1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται, η οποία: Αν είναι δεν έχει λύση και γι αυτό λέμε ότι είναι αδύνατη, ενώ Αν είναι έχει τη μορφή και αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x δηλαδή είναι ταυτότητα. 2. Τι ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης; Η λύση της εξίσωσης Απάντηση και γενικά κάθε εξίσωσης λέγεται και ρίζα αυτής. 3. Τι λέγεται παραμετρική εξίσωση και τι διερεύνηση; Απάντηση Η εξίσωση της μορφής, της οποίας οι συντελεστές α και β εκφράζονται με τη βοήθεια γραμμάτων λέγεται παραμετρική εξίσωση, τα γράμματα αυτά λέγονται παράμετροι, και η εργασία που κάνουμε για την εύρεση του πλήθους των ριζών της λέγεται διερεύνηση.
2 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α Για την επίλυση εξισώσεων 1ου βαθμού εργαζόμαστε ως εξής: Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών (αν υπάρχουν) πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών. Στη συνέχεια, κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων. Τέλος, κανουμε αναγωγή ομοίων όρων, χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Αν προκύψει εξίσωση της μορφής τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν προκύψει εξίσωση της μορφής τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Εφαρμογή 1 Να λύσετε την εξίσωση: Το Ε.Κ.Π. των αριθμών 4,2,3 είναι το 12. Επομένως, πολλαπλασιάζoντας όλους τους όρους της εξίσωσης με το 12 και έχουμε: Εφαρμογή 2 Να λύσετε την εξίσωση: Το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3,2,6 είναι το 12. Επομένως, πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους της εξίσωσης με το 12 και έχουμε:
3 Άρα, η εξίσωση είναι ταυτότητα, δηλαδή αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. Εφαρμογή 3 Να λύσετε την εξίσωση: Το Ε.Κ.Π. των αριθμών 5,3,15 είναι το 15. Επομένως, πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους της εξίσωσης με το 15 έχουμε: Άρα, η εξίσωση είναι αδύνατη.
4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ B Όταν έχουμε να λύσουμε εξισώσεις, στις οποίες ο άγνωστος x είναι υψωμένος σε δύναμη μεγαλύτερη ή ίση του 2 τότε μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, παραγοντοποιούμε την παράσταση του πρώτου μέλους και δεν ξεχνάμε την ιδιότητα: Εφαρμογή 4 Να λυθούν οι εξισώσεις: i. i. Έχουμε, Έχουμε,
5 ΜEΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Γ Για την επίλυση παραμετρικών εξισώσεων εργαζόμαστε ως εξής: Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών (αν υπάρχουν) πολλαπλασιάζοντας με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών όλους τους όρους της εξίσωσης. Εκτελούμε τις πράξεις κάνοντας ταυτόχρονα απαλοιφή παρενθέσεων. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Στη συνέχεια βρίσκουμε για ποιες τιμές της παραμέτρου μηδενίζεται ο συντελεστής του αγνώστου και διακρίνουμε περιπτώσεις. Αν δεν μηδενίζεται ο συντελεστής του αγνώστου τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση ενώ αν θέσουμε στην εξίσωση τις τιμές της παραμέτρου στις οποίες μηδενίζεται τότε η εξίσωση προκύπτει είτε ταυτότητα είτε αδύνατη. Εφαρμογή 5 Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ. Το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3,4,12 είναι το 12. Πολλαπλασιάζοντας το 12 με όλους τους όρους της εξίσωσης έχουμε: Βρίσκουμε για ποιες τιμές μηδενίζεται ο συντελεστής του αγνώστου: και διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση και η εξίσωση (1) γίνεται:
