MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN NHÂM MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 0

Mục lục LỜI NÓI ĐẦU............................................ 4 Chươg. Các kiế thức cơ bả...................................... 6.. Dãy số......................................................... 6... Địh ghĩa dãy số................................................ 6... Dãy số đơ điệu................................................... 6..3. Dãy số bị chặ.................................................... 7..4. Cấp số cộg, cấp số hâ.......................................... 7..5. Các cách cho dãy số............................................... 8..6. Dãy Fiboacci..................................................... Giới hạ của dãy số............................................ Chươg. Một số lớp bài toá về dãy số............................. 5.. Lớp bài toá có tíh chất số học của dãy........................ 5.. Lớp các bài toá dãy số có bả chất đại số...................... 3.3. Lớp các bài toá về bất đẳg thức dãy.......................... 7.4. Sử dụg lượg giác giải các bài toá về dãy..................... 46.5. Lớp các bài toá về giới hạ của dãy........................... 53.5.. Phươg pháp sử dụg địh ghĩa tíh giới hạ...................... 53.5.. Tíh giới hạ hờ sử dụg tíh đơ điệu và bị chặ.................. 54.5.3. Tíh giới hạ hờ sử dụg địh lý hàm số co........................ 57.5.4. Phươg pháp sử dụg tổg tích phâ tíh giới hạ................... 58.5.5. Tíh giới hạ dựa vào việc giải phươg trìh sai phâ................ 59.5.6. Sử dụg dãy phụ để tíh giới hạ.................................. 60

.5.7. Giới hạ của dãy sih bởi phươg trìh............................. 65.5.8. Giới hạ của dãy tổg............................................ 68 KẾT LUẬN............................................. 7 Tài liệu tham khảo....................................... 7 3

LỜI NÓI ĐẦU Dãy số và một số vấ đề liê qua đế dãy số là một phầ rất qua trọg của đại số và giải tích toá học. Các học sih và sih viê thườg phải đối mặt với hiều dạg toá loại khó liê qua đế chuyê đề ày. Nhữg ai mới bắt đầu làm que với khái iệm dãy số thườg khó hìh dug về cấu trúc đại số trê tập các dãy số, đặc biệt là các phép tíh đối với các dãy có chứa tham số, các biế đổi về dãy và đại số các dãy,... Dãy số đặc biệt qua trọg trog toá học khôg chỉ hư là hữg đối tượg để ghiê cứu mà cò đóg vai trò hư là một côg cụ đắc lực của các mô hìh rời rạc của giải tích trog lý thuyết phươg trìh, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễ,... Trog hiều kỳ thi học sih giỏi quốc gia, thi Olympic toá quốc tế, thi vô địch toá các ước, các bài toá liê qua đế dãy số cũg hay được đề cập và thườg thuộc loại rất khó. Luậ vă gồm chươg: Chươg : Các kiế thức cơ bả về dãy Chươg : Một số lớp các bài toá về dãy số Chươg : Nhắc lại các khái iệm cơ bả về dãy số, các địh lý, các dấu hiệu liê qua đế dãy số sẽ dùg trog luậ vă. Chươg : Trog chươg ày tác giả trìh bày các bài toá về dãy, trog đó có hiều bài toá có trog các kỳ thi học sih giỏi các ước, Olympic toá quốc tế, các bài toá ày được trìh bày theo hóm các dạg, sau một số bài là sự phâ tích để tìm hướg giải cũg hư ý tưởg phát triể bài toá. Để hoà thàh luậ vă ày, trước hất tác giả xi được bày tỏ lòg biết ơ châ thàh và kíh trọg sâu sắc tới TS.Nguyễ Thàh Vă, Trườg THPT chuyê -Đại học Khoa học Tự hiê Hà ội, gười thầy đã tậ tìh hướg dẫ, giúp đỡ tác giả trog suốt quá trìh hoà thàh bả luậ vă ày. Qua đây tác giả cũg xi được gửi lời cảm ơ châ thàh các thầy cô đã đọc, đáh giá và cho hữg ý kiế quý 4

báu để luậ vă được phog phú và hoà thiệ hơ. Tác giả cũg xi châ thàh cảm ơ Ba giám hiệu, phòg sau Đại học, khoa Toá-Cơ -Ti trườg Đại học Khoa học Tự hiê, Đại học Quốc gia Hà ội đã tạo điều kiệ thuậ lợi cho tác giả trog suốt quá trìh học tập tại trườg. Tuy đã có hiều cố gắg hưg do thời gia và khả ăg có hạ ê các vấ đề trog luậ vă vẫ chưa được trìh bày sâu sắc và khôg thể tráh khỏi sai sót trog trìh bày, mog được sự góp ý của các thày cô và các bạ. Tác giả xi châ thàh cảm ơ! Hà ội, gày 6 thág 03 ăm 0 Học viê Phạm Vă Nhâm 5

Chươg Các kiế thức cơ bả.. Dãy số... Địh ghĩa dãy số Địh ghĩa.:dãy số là một hàm số từ N (Hoặc N) (Hoặc tập co của N) vào tập hợp số R. Các số hạg của dãy số thườg được ký hiệu là u,v,x,y... Bả thâ dãy số được ký hiệu tươg ứg là {u },{v },{x },{y },... Dãy được gọi là vô hạ ếu chúg có vô hạ phầ tử. Dãy được gọi là hữu hạ ếu số phầ tử của dãy là hữu hạ. Nhậ xét: Vì dãy số là một trườg hợp đặc biệt của hàm số ê ó có các tíh chất của một hàm số.... Dãy số đơ điệu Địh ghĩa. * Dãy số {x } được gọi là: - Dãy đơ điệu tăg ếu u + > u, với mọi =,,... - Dãy đơ điệu khôg giảm ếu u + u, với mọi =,,... - Dãy đơ điệu giảm ếu u + < u, với mọi =,,... - Dãy đơ điệu khôg tăg ếu u + u, với mọi =,,... 6

Thí dụ:- Dãy, 3, 5, 7, 9,... là dãy đơ điệu tăg. - Dãy,, 3, 4,,... là dãy đơ điệu giảm. 5 - Dãy, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6,...là dãy đơ điệu khôg giảm. -,,, 3, 3,,... là dãy 3 đơ điệu khôg tăg. * Dãy số tăg hoặc dãy số giảm được gọi chug là dãy đơ điệu...3. Dãy số bị chặ Địh ghĩa.3 * Dãy số {x } được gọi là bị chặ trê ếu tồ tại số thực M sao cho với mọi N ta có x M. * Dãy số {x } được gọi là bị chặ dưới ếu tồ tại số thực m sao cho với mọi N ta có x m. * Một dãy số vừa bị chặ trê, vừa bị chặ dưới được gọi là dãy bị chặ...4. Cấp số cộg, cấp số hâ Địh ghĩa.4(cấp số cộg) Cấp số cộg là một dãy số (hữu hạ hoặc vô hạ) mà kể từ số hạg thứ hai trở đi, mỗi một số hạg bằg số hạg đứg trước ó cộg với một đại lượg khôg đổi (đại lượg khôg đổi được gọi là côg sai của cấp số cộg). Dãy số {x } được gọi là một cấp số cộg khi và chỉ khi tồ tại d R sao cho: x + = x + d, =,,... d được gọi là côg sai của cấp số cộg, x 0 là số hạg đầu, x là số hạg thứ. Ta có các côg thức cơ bả sau: * x = x 0 + d * S = x 0 + x +...+x = x 0 + ( ) d = (x 0 + x ) Địh ghĩa.5(cấp số hâ) Cấp số hâ là một dãy số (hữu hạ hoặc vô hạ) mà kể từ số hạg thứ hai trở đi, mỗi một số hạg bằg số hạg đứg trước ó hâ với một đại lượg khôg đổi (đại lượg khôg đổi được gọi là côg bội của cấp số hâ). Dãy số {x } được gọi là một cấp số hâ khi và chỉ khi tồ tại q R sao cho: 7

x + = x.q, =,,... q được gọi là côg bội của cấp số hâ, x 0 là số hạg đầu, x số hạg thứ. Ta có các côg thức cơ bả sau: * x = q x 0 * S = x 0 +x +...+x = q q x 0. Nếu q < thì {x } được gọi là cấp số hâ lùi vô hạ. Tổg của cấp số hâ lùi vô hạ được tíh theo côg thức: S = x 0 q..5. Các cách cho dãy số Để xác địh một dãy số gười ta có thể tiế hàh theo các cách sau đây: a) Cho côg thức số hạg tổg quát u. Thí dụ: Dãy số (u ) xác địh hờ côg thức u = với mọi =0,,,... Đây chíh là dãy các số tự hiê chẵ: 0,,4,6,8,... b) Dãy số được cho theo côg thức truy hồi Thí dụ:cho dãy số {u }, =0,,,3,... được xác địh hư sau: { u0 = 0 u + = 3u + +0u c) Dãy số được xác địh theo cách miêu tả. d) Phươg pháp phươg trìh đặc trưg. Trog các phươg pháp để xác địh dãy, chúg ta sử dụg phươg pháp phươg trìh đặc trưg của dãy. phươg pháp ày dựa vào phươg pháp sai phâ sau đây: * Sơ lược về phươg pháp sai phâ: Cho dãy số x 0 ;x ;...;x ;... Ta biết rằg một dãy số là một hàm số với đối số guyê, kí hiệu x = x(). * Địh ghĩa sai phâ: Ta gọi x = x + x là sai phâ cấp một của dãy x = x()với N Và gọi x = x + x là sai phâ cấp hai của dãy x = x()với N.. Một cách tươg tự k x = k x + k x là sai phâ cấp k của dãy số. * Vài tíh chất của sai phâ: Tíh chất : Sai phâ các cấp đều có thể biểu diễ qua các giá trị của hàm số Tíh chất : Sai phâ cấp k của một dãy số có tíh chất của một toá tử tuyế tíh, 8

