Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ Sagredo: Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η ορμή ενός σώματος σε πτώση διπλασιάζεται όταν αυτό πέφτει από διπλάσιο ύψος. Salviati: Είναι πολύ παρήγορο που είχα τέτοιο σύντροφο στην πλάνη, γιατί κάποτε συμμεριζόμουν αυτή την εσφαλμένη αντίληψη. ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Έναν αιώνα µμετά την έκδοση των Μαθηµματικών Αρχών της Φυσικής Φιλο- σοφίας, οι µμαθηµματικοί επεδίωξαν την επαναδιατύπωση των εννοιολογικών αρχών της Μηχανικής του Νεύτωνα. Ο Λογισµμός, που θεµμελίωσαν αφενός ο Νεύτωνας και αφετέρου ο Λάιµμπνιτς, καθιστούσε πλέον εφικτή τη µμαθηµμα- τική διατύπωσή τους. Σε αυτό το εγχείρηµμα, η πρώτη εννοιολογική δυσχέ- ρεια προκλήθηκε από τον ορισµμό της δύναµμης. Η αµμφισβήτηση του κεντρι- κού εννοιολογικού της ρόλου έγινε εντονότερη µμε την εξέλιξη της γνώσης για τη φυσική πραγµματικότητα, χωρίς αυτό να σηµμαίνει τον παραµμερισµμό της από το προσκήνιο της Κλασικής Μηχανικής. Ο Γαλιλαίος είχε ήδη αναφερθεί στην έννοια της ορµμής στους Διαλόγους του. Ο Νεύτωνας είχε δώσει, τόσο στην έννοια της ορµμής όσο και της στροφορ- µμής, σηµμαντική εννοιολογική θέση 1 και, λίγο αργότερα, άρχισε να αναδει- κνύεται και η φυσική σηµμασία της έννοιας της ενέργειας. Οι έννοιες της ορµμής, της στροφορµμής και της ενέργειας, µμε την πάροδο του χρόνου, απέκτησαν κεντρικό εννοιολογικό ρόλο. Οι εξελίξεις ανέδειξαν τη σπουδαιότητά τους για την ερµμηνεία της φυσικής πραγµματικότητας και έγι- νε αντιληπτό ότι οι αρχές της διατήρησής τους βρίσκονται σε πλήρη λογική ανταπόκριση µμε τη χωρική οµμογένεια, τη χωρική ισοτροπία και τη χρονική οµμογένεια. Αυτός µμάλλον είναι ο βαθύτερος λόγος που καθιστά αυτές τις έννοιες θεµμελιώδεις στην Κλασική Μηχανική και ευρύτερα στη Φυσική. 1 Galileo Galilei : Discorsi e Dimostrazioni Matematica, intorno a due nuove scienze, 1638. Isaac ewton, Philosophiæ aturalis Principia Mathematica, 1687.

2 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 2.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η ορµμή µμιας σηµμειακής µμάζας κατά την κίνησή της στο χώρο ορίζεται, κάθε χρονική στιγµμή, ως το γινόµμενο της µμάζας της επί την ταχύτητά της και η ορµμή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών ορίζεται ως άθροισµμα των ορµμών των συστατικών του σηµμειακών µμαζών: p(t) = p i (t), p i (t) = m i r i (t), i = 1,...,. Αξιοσηµμείωτο είναι ότι η ορµμή κάθε συστήµματος σηµμειακών µμαζών ταυτίζε- ται µμε την ορµμή του αδρανειακού του κέντρου, όπου εκεί θεωρείται συµμπυ- κνωµμένη η µμάζα του και ασκείται η συνισταµμένη των εξωτερικών δυνάµμεων: p(t) = m r (t). 1 Η ορµμή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών ταυτίζεται µμε την ορµμή του αδρανειακού του κέντρου. Οι νόµμοι του Νεύτωνα επαναδιατυπώνονται πλέον ως εξής: 1 ος Νόμος: Αν σε µμια σηµμειακή µμάζα η συνισταµμένη των ασκούµμενων δυ- νάµμεων είναι µμηδενική ή δεν ασκείται δύναµμη, η ορµμή της είναι σταθερή. 2 ος Νόμος: Αν σε µμια σηµμειακή µμάζα ασκείται δύναµμη τότε η χρονική πα- ράγωγος της ορµμής της ισούται µμε αυτή τη δύναµμη. 3 ος Νόμος: Αν σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών δεν ασκούνται εξωτερι- κές δυνάµμεις τότε η ορµμή του διατηρείται σταθερή. Η επαναδιατύπωση των δυο πρώτων νόµμων απορρέει απευθείας από τον ορισµμό της ορµμής µμιας σηµμειακής µμάζας, ενώ η αναδιατύπωση του τρίτου νόµμου υποδεικνύει ότι οι εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης ενός συστή- µματος σηµμειακών µμαζών δεν επηρεάζουν την ορµμή του. Έτσι, αν το αδρανει- ακό κέντρο ενός σώµματος, στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµμεις, έχει ήδη κάποια ταχύτητα, την ίδια ακριβώς ταχύτητα θα έχει οπουδήποτε στον κενό χώρο και αυτό σηµμαίνει ότι το σώµμα διατηρεί την ορµμή του. Προ- κύπτουν λοιπόν τα εξής συµμπεράσµματα: 1 Το συµμπέρασµμα αυτό προκύπτει µμε έναν απλό υπολογισµμό: p i (t) = m i r i (t) = d m ri i (t) = d mr (t) ( ) = m r (t).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ 3 Ø Η εξίσωση του Νεύτωνα. Η εξίσωση που διέπει την κίνηση του αδρανειακού κέντρου κάθε συστήµμα- τος σηµμειακών µμαζών δηλώνει ότι η χρονική παράγωγος της ορµμής του ισούται µμε το άθροισµμα των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων: 1 dp = Fi. Ø Η αρχή διατήρησης της ορμής. Αν η συνισταµμένη των εξωτερικών δυνάµμεων που ασκούνται σε ένα σύστη- µμα σηµμειακών µμαζών είναι µμηδενική τότε, κατά τη διάρκεια της κίνησής του, η ορµμή του διατηρείται σταθερή, παρότι οι ορµμές των συστατικών του στοι- χείων ίσως δεν είναι σταθερές: F i (t) = 0 p(t) = p i (t) σταθερή. Οι ασκούµμενες εξωτερικές δυνάµμεις σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών προ- σδίδουν µμια ώθηση που µμεταξύ δυο χρονικών στιγµμών ορίζεται ως εξής: t Ν 2 F ι (t) = t 1 ι=1 t 2 p(t) = p(t 2 ) p(t 1 ). t 1 Η αρχή διατήρησης της ορµμής δηλώνει ότι αν η συνισταµμένη των ασκούµμε- νων εξωτερικών δυνάµμεων σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών είναι µμηδενι- κή, οι συνιστώσες της ορµμής του διατηρούνται σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησής του στο χώρο. Αλλά, έστω και αν δυο ή µμια από τις συνιστώσες της συνισταµμένης δύναµμης είναι µμηδενικές, οι αντίστοιχες συνιστώσες της ορµμής του συστήµματος διατηρούνται σταθερές. Άρα, ένα σώµμα δεν θα επιτα- χυνθεί αυθόρµμητα από µμόνο του προς κάποια κατεύθυνση αν δεν ασκηθούν εξωτερικές δυνάµμεις, γιατί αυτό θα σήµμαινε ότι ο χώρος δεν είναι οµμογενής. Στην αρχή αυτή αντικατοπτρίζεται η φυσική οµμογένεια του χώρου που εκ- φράζεται µμε τους γαλιλαϊκούς µμετασχηµματισµμούς των χωρικών µμεταφορών. Η αρχή διατήρησης της ορµμής ισχύει γιατί έχουµμε αποδεχτεί αξιωµματικά το νόµμο δράσης- αντίδρασης που εξασφαλίζει την αλληλοαναίρεση των εσωτε- ρικών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης. Αντίστροφα, αν αποδεχτούµμε αξιωµματικά την αρχή διατήρησης της ορµμής τότε απορρέει ο νόµμος δράσης- αντίδρασης. Η αρχή διατήρησης της ορµμής, ως αξιωµματική αρχή, δεν προκαλεί εννοιολο- γικές δυσχέρειες ως προς τη χρονική υστέρηση της διάδοσης των δυνάµμεων αλληλεπίδρασης και καθίσταται εννοιολογικά ασφαλέστερη από τον 3 ο νόµμο του Νεύτωνα. Έτσι, µμπορεί να υποκαταστήσει αυτό το νόµμο στην αξιωµματι- κή θεµμελίωση της Κλασικής Μηχανικής. 