ΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί

ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Πραγματικοί αριθμοί

ΕΙΣΑΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ª ÚÈ ÙÒÚ Ô ÌÂ Û Ó ÓÙ ÛÂÈ Ê ÛÈÎÔ, Î Ú ÈÔ Î È ÚËÙÔ ÚÈıÌÔ. ÙÔ ÙÂÏÂ Ù Ô Â Ì ÂÍÂÙ ÛÂÈ ÙË ÂÎ ÈÎ ÙÔ apple Ú ÛÙ ÛË, Ë ÔappleÔ Ù Ó ÁÓˆÛÙ Û appleï appleâúèô ÈÎ ÌÔÚÊ. Àapple Ú ÂÈ fiìˆ Î È Ó ÏÏÔ Û ÓÔÏÔ ÚÈıÌÒÓ, ÔÈ ÚÚËÙÔÈ, ÙÔ ÔappleÔ Ô ÂÍÂÙ Ô Ì ÛÙÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ Ùfi. È ÚÚËÙÔÈ Ì Ì ÙÔ ÚËÙÔ. Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού. Άρρητοι αριθμοί. Πραγματικοί αριθμοί. Προβλήματα Û ËÌ Ù Ô Ó ÙÔ appleú ÁÌ ÙÈÎÔ ÚÈıÌÔ, ÔÈ ÔappleÔ ÔÈ ÙÔappleÔıÂÙÔ ÓÙ È Ì appleï ÚË ÙÚfiappleÔ apple Óˆ Û ÌÈ Â ıâ appleô ÙËÓ ÔÓÔÌ Ô Ì  ıâ ÙˆÓ appleú ÁÌ ÙÈÎÒÓ ÚÈıÌÒÓ. Ô ÎÂÊ Ï ÈÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÙ È Ì ÙËÓ ÂÊ ÚÌÔÁ appleúôûâáá ÛÂˆÓ ÙˆÓ ÚÚËÙˆÓ ÛÙËÓ Âapple Ï ÛË appleúô ÏËÌ ÙˆÓ.

.. Tετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού ƒ ƒ π Η Πηνελόπη έγινε αρχιτέκτων! Πήρε επιτέλους το δίπλωμά της και γεμάτη όρεξη ρίχνεται στην πρώτη της δουλειά! Πρέπει να χτίσει ένα σπίτι με τετραγωνική βάση σε ένα γωνιακό οικόπεδο. Αφού ρώτησε την Πολεοδομία, πληροφορήθηκε ότι στο συγκεκριμένο οικόπεδο μπορεί κανείς να χτίσει σπίτι εμβαδού m. Ποιο θα πρέπει να είναι το μήκος κάθε πλευράς της τετραγωνικής βάσης του σπιτιού; Λύση νωρίζουμε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου είναι: Ε =. Άρα πρέπει =. ηλαδή, πρέπει να βρούμε έναν αριθμό, του οποίου το τετράγωνο να είναι. ριζικό ή σύμβολο ρίζας a υπόρριζη ποσότητα Μήπως είναι = 0; Τότε όμως = 0 = 00 (θέλει πιο πολύ). Μήπως είναι = 0; Τότε όμως = 0 = 00 (θέλει πιο λίγο). Μήπως είναι = 5; Τότε όμως = 5 = 5 (θέλει λίγο πιο πολύ). Μήπως είναι = 7; Τότε = 7 = (αυτό είναι!). Το σπίτι θα έχει τετραγωνική βάση, πλευράς 7 (m). Ο θετικός αριθμός 7, του οποίου το τετράγωνο ισούται με, ονομάζεται τετραγωνική ρίζα του και συμβολίζεται με. ηλαδή = 7. ενικά: Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με α. Επειδή, 0 = 0, ορίζουμε ως 0 = 0. ια παράδειγμα: = γιατί ( ) = 0,6 = 0, γιατί 0, = 0,6 7,6 =, γιατί, = 7,6 Σχόλια: εν ορίζουμε ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνό του να είναι αρνητικός. ια παράδειγμα η 5 δεν έχει νόημα, γιατί κανένας αριθμός, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δε δίνει αποτέλεσμα 5.

