ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ 1. Βασικά Αξιώματα Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας - Μετασχηματισμοί Lorentz Σύμφωνα με την Κλασσική Μηχανική το Newton μια σταθερή δύναμη δύναται να προκαλέσει μια χωρίς όριο αύξηση της ταχύτητας ενός σώματος. Έτσι σύμφωνα με την Κλασσική Μηχανική η ταχύτητα ενός σώματος μπορεί να είναι μεγαλύτερη της ταχύτητας το φωτός. Για τον λόγο ατόν το 1905 ο Einstein ανέπτξε την ειδική θεωρία της σχετικότητας με σκοπό να περιγράψει την κίνηση των σωμάτων πο κινούνται με ταχύτητα σγκρίσιμη με ατή το φωτός και να καλύψει το κενό της Κλασσικής Μηχανικής. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας βασίζεται σε δο θεμελιώδη αξιώματα: α) Όλοι οι νόμοι της Φσικής είναι ίδιοι για όλα τα αδρανειακά σστήματα αναφοράς (αρχή της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας). β) Η ταχύτητα το φωτός στο κενό είναι η ανώτερη τιμή ταχύτητας στη φύση 8 ( 310 m /se) και είναι ίδια για όλα τα αδρανειακά σστήματα αναφοράς (αναλλοίωτο της ταχύτητας το φωτός). Σνεπώς σύμφωνα με την ειδική θεωρία της σχετικότητας όταν η ταχύτητα ενός σώματος προσεγγίζει την ταχύτητα το φωτός, πό την επίδραση σταθερής δύναμης, τότε αξάνεται η μάζα το και ενδίδει λιγότερο στην επιτάχνση της δύναμης ατής. Για το λόγο ατό ορίζεται η σχετικιστική μάζα m r ενός σωματίο ως: mο mr γ m ο (1) 1 / όπο γ 1/ 1 / 1/ 1β 1, β / 1, η ταχύτητα το σωματίο ως προς ακίνητο παρατηρητή και m o η μάζα το σωματίο ως προς παρατηρητή για τον οποίο το σωμάτιο είναι ακίνητο (μάζα ηρεμίας). Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας εισάγεται η έννοια το χωροχρόνο (,y,z,t) σύμφωνα με τον οποίο ένα γεγονός περιγράφεται σνολικά από τέσσερις σντεταγμένες, από τις τρεις χωρικές σντεταγμένες και από το χρόνο. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 z y Ο Ο z y Σχήμα 11.1 ˆ Α (γεγονός), Έστω ένα γεγονός πο πραγματοποιείται σε ένα σημείο Α το χωροχρόνο και δο αδρανειακά σστήματα αναφοράς (παρατηρητές), το ακίνητο σύστημα Oyz και το yz κινούμενο ως προς το πρώτο με σταθερή ταχύτητα ˆ σγκρίσιμη με την ταχύτητα το φωτός. Αν το γεγονός έχει σντεταγμένες (,y,z,t) ως προς το Oyz και (, y, z, t ) ως προς το yz και τη χρονική στιγμή t = t = 0 τα δο σστήματα σμπίπτον τότε οι σχέσεις πο σνδέον τις σντεταγμένες των δο σστημάτων είναι: γ( - t), y y, z z, t γ t - () Οι σχέσεις () λέγονται μετασχηματισμοί Lorentz και αποκαλύπτον την άμεση εξάρτηση το χώρο και το χρόνο. Επειδή το σύστημα Oyz κινείται με ταχύτητα ˆ ως προς το yz μπορούν να πολογιστούν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Lorentz, δηλαδή οι σντεταγμένες (,y,z,t) το γεγονότος Α στο Οyz σύστημα σναρτήσει των σντεταγμένων (, y, z, t ) στο yz αντικαθιστώντας στην () το με και εναλλάσσοντας τα τονούμενα και άτονα μεγέθη. Επομένως: γ( t), y y, z z, t γ t (3) Παρατηρήσεις: 1) Επειδή < είναι β < 1 και επομένως γ > 1. ) Αν το κινούμενο σύστημα yz κινείται με σταθερή ταχύτητα ŷ διεύθνση y τότε