1 Λαµμβάνοντας υπόψη τις εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης που ασκούνται σε κάθε συστατική ση- µμειακή µμάζα του συστήµματος και αθροίζοντας για το σύνολο των σηµμειακών µμαζών ισχύει: dp ι = F i + f ij, i = 1,..., j=1 j i dp i = F i + f ij ι=1 j=1 j i d p i = F i Fi dp =.

4 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 2.2. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η στροφορµμή µμιας σηµμειακής µμάζας κατά την κίνησή της στο χώρο ορίζεται, κάθε χρονική στιγµμή, ως το διανυσµματικό γινόµμενο της θέσης και της ορµμής της, οι οποίες λογίζονται ως προς ένα δεδοµμένο σύστηµμα αναφοράς. Η στροφορµμή ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών ορίζεται ως το άθροισµμα των στροφορµμών των συστατικών του σηµμειακών µμαζών, λογιζόµμενες ως προς το ίδιο σύστηµμα αναφοράς: Ω(t) = Ω i (t), Ω i (t) = r i (t) p i (t), i = 1,...,. Η στροφορµμή µμιας σηµμειακής µμάζας και ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών. Η στροφορµμή της σηµμειακής µμάζας κατά την κίνησή της στο χώρο εξαρτά- ται από την επιλογή του σηµμείου όπου τοποθετείται το σύστηµμα αναφοράς ως προς το οποίο λογίζεται η θέση και η ορµμή της. Ο παρατηρητής που βρί- σκεται σε αυτό το σηµμείο ερµμηνεύει τη στροφορµμή κάθε κινούµμενης σηµμει- ακής µμάζας ως την τάση της να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω του, χωρίς να σηµμαίνει ότι οπωσδήποτε θα εκτελεστεί αυτή η κίνηση. Η στροφική αυτή τάση αποτιµμάται αριθµμητικά, κάθε χρονική στιγµμή, από το µμέτρο της στρο- φορµμής, δηλαδή το γινόµμενο των µμέτρων των διανυσµμάτων θέσης και ορµμής επί το ηµμίτονο της µμικρότερης προσανατολισµμένης γωνίας τους: Ω(t) = r (t) p(t) Ω(t) = r(t) p(t)sinθ(t). H συνεισφορά της ορµμής µμιας σηµμειακής µμάζας στη στροφορµμή της είναι τό- σο µμεγαλύτερη όσο µμικρότερο είναι το µμέτρο της προβολής της στον φορέα του διανύσµματος της θέσης της. Η συνεισφορά αυτή µμηδενίζεται κάθε στιγ- µμή που τα διανύσµματα θέσης και ορµμής γίνονται συγγραµμµμικά και είναι πλή- ρης όταν γίνονται µμεταξύ τους ορθογώνια. Προφανώς, αν η κίνηση είναι ευ- θύγραµμµμη σε φορέα διερχόµμενο από το σηµμείο αναφοράς τότε η στροφορµμή της σηµμειακής µμάζας είναι µμηδενική, αλλά δεν είναι µμηδενική όταν ο φορέας της δεν διέρχεται από το σηµμείο αναφοράς και το µμέτρο της αποκτά µμέγιστη τιµμή κάθε στιγµμή που τα διανύσµματα θέσης και ορµμής είναι µμεταξύ τους ορθογώνια. Πάντως, το διάνυσµμα της στροφορµμής, όταν δεν µμηδενίζεται, είναι διαρκώς κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται κάθε στιγµμή από τα διανύ- σµματα θέσης και ορµμής της σηµμειακής µμάζας στον ευκλείδειο χώρο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ 5 Όταν σηµμειακές µμάζες κινούνται ως ενιαίο σύστηµμα στο χώρο, ο παρατη- ρητής, που από το σύστηµμα αναφοράς του παρακολουθεί την κίνησή τους, αθροίζοντας τις επιµμέρους στροφορµμές, ερµμηνεύει τη στροφορµμή του συ- στήµματος των σηµμειακών µμαζών ως την τάση του να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από αυτόν. Η στροφική τάση του συστήµματος δεν ταυτίζεται µμε τη στροφική τάση του αδρανειακού του κέντρου: Ω o (t) = r o (t) p o (t) όπου r o (t) = 1 m m r i i (t) και p o (t) = p i (t) = p(t). Η στροφορµμή του αδρανειακού κέντρου καλείται τροχιακή στροφορµμή και η διαφορά της από τη στροφορµμή του συστήµματος προσµμετράται από τον παρατηρητή, στο σύστηµμα αναφοράς του, ως εξής: Ω(t) Ω o (t) = r i (t) p i (t) r o (t) p o (t). Η στροφορµμή, όπως και η τροχιακή στροφορµμή, είναι εξωγενή γνωρίσµματα της κίνησης του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών, αφού εξαρτώνται από τη θέση του παρατηρητή στο χώρο. Όµμως, ενδογενές γνώρισµμα της κίνησης του συστήµματος είναι η ιδιοστροφορµμή του, η οποία προσµμετρά την τάση του για εκτέλεση στροφικής κίνησης γύρω από το αδρανειακό του κέντρο. Ένας παρατηρητής ο οποίος, µμε το σύστηµμα αναφοράς του, ακολουθεί το αδρανειακό κέντρο κατά την κίνησή του στο χώρο, υπολογίζει κάθε στιγµμή τη στροφορµμή κάθε συστατικής σηµμειακής µμάζας ως εξής: Ωi (t) = r i (t) p i (t), i = 1,...,. Αθροίζοντας, ορίζει την ιδιοστροφορµμή του συστήµματος ως εξής: Ω (t) = Ωi (t) = ri (t) p (t). i Η ιδιοστροφορµμή εκφράζει τη διανυσµματική διαφορά της στροφορµμής του αδρανειακού κέντρου από τη στροφορµμή του συστήµματος: 1 Ω (t) = Ω(t) Ωo (t). 1 Πράγµματι, ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει ότι: Ω(t) = r i (t) m ( i r i (t)) = ( r o (t) + r (t) ) m i i ( r o (t) + ri (t) ) = ( ) = ( r o (t) m i r o (t)) + ( r o (t) m ri (t) i ) + ri (t) m ( i r o (t)) + ( ri (t) m ri (t) i ) = = r o (t) m r o (t) + ( r o (t) m ri (t) i ) + m ri i (t) ( r o (t)) + ( ri (t) p (t) ) = Ω i o (t) + Ω (t).

