερευνητές όπως ο Aviv (2003 και 2004), ο Zhang (2004) οι οποίοι κατέληξαν σε ενδιαφέροντα αποτελέσματα και αναφορές, σχετικά με τη δυναμική της εφοδιαστικής αλυσίδας και την αξία των προηγούμενων πληροφοριών ζήτησης. Μοντέλα για τη διαδικασία βελτιστοποίησης της εφοδιαστικής αλυσίδας, ανέπτυξαν οι Simpson (1958) και Graves και Willems (2000). Αυτοί οι συγγραφείς υπέθεσαν ότι κάθε στάδιο (κόμβος) της εφοδιαστικής αλυσίδας, λειτουργεί κάτω από την πολιτική του βασικού αποθέματος με οριοθετημένη ζήτηση και εγγυημένη λειτουργία (υπηρεσία, εξυπηρέτηση). Στη συνέχεια, βρήκαν τους χρόνους υπηρεσιών με το λιγότερο κόστος και το μέγεθος των αποθεμάτων που είναι εγγυημένα για να καλύψουν κάθε πραγματοποίηση της ζήτησης μέσα σ αυτά τα συγκεκριμένα όρια. Η προσέγγιση αυτή, παρέχει έναν τρόπο για να βρεθούν τα βέλτιστα αποθέματα ασφαλείας σε αρκετές αλυσίδες εφοδιασμού και έχει αναπτυχθεί με επιτυχία στη βιομηχανία. Οι Billington (2004) και Willems (2008) ανέλυσαν την επίδραση της προβλεπόμενης ζήτησης υποθέτοντας σταθερές ζητήσεις (ή για την ακρίβεια δεσμεύουν μια στατική ζήτηση) και επίλυσαν το δικό τους μοντέλο σύμφωνα με την πολιτική του basic stock. Αντίθετα, σε μια πιο πρόσφατη εργασία, οι Graves και Willems (2008), εξέτασαν τη βελτιστοποίηση των αποθεμάτων ασφαλείας σε μια αλυσίδα εφοδιασμού με μη δεσμευμένη σταθερή ζήτηση και με εγγυημένη εξυπηρέτηση. Υπέθεσαν μια προσαρμοστική πολιτική του 2

βασικού αποθέματος και επιδεικνύουν την αποτελεσματικότητα της σταθερής πολιτικής για το χρόνο υπηρεσίας, στην οποία το ύψος των αποθεμάτων ασφαλείας είναι συγκεκριμένο. Επίσης, έδειξαν ότι ο προσδιορισμός του ύψους των αποθεμάτων ασφαλείας, υπό την προϋπόθεση του συνεχούς χρόνου εξυπηρέτησης, είναι ισοδύναμος με τη μελέτη της βελτιστοποίησης της στατικής ζήτησης. Μελέτες σχετικά με τα αποθέματα ασφαλείας σε συστήματα MRP, έχουν δημοσιεύσει οι Baker (1993), Guide και Srivastava (2000), οι οποίοι εξέτασαν λεπτομερώς το θέμα του buffering και διατύπωσαν μια ολοκληρωμένη λίστα από πίνακες με διάφορες προσεγγίσεις και αποτελέσματα. Ο Lambrecht (1984) πρότεινε έναν αλγόριθμο δυναμικού προγραμματισμού για τον καθορισμό των επιπέδων των αποθεμάτων ασφαλείας, ωστόσο αυτός ο αλγόριθμος ήταν υπολογιστικά ανέφικτος για προβλήματα ρεαλιστικού μεγέθους. Οι Buzacott και Shanthikumar (1994) ανέλυσαν και σύγκριναν τα αποθέματα και τους χρόνους ασφαλείας σε ένα σύστημα απλής βαθμίδας. Οι Yano και Carlson (1987) μελέτησαν ένα σύστημα δύο σταδίων στο πλαίσιο είτε σταθερού είτε ευέλικτο προγραμματισμού. Οι Lagodimos και Anderson (1993) αναζήτησαν το μέγιστο εφικτό επίπεδο υπηρεσιών για μια δεδομένη ποσότητα stock ασφαλείας. Ο Molinder (1997) μελέτησε μια σειρά από συστήματα που χρησιμοποιούν προσομοίωση, και βρήκε βέλτιστες λύσεις με προσομοιωμένη διαδικασία. Ο Graves (1998), κατασκεύασε ένα μοντέλο εφοδιαστικής αλυσίδας με δυναμικά εξελισσόμενες προβλέψεις, με στόχο την ομαλή πορεία των εργασιών για τη μείωση της 3

μεταβλητότητας της παραγωγής. Ωστόσο, δεν επιχείρησε να βελτιστοποιήσει τα αποθέματα ασφαλείας της εφοδιαστικής αλυσίδας. Παρόμοια με τον Graves (1998), ο Aviv (2007) ανέπτυξε ένα μοντέλο σε δύο στάδια της εφοδιαστικής αλυσίδας με δυναμικά εξελισσόμενες προβλέψεις. Ένταξε, επίσης, στην πρακτική λειτουργία της παραγωγής, αλλαγές λόγω εξομάλυνσης και ένα χρονοδιάγραμμα πρόβλεψης. Οι περισσότερες από τις προαναφερόμενες εργασίες περιορίζεται σε μικρά συστήματα, συνήθως ενός ή δύο σταδίων. Η έλλειψη λύσεων για τα μεγαλύτερα συστήματα, ειδικότερα, επισημάνθηκε στη μελέτη των Guide και Srivastava (2000). 1.3 Οργάνωση Μεταπτυχιακής Εργασίας Η εργασία μας χρησιμοποιεί ένα δυναμικό μοντέλο για την προβλεπόμενη εξέλιξη με την εκμετάλλευση πληροφοριών σχετικών με την προηγούμενη ζήτηση σε μια εφοδιαστική αλυσίδα. Στο κεφάλαιο 2, κάνουμε αναφορά στη μέθοδο πρόβλεψης της ζήτησης που χρησιμοποιούμε, η οποία βασίζεται στο πλαίσιο της μεθόδου Winters. Στο κεφάλαιο 3, αναλύουμε το μοντέλο βελτιστοποίησης των Schoenmeyr και Graves πάνω στο οποίο εφαρμόστηκε η μέθοδος Winters. Στο κεφάλαιο 4, εξηγούμε το μοντέλο της εφοδιαστικής αλυσίδας που χρησιμοποιήθηκε καθώς και την πολιτική των παραγγελιών. 4

Στο κεφάλαιο 5, αναπτύσσουμε τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης που χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση του απλού συστήματος παραγωγής και αποθήκευσης που μελετήσαμε. Στο κεφάλαιο 6, περιγράφουμε τον υπολογιστικό τρόπο που πραγματοποιήθηκε η επίλυση του συστήματος, με τη χρήση του Excel. Στο κεφάλαιο 7, παρουσιάζουμε ένα μεγάλο πλήθος δοκιμών και αριθμητικών αποτελεσμάτων. Τέλος, στο κεφάλαιο 8, εξάγουμε ενδιαφέροντα συμπεράσματα σχετικά με το κατά πόσο ο συνδυασμός των δύο μεθόδων δίνει χρήσιμα αποτελέσματα για την οργάνωση, τον προγραμματισμό αλλά κυρίως για τη μελλοντική εξέλιξη μια παραγωγικής διαδικασίας. 5

Κεφάλαιο 2 Μέθοδος Winters Η μέθοδος Winters είναι μια από τις μεθόδους πρόβλεψης για εποχικά προβλήματα. Μια εποχική σειρά έχει ένα μοτίβο που επαναλαμβάνεται κάθε Ν περιόδους για κάποια τιμή του Ν (η οποία είναι τουλάχιστον 3). Μια τυπική εποχική σειρά ζήτησης απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Τυπική εποχική εξέλιξη ζήτησης Για να χρησιμοποιήσει ένα εποχικό μοντέλο, πρέπει κανείς να είναι σε θέση να καθορίσετε το μήκος της σεζόν. Η διαφορά ενός εποχικού μοντέλου με τα άλλα μοντέλα, είναι ότι πριν το πρότυπο αρχίζει να επαναλαμβάνει, χρησιμοποιεί διαφορετικά την έννοια της λέξης σεζόν, δηλαδή ως αριθμό περιόδων μήκους Ν και όχι ως μια εποχή του έτους. 6