Μέρος Α -.. Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας, προκύπτει ότι: Αν α =, όπου α 0, τότε 0και = α. Αν α 0, τότε ( α ) = α. Σύμφωνα με τα παραπάνω: α) Είναι λάθος να γράψουμε 5 = 5, παρόλο που ( 5) = 5, καθώς 5 < 0. β) Είναι λάθος να γράψουμε ( 5) = 5, καθώς 5 < 0. Το σωστό είναι ( 5) = 5 = 5. º ƒ ª Να βρείτε τους αριθμούς: 5,, 6,. Αν = 5 τότε = 5. Άρα πρέπει να βρούμε ένα θετικό αριθμό του οποίου το τετράγωνο να ισούται με 5. Με δοκιμές βρίσκουμε εύκολα ότι 5 = 5, δηλαδή = 5. Άρα 5 = 5. Ομοίως, βρίσκουμε ότι: = 7 γιατί 7 =, 6 = γιατί = 6, = γιατί =. º ƒ ª Nα υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες: α) 6, β) 0,6, γ) 0,006. α) νωρίζουμε ότι = 6. Άρα 6 =. β) νωρίζουμε ότι (0,) = 0,6. Άρα 0,6 = 0,. γ) νωρίζουμε ότι (0,0) = 0,006. Άρα 0,006 = 0,0. º ƒ ª Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου του διπλανού σχήματος.,5 β Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: β +, =,5 ή β + 7, =,5 ή β =,5 7, ή β =, Επομένως: β =, =, γιατί, =,. º ƒ ª Πόσο απέχει η πόλη Α από την πόλη ; Aπό το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Α έχουμε: Α + Α = ή Α + 5 = 7 ή Α + 5 = ή Α = 5 ή Α = 6 οπότε Α = 6 ή Α = Επομένως, η πόλη Α απέχει km από την πόλη. Α, 5 km 7 km

Μέρος Α -.. Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού ƒø π. ια τους, ισχύει: =. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) β) γ) Ο είναι: Ο είναι: Ισχύει η σχέση: Α θετικός ή μηδέν θετικός ή μηδέν = αρνητικός ή μηδέν αρνητικός ή μηδέν = oποιοσδήποτε αριθμός oποιοσδήποτε αριθμός =. Η εξίσωση = 6 έχει λύσεις: Α: μόνο το B: μόνο το : το και το... Στον διπλανό πίνακα να αντιστοιχίσετε σε κάθε αριθμό της στήλης Α την τετραγωνική του ρίζα που βρίσκεται στη στήλη. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: α) 6 = β) = 6 γ) = δ) 0, = 0, ε) = στ) η 0 δεν υπάρχει ζ) = η) 6+ = 5 θ) 5 = 5 = ι) 00 = 50 ΣΤΗΛΗ Α 6 5 6 ΣΤΗΛΗ 6 5 6 5. Αν είναι ένας θετικός αριθμός, στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Α E. Αν = 5, τότε = 0 = 5 = 5 =,5 η σχέση αυτή είναι αδύνατη. Αν =, τότε = = =,5 = ± η σχέση αυτή είναι αδύνατη. Αν = 6, τότε = = = 56 = η σχέση αυτή είναι αδύνατη. Αν 00 = = 0 = 50 = 00 = ±0 η σχέση αυτή είναι αδύνατη π Να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: α) 6 = β) + = α), 0,, 00. β), 0,0, 00, 0000 γ),,, 00, 0,0 δ),, 00, 6. 5 γ) = δ) ( ) = Να τοποθετήσετε σε κάθε τετράγωνο έναν κατάλληλο αριθμό, ώστε να ισχύει η αντίστοιχη ισότητα.