6 Αν τότε η εξίσωση (1) γίνεται: Oπότε, η εξίσωση είναι ταυτότητα, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Αν τότε η εξίσωση (1) γίνεται: Oπότε, η εξίσωση είναι αδύνατη. Εφαρμογή 6 Δίνεται η εξίσωση είναι: i. Ταυτότητα Αδύνατη Έχουμε :. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η παραπάνω εξίσωση Δεν ξεχνάω ότι η εξίσωση είναι : αδύνατη όταν ταυτότητα όταν i. Η εξίσωση (1) είναι ταυτότητα όταν: Η εξίσωση (1) είναι αδύνατη, όταν: Εφαρμογή 7 Δίνεται η εξίσωση Nα βρείτε για ποιες τιμές των λ και μ, η εξίσωση είναι ταυτότητα. Έχουμε,
7 Η εξίσωση (1) είναι ταυτότητα, όταν: Τί λέγεται κλασματική εξίσωση; Λέγοντας κλασματική εξίσωση εννοούμε μία εξίσωση που περιέχει τουλάχιστον ένα κλάσμα όπου στον παρονομαστή υπάρχει ο άγνωστος. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δ Για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση, εργαζόμαστε ως εξής: Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές και βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. αυτών. Πρέπει το Ε.Κ.Π. να μην είναι μηδέν (περιορισμοί για τον άγνωστο). Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών (πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με το Ε.Κ.Π.). Στη συνέχεια προχωράμε ανάλογα με τη μορφή της εξίσωσης που προκύπτει, ελέγχοντας στο τέλος ότι οι λύσεις που προκύπτουν ικανοποιούν τους αρχικούς περιορισμούς. Εφαρμογή 8 Να λυθούν οι ακόλουθες εξισώσεις: i. i. Το Ε.Κ.Π. είναι το. Πρέπει Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο με το Ε.Κ.Π. και έχουμε: Η λύση απορρίπτεται λόγω περιορισμών, οπότε η είναι μοναδική λύση.
8 Στην αρχή παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές. Το Ε.Κ.Π. είναι το. Για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει Έχουμε, Άρα, η εξίσωση έχει λύσεις όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός από το 2 και το -2. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ε Για την επίλυση εξισώσεων που περιέχουν απόλυτα χρησιμοποιούμε δύο βασικές ιδιότητες που είχαμε μάθει στο κεφάλαιο των απόλυτων τιμών: Εφαρμογή 9 Να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις: i. i iv. v. vi. i. Ισχύει:
9 Ισχύει: i iv. Ισχύει: η οποία είναι αδύνατη αφού ένας αρνητικός αριθμός ( αρνητικό αριθμό. Ισχύει: ) δεν μπορεί να είναι ίσος με έναν μη Άρα η λύση είναι η. v. To Ε.Κ.Π. των αριθμών 6,3,4 είναι το 12. Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο με το 12 και έχουμε: vi. To Ε.Κ.Π. των αριθμών 2,3,4 είναι το 12. Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο με το 12 και έχουμε: Δεν ξεχνάω ότι:
10 Για την επίλυση εξισώσεων της μορφής εργαζόμαστε ως εξής: καθώς και. Εφαρμογή 10 Να λυθεί η εξίσωση. Έχουμε: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Z Για την επίλυση εξισώσεων της μορφής εργαζόμαστε ως εξής: Για να ισχύει η ισότητα πρέπει, καθώς. Στην συνέχεια βγάζουμε το απόλυτο ως εξής: Τέλος, λύνουμε τις παραπάνω εξισώσεις, ελέγχοντας ότι οι λύσεις που προκύπτουν ικανοποιούν τoν αρχικό περιορισμό. Εφαρμογή 11 Να λύσετε την εξίσωση. Για να ισχύει η ισότητα πρέπει: Έχουμε: Δεκτή λύση είναι η διότι ικανοποιεί τον περιορισμό.
11 Εφαρμογή 12 Να λύσετε τις εξισώσεις: i. i i. Έχουμε: H εξίσωση είναι αδύνατη οπότε συνεχίζουμε να λύνουμε την εξίσωση. Έχουμε: Δεν ξεχνάω ότι: i Για να ισχύει η ισότητα πρέπει: Έχουμε: Δεκτή λύση η, αφού η δεν είναι ικανοποιεί τον περιορισμό.