6 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η ιδιοστροφορµμή συνάγεται λοιπόν από τη µμέτρηση της στροφορµμής και της τροχιακής στροφορµμής, δηλαδή δυο εξωγενών γνωρισµμάτων της κίνη- σης του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών. Ο εξωτερικός παρατηρητής συ- νάγει την ιδιοστροφορµμή εφόσον υπολογίσει, από όποια θέση βρίσκεται, τη στροφορµμή του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών και εκείνη του αδρανει- ακού του κέντρου. Προφανώς, αν το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραµμ- µμη κίνηση σε φορέα διερχόµμενο από τη θέση όπου βρίσκεται η αρχή του συστήµματος αναφοράς του παρατηρητή, η ιδιοστροφορµμή ταυτίζεται µμε τη στροφορµμή του συστήµματος, ανεξάρτητα από τη στροφική συµμπεριφορά των συστατικών του σηµμειακών µμαζών γύρω από το αδρανειακό κέντρο: Ω(t) = Ω (t). Ιδιοστροφορµμή ενός συστήµματος δυο σηµμειακών µμαζών Το ερώτηµμα που τώρα τίθεται αφορά στη σχέση της ασκούµμενης δύναµμης σε µμια σηµμειακή µμάζα µμε τη στροφορµμή της κατά την κίνησή της στο χώρο. Για το σκοπό αυτό, ο παρατηρητής ορίζει, στο σύστηµμα αναφοράς του, τη ροπή της ασκούµμενης δύναµμης στη σηµμειακή µμάζα ως εξής: Λ(t) = r (t) F(t). Ένας απλός υπολογισµμός δείχνει ότι η ροπή της δύναµμης που ασκείται στη σηµμειακή µμάζα συµμπίπτει µμε τη χρονική παράγωγο της στροφορµμής της: 1 d Ω(t) = Λ(t). Στη σηµμειακή µμάζα προσδίδεται µμια στροφική ώθηση η οποία µμεταξύ δυο χρονικών στιγµμών ορίζεται ως εξής: t 2 t Λ(t) = dω(t) 2 = Ω(t 2 ) Ω(t 1 ). t 1 t 1 1 Πράγµματι: d Ω(t) = d r (t) p(t) ( ) = r (t) p(t)+ r (t) p(t) = r (t) F(t) = Λ(t). Προφανώς, κάθε στιγµμή, το διάνυσµμα της ροπής της ασκούµμενης δύναµμης σε µμια σηµμειακή µμάζα είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα διανύσµματα της θέσης της και της δύναµμης. Και, σε περίπτωση όπου η ροπή είναι µμηδενική, π.χ. όταν η δύναµμη είναι διαρκώς κάθετη στο διάνυσµμα θέσης, τότε η στρο- φορµμή διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης και έτσι η τροχιά είναι επίπεδη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ 7 Η ολική ροπή της ασκούµμενης συνισταµμένης δύναµμης σε ένα σύστηµμα σηµμει- ακών µμαζών ορίζεται από έναν παρατηρητή, στο σύστηµμα αναφοράς του, ως άθροισµμα των ροπών των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων στις συστα- τικές σηµμειακές µμάζες του συστήµματος: Λ(t) = Λ i (t) = r i (t) F i (t). Ο ορισµμός αυτός είναι αποδεκτός γιατί ο νόµμος δράσης- αντίδρασης µμεταξύ των συστατικών σηµμειακών µμαζών επιβάλλει την αλληλοαναίρεση των ρο- πών των εσωτερικών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης και έτσι στον υπολογισµμό της ολικής ροπής υπεισέρχονται µμόνο οι εξωτερικές δυνάµμεις. 1 Αν ο παρατη- ρητής, µμε το σύστηµμα της αναφοράς του, ακολουθεί το αδρανειακό κέντρο των σηµμειακών µμαζών, η ολική ροπή ως προς το αδρανειακό κέντρο των ασκούµμενων σε αυτές δυνάµμεων υπολογίζεται κάθε στιγµμή ως εξής: Λ (t) = Λi (t) = ri (t) F i (t). Η ολική ροπή των ασκούµμενων δυνάµμεων στις σηµμειακές µμάζες ως προς το αδρανειακό τους κέντρο προκύπτει από τη διανυσµματική διαφορά µμεταξύ της ολικής ροπής τους και της ροπής της συνισταµμένης εξωτερικής δύναµμης ως προς το σηµμείο αναφοράς του παρατηρητή: 2 Λ (t) = Λ(t) Λo (t) όπου Λ o (t) = r Ν o (t) F i (t). ι=1 Η ροπή των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων σε ένα σύστηµμα δυο σηµμειακών µμαζών. ως προς ένα τυχαίο σηµμείο αναφοράς και ως προς το αδρανειακό κέντρο. 1 Η εφαρµμογή του νόµμου δράσης- αντίδρασης απαιτεί µμια υπολογιστική προσοχή ώστε να διαπιστωθεί ότι επιβάλλει την αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης και έτσι στον υπολογισµμό της ολικής ροπής υπεισέρχονται µμόνο οι ασκούµμενες εξωτερικές δυνάµμεις: r i (t) f ij + r j (t) f ji = ( r i (t) r j (t)) f ij = 0, i, j = 1,...,. 2 Ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει ότι: Λ (t) = ri (t) F i (t) = ( r (t) r (t) ) F i o i (t) = ( r i (t) F i (t)) r o (t) ( ) F i (t) = Λ(t) r o (t) F(t).