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να παρουσιαστεί η εποχικότητα. Ο πιο συνηθισμένος είναι να υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα σετ από πολλαπλασιαστές C t, για 1 t N, με την προϋπόθεση ότι ΣC t = N. Οι πολλαπλασιαστές C t αντιπροσωπεύουν τo μέσο ποσοστό της ζήτησης την t th περίοδο της σεζόν, που βρίσκεται πάνω ή κάτω από τη συνολική μέση τιμή. Αυτοί οι πολλαπλασιαστές ονομάζονται εποχικοί δείκτες. Οι εποχικοί δείκτες υπολογίζονται για χρονοσειρές με εποχική μεταβλητότητα τόσο όταν αυτές έχουν κάποια συγκεκριμένη τάση όσο και χωρίς. Και στις δύο περιπτώσεις όμως απαιτούνται δεδομένα τουλάχιστον για δύο περιόδους. 2.1 Εποχικοί Δείκτες για Στατικές Σειρές Μια απλή μέθοδος υπολογισμού των εποχικών δεικτών, στην περίπτωση χρονοσειρών χωρίς τάση είναι η εξής: Α. υπολογίζουμε τη μέση τιμή όλων των δεδομένων Β. διαιρούμε κάθε παρατήρηση με τη μέση τιμή. Αυτό μας δίνει τον εποχικό δείκτη για κάθε περίοδο παρατηρημένων δεδομένων. Γ. υπολογίζουμε το μέσο όρο των συντελεστών για τα ίδια χρονικά διαστήματα μέσα σε κάθε περίοδο. Έτσι, υπολογίζουμε το μέσο όρο όλων των συντελεστών σε σχέση με την πρώτη περίοδο της σεζόν, σε σχέση με τη δεύτερη και ούτω καθ εξής. Αυτοί οι μέσοι όροι αποτελούν τους Ν εποχικούς δείκτες, οι οποίοι αθροιστικά θα μας δίνουν την τιμή Ν. Μια ελαφρώς πιο σύνθετη μέθοδο για την εκτίμηση των εποχιακών συντελεστών, απαιτείται για τον υπολογισμό Ν-περιόδων κινούμενων μέσων όρων, όπου Ν είναι το μήκος της σεζόν. 7

2.2 Η Μέθοδος Winters για Εποχικά Προβλήματα Η γνωστή μέθοδος του κινούμενου μέσου όρου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει μια εποχική σειρά, με ή χωρίς την ύπαρξη τάσης. Παρ όλα αυτά, καθώς εξελίσσονται και γίνονται γνωστά νέα δεδομένα, η μέθοδος αυτή, απαιτεί τον επαναπροσδιορισμό των εποχικών συντελεστών από την αρχή. Η μέθοδος Winters είναι μια μορφή τριπλής εκθετικής εξομάλυνσης, με το σημαντικό πλεονέκτημα ότι είναι εύχρηστη στο να ανανεώνει τις παραμέτρους της καθώς προστίθενται νέα δεδομένα. Το βασικό μοντέλο της μεθόδου Winters, βασίζεται στον τύπο: D t = (μ + G t) C t + E t Θεωρούμε, ως μ την αρχικά θεωρούμενη μέση τιμή, ή αλλιώς την πρώτη τιμή χωρίς να περιέχει ακόμα την επίδραση της εποχικότητας, ως G την τάση ή την συνιστώσα κλίση, ως C t την πολλαπλασιαστική επίδραση της εποχικότητας την περίοδο t, και ως Ε t ο όρος του σφάλματος. Επειδή ο εποχικός παράγοντας C t πολλαπλασιάζει τόσο τη μέση τιμή, όσο και το παράγοντα της τάσης, θεωρούμε ότι η εξελισσόμενη χρονοσειρά της ζήτησης έχει την αυξανόμενη μορφή του παρακάτω σχήματος. Εποχική σειρά με αυξανόμενη τάση 8

Θεωρούμε ότι το μέγεθος της σεζόν είναι Ν περίοδοι και ότι οι εποχικοί συντελεστές C t είναι ίδιοι κάθε περίοδο, έχοντας την ιδιότητα ΣC t = N. Τρεις τύποι εκθετικής εξομάλυνσης χρησιμοποιούνται σε κάθε περίοδο για την αναπροσαρμογή της εκτίμησης της αυξανόμενης σειράς, για τους εποχικούς συντελεστές και για την τάση. Σε αυτούς τους τύπους, υπεισέρχονται και τρεις αντίστοιχες σταθερές εξομάλυνσης, η σταθερά εξομάλυνσης σειράς α, η σταθερά εξομάλυνσης τάσης β και η σταθερά εξομάλυνσης εποχικότητας γ. 2.3 Εξομάλυνση Σειράς S t Η τρέχουσα τιμή της αυξανόμενης σειράς, δίνεται από τον τύπο: S t = α (D t / C t-n ) + (1 α) (S t-1 + G t-1 ) Διαιρώντας με τον εποχικό συντελεστή, προσαρμόζουμε στην εποχικότητα την τελευταία παρατήρηση της ζήτησης. Αυτή η παρατήρηση, κανονικοποιείται με βάση την τρέχουσα πρόβλεψη της ζήτησης. (μέθοδος Holt) 2.4 Εξομάλυνση Τάσης G t Η τάση αναπροσαρμόζεται όπως στη μέθοδο Holt: G t = β (S t S t-1 ) + (1 β) G t-1 2.5 Εξομάλυνση Εποχικών Συντελεστών Ct C t = γ (D t / S t ) + (1 γ) C t-n 9

Το ποσοστό της πιο πρόσφατης παρατήρησης της ζήτησης που ξεπερνά την τρέχουσα εκτίμηση της εποχικής ζήτησης, μας δίνει την τρέχουσα εκτίμηση του εποχικού συντελεστή C t. Αυτός, στη συνέχεια, κανονικοποιείται με βάση την προηγούμενη καλύτερη εκτίμηση του εποχικού συντελεστή, C t-n. Κάθε φορά που ένας εποχικός συντελεστής αναπροσαρμόζεται, κανονικοποιούμε τους Ν πιο πρόσφατους συντελεστές, ώστε να μας δίνουν άθροισμα ίσο με Ν. Τέλος, η πρόβλεψη που γίνεται την περίοδο t για κάθε μια μελλοντική περίοδο t+τ, δίνεται από τον τύπο: F t, t+τ = (S t + τ G t ) C t+τ-n t N Για να λειτουργήσει η μέθοδος Winters, χρειάζεται να οριστούν αρχικές εκτιμήσεις για τη σειρά, για την τάση και για τους εποχικούς συντελεστές. Η μέθοδος Winters προτείνει τη χρήση, το λιγότερο, δύο περιόδων m διαθέσιμων παρατηρήσεων για την αρχικοποίηση. Στην παρούσα εργασία, για την αρχικοποίηση των συντελεστών, έχουν χρησιμοποιηθεί τα δεδομένα ζήτησης (D) δύο περιόδων (m = 2) των 7 παρατηρήσεων η καθεμία (N = 7) και με έναρξη της εξελισσόμενης σειράς τη χρονική στιγμή t = 0. 10

Κεφάλαιο 3 Μοντέλο Ελαχιστοποίησης Κόστους Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε το μοντέλο που ανέπτυξαν οι Schoenmeyr και Graves πάνω στο οποίο εφαρμόσαμε τη μέθοδος Winters. Χωρίς να εμβαθύνουμε σε λεπτομέρειες της συγκεκριμένης μελέτης, αφού ο αναγνώστης μπορεί να αναζητήσει και να βρει τα αντίστοιχα δημοσιευμένα άρθρα, δίνουμε τις βασικές κατευθύνσεις πάνω στις οποίες στηρίζεται αυτή η μελέτη. 3.1 Βασικές Έννοιες Κατά την περίοδο t συμβολίζουμε την πρόβλεψη για την περίοδο t+i ως f t (t+i) για i {1, 2, H}, όπου H είναι ο ορίζοντας πρόβλεψης. Κατά σύμβαση, θέτουμε f t (t) = D t, όπου D t είναι η ζήτηση κατά την περίοδο t. Υποθέτουμε ότι σε κάθε περίοδο t κάνουμε μια αρχική πρόβλεψη για τη ζήτηση για την περίοδο t+h, δηλαδή f t (t+h). Σε κάθε περίοδο αναθεωρούμε τις προβλέψεις, ορίζοντας την αναθεώρηση προβλέψεων ως: Δf t (t + i) = f t (t + i) f t-1 (t + i) (1) για i {0, 1,..., H-1} Η ζήτηση μπορεί να εκφραστεί ως: D t = f t-h (t) + ft H i ( t) (2) i 1 11