Μέρος Α -.. Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α) = β) ( ) = 5 γ) + = 6 δ) + = To τετράγωνο ενός θετικού αριθμού, αν αυξηθεί κατά, γίνεται ίσο με το τριπλάσιο του τετραγώνου του αριθμού αυτού. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός; ε) = 0 στ) ( ) + =6 Να αποδείξετε ότι: α) + = β) + + = 0 Στο διπλανό σχήμα να βρείτε το μήκος. 7 γ β γ) 7+ + + = 5 Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά των παρακάτω ορθογωνίων τριγώνων. 6 5 β Nα συγκρίνετε τους α αριθμούς α, α, α, στις παρακάτω δύο περιπτώσεις: α) Αν α > π.χ. α =, α =, α = 6... β) Αν 0<α< π.χ. α=, α=, α=,... 6 Τι παρατηρείτε; 6 7 0 α Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς που ικανοποιούν τις εξισώσεις: α) = β) = 5 γ) = 6 δ) 00 =. Να υπολογίσετε το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου Α του διπλανού σχήματος. γ 7 6 5 Nα υπολογίσετε τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου γηπέδου που έχει διαστάσεις 65 m και 7 m. B,7 ω A,,7 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: α 6 Τι συμπεραίνετε; Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: α 5 β β 6 6 α α Τι συμπεραίνετε; β β α β α β αβ α β Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: α β α β α + β α+β 6 6 6 Τι συμπεραίνετε; π π : ƒòùëû Ó Ó Ì ıëì ÙÈÎfi ÙÔ 0Ô ÈÒÓ applefiûˆó ÂÙÒÓ Â Ó È. Ùfi apple ÓÙËÛ ˆ ÂÍ : «ÙÂÙÚ ÁˆÓÈÎ Ú ÙÔ ÙÔ appleô ÁÂÓÓ ıëî Â Ó È ÎÚÈ Ò ÛË Ì ÙË ÛËÌÂÚÈÓ ÌÔ ËÏÈλ. fiûˆó ÂÙÒÓ Ù Ó, applefiùâ ÁÂÓÓ ıëîâ Î È appleôè ÚÔÓÔ- ÏÔÁ ÁÈÓÂ Ë ÂÚÒÙËÛË; ªappleÔÚ ÙÂ Ó ÏÏ ÍÂÙ ÙË ı ÛË ÂÓfi ÌfiÓÔ Ûapple ÚÙÔ, ÒÛÙÂ Ó appleúôî ÂÈ ÌÈ appleï ÚË ÈÛfiÙËÙ ;

.. Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί Άρρητοι αριθμοί Oι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ο λόγος δύο οποιωνδήποτε μεγεθών μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο φυσικών αριθμών. Στην πεποίθηση αυτή είχαν στηρίξει όλη την κοσμοθεωρία τους και προσπαθούσαν να επιλύσουν προβλήματα από τον πραγματικό κόσμο. Η πρώτη κρίση στα Μαθηματικά εμφανίστηκε όταν, σύμφωνα με την παράδοση, ο Ίππασος ο Μεταπόντιος (50 π.χ. περίπου) «αποκάλυψε» τον «άρρητο». Σύντομα βρέθηκαν και άλλοι άρρητοι αριθμοί. Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (07-5 π.χ.) ήταν αυτός που έβγαλε τους Πυθαγόρειους από την κρίση θεμελιώνοντας ένα μεγάλο μέρος της μελέτης των άρρητων αριθμών. Ας δούμε, όμως, πώς οδηγηθήκαμε στην ύπαρξη των αρρήτων. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς cm και θέλουμε να υπολογίσουμε τη διαγώνιο του τετραγώνου. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: = + =. Στη συνέχεια, οι Πυθαγόρειοι απέδειξαν ότι δεν υπάρχει ρητός μ μ αριθμός, τέτοιος ώστε, =. Αυτό σημαίνει ότι ο δε ν ν μπορεί να είναι ούτε δεκαδικός ούτε περιοδικός δεκαδικός.,,5,,,,5 ενικά: Kάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. ια να προσεγγίσουμε τον αριθμό, παρατηρούμε διαδοχικά ότι: = < < =,6 =, < <,5 =,5, = (,) < < (,) =,06, = (,) < < (,5) =,00,6 = (,) < < (,) =,000, =(,) < < (,) =,0000... ÕÚ : < <, < <,5, < <,, < <,5, < <,, < <,... Στην προηγούμενη παράγραφο συμβολίζαμε με α τον θετικό αριθμό που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α.

