ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Η μέτηση της ταχύτητας οής ενός εστού μέσα σε ένα σωλήνα γίνεται με τη σσκεή Prandtl (σωλήνας Pitot) (βλέπε Σχήμα). Η σσκεή ατή αποτελείται από δο πολύ λεπτούς σωλήνες, από τος οποίος, το άνοιγμα το ενός είναι κάθετο στη οή το εστού, ενώ το άνοιγμα το άλλο σωλήνα είναι παάλληλο με τη οή το εστού. Στην πειοχή όπο τοποθετείται η σσκεή Prantdl, ο πώτο σωλήνα μποεί να μετήσει την ολική πίεση p total το εστού, ενώ ο δεύτεο σωλήνας μποεί να μετήσει την αντίστοιχη στατική πίεση p static. Και οι δο σωλήνες μαζί μετούν τη δναμική πίεση το εστού Δp=p dynamic =p total p static. d Δp D Να ποσδιοίσετε τη σχέση με την οποία μποείτε να πολογίσετε την ταχύτητα το εστού μέσα στο σωλήνα σνατήσει της διαφοάς πίεσης Δp, της πκνότητας το γού, της διαμέτο D το σωλήνα και της διαμέτο d το σωλήνα Prandtl. Στα σημεία πο είναι μακιά από το σωλήνα Prandtl η ταχύτητα το εστού είναι ενώ στα σημεία πο πειβάλλον το σωλήνα Prandtl το εστό έχει ταχύτητα. Νόμος Bernoulli μεταξύ των σημείων και : Σημείο : Τα μόια το εστού είναι ακίνητα, =. Η στατική πίεση είναι p Σημείο : Η ταχύτητα των μοίων είναι και η στατική πίεση είναι p. Α Α Δp d D Τα Σημεία και θα μποούσαν να είναι στο ίδιο οιζόντιο επίπεδο, οπότε η δοστατική πίεση λόγω ψομετικής διαφοάς είναι μηδέν. Εξίσωση Bernoulli: p + + gy = p + + gy () Η σσκεή Prantdl μετά τη διαφοά των στατικών πιέσεων μεταξύ των σημείων και : Δp = p p Οπότε, η Εξίσωση γίνεται: p p = Δp = () Νόμος Σνεχείας μεταξύ των διατομών Α και Α : Α = Α όπο: Α = πd και οπότε η εξίσωση σνεχείας γίνεται: Α = πd πd = π (D d ) (3)

πd = π (D d ) = D D d () Από τις Εξισώσεις και ποκύπτει και η ζητούμενη σχέση πολογισμού της ταχύτητα το εστού: D Δp = ( D d ) = Δp (D d D ) ΑΣΚΗΣΗ Στον πθμένα μιας πολύ μεγάλης δεξαμενής πάχει οπή πο έχει διάμετο D=, cm. Η δεξαμενή πειέχει νεό μέχι το ύψος H=, m. Δεδομένο ότι η πκνότητα το νεού είναι ίση με =, g/cm 3 να πολογίσετε τη διάμετο d της στήλης νεού πο εκέει από τη οπή σε απόσταση h=,5 m από το σημείο εκοής. Η επιτάχνση της βαύτητας είναι g=9,8 m/s. Από το γεγονός ότι η διάμετο D της οπής είναι πολλές φοές μικότεη από τη διάμετο της δεξαμενής ποκύπτει ότι για μεγάλο χονικό διάστημα η ελεύθεη στάθμη το νεού μέσα στη δεξαμενή δεν κατέχεται. Η Νόμος Bernoulli μεταξύ θέσεων και : Στη θέση η ταχύτητα το νεού είναι πακτικά = και η στατική πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Στη θέση η ταχύτητα το νεού είναι και η στατική πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Μεταξύ θέσεων και η ψομετική διαφοά είναι Η. 3 d h p + gη = p + gη = = gh () Νόμος Bernoulli μεταξύ θέσεων και 3: Στη θέση η ταχύτητα το νεού είναι πακτικά και η στατική πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Στη θέση 3 η ταχύτητα το νεού είναι 3 και η στατική πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Μεταξύ θέσεων και 3 η ψομετική διαφοά είναι h. p + + gh = p + 3 = 3 () + gh = 3 + gh Από τις Εξισώσεις και βίσκομε τη σχέση με την οποία μποούμε να πολογίσομε την ταχύτητα 3 στη θέση 3: 3 = gh + gh 3 = g(h + h) (3) Νόμος Σνεχείας μεταξύ των διατομών και 3: Έστω ότι Α και Α 3 είναι οι επιφάνειες των διατομών της οπής (θέση ) και της στήλης νεού στη θέση 3:

