ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ

ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ

ΚΑΜΠΤΛΕ ΕΛΕΤΘΕΡΗ ΜΟΡΦΗ Χριςιμεσ για τθν περιγραφι ομαλών και ελεφκερων ςχθμάτων Αμάξωμα αυτοκινιτου, πτερφγια αεροςκαφών, ςκελετόσ πλοίου χιματα χαρακτιρων κινουμζνων ςχεδίων Περιγραφι τροχιάσ κίνθςθσ ςε γραφικι προςομοίωςθ Η ςχετικι κεωρία αναπτφχκθκε τισ δεκαετίεσ του 60 και 70 ςτισ ΗΠΑ και Γαλλία, κατά κφριο λόγο

ΚΑΜΠΤΛΕ ΕΛΕΤΘΕΡΗ ΜΟΡΦΗ Παραδοςιακά χρθςιμοποιοφνταν καμπυλόγραμμα (french curves) και εφκαμπτεσ ταινίεσ με βάρθ, πακτωμζνα ςθμεία Σο βαςικό πρόβλθμα ιταν πωσ περιγράφεται αυςτθρά μακθματικά (χωρίσ δυνατότθτα παρερμθνείασ) θ μορφι μιασ καμπφλθσ ζτςι ώςτε να μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν τα δεδομζνα ςε μθχανζσ NC και ςυςτιματα CAD

ΚΑΜΠΤΛΕ ΕΛΕΤΘΕΡΗ ΜΟΡΦΗ Η μακθματικι μορφι των καμπυλών που επικράτθςε τελικά ςε εφαρμογζσ CAD και γραφικών ιταν θ πολυωνυμικι για υπολογιςτικοφσ (ταχφτθτα υπολογιςμών) και πρακτικοφσ λόγουσ (ευκολία χειριςμοφ/απεικόνιςθσ) Πιο ςφνκετεσ καμπφλεσ αναλφονται ςε επιμζρουσ τμιματα Σα διάφορα τμιματα περιγράφονται παραμετρικά, δθλ. ωσ πολυωνυμικι ςυνάρτθςθ (τρίτου ςυνικωσ βακμοφ) μιασ μεταβλθτισ u που παίρνει τιμζσ ςτο [0-1]

ΠΑΡΑΜΕΣΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΑΗ Παραμετρικι εξίςωςθ. Εξιςώςεισ τθσ μορφισ x = Χ(u), y = Τ(u) και z = Z(u), u є [0,1] Ελεφκερεσ εξιςώςεισ κατά x, y και z. Άμεςοσ υπολογιςμόσ ςθμείων πάνω ςτθν καμπφλθ. Αναπαριςτά κλειςτζσ καμπφλεσ ι καμπφλεσ με πολλαπλζσ τιμζσ (αυτοτεμνόμενεσ). Τπολογίηονται εφκολα τα διανυςματικά μεγζκθ, π.χ. εφαπτόμενο διάνυςμα. Ανεξάρτθτθ από το ςφςτθμα ςυντεταγμζνων με αποτζλεςμα να υλοποιοφνται εφκολα οι μεταςχθματιςμοί και θ μεταφορά τουσ ςε άλλο ςφςτθμα ςυντεταγμζνων. Μειονζκτθμα - δεν μπορεί να επαλθκευτεί εφκολα εάν ζνα τυχαίο ςθμείο, ανικει ςε μια καμπφλθ. Διανυςματικι απεικόνιςθ: r = C(u) r είναι το διάνυςμα κζςθσ του ςθμείου ςτθν καμπφλθ για τθ τιμι του u, C(u) θ διανυςματικι ςυνάρτθςθ οριςμοφ τθσ καμπφλθσ ωσ προσ u.

ΕΙΔΗ ΚΑΜΠΤΛΩΝ Ferguson/Hermite Ορίηονται από δφο ςθμεία (αρχι-τζλοσ) και τισ δφο παραγωγοφσ ςε αυτά Bezier Ορίηεται από ζνα πολφγωνο ελζγχου, που ζχει 2 ςθμεία για τα άκρα ενώ τα υπόλοιπα για τον οριςμό τθσ μορφισ ενδιάμεςα B-spline, NURBS Ορίηεται από μια ςειρά κόμβουσ και ςθμεία ελζγχου (πολφγωνο ελζγχου) που εξαςφαλίηουν ςυνζχεια/ομαλότθτα ςε ςφνκετεσ καμπφλεσ