6 Μέρος Α -.. Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί Επομένως, τον αριθμό που προσπαθούμε να βρούμε έτσι ώστε =, μπορούμε να τον συμβολίζουμε με, αλλά δεν μπορούμε να τον υπολογίσουμε με ακρίβεια, παρά μόνο προσεγγιστικά. Αφού είναι άρρητος, δε μπορεί να γραφεί ως ρητός ή δεκαδικός με γνωστά ψηφία. Με τους προηγούμενους υπολογισμούς μπορούμε μόνο να προσεγγίσουμε τον ως εξής: ÕÚ : Έχουμε: με προσέγγιση χιλιοστού: =, με προσέγγιση δεκάκις χιλιοστού: =, με προσέγγιση εκατοντάκις χιλιοστού: =, κ.o.κ. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται ρητές προσεγγίσεις του αριθμού. Αποδεικνύεται, επίσης, ότι και οι αριθμοί, 5, 6, 7,, 0,,... είναι άρρητοι. Αργότερα, θα μάθουμε ότι υπάρχουν και άλλοι άρρητοι που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών, όπως ο γνωστός από τη μέτρηση του κύκλου αριθμός π. Σχόλιο: Τις τετραγωνικές ρίζες μπορούμε να τις προσεγγίσουμε με τη βοήθεια ενός μικροϋπολογιστή τσέπης ως εξής: ια να προσεγγίσουμε τον αριθμό, πατάμε διαδοχικά τα πλήκτρα και, οπότε στην οθόνη βλέπουμε τον αριθμό, που είναι μια προσέγγιση του, με έξι δεκαδικά ψηφία. Παλαιότερα, για τον υπολογισμό των ριζών χρησιμοποιούσαμε ειδικούς πίνακες. 0 - - - 0 - - - 0 -,7 -, - - 5 - - 0 π - -,7 -, Πραγματικοί αριθμοί Ας μελετήσουμε όλα τα σύνολα αριθμών που έχουμε συναντήσει. Οι φυσικοί αριθμοί: 0,,,,... παριστάνονται στη διπλανή ευθεία με σημεία. Στην αρχή Ο έχουμε τοποθετήσει το μηδέν (0). Οι ακέραιοι αριθμοί:...,,, 0,,,... παριστάνονται πάλι με σημεία. Τοποθετούμε στα δεξιά της αρχής Ο τους θετικούς ακέραιους αριθμούς και στα αριστερά τους αρνητικούς. Το σύνολο των ρητών αριθμών, δηλαδή των αριθμών που μ μπορούν να γραφούν στη μορφή, όπου μ ακέραιος και ν ν φυσικός αριθμός. Οι ρητοί αριθμοί έχουν γνωστή δεκαδική μορφή και γεμίζουν την ευθεία, αλλά όχι πλήρως. Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται όχι μόνο από τους ρητούς αλλά και όλους τους άρρητους. Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό και αντίστροφα κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας. ια το λόγο αυτό, την ευθεία αυτή την ονομάζουμε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών.