Α = Α 3 3 () όπο Α = πd και Α 3 = πd (5) Οπότε, από τις Εξισώσεις, 3, και 5 παίνομε: πd gh = πd g(h + h) d = D H H + h d = D ( H H + h ), m d = (, m) (,m +,5m ) d =,73 m ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια κλινδική δεξαμενή με διάμετο βάσης D=, m πειέχει νεό μέχι σε ύψος H=, m. Στον πθμένα της δεξαμενής πάχει ελεγχόμενη κκλική οπή εκοής το νεού η οποία έχει διάμετο d=5, cm. Ανοίγετε την οπή εκοής και το νεό εξέχεται ελεύθεα. Να πολογίσετε το χονικό διάστημα πο απαιτείται για να αδειάσει η δεξαμενή. (δίνεται η επιτάχνση της βαύτητας, g=9,8 m/s ). Τη χονική στιγμή t η ελεύθεη στάθμη το z νεού μέσα στη δεξαμενή είναι στη θέση και η στήλη το νεού έχει ύψος z. Στη θέση η ταχύτητα το νεού είναι και η z= στατική πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Στη θέση η ταχύτητα το νεού είναι και η στατική πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Μεταξύ των θέσεων και η ψομετική διαφοά είναι ίση με z. Η Νόμος Bernoulli μεταξύ των θέσεων και : p + + gz = p + + gz = () Νόμος Σνεχείας μεταξύ θέσεων και : Έστω ότι Α και Α είναι οι επιφάνειες των διατομών της δεξαμενής (θέση ) και της οπής (θέση 3): Α = Α () όπο Α = πd και Α = πd (3) Οπότε από την Εξίσωση βίσκομε την ταχύτητα : πd = πd = D d () Από τις Εξισώσεις και παίνομε:

+ gz = D d D d gz = gz = D (5) d Δεδομένο ότι: D d =, m,5 m = D d = 56 > D d = D d Οπότε η Εξίσωση 5 γίνεται: = d D gz (6) Η ταχύτητα είναι ίση με το θμό με τον οποίο κατέχεται η ελεύθεη στάθμη το νεού: = dz (7) dt Το ανητικό πόσημο ποκύπτει από το γεγονός ότι το ύψος z της στήλης νεού μέσα στη δεξαμενή μειώνεται όσο ο χόνος αξάνεται. Από τις Εξισώσεις 6 και 7 παίνομε: dz dt = d D gz = d g D z z dz H = d g D t [ z + dz z = d g D dt dz + ] H H z = d g D t = d g t D dt H = d g D t t = D d H g t = D d H g t = (, m) m) (, t = s t = 7 min (,5 m) 9,8 m/s ΑΣΚΗΣΗ Δο ακιβώς ίδιες πααλληλεπίπεδες δεξαμενές, οι οποίες έχον μήκος β=, m και πλάτος γ=5, m, διαχωίζονται με ένα κατακόφο τοίχωμα στη βάση το οποίο πάχει πύλη εκοής νεού πο έχει ύψος δ=5, cm, εκτείνεται σε όλο το πλάτος το τοιχώματος και το οποίο μποεί να ανοίγει και να κλείνει ατόματα. Αχικά, η μια από τις δο δεξαμενές είναι γεμάτη με νεό μέχι το ύψος Η =5, m, ενώ η δεύτεη δεξαμενή είναι άδεια. Τη χονική στιγμή t= s η πύλη εκοής ανοίγει απότομα και το νεό έει από τη δεξαμενή () στη δεξαμενή (). Με την ποϋπόθεση ότι δ<<h, να πολογίσετε το χονικό διάστημα T στο οποίο οι επιφάνειες το νεού και στις δο δεξαμενές φθάνον στο ίδιο οιζόντιο επίπεδο. Δίνονται: πκνότητα νεού =, g/cm 3 και η επιτάχνση βαύτητας g=9,8 m/s.