Η πρόβλεψη f t (t+i) είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση της ζήτησης D t+i και η διακύμανση του σφάλματος της πρόβλεψης D t+i f t (t+i) αυξάνει με το i. Η αρχική πρόβλεψη για όλα τα t είναι f t (t+h) = μ. Η πρόβλεψη f t (t+h) παράγεται από μια μη στάσιμη διαδικασία αυθαίρετης πολυπλοκότητας, ή ορίζεται από το χρήστη. Έτσι, μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτό το μοντέλο πρόβλεψης σε πλαίσια στα οποία η αρχική πρόβλεψη f t (t+h) περιέχει πληροφορίες για μελλοντικές παραγγελίες ή μελλοντική ζήτηση. Σε πολλές περιπτώσεις αντίστοιχων μοντέλων παρακολούθησης της εξέλιξης των αποθεμάτων, ο χρόνος της εφοδιαστικής αλυσίδας (το μεγαλύτερο χρονικό διάστημα της προμήθειας για ένα προϊόν συν την εσωτερική κατεργασία και δοκιμή του) υπερβαίνει τον χρόνο του πελάτη (ο χρόνος παράδοσης που ζήτησε ο πελάτης). Έτσι, πρέπει να υπολογιστεί ένα μεγάλο μέρος των προμηθειών και των ανάντη δραστηριοτήτων παραγωγής πριν από τη λήψη της παραγγελίας. Αυτό μπορεί να γίνει μέσω ενός προγράμματος παραγωγής που να καλύπτει έναν ορίζοντα σχεδιασμού που αντιστοιχεί στο χρόνο της αλυσίδας εφοδιασμού. Σε αυτό ακριβώς το πρόγραμμα εντάσσονται οι προβλέψεις της ζήτησης οι οποίες προσπαθούν να εξασφαλίσουν τις μελλοντικές παραγγελίες των πελατών. Καθώς εξελίσσεται ο χρόνος, οι αναθεωρήσεις των προβλέψεων προκαλούν αντίστοιχες μεταβολές στο χρονοδιάγραμμα παραγωγής, με την αντίστοιχη επιτυχία στην ικανοποίηση των παραγγελιών και της ζήτησης γενικά. 3.2 Σύνδεση Μεθόδου Βελτιστοποίησης και Πρόβλεψης Ξεκινάμε με ένα μοντέλο ζήτησης και καταλήγουμε σε μια διαδικασία πρόγνωσης ρυθμίζοντας κάθε φορά την πρόβλεψη για την αναμενόμενη τιμή της ζήτησης. Δηλαδή, για μια δεδομένη ζήτηση D t, ορίζουμε: 12

f t (t + s) = E[D t+s D t, D t-1, D t-2,...] (3) και Δf t (t + s) = E[D t+s D t, D t-1, D t-2,...] E[D t+s D t-1, D t-2,...] (4) Θεωρούμε ότι οι αναθεωρημένες προβλέψεις που δημιουργούνται με αυτόν τον τρόπο είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές (i.i.d.) και έχουν μέση τιμή μηδέν. Αποδεικνύεται ότι ακόμα και μοντέλα της ζήτησης που είναι περίπλοκα και μη στατικά, έχουν συχνά i.i.d. αναθεωρημένες προβλέψεις. Επίσης, ενώ η αρχική πρόβλεψη f t (t+h) = E[D t+h D t, D t-1, D t-2,...], μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκη, αυτό δεν έχει καμία σχέση με την ανάλυση των αποθεμάτων ασφαλείας. Αφού εκτιμηθεί η χρονοσειρά εξέλιξης της ζήτησης με βάση τα ιστορικά δεδομένα (με οποιαδήποτε μέθοδο εκτιμήσεων), υπολογίζεται στη συνέχεια οι διαφορές Δf t (t+s) οι οποίες είναι αναγκαίες για τη βελτιστοποίηση των αποθεμάτων ασφάλειας. 13

Κεφάλαιο 4 Μοντέλο Αποθήκευσης και Παραγγελιών Σε αυτή την ενότητα θα αναπτύξουμε το μοντέλο αποθήκευσης. Βασική υπόθεση του μοντέλου είναι ότι κάθε κόμβος στην αλυσίδα εφοδιασμού λειτουργεί με εγγυημένους χρόνους εξυπηρέτησης, καθώς επίσης ότι κάθε κόμβος χρησιμοποιεί πολιτική αποθέματος ασφαλείας, η οποία μας επιτρέπει να διαμορφώσει το απόθεμα σε κάθε κόμβο ως συνάρτηση των χρόνων εξυπηρέτησης. Τελικός στόχος του μοντέλου είναι να βρεθούν τα ελάχιστα επίπεδα των αποθεμάτων που είναι απαραίτητα για να εξασφαλίζεται ότι θα είναι εγγυημένοι οι χρόνοι εξυπηρέτησης. Πάνω σε αυτές τις βασικές προϋποθέσεις, αλλά και την έννοια των εγγυημένων χρόνων εξυπηρέτησης εισάγεται και την εξελισσόμενη διαδικασία πρόβλεψης. Δηλαδή παρουσιάζεται πολιτική παραγγελιών με βάση την προβλεπόμενη ζήτηση και όχι μια πολιτική με βάση το απόθεμα ασφαλείας κάθε κόμβου. Οι προβλέψεις αυτές παραμετροποιούνται με στόχο τον υπολογισμό των αποθεμάτων ασφαλείας. Έτσι. λαμβάνοντας υπόψη αυτή την πολιτική παραγγελιών αλλά και τις εξελισσόμενες προβλέψεις, προσδιορίζεται το απόθεμα σε κάθε κόμβο ως συνάρτηση των χρόνων εξυπηρέτησης. Για τον προσδιορισμό του ελάχιστου αποθέματος ασφάλειας που θα εγγυάται τους χρόνους εξυπηρέτησης, εισάγεται μια άλλη υπόθεση αυτή της οριοθετημένης ζήτησης. Πιο συγκεκριμένα, υποθέτεται ότι υπάρχει ένα όριο στη διαδικασία αναθεώρησης των προβλέψεων. Αυτό επιτρέπει να μοντελοποιηθούν τα αποθέματα ασφαλείας, ως συνάρτηση των εγγυημένων χρόνων εξυπηρέτησης για κάθε κόμβο του συστήματος. 14

Πιο συγκεκριμένα, από τους δείκτες των κόμβων (k), ορίζεται ως 1 τον πελάτη, δηλαδή τον πιο κατάντη κόμβο, και το πιο ανάντη κόμβο ως Ν. Ένα στάδιο μπορεί να αντιπροσωπεύει την προμήθεια της πρώτης ύλης, την παραγωγή ενός συστατικού, την κατασκευή ενός ενδιάμεσου προϊόντος, τη συναρμολόγηση και τη δοκιμή του τελικού προϊόντος, ή τη μεταφορά ενός τελικού προϊόντος από ένα κέντρο διανομής σε μια αποθήκη. Για κάθε κόμβο, υποθέτετε ένας γνωστός ντετερμινιστικός χρόνος παραγωγής, που συμβολίζεται ως T k. Ο χρόνος παραγωγής είναι ο χρόνος από τη στιγμή που όλες οι πρώτες ύλες είναι διαθέσιμες μέχρι η παραγωγή να έχει ολοκληρωθεί και είναι διαθέσιμη για να εξυπηρετήσει τη ζήτηση. Ο χρόνος παραγωγής περιλαμβάνει την αναμονή και τον χρόνο επεξεργασίας στον κόμβο, καθώς και κάθε χρόνο μεταφοράς για να μεταφερθεί το προϊόν στην αποθήκη. Υποθέτετε ότι δεν υπάρχει περιορισμός αποθηκευτικής ικανότητας, έτσι, ο χρόνος δεν επηρεάζεται από το μέγεθος της παραγγελίας. 4.1 Πολιτική Παραγγελιών Υποθέτουμε ότι κάθε κόμβος μοιράζεται μια κοινή περίοδο επανεξέτασης και δίνει μια παραγγελία κάθε περίοδο. Η παραγγελία που δίδεται την περίοδο t στον κόμβο k +1 από τον κόμβο k, χαρακτηρίζεται ως P k (t). Κάθε κόμβος παραγγέλνει μετά την αναθεωρημένη πρόβλεψη για την περίοδο t. Υποθέτουμε ότι ο κόμβος 1 υπόσχεται έναν εγγυημένο χρόνο εξυπηρέτησης S 1 με τoν οποίo θα ικανοποιηθεί η ζήτηση των πελατών. Δηλαδή, η ζήτηση D t των πελατών τη χρονική στιγμή t πρέπει να ολοκληρωθεί τη χρονική στιγμή t + S 1. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι ο κόμβος 1 παρέχει το 100% των υπηρεσιών, δηλαδή παρέχει ακριβώς τη ζήτηση D t στον πελάτη τη χρονική στιγμή t + S 1. 15