οι μετασχηματισμοί () παίρνον την μορφή:, Ανάλογα ισχύον όταν ẑ. y γ(y - t), z z, t γ t - y κατά τη ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 3) Για διαφορές των χωροχρονικών σντεταγμένων (Δ, Δy,Δz,Δt) και για απειροστές διαφορές ατών ισχύον σχέσεις μετασχηματισμού ανάλογες των () και (3). Δηλαδή: γ(δ - Δt), d γ(d - ) Δy Δy, dy dy, Δz Δz, Δt γδt - και dz dz, γ -, d 4) Παρατηρείται ότι για κίνηση στην σχετικιστική περιοχή ( > 0,1) ισχύον οι παραπάνω μετασχηματισμοί Lorentz, από τος οποίος γίνεται φανερή η άμεση εξάρτηση των χωρικών σνιστωσών (, y, z) και το χρόνο t. Επομένως στην ειδική θεωρία της σχετικότητας εισάγεται η έννοια το χωροχρόνο (, y, z, t) σύμφωνα με τον οποίο ένα γεγονός περιγράφεται σνολικά από τέσσερις σντεταγμένες, από τις τρεις χωρικές σντεταγμένες και από τον χρόνο. 5) Όταν η ταχύτητα το κινούμενο σστήματος είναι u < 0,1, δηλαδή είναι στην κλασσική περιοχή οι μετασχηματισμοί Lorentz ανάγονται στος γνωστούς από την 1 η Ενότητα μετασχηματισμούς Γαλιλαίο. Ατό αποδεικνύεται εύκολα γιατί για << είναι 0 και γ=1 οπότε οι μετασχηματισμοί Lorentz γίνονται: t, y y, z z, t t οι οποίοι είναι οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίο. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778. Σνέπειες Μετασχηματισμών Lorentz α) Τατοχρονικότητα Σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας η έννοια το τατόχρονο δεν είναι απόλτη, αλλά εξαρτάται από την κίνηση το παρατηρητή. Έτσι αν δο γεγονότα γίνονται τατόχρονα σε ακίνητο σύστημα Οyz, δηλαδή Δt=0 τότε στο κινούμενο σύστημα yz σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς Lorentz είναι: Αλλά: οπότε η παραπάνω γίνεται: Δt 0 Δt γδt - Δ Δt γ Δ Δt 0 Δ Δ γ(δ - Δt) Δ γδ Δ γ t Δ 0 (4) Άρα τα δύο γεγονότα δεν είναι τατόχρονα ως προς το κινούμενο σύστημα y z και μάλιστα η διαφορά χρόνο ατών εξαρτάται από την απόστασή τος στο yz. Το αρνητικό πρόσημο της (4) ποδηλώνει ποιο γεγονός γίνεται πρώτο. Αντίστοιχα δο γεγονότα τατόχρονα στο yz (δηλαδή Δt =0) δεν θα είναι τατόχρονα ως προς το ακίνητο σύστημα Οyz (δηλαδή Δt 0 ). β) Διαστολή χρόνο Έστω ένα φαινόμενο το οποίο πραγματοποιείται στην ίδια θέση (,0,0) ενός ακίνητο σστήματος αναφοράς Oyz, δηλαδή Δ=0. Αν Δt είναι η χρονική διάρκεια το γεγονότος ως προς το Οyz, τότε η διάρκειά το ως προς το κινούμενο σύστημα yz είναι σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς Lorentz (): t γ Δt - 0 t γδt (5) Άρα αφού γ>1 είναι Δ t Δt. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Αντίθετα αν το γεγονός σμβαίνει στην ίδια θέση κινούμενο σστήματος yz (δηλαδή Δ 0) με την ίδια διαδικασία προκύπτει ότι η χρονική το διάρκεια ως προς το Οyz είναι: t γδt κι επειδή γ>1 είναι Δt>Δ t. Άρα κάθε παρατηρητής πο κινείται ως προς τη σσκεή μέτρησης (ρολόι) της χρονικής διάρκειας το γεγονότος μετρά μεγαλύτερη διάρκεια ως προς ατόν πο είναι ακίνητος ως προς το ρολόι. Εφαρμογή Ένας αστροναύτης σε ένα διαστημόπλοιο ταξιδεύει με ταχύτητα 0,99 και αντιλαμβάνεται τη χρονική