Η καμπφλθ Fergusson ξεκινάει από το πρώτο ςθμείο Ρ 0, εφαπτόμενθ προσ το διάνυςμα Ρ 0 και καταλιγει ςτο δεφτερο ςθμείο Ρ 1 εφαπτόμενθ προσ το διάνυςμα Ρ 1 Μορφι τθσ εξίςωςθσ ΚΑΜΠΤΛΕ FERGUSSON r = C(u) = (1 3u 2 + 2u 3 ) Ρ 0 + (3u 2 2u 3 ) Ρ 1 + (u 2u 2 + u 3 ) P 0 + (-u 2 + u 3 ) Ρ 1

ΚΑΜΠΤΛΕ BEZIER Χρθςιμοποιικθκαν για πρώτθ φορά από τον γάλλο μακθματικό Bézier το 1972 ςτθ Renault, και αποτζλεςαν τθ βάςθ για πολλά ςυςτιματα CAD. Είχαν αναπτυχκεί και από τον Ρ. Decasteljau, το 1959, ςτθ Citroen, όπου είχαν χρθςιμοποιθκεί ωσ τμιμα του ςυςτιματοσ CAD τθσ Citroen, αλλά δεν είχαν ποτζ δθμοςιευτεί, ςε αντίκεςθ με τισ καμπφλεσ Bézier. Ορίηονται από μια ςειρά ςθμείων ςτο χώρο, που ςυνιςτοφν το πολφγωνο ελζγχου ι χαρακτθριςτικό πολφγωνο τθσ καμπφλθσ, Αυτά μόνο προςδιορίηουν τθ μορφι τθσ καμπφλθσ. Η καμπφλθ περνάει από το πρώτο και το τελευταίο ςθμείο τθσ ςειράσ και Προςεγγίηει όλα τα ενδιάμεςα. Αποτελοφν μια μζκοδο προςζγγιςθσ ςειράσ ςθμείων με μια καμπφλθ.

ΚΑΜΠΤΛΕ BEZIER Οι κυριότερεσ διαφορζσ ωσ προσ τισ καμπφλεσ Fergusson, είναι: Η μορφι τθσ καμπφλθσ εξαρτάται μόνον από τα ςθμεία ελζγχου (.Ε.) οριςμοφ τθσ καμπφλθσ Τπάρχει καλφτερθ ςχζςθ και κατανόθςθ τθσ μορφισ και των δυνατοτιτων ελζγχου τθσ καμπφλθσ Ο βακμόσ τθσ καμπφλθσ εξαρτάται από τα ςθμεία ελζγχου (βακμόσ καμπφλθσ = αρικμόσ ςθμείων ελζγχου - 1) Όςο μεγαλώνει ο βακμόσ τθσ καμπφλθσ Bézier, γίνεται αςκενζςτερθ και θ ςχζςθ μεταξφ του χαρακτθριςτικοφ πολυγώνου και τθσ καμπφλθσ. Η καμπφλθ Bézier είναι πιο ομαλι επειδι ζχει μεγαλφτερου βακμοφ ςυνζχεια.

Παράδειγμα Καμπφλθ 2 ου βακμοφ Καμπφλθ δεφτερου βακμοφ, n=2, ορίηεται από τρία ςθμεία ελζγχου, Ρ 0, Ρ 1 και Ρ 2. Πολυώνυμα Bernstein: B 0,2 (u) = (1 -u) 2, B 1,2 (u) = 2u(1 -u) Β 2,2 (u) = u 2 Εξίςωςθ τθσ καμπφλθσ: C(u) = (1-u) 2 P 0 +2u(1-u)P 1 +u 2 P 2 Παραβολικό τόξο από το Ρ 0 μζχρι το Ρ 2. Βαςικζσ ιδιότθτεσ: πολφγωνο ελζγχου το τρίγωνο Ρ 0 Ρ 1 Ρ 2, διζρχεται από τα άκρα, Ρ 0 = C(0) και P 2 = C(1) Σα εφαπτόμενα διανφςματα ςτα άκρα ςυμπίπτουν με τα τμιματα P 0 P 1 και P 1 P 2, Η καμπφλθ περιζχεται πάντα μζςα ςτο τρίγωνο P 0 P 1 P 2