8 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Τώρα µμπορούµμε να συνάγουµμε το εξής συµμπέρασµμα: Η χρονική παράγωγος της στροφορµμής ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών κατά τη διάρκεια της κίνησής τους στο χώρο συµμπίπτει µμε την ολική ροπή των ασκούµμενων σε αυτές εξωτερικών δυνάµμεων: 1 d Ω(t) = Λ(t). Επίσης, το ίδιο συµμπέρασµμα ισχύει στο σύστηµμα αναφοράς που ακολουθεί την κίνηση του αδρανειακού κέντρου, η χρονική παράγωγος της ιδιοστρο- φορµμής ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών κατά τη διάρκεια της κίνησής τους στο χώρο συµμπίπτει µμε την ολική ροπή ως προς το αδρανειακό κέντρο των ασκούµμενων σε αυτές δυνάµμεων: 2 dω (t) = Λ (t). Η στροφική ώθηση που προσδίδουν στο σύστηµμα των σηµμειακών µμαζών οι ασκούµμενες εξωτερικές δυνάµμεις προσµμετράται ως εξής: t 2 t Λ(t) = dω(t) 2 = Ω(t 2 ) Ω(t 1 ) t 1 και επίσης προκύπτει ότι: t 2 Λ (t) = t dω 2 (t) = Ω (t 2 ) Ω (t 1 ). Ø t 1 Η αρχή διατήρησης της στροφορμής. t 1 t 1 Αν η ολική ροπή των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών είναι µμηδενική τότε, κατά τη διάρκεια της κίνησής του, η στροφορµμή του διατηρείται σταθερή, παρότι οι στροφορµμές των συστατι- κών σηµμειακών µμαζών ίσως δεν είναι σταθερές: Λ(t) = Λ i (t) = 0 Ω(t) = Ω i (t) σταθερή. 1 Λαµμβάνοντας υπόψη την εξίσωση του Νεύτωνα, ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει ότι: d Ω(t) = d ( Ωi (t)) = d ( ri (t) p i (t) )) = ( r i (t) ( f ij + F i = j=1 j i = r i (t) ( p i (t)) + ( r i (t) p i (t)) = ( )) ( r i (t) f i ) + ( r i (t) F i ) = ( r i (t) F i ) = Λ i (t) = Λ(t). 2 Το συµμπέρασµμα αυτό προκύπτει µμε ανάλογο υπολογισµμό ή απευθείας ως εξής:: d Ω (t) = Ω (t) = Ω(t) Ωo (t) d Ω (t) = d Ω(t) d( r o (t) p o (t)) r i (t) F i (t) r o (t) F i (t) = ( r (t) r (t) ) F i o i (t) = ri (t) F i (t) = Λ (t). ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ 9 Αν η ολική ροπή των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών ως προς το αδρανειακό του κέντρο είναι µμηδενική τότε, κατά τη διάρκεια της κίνησής του η ιδιοστροφορµμή του διατηρείται σταθε- ρή, παρότι οι στροφορµμές των σηµμειακών µμαζών ίσως δεν είναι σταθερές: Λ (t) = Λi (t) 0 Ω (t) = Ωi (t) σταθερή. Η αρχή διατήρησης της στροφορµμής δηλώνει ότι αν η συνισταµμένη ροπή των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών είναι µμηδενική, οι συνιστώσες της στροφορµμής του διατηρούνται σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησής του στο χώρο. Αλλά, ακόµμη και αν µμια ή δυο από τις συνιστώσες της συνισταµμένης ροπής των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων είναι µμηδενικές, οι αντίστοιχες συνιστώσες της στροφορµμής δια- τηρούνται σταθερές. Συγκεκριµμένα, αν κατά τη διάρκεια της κίνησης του συστήµματος οι θέσεις των σηµμειακών µμαζών εντοπίζονται στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς µμε τα διανύσµματα: r i (t) = x i1 (t),x i2 (t),x i3 (t) i =, ( ), 1,..., τότε από την αρχή διατήρησης της στροφορµμής προκύπτει: Λ(t) = 0 Ω(t) : m i m i m i ( x i2 (t) x i3 (t) x i2 (t)x i3 (t)) = c 1 ( x i3 (t) x i1 (t) x i3 (t)x i1 (t)) = c 2 ( x i1 (t) x i2 (t) x i1 (t)x i2 (t)) = c 3 Το ίδιο ισχύει για την ιδιοστροφορµμή κάθε συστήµματος σηµμειακών µμαζών όταν η συνισταµμένη ροπή των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων ως προς το αδρανειακό του κέντρο είναι µμηδενική. Αλλά, εδώ πρέπει να χρησιµμοποι- ηθούν οι συντεταγµμένες του συστήµματος αναφοράς που ακολουθεί την κί- νηση του αδρανειακού κέντρου του συστήµματος σηµμειακών µμαζών. 1 Οι παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά συστήµματα αναφοράς δεν αποδίδουν ίδια στροφορµμή σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών, αλλά ούτε ίδια ροπή για τις εξωτερικές δυνάµμεις που ασκούνται στις σηµμειακές µμάζες. Πάντως, όλοι δηλώνουν ότι αν η συνισταµμένη ροπή των ασκούµμενων εξω- τερικών δυνάµμεων είναι µμηδενική τότε η στροφορµμή του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών διατηρείται σταθερή. 1 Η αποσύνθεση της ιδιοστροφορµμής σε στροφορµμή και τροχιακή στροφορµμή έχει αποδειχθεί χρήσιµμη για την κατανόηση της συµμπεριφοράς των σωµματιδίων, αφού στα περισσότερα από αυτά η ιδιοστρο- φορµμή αποτελεί αναλλοίωτη ιδιότητά τους.