β t= s γ β t () () Η h δ z z 3 z= Την τχαία χονική στιγμή t: Η ελεύθεη επιφάνεια το νεού στη δεξαμενή () βίσκεται σε ύψος z και κατέχεται με ταχύτητα: = dz dt Η ελεύθεη επιφάνεια το νεού στη δεξαμενή () βίσκεται σε ύψος z και ανέχεται με ταχύτητα: = dz dt Επειδή οι οιζόντιες διατομές των δεξαμενών είναι ίσες, οι ταχύτητες και είναι ίσες και αντίθετες: = = dz dt = dz () dt Η απόσταση h μεταξύ των δο ελεύθεων επιφανειών νεού είναι ίση με: h = z z () Από τις Εξισώσεις και ποκύπτει ότι η σχετική ταχύτητα με την οποία πλησιάζον οι δο ελεύθεες επιφάνειες νεού θα είναι ίση με: dh dt = d(z z ) = dz dt dt dz dt dh dt = dz dt = = dh dt < (3) Νόμος Bernoulli μεταξύ των επιφανειών και 3: Το ύψος δ της πύλης εκοής είναι πολλές φοές μικότεο από το ύψος των ελεύθεων επιφανειών νεού μέσα στις δο δεξαμενές. Ατό σημαίνει ότι όλα τα σημεία της πύλης εκοής θα είσκονται πακτικά στη θέση z=, θα φίστανται την ίδια στατική πίεση p 3 και η ταχύτητα των μοίων το νεού στα σημεία ατά θα είναι η ίδια και ίση με 3. Η ελεύθεη επιφάνεια το νεού στην αιστεή δεξαμενή (επιφάνεια ) είναι σε ψομετική διαφοά z σε σχέση με την πύλη εκοής (επιφάνεια 3), φίσταται την ατμοσφαιική πίεση p και κατέχεται με ταχύτητα. Οπότε, η εξίσωση Bernoulli γάφεται:

p + + gz = p 3 + 3 () Νόμος Σνεχείας μεταξύ των επιφανειών και 3: Α = Α 3 3 βγ = δγ 3 3 = β δ (5) Επειδή δ,5 m = β 5, m =, 3 (6) Σύμφωνα με τη Σχέση (6), η εξίσωση Bernoulli (Εξίσωση ) γίνεται: p + gz = p 3 + 3 (7) Στη δεξιά δεξαμενή, η επιφάνεια 3 είναι σε βάθος z και η στατική πίεση είναι ίση με την δοστατική: p 3 = p + gz (8) Από τις εξισώσεις 7 και 8 παίνομε: p + gz = p + gz + 3 gz = gz + 3 g(z z ) = 3 (9) Από τις Εξισώσεις, 3, 5 και 9 έχομε: g(z z ) = (β δ ) gh = 8 (β δ ) ( dh dt ) dh dt = δ β 8gh = δ β δ g gh = h dt = β β ( dh dt ) = ( δ β ) 8gh dh δ g h Το ανητικό πόσημο μπήκε επειδή η παάγωγος (dh/dt)< (το διάστημα h μειώνεται με το χόνο). Τα χονική στιγμή t= όλο το νεό βίσκεται στην αιστεή δεξαμενή οπότε h = H. Τα χονική στιγμή t = Τ οι ελεύθεες στάθμες το νεού και στις δο δεξαμενές βίσκονται στο ίδιο οιζόντιο επίπεδο, οπότε h =. Ολοκληώνοντας την Εξίσωση στο χονικό διάστημα (, T) παίνομε: T dt = β δ g dh = β H δ g h dh T H h = β δ g [ h + + ] H () T = β δ g H T = β δ H g () T =, m,5 m 5, m (9,8 m s ) T = s

ΑΣΚΗΣΗ 5 Ένα κλινδικό δοχείο πο έχει ύψος L=8, cm και διάμετο D=, cm είναι γεμάτο με πετέλαιο το οποίο έχει πκνότητα =,8 g/cm 3. Το στόμιο το σωλήνα με το πετέλαιο φάσσεται ποσωινά για να αναταπεί και να τοποθετηθεί ποσεκτικά μέσα σε μια δεξαμενή νεού απείων διαστάσεων έτσι ώστε ο πθμένας το σωλήνα να βίσκεται στην επιφάνεια το νεού της δεξαμενής. Τη χονική στιγμή t= s ανοίγομε μια κκλική οπή με διάμετο d=, cm στον πθμένα το σωλήνα. Επειδή η πκνότητα το πετελαίο είναι μικότεη από τη πκνότητα το νεού, το νεό θα αχίσει να εισέει στο σωλήνα με αποτέλεσμα, το πετέλαιο να σμπιέζεται πος τα πάνω και τελικά να εκέει από τη μική οπή πο βίσκεται στον πθμένα το σωλήνα. Να πολογίσετε το χονικό διάστημα