tức là k (αx + βy ) = α k x + β k y, α;β R Tíh chất 3 : Sai phâ cấp k của đa thức bậc m là: i. Đa thức bậc m k, ếu m > k ii. Là hằg số ếu m = k iii. Bằg 0 ếu m < k Tíh chất 4 : x k = x + x m (với m<) k=m Thí dụ : Tíh các tổg sau: S =.!+.!+ +.! = k.k! k= S = ( + + ).!+ ( + + ).!+ + ( + + ).! = k= Giải * Ta có: k.k! = k!(k+ k) = (k+)! k! = k!. Như vậy: S = (+)!. k= ( k + k+ ).k! k.k! = k! =!!+3!!+4! 3!+...+(+)!!= k= * Vì ( k + k+ ).k! = ( k + k+ k ).k! = (k+) k! kk! = = (k+).(k+)! k.k! = (k.k!) vậy S = ( k + k+ ).k! = (k.k!) = (+)(+)! k= k= Thí dụ : Tíh tổg sau: T m = m + m + 3 m + m với m =,,3 Giải. Xét k = (k+) k = k+ k = k do đó T = k = ( k ) k= k= T = ( ) k = = k= k= ([ ] ) (+) = (+). Xét k 3 = (k+) 3 k 3 = 3k + 3k+ k = k3 3k 3 Do đó ta có: T = k = 3 k= = ( 3 k= ( k 3 3k ) k= ) k 3 3 k k= k= 9

T = ( [ ] (+) 3 3. (+) ) = (+)(+) 3 6 3. Với T 3 = k 3 ta có T 3 = T 4 T 3 = ( = ) 3 suy ra: k= T 3 = (+) 3 = (+) 3 (+) 3 = 3 + 9+7 3 T 3 = ( 3 + 9+7 ) = = 6+ 4 T 3 = (6+) = = 6 = cost Vậy ta có thể tìm T 3 dưới dạg T 3 = a 4 + b 3 + c + d+e Thay các giá trị ba đầu T 0 = ;T = ;T = 9;T 3 = 36;T 4 = 00 và giải hệ phươg trìh với các ẩ [ ] a,b,c,d,e,ta được T = (+) k 3 = k= * Phươg trìh sai phâ: Phươg trìh sai phâ cấp k là một hệ thức tuyế tíh chứa sai phâ các cấp tới k F ( x, x, x,..., k x ) = 0(.) Vì sai phâ các cấp đều có thể biểu diễ theo giá trị của hàm số ê (.) có dạg: a 0 x +k + a x +k + +a k x = f ()(.) hay L k [x ] = f () Trog đó L k là toá tử tuyế tíh tác độg lê hàm x. Trog đó a 0,a,...,a k, f () đã biết, cò x,x +,...,x +k là các giá trị chưa biết. Phươg trìh (.) được gọi là phươg trìh sai phâ tuyế tíh cấp k. Nếu f () = 0 thì phươg trìh (.) có dạg: a 0 x +k + a x +k + +a k x = 0(.3)hay L k [x ] = 0 và được gọi là phươg trìh sai phâ tuyế tíh thuầ hất cấp k. Nếu f () 0 thì phươg trìh (.) được gọi là phươg trìh sai phâ tuyế tíh khôg thuầ hất cấp k Hàm số x biế thỏa mã (.) được gọi là ghiệm của phươg trìh sai phâ tuyế tíh (.) Hàm số x phụ thuộc k tham số thỏa mã (.3) được gọi là ghiệm tổg quát của phươg trìh sai phâ tuyế tíh (.3) Một ghiệm x thỏa mã (.) được gọi là một ghiệm riêg của (.) Tíh chất: Giả sử x và y là ghiệm của phươg trìh L k [x ] = 0 khi đó αx +βy, α,β R cũg là ghiệm của phươg trìh L k [x ] = 0. Chứg mih: Do x và y là ghiệm của phươg trìh L k [x ] = 0 ê L k [x ] = 0 và L k [y ] = 0. Khi đó ta có L k [αx + βy ] = αl k [x ]+βl k [y ] = α.0+β.0 = 0. Vậy αx + βy, 0

α,β R là ghiệm của L k [x ] = 0 Thí dụ : Dãy (x ) được xác địh hư sau: { x+ = 8x + + 9x x 0 = ;x = 8 Hãy tìm côg thức cho số hạg tổg quát x Giải Phươg trìh đặc trưg λ + 8λ 9 = 0 có hai ghiệm phâ biệt λ = hoặc λ = 9. Suy ra ghiệm của phươg trìh có dạg x = A. + B.( 9). Sử dụg điều kiệ biê ta tìm được ghiệm tổg quát của phươg trìh là x = +( 9)...6. Dãy Fiboacci Địh ghĩa.5 Dãy số Fiboacci là dãy số được địh ghĩa bởi: f 0 = 0, f =, N, f + = f + + f. Dãy số Fiboacci có rất hiều tíh chất thú vị và xuất hiệ một cách tự hiê trog hiều lĩh vực khác hau. Chúg ta có côg thức sau đây xác địh số hạg tổg quát của dãy số Fiboacci: Côg thức Biet f = ( + ) 5 ( ) 5 5.. Giới hạ của dãy số Địh ghĩa.6 Ta ói dãy số {x } có giới hạ hữu hạ a khi dầ tới vô cùg ếu với mọi ε > 0 tồ tại số tự hiê N 0 (phụ thuộc vào dãy số {x } và ε) sao cho với mọi > N 0 ta có: x a < ε Ta viết: lim x = a ε > 0, N 0 N : > N 0, x a < ε Địh ghĩa.7 Ta ói dãy số {x } dầ tới vô cùg khi dầ tới vô cùg ếu với mọi số thực dươg M lớ tùy ý tồ tại số tự hiê N 0 (phụ thuộc vào dãy số và M ) sao cho với mọi > N 0 ta có: x > M. Ta viết: lim x = M > 0, N 0 N : > N 0, x > M

Địh lý.(tổg, hiệu, tích,thươg các dãy hội tụ). Nếu {x }, {y } là các dãy hội tụ { và} có giới hạ tươg ứg là a, b thì các dãy số x {x + y },{x y }, {x.y } và cũg hội tụ và có giới hạ tươg ứg là a+b, y a - b, a.b, a b (Trog trườg hợp dãy số thươg, ta giả sử y và b khác khôg). Địh lý.(sự hội tụ của dãy đơ điệu.) * Một dãy tăg và bị chặ trê thì hội tụ * Một dãy giảm và bị chặ dưới thì hội tụ Thí dụ:chứg tỏ rằg dãy: a = + +...+ l, N có giới hạ hữu hạ. x Chứg mih: Ta có bất đẳg thức sau: < l(x+) < x, x > 0() x+ Sử dụg (), ta thu được: a + a = + l(+)+l = ( + l + ) < 0 và từ đó dãy (a ) là dãy giảm. Ta chứg mih rằg ó bị chặ dưới. Sử dụg bất đẳg thức bê phải của () ta có: ( a > l(+)+l + ) ( + l + ) ( +...+l + ) l = 3 ) ( = l 3.4 3...+. = l + > + > 0 Do đó theo guyê lí Weierstrass dãy (a) có giới hạ hữu hạ. Ta kí hiệu giới hạ đó là C. Đặt a C = γ, N. Hiể hiê γ. Từ đó ta có: + +...+ = l+c+ γ Số C được gọi là hằg số Ơle(). Giả sử: Địh lý.3(qua giới hạ dưới dấu bất đẳg thức) i) lim a = a, lim b = b ii) a b, N Khi đó a b Địh lý.4(địh lý về dãy trug gia) Giả sử: i) lim a = lim b = α ii) a z b, N Khi đó: lim z = α

Địh lý.4 (Tiêu chuẩ Cauchy) Dãy số {x } có giới hạ hữu hạ khi và chỉ khi ó là dãy Cauchy. Tức là: ε > 0, N 0 N : m, > N 0 ta có: x m x < ε Thí dụ. Sử dụg tiêu chuẩ Cauchy để chứg mih rằg dãy {a } với a = + +...+, N hội tụ Chứg mih: Giả sử ε > 0 cho trước tuỳ ý. Khi đó: = a +p a = (+) +...+ (+ p) < < (+) + (+)(+) +...+ (+ p )(+ p) = ( ) ( + + + ) ( +...+ + + p ) = + p = + p < < ε > ε, p > 0 Từ đó theo tiêu chuẩ Cauchy thì dãy đã cho là một dãy hội tụ. Thí dụ. Xét dãy {a } với: a = + +...+, N. Ta hậ xét rằg, ta lấy số tự hiê p = ta thu được: a +p a = a a = + + + +... + =. Do đó ếu lấy ε = thì khôg tồ tại chỉ số N sao cho p > N và p N thì: a +p a < ε. Điều ày chứg tỏ dãy {a } khôg phải là dãy cơ bả ê ó là một dãy phâ kì. Địh ghĩa.8 (Áh xạ co) * Địh ghĩa: Giả sử f : R R, Áh xạ f được gọi là áh xạ co ếu tồ tại một hằg số α (0<α<) sao cho: x,x ta có: f(x ) f(x ) < α x x. Nhậ xét: Mọi áh xạ co đều liê tục. * Nguyê lý áh xạ co: Mọi áh xạ co f : R R luô tồ tại một điểm bất độg duy hất. Chứg mih: Giả sử x o R là một điểm bất kỳ. Đặt: x = f(x 0 ),x = f(x ) thì: f(x ) = f(f(x 0 )) = f (x 0 ) 3

... x k = f(x k ) = f k (x 0 )... Ta chứg mih dãy {x k } là dãy Cauchy. Thật vậy: k, p là hai số guyê dươg tùy ý. Rõ ràg ta có: x k+p x k = f k+p (x 0 ) f k (x 0 ) = f k ( f p (x 0 )) f k (x 0 ) = f k (x p ) f k (x 0 ) α f k (x p ) f k (x 0 )... α k x p x 0 x k+p x k α k x p x 0 Mặt khác: x p x 0 = x p x p + x p x p +...+x x 0 x p x p + x p x p +...+ x x 0. Nhưg: x x 0 = x x 0 x x = f(x ) f(x 0 ) α x x 0... x p x p... α p x x 0. Cộg vế với vế các bất đẳg thức trê ta được: x p x 0 x p x p + x p x p +...+ x x 0 (+α + α +...+α p ) x x 0. Như vậy ta có: x k+p x k α k (+α +α +...+α p ) x x 0 αk α x x 0. Rõ ràg lim k α k = 0 ê k đủ lớ ta có: x k+p x k < ε với ε tùy ý, do đó dãy {x k } là dãy Cauchy. Do đó x R sao cho: lim x k x = 0, do áh xạ co là áh xạ liê tục ê ta có: k lim f(x k) f(x ) = 0. Mặt khác f(x k ) = x k+ ê ta có: lim f(x k ) x = 0 k k cho ta: f(x ) = x suy ra sự tồ tại của điểm bất độg. + Bây giờ ta chứg mịh sự duy hất: Giả sử tồ tại hai điểm bất độg x,x. Khi đó ta có: f(x )=x ; f(x )=x. Từ đó ta có: x x = f(x ) f(x ) α x x ( α) x x = 0 Hay x = x. Vậy guyê lý được chứg mih. Như vậy xét trog { tập số thực ta có: Nếu f(x) là áh xạ co trê R thì dãy số x0 = a R {x }xác địh bởi hội tụ. x + = f(x ) 4

Chươg Một số lớp bài toá về dãy số.. Lớp bài toá có tíh chất số học của dãy Trog mục ày tác giả sẽ đưa ra các bài toá về dãy số với các yêu cầu có tíh chất số học và các bài toá dãy số giải được bằg phươg pháp số học. Trước tiê ta đi xét một số bài toá về dãy guyê. Dãy số guyê là một phầ qua trọg trog lý thuyết dãy số. Ngoài các vấ đề chug hư tìm số hạg tổg quát của dãy số, tìm côg thức tíh tổg số hạg đầu tiê... các bài toá về dãy số guyê cò qua tâm đế tíh chất số học của dãy số hư chia hết, đồg dư, guyê tố, chíh phươg, guyê tố cùg hau... Các bài toá về dãy số guyê rất đa dạg. Trog hiều trườg hợp, dãy số chỉ là cái bề goài, cò bả chất bài toá là một bài toá số học. Bài toá: Nếu (x ) là một dãy có phươg trìh hồi quy: x + = ux + + vx thì ta sẽ có phươg trìh đặc trưg của dãy hồi quy : x ux v = 0 với hai ghiệm a,b. Chú ý rằg x = a và x = b thỏa mã phươg trìh hồi quy vì a = ua+v,b = ub+v. Nếu a = b thì a = b = u và x = a cũg thỏa mã phươg trìh hồi quy. 5

Nếu a b ta tìm được c,c R sao cho x = c a+c b,x = c a + c b. Khi đó ta có :x = c a + c b hoà toà thỏa mã phươg trìh hồi quy. Ta cũg có x,x xác địh duy hất bởi c,c và dãy x. Hơ ữa dãy thỏa mã phươg trìh hồi quy là : x = c a + c b với c,c được xác địh ở trê. Tươg tự với a = b khi đó dãy thỏa mã là :x = c a + c b ở đó c,c được xác địh qua :x = c a+c b và x = c a + c b. Bài toá (RMO00 [0]) Giả sử dãy (a ) được địh ghĩa hư sau:a 0 = a = và a + = 4a a với. Chứg mih rằg a là một số chíh phươg. * Phâ tích:từ yêu cầu của bài toá là a là số chíh phươg tức là: Tồ tại dãy guyê (c ) sao cho: a = c, suy ra c + = a. Bây giờ ta đi xác địh dãy (c ) : Từ phươg trìh đặc trưg xác địh a : λ 4λ + = 0() ta giải ra được hai ghiệm: λ, = 7 ± 48. Nhậ xét thấy rằg: λ, = 7 ± 48 = ( ± 3 ). Mà ± 3 lại là hai ghiệm của phươg trìh đặc trưg: λ 4λ + = 0() suy ra hệ thức truy hồi xác địh ghiệm tổg quát của (): c = 4c c,. Với N địh ghĩa c hư sau: c 0 = ;c = và c = 4c c,. Khi đó: ( + ) 3 ( c = + ( 3) ) 3 ( + ) 3 với N Bìh phươg vế trê ta có : ( c ) + 3 ( = 7+4 ( ) 3 ( 3) + + 7 4 ). 3 Ta chỉ cầ chứg mih : c + = a điều ày ta dễ dàg làm được bằg cách tìm a theo tíh chất đã êu ở trê. Bài toá (Shortlist 988 [5]). Cho dãy guyê a địh ghĩa hư sau: 6

a 0 = 0,a =,a + = a + + a, 0. Chứg mih rằg k a <=> k Sử dụg tíh chất trê ta tìm được: Khi đó ta có cách: a = (+ ) ( ) Cách : Chứg mih bằg quy ạp a lẻ khi lẻ và xây dựg dãy b với b 0 = b = và b = b + b. Chứg mih b chia hết cho hưg khôg chia hết cho 4 với mọi bằg quy ạp. Từ côg thức tườg mih của a và b và a = a b. Cách : Chứg mih quy ạp a + = (a ) +(a + ) và a = a (a + a ). Bài toá 3(RMO999 [0])Chứg mih rằg với số guyê dươg bất kỳ thì : là tổg của bìh phươg đúg. C+ k k 3 k k=0 Đặt α = + 3,β = 3 và T = (α+ + β + ). Ta có : αβ =, α = + 3 và β = 3. Áp dụg khai triể đối với hị thức (+ 3) và ( 3), ta tìm được: T = C+ k 3k là một số guyê với mọi. k=0 Áp dụg khai triể hị thức với (+ 3) + và ( 3) +, ta có : S = ( α )+ +( β )+ 4 = α4+ + β 4+ +3 = α4+ + (αβ) + + β 4+ +3 + = (α+ + β + ) +3 + 7

T + +. Do vậy : + S = T +. Khi đó T hưg T (mod + ). Hơ ữa: S = T + + = Đây là điều phải chứg mih. ( T ) T + +( + + *Nhậ xét :Qua các bài toá trê ta có một số kết quả sau:.. + và do vậy T Dựa vào một số tíh chất trog số học ta có một hệ thức có dạg ghệm tổg quát của phươg trìh sai phâ, từ đó ta suy ra phươg trìh đặc trưg và từ đó ta suy ra hệ thức truy hồi, hư vậy ta sẽ được bài toá mới. Thí dụ: Dựa vào tíh chất: với là số guyê tố thì a a( mod ), ta có: { ( 3) 3 ( mod ) ( mod ) Suy ra: +( 3) + 0( mod ). Mà 3 và là hai ghiệm của phươg trìh đặc trưg: λ + λ 6 = 0. Hay ( 3), chíh là ghiệm tổg quát của phươg trìh sai phâ: x + = x + +6x. Từ đó ta có bài toá sau: Cho (u ) thỏa mã: { u = 4, u = 0 u + + u + = 6(u + ), N CMR: (u + 4).., với là số guyê tố. ) Giải Đặt x = u + 3, ta được: x = ;x = 3,x + = x + + 6x Xét phươg trìh đặc trưg : λ + λ 6 = 0, ta được λ =,λ = 3 Ta được: x = C ( 3) +C, N Từ điều kiệ ba đầu: { x = x = 3 Suy ra C = C =, suy ra { x = ( 3) + u + 4 = ( 3) + + ( 3) 3 ( mod ) Với là số guyê tố ( mod ) 8

Suy ra: +( 3) + 0( mod ). Bài tập đề ghị: Bài :Cho dãy số (u ) xác địh hư sau: { u = 0, u = 4, u 3 = 8 u = 7u 6u, 3 CMR: Nếu p là số guyê tố thì u p..p. Hướg dẫ: Từ hệ thức truy hồi và điều kiệ biê ta xác địh được: u = + +( 3).Vì p là số guyê tố, áp dụg địh lý Fecma suy ra đpcm Bài : Dãy (a ) được xác địh hư sau: { a0 = 0,a =,a = ;a 3 = 6 a +4 = a +3 + a + a + a, 0 Hướg( dẫ:từ giả thiết, bằg phươg pháp giải phươg trìh sai phâ ta tìm được: a = 5 α ) β với α,β là hai ghiệm của phươg trìh:x x = 0 5. Nhậ xét thấy rằg: a = F với (F ) là dãy Fiboacci. Vậy ta có điều cầ chứg mih. Nhậ xét: Nhữg bài toá trê ta đã xét được các dãy truy hồi tuyế tíh với hệ số guyê và các số hạg đầu đều guyê sẽ chứa toà số guyê. Thế hưg có hữg dãy số mà trog côg thức truy hồi có phâ số, thậm chí có cả că thức hưg tất cả các số hạg của ó vẫ guyê, đấy mới là điều bất gờ. Tuy hiê, ếu xem xét kỹ, ta có thể thấy chúg có một mối qua hệ rất trực tiếp.sau đây ta xét hai bài toá mà dãy số cho dưới dạg hệ thức truy hồi có chứa că hưg mọi số hạg của dãy đều guyê: Bài toá 4 Chứg mih rằg mọi số hạg của dãy số a xác địh bởi: a 0 =,a + = a + 3a đều guyê. Chuyể vế và bìh phươg côg thức truy hồi, ta được: a + 4a a + + 4a = 3a a + 4a a + + a + = 0 Thay bằg, ta được: a 4a a +a + = 0. Từ đây suy ra a và a + là hai ghiệm của phươg trìh x 4a x+a + = 0. Suy ra a + + a = 4a hay a + = 4a a. Từ đây suy ra tất cả các số hạg trog dãy đều guyê, vì 9