10 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η αρχή διατήρηση της στροφορµμής ισχύει γιατί έχουµμε αποδεχτεί αξιωµμα- τικά το νόµμο δράσης- αντίδρασης που εξασφαλίζει την αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης. Στην αρχή αυτή αντι- κατοπτρίζεται η ισοτροπία του χώρου που εκφράζεται µμε τους γαλιλαϊκούς µμετασχηµματισµμούς των χωρικών στροφών. Ένα σώµμα στο οποίο οι εξωτε- ρικές δυνάµμεις δεν προκαλούν ροπές δεν θα αλλάξει από µμόνο του τη στρο- φική του κατάσταση, γιατί αυτό θα σήµμαινε ανισοτροπία του χώρου. Η συλλογιστική που οδηγεί στο συσχετισµμό της ισοτροπίας του χώρου µμε την αρχή διατήρησης της στροφορµμής καταλήγει σε λογικά συµμπεράσµματα αλλά όχι σε απόλυτα επιβεβαιωµμένες αλήθειες. Σε πολύπλοκα συστήµματα, όπου τα συστατικά τους στοιχεία βρίσκονται σε σχετική µμεταξύ τους κίνηση, η χωρική ισοτροπία υποδεικνύει µμόνο ότι µμάλλον κάποιες στροφικές τους ιδιότητες διατηρούνται και όχι εξολοκλήρου η στροφορµμή τους. Άλλωστε, η αρχή διατήρησης της στροφορµμής δεν έχει ακόµμη ελεγχθεί σε περιοχές πέρα από το ηλιακό µμας σύστηµμα και το ερώτηµμα ισχύος της στο γαλαξιακό ή µμε- σογαλαξιακό χώρο περιµμένει την απάντησή του. Αν η απάντηση είναι αρνη- τική, θα σηµμαίνει ότι κάπου µμακρύτερα ο χώρος δεν είναι απόλυτα ισότρο- πος και ένα τέτοιο συµμπέρασµμα θα οδηγούσει σε σηµμαντικές αποκαλύψεις της δοµμής του σύµμπαντος. 1 2.3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Στην Κλασική Μηχανική, η έννοια της ενέργειας, ή άλλως µμηχανική ενέργεια, αναδείχτηκε σε κεντρική έννοια για την ερµμηνεία της φυσικής πραγµματικό- τητας και µμε την πάροδο του χρόνου απέκτησε σαφή µμαθηµματική υπόσταση. Όταν µμια σηµμειακή µμάζα κινείται στο χώρο υπό την επίδραση µμιας δύναµμης, κάθε στιγµμή, στην αντίστοιχη θέση και ταχύτητα, αποδίδεται µμια αριθµμητική ενεργειακή τιµμή. Η τιµμή αυτή προκύπτει από την άθροιση των αντίστοιχων αριθµμητικών τιµμών της δυναµμικής ενέργειας που ορίζεται στο χώρο των θέ- σεων και της κινητικής ενέργειας που ορίζεται στο χώρο των ταχυτήτων. Η δυναµμική ενέργεια εξαρτάται από τη θέση της σηµμειακής µμάζας στο χώρο και η αριθµμητική της τιµμή υποδεικνύεται από τη συνάρτηση δυναµμικού: U : 3. Όµμως, η ύπαρξή της συνάρτησης δυναµμικού εξαρτάται από τη φύση της δύ- ναµμης που ασκείται στη σηµμειακή µμάζα και όταν η συνάρτηση αυτή υπάρχει τότε ορίζεται στο χώρο των θέσεων ως λύση της εξίσωσης: F(x) = U(x), x 3. 1 Η στροφική κίνηση, όπως φαίνεται, είναι χαρακτηριστικό των περισσότερων δοµμών στη φύση, από τους γαλαξίες έως το νετρίνο. Η γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε µμια µμέρα και περιφέρεται γύρω από τον ήλιο σε ένα χρόνο, αλλά και ο ήλιος περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του σε 25 µμέρες και περιφέρεται κάνοντας το γύρο του γαλαξία σε 230 εκατοµμµμύρια χρόνια. Όσο κατεβαίνουµμε την κλίµμακα των µμεγεθών, τα µμόρια περιστρέφονται και το ίδιο κάνουν τα ηλεκτρόνια που περιστρέφονται γύρω από τον άξονά τους και περιφέρονται µμέσα στα άτοµμα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ 11 Προφανώς, όταν υπάρχει η συνάρτηση δυναµμικού, οι τιµμές της προσδιορί- ζονται µμε προσέγγιση µμιας προσθετικής σταθεράς η οποία εξαρτάται από τη θέση όπου είναι τοποθετηµμένο το σύστηµμα αναφοράς στο χώρο. Η κινητική ενέργεια εξαρτάται από την ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας κατά την κίνησή της στο χώρο και κάθε χρονική στιγµμή ορίζεται ως εξής: K( x(t)) = 1 2 m < x(t), x(t) >. Προφανώς, οι τιµμές της κινητικής ενέργειας εξαρτώνται από το θεωρούµμενο σύστηµμα αναφοράς. Στον υπολογισµμό της υπεισέρχεται κάθε στιγµμή το τε- τράγωνο του µμέτρου της ταχύτητας της σηµμειακής µμάζας: 1 K( x(t)) = 1 2 m x(t) 2 και εισάγοντας την ορµμή υπολογίζεται ως εξής: K( p(t)) = 1 2m p(t) 2. Κατά την κίνηση της σηµμειακής µμάζας στο χώρο, η χρονική παράγωγος της κινητικής ενέργειας δηλώνει κάθε στιγµμή την κινητική ισχύ που παρέχει η ασκούµμενη δύναµμη, η οποία ορίζεται ως εξής: 2 P(t) := < F(t), x(t) > = dk(t) Η συνάρτηση ενέργειας ορίζεται στο καρτεσιανό γινόµμενο του χώρου των θέσεων και του χώρου των ταχυτήτων και σε κάθε ενδεχόµμενη θέση και τα- χύτητα της σηµμειακής µμάζας αποδίδει την αριθµμητική τιµμή που προκύπτει από το άθροισµμα των αντίστοιχων τιµμών της δυναµμικής και της κινητικής ενέργειας. Ο ορισµμός αυτός προϋποθέτει την ύπαρξη της συνάρτησης δυνα- µμικού, η κατευθυντήρια κλίση της οποίας εκφράζει την ασκούµμενη δύναµμη. Τότε, εφόσον δεν υφίστανται περιορισµμοί στις θέσεις και ταχύτητες της σηµμειακής µμάζας, η συνάρτηση ενέργειας ορίζεται ως εξής: E : 3 3, E(x, x) = U(x) + K( x). Η εξίσωση που διέπει την κίνηση µμιας σηµμειακής µμάζας στο χώρο, εφόσον υφίσταται η συνάρτηση δυναµμικού, διατυπώνεται ως εξής:. 1 Η εισαγωγή της έννοιας της κινητικής ενέργειας δεν έγινε από τον Νεύτωνα, αλλά στην απαρχή της βρίσκεται ο Λάιµμπνιτς ο οποίος, αµμφισβητώντας τα πειραµματικά συµμπεράσµματα του Καρτέσιου ως προς τη διατήρηση της ορµμής, υποστήριζε ότι η λογική και το πείραµμα υποδεικνύουν ότι η ποσότητα που δια- τηρείται κατά την κίνηση των σωµμάτων δεν είναι το γινόµμενο της µμάζας µμε την ταχύτητα, αλλά της µμά- ζας µμε το τετράγωνο της αριθµμητικής τιµμής της ταχύτητας, (Δοκίµμια Δυναµμικής, 1691). 2 Η χρονική µμεταβολή της κινητικής ενέργειας µμιας σηµμειακής µμάζας υπολογίζεται ως εξής: dk(t) = d (1 2 m < r (t), r (t) >) = < mr (t), r (t) > = < F(t), r (t) > = P(t).