πο απαιτείται για να φύγει όλο το πετέλαιο δια μέσο της μική οπή. Δίνονται: πκνότητα νεού =, g/cm 3 και η επιτάχνση βαύτητας g=9,8 m/s. d t = t > ν L z D z= Σε μια τχαία χονική στιγμή t, το νεό έχει εκτοπίσει την κάτω επιφάνεια της στήλης πετελαίο κατά διάστημα z. Τη χονική ατή στιγμή, η κάτω επιφάνεια της στήλης το πετελαίο μέσα στο σωλήνα ανέχεται με ταχύτητα και τατόχονα το πετέλαιο εξέχεται από την οπή με ταχύτητα. Νόμος Σνεχείας μεταξύ των επιφανειών και : Α = Α πd Νόμος Bernoulli μεταξύ των σημείων και : = πd = D d () Η επιφάνεια φίσταται στατική πίεση p, βίσκεται σε ύψος z ως πος το κάτω άκο το σωλήνα και ανέχεται με ταχύτητα. Στην επιφάνεια (επιφάνεια οπής) το πετέλαιο πο εξέχεται στην ατμόσφαια φίσταται στατική πίεση ίση με την ατμοσφαιική πίεση p, βίσκεται σε ύψος L ως πος το κάτω άκο το σωλήνα και το πετέλαιο εξέχεται με ταχύτητα. Οπότε, η εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων και γάφεται: p + + gz = p + + gl Από την Εξίσωση ποκύπτει ότι >> (δεδομένο ότι D>>d). Οπότε η εξίσωση Bernoulli γάφεται: L

p + gz = p + + gl () Η διαχωιστική επιφάνεια (μεταξύ πετελαίο και νεού) βίσκεται σε βάθος (L z), οπότε εκατέωθεν της επιφάνεια ατής η πίεση p θα είναι η ίδια και ίση με την δοστατική πίεση πο ασκεί το νεό στο βάθος ατό: p = p + ν g(l z) (3) Η Εξίσωση σε σνδασμό με τις Εξισώσεις και 3 γάφεται: p + ν g(l z) + gz = p + ( D d ) + gl D π d = ν g(l z) + gz gl = ν g(l z) g(l z) = g( ν )(L z) = d D g( ν ) (L z) = d D g( ν ) L z () Η ταχύτητα είναι ίση με το θμό πο αξάνεται η απόσταση z της διαχωιστικής επιφάνειας από το κάτω άκο το σωλήνα. Σγκεκιμένα: = dz. Οπότε η Εξίσωση γάφεται: dz dt = d D g( ν ) d(z L) L z = d dt D g( ν ) L z dt d(z L) L z L z = d D g( ν ) dt L = d D g( ν ) t t=t t= z=l z= d(z L) L z = d D g( ν ) T dt ( L L L ) = d D g( ν ) (T ) L = d D g( ν ) T T = D d g( ν ) L T = D d L ν g (, cm) T = (, cm),8 gr/cm 3 (, gr cm 3 ) (,8 gr cm 3 ) (8, cm) T = 8, s cm/s

ΑΣΚΗΣΗ 6 Μια κατασκεή όμοια με θεμοκήπιο καλύπτει μια έκταση πολλών στεμμάτων. Στο κέντο της κατασκεή πάχει κατακόφη η οποία έχει ύψος H= m. Η κατασκεή ατή ονομάζεται ηλιακή καμινάδα. Ζεστός αέα θεμοκασίας T =35 K εξέχεται στην ατμόσφαια μέσω της καμινάδας. Η εξωτεική θεμοκασία (θεμοκασία πειβάλλοντος) είναι T =9 K. Να πολογίσετε την ταχύτητα με την οποία εξέχεται ο αέας από την καμινάδα λαμβάνοντας πόψη στος πολογισμούς σας τη σμπιεστότητα το αέα. Δίνεται η καταστατική εξίσωση των αείων: pv = nrt όπο p, V και Τ είναι η πίεση, ο όγκος και η θεμοκασία το αέα, αντίστοιχα. Το n είναι ο αιθμός των γαμμομοίων το αέα, n=m/m (m είναι μάζα το αέα και Μ9 g είναι η γαμμομοιακή μάζα το αέα). Η επιτάχνση της βαύτητας g=9,8 m/s. Στο επίπεδο : Η πίεση εντός και εκτός το θεμοκηπίο είναι p. Η θεμοκασία εντός το «θεμοκηπίο» είναι T in =35 K ενώ η θεμοκασία έξω από το θεμοκήπιο είναι T out =9 K. Η ταχύτητα το αέα εντός και εκτός της καμινάδας είναι =. Στο επίπεδο : Η πίεση εντός και εκτός της καμινάδας είναι p. Η θεμοκασία εντός της