a 0 = và a = 3 guyê. Bài toá 5 (VMO995[4]) Dãy (a ), N, được xác địh hư sau: a 0 =,a + = 5a + 4a 96 với mọi =0,,,3,.... Tìm côg thức của số hạg tổg quát a theo.. CMR a.5 với mọi N )Với mọi N ta có: a + = 5a + 4a 96 (a + 5a ) = 4a 96 a 0a + a + a + + 96 = 0() Từ () thay bởi + ta được: a + 0a +a + + a + + 96 = 0(). Dãy (a ) là dãy tăg thực sự ê a < a +. Từ () và (),suy ra a và a + là hai ghiệm phâ biệt của phươg trìh (ẩ t):t 0a + t + a + + 96 = 0. Theo địh lý Viet, ta có a + + a = 0a + hay a + 0a + + a = 0 với mọi N. Suy ra, dãy (a ) có phươg trìh đặc trưg:x 0x+ = 0. Dễ thấy phươg trìh trê có hai ghiệm là: x = 5 6 và x = 5+ 6. Từ đó, a = C (5 6) +C (5+ 6). cho =0 và = ta được: C +C = ( 5 ) ( 6 C + 5+ ) 6 C = 0 Suy ra C = C =. Vậy số hạg tổg quát của dãy (a ) là: a = (5 6) +(5+ 6), với mọi N.. Dễ dàg chứg mih được bằg phươg pháp quy ạp toá học. Nhậ xét: Từ các bài toá trê ta phát triể thàh bài toá tổg quát sau: Cho ba số guyê a, b, c thỏa mã điều kiệ: a = b+. Dãy số {u } xác địh hư sau: u 0 =,u + = au + bu c. Chứg mih rằg mọi số hạg của dãy số trê đều guyê. bài toá tổg quát ày tươg tự bài toá 4. Như vậy từ bài toá tổg quát ày ta có thể ság tác ra một hệ thốg các bài toá bằg cách cho a,b,c các giá trị cụ thể. 0

Bìh luậ:các hệ thức truy hồi trog các bài toá 4 và 5 đều gợi cho chúg ta đế với phươg trìh Pell. Quả thật là có thể xây dựg hàg loạt dãy số tươg tự bằg cách xét phươg trìh Pell. Xét phươg trìh x Dy = k. Giả sử phươg trìh có ghiệm khôg tầm thườg (x 0,y 0 ) và (α,β) là ghiệm cơ sở của phươg trìh x Dy =. Khi đó, ếu xét hai dãy (x ),(y ) xác địh bởi: x + = αx + βdy,y + = βx + αy thì x,y là ghiệm của x Dy = k. Từ hệ phươg trìh trê, ta có thể tìm được x + = αx + β D(x k);y + = αy + β k+dy và hư vậy đã xuất hiệ hai dãy số guyê được cho bởi côg thức khôg guyê. Ví dụ, với D = 4a(a+),k = thì ta có x 0 = α = a+,y 0 = β =. Ta được hai dãy số guyê sau đây : x 0 = a+,x + + 4a(a+)(x ) y 0 =,y + = a++ 4a(a+)y + Cuối cùg, chú ý rằg ta có thể tạo ra một kiểu dãy số khác từ kết quả a,a + là hai ghiệm của phươg trìh : x 4a x + a + = 0 Trê đây : Theo địh lí Viète thì a + a = a +, suy ra:a + = a + và ta có bài toá: Cho dãy số (a ) xác địh bởi a 0 =,a = 3 và a a + = a + Chứg mih rằg a guyê với mọi a Bài toá 5(Bulgaria 996) Chứg mih rằg với mọi số tự hiê 3 luô tồ tại cặp số tự hiê lẻ x,y thỏa mã: 7x + y =. Ta chứg mih sử dụg quy ạp: = 3: ta có x 3 = y 3 =. Giả sử đúg với : tức là có các số tự hiê lẻ x,y sao cho 7x + y = ; Ta cầ chứg mih đúg với + tức là chỉ ra tồ tại cặp số tự hiê lẻ (X,Y) thỏa mã :7X +Y = +. Thật vậy, ta có: ( ) x ± y ( 7x y 7 + ) = (7x + y ) = +.

Vì x,y lẻ ta có ít hất x + y phải chứg mih. hoặc x y là số tự hiê lẻ. Từ đây ta có điều Sau đây chúg ta đi xét một bài toá về dãy có phươg pháp giải bằg phươg pháp số học mặc dù bài toá đó khôg có bả chất số học. Bài toá 6(Czech-Slovak Match 995)[8]: Cho dãy số xác địh bởi: a = ;a = 5 và a + = ( )a + +(+ )a với. Có tồ tại hay khôg các số : p,q,r sao cho: a p a q = a r? Ta sử dụg quy ạp a (mod3): =,: Đúg Giả sử đúg với + ta cầ chứg mih đúg với +: Thật vậy, ta có: a + = ( )a + + (+ )a ( )+(+ ) 8 (mod3) Từ đó ta có với p,q,r bất kỳ ta có: a p a q (mod3), mà a r (mod3) = a p a q a r * Bài tập đề ghị: Bài. Cho dãy a = 0,a = 30,a + = 3a a,. Tìm tất cả sao cho +5a a + là một số chíh phươg. Bài. Cho a 0 = a = 5 và a = a + a + 98 Chứg mih rằg : a + là một số chíh phươg. 6 Bài 3. Cho a = và với ta có : a + = a + Chứg mih rằg a 3+ = a + (a + + ). 3a 3 Bài 4. Cho dãy :a 0 =,a = và a + = 4a + a. Chứg mih rằg a 6 a khôg phải là lập phươg của một số hữu tỷ. Bài 5. Cho a 0 = 4,a = và a + = 6a a. Chứg mih rằg có thể biểu diễ a hư sau: với x,y N a = y + 7 y x Bài 6. Cho c N. Cho x =,x = c và x + = x x + với.

Chứg mih rằg với k bất kì thì tồ tại r sao cho x k x k+ = x r Bài 7.Cho a,b Z. Địh ghĩa dãy (a ) hư sau: a 0 = a,a = b,a = b a+ và a +3 = 3a + 3a + + a. Tìm a,b sao cho a là một số chíh phươg với 998 Bài 8. Cho dãy (a ) sao cho a = 43,a = 4,a + = 3a + a. Chứg mih rằg (a,a + ) =. Chứg mih rằg với bất kỳ m N tồ tại vô hạ số sao cho: m UCLN(a,a + )... Lớp các bài toá dãy số có bả chất đại số Lớp các bài toá dãy số có bả chất đại số thườg là các bài toá tìm côg thức tổg quát của một dãy số, tíh tổg các số hạg của một dãy số. Với loại toá ày, chúg ta có một số kiế thức cơ bả làm ề tảg hư: ) Các côg thức về cấp số cộg, cấp số hâ ) Phươg pháp phươg trìh đặc trưg để giải các phươg trìh sai phâ tuyế tíh với hệ số hằg (thuầ hất và khôg thuầ hất) Các phươg pháp cơ bả để giải các bài toá dãy số ở loại ày là bằg các biế đổi đại số, đưa bài toá về các bài toá que thuộc, tíh toá và đưa ra các dự đoá rồi chứg mih bằg quy ạp toá học. Trog một số bài toá, phép thế lượg giác sẽ rất có ích. Ta bắt đầu đi từ bài toá thi HSG của đất ước Mỹ ăm 993: Bài toá (Putam 993 []). Cho dãy các số thực thỏa mã điều kiệ: a a.a + =, () CMR tồ tại các số thực m sao cho: a + = ma a, () phâ tích: Từ kết luậ ( )ta suy ra:m = a + + a { a } a+ + a Ta cầ chỉ ra tồ tại m tức là dãy: khôg đổi a : Khi ta địh ghĩa b = a + a. a khi đó hệ thức đã chứg tỏ b = b +, 3

thật vậy: b = b + a + a = a + + a a +a.a + = a a.a a Đẳg thức cuối cùg hiể hiê đúg theo giả thiết ( Cả hai vế đều bằg ). Từ đó, đặt b = m,. Ta có:m = a + + a a + = ma a a Sau cùg, với =suy ra m = a + a 0 a Vậy ta có điều phải chứg mih. *Nhậ xét: Mấu chốt của bài toá xuất phát từ dãy b với b = a + a a a là dãy hằg. Vậy ta hãy cho b là một dãy hằg vối số hạg tổg quát khác thì ta được một bài toá mới. Ví dụ cho b = αa + βa a thế bằg: a a.a + a a.a = α β suy ra b = b + suy ra giả thiết sẽ được thay Hay u + = α β.u, với u + = a a.a +. Tức là (u ) là cấp số hâ với côg bội là α β Suy ra bài toá mới: Cho (u ) là cấp số hâ với côg bội là α β. Dãy a thỏa mã: a a.a + = u +. Chứg mih rằg: tồ tại số thực m sao cho: α.a + = ma β.a Tổg quát hơ ữa, cho b là một hàm f (a,a +,a ) sao cho b là dãy hằg, biế đổi giả thiết suy ra điều kiệ của dãy a suy ra bài toá mới. Bài toá (Polad 997): Cho các số guyê dươg x,x,...,x 7 thỏa mã: x 6 = 44, x +3 = x + (x + + x ) với =,,3,4. Tìm x 7 Sử dụg giả thiết, ta có: x 6 = (x 3 + x )[(x 3 (x + x ) + x 3 ][x 3 (x + x )] (x 3 + x ) (x 3 + x + ) do vậy x 3 + x < 5. Do đó x 6 là tổ hợp của x,x 3. Với mỗi trườg hợp sẽ cho ta một phươg trìh Diophat với x, hưg chỉ hai trườg hợp là có ghiệm. Do đó dãy có thể là:,,,6,8,44,3456 7,,,8,6,44,3456 4