12 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ H Για την επίλυση εξισώσεων που περιέχουν δύο ή περισσότερα απόλυτα κάνουμε απαλοιφή των απόλυτων τιμών χρησιμοποιώντας τον πίνακα προσήμου όπως είχαμε μάθει παλαιότερα. Θυμίζουμε ότι: Ετερόσημο του α Ομόσημο του α Εφαρμογή 13 Να λύσετε την εξίσωση: Βρίσκουμε τις τιμές στις οποίες μηδενίζονται οι παραστάσεις μέσα στα απόλυτα: και και κάνουμε τον πίνακα τιμών. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν τότε η εξίσωση σύμφωνα με τον πίνακα γίνεται: η οποία είναι δεκτή, καθώς ικανοποιεί τον περιορισμό. Αν τότε η εξίσωση σύμφωνα με τον πίνακα γίνεται: η οποία απορρίπτεται, καθώς δεν ικανοποιεί τον αρχικό περιορισμό. Αν τότε η εξίσωση σύμφωνα με τον πίνακα γίνεται: η οποί πορρίπτετ ι κ ώς δεν ικ νοποιεί τον ρχικό περιορισμό Άρα, η εξίσωση έχει μοναδική λύση, τη.
13 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Θ Για την επίλυση προβλημάτων με τη βοήθεια εξισώσεων εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε x το ζητούμενο του προβλήματος παίρνοντας τους απαραίτητους περιορισμούς. Στη συνέχεια, εκφράζουμε όλα τα δεδομένα συναρτήσει του x και κατασκευάζουμε την εξίσωση του προβλήματος. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και ελέγχουμε στο τέλος αν οι λύσεις που προκύπτουν ικανοποιούν τους αρχικούς περιορισμούς αν υπάρχουν. Προσοχή σε πολλά προβλήματα χρειάζεται να κάνουμε αναγωγή στη μονάδα. Εφαρμογή 14 Ένας ελεύθερος επαγγελματίας έκανε χρήση ενός προθεσμιακού λογαριασμού με μεταβλητό επιτόκιο. Τα των χρημάτων του τα κατέθεσε με επιτόκιο 3% και τα υπόλοιπα με επιτόκιο 4% ετησίως. Μετά την λήξη της προθεσμιακής κατάθεσης (μετά από έναν χρόνο) ο ελεύθερος επαγγελματίας εισέπραξε 1000. Πόσα χρήματα είχε συνολικά; Έστω ότι ο ελεύθερος επαγγελματίας είχε συνολικά x. Οπότε τα τα κατέθεσε με επιτόκιο 3% και τα τα κατέθεσε με 4%. Ο τόκος που εισπράττει ο πελάτης μετά από ένα χρόνο από την πρώτη κατάθεση είναι: ενώ ο τόκος που εισπράττει ο πελάτης μετά από ένα χρόνο από την δεύτερη κατάθεση είναι: Επομένως ισχύει ότι: Άρα, είχε συνολικά 30.000.
14 Εφαρμογή 15 Μια δεξαμενή νερού τροφοδοτείται από 3 γεωτρήσεις. Η πρώτη γεώτρηση γεμίζει τη δεξαμενή μόνη της σε 3 ώρες, η δεύτερη γεμίζει τη δεξαμενή σε 5 ώρες και η τρίτη την γεμίζει μόνη της σε 15 ώρες. Πόσες ώρες χρειάζεται η δεξαμενή για να γεμίσει και με τις τρείς γεωτρήσεις ταυτόχρονα. Έστω x ώρες χρειάζεται η δεξαμενή για να γεμίσει χρησιμοποιώντας και τις τρείς γεωτρήσεις ταυτόχρονα. Η πρώτη γεώτρηση για να γεμίσει την δεξαμενή μόνη της χρειάζεται 3 ώρες, άρα σε μια ώρα γεμίζει το της δεξαμενής, άρα σε x ώρες γεμίζει τα της δεξαμενής. Η δεύτερη γεώτρηση για να γεμίσει την δεξαμενή μόνη της χρειάζεται 5 ώρες, άρα σε μια ώρα γεμίζει το της δεξαμενής, άρα σε x ώρες γεμίζει τα της δεξαμενής. Τέλος, η τρίτη γεώτρηση για να γεμίσει την δεξαμενή μόνη της χρειάζεται 15 ώρες, άρα σε μια ώρα γεμίζει το της δεξαμενής, άρα σε x ώρες γεμίζει τα της δεξαμενής. Ισχύει ότι: Άρα, η δεξαμενή θα γεμίσει σε ώρες, δηλαδή σε 1 ώρα και 40 λεπτά.