διάρκεια το ταξιδιού το ίση με y (y:year). Ποια είναι η διάρκεια το ταξιδιού σύμφωνα με έναν παρατηρητή στη γη; Λύση Λόγω διαστολής το χρόνο προκύπτει: t γδt 1 1- / t 1 1 (0,99) / (y) t 14 years Σύμφωνα με το αποτέλεσμα ατό είναι δνατόν κάποιος κινούμενος πολύ γρήγορα, να πραγματοποιήσει ένα πολύ μακρύ ταξίδι χωρίς να ποστεί τις σνέπειες το χρόνο (γήρανση). γ) Σστολή μήκος Έστω μια ράβδος μήκος L η οποία είναι ακίνητη κατά μήκος το άξονα ενός ακίνητο σστήματος αναφοράς Oyz. Αν τα άκρα της βρίσκονται στις θέσεις 1 και είναι L Δ 1. Ένας παρατηρητής στο σύστημα yz κινείται με ταχύτητα ˆ ως προς το Oyz και μετρά το μήκος της ράβδο, μετρώντας τις θέσεις των άκρων 1 και τατόχρονα (δηλαδή Δ t = 0). To μήκος ατό καθορίζεται ως L Δ 1 και σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς Lorentz είναι: t0 γ(δ Δt) γδ ή L γl L L (6) γ Άρα αφού γ>1 είναι L L. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Στην περίπτωση πο η ράβδος L είναι ακίνητη στον άξονα το σστήματος yz με την ίδια διαδικασία προκύπτει ότι L L/ γ δηλαδή L L. Σνεπώς κάθε παρατηρητής πο κινείται παράλληλα στη ράβδο μετρά μήκος μικρότερο κατά παράγοντα γ από το μήκος ατής στο σύστημα ως προς το οποίο είναι ακίνητη (μήκος ηρεμίας). Παρατήρηση Αν ο παρατηρητής κινείται κάθετα στη ράβδο τότε το μήκος ατής δεν αλλάζει. Ενώ αν η ράβδος σχηματίζει γωνία με τον άξονα, ως προς τον οποίο κινείται ο παρατηρητής τότε σστολή μήκος παρατηρείται μόνο στην οριζόντια σνιστώσα της ενώ η κάθετη παραμένει αναλλοίωτη. Εφαρμογή Διαστημόπλοιο μήκος 150 m πετάει ως προς ακίνητο παρατηρητή με ταχύτητα 0,5. Ποιο είναι το μήκος το διαστημοπλοίο όπως το αντιλαμβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής; Λύση Λόγω σστολής το μήκος προκύπτει: L L γ 1 / L 1- (0,5) (150m) L 130m Δηλαδή ο ακίνητος παρατηρητής βλέπει το διαστημόπλοιο να έχει μικρότερο μήκος. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 3. Μετασχηματισμός Ταχτήτων Lorentz Έστω ότι ένα σωματίδιο κινείται με ταχύτητα πο έχει σνιστώσες (u, u y, u z ) ως προς ένα ακίνητο σύστημα αναφοράς Oyz, ενώ ως προς κινούμενο σύστημα yz πο κινείται με ταχύτητα ˆ ως προς το Oyz έχει σνιστώσες u, u, u ).Οι σχέσεις πο σνδέον τις σνιστώσες της ταχύτητας στα δο ( y z σστήματα είναι σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς Lorentz: u d γ(d ) γ d d 1 d u u 1- u (7) u y dy dy γ d dy γ 1 d u y u y (8) 1- u u z dz dz γ d dz γ 1 d u z u z 1- u (9) Οι σχέσεις (7), (8) και (9) αποτελούν τος μετασχηματισμούς ταχτήτων Lorentz. Για τον πολογισμό των σνιστωσών της ταχύτητας το σωματιδίο στο Οyz σύστημα σναρτήσει των αντίστοιχων σνιστωσών στο κινούμενο σύστημα yz (αντίστροφοι μετασχηματισμοί ταχτήτων Lorentz) στις παραπάνω αντικαθιστάται το με και εναλλάσσονται τα τονούμενα και άτονα μεγέθη. Επομένως: u u y uz u, u y και u z (10) 1 u γ 1 u γ 1 u ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoiras.weebly.om

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoiras.weebly.om