Παράδειγμα Καμπφλθ 3 ου βακμοφ Καμπφλθ τρίτου βακμοφ, n = 3, τζςςερα ςθμεία ελζγχου, Ρ 0, Ρ 1, Ρ 2 και Ρ 3, Πολυώνυμα Bernstein B 0,3 = (1 - u) 3 B 1,3 = 3u(1 - u) 2 B 2,3 = 3u 2 (1 - u) B 3,3 = u 3. Εξίςωςθ του κυβικοφ τμιματοσ C(u) = (1-u) 3 P 0 + 3u(1-u) 2 P 1 + 3u 2 (1-u)P 2 + u 3 P 3 Ιδιότθτεσ διζρχεται από τα ακραία ςθμεία Ρ 0 και Ρ 3 τα εφαπτόμενα διανφςματα ςτα άκρα είναι προσ τθν κατεφκυνςθ των τμθμάτων Ρ 0 Ρ 1 και Ρ 2 Ρ 3 θ καμπφλθ περιζχεται ςτο κυρτό πολφγωνο που ορίηουν τα ςθμεία ελζγχου

ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΚΑΜΠΤΛΩΝ BEZIER Μεταβολι μορφισ Αλλαγι κζςθσ.ε. Πολλαπλότθτα.Ε. Σο κάκε.ε. επθρεάηει περιςςότερο τθν καμπφλθ για υ = i/n. Μετακίνθςθ του Ρ i.ε. επθρεάηει όλθ τθν καμπφλθ και ςτο ςθμείο C (u = i/n) ζχουμε τθ μζγιςτθ μετατόπιςθ τθσ καμπφλθσ

ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΚΑΜΠΤΛΩΝ BEZIER Δθμιουργείται κλειςτι καμπφλθ Bézier, κλείνοντασ το πολφγωνο ελζγχου Για κάκε u, το άκροιςμα όλων των ςυναρτιςεων B i,n (u) είναι ίςο με τθ μονάδα, Οι καμπφλεσ Bézier είναι αμετάβλθτεσ ςτθν εφαρμογι των απλών μεταςχθματιςμών

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ De Casteljeau Βαςίηεται ςτθν αναδρομικι ςχζςθ που ςυνδζει τα πολυώνυμα Bernstein, B i,n (u) = (1 u)b i,n-1 (u) + ub i-1, n-1 (u) αρχικζσ ςυνκικεσ, B i,n (u) = 0 εάν i < 0, ι i > n Αποτελεί μια μεκοδολογία προςδιοριςμοφ ςθμείων πάνω ςε μια καμπφλθ Bézier με επαναλαμβανόμενθ γραμμικι παρεμβολι

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΤΝΕΧΕΙΑ τθ ςφνδεςθ δφο τμθμάτων καμπυλών Bézier ςε μια ςφνκετθ καμπφλθ, θ κζςθ των ςθμείων ελζγχου κακορίηει και τθ ςυνζχεια (continuity)μεταξφ των δφο τμθμάτων. Δφο τφποι ςυνζχειασ Γεωμετρικι (G Continuity): Οπτικι ςυνζχεια, ομαλότθτα ςτθ μετάβαςθ Παραμετρικι (C continuity): Οπτικι αλλά και παραμετρικι ςυνζχεια Μθδενικοφ βακμοφ ςυνζχεια (C 0 ι G 0 ): Σο τζλοσ τθσ μίασ καμπφλθσ αποτελεί τθν αρχι τθσ άλλθσ Γεωμετρικι ςυνζχεια 1 ου βακμοφ (G 1 ): Οι δφο παράγωγοι ςτο ςθμείο ςφνδεςθσ ζχουν τθν ίδια κλίςθ Παραμετρικι ςυνζχεια 1 ου βακμοφ (C 1 ): Οι δφο παράγωγοι ςτο ςθμείο ςφνδεςθσ ζχουν τθν ίδια κλίςθ και ίςο μζτρο υνζχεια 2 ου βακμοφ: Κδια καμπυλότθτα ςτο ςθμείο ςφνδεςθσ (2 θ παράγωγοσ)

ΤΝΔΕΗ ΣΜΗΜΑΣΩΝ BEZIER Η ςυνζχεια είναι μθδενικοφ βακμοφ C 0, όταν το τελευταίο ςθμείο ελζγχου τθσ πρώτθσ ςυμπίπτει με το πρώτο ςθμείο ελζγχου τθσ δεφτερθσ Σα δφο τμιματα ζχουν ςυνζχεια G 1, όταν επιπλζον τα ςθμεία ελζγχου Ρ 2, Ρ 3 και Ρ 4, είναι ςυγγραμμικά. Ζχουν ςυνζχεια πρώτου βακμοφ, C 1, εάν επιπλζον ιςχφει και θ ςχζςθ P 3 - P 2 = 4 / 3 (P 4 - P 3 ) Ζχουν ςυνζχεια δεφτερου βακμοφ όταν οι παράγωγοι δεφτερου βακμοφ είναι ίςοι. Η περίπτωςθ αυτι εξετάηεται ςτισ καμπφλεσ B-Spline