καμινάδας είναι T in =35 K ενώ η θεμοκασία έξω από την καμινάδα είναι T out =9 K. Η ταχύτητα εντός της καμινάδας είναι (ζητούμενη) και εκτός της καμινάδας είναι =. Επειδή ο αέας είναι σμπιεστός και επειδή η πίεση μέσα στην ηλιακή καμινάδα μεταβάλλεται από την τιμή p (στη βάση της p, T out, = p, T out, = p, T in, = καμινάδας) στην τιμή p (στην κοφή της καμινάδας), η πκνότητα το αέα δεν είναι σταθεή αλλά αντίθετα μεταβάλλεται με την απόσταση z από τη βάση της καμινάδας. Σνεπώς, στην πείπτωση της ηλιακής καμινάδας δεν μποούμε να χησιμοποιήσομε τος νόμος της σνεχείας και Bernoulli μεταξύ σημείων το εσωτεικού της καμινάδας πο απέχον μεγάλη απόσταση μεταξύ τος. Αντίθετα, αν διαιέσομε την καμινάδα σε στοιχειώδης όγκος πο έχον στοιχειώδες ύψος dz,τότε μποούμε να δεχτούμε ότι η πκνότητα το αέα μέσα στο στοιχειώδη ατό όγκο είναι σταθεή. Σε ατή τη στοιχειώδη μετατόπιση dz μποούμε να εφαμόσομε το νόμο το Bernoulli. Σγκεκιμένα: Στο ύψος z ως σημείο αναφοάς: Η στατική πίεση είναι p, η ταχύτητα το αέα είναι και η πίεση λόγω ψομετικής διαφοάς είναι μηδέν. Στο ύψος z+dz: Η στατική πίεση είναι p+dp, η ταχύτητα το αέα είναι +d και η πίεση λόγω ψομετικής διαφοάς ως πος το σημείο αναφοάς είναι g dz. Οπότε ο νόμος το Bernoulli κατά μήκος της στοιχειώδος μετατόπισης dz γάφεται: p T in () () dz z H p + = p + dp + ( + d) + g dz = dp + + d + (d) + g dz dp + d( ) + g dz = ()

Ο παάγοντας (d) διαγάφηκε ως μια πεβολικά πολύ μική ποσότητα (είναι το τετάγωνο απειοστής ποσότητας). Για να είναι εύχηστη η Εξίσωση θα πέπει να απαλείψομε την πκνότητα το αέα. Για το σκοπό ατό χησιμοποιούμε την καταστατική εξίσωση των αείων την οποία τοποποιούμε ως εξής: pv = nrt = m M RT p = m V RT M RT p = M = M p () RT όπο θέσαμε αιθμός γαμμομοίων n=(m/m), όπο M9 g είναι η γαμμομοιακή μάζα το αέα, και πκνότητα το αέα =(m/v). Εντός της καμινάδας, όπο T=T in, η Εξίσωση γάφεται: = M RT in p (3) Αντικαθιστούμε την Εξίσωση 3 στην Εξίσωση και έχομε: dp + M RT p d( ) + g dz = in RT in M dp p + d( ) + g dz = () Η ολοκλήωση της Εξίσωση γίνεται, για την πίεση στο διάστημα από p έως p, για την ταχύτητα στο διάστημα από = έως (το ζητούμενο) και για το ύψος από την τιμή z = έως z = H. Επειδή η Εξίσωση είναι ίση με μηδέν, ως διαφοικό μια σνάτησης, το οισμένο ολοκλήωμα της εξίσωσης ατής θα είναι επίσης ίσο με μηδέν. Σγκεκιμένα: RT in p M dp + p p d( ) = z=h + g dz z= RT in M ln p p + + gh = (5) = p RT in M ln p + p + g z H = Ακολοθούμε την ίδια διαδικασία στον αέα έξω από την καμινάδα για να βούμε μια εξίσωση πο είναι αντίστοιχη της Εξίσωσης. Στο ίδιο ύψος z η στατική πίεση είναι p, η ταχύτητα το αέα είναι = και η πίεση λόγω ψομετικής διαφοάς ως πος τη θέση ατή είναι μηδέν. Αντίστοιχα στο ύψος z+dz, η στατική πίεση είναι p+dp, η ταχύτητα το αέα είναι = και η πίεση λόγω ψομετικής διαφοάς ως πος το ποηγούμενο σημείο είναι g dz. Οπότε ο νόμος το Bernoulli κατά μήκος της στοιχειώδος μετατόπισης dz γάφεται: p = p + dp + g dz dp + gdz = (6) Εκτός της καμινάδας, όπο T=T out, η