12 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ m d 2 x + U(x) = 0 : m d 2 x i + U(x) x i = 0, i = 1,2,3. Στην περίπτωση αυτή η δύναµμη καλείται διατηρητική και αυτό γιατί τότε η συνάρτηση ενέργειας διατηρεί σταθερή τιµμή στα σηµμεία της εκάστοτε τρο- χιάς της σηµμειακής µμάζας. Δηλαδή, κατά τη διάρκεια της κίνησης της σηµμει- ακής µμάζας, παρότι οι τιµμές της δυναµμικής και της κινητικής της ενέργειας µμπορούν να µμεταβάλλονται, το άθροισµμά τους διατηρείται σταθερό. Ø Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Κατά τη διάρκεια της κίνησης µμιας σηµμειακής µμάζας υπό την επίδραση µμιας διατηρητικής δύναµμης η συνάρτηση ενέργειας διατηρεί σταθερή τιµμή. Η µμαθηµματική απόδειξη αυτής της φυσικής αρχής προκύπτει εύκολα διαπι- στώνοντας ότι η χρονική παράγωγος της συνάρτησης ενέργειας µμηδενίζεται στα σηµμεία της εκάστοτε τροχιάς στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων: 1 de ( x(t), x(t) ) = 0. Όταν πρόκειται για σύστηµμα σηµμειακών µμαζών τότε στον υπολογισµμό της µμηχανικής ενέργειας υπεισέρχονται, εκτός από τις ασκούµμενες εξωτερι- κές δυνάµμεις, και οι εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης. Συγκεκριµμένα, αν οι ασκούµμενες δυνάµμεις σε κάθε σηµμειακή µμάζα µμπορούν να εκφραστούν ως κατευθυντήρια κλίση µμιας συνάρτησης δυναµμικού τότε είναι εφικτός ο ορι- σµμός της συνάρτησης ενέργειας στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών. Προσµμετρώντας και την ολική κινητική ενέργεια του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών και αθροίζοντας µμε τη δυ- ναµμική ενέργεια, ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας που κάθε στιγµμή αποδίδει στο σύστηµμα των σηµμειακών µμαζών την αντίστοιχη ενεργειακή τιµμή: 2 E : 3 3, E(x, x) = U(x) + K( x). Η κινητική ενέργεια ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών ορίζεται, κάθε στιγ- µμή, αθροίζοντας τις κινητικές ενέργειες των συστατικών του στοιχείων και, θεωρώντας το διάνυσµμα θέσης κάθε σηµμειακής µμάζας στο ευκλείδειο σύστη- µμα αναφοράς, υπολογίζεται ως εξής: K(t) = 1 m 2 i r i (t) 2. 1 Πράγµματι, ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει ότι: de ( x(t), x(t) ) = d(u + Κ) ( x(t), x(t) ) = du(x(t)) dκ( x(t)) + = 3 U dx i x i + = < U(x), x(t) > + < m x(t), x(t) > = < m x(t), x(t) > + < m x(t), x(t) > = 0. 3 Κ x i dx i = 2 Η µμελέτη αυτού του ζητήµματος θα γίνει στο επόµμενο κεφάλαιο που διαπραγµματεύεται τις κινήσεις των σωµμάτων µμέσα σε πεδία δυνάµμεων στο πλαίσιο της Κλασικής Μηχανικής.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ 13 Εισάγοντας την ορµμή των σηµμειακών µμαζών προκύπτει η εξής έκφραση: K(t) = 1 p i (t) 2. 2 Παρότι η ορµμή κάθε συστήµματος σηµμειακών µμαζών συµμπίπτει µμε την ορµμή του αδρανειακού του κέντρου, εντούτοις η κινητική του ενέργεια δεν συµμπί- πτει µμε την κινητική ενέργεια του αδρανειακού του κέντρου: m i K o (t) = 1 2m p(t) 2 = 1 2m pi (t) 2. Συγκεκριµμένα, η κινητική ενέργεια του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών επιµμερίζεται στη µμεταφορική κινητική ενέργεια που ορίζεται από την κινη- τική ενέργεια του αδρανειακού κέντρου και στη στροφική κινητική ενέργεια που ορίζεται από την κινητική ενέργεια όπως προσµμετράται στο σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού κέντρου των σηµμειακών µμαζών: K (t) = 1 m 2 i ri (t) 2 = 1 p i (t) 2. 2 Συνεπώς, κάθε στιγµμή, η κινητική ενέργεια του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών αποσυντίθεται σε µμεταφορική και στροφική κινητική ενέργεια: 1 K(t) = K o (t) + K (t). Η κινητική ισχύς ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών επιµμερίζεται στην ισχύ που προσδίδουν οι εξωτερικές δυνάµμεις και στην ισχύ που προσδίδουν οι εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης των σηµμειακών µμαζών: 2 P εξ (t) = < F i, r i (t) >, P εσ (t) = < f i, r i (t) >. Το άθροισµμα της εσωτερικής και της εξωτερικής ισχύος εκφράζει τη χρονική παράγωγο της κινητικής ενέργειας του συστήµματος των σηµμειακών µμαζών: dk(t) = P εξ (t) + P εσ (t). m i 1 Ένας απλός υπολογισµμός αποκαλύπτει αυτή την αποσύνθεση: K(t) = 1 m 2 i < r i (t), r i (t) > = 1 m 2 i < r (t) + ri (t), r (t) + ri (t) > = = 1 m 2 i < r (t), r (t) > + m i < r (t), ri (t) > + 1 m 2 i < ri (t), ri (t) > = K o (t) + K (t). 2 Η χρονική µμεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών υπολογίζεται ως εξής: dk(t) = d (1 m 2 i < r i (t), r i (t) > ) = < m i r i (t), r i (t) > = = < F i + f i, r i (t) > = < F i, r i (t) > + < f i, r i (t) > = P εξ + P εσ.