Επίσης, υποθέτουμε ότι κάθε ανάντη κόμβος k (k 1) προσφέρει και εγγυάται χρόνο εξυπηρέτησης S k προς τους εσωτερικούς πελάτες του, δηλαδή, τους κόμβους k-1. Τη χρονική στιγμή t, η παραγγελία του κόμβου k-1 τοποθετείται στον κόμβο k και είναι P k-1 (t). Ο κόμβος k μεταφέρει ακριβώς αυτή την ποσότητα στον κόμβο k-1 τη χρονική στιγμή t + S k. Υποθέτουμε ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης για τον εξωτερικό πελάτη, S 1, χωρίς να χάνεται η γενικότητα, μπορεί να θεωρηθεί ως S 1 = 0. Οι υπόλοιποι εσωτερικοί χρόνοι εξυπηρέτησης είναι μεταβλητές απόφασης και καθορίζουν που τοποθετούνται τα αποθέματα ασφαλείας. Ο χρόνος αναπλήρωσης στον κόμβο k είναι ο χρόνος εξυπηρέτησης για να πάρει τις πρώτες ύλες, συν το χρόνο επεξεργασίας, δηλαδή S k+1 + T k. Ορίζουμε ως τ k τον καθαρό χρόνο αναπλήρωσης για τον κόμβο k και ίσο με το χρόνο αναπλήρωσής του, μείον του χρόνου εξυπηρέτησής του: T k + S k+1 S k = τ k (5) Ο καθαρός χρόνος αναπλήρωσης καθορίζει το απόθεμα ασφαλείας στον κόμβο k. Τα οφέλη από της υπόθεσης του εγγυημένου χρόνου εξυπηρέτησης είναι διπλά. Πρώτον, μας επιτρέπει μια σημαντική και αναλυτική ευκολία για το χαρακτηρισμό και τον καθορισμό των αποθεμάτων ασφαλείας μιας εφοδιαστικής αλυσίδας. Δεύτερον, ο εγγυημένος χρόνος εξυπηρέτησης έχει πρακτική αξία στο ότι διευκολύνει σε μεγάλο βαθμό το συντονισμό μιας γραμμής παραγωγής και μαζί με την υπόθεση της οριοθετημένης ζήτησης, παρέχει ένα πιο δεκτικό τρόπο στους διαχειριστές να καθορίσουν και τους συμβιβασμούς σε μια αλυσίδα εφοδιασμού. Παρ όλα αυτά, η υπόθεση της εγγυημένης εξυπηρέτησης είναι περιοριστική και περιέχει και ένα κόστος, δηλαδή λίγο μεγαλύτερα αποθέματα. Κάθε κόμβος δίνει εντολή παραγγελίας με βάση της προβλεπόμενης ζήτησης. Συγκεκριμένα, ορίζεται ο: 16

L k = S k+1 + k T j j 1 k = j (6) j 1 ως αθροιστικός χρόνος του κόμβου k. Αυτός ο χρόνος αντιπροσωπεύει τον μικρότερο χρόνο που χρειάζεται ώστε να φτάσει στον τελευταίο κόμβο, μια παραγγελία που έγινε στον κόμβο k και να γίνει διαθέσιμη ώστε να ικανοποιήσει τη ζήτηση του πελάτη. Ο αθροιστικός χρόνος για τον κόμβο k, αποτελείται από το χρόνο εξυπηρέτησης για να προμηθευτεί την πρώτη ύλη (S k+1 ), συν το χρόνο επεξεργασίας στον κόμβο k και όλους τους κατάντη κόμβους ( k T j j 1 Με δεδομένο τον αθροιστικό χρόνο L k, ορίζουμε την παραγγελία του κόμβου k τη χρονική στιγμή t, ως: ). L k 1 i 0 P k (t) = f t (t + L k ) + f ( t i) t (7) Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο εν λόγω μηχανισμός παραγγελιών προϋποθέτει ότι σε κάθε περίοδο η πρόβλεψη κατανέμεται μεταξύ όλων των κόμβων. Εμείς θεωρούμε ότι η σχέση 7 αποτελεί την πολιτική παραγγελιών βάση των προβλέψεων. Μάλιστα, αν οι προβλέψεις ήταν τέλειες τότε, Δf t = 0 και P k (t) = f t (t + L k ). Σε κάθε περίοδο, κάθε κόμβος της εφοδιαστικής αλυσίδας δίνει εντολή παραγγελίας τόση όση χρειάζεται για να προωθήσει ακριβώς ότι είναι αναγκαίο για την ικανοποίηση της ζήτηση των πελατών στο μέλλον, και να μην υπάρχει καμία ανάγκη για απόθεμα ασφαλείας. Η πολιτική παραγγελιών με βάση την πρόβλεψη που δίνεται από τη σχέση (7) μπορεί να οδηγήσει και σε αρνητικές παραγγελίες. Στην ανάλυσή μας αγνοούμε αυτή την περίπτωση, στην πραγματικότητα υποθέτουμε ότι η παραγγελία P k (t) δεν είναι αρνητική, κάτι που αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου οι αναθεωρημένες προβλέψεις σε κάθε περίοδο είναι μικρές σε σχέση με την προβλεπόμενη ζήτηση. Στην πράξη, αν υπήρχαν αρνητικές 17

αναθεωρήσεις των προβλέψεων, τότε θα υποθέταμε ότι δεν γίνεται καμία παραγγελία P k (t)=0 και ότι οποιοδήποτε πλεόνασμα θα αφαιρείται από την επόμενη θετική παραγγελία. Η πολιτική παραγγελιών με βάση τις προβλέψεις της σχέσης (7) είναι ισοδύναμη με μια πολιτική στην οποία ο κάθε κόμβος k σε κάθε περίοδο t δίνει εντολή παραγγελίας τέτοια ώστε να διατηρείται σταθερό το αναμενόμενο απόθεμα στον κόμβο k τη χρονική στιγμή t + Tk + Sk + 1. Ειδικότερα, αν δηλώσουμε ως Ι k (t) το απόθεμα του κόμβου k στο τέλος του χρόνου t, αποδεικνύεται ότι μπορούμε να γράψουμε τη σχέση (7) ως: P 0 (t) = D t T S k k 1 P k (t) = [ ( 1 Et Pk 1 t i Sk )] - Pk ( t i) i 1 T k S k i 1 1 - I k (t) + I k 0 (8) Ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά αντιπροσωπεύει την σχεδιασμένη παραγγελία που χρειάζεται ο κόμβος k ώστε να καλυφθεί στην πάροδο του χρόνου αναπλήρωσης. Ο δεύτερος όρος αντιπροσωπεύει την τρέχουσα παραγγελία του κόμβου k, δηλαδή, οι εισερχόμενες παραγγελίες από τον κόμβο k + 1 και οι παραγγελίες που βρίσκονται σε εξέλιξη στον κόμβο k. Ο τρίτος όρος είναι το απόθεμα σε ετοιμότητα. Ο τελευταίος όρος, I 0 k, είναι ένας σταθερός στόχος αποθέματος ασφαλείας, το οποίο έχει οριστεί για τη διατήρηση ενός ρυθμιστικού αποθέματος για το ενδεχόμενο υψηλότερης από την αναμενόμενη ζήτηση. Έτσι, από τη σχέση (8), βλέπουμε ότι η παραγγελία του κόμβου k τη χρονική στιγμή t ισούται με την πρόβλεψη των αναγκών του κόμβου k την πάροδο του χρόνου ανεφοδιασμού του, μείον το απόθεμα που θα έχει στη διάθεσή του κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου, συν το απόθεμα ασφαλείας που στοχεύει. 18

