5.2 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

1 5.2 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος τύχης. 3. Ενδεχόµενο ή γεγονός : Κάθε υποσύνολο του δειγµατικού χώρου. 4. Απλό ενδεχόµενο : Το ενδεχόµενο που περιέχει ένα µόνο αποτέλεσµα του πειράµατος. 5. Σύνθετο ενδεχόµενο : Το ενδεχόµενο που περιέχει περισσότερα από ένα αποτέλεσµα του πειράµατος. 6. Ενδεχόµενο πραγµατοποιείται : Το αποτέλεσµα του πειράµατος είναι στοιχείο του ενδεχοµένου. 7. Βέβαιο ενδεχόµενο : Το ενδεχόµενο που πραγµατοποιείται σε κάθε εκτέλεση του πειράµατος. Βέβαιο ενδεχόµενο είναι ο δειγµατικός χώρος Ω. 8. Αδύνατο ενδεχόµενο : Το ενδεχόµενο που δεν πραγµατοποιείται ποτέ. Αδύνατο είναι το (κενό) ενδεχόµενο

2 9. Ευνοϊκές περιπτώσεις ενδεχοµένου Α Τα στοιχεία του ενδεχοµένου Α. Το πλήθος τους συµβολίζεται µε Ν(Α). 10. υνατές περιπτώσεις : Τα στοιχεία του δειγµατικού χώρου Ω Το πλήθος τους συµβολίζεται µε Ν(Ω) 11. Το ενδεχόµενο Α Β πραγµατοποιείται Όταν συγχρόνως πραγµατοποιείται και το Α και το Β. 12. Το ενδεχόµενο Α Β πραγµατοποιείται Όταν πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β. ( ιαφορετικά : Όταν πραγµατοποιείται το Α ή το Β ή και τα δύο) 13. Το ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται : Όταν δεν πραγµατοποιείται το Α. 14. Ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β εν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή Α Β = ΣΧΟΛΙΟ Για τον δειγµατικό χώρο Για να βρούµε το δειγµατικό χώρο πειράµατος τύχης, το οποίο πραγµατοποιείται σε περισσότερες από µία φάσεις, φτιάχνουµε δενδροδιάγραµµα. Όταν το πείραµα ολοκληρώνεται σε δύο φάσεις, µπορούµε να φτιάχνουµε πίνακα διπλής εισόδου.

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες τις παρακάτω προτάσεις Επιλέγω στην τύχη έναν µονοψήφιο θετικό περιττό. O δειγµατικός χώρος είναι Ω = { 1, 3, 5, 7, 9} Σ Τα ενδεχόµενα Α = { 1, 2,3} και Β = { 4, 5} είναι ασυµβίβαστα Σ Αν Α, Β ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε Α Β = Ω Λ δ) Κάθε στοιχείο ενός ενδεχοµένου Α ενός πειράµατος τύχης είναι στοιχείο του δειγµατικού χώρου του πειράµατος. Σ ε) Ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης αποτελείται από απλά αποτελέσµατα του πειράµατος Σ στ) Ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος είναι ενδεχόµενο του πειράµατος Σ ζ) Το Ø είναι βέβαιο ενδεχόµενο Λ Απάντηση Φαίνεται παραπάνω 2. Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος στα παρακάτω πειράµατα τύχης Ρίχνουµε ένα νόµισµα και βλέπουµε την πάνω όψη του Ρίχνουµε ένα ζάρι και βλέπουµε την πάνω όψη του Κ, Γ Κ= κεφάλι, Γ= γράµµατα Ω = { } Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

4 3. Ρίχνουµε ένα ζάρι και στη συνέχεια ένα νόµισµα. Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος το ενδεχόµενο Α: το ζάρι έδειξε 5 το ενδεχόµενο Β: το νόµισµα έδειξε κεφάλι ενδροδιάγραµµα Ω={1Κ,1Γ, 2Κ,2Γ, 3Κ,3Γ, 4Κ, 4Γ, 5Κ, 5Γ, 6Κ,6Γ } 5 Κ, 5Γ Α= { } Β= { 1 Κ, 2 Κ, 3 Κ, 4 Κ, 5 Κ, 6Κ } Παρατήρηση : Τον δειγµατικό χώρο θα µπορούσαµε να τον βρούµε και µε την βοήθεια του διπλανού πίνακα διπλής εισόδου. 2 η φάση Κ Γ 1 η φάση 1 1Κ 1Γ 2 2Κ 2Γ 3 3Κ 3Γ 4 4Κ 4Γ 5 5Κ 5Γ 6 6Κ 6Γ