14 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η εσωτερική ισχύς, σε αντίθεση προς την εξωτερική ισχύ, δεν εξαρτάται από το σύστηµμα αναφοράς ως προς το οποίο προσδιορίζονται οι θέσεις και οι ταχύτητες των σηµμειακών µμαζών κατά τη διάρκεια της κίνησής τους. 1 Έτσι, για τον υπολογισµμό της εσωτερικής ισχύος ενός συστήµματος σηµμειακών µμα- ζών προσφέρεται το σύστηµμα αναφοράς του αδρανειακού του κέντρου: P εσ (t) = < f i, ri (t) >. Ο νόµμος δράσης- αντίδρασης δεν διασφαλίζει το µμηδενισµμό της ισχύος των εσωτερικών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης στα συστήµματα σηµμειακών µμαζών. Αυτό που µμπορούµμε να πούµμε κατά τη διάρκεια της κίνησης είναι το εξής: 2 P εξ (t) 0 & P εσ (t) 0 K(t) σταθερή. 2.4. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ Η εξίσωση του Νεύτωνα που διέπει την κίνηση ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών και ο προσδιορισµμός των τροχιών τους στο χώρο είναι ένα δύσκολο µμαθηµματικό πρόβληµμα που απασχόλησε και απασχολεί τους µμαθηµματικούς. Στην προσπάθεια αυτή, οι αρχές διατήρησης, της ορµμής, της στροφορµμής και της ενέργειας, υπεισέρχονται καθοριστικά στον προσδιορισµμό των τροχιών. Οι αρχές αυτές υποδεικνύουν τα µμεγέθη που διατηρούνται σταθερά κατά τη διάρκεια της κίνησης ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών και έτσι παρέ- χουν σηµμαντικές πληροφορίες για την αντιµμετώπιση των δυσεπίλυτων εξι- σώσεων που διέπουν τις κινήσεις στο χώρο. Η απλούστερη περίπτωση κίνησης µμιας σηµμειακής µμάζας είναι αυτή που διέπεται από µμια εξίσωση ορισµμένη σε ένα µμονοδιάστατο χώρο θέσεων: m d 2 x = f (x), x. 2 Στην περίπτωση αυτή λέµμε ότι η κίνηση της σηµμειακής µμάζας έχει ένα µμόνο βαθµμό ελευθερίας. Η ασκούµμενη δύναµμη υπεισέρχεται στην εξίσωση της κί- νησης της σηµμειακής µμάζας ως συνάρτηση µμιας πραγµματικής µμεταβλητής και εκφράζεται διαµμέσου µμιας συνάρτησης δυναµμικού που ορίζεται στο µμονοδιάστατο χώρο θέσεων ως εξής: 1 Ένας υπολογισµμός υποδεικνύει ότι η ισχύς που προσδίδεται σε ένα σύστηµμα σηµμειακών µμαζών από τις εσωτερικές δυνάµμεις αλληλεπίδρασης δεν εξαρτάται από το σύστηµμα αναφοράς ως προς το οποίο ορί- ζονται οι θέσεις και οι ταχύτητες των σηµμειακών µμαζών: < f i, r i (t) > = < f i, r (t) + ri (t) > = < f i, r (t) > + < f i, ri (t) > = < f i, ri (t) >. 2 Αν οι σηµμειακές µμάζες διατηρούν σταθερές τις µμεταξύ τους αποστάσεις κατά τη διάρκεια της κίνησής τους, η ισχύς των εσωτερικών δυνάµμεων αλληλεπίδρασης είναι µμηδενική και αυτό διαπιστώνεται µμε ένα συλλογισµμό οµμαδοποιώντας σε ζεύγη τους όρους που υπεισέρχονται στον υπολογισµμό της ισχύος: r i (t) r j (t) = c ij < ( r i (t) r j (t)), f ij > = 0, i, j = 1,...,, P εσ (t) 0.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ 15 U :, U(x) = f (u)du. Στο καρτεσιανό γινόµμενο του µμονοδιάστατου χώρου θέσεων µμε το µμονοδιά- στατο χώρο ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας, η οποία σε κάθε ενδεχόµμενη θέση και ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας αποδίδει την ενεργειακή τιµμή που προκύπτει από το άθροισµμα των αντίστοιχων αριθµμητικών τιµμών της δυναµμικής και της κινητικής ενέργειας: E :, E(x, x) = U(x) + 1 2 m x2. Η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων, θέτοντας y = x, ως σύστηµμα διαφορικών εξισώσεων: dx = 1 E(x, y) m y, x x o dy = 1 E(x, y). m x Εφόσον πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµματος ύπαρξης και µμοναδι- κότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, κάθε δεδοµμένη αρχική θέ- ση και ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας ορίζει µμονοσήµμαντα µμια µμοναδική λύ- ση του συστήµματος των διαφορικών αυτών εξισώσεων: φ:i, φ(t) = (x(t), y(t)). Έτσι, κάθε δεδοµμένη αρχική θέση και ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας ορίζει µμια µμοναδική τροχιά που εξελίσσεται στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων. Από την προβολή αυτής της τροχιάς στον µμονοδιάστατο χώρο των θέσεων προκύπτει η διαδροµμή της σηµμειακής µμάζας και από την προβολή της στον µμονοδιάστατο χώρο των ταχυτήτων προκύπτουν οι τιµμές της ταχύτητας µμε την οποία διέρχεται από τις αντίστοιχες θέσεις αυτής της διαδροµμής. Κάθε ενεργειακή τιµμή ορίζει ένα ισοενεργειακό σύνολο στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων, το ισοσταθµμικό σύνολο της συνάρτησης ενέργειας: Σ Eo (E) = {(x, y) / E(x, y) = E o }, E o. Τα ισοενεργειακά σύνολα είναι καµμπύλες ή ενδεχοµμένως µμεµμονωµμένα σηµμεία στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων, ανάλογα µμε την ενεργειακή τους τιµμή. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι σε κάθε ισοενεργειακό σύνολο εξελίσσονται όλες οι τροχιές που έχουν αυτή τη δεδοµμένη ενεργειακή τιµμή. Το θεώρηµμα πεπλεγµμένων συναρτήσεων υποδεικνύει ότι οι ισοενεργειακές καµμπύλες είναι λείες παντού όπου δεν µμηδενίζεται το διαφορικό της συνάρ- τησης ενέργειας. Από κάθε σηµμείο µμιας ισοενεργειακής καµμπύλης διέρχεται µμόνο µμια τροχιά, όπως υπαγορεύει το θεώρηµμα ύπαρξης και µμοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων. Όµμως, σε κάθε µμια από αυτές έχει τη δυνατότητα να εξελιχθεί µμια ή περισσότερες τροχιές µμε την ίδια ενεργει- ακή τιµμή. Κάποιες ισοενεργειακές καµμπύλες ίσως να εµμφανίζουν αυτοτοµμές και εκεί πρέπει να αναζητηθούν καταστάσεις ισορροπίας, πέρα από αυτές που ορίζονται από τα µμονοστοιχειακά ισοενεργειακά σύνολα.