Σε ορισμένες απλές περιπτώσεις, μπορούμε να δείξουμε ότι η πολιτική παραγγελιών με βάση την πρόβλεψη είναι βέλτιστη σε σχέση με ορισμένα κριτήρια. Η πολιτική αυτή είναι η βέλτιστη όταν οι προβλέψεις είναι τέλειες, επειδή η διακύμανση του αποθέματος είναι μηδέν στην περίπτωση αυτή, και δεν χρειάζονται αποθέματα ασφαλείας. 4.2 Υπολογισμός των Αποθεμάτων Λαμβάνοντας υπόψη την πολιτική παραγγελιών με βάση την πρόβλεψη, μπορούμε να διερευνήσουμε τη δυναμική των αποθεμάτων I k (t). Υπό την υπόθεση του εγγυημένου χρόνου εξυπηρέτησης, έχουμε τις εξισώσεις ισορροπίας των αποθεμάτων: I k (t + 1) = I k (t) P k-1 (t + 1 S k ) + P k (t + 1 S k+1 T k ) (9) Αποδεικνύεται, με συνδυασμό των σχέσεων (7) και (9), ότι: t t Lk I k (t + T k + S k+1 ) = I 0 k k - i t 1 j 1 f i ( j) (10) όπου επιλέγουμε τη χρονική στιγμή t + T k + S k+1 στην αριστερή πλευρά για ευκολία στην ανάλυση και ως I 0 k το στόχο του αποθέματος ασφαλείας. Η έκφραση (10) δείχνει ότι το τρέχον επίπεδο αποθέματος είναι συνάρτηση των πρόσφατων αναθεωρήσεων των προβλέψεων. Βλέπουμε επίσης από τη σχέση (10) ότι οι ιδιότητες της τυχαίας μεταβλητής του αποθέματος σε έναν κόμβο δεν εξαρτώνται από την συγκεκριμένη χρονική στιγμή, αλλά μόνο από τον αθροιστικό και τον καθαρό χρόνο αναπλήρωσης του. Υποθέτουμε τώρα, ότι έχουμε ένα όριο B(L k-1, L k ) στις αναθεωρημένες προβλέψεις στην L k αθροιστική περίοδο πρόβλεψης κατά τη διάρκεια των τ k = L k L k-1 περιόδων. Δηλαδή, ορίζουμε το B(L k-1, L k ) έτσι ώστε: 19

t t Lk k i t 1 j 1 f i ( j) B(L k-1, L k ) t (11) Αν θέσουμε I k 0 = B(L k-1, L k ) (12) είναι σαφές από τη σχέση (10) ότι το απόθεμα δεν είναι αρνητικό, και έτσι εκπληρώνεται ο περιορισμός της εγγυημένης εξυπηρέτησης. Ένας εναλλακτικός τρόπος για να καθοριστεί το όριο Β είναι να υποθέσουμε ότι το απόθεμα ασφαλείας ορίζεται για την προστασία από κάποιο μέγιστο επίπεδο του σφάλματος πρόβλεψης. Συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι μπορούμε να μετρήσουμε την τυπική απόκλιση του αθροιστικού σφάλματος πρόβλεψης για κάθε πιθανό αθροιστικό χρόνος. Στη συνέχεια, για τον καθορισμό των αποθεμάτων ασφαλείας, θα μπορούσαμε να ορίσουμε το μέγιστο σφάλμα πρόβλεψης ανάλογο με ένα όριο επιπέδου εξυπηρέτησης. Δηλαδή, ορίζουμε ως F(L) να είναι το μέγιστο αθροιστικό σφάλμα πρόβλεψης για κάθε διάστημα μήκους L ως εξής: t L F(L) = z σ [ ( D j ft ( j)) ] (13) j t 1 όπου z είναι ένας παράγοντας ασφάλειας και σ( ) είναι η τυπική απόκλιση. Έτσι, θέλουμε το απόθεμα ασφαλείας να παρέχει 100% προστασία εφ όσον τα σφάλματα πρόβλεψης βρίσκονται εντός του F(L) για όλους τους χρόνους L. Με αυτή την προδιαγραφή, αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση του ορίου Β είναι: t t Lk k B(L k-1, L k ) = z σ [ i t 1 j 1 2 f i ( j) ] = F L ) F 2 ( L ) (14) ( k k 1 20

Ως εκ τούτου, αν μας δοθεί το μέγιστο επιτρεπόμενο επίπεδο των σφαλμάτων πρόβλεψης (13) για κάθε πιθανό L, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση του ορίου Β (14). Από τη συνάρτηση του ορίου μπορεί να καθορίσει το επίπεδο του αποθέματος ασφαλείας (12), η οποία είναι αναγκαία για να εξασφαλιστεί η εγγυημένη εξυπηρέτηση για όλες τις προβλέψεις / ζητήσεις εντός των ανώτατων σφαλμάτων πρόβλεψης. Σημειώνουμε ότι η σχέση (14) είναι μια αρκετά απλή και λειτουργική μορφή. Εμείς απλά πρέπει να χαρακτηρίσουμε τη διακύμανση του αθροιστικού σφάλματος πρόβλεψης πάνω από όλους τους σχετικούς χρονικούς ορίζοντες. Από αυτή τη σχέση, μπορούμε να υπολογίσουμε άμεσα τη συνάρτηση του ορίου Β όπως δίνεται από την (14). Στο επόμενο κεφάλαιο θα δείξουμε πως χρησιμοποιούμε αυτή τη συνάρτηση ορίου για να επιλέξουμε το βέλτιστο χρόνο εξυπηρέτησης S k (και κατ επέκταση τον αθροιστικό χρόνο L k ) για να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος αποθήκευσης. 21

Κεφάλαιο 5 Βελτιστοποίηση Με δεδομένη τη συνάρτηση του ορίου Β και τις αναθεωρημένες προβλέψεις, μπορούμε να διατυπώσουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης. Ο στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του αναμενόμενου κόστους αποθήκευσης του συστήματος. Από τη σχέση (10) παρατηρούμε ότι το αναμενόμενο επίπεδο αποθεμάτων σε κάθε κόμβο δίνεται από τη σχέση: E[I k ] = I k 0 Υποθέτουμε, σύμφωνα με τη σχέση (12) ότι θέτουμε ως στόχο αποθέματος ασφαλείας το I k 0, οπότε έχουμε: E[I k ] = I k 0 = B(L k-1, L k ) Τέλος, υποθέτουμε ότι σε κάθε κόμβο k αντιστοιχεί ένα κόστος αποθήκευσης σε ποσοστό h k ανάλογο του μέσου επιπέδου αποθήκευσης I 0 k. Επιπροσθέτως του αποθέματος ασφαλείας, η γραμμή παραγωγής έχει και ενδιάμεσα αποθέματα, τα οποία είναι ευθέως ανάλογα των χρόνων παραγωγής και επεξεργασίας. Στη δική μας αντιμετώπιση του προβλήματος και στον τρόπο βελτιστοποίησης του μοντέλου, δεν λαμβάνουμε υπόψη μας τα ενδιάμεσα αποθέματα, γιατί το απόθεμα κάθε κόμβου είναι απολύτως ανεξάρτητο της επιλογής των χρόνων εξυπηρέτησης. Μεταβάλλοντας τους χρόνους εξυπηρέτησης S k, βρίσκουμε και διαφορετικούς συνδυασμούς αποθεμάτων ασφαλείας. Εμείς, αναζητούμε τη λύση με το μικρότερο κόστος 22

αποθήκευσης. Έτσι, το πρόβλημα βελτιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) του κόστους αποθήκευσης για μια ευθεία γραμμή παραγωγής είναι: min h Sk N k 1 k B( L k 1, Lk ) s.t. S k+1 + T k S k k L k = S k+1 + k T j j 1 k S k 0 k S 1, S N+1, L 0 = 0 Το πρώτο σετ των περιορισμών διαβεβαιώνει ότι ο καθαρός χρόνος αναπλήρωσης δεν είναι αρνητικός για κάθε κόμβο. Το δεύτερο σετ των περιορισμών ορίζει τον αθροιστικό χρόνο για κάθε κόμβο. 23

Κεφάλαιο 6 Μοντέλο Εφαρμογής Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται παρουσίαση του συστήματος πάνω στο οποίο εφαρμόστηκε το μοντέλο βελτιστοποίησης. 6.1 Παρουσίαση Συστήματος Η εφαρμογή όσων παρουσιάστηκαν παραπάνω, έγινε σε ένα απλό μοντέλο γραμμής παραγωγής, αποτελούμενο από 3 μηχανές. Η διάταξη των μηχανών είναι με αύξουσα σειρά από δεξιά προς τα αριστερά για να συμφωνεί με τη μοντελοποίηση των Schoenmeyr και Graves. Σχηματικά, αυτό το απλό μοντέλο είναι το παρακάτω : όπου: Τ1, Τ2, Τ3 οι χρόνοι παραγωγής (επεξεργασίας) της κάθε μηχανής S1, S2, S3, S4 οι χρόνοι εξυπηρέτησης της κάθε μηχανής από την προηγούμενη Ι1, Ι2, Ι3 οι αποθηκευτικοί χώροι Το εύρος της χρονικού ορίζοντα που εξετάζουμε και που αντιστοιχεί στο μέγιστο αθροιστικό χρόνο της πρώτης μηχανής, είναι Η = 14. 24