εξίσωση γάφεται: = M RT out p (7) Αντικαθιστούμε την εξίσωση 7 στην Εξίσωση 6 και έχομε: dp + g dz = M RT p out RT out M dp p + g dz = (8) Η ολοκλήωση της Εξίσωση 8 γίνεται, για την πίεση στο διάστημα από p έως p και για το ύψος από την τιμή z = έως z = H. Επειδή η Εξίσωση 8 είναι ίση με μηδέν, ως διαφοικό μια σνάτησης, το οισμένο ολοκλήωμα της εξίσωσης ατής θα είναι επίσης ίσο με μηδέν. Σγκεκιμένα: RT out p z=h M dp + g dz = p p z= p RT out M ln p + g z p H =

RT out M ln p p + gh = Από τις Εξισώσεις 9 και 5 παίνομε: RT out M ln p p = gh R M ln p p = gh T out (9) gh T in T out + + gh = = gh T in T out gh = gh ( T in T out ) = gh ( T in T out ) 35 K = (9,8 m s )( m) ( 9 K ) =, m s ή = 7,5 km/h ΑΣΚΗΣΗ 7 Ένας οιζόντιος σωλήνας πο έχει διατομή A =, m διακλαδίζεται σε δο άλλος οιζόντιος σωλήνες από τος οποίος ο ένας έχει διατομή A =,3 m και ο άλλος A 3 =,7 m. Το νεό έει από τον αχικό σωλήνα και εκέει ελεύθεα στον αέα από τα άκα των σωλήνων της διακλάδωσης. Για την μέτηση της πίεσης p στον κεντικό σωλήνα, στο σωλήνα ατό έχει ποσαμοστεί ένας σωλήνας σε σχήμα U μέσα στον οποίο πάχει δάγος. Το άνοιγμα το αιστεού άκο το σωλήνα U είναι σε άμεση επικοινωνία με το γό πο έει στον κεντικό σωλήνα, οπότε η αιστεή ελεύθεη επιφάνεια το δαγύο να φίσταται την πίεση p το εστού. Το δεξιό ανοιχτό άκο το σωλήνα είναι σε άμεση επικοινωνία με τον ατμοσφαιικό αέα και ως εκ τούτο η δεξιά ελεύθεη επιφάνεια το δαγύο να φίσταται την ατμοσφαιική πίεση p. Επειδή η πίεση p μέσα στον κεντικό σωλήνα είναι μεγαλύτεη από την ατμοσφαιική πίεση p, ο δάγος μέσα στο σωλήνα U ισοοπεί έτσι ώστε η δεξιά ελεύθεη στάθμη να είναι πιο ψηλά από την αντίστοιχη αιστεή στάθμη κατά ένα διάστημα h = 7,5 cm. Να πολογίσετε τις ταχύτητες, και 3 το εστού στον κεντικό σωλήνα και στος σωλήνες πο διακλαδίζονται, αντίστοιχα. Η ατμοσφαιική πίεση είναι p =,3x 5 Pa, η επιτάχνση της βαύτητας είναι g=9,8 m/s και η πκνότητα το δαγύο είναι Hg = 3,6 g/cm 3 = 36 kg/m 3. (3) A 3 =,7 m p 3 =p z 3 = m A =, m p =????? z = m () p p h=7,5 cm () A =,3 m p =p z = m Στο Σχήμα φαίνονται οι σνθήκες πο επικατούν στον κεντικό σωλήνα και στις εξόδος των σωλήνων και 3. Η μέτηση της πίεσης p στον κεντικό σωλήνα γίνεται έμμεσα μέσω της ψομετικής διαφοάς των επιφανειών το δαγύο μέσα στο σωλήνα U. Στο αιστεό σκέλος το σωλήνα U η στατική πίεση είναι ίση με την στατική πίεση p το εστού μέσα στον κεντικό

σωλήνα. Το δεξιό σκέλος το σωλήνα είναι ανοικτό οπότε η πίεση στην επιφάνεια το δαγύο είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Από τη διάταξη μέτησης της πίεσης ποκύπτει ότι: p = p + Hg gh p = 3 Pa + (36 kg m )(9,8 m s )(,75 m) p = 3 Pa Νόμος Σνεχείας μεταξύ κεντικού σωλήνα και σωλήνων και 3: Η παοχή στον κεντικό σωλήνα είναι ίση με το άθοισμα των παοχών στος σωλήνες και 3: Α = Α + Α 3 3 () Νόμος Bernoulli κατά μήκος της εματικής γαμμής : p + = p + = (p p ) + () Νόμος Bernoulli κατά μήκος της εματικής γαμμής 3: p + = p + 3 3 = (p p ) + (3) Από τις Εξισώσεις και 3 ποκύπτει ότι = 3. Οπότε