Trog cả hai trườg hợp thì x 7 = 3456. Bài toá 3(Irelad 998)[8]. cho dãy số thực x được cho bởi : x 0,x là các số thực dươg tùy ý, và: Tìm x 998. x + = +x + x, = 0,,, Phâ tích:ta sẽ tìm ra quy luật của dãy dựa vào việc tíh một vài số hạg đầu của dãy. Ta có: x = +x, x 3 = x 0 + x +, x 4 = +x 0 x 0 x 0 x x x 5 = x 0, và x 6 = x. Do vậy, x k có chu kỳ lặp lại 5 số hạg và x 998 = x 3 = x 0 + x +. x 0 x Bài toá 4(Russia 995[8]): Cho dãy a 0,a,a, thỏa mã: a m+ + a m = (a m + a ) với mọi số guyê khôg âm m và với m. Nếu a =, hãy xác địh a 995. Ta có: a m + a m = (a m + a 0 ) = 4(a m + a m ), suy ra a m = 4a m và a 0 = 0. Do vậy ta sẽ tíh được a = 4,a 4 = 6. Từ đó ta cũg có a +a 3 = a + a 4 = 0 ê a 3 = 9. Ta sẽ chứg mih a i = i với mọi i. Thật vậy sử dụg quy ạp theo i. Giả sử rằg a j = j với j < i. Khi đó ta có với m = i, j = thì: a = (a +a ) a = a +a a = ( +)+ ( 4+4)=. Do đó, ta có : a 995 = 995. Nhậ xét :- Do dãy số là một trườg hợp đặc biệt của hàm số. Ta có thể giải bài toá trê bằg cách cách sử dụg phươg trìh hàm hư sau: 5

Chuyể dãy về hàm, ta có: f(x+y)+ f(x y) = ( f(x)+ f(y)), f() = Cho x=y ta được f(0) = 0 Cho y=0 ta được: f(x) = 4 f(x). Từ đây suy dễ dàg suy ra f(x) = x. Do vậy: a =. Như vậy: Ta có thể chuyể bài toá từ dãy về hàm và giải bài toá đó bằg phươg trìh hàm. Vậy ta có thể ság tạo ra một số đề toá về dãy dựa theo theo một số đặc trưg của hàm hư sau:. Dựa theo đặc trưg của hàm tuyế tíh f(x) = ax là f(x + y) = f(x) + f(y). Chuyể sag bài toá dãy sẽ là: Xác địh dãy (u ) biết u m+ = u m + u, với mọi số guyê khôg âm m, (m ), u = a 0. Dựa theo đặc trưg của hàm lũy thừa f(x) = x k,x > 0 là f(xy) = f(x) f(y). Chuyể sag bài toá dãy sẽ là: Xác địh dãy (u ) biết u m = u m.u, với mọi số guyê dươg m,. 3. Dựa theo đặc trưg của hàm mũ f(x) = a x,(a > 0,a ) là f(x+y) = f(x) f(y). Chuyể sag bài toá dãy sẽ là: Xác địh dãy (u ) biết u m+ = u m.u, với mọi số guyê dươg m,. 4. Dựa theo đặc trưg của hàm cos f(x) = cosx là f(x+y)+ f(x y) = f(x) f(y). Chuyể sag bài toá dãy sẽ là: Xác địh dãy (u ) biết u m+ + u m = u m.u, với mọi số guyê dươg m,.... Bài toá 5(Shortlist 994 [5]). Cho dãy số {a } xác địh bởi a =, a = và a + = a + a + với mọi >. Chứg mih rằg với mọi m, a m a m+ cũg là một số hạg của dãy số. Ta có a + = a + a + Thay bằg -, ta được a + = a a + Trừ hai đẳg thức vế theo vế, ta được a + 3a + + 3a a = 0 Phươg trìh đặc trưg: x 3 3x + 3x = 0 có ghiệm bội 3 x,,3 = ê ta có ghiệm tổg quát a có dạg a = a + b+c. Thay =,, 3 ta được: a + b + c = 4a + b + c = 6

9a + 3b + c = 5 Từ đó giải ra được [ a =,b =,c =. Vậy a = + = ( ) + (m Do đó:a m a m+ = (m ) + ] + ) = ( m m+ ) + = am m+ Bài toá 6(VMO-00 [4]). Cho dãy (x ), N, được xác địh hư sau:x = 3 x và x + = (+)x + với mọi N. Hãy tíh tổg của 00 số hạg đầu tiê của dãy (x ). Dễ thấy x > 0, với mọi N. Đặt u = x Từ côg thức xác địh dãy (x ) của đề bài, ta có:u = 3 và u + = 4( + ) + u với mọi N () Từ (), bằg phươg pháp sai phâ ta giải được u = ( )(+),với mọi N. Do đó: x = = u ( )(+) = +, với mọi N. Do vậy: 00 x i = i= 4003 = 400 4003.3. Lớp các bài toá về bất đẳg thức dãy. Bài toá (Chia 995 [8]). Giả sử rằg số thực a,,a,b,,b ( 3) thỏa mã các điều kiệ sau: (a)a + a + +a = b + b + +b ; (b)0 < a = a,a i + a i+ = a i+, i =,,, ; (c)0 < b b,b i + b i+ b i+, i =,,,. Chứg mih rằg:a + a < b + b. Cho dãy F là dãy Fiboacci với F 0 = 0,F =, sao cho: a i = F i a. Đặt d = b b và d i = b i b i b i với i >. Khi đó dễ thấy rằg: b i = F i b + F i d + +F d i. Ta có tíh chất sau của dãy F : F 0 + +F k = F k+ (có thể chứg mih lại bằg phươg pháp quy ạp). Khi đó có: 7

b + b F + b + F d + +F d = F +b = a + a b + +b (F )b +(F )d + +(F )d (F )b a + +a Bất đẳg thức đầu là hệ quả của kết quả sau: ếu a,b,c,d > 0 và a b c d thì a b a+c b+d. Đặt s = a + +a ; thì ta có: a + a s a a b + b s b b. Vì f(x) = x s x là hàm tăg trê [0,s], do vậy ta có :a + a b + b. *Nhậ xét: trê đã sử dụg một tíh chất của dãy Fiboacci- Một dãy đặc biệt đã được hắc đế ở chươg. Sau đây ta xét thêm một số tíh chất khác của dãy Fiboacci:. u + = +u + u +...+u.u + u 3 + u 5...+u = u 3.u + u 4 + u 6...+u = u + 4.u + u +...+u = u.u + 5.u = u u + u u 3 +...+u.u 6.u + u + u u +3 = ( ) 7.u u + u = ( ) + Chứg mih các tíh chất ày khá đơ giả Tuy hiê sự vậ dụg các tíh chất trê là rất lớ. Ví dụ hư bài toá sau: Bài toá ( Shortlist 997 [8]) Với mọi số guyê hãy xác địh giá trị hỏ hất của tổg a i có thể đạt i=0 được từ dãy số khôg âm a 0,a,,a thỏa mã điều kiệ a 0 =,a i a i+ + a i+ với i = 0,,. 8

Ta dễ thấy rằg giá trị hỏ hất của a i sẽ đạt được khi a 0,a,,a thỏa mã hệ sau: i=0 a + a = a + a 3 = a a 3 + a 4 = a a k + a k = a k a + a = a a = 0 Do vậy a i = f i f, với f i với i = 0,, là dãy Fiboacci : f 0 = 0, f =, f =, Và : Mi a i = ( f 0 + f + + f + f ) = + f +. i=0 f f Bài toá 3(Chia 997[0]) Cho x,x,,x 997 là các số thực thỏa mã các điều kiệ sau: i, 3 x 3. ii, x i = 38 3. Tìm giá trị lớ hất của x i. Vì x là hàm lồi đối với x, x i đạt lớ hất khi x i là điểm cuối của đoạ. Giả sử có số x i bằg 3, 996 bằg 3 và phầ tử cuối cùg bằg 38 3+ 3 (996 ) 3. 9

Số ày sẽ được chọ sao cho thỏa mã: 3 38 3+ 3 (996 ) 3 3. Điều ày tươg đươg với: 4 694 3. Chỉ có số guyê : = 736 thỏa mã điều kiệ ày, và giá trị đó là: 3, và giá trị lớ hất là 736.3 6 + 60.3 6 +( 4 3 )6. Bài toá 4(VMO-999 [4]) Cho dãy (u) được xác địh bởi: u =,u = và u + = 3u + u với =,,3,... Chứg mih rằg: u + + u + u +, với mọi =,,3,... u Dễ thấy u 3 = 5 và dãy (u ) (=,,...) là dãy số dươg tăg. Từ hệ thức u + = 3u + u ta có: (u + + u )u = 3u + u = (u + + u )u + (=,3,...) Suy ra: u + u u + = u +u u (=,3,...) Như vậy: u + u u + = u +u u =... = u 3 u u =. Từ đó ta có: u + + u = +u + + u = + u + u +. Hay u + + u + u +, với mọi u u u u =,,3,... Bài toá 4(Bulgaria 996 [0]) Cho dãy {a } =xác địh bởi: a = ;a + = a +,. a Chứg mih rằg với 4, a =. Điều cầ chứg mih sẽ tươg đươg với việc ta chứg mih: a, >. Ta sẽ chứg mih bằg quy ạp: =,,3 khẳg địh đúg. Giả sử đúg với, ta cầ chứg mih khẳg địh đúg với +: Thật vậy, ta xét : f (x) = x +. Với 3, ta có: x a + = f (a ) f ( ) = > + 30