6.2 Παραδοχές Αρχικοποίησης Μοντέλου (μέθοδος Winters) Για τη μέθοδο Winters έγιναν οι εξής υποθέσεις: ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΖΗΤΗΣΗΣ (d) 50,00 ΣΦΑΛΜΑ (Et) 0,20 ΤΑΣΗ (G) 0,10 ΣΤΑΘΕΡΑ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑΣ (α) 0,20 ΣΤΑΘΕΡΑ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΤΑΣΗΣ (β) 0,10 ΣΤΑΘΕΡΑ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ (γ) 0,10 Σύμφωνα με τον βασικό τύπο της μεθόδου, δημιουργήσαμε μια τυχαία σειρά 84 τιμών πρόβλεψης της ζήτησης, η οποία αποτέλεσε τη βάση όλων των μετέπειτα υπολογισμών και συγκρίσεων : Data 54,10 53,90 64,70 48,71 53,65 56,59 54,82 65,76 49,70 50,40 61,20 49,00 51,98 59,64 50,30 55,07 45,73 47,39 40,70 57,50 54,30 45,80 58,60 65,40 55,45 64,39 64,33 63,55 53,49 64,43 50,10 48,90 56,70 47,64 59,30 53,96 39,74 52,40 47,06 42,40 49,20 47,00 41,50 55,30 61,10 44,18 65,12 57,06 53,29 59,23 65,17 47,80 58,60 47,40 43,31 55,97 50,63 49,40 42,06 53,72 56,10 62,90 58,70 52,20 65,00 49,80 48,92 63,86 63,80 58,02 66,96 65,90 50,50 48,30 61,10 39,97 52,63 52,29 43,07 61,73 46,39 25

Σχηματικά η εξέλιξη της ζήτησης παραουσιάζεται στο παρακάτω διάγραμμα: Για τον καθορισμό των παραπάνω τιμών, υποθέσαμε μια μεταβλητή εποχικότητα ανά 7άδα τιμών με την παρακάτω διαδοχική περιοδική μεταβολή : 1 1 1,05 2 1,05 3 1 4 0,95 5 0,95 6 1 7 6.3 Παραδοχές Αρχικοποίησης Μοντέλου (Schoenmeyr και Graves ) Για τη μέθοδο των Schoenmeyr και Graves έγιναν οι εξής υποθέσεις: ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ (z) 2,00 ΚΟΣΤΟΣ ΑΠΟΘΥΚΕΥΣΗΣ (h1) 1,00 ΚΟΣΤΟΣ ΑΠΟΘΥΚΕΥΣΗΣ (h2) 1,00 ΚΟΣΤΟΣ ΑΠΟΘΥΚΕΥΣΗΣ (h3) 1,00 26

6.4 Γενικές Παραδοχές Αρχικοποίησης Μοντέλου Για τους χρόνους παραγωγής, εξυπηρέτησης και τους αθροιστικούς χρόνους έγιναν οι εξής υποθέσεις : Χρόνος παραγωγής μηχανής 1 : T1 = 2 Χρόνος παραγωγής μηχανής 2 : T2 = 2 Χρόνος παραγωγής μηχανής 3 : T3 = 2 Χρόνος εξυπηρέτησης μηχανής 1 : S1 = {1, 2, 3,... 7} Χρόνος εξυπηρέτησης μηχανής 2 : S2 = {1, 2, 3,... 7} Χρόνος εξυπηρέτησης μηχανής 3 : S3 = 0 Πιθανοί συνδυασμοί των αθροιστικών χρόνων μηχανής 1 : S2 L1 T1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 Πιθανοί συνδυασμοί των αθροιστικών χρόνων μηχανής 2 : S3 L2 T1+T2 4 1 5 2 6 3 7 4 8 5 9 6 10 7 11 Αθροιστικός χρόνος μηχανής 3 : L3 = T1 + T2 + T3 = 6 27

Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική Επίλυση με τη Χρήση του Excel Τόσο η ανάλυση της μεθόδου Winters όσο και το μοντέλο βελτιστοποίησης των Schoenmeyr και Graves (2009), χρησιμοποιήθηκαν και εφαρμόστηκαν πάνω σε ένα αρχείο του Excel με τη χρήση μακροεντολών (Visual Basic). Όλοι οι υπολογισμοί έγιναν με τη λογική των πιθανών συνδυασμών και συγκεκριμένα την εύρεση εκείνου που μας δίνει το ελάχιστο κόστος. 7.1 Βασικά Σημεία Επίλυσης Καθορίσαμε ένα εύρος προβλέψεων τις επόμενες 14 περιόδους για να είναι εφικτή υπολογιστικά η διαδικασία, αφού οι πιθανοί συνδυασμοί για μεγαλύτερο εύρος χρονικού ορίζοντα, αυξάνονται υπερβολικά και απαιτούν αρκετό χρόνο επεξεργασίας από τον υπολογιστή. Αυτό βέβαια δε μειώνει την αξία της συγκεκριμένης μελέτης αφού η διάρκεια των 14 περιόδων θεωρείται αρκετά ικανοποιητική για τη λήψη αποφάσεων. Επίσης, με την εισαγωγή των νέων δεδομένων ζήτησης, η μέθοδος ανανεώνεται και διορθώνει την προηγούμενη βέλτιστη τιμή, δίνοντας την επόμενη πρόβλεψή της. 28

7.2 Διαδικασία Επίλυσης Αρχικά, χωρίσαμε τις αρχικές 14 τιμές σε 2 ομάδες (seasons) των 7 τιμών, όπως απαιτεί η μέθοδος Winters για το υπολογισμό των αρχικών παραμέτρων : Seasons m Count N V1 V2 G 0 S 0 2 7 50,82 49,24 0,23 48,56 όπου V1 και V2 ο μέσος όρος της πρώτης και της δεύτερης ομάδας των 7 τιμών, G 0 η αρχική πρόβλεψη κλίσης και S 0 η αρχική πρόβλεψη της τιμής της σειράς. Υπολογίσαμε τις τιμές των εποχικών συντελεστών C i για i = 0, 1, 2, 3,... 6 C_6 C_5 C_4 C_3 C_2 C_1 C_0 1,00 1,04 1,18 1,00 1,00 0,95 0,83 1,04 1,19 1,01 1,00 0,95 0,83 0,99 1,19 1,01 1,00 0,95 0,83 0,99 1,04 1,01 1,00 0,95 0,83 0,99 1,04 1,19 1,00 0,95 0,83 0,99 1,04 1,19 1,01 0,95 0,83 0,99 1,04 1,19 1,01 1,00 0,83 0,99 1,04 1,18 1,01 0,99 0,96 0,98 1,03 1,18 1,01 0,99 0,96 0,86 1,03 1,18 1,01 0,99 0,95 0,86 0,99 1,18 1,01 0,99 0,96 0,86 0,99 1,03 1,01 0,99 0,96 0,86 0,99 1,03 1,18 0,99 0,96 0,86 0,99 1,03 1,18 1,01 0,96 0,86 0,99 1,03 1,18 1,01 0,98 0,86 0,99 1,03 1,18 1,01 0,98 0,95 0,99 1,03 1,18 1,01 0,97 0,95 0,87 1,03 1,18 1,01 0,97 0,95 0,87 0,99 1,18 1,01 0,97 0,95 0,87 0,99 1,03 1,00 0,97 0,95 0,87 0,99 1,03 1,18 0,97 0,95 0,87 0,99 1,02 1,18 1,01 0,95 0,87 0,99 1,02 1,18 1,01 0,98 0,87 0,99 1,02 1,18 1,02 0,98 0,94 0,99 1,02 1,18 1,01 0,98 0,93 0,88 1,02 1,18 1,01 0,98 0,93 0,88 0,99 1,18 1,01 0,98 0,93 0,88 0,99 1,03 1,02 0,98 0,94 0,88 0,99 1,03 1,16 0,98 0,94 0,89 1,00 1,03 1,16 1,00 0,94 0,89 1,00 1,03 1,16 1,00 0,99 0,89 1,00 1,03 1,16 1,00 0,99 0,94 1,00 1,03 1,16 1,00 0,99 0,94 0,88 29