Μέρος Α -.. Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί 7 º ƒ ª Να βρείτε τις ρητές προσεγγίσεις του αριθμού έως και τρία δεκαδικά ψηφία. Με διαδοχικές δοκιμές έχουμε: Επειδή = και = 6 είναι < <. Επειδή (,6) =,6 και (,7) =,6 είναι,6 < <,7. Επειδή (,60) =,60 και (,6) =,0 είναι,60< <,6. Επειδή (,605) =,6 και (,606) =,00 είναι,605< <,606. Άρα η ρητή προσέγγιση του είναι,605. Σχόλιο: ια την ακρίβεια λέμε ότι =,605 με έλλειψη και =,606 με υπερβολή. º ƒ ª Χρησιμοποιήστε ένα μικροϋπολογιστή τσέπης για να βρείτε με προσέγγιση τριών δεκαδικών ψηφίων τις τετραγωνικές ρίζες: α), β) 50, γ) 7, δ) 76, ε) 7. Έχουμε ότι: α) Πατώντας διαδοχικά τα πλήκτρα και στην οθόνη παρουσιάζεται ο αριθμός,7050. Άρα, με προσέγγιση τριών δεκαδικών ψηφίων ισχύει ότι: =,7. β) Ομοίως 50 = 7,07 γ) Ομοίως 7 =,5 δ) Ομοίως 76 = ε) Ομοίως 7 = 0,66 º ƒ ª Nα τοποθετήσετε στην ευθεία των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς:,,,,,,,,6,,,. 5 Μπορούμε να γράψουμε όλους τους αριθμούς σε δεκαδική μορφή χρησιμοποιώντας τις ρητές προσεγγίσεις δύο ψηφίων για τους άρρητους, οπότε έχουμε: - - - - O - -, 5,6, < =,6< <, < < 0 < = 0, < = 0,5 <<<,6<<, 5 º ƒ ª Να κατασκευάσετε γεωμετρικά τον άρρητο αριθμό. Θεωρούμε τον άξονα των πραγματικών αριθμών και στο σημείο φέρνουμε κάθετο τμήμα Α στον άξονα μήκους. Το τρίγωνο ΟΑ που σχηματίζεται είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Μέρος Α -.. Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: Ο = ΟΑ + Α = + = ή Ο =. Με κέντρο το Ο και ακτίνα Ο κατασκευάζουμε κύκλο ο οποίος τέμνει τον άξονα στα σημεία,. - - - Ο Α - - - Ο Α Στο σημείο βρίσκεται ο άρρητος, ενώ στο βρίσκεται ο άρρητος. ƒø π.. Aν τοποθετήσουμε τους αριθμούς στην ευθεία των πραγματικών, να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω ανισώσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ α) <,5 < 5 δ) 0 < < β), < <,5 ε),7 < <, γ) 7 < 5 < στ) < 7 < Στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουμε τοποθετήσει τα σημεία Α,,,, Ε και Ζ. Στις παρακάτω προτάσεις να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. Α B E Ζ - - - - Ο 5 6 α) Ο αριθμός πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο Α Ε β) Ο αριθμός 6 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο Ε Ζ γ) Ο αριθμός πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο Α δ) Ο αριθμός 5 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο Α π Ποιοι από τους επόμενους αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι; α), ( ) β), 5 γ),, Toποθετήστε σε μία σειρά από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς: α) 5, 7,,, β) 5, 7,, γ) +, δ), + Να βρείτε τις ρητές προσεγγίσεις έως 5 6 και δύο δεκαδικά ψηφία των αριθμών: α), β) 5, γ) 7, δ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α) = 0, β) = 5, γ) =, δ) = 7. Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν cm. Να βρείτε με προσέγγιση εκατοστού το μήκος της πλευράς του. Ένα τετράγωνο έχει διαγώνιο cm. Να βρείτε: α) το μήκος της πλευράς του με προσέγγιση δύο δεκαδικών, β) την ακριβή τιμή του εμβαδού του.

.. Προβλήματα Όπως γνωρίζουμε, δε μπορούμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια την τιμή ενός άρρητου αριθμού. Σε διάφορα όμως προβλήματα της πραγματικής ζωής συναντάμε άρρητους αριθμούς για τους οποίους χρησιμοποιούμε ρητές προσεγγίσεις δύο ή τριών δεκαδικών ψηφίων. Πρόβλημα A 0 km km 5 km Κατά τη μετακίνηση από την πόλη Α στην πόλη, μετά στο χωριό και από το χωριό στο χωριό, ο μετρητής του αυτοκινήτου κατέγραψε τις αποστάσεις Α = 0 km, B = km και = 5 km. Ποια είναι η απόσταση από το χωριό στην πόλη Α; Λύση Στο ορθογώνιο τρίγωνο Α από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: Α = Α + ή Α = 0 + ή Α = 56 ή Α = 56 ή Α =,5 (km) με προσέγγιση εκατοστού. ταβάνι Επομένως, Α = Α =,5 5 =,5 (km)., m 0,7 m, m πάτωμα 0 ταβάνι Πρόβλημα Mπορούμε να σηκώσουμε όρθιο το ντουλάπι του διπλανού σχήματος; Λύση Αν η διαγώνιος δ είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με το ύψος, m του δωματίου, τότε μπορούμε να σηκώσουμε όρθιο το ντουλάπι. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: δ =, + 0,7 =, + 0, =,0., m δ Άρα δ=,0=, (m) με προσέγγιση εκατοστού. Επομένως, δε μπορούμε να σηκώσουμε όρθιο το ντουλάπι, γιατί δ >, (m). πάτωμα Πρόβλημα H διαγώνιος της οθόνης της τηλεόρασης είναι 0 ίντσες και οι διαστάσεις της, έχουν λόγο 7 =. Να βρείτε τις διαστάσεις της τηλεόρασης.