Mặt khác sử dụg: a > ta có với 4: a + = f (a ) < f ( ) = ( )+ ( ) ( ) chứg mih. Bài toá 5(Chia 997 [0]) < +. Vậy ta có điều phải Cho a,a, là các số guyê khôg âm thỏa mã a +m a + a m với m, N. Chứg mih rằg: a ma +( m )a m. Sử dụg quy ạp theo k, a ka m + a mk với k < m. Đặt = mk + r với r {,,m}, khi đó: do a m a và a r ra. Bài toá 6(Taiwa 997 [0]). a ka m + a r = r m a m + a r m m a m + ma. Cho 3 là số guyê, và giả sử rằg dãy a,a, a thỏa mã a i + a i+ = k i a i với số guyê dươg k i. Chứg mih rằg k i 3. Bất đẳg thức trái k + k + +k ta sử dụg AM-GM để chứg mih với chú ý: k + k + +k = i= a i a i+ + a i+ a i. Mặt khác, ta cũg chỉ ra được rằg k + k + +k 3 với bằg quy ạp theo. Với =, ếu a a, thì a = k a, và ta có : hoặca = a và k + k = 4 = 3.,hoặc a = a và k + k = 4 = 3.. Với >, ta có thể giả sử a i là khôg đồg thời bằg sau, khi đó tồ tại i sao cho a i a i,a i+ với bất đẳg thức gặt ở ít hất một trog hai trườg hợp. Khi đó a i + a i+ < a i và k i =. Ta cũg có kết luậ dãy khi bỏ đi a i vẫ thỏa mã điều kiệ đưa ra với k i và k i+ giảm dầ về và bỏ đi k i. Do tổg kết quả k i lớ hất là 3( ) do giả thiết quy ạp., vậy tổg k i ba đầu lớ hất là 3. 3

Bài toá 7(Chia 998 [0]). Cho là một số guyê. Tồ tại hay khôg dãy guyê dươg a,a,,a,b,b,,b sao cho: a i = b i và > a i b i a i + b i > 998. Câu trả lời là có. Trước hết ta sẽ chứg mih: Nếu a,a,,a,b,b,,b là số guyê dươg phâ biệt sao cho a + a + +a = b + b + +b, khi đó: > a i b i i= a i + b i Thật vậy, từ điều kiệ, ta thấy rằg tồ tại i, i, sao cho b i > a i. Do đó b i a i + b i > và a i b i = i= a i + b i i= ( b ) i a i + b i = i= b i a i + b i <. Cho N là một số guyê dươg. Với i =,,,, đặt a i = N(i ),b i = i. Từ điều kiệ a,a,,a,b,b,,b ta có: i= ( ) ( ) a i = ( )N + N. + a =. + b = i= Do vậy b = a + ( )[N( ) ] với a đã được xác địh. Từ khẳg địh chứg mih lúc đầu, ta chỉ cầ chứg mih bất đẳg thức trog điều kiệ : > a i b i a i + b i > 998. Nhưg điều đó lại suy ra từ: > a i b i i= a i + b i = a + ( )[N( ) ] a +( )[N( ) ] 4i i= i+n(i ). Đại lượg ày sẽ tiế đế khi N + và a N + (ví dụ, choa = N ). Do vậy với ε > 0 bất kỳ, ( ở đây ε = 998 ), ta có thể tìm được N đủ lớ và a, sao 3 b i.

cho a i,b i là hoà toà phâ biệt và a i = b i, và i= i= Bài toá 8(Ira 998 [0]). > a i b i > ε. i= a i + b i Cho < < là dãy các số tự hiê sao cho với i < j, biểu diễ thập phâ i khôg xuất hiệ trog số goài cùg bê trái của biểu diễ thập phâ j. Chứg mih rằg: i= Rõ ràg ta chỉ cầ với dãy hữu hạ là đủ. i + + + 9. Giả sử cho một dãy hữu hạ, đặt M = 0N + d là phầ tử lớ hất của dãy, với 0 d 9. Khi đó N sẽ khôg thuộc dãy.hơ ữa, bỏ đi 0N,0N +,,0N + 9 khỏi dãy ếu chúg xuất hiệ và thêm N vào dãy khác sao cho tổg ghịch đảo là: i i + N 9 i=0 0N + i i Do vậy ta bằg cách lặp lại việc thay thế và khôg làm giảm tổg ghịch đảo. Quá trìh ày là hữu hạ ( vì dãy là hữu hạ) và được dãy là {,,9}, để dãy ày có tổg các ghịch đảo là lớ hất. Bài toá 9(Belarus 999): i. Cho hai dãy số thực x,x,, và y,y,, được địh ghĩa hư sau: x = y = 3, x + = x + +x y, y + = + +y Với mọi. Chứg mih rằg < x y < 3 với mọi >. Đặt z = y và chú ý rằg phươg trìh hồi quy y tươg đươg với : z + = z + +z. 33

Chú ý rằg z = 3 = x ; vì x i và z i thỏa mã phươg trìh hồi quy giốg hau, điều ày có ghĩa là z = x với mọi >. Do vậy, x y = x z = x x. Do x i tăg, với > ê ta có: x x = 3 > 3, suy ra x > 3x > x. Ta lại có, +x > x x > x. Hơ ữa, Ta có điều phải chứg mih. Bài toá 0(Romaia 999 [0]) < x y = x x < 3. +x Cho A = {a,a, } N là tập thỏa mã với mọi dãy co phâ biệt B,C A, x x. Chứg mih rằg: x B x C a + a + + a <. Trước hết ta chứg mih bổ đề sau: Bổ đề: Cho dãy x,y,x,y,,x,y là các số thực dươg thỏa mã: (i), x y < x y < < x y ; (ii), x + x + +x k y + y + +y k với mọi k =,,,. Khi đó ta có : x + x + + x y + y + + y. Thật vậy ta có: Đặt π i = x i y i,δ i = x i y i với mọi i. Ta có thể giả sử π > π > > π > 0 và k δ i 0 với mọi k. i= Chú ý rằg: ( = k= y k x k ) π k δ k k= = π i + (π k π k+ )(δ + δ + +δ k ) 0, i=δ k= 34

Vậy bổ đề được chứg mih. Quay lại bài toá, khôg mất tíh tổg quát ta giả sử a < a < < a, và đặt y i = i với mọi i. Rõ ràg: a y < a y < < a y. Với k bất kỳ, tổg k được tạo ra bằg cách chọ ít hất một trog dãy rời rạc a,a,,a k. Do vậy lớ hất trog đó là k a i, hỏ hất là k. Do vậy với k =,,, ta có: i= Áp dụg bổ đề, ta có: a + a + +a k k = y + y + +y k. + + + < + + + = <. a a a y y y Đây là điều cầ chứg mih. Bài toá (Bulgaria 999 [8]). Chứg mih rằg với số guyê bất kỳ, 3, tồ tại số guyê dươg a,a,,a trog cấp số cộg, và số guyê dươg b,b,,b trog cấp số hâ, sao cho: b < a < b < a < < b < a. Đưa ra ví dụ về dãy ày với mỗi dãy là ý hất 5 số hạg. Ta tìm dãy mà b = a + và b = a +. Viết d = a a. Khi đó với i, j ta có b i+ b i b b = d, sao cho b j = b + (b i b i+ ) > a +( j)d = a j. Và ếu ta chắc chắ b < a, khi đó b j = b + j (b i+ b i ) a +(j )d = a j i= với mọi j, ê chuỗi bất đẳg thức đã được thỏa mã. Cho b,b,,b bằg k,k (k + ),,k 0 (k + ), ở đó k là một giá trụ đã được xác địh sau đó. Ta cũg đặt a = b và a = b, và địh ghĩa a i khác theo đó. Khi đó d = a a = b b = (k + ), và a = i= j 35

(k+) (k+3 ). Do vậy, ta chỉ cầ lấy k sao cho: (k+) (k+3 ) k > 0. Nhì vế trái của đa thức ẩ k, hệ số của k bằg 0 hưg hệ số của k bằg. Có ghĩa là biểu thức dươg với k đủ lớ và ta có thể tìm được dãy a,a,,a và b,b,,b thỏa mã yêu cầu bài toá. Với = 5, ta tìm k sao cho: (k+) 3 (k ) k 4 > 0. Ta thấy rằg k = 5 thỏa mã và ta có: 65 < 647 < 750 < 863 < 900 < 079 < 080 < 95 < 96 < 5. Bài toá (Romaia 000 [0]): Cho a là một số thực dươg và {x } ( ) là một dãy số thực sao cho x = a và x + (+)x kx k, với mọi. Chứg mih rằg tồ tại số guyê dươg sao cho x > 999!. k= Ta sẽ chứg mih bằg quy ạp theo rằg: x + > Với =, ta có x 3x > x = a. Giả sử rằg khẳg địh đúg đế. Khi đó: kx k > a.! k= x + (+3)x + kx k = (+)x + + x + kx k k= k= > (+)x + + kx k kx k = + kx k, k= k= k= Hơ ữa, x > 0 theo địh ghĩa và x,x 3,,x cũg dươg theo giả thiết quy ạp; do vậy x + > (+)x + > (+)(a.!) = a.(+)!. Như vậy khẳg địh được chứg mih hoà toà. Với đủ lớ, ta có x + >!.a > 999!. 36