Κατόπιν, υπολογίσαμε τις προβλέψεις που μας δίνει η μέθοδος. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 48,20 50,14 56,72 47,87 47,19 44,62 39,03 46,62 48,48 54,84 46,28 45,62 43,12 37,71 1 48,67 54,89 46,19 45,40 42,78 37,31 43,91 46,04 51,90 43,65 42,88 40,39 35,20 41,41 2 53,83 45,20 44,33 41,69 36,27 42,59 44,22 50,11 42,05 41,21 38,72 33,66 39,50 40,98 3 45,11 44,23 41,58 36,17 42,46 44,08 49,89 41,89 41,04 38,55 33,51 39,31 40,76 46,10 4 44,78 42,16 36,72 43,17 44,88 50,88 42,98 41,97 39,49 34,38 40,39 41,96 47,53 40,13 5 41,87 36,44 42,81 44,47 50,37 42,51 41,37 39,00 33,92 39,82 41,33 46,78 39,45 38,36 6 37,83 44,61 46,52 52,91 44,84 43,82 42,06 36,24 42,72 44,54 50,64 42,91 41,92 40,22 7 49,18 51,76 59,43 50,84 50,16 48,60 43,76 50,32 52,96 60,80 52,01 51,31 49,71 44,76 8 52,43 60,26 51,61 50,98 49,45 44,58 51,56 54,07 62,14 53,22 52,55 50,97 45,94 53,13 9 59,42 50,83 50,14 48,57 43,73 50,53 52,63 60,74 51,96 51,25 49,64 44,69 51,63 53,77 10 50,59 49,87 48,30 43,46 50,19 52,26 60,17 51,54 50,81 49,20 44,28 51,13 53,23 61,29 11 49,86 48,28 43,44 50,17 52,23 60,14 51,51 50,79 49,17 44,25 51,09 53,19 61,24 52,45 12 46,28 41,48 47,71 49,48 56,74 48,40 46,75 45,84 41,09 47,26 49,00 56,19 47,94 46,30 13 40,88 46,95 48,62 55,67 47,42 45,74 44,53 40,08 46,03 47,66 54,57 46,48 44,83 43,64 14 49,35 51,35 59,08 50,57 49,00 47,94 44,16 50,03 52,05 59,88 51,25 49,67 48,59 44,75 15 52,33 60,32 51,72 50,20 49,20 45,40 51,89 53,69 61,88 53,05 51,50 50,46 46,56 53,21 16 60,63 52,01 50,51 49,53 45,72 52,29 54,23 62,41 53,53 51,98 50,96 47,04 53,79 55,78 17 52,92 51,47 50,55 46,73 53,52 55,60 64,50 55,04 53,53 52,55 48,58 55,63 57,77 67,01 18 53,14 52,33 48,52 55,72 58,04 67,51 58,46 56,32 55,43 51,36 58,96 61,39 71,37 61,78 19 53,66 49,85 57,37 59,88 69,79 60,55 59,00 57,64 53,51 61,54 64,18 74,76 64,82 63,12 20 48,33 55,47 57,75 67,13 58,10 56,47 54,36 50,97 58,48 60,85 70,72 61,18 59,45 57,20 21 57,66 60,23 70,24 60,98 59,46 57,41 54,78 62,13 64,84 75,56 65,55 63,87 61,62 58,76 22 60,43 70,49 61,22 59,71 57,66 55,04 62,52 65,17 75,97 65,92 64,25 62,00 59,13 67,12 23 71,45 62,12 60,65 58,63 56,02 63,70 66,81 77,56 67,36 65,71 63,47 60,59 68,83 72,14 24 58,93 57,28 55,13 52,45 59,38 62,03 70,19 62,03 60,27 57,99 55,15 62,41 65,17 73,72 25 55,26 53,02 50,28 56,75 59,10 66,67 57,91 56,90 54,59 51,76 58,41 60,82 68,60 59,59 26 53,83 51,11 57,77 60,24 68,04 59,19 58,56 55,93 53,10 60,00 62,55 70,64 61,44 60,78 27 50,83 57,42 59,84 67,57 58,74 58,10 55,34 52,63 59,44 61,94 69,92 60,78 60,10 57,24 28 57,03 59,41 67,03 58,25 57,57 54,81 51,96 58,80 61,24 69,09 60,02 59,32 56,47 53,52 30

Και τέλος, τα σφάλματα των προβλέψεων σε σχέση με τις αρχικές δεδομένες τιμές. Errors 0-6,70-5,96-3,43-0,07-3,89 4,78 17,07 5,58 0,43 3,18 4,22-5,65-0,05 13,09 1-4,49-1,61 1,61-2,09 6,62 18,79 8,29 2,88 6,12 6,85-2,91 2,68 15,60 12,49 2-0,55 2,60-1,02 7,71 19,83 9,61 4,69 7,91 8,45-1,24 4,34 17,14 14,40 12,67 3 2,69-0,92 7,82 19,93 9,74 4,84 8,13 8,61-1,07 4,51 17,29 14,59 12,89 19,65 4-1,48 7,24 19,38 9,03 4,04 7,14 7,52-2,00 3,58 16,42 13,51 11,69 18,22 21,07 5 7,53 19,66 9,39 4,45 7,65 7,99-1,40 4,07 16,88 14,08 12,32 18,98 21,75 21,27 6 18,27 7,59 2,39 5,11 5,66-3,85 1,01 14,56 11,18 9,11 15,11 18,29 17,71 5,51 7 3,02-2,85-1,41-0,34-10,19-5,53 7,04 3,58 0,69 4,96 9,19 8,33-3,98 12,74 8-3,51-2,24-1,11-11,01-6,38 6,22 2,34-0,42 3,62 7,98 7,08-5,24 11,56 5,47 9-1,40-0,33-10,17-5,51 7,07 3,37 1,02 5,02 9,24 8,39-3,91 12,81 6,97 10,61 10-0,09-9,90-5,23 7,34 3,71 1,39 5,59 9,66 8,82-3,47 13,22 7,47 11,16-7,80 11-9,89-5,21 7,36 3,73 1,42 5,62 9,69 8,85-3,44 13,25 7,51 11,19-7,75-3,55 12-3,22 9,32 6,19 4,17 9,02 12,80 12,89-0,11 16,41 11,34 15,38-2,70 0,96 13,00 13 9,92 6,95 5,03 10,09 13,78 13,90 1,20 17,42 12,57 16,73-1,08 2,42 14,47 8,75 14 4,55 2,30 6,68 10,63 10,63-2,21 13,34 8,57 12,34-6,39-2,35 9,63 3,81 4,45 t L Το μοντέλο βελτιστοποίησης των Schoenmeyr και Graves απαιτεί τον υπολογισμό της σ [ ( D j ft ( j)) ], δηλαδή της τυπικής απόκλισης του αθροίσματος των σφαλμάτων, j t 1 δηλαδή των διαφορών των πραγματικών ζητήσεων μείων των προβλέψεων. Στον παρακάτω πίνακα υπολογίζονται όλοι οι συνδυασμοί αυτών των αθροισμάτων. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14-6,70-12,66-16,09-16,16-20,05-15,27 1,80 7,38 7,81 10,99 15,21 9,57 9,51 22,60-4,49-6,10-4,49-6,58 0,03 18,83 27,12 30,00 36,12 42,97 40,07 42,74 58,34 70,83-0,55 2,05 1,03 8,74 28,57 38,18 42,87 50,77 59,22 57,99 62,33 79,47 93,87 106,54 2,69 1,77 9,59 29,53 39,26 44,10 52,23 60,84 59,77 64,28 81,58 96,17 109,06 128,71-1,48 5,76 25,14 34,17 38,20 45,35 52,87 50,87 54,45 70,87 84,38 96,08 114,30 135,37 7,53 27,19 36,58 41,03 48,68 56,67 55,27 59,33 76,21 90,29 102,62 121,60 143,35 164,62 18,27 25,86 28,25 33,36 39,02 35,17 36,18 50,74 61,92 71,03 86,14 104,43 122,14 127,65 3,02 0,18-1,23-1,58-11,77-17,30-10,26-6,68-5,99-1,03 8,15 16,48 12,50 25,24-3,51-5,75-6,86-17,87-24,25-18,03-15,69-16,10-12,49-4,50 2,58-2,65 8,90 14,37-1,40-1,73-11,91-17,41-10,35-6,97-5,95-0,94 8,31 16,70 12,79 25,60 32,57 43,18-0,09-9,99-15,22-7,88-4,17-2,78 2,81 12,47 21,29 17,82 31,04 38,51 49,67 41,87-9,89-15,10-7,74-4,01-2,59 3,03 12,72 21,57 18,13 31,38 38,89 50,08 42,33 38,78-3,22 6,10 12,28 16,46 25,48 38,27 51,16 51,05 67,46 78,80 94,19 91,48 92,44 105,44 9,92 16,87 21,90 31,99 45,77 59,67 60,87 78,29 90,86 107,59 106,51 108,93 123,40 132,15 4,55 6,85 13,53 24,17 34,80 32,59 45,94 54,51 66,85 60,46 58,11 67,74 71,55 76,00 31