η Εξίσωση μποεί να γαφεί: Α = (Α + Α 3 ) = (Α + Α 3 ) 3 = 3 = Α (Α + Α 3 ) () Από τις Εξισώσεις και μποούμε να πολογίσομε την ταχύτητα : Α (Α + Α 3 ) = (p p ) + Α (Α + Α 3 ) = (p p ) Α ( (Α + Α 3 ) ) = (p p ) = (p p ) Α (Α + Α 3 ) = (3Pa 3 Pa) kg/m Από την Εξίσωση παίνομε: = 3 = (, m ) (,3 m +,7 m ) =,58 m/s Α (Α + Α 3 ), m =,3 m,58 m s +,7 m = 3 = 5,6 m/s ΑΣΚΗΣΗ 8 Σε ένα δίκτο ύδεσης ένας οιζόντιος σωλήνας πο έχει ακτίνα R =7,8 cm διακλαδίζεται σε δο σωλήνες από τος οποίος, ο ένας έχει ακτίνα R =9,8 cm και βίσκεται στο ίδιο οιζόντιο επίπεδο με τον αχικό σωλήνα ενώ ο δεύτεος σωλήνας έχει ακτίνα R 3 =,5 cm και βίσκεται σε οιζόντιο επίπεδο πο απέχει από το οιζόντιο επίπεδο το αχικού σωλήνα απόσταση z 3 =, m (βλέπε παακάτω σχήμα). Θεωούμε ότι το νεό πο έει μέσα στος σωλήνες σμπειφέεται ως ιδανικό εστό. Έχοντας ως δεδομένα ότι η παοχή νεού και η δοστατική πίεση στον αχικό σωλήνα (με ακτίνα R ) είναι Q =, m 3 /s και p =3 kpa, αντίστοιχα και επί πλέον ότι η ταχύτητα οής το νεού στο σωλήνα με ακτίνα R είναι =, m/s, να πολογίσετε τις δοστατικές πιέσεις p και p 3 στος αντίστοιχος σωλήνες. (g =9,8 m/s ).

(3) R 3 =,5 cm 3 =??? p 3 =??? z 3 =, m Q =, m 3 /s R =7,8 cm p =3 kpa z = m () () R =9,8 cm =, m/s p =??? z = m Στο Σχήμα φαίνονται οι σνθήκες πο επικατούν στο εσωτεικό το κεντικού σωλήνα και στο εσωτεικό των σωλήνων και 3. Αχικά βίσκομε τις ταχύτητες το νεού στος σωλήνες και 3: Q = Α = Q Α = Q πr =, m3 /s 3,(,78 m) =, m/s Νόμος Σνεχείας μεταξύ το σωλήνα και των σωλήνων και 3: Σμβολίζομε με Q και Q 3 τις παοχές στος σωλήνες και 3. Q = Q + Q 3 Q = A + Α 3 3 3 = Q A Α 3 () όπο: Α = πr και A 3 = πr 3 Οπότε, από την Εξίσωση παίνομε: 3 = Q πr = (, m3 s) 3,(,98 m) (, m s) πr 3 3,(,5 m) 3 = 6,7 m/s Για να πολογίσομε τις στατικές πιέσεις μέσα στος σωλήνες και 3 εφαμόζομε το νόμο το Bernoulli κατά μήκος των εματικών γαμμών () () και () (3). Για την εφαμογή το νόμο ατού οίζομε ως επίπεδο αναφοάς το οιζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο βίσκονται οι σωλήνες και. Κατόπιν τούτο, μόνο στο σωλήνα 3 πάχει πίεση gz 3 λόγω ψομετικής διαφοάς. Νόμος Bernoulli κατά μήκος της εματικής γαμμής () (): p + = p + p = p + p = p + ( ) p = (3 Pa) + ( kg m3)[(, m) (, m) ] p = 53 Pa Νόμος Bernoulli κατά μήκος της εματικής γαμμής () (3): p + = p 3 + 3 + gz 3 p 3 = p + 3 gz 3 p 3 = p + ( 3 gz 3 ) p 3 = (3 Pa) + ( kg m3)[(, m) (6,7 m) (9,8 m s )(, m)] p 3 = 356 Pa p 3 = Pa

ΑΣΚΗΣΗ 9 Μια οικία αποτελείται από ένα ισόγειο πο σμβολίζομε με (), ένα πώτο όοφο πο σμβολίζομε με (3) και ένα πόγειο πο σμβολίζομε με (). Και οι τεις ατοί όοφοι της οικίας έχον ύψος h=, m. Το δίκτο ύδεσης πο τοφοδοτεί τη σγκεκιμένη οικία βίσκεται σε βάθος h =, m μέσα στη γη και διακλαδίζεται σε κάθε όοφο όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Η βύση σε κάθε όοφο έχει άνοιγμα εκοής με διάμετο d =,5 cm και απέχει απόσταση h =, m από το αντίστοιχο πάτωμα. Να πολογίσετε την παοχή Q με την οποία εταιεία ύδεσης πέπει να τοφοδοτήσει την οικία, στην