Bài toá 3(APMO999). Cho a,a, là dãy các số thực thỏa mã: với mọi i, j =,,. Chứg mih rằg: với mọi số guyê dươg. a i+ j a i + a j a + a + a 3 3 + + a a. Ta chứg mih bổ đề sau: Bổ đề: Nếu m, là các số guyê dươg với m, khi đó a + a + + a (+) m.a m. Thật vậy, ta sẽ chứg mih kết quả cho m = bằg cách cộg các bất đẳg thức : a + a a,a + a a,,a + a a,a a, và chia cho. Với số guyê dươg j, viết β j = a + a + +a j. Khi đó bất đẳg thức với m = ++ + j = j = k + là tươg đươg với β j a j j và β k β k+ ; ê khi m ta có β β + β m a m m. Như vậy bổ đề được chứg mih. Từ bất đẳg thức đã chứg mih ta biểu diễ a + a + + a hư tổg Abel và sau đó áp dụg bổ đề hiều lầ: a + a + + a = ( (a + a + +a )+ j= j ) (a + a + +a j ) j+.(+) a + j= Như vậy bài toá đã được chứg mih. Bài toá 4(Caada 000 [8]). j( j+ ) j( j+ ). a = a, Giả sử các số thực a,a,,a 00 thỏa mã: (i), a a a 00 0, (ii), a + a 00, (iii), a 3 + a 4 + +a 00 00. 37

Xác địh giá trị lớ hất có thể của a + a + +a 00, và tìm tất cả các dãy số dươg a,a,,a 00 đạt giá trị lớ hất đó. Với i 3, ta có : 0 a i a và do vậy a i (a i a ) 0 dấu bằg xảy ra với a i {0,a }. Cộg theo vế 98 bất đẳg thức ày với hau ta được : 00 i=3 00 a. Do (iii) ê ta có :a. 00 a i 00a dấu bằg xảy ra với 00 a i = 00 hoặc a = 0. i=3 i=3 Tươg tự với (i) và (ii) ta có 0 a 00 a. Do vậy, a (00 a ), với dấu bằg xảy ra khi a = 00 a. Điều kiệ (i) và (ii) kéo theo : 0 a 00 a 00 a hoặc 0 a 50. Do vậy, a (a 50) 0 với dấu bằg xảy ra khi a = 0 hoặc a = 50. Hơ ữa, 00 i= a i = a + a 00 + i=3 i=3 a i. a i (00 a ) + a + 00a = 0000+a (a 50) 0000. Để bất đẳg thức xảy ra dấu bằg thì tất cả các dấu bằg ở trê đều phải xảy ra, điều đó có ghĩa là ta phải có: (a) {a 3,a 4,,a 00 {0,a }; (b) 00 = 00 hoặc a = 0; i=3 (c)a = 00 a ; (d)a {0,50}. Nhữg điều trê chỉ thỏa mã khi dãy a,a,,a 00 bằg : 00,0,0,,0 hoặc 50,50,50,50,0,0,,0. Hơ ữa các dãy ày thỏa mã điều kiệ (i), (ii), (iii), và 00 a i = 0000 với mỗi i= dãy. Hơ ữa, 0000 là tổg bìh phươg lớ hất, và giá trị lớ hất ày chỉ đạt được với hai dãy trê. 38

Bài toá 5( Rusia 000 [8]) Cho số guyê lẻ a 0 > 5, giả sử dãy a 0,a,a,, ở đó: a 5 ếu a lẻ a + = a ếu a chẵ với mọi 0. Chứg mih rằg dãy trê là khôg có biê. Ta sẽ sử dụg quy ạp theo để chỉ ra rằg a 3 là lẻ và a 3 > a 3 3 > > a 0 > 5. Với = 0 khẳg địh đúg do giả thiết. Giả sử rằg khẳg địh đúg với mọi k, ta cầ chứg mih ó đúg với k+. Vì a 3k là lẻ, a 3k (mod8) và do vậy a 3k+ = a 3k 5 4(mod8). Do a 3k+ chia hết cho 4 hưg khôg chia hết cho 8, ê a 3(k+) = a 3k+ là số lẻ. 4 Hơ ữa, từ giả thiết quy ạp ta có a 3k > 5a 3k > 4a 3k +5. Do đó, a 3(k+) = 4 (a 3k 5) > a 3k. Đây chíh là điều phải chứg mih. Bài toá 6(Shortlist 988 [5]) Giả sử dãy với các số thực khôg âm thỏa mã a k a k+ + a k+ 0 và a i với k. Chứg mih rằg với k bất kỳ ta có 0 a k a k+ < k. Từ giả thiết ta có :a k a k+ là đơ điệu giảm, đặc biệt ếua k a k+ = δ với một số k ào đó và δ > 0. Khi đó a m a m+ δ với mọi m > k, a k a m = (a k a k+ )+(a k+ a k+ )+ +(a m a m ) (m k)δ, và a m a k +(m k)δ với mọi m > k Đặc biệt với a m > với m đủ lớ, ta có mâu thuẫ. Do vậy a k a k+ 0 với mọi k. Giả sử với một số k ào đó, ta có a k a k+ k. Khi đó a j a j+ a k a k+ k với mọi i j k và a j a j+ + k a j+ +. k a k+ +(k j+ ) k. Đặc biệt, a + +a k (++ +k) k + ka k+ > +ka k+. Mâu thuẫ với giả thiết. Vậy ta có điều phải chứg mih. Bài toá 7(IMO995 [6]) 39

Tìm giá trị lớ hất của x 0 ếu tồ tại dãy x 0,x,,x 995 là dãy số thực dươg với x 0 = x 995, thỏa mã: với mọi i =,,995. x i + x i = x i + x i Từ giả thiết ta có phươg trìh sau: x i ( x i + x i ) x i + = 0 Từ đó ta có : x i = hoặc x i = x i x i. Ta chỉ ra rằg: x i = k ix ε i 0 với k i i và ε i = ( ) ki+i. Điều ày ta có thể chứg mih bằg quy ạp với x i = hoặc x i. Nê ta có : x i x 995 = k x0 ε với ε = ε 995,k = k 995,0 k 995,ε = ( ) 995+k và x 0 = x 995. Nếu k là số lẻ, thì ε = do vậy k = ( vô lý). Vậy giả sử k là số chẵ, thì ε = và x 0 = k, với k 995 ê k 994, do vậy x 0 997. Cuối cùg ta chỉ ra x 0 = 997 là có thể xảy ra với x 0 = 997,x i = x i với i 994 và x 995 = x 994. Khi đó ta sẽ có : x 0 = x 995 = 997, do đó Maxx 0 = 997. Bài toá 8( IMO shortlist 995 [5]) Giả sử rằg x,x,x 3, là các số thực dươg thỏa mã: x = x i i=0 với =,,3,. Chứg mih rằg với mọi, ta có : x <. Trước hết ta chứg mih với là số tự hiê, và u là một số thực khôg âm thỏa mã: +u+u + +u = u. 40

Khi đó ta có : < u <. Thật vậy, hâ cả hai vế của : +u+u + +u = u với u, ta được: (+u+u + +u )( u) = u ( u), Hay u = u u +, Tức là u + u + = 0. Do đó, u là ghiệm của : f(x) = x + x +. Ta chứg mih f(x) = x + x + có hiều hất hai ghiệm khôg âm. Thật vậy, rõ ràg x = là ghiệm, hưg ta khôg qua tâm đế ghiệm ày, bởi vì u ( do phươg trìh ++ + = là khôg thể xảy ra với, ta có ghiệm ày vì ta hâ phươg trìh với (-u)). Điều ày có ghĩa là ta cầ chỉ ra một ghiệm u khôg âm thỏa mã phươg trìh :+u+u + +u = u. Thật vậy, từ đạo hàm của f(x) là f(x) = (+)x x, dễ thấy rằg f(x) là hàm đơ điệu giảm với x [0; + ] và đơ điệu tăg với x [ ;+ ). Với mỗi + đoạ trê, hàm f(x) chỉ có thể có một ghiệm, do vậy f(x) có hiều hất là hai ghiệm khôg âm. Như ta đã ói ở trê, x = là một ghiệm. Ta qua tâm đế ghiệm cò lại. Ta cầ chỉ ra ghiệm cò lại ằm trog khoảg ( ; ) bằg cách chứg mih f( ) < 0 và f( ) > 0; vì f(x) là hàm liê tục, và khoảg trê khôg chứ một, do vậy chỉ ra khoảg trê chứa một ghiệm là bài toá được chứg mih. Do đó, vấ đề cò lại là chứg mih f( ) < 0 và f( ) > 0. Trước hết, ta chỉ ra f( ) < 0. Thật vậy, Do f( ) = ( )+ ( ) + = ( Vậy chứg mih f( )<0 tức là ( ) Ta viết lại ( thàh : ). < 0 hay < ( < ). Chia cả hai vế cho ta được: ( < ). Bất đẳg thức ày đúg theo bất đẳg thức Beroulli (với > ): ( ) ( ( = + )) > + ( ) = =.. ). 4

( Với có, ê và ) >. =. Ta chứg mih: f ( ) > 0 tươg đươg với ( ) + ( ) +>0 ( ). ( > 0 > ) ( > ). Bất đẳg thức cuối cùg luô đúg. Vậy bài toá đã được chứg mih. Bài toá 8(USAMO 997 [9]) Cho dãy số guyê khôg âm a,a,,a 997 thỏa mã : a i + a j a i+ j a i + a j + với mọi i, j và i+ j 997. Chứg mih rằg tồ tại một số thực x sao cho a = x với 997. Ta phải chỉ ra x [ a, a + ]. Do vậy chỉ ra sự tồ tại của x với 997 phầ tử của dãy với các đoạ là rời hau, tức là m,, a + a m. Ta chứg mih bằg quy m ạp theo m+. Trườg hợp m+ = hay m = = bất đẳg thức là hiể hiê. Nếu m = bất đẳg thức hiê hiê đúg. Nếu > m, ta sử dụg thuật toá = mq+r, với r <. Do đó m+r < +m và ta sử dụg giả thiết quy ạp a r + a m r m a mq+r + qa m + a r + = qa m + r. a r + qa m + r a m r m = a m m a + a m m. Nếu < m, ta sử dụg thuật toá m = q+r với r < m, ta có r + < m+, ta lại sử dụg giả thiết quy ạp: a r r a + a m = a q+r (qa + a r + q) qa + q + r a r r qa + q+r a + = qa + q+ra + r = m(a + ) a m mih. Bài toá 9(Shortlist 989 [5]) m a +. Vậy bài toá đã được chứg Cho tập các số thực {a 0,a,,a } thỏa mã các điều kiệ sau: 4