Με βάση τον πίνακα των αθροισμάτων, οι τυπικές αποκλίσεις για κάθε περίπτωση είναι: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7,08 12,72 16,81 21,28 26,05 27,78 27,06 28,79 32,26 34,42 36,28 40,06 45,40 49,34 Διαγραμματικά η εξέλιξη της τυπικής απόκλισης του αθροίσματος των σφαλμάτων φαίνεται παρακάτω : Στη συνέχεια θέσαμε την τιμή της τυπικής απόκλισης που αντιστοιχεί σε κάθε πιθανό συνδυασμό για κάθε αθροιστικό χρόνο L. Δηλαδή, για τις 7 πιθανές περιπτώσεις των L1 και L2. O αθροιστικός χρόνος της μηχανής 3 είναι πάντα γνωστός, L3 = T1 + T2 + T3. St Dev L1 St Dev L2 St Dev L3 16,81 26,05 27,78 21,28 27,78 26,05 27,06 27,78 28,79 27,06 32,26 28,79 34,42 32,26 36,28 32

Οι αντίστοιχες τιμές των F(L1) και F(L2), με βάση τον τύπο F(L) = z σ [ ( D j ft ( j)) ], j t 1 είναι (η τιμή του F(L3) είναι δεδομένη αφού είναι μοναδική και η τιμή του StDevL3): t L F(L1) F(L2) F(L3) 33,63 52,10 55,56 42,56 55,56 52,10 54,11 55,56 57,59 54,11 64,52 57,59 68,83 64,52 72,55 Η μεταβολή των τυπικών αποκλίσεων StDevL αλλά και των μέγιστων αθροιστικών σφαλμάτων F(L) των μηχανών 1 και 2, φαίνονται στα παρακάτω διαγράμματα. 33

Λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς του μοντέλου βελτιστοποίησης, s.t. S k+1 + T k S k k L k = S k+1 + k T j j 1 k S k 0 k S 1, S N+1, L 0 = 0 υπολογίζονται οι βέλτιστοι συνδυασμοί οι οποίοι μας δίνουν ως αποτέλεσμα για τα αποθέματα των Ι1, Ι2, Ι3 τα εξής: B(L0,L1) = I1 B(L1,L2) = I2 B(L2,L3) = I3 33,63 12,58 12,58 Οι αντίστοιχες βέλτιστες τιμές για τους αθροιστικούς χρόνους και τους χρόνους εξυπηρέτησης είναι : L1 L2 L3 S2 S3 3,00 6,00 6,00 1,00 2,00 Έτσι, έχοντας δεδομένες τις τιμές των h i καταλήγουμε στην ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, με βάση τον τύπο min h Sk N k 1 k B( L : k 1, Lk ) Obj Fun 58,78 34

7.3 Επαναληπτική Συγκριτική Διαδικασία Επίλυσης Η διαδικασία επίλυσης που παρουσιάστηκε πιο πάνω, αποτέλεσε τη βάση πάνω στην οποία επαναλήφθηκε και συγκρίθηκε οποιαδήποτε μεταβολή επιλέξαμε. Δηλαδή, μεταβάλλοντας οποιονδήποτε παράγοντα θέλαμε (είτε της μεθόδου πρόβλεψης Winters, είτε του μοντέλου βελτιστοποίησης) υπολογίζαμε τις νέες τιμές των αθροιστικών χρόνων, των χρόνων εξυπηρέτησης, των αποθεμάτων, αλλά και της αντικειμενικής συνάρτησης. 7.4 Πίνακας Αποτελεσμάτων Οποιαδήποτε μεταβολή των παραμέτρων της μεθόδου Winters, του μοντέλου βελτιστοποίησης των Schoenmeyr και Graves, καθώς και των χρόνων επεξεργασίας κάθε μηχανής, μαζί με τα αποτελέσματα που αυτή η μεταβολή επέφερε στις αρχικά υπολογισμένες τιμές των μεταβλητών απόφασης, συγκεντρώνονται σε ένα φύλλο του Excel. Ένα απλό παράδειγμα εξηγεί τον τρόπο λειτουργίας του αλγόριθμου που εφαρμόστηκε και επιλύθηκε με τη χρήση μακροεντολών στο Excel. Ο πίνακας των αρχικών τιμών όλων των παραμέτρων που επηρεάζουν τη μέθοδο πρόβλεψης, επίλυσης και βελτιστοποίησης είναι ο παρακάτω : ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΑΡΧΙΚΑ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΖΗΤΗΣΗΣ (d) 50,00 ΣΦΑΛΜΑ (Et) 0,20 ΤΑΣΗ (G) 0,10 ΣΤΑΘΕΡΑ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑΣ (α) 0,20 ΣΤΑΘΕΡΑ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΤΑΣΗΣ (β) 0,10 ΣΤΑΘΕΡΑ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ (γ) 0,10 35

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΑ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ (z) 2,00 ΚΟΣΤΟΣ ΑΠΟΘΥΚΕΥΣΗΣ (h1) 1,00 ΚΟΣΤΟΣ ΑΠΟΘΥΚΕΥΣΗΣ (h2) 1,00 ΚΟΣΤΟΣ ΑΠΟΘΥΚΕΥΣΗΣ (h3) 1,00 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΑ ΧΡΟΝΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ (Τ1) 2,00 ΧΡΟΝΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ (Τ2) 2,00 ΧΡΟΝΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ (Τ3) 2,00 Με βάση τις αρχικές τιμές γίνεται μια πρώτη επίλυση, δηλαδή μια επανάληψη του αλγορίθμου για τις επόμενες 42 περιόδους, η οποία μας δίνει τα εξής αποτελέσματα : ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΑΝΤΙΚ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑ I1 ΑΠΟΘΕΜΑ I2 ΑΠΟΘΕΜΑ I3 ΑΘΡ. ΧΡΟΝΟΣ L1 ΑΘΡ. ΧΡΟΝΟΣ L2 ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΥΠ. S2 ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΥΠ. S3 ΑΡΧΙΚΑ ΑΡΧΙΚΑ ΑΡΧΙΚΑ ΑΡΧΙΚΑ ΑΡΧΙΚΑ ΑΡΧΙΚΑ ΑΡΧΙΚΑ ΑΡΧΙΚΑ 1 58,78 33,63 12,58 12,58 3,00 6,00 1,00 2,00 2 50,72 37,12 6,80 6,80 3,00 6,00 1,00 2,00 3 43,24 36,99 3,13 3,13 3,00 6,00 1,00 2,00 4 76,38 37,14 19,62 19,62 3,00 6,00 1,00 2,00 5 86,87 36,52 25,17 25,17 3,00 6,00 1,00 2,00 6 96,39 32,53 31,93 31,93 3,00 6,00 1,00 2,00 7 78,36 26,29 26,04 26,04 3,00 6,00 1,00 2,00 8 82,97 23,55 29,71 29,71 3,00 6,00 1,00 2,00 9 93,31 28,44 30,10 34,78 3,00 5,00 1,00 1,00 10 103,97 33,61 35,18 35,18 3,00 6,00 1,00 2,00 11 92,40 31,86 30,27 30,27 3,00 6,00 1,00 2,00 12 84,15 29,10 27,52 27,52 3,00 6,00 1,00 2,00 13 78,31 26,53 25,89 25,89 3,00 6,00 1,00 2,00 14 86,38 28,49 28,94 28,94 3,00 6,00 1,00 2,00 15 84,23 33,30 25,46 25,46 3,00 6,00 1,00 2,00 16 95,06 36,40 29,33 29,33 3,00 6,00 1,00 2,00 17 85,92 34,04 25,94 25,94 3,00 6,00 1,00 2,00 18 48,38 27,64 10,37 10,37 3,00 6,00 1,00 2,00 19 48,39 23,22 12,59 12,59 3,00 6,00 1,00 2,00 36