5 4. Εξετάζουµε τις οικογένειες που έχουν τρία παιδιά ως προς το φύλλο και την σειρά γέννησής τους. Να βρεθούν Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος Τα ενδεχόµενα Α: Το πρώτο παιδί κορίτσι Β: Το µεσαίο παιδί αγόρι Γ: Τουλάχιστον ένα κορίτσι : Ακριβώς δύο αγόρια Ε : Το πολύ δύο κορίτσια Eπίσης τα ενδεχόµενα Α, Β, Α Β, Α Β, Α Β, Α Β, Β Α και ( Α Β ) ( Β Α ) Σχεδιάζουµε δενδροδιάγραµµα A =Αγόρι, Κ= κορίτσι Από το παραπάνω δενδροδιάγραµµα βρίσκουµε ότι Ω ={ ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ } Α = { ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ} Β = {ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ } Γ = {ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ } = { ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ } Ε = {ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ } Α = {ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ} Β = {ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ } Α Β = { ΚΑΑ, ΚΑΚ } Α Β = { ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΑΑ, ΑΑΚ } Α Β = { ΚΚΚ, ΚΚΑ } Α Β = {ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ } Β Α = { ΑΑΑ, ΑΑΚ } και ( Α Β ) ( Β Α ) = {ΚΚΚ, ΚΚΑ, ΑΑΑ, ΑΑΚ }

6 5. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση i) Ρίχνω ένα νόµισµα δύο φορές. Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι α.{κκ, ΓΓ} β.{κγ, ΓΚ} γ.{κγ, ΓΚ, ΚΚ, ΓΓ} δ.{ Γ, Κ } ii) Στο πείραµα τύχης ρίχνω ένα ζάρι και θεωρώ τα ενδεχόµενα Α = { 1, 2, 3 }, Β = { 4, 5}. Αν το ζάρι δείξει 4, τότε πραγµατοποιείτε το ενδεχόµενο Α. Β β. Α γ. Α Β δ. Β Απάντηση i) Σωστό το γ ii) Σωστό το δ 6. Με την βοήθεια του διπλανού διαγράµµατος Venn χαρακτηρίστε τις προτάσεις που ακολουθούν σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ) Α Β, Β Α, Γ Β, Γ, (Γ ) Α, (Γ ) Β, (Γ ) Α (Β Γ) = Β, (Β Γ) = Α, (Α Β) = Β, (Α Β) =Β, Β =, (Γ ) Α = Α, (Γ ) Α = Α, (Γ Β) Α = Γ Απάντηση Για κάθε οριζόντια σειρά έχουµε Λ, Σ, Σ, Λ, Σ, Σ, Σ, Σ, Λ, Λ, Σ, Σ, Σ, Λ, Σ Ω Γ Α Β

7 7. Ρίχνουµε διαδοχικά το ένα κατόπιν του άλλου δύο ζάρια. Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος Να βρείτε τα ενδεχόµενα Α: Η πρώτη ρίψη µικρότερη της δεύτερης Β: Το άθροισµα των ενδείξεων είναι µεγαλύτερο του 10 Γ: Ίδια ένδειξη και στις δύο ρίψεις Επίσης να βρείτε τα ενδεχόµενα Α Β, Β Γ, ( Α Β) Γ, ( Β Γ) Α Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος φαίνεται στον παρακάτω πίνακα διπλής εισόδου Α = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6) Β ={ (5,6), (6,5),(6,6)} Γ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5), (6,6)} Α Β ={(5,6)}, Β Γ ={(6,6)} ( Α Β) Γ ={(5,6), (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} ( Β Γ) Α= {(5,6)},(4,5), (4,6), (5,6)} 8. Μία κάλπη περιέχει 4 µπάλες, δύο µαύρες Μ 1, Μ 2 και δύο κόκκινες Κ 1, Κ 2. Εξάγουµε από την κάλπη 2 µπάλες. Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος όταν η εξαγωγή γίνεται Ταυτόχρονα Εξάγουµε τις µπάλες τη µία µετά την άλλη χωρίς επανατοποθέτηση Εξάγουµε τις µπάλες τη µία µετά την άλλη µε επανατοποθέτηση. Αφού η εξαγωγή γίνεται ταυτόχρονα, δεν µπορούµε να µιλάµε για προτεραιότητα. Εποµένως, ο δειγµατικός χώρος θα αποτελείται από όλα τα διµελή υποσύνολα που µπορούµε να σχηµατίσουµε από τις παραπάνω µπάλες. Άρα Ω ={ (Μ 1,Μ 2 ), (Μ 1,Κ 1 ), (Μ 1,Κ 2 ), (Μ 2,Κ 1 ), (Μ 2,Κ 2 ), (Κ 1,Κ 2 ) }