(i) a 0 = a = 0, (ii) Với k, Chứg mih rằg :c 4. a k = c+ i=k Đặt S k = k a i (k = 0,,,). Khi đó: i=0 S = k=0 = c+ a i k.(a i + a i+ ) a k = c+ a i k (a i + a i+ ) k=0 i=k a i k (a i + a i+ ) = c+ i i=0 k=0 (a i + a i+ ) i i=0 = c+ (a i + a i+ ) i a i, với t = i k i=0 t=0 = c+ (a i + a i+ )S i=0 a i k k=0 = c+(s S 0 +(S S 0 )S +(S 3 S )S + +(S S )S ) = c+s (vì S = S ). Do vậy ta có :S S + c = 0 Vì S là số thực ê: 4c. Ta có điều phải chứg mih. Bài toá 0( Shortlist 994 [5]) Cho a 0 = 994 và a + = 0 998. a a + với 0. Chứg mih rằg a = 994 với Ta có a a + = a a a + = a + > 0. Do vậy, a 0 > a > > a > Lại có :a = a 0 +(a a 0 )+ +(a a )=994 + a 0 + + + a + > 994. Với 998, ta có : a 0 + + + a + < Do vậy a = 994. Bài toá (Shortlist 996) a + < 998 a 997 + < 998 994 997+ = 43

Cho a >. Ta địh ghĩa hư sau: ( a 0 =,a =,a + = a a ) a Chứg mih rằg với mọi k N ta có + + ( ) +a a a 0 a k 4 Từ a > ta có thể viết a = b + b với b là một số thực dươg. Khi đó ta có : a = b + b và: a = (a )a = (b + b )( b+ ) b ( ( ) ( ( a a 3 = ) a = b + ) ) = a b (b 4 + b )(b 4 + b )( b+ ). b Tiếp tục quá trìh trê ta thu được: ( a = b + ) (b + b )( b b+ ). b Do vậy, i= a i = + b b + + b 3 (b + )(b 4 + ) + + b (b + )(b 4 + ) (b + ) a Ta lại có : a (a+ 4) = (b+ b ( + b )) = + b b. Do vậy ta phải chứg mih với mọi b > 0 thì, b +b + b 4 (+b )(+b 4 ) + + b (+b )(+b 4 ) (+b ) <. 44

Mà với mọi số thực dươg a,a,,a, Do vậy : j= j= a j (+a ) (+a j ) = (+a )(+a ) (+a ) b j (+b ) (+b j ) = (+b ) (+b ) <. Vậy bài toá đã được chứg mih. Bài toá ( VMO997 [4]) Tìm số thực α lớ hất để tồ tại dãy vô hạ a,a, các số guyê dươg sao cho tíh chất sau được thỏa mã: (a) Với mỗi N,a > 997 (b)với mọi,a α khôg vượt quá ước chug lớ hất của tập {a i +a j : i+ j = }. Giá trị lớ hất có thể của α là Trước hết, giả sử (a ) = là một dãy sao cho thỏa mã điều kiệ (a) và (b). Ta có kết quả sau: Với mọi ε > 0, tồ tại vô hạ giá trị N mà :a a ε Thật vậy, Với ε > 0, và giả sử tồ tại N N sao cho mọi > N,a < a ε. Logarit hóa hai vế và chia cho ta được : ê a k k < ( ε loga < ε.loga ) k loga > 0 khi k > điều ày khôg thể xảy ra với a 997 ê loga log997,. Kết quả được chứg mih. Giả sử là một trog hữg giá trị cho bởi kết quả trê, sao cho: a ε a. Khi đó a ( ε)α a α UCLN{a i + a j i+ j = } a. 45

ê a ( ε)α 997 ( ( ε)α) ; bởi vì điều ày đúg với vô hạ giá trị N ê ta phải có α ε. Từ ε > 0 bé tùy ý, ế ta có α. Ta sẽ đưa ra một dãy thỏa mã điều kiệ (a) và (b) với α =. Ký hiệu F là phầ tử thứ trog dãy Fiboacci. Cho t là số guyê chẵ sao cho F t > 997, N và địh ghĩa dãy (a ) = bởi: a = 3F t. Khi đó điều kiệ (a) rõ ràg được thỏa mã. Ta cầ chỉ ra F t F ti + F t j khi i+ j =, để UCLN{a i + a j i+ j = } 3F t. Thật vậy: Do vậy F ti = F t(i+ j) F t(i j)+ + F t(i+ j) F t(i j) F t j = F t(i+ j) F t( j i)+ + F t(i+ j)+ F t( j ) F ti +F t j = F t(i+ j) F t(i j)+ + ( F t(i+ j)+ F t(i+ j) ) Ft( j i) = F t(i+ j) ( Ft(i j)+ F t(i j) ) Ta có : a = 3F t = 3F t (F t+ + F t ) 9F t (UCLN{a i + a j i+ j = }), ê a UCLN{a i + a j i+ j = } và dãy (a ) = thỏa mã điều kiệ bài toá với α =..4. Sử dụg lượg giác giải các bài toá về dãy. Nhậ xét:nhiều dãy số đại số với côg thức phức tạp có thể trở thàh đơ giả hờ phép thế lượg giác. Đối với phươg pháp ày ta cầ ắm vữg các côg thức lượg giác, tùy theo từg dãy số đại số cho trog đề bài mà ta liê tưởg và sử dụg côg thức lượg giác một cách hợp lý. Bài toá. Dãy số (h ) được cho bởi điều kiệ: h = và h h + = ; Đặt S = h i ; N. Hãy chứg mih rằg:lims i= Ta có:h = = si π 6 = si π 3. h = si π 3. 46 <,03

Ta sẽ chứg mih rằg:h = si π 3. Giả sử rằg:si h k = si π h 3. k k+ = ( Mặt khác:si x < x; x 0; π + π 3. < + π 3. 3. +...+ π Do S là dãy tăg ê lims si π 3. k ). Nê:S = h i = i= + si + π 3. <,03 đpcm. Bài toá Cho dãy (u ) địh bởi: u = 3 u + = u + ( + ) Tíh u 003 u cos = π 3. k = si π 3. π 3. +...+si π 3. < Nhậ xét : với giả thiết của bài ta liê tưởg gay đế côg thức: ta(a + b) = taa+tab taata b. Đồg thời ta cò có = ta π 8, u = ta π 3 Ta có: u = 3 u + = u + ( + ) u π ( ) Ta đã biết:tg 8 = = tg π ( 4 = tg. π ) tg π = 8 8 tg π tg π 8 = u +tg π Từ (*) ta có:u + = 8 u tg π () 8 8 Theo guyê lý quy ạp, từ () và u = [ π 3.suy ra Suy ra: u = tg 3 +( ) π ] ( 8 π ) ( π Vậy:u 003 = tg 3 + 00π = tg 8 3 + π ) = ( + 3 ) 4 Bài toá 3. Cho dãy u xác địh bởi: u = +... Tìm lim u Bài giải. 47

Đây là bài toá đơ giả và que thuộc. Ta sẽ chứg mih: v = +... π = cos (). k+ Rõ ràg với = thì () hiể hiê đúg. Giả sử đúg khi = k, ghĩa là: v k = cos π k+. Xét:v k+ = +v k = +cos π =.cos π π = cos k+ k+ Vậy () đúg khi = k+, suy ra () đúg với mọi. Ta có:u = +... = +.si π = +.+.si π + Từ đó ta có: lim u = lim.+.si π + + = lim π si π π + lim u = π Bài toá 4. Cho dãy số xác địh bởi: { a0 = ;a 000 = 0 a + = a.a a Tíh: a 999 + a. + Nếu thay = thì ta được a = a,vậy ê ếu muố sử dụg lượg giác(ở đây là hàm cos, vì cosa = cos a )) ta cầ phải chứg mih được ta cầ phải chứg mih được a thì mới có thể đặt a = cosa. + Thật vậy, ếu a >, thì a = a >, suy ra a 3 = a a a > a >,..., a 000 > (trái với giả thiết). Vậy ê a, đặt a = cosa. Bằg quy ạp, ta chứg mih được rằg: a + = cos(+)a. Ta có: a 000 = cos000a = 0 000a = π + kπ a 999 = cos999a = cos(π + kπ a) = cosa = a a 999 + a = 0 Bài toá 5 (Loglist 989 [7]). Cho dãy (u ) và (v ) hư sau: 48 k+

u 0 = v 0 = u + = và u v + = Chứg mih rằg: +.u < π < +.v +v v Vậy: Ta có: Tươg tự: u 0 = si π,u = : cos π = si π 3 π π u = cos = si + + v 0 = = tg π Bằg cách xét:, Ta suy ra: Khi đó: v = +tg π π + cos tg π = + + tg π = tg + f (x) = six x g(x) = tgx x;x six < x < tgx; x ( 0; π ) ( 0; π ) si π + < π π < tg + + k+.u < π < k+.v π + đpcm Bài toá 6. (Kỳ thi HSG quốc gia lầ XXVIII-990[4]) Cho dãy số(x ), N, x < được xác địh bởi hệ thức: x + = x + 3 3x 49