50 Μέρος Α -.. Προβλήματα δ=0 ίντσες Λύση Αφού, είναι οι διαστάσεις της οθόνης και 0 ίντσες η διαγώνιος, από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι: + = 0. 7 Από τα δεδομένα έχουμε =, oπότε ( ) 7 = ( ) ή 7 = ή 7 6 = 6 και αντικαθιστώντας στο Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: 7 + = 0 6 ή 6 = 0 ή = 00 ή 00 = ή = 66,0 ή = 5,0 (ίντσες) και = 7 5,0 = 6,55 (ίντσες). Πρόβλημα Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογίσετε τα μήκη, και ω. ω, m Α,5 m m Λύση Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Α έχουμε: Α = Α + ή =, + ή =, =, =,56. Άρα =,56 =,6 (m). Eπίσης = + ή,5 = +,6 ή =,5,6 = 0, (m). Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Α έχουμε: Α = Α + ή ω =, + 0, =, + 0, =,5. Άρα ω =,5 =,5 (m).

Μέρος Α -.. Προβλήματα 5 π Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του σταυρού του σχήματος. To ανάπτυγμα σε χαρτόνι μιας πυραμίδας αποτελείται από το τετράγωνο Α, που η διαγώνιός του είναι 0 cm και τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα που οι ίσες πλευρές τους είναι cm. Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας της πυραμίδας. 0 cm 5 6 ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο Α με πλευρά cm. Αν Ε είναι το μέσο της διαμέσου του Α, να υπολογίσετε το μήκος Ε. ύο πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκος 0 cm και cm αντίστοιχα. Nα βρεθεί η τρίτη πλευρά του, ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο. (Υπόδειξη: Να διακρίνετε δύο περιπτώσεις). Οι κουκκίδες του παρακάτω σχήματος απέχουν cm οριζόντια και κατακόρυφα. α) Να ενώσετε δύο κουκκίδες, ώστε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που σχηματίζεται να είναι: i) cm, ii) 5 cm, iii) cm. A 0 B β) Να ενώσετε τέσσερις κουκκίδες, ώστε να σχηματιστεί ένα τετράγωνο με εμβαδόν: i) cm, ii) 5 cm, iii) cm. cm cm Οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ΚΛΜ είναι Κ(0,), Λ(,), Μ(,0). Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Κ Λ 7 Το σήμα της φωτογραφίας έχει σχήμα ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 60 cm και στηρίζεται σε κολόνα ύψους m. Να βρείτε την απόσταση της κορυφής Κ της πινακίδας από το έδαφος. K! 60 cm m 0 Μ

5 Μέρος Α -.. Προβλήματα Tα βέλη στην άσφαλτο αποτελούνται από ένα κίτρινο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και από ένα κίτρινο ισοσκελές τρίγωνο. Οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 0 cm και, m. Το τρίγωνο έχει βάση 60 cm και ίσες πλευρές, m. Πόσα περίπου τέτοια βέλη μπορούμε να βάψουμε με κιλό κίτρινου χρώματος το οποίο μπορεί να καλύψει επιφάνεια 50 dm ; Oι μπάρες που είναι τοποθετημένες στις δύο άκρες του δρόμου απέχουν μεταξύ τους m. Ένα φορτηγό έχει περίγραμμα ορθογωνίου με μήκος 7,5 m και πλάτος, m. Είναι δυνατόν ο οδηγός του να εκτελέσει ελιγμούς, ώστε το φορτηγό να κάνει αναστροφή; m 7,5 m δ=;, m Επανάληψη Κεφαλαίου Πραγματικοί αριθμοί Tετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ένας θετικός αριθμός ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Συμβολίζεται με α. Ιδιότητες Αν α =, τότε = α, όπου οι αριθμοί α και είναι θετικοί ή ίσοι με μηδέν. Επομένως: ( α ) = α Άρρητοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί, δηλαδή δε μπορούν να μ γραφούν στη μορφή, με μ, ν ακέραιους και ν 0. ν Πραγματικοί αριθμοί ονομάζονται όλοι οι ρητοί και όλοι οι άρρητοι αριθμοί.