16 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Οι σηµμειακές τροχιές εκφράζουν τις καταστάσεις ισορροπίας της σηµμειακής µμάζας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων. Η προβολή κάθε κατάστασης ισορροπίας στο µμονοδιάστατο χώρο θέσεων δίνει την αντίστοιχη θέση όπου ισορροπεί η σηµμειακή µμάζα και στις θέσεις αυτές η ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας οφείλει να είναι µμηδενική, άρα και η ασκούµμενη δύναµμη. Συγκεκριµμένα, στις καταστάσεις ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων αντιστοι- χούν τα σηµμεία µμηδενισµμού του διαφορικού της συνάρτησης ενέργειας: de(x, y) = E(x, y) dx + x E(x, y) dy. y Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης της σηµμειακής µμάζας η ενεργειακή της τιµμή διατηρείται σταθερή: E(x(t), y(t)) = E o U(x(t)) + 1 2 m y(t)2 = E o. Η σταθερή αυτή ενεργειακή τιµμή καθορίζεται από τη θέση και την ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας κατά την έναρξη της κίνησής της ή οποιαδήποτε δεδο- µμένη στιγµμή της κίνησής της: x o =x(t o ) και v o =y(t o ) : E o = U(x o ) + 1 2 mv2 o. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας υποδεικνύει ότι η προβολή της τροχιάς στο µμονοδιάστατο χώρο θέσεων έχει δυνατότητα εξέλιξης µμόνο στα χωρία επιτρεπτής κίνησης τα οποία ορίζονται ως εξής: U(x) + 1 2 m y2 = E o U(x) E o. Επίσης, η αρχή διατήρησης της ενέργειας υποδεικνύει ότι ο προσδιορισµμός της κίνησης στα χωρία επιτρεπτής κίνησης ανάγεται στον υπολογισµμό ενός ολοκληρώµματος στο µμονοδιάστατο χώρο θέσεων: 1 x dx = t t x o x(t) =.... 2 / m o E o U(x) Γράφηµμα συνάρτησης δυναµμικού και περιοχές επιτρεπτής κίνησης µμε δεδοµμένη ενεργειακή τιµμή.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Η ΟΡΜΗ, Η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ 17 Η φύση των καταστάσεων ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων και η συµμπεριφορά των τροχιών στην περιοχή τους µμπορεί να γίνει αντιλη- πτή µμε την απευθείας µμελέτη του γραφήµματος της συνάρτησης δυναµμικού. Οι καταστάσεις ευσταθούς ισορροπίας της σηµμειακής µμάζας είναι οι κατα- στάσεις ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων οι οποίες αντιστοι- χούν στις θέσεις ελαχιστοποίησης της συνάρτησης δυναµμικού, δηλαδή στα σηµμεία του µμονοδιάστατου χώρου θέσεων όπου η 1 η παράγωγος της συνάρ- τησης δυναµμικού είναι µμηδενική και η 2 η παράγωγός της είναι θετική. Αυτό σηµμαίνει ότι οι αρχικές συνθήκες που είναι αρκετά γειτονικές σε αυτή την κατάσταση ισορροπίας ορίζουν τροχιές που εξελίσσονται στην περιοχή της. Οι καταστάσεις ασταθούς ισορροπίας της σηµμειακής µμάζας είναι οι κατα- στάσεις ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων οι οποίες αντιστοι- χούν στις θέσεις µμεγιστοποίησης της συνάρτησης δυναµμικού, δηλαδή στα σηµμεία του µμονοδιάστατου χώρου θέσεων όπου η 1 η παράγωγος της συνάρ- τησης δυναµμικού είναι µμηδενική και η 2 η παράγωγός της είναι αρνητική. Αυ- τό σηµμαίνει ότι οι αρχικές συνθήκες που είναι αρκετά γειτονικές σε αυτή την κατάσταση ισορροπίας ορίζουν τροχιές που αποµμακρύνονται από αυτήν. Γράφηµμα της συνάρτησης δυναµμικού στην περίπτωση κίνησης ενός βαθµμού ελευθερίας και συµμπεριφορά των τροχιών κοντά στις καταστάσεις ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων. Η εξίσωση του Νεύτωνα που διέπει την κίνηση µμιας σηµμειακής µμάζας σε δυο ή τρεις βαθµμούς ελευθερίας είναι γενικά δυσεπίλυτη και πολύ περισσό- τερο όταν πρόκειται για την κίνηση ενός συστήµματος σηµμειακών µμαζών. Ας εξετάσουμε την κίνηση μιας σημειακής μάζας που διέπεται από μια εξί- σωση ορισμένη σε δισδιάστατο χώρο θέσεων: m d 2 x 2 = f (x), x 2, όπου η ασκούµμενη δύναµμη εκφράζεται ως εξής: f (x) = f 1 (x 1,x 2 ), f 2 (x 1,x 2 ) ( ).

18 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η εξίσωση αυτή εκφράζεται ως σύστηµμα διαφορικών εξισώσεων: m d 2 x 1 2 = f 1 (x 1,x 2 ), m d 2 x 2 2 = f 2 (x 1,x 2 ). Η ύπαρξη συνάρτησης δυναµμικού στο χώρο των θέσεων δεν είναι δεδοµμένη και ανάγεται στην αναζήτηση λύσης για το εξής σύστηµμα εξισώσεων: U x 1 = f 1 (x 1,x 2 ), U x 2 = f 2 (x 1,x 2 ). Αν υπάρχει συνάρτηση δυναµμικού τότε στον τετραδιάστατο χώρο θέσεων και ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας: E : 2 2, E(x, x) = U(x 1,x 2 ) + 1 m( x 2 + x 2 1 2 ). 2 Στην περίπτωση αυτή, θέτοντας y i = x i, i = 1,2, η εξίσωση της κίνησης ορίζε- ται στον τετραδιάστατο χώρο θέσεων και ταχυτήτων ως σύστηµμα: dx i (t) = 1 m E(x, y) y i, dy i (t) = 1 m E(x, y) x i, i = 1,2. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας υποδεικνύει ότι κάθε ενεργειακή τιµμή ορί- ζει στον τετραδιάστατο χώρο θέσεων και ταχυτήτων ένα ισοενεργειακό σύ- νολο και εκεί εξελίσσονται οι τροχιές που έχουν αυτή την ενεργειακή τιµμή: { }. Σ Eo (E) = (x, y) 2 2 / E(x, y) = E o Οι καταστάσεις ισορροπίας στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων αντιστοιχούν στα σηµμεία µμηδενισµμού του διαφορικού της συνάρτησης ενέργειας: de(x, y) = E(x, y) dx x i +,2 i E(x, y) dy y i.,2 i Η φύση των καταστάσεων ισορροπίας µμπορεί να γίνει αντιληπτή από τη µμε- λέτη του γραφήµματος της συνάρτησης δυναµμικού. Στις θέσεις ελαχιστοποί- ησης του δυναµμικού αντιστοιχούν οι καταστάσεις ευσταθούς ισορροπίας και στις θέσεις µμεγιστοποίησης οι καταστάσεις ασταθούς ισορροπίας. Γράφηµμα της συνάρτησης δυναµμικού στην περίπτωση κίνησης δυο βαθµμών ελευθερίας.