8 Όταν η εξαγωγή γίνεται διαδοχικά χωρίς επανατοποθέτηση, ο δειγµατικός χώρος θα αποτελείται από όλα τα διατεταγµένα ζεύγη µε διαφορετικά πρώτα µέλη. ηλαδή Ω = { (Μ 1,Μ 2 ), (Μ 1,Κ 1 ),(Μ 1,Κ 2 ), (Μ 2,Μ 1 ),(Μ 2,Κ 1 ),(Μ 2,Κ 2 ), (Κ 1,Μ 1 ), Μ 2 ), (Κ 1,Κ 2 ),(Κ 2,Μ 1 ),(Κ 2,Μ 2 ), (Κ 2,Κ 1 ) } Όταν η εξαγωγή γίνεται µε την σειρά και µε επανατοποθέτηση τότε ο δειγµατικός χώρος θα είναι ο του δεύτερου ερωτήµατος µαζί µε τα ζεύγη (Μ 1,Μ 1 ), (Μ 2,Μ 2 ), (Κ 1,Κ 1 ), (Κ 2,Κ 2 ) αφού τώρα µπορεί και στην πρώτη και στην δεύτερη εξαγωγή να βγάλουµε την ίδια µπάλα. 9. Σε ένα σύνολο από 5 λάµπες οι τρείς είναι χαλασµένες (Χ) και οι δύο είναι καλές (Κ) Παίρνουµε µία µία λάµπα µέχρι να ανακαλύψουµε τις χαλασµένες. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο του πειράµατος. Να βρείτε το ενδεχόµενο A: Ανακαλύψαµε τις χαλασµένες λάµπες µε δύο δοκιµές Να βρείτε το ενδεχόµενο Β: Χρειάστηκαν τρείς δοκιµές για να βρούµε τις χαλασµένες λάµπες δ) Μετά από πόσες το πολύ δοκιµές ανακαλύπτουµε τις χαλασµένες λάµπες; Είναι φανερό ότι θα ανακαλύψουµε τις χαλασµένες λάµπες, όταν επιλέξουµε συνολικά τρείς χαλασµένες ή τις δύο καλές. Σχεδιάζουµε το δεντροδιάγραµµα Από το παραπάνω δεντροδιάγραµµα βλέπουµε ότι ο δειγµατικός χώρος είναι Ω ={ ΧΧΚ, ΧΧΚΧ, ΧΧΚΚ, ΧΚΧΧ, ΧΚΧΚ, ΧΚΚ, ΚΚ, ΚΧΚ, ΚΧΧΚ, ΚΧΧΧ } A ={ ΚΚ} Β = {ΧΧΧ, ΧΚΚ, ΚΧΚ } δ) Το πολύ 4 δοκιµές

9 10. Ρωτήσαµε 3 µαθητές διαδοχικά αν έλυσαν µία άσκηση. Οι απαντήσεις που πήραµε ήταν Ν (ναι) και Ο (όχι). Να βρείτε Τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος Να βρείτε τα ενδεχόµενα Α: Ακριβώς δύο µαθητές έλυσαν την άσκηση Β: Ένας µόνο µαθητής έλυσε την άσκηση Γ: Κανένας δεν έλυσε την άσκηση Σχεδιάζουµε το δεντροδιάγραµµα Ω = {ΝΝΝ, ΝΝΟ, ΝΟΝ, ΝΟΟ, ΟΝΝ, ΟΝΟ, ΟΟΝ, ΟΟΟ } A ={ ΝΟΝ, ΝΝΟ, ΟΝΝ } B = { ΝΟΟ, ΟΟΝ, ΟΝΟ} Γ={ΟΟΟ} 11. Συµπληρώστε το διπλανό πίνακα βάζοντας στη στήλη (Β) τον χαρακτηρισµό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Όπου βάλατε Λ, συµπληρώστε τη στήλη Γ διορθώνοντας τή σχέση. Απάντηση Φαίνεται δίπλα. Α Β Γ Α Α = Α Σ Α Ø = Α Σ Α Α = Ø Λ Α Α = Α Α Ø =Α Λ Α Ø = Ø Α Α = Ø Λ Α Α = Ω Α Α = Ω Λ Α Α = Ø Ω = Ω Λ Ω = Ø (Α ) = Ω Λ (Α ) = Α Ø = Ω Σ Α Α = Ω Σ