πείπτωση πο, όταν και οι τεις βύσες είναι ανοιχτές, η παοχή της βύσης το οόφο (3) είναι ίση με Q 3 = 7,95x m 3 /s. Δίνονται: H επιτάχνση βαύτητας g = 9,8 m/s και η πκνότητα το νεού = kg/m 3. Το νεό μέσα στος σωλήνες ύδεσης να θεωηθεί ως ιδανικό. (3) () () Στο διπλανό σχήμα αποτπώνονται όλα τα στοιχεία της άσκησης. Το εμβαδό της εξόδο κάθε βύσης είναι: Α β = πd = 3,(,5m) Α β =,77 m (3) p Q 3 3 h h Υπολογίζομε πώτα την ταχύτητα 3 το νεού στη βύση το οόφο 3: Q 3 = Α β 3 3 = Q 3 A β 3 = (7,95 m 3 s),77 m 3 =,9 m/s z= z 3 z h z () () p Q h p Q h h p Q (α) Για την εφαμογή το νόμο το Bernoulli θεωούμε ως επίπεδο αναφοάς το οιζόντιο επίπεδο στο οποίο βίσκεται ο κεντικό σωλήνα ύδεσης. Η στατική πίεση και η ταχύτητα το νεού στον κεντικό σωλήνα ύδεσης είναι αντίστοιχα p και. Εφαμογή Νόμο Bernoulli μεταξύ κεντικού αγωγού ύδεσης και βύσης οόφο 3: Επειδή η βύση το οόφο 3 είναι ανοιχτή, η στατική πίεση στην έξοδό της είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Σμβολίζομε με 3 την ταχύτητα με την οποία έει το νεό στη βύση ατή και με z 3 την ψομετική διαφοά μεταξύ της εξόδο της βύσης το οόφο 3 και το επιπέδο αναφοάς. Από το Σχήμα της άσκησης ποκύπτει ότι: z 3 = h + h + h =,m +,m +,m z 3 = 6, m () Οπότε, η εξίσωση Bernoulli γάφεται: p + = p + 3 + gz 3 ()

Εφαμογή Νόμο Bernoulli μεταξύ κεντικού αγωγού ύδεσης και βύσης οόφο : Επειδή η βύση το οόφο είναι ανοιχτή, η στατική πίεση στην έξοδό της είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Σμβολίζομε με την ταχύτητα με την οποία έει το νεό στη βύση ατή και με z την ψομετική διαφοά μεταξύ της εξόδο της βύσης το οόφο και το επιπέδο αναφοάς. Από το Σχήμα της άσκησης ποκύπτει ότι: z = h + h =,m +,m z =, m (3) Οπότε, η εξίσωση Bernoulli γάφεται: p + = p + + gz () Οι Εξισώσεις και έχον τα πώτα μέλη ίσα, οπότε και τα δεύτεα μέλη θα είναι ίσα. Λαμβάνοντας π όψη και τις ισότητες και 3, παίνομε: p + + gz = p + 3 + gz 3 = 3 + gz 3 gz = 3 + g(z 3 z ) = (,9m s) + (9,8m s )(6,m,m) = 9,93 m/s Η παοχή της βύσης το οόφο είναι ίση με: Q = Α β = (,77 m )(9,93 m s ) Q = 7,6 m 3 s (5) Εφαμογή Νόμο Bernoulli μεταξύ κεντικού αγωγού ύδεσης και βύσης οόφο : Επειδή η βύση το οόφο είναι ανοιχτή, η στατική πίεση στην έξοδό της είναι ίση με την ατμοσφαιική πίεση p. Σμβολίζομε με την ταχύτητα με την οποία έει το νεό στη βύση ατή και με z την ψομετική διαφοά μεταξύ της εξόδο της βύσης το οόφο και το επιπέδο αναφοάς. Από το Σχήμα της άσκησης ποκύπτει ότι: z = h ( h ) = 3,m +,m z =,9 m (6) Οπότε, η εξίσωση Bernoulli γάφεται: p + = p + + gz (7) Οι Εξισώσεις και 7 έχον τα πώτα μέλη ίσα, οπότε και τα δεύτεα μέλη θα είναι ίσα. Λαμβάνοντας π όψη και τις ισότητες και 5, παίνομε: p + + gz = p + 3 + gz 3 = 3 + gz 3 gz = 3 + g(z 3 z ) = (,9m s) + (9,8m s )(6,m (,9m)) = 3,3 m/s Η παοχή της βύσης το οόφο είναι ίση με: Q = Α β = (,77 m )(3,3 m s ) Q =, m 3 s (8) Η σνολική παοχή Q το κεντικού σωλήνας της ύδεσης πέπει να είναι ίση με: Q = Q + Q + Q 3 = (7,95 m 3 s) + (7,6 m 3 s) + (, m 3 s) Q = 9,6 m 3 s (9)