PUBLICATIONS DE L'INSTITUT MATHÉMATIQUE Nouvelle série tome 47 (61), 1990, 99 10 TENZORY KRIVIZNY KOMPLEKSNYH I DVO NYH KVADRATIQNYH ΛLLIPTIQESKIH PROSTRANSTV emal Doliqanin i Larisa Antonova 1. Kompleksnye i dvoρnye kvadratiqnye fflliptiqeskie prostranstva i ih vewestvennye interpretacii Rezοme. Naρdeny tenzory krivizny R ij;kl dlχ kompleksnyh i dvoρnyh kvadratiqnyh fflliptiqeskih prostranstv C S n i 0 C S n. V rabote [1] byli naρdeny tenzory krivizny R ij;kl kompleksnyh i dvoρnyh ffrmitovyh fflliptiqeskih prostranstv C S n i 0 C S n, izometriqnyh, sootvetstvenno, rimanovu simmetriqeskomu prostranstvu V n i psevdorimanovu simmetriqeskomu prostranstvu n V n, a takße analogiqnyh ffrmitovyh fflliptiqeskih prostranstv nad algebrami kvaternionov, antikvaternionov, oktav, antioktav i nad tenzornymi proizvedeniχmi fftih algebr. V nastoχweρ rabote analogiqnaχ zadaqa rexaetsχ dlχ kompleksnyh i dvoρnyh kvadratiqnyh fflliptiqeskih prostranstv C S n i 0 C S n [, s. 608]. Votliqie ot ffrmitovyh prostranstv C S n i 0 C S n, izometriqnyh vewestvennym prostranstvam V n i n V n, prostranstva C S n i 0 C S n obladaοt, sootvetstvenno, kompleksnymi i dvoρnymi lineρnymi fflementami ds, odnako v ffti prostranstva moßno vvesti metriki, sootvetstvenno, prostranstv n V n i V n, esli opredelit~ lineρnye fflementy ds fftih prostranstv kak vewestvennye qasti Re ds kompleksnogo ili dvoρnogo lineρnyh fflementov ds. Prostranstva C S n i 0 C S n χvlχοtsχ, sootvetstvenno, kompleksnym i dvoρnym simmetriqeskimi prostranstvami, a opredelennye nami prostranstva n V n i V n χvlχοtsχ vewestvennymi psevdorimanovym i rimanovym prostranstvami. Imenno ffta metrika vewestvennyh simmetriqeskih prostranstv induciruetsχ v prostranstvah C S n i 0 C S n metrikoρ Kartana v gruppah ih dvißeniρ, AMS Subject Classification (1985): Primary 53 A 35 xx 1 i 3 napisany. Doliqaninym, a x L. Antonovoρ.
100 Doliqanin i Antonova esli rassmatrivat~ prostranstva C S n i 0 C S n kak vpolne geodeziqeskie poverhnosti v gruppah ih dvißeniρ, sostoχwih iz proizvedeniρ ff 0 ff otraßeniρ ff otnositel~no toqek fftih prostranstv na otraßenie ff 0 otnositel~no fiksirovannoρ toqki fftih prostranstv. Tak ße kak v rabote [1] my budem vyqislχt~ koordinaty R ij;kl tenzorov krivizny prostranstva V n i n V n, opredelχemyh prostranstvami C S n i 0 C S n v adaptirovannyh ortonormirovannyh reperah, sostoχwih iz vektorov, izobraßaοwih vektory ~" i, ortonormirovannyh reperov prostranstv C E n i 0 C E n, kasatel~nyh k prostranstvam C S n i 0 C S n, i iz proizvedeniρ ~" i i ili ~" i e na mnimuο ili dvoρnuο edinicu polχ C kompleksnyh qisel ili algebry 0 C dvoρnyh qisel. V dal~neρxem my budem oboznaqat~ vewestvennye edinicy algebr C i 0 C qerez i 0, a mnimuο i dvoρnuο edinicy fftih algebr qerez i 1. Prostranstvo 0 C S n dopuskaet vewestvennuο interpretaciο v vide giperkvadriki Q n fflliptiqeskogo prostranstva S n+1, χvlχοweρsχ n- ffkvidistantoρ n-mernoρ ploskosti fftogo prostranstva i ee polχrnoρ n-mernoρ ploskosti [3], a prostranstvo C S n dopuskaet analogiqnuο vewestvennuο interpretaciο v vide giperkvadriki 0 Q n giperboliqeskogo prostranstva n S n+1, sostoχwuο iz vewestvennyh toqek prχmyh, soedinχοwih mnimo soprχßennye toqki dvuh vzaimno polχrnyh mnimo soprχßennyh n-mernyh ploskosteρ prostranstva n+1 S n+1, a gruppy dvißeniρ prostranstv 0 C S n i C S n izomorfny podgruppam grupp dvißeniρ prostranstv S n+1 i n S n+1, perevodχwih v sebχ ffti giperkvadriki. Λti giperkvadriki izometriqny ukazannym vyxe simmetriqeskim prostranstvam V n i n V n.. Tenzor krivizny dvoρnogo prostranstva Tak ße kak v sluqae prostranstv C S n i 0 C S n, rassmatrivaemyh v [1], dlχ nahoßdeniχ koordinat tenzorov krivizny R ij;kl prostranstv V n i n V n, obrazuοwih vewestvennye realizacii prostranstv 0 C S n i C S n, my moßem rassmotret~ razloßeniχ G = G 0 Φ E (1) algebr Li G grupp G dvißeniρ fftih prostranstv v vide prχmyh summ algebry Li G 0 stacionarnoρ podgruppy G 0 toqek fftih prostranstv i lineρnogo podprostranstva E, kotoroe moßno rassmatrivat~ kak kasatel~noe prostranstvo E n ili n E n sootvetstvenno, prostranstva V n i n V n. Esli tak ße, kak v rabote [1] my budem oboznaqat~ matricu na pereseqenii i-ρ stroki i j-go stolbca simvolom E ij, matricy podprostranstva E algebry Li G gruppy dvißeniρ prostranstva C S n ili 0 C S n moßno zapisat~ v vide A =(E 0i E i0 )a i ; () a matrici (), predstavlχοwie vektory ~" i i ff kasatel~nyh prostranstv C E n i 0 C E n prostranstv C S n i 0 C S n vvide A iff =(E 0i E i0 )i ff : (3)
Tenzory krivizny kompleksnyh i dvoρnyh kvadratiqnyh... 101 Tak kak tenzor krivizny i j ; l k simmetriqeskogo prostranstva, svχzannyρ s tenzorom R IJ;KL fftogo prostranstva sootnoxeniem R IJ;KL = i j ; H k a hl, gde a IJ metriqeskiρ tenzor simmetriqeskogo prostranstva, vyraßaetsχ qerez strukturnye konstanty CIJ ff i CffJ I algebry Li G v bazise fftoρ algebry, sostoχwem iz fflementov E ff ee podalgebry G 0 i fflementov E I ee podprostranstva E po formule i j ; L k = ρcff ij CL ffk [4, s. 46], gde ρ nekotoryρ vewestvennyρ mnoßitel~, tenzor i j ; L k moßet bit~ opredelen s pomowο dvoρnogo kommutatora Λ [A iff A jfi ]A kfl po formule jfi ; lffi kfl A lffi = ρ Λ [A iff A jfi ]A kfl : (4) Tak kak v naxem sluqae rol~ bazisnyh fflementov E I igraοt matricy A iff,tenzory jfi ; lffi prostranstv kfl V n i n V n, obrazuοwih realizacii prostranstv 0 C S n i C S n, opredelχοtsχ po formule jfi ; lffi kfl i ffi = ρ(ffi ik ffij l ffi jkffii l )i ffi fi i fl : (5) Podstavlχχ v formulu (5) vyraßeniχ (3) matric A iff i zameqaχ, qto dlχ podmnogoobraziρ x i = x i prostranstv 0 C S n i C S n,t.e. dlχ plowadok, opredelχemyh vektorami A iff i A jff (i = k 6= j = l, ff = fl, fi = ffi) sekcionnaχ krivizna ravna r, my nahodim, qto mnoßitel~ ρ v formule (5) raven r i sama ffta formula dlχ prostranstva 0 C S n moßet byt~ zapisana v vide R iff;jfi;kfl;lffi = r (ffi ik ffi jl ffi il ffi jk ): (6) V sluqae i = j = k = l formula (6) daet R iff;ifi;ifl;iffi =0, qto sootvetstvuet tomu, qto prχmaχ 0 C S 1 izobraßaetsχ kvadrikoρ Klifforda prostranstva S 3,gaussova krivizna kotoroρ vo vseh ee toqkah ravna nulο. Sekcionnaχ krivizna K prostranstva V n, izobraßaοwego prostranstvo 0 C S n, vyraßaetsχ qerez tenzor R IJ;KL, koordinaty kotorogo v fftom sluqae ravni koordinatam tenzora I J ; L (v fftom sluqae K a ij = ffi ij ) po formule K = R IJ;KL a I b J a K b L (7) gde ~a = fa I g i ~ b = fb I g dva vzaimno ortogonal~nye ediniqnye vektory, opredelχοwie fftu plowadku. Esli v sluqae ploskosti 0 C S my vyberem v kaßdoρ toqke fftoρ ploskosti vektory ~" 1 i ~" takim obrazom, qto vektory ~" 1 (1 + e)= p i ~" (1 + e)= p raspoloßeny v odnoρ iz glavnyh plowadok prostranstva V 4, izobraßaοwego ploskost~ 0 C S, t.e. napravleny po odnoρ iz sfer, vysekaemyh iz giperkvadriki Q 4, izometriqnoρ prostranstvu V 4,trehmernoρ ploskost~ο, prohodχweρ qerez odnu iz baz -ffkvidistanty i qerez odnu iz toqek vtoroρ bazy, priqem vektory ~" 1 (1 + e)= p i ~" (1 + e)= p napravleny po ortogonal~nym proekciχm vektorov ~a i ~ b na fftu glavnuο plowadku, a vektory ~" 1 (1 + e)= p i ~" (1 + e)= p raspoloßeny vo vtoroρ glavnoρ plowadke i takße napravleny po ortogonal~nym proekciχm vektorov ~a i ~ b na fftu plowadku, to vektory ~a i ~ b mogut byt~ zapisany v
10 Doliqanin i Antonova vide cos ff +sinff ~a = ~" 1 p ~ b = ~" cos fi +sinfi p cos ff sin ff + ~" 1 e p ; cos fi sin fi + ~" e p gde ff i fi ugly, sostavlχemye vektorami ~a i ~ b s pervoρ glavnoρ plowadkoρ. Podstavlχχ koordinaty (8) vektorov ~a i ~ b v formulu (7), my poluqim znaqenie sekcionnoρ krivizny K fftoρ plowadki v vide (8) K = r (1 + cos ff cos fi): (9) Imenno ffto znaqenie sekcionnoρ krivizny K giperkvadriki Q 4 i naρdeno v rabote [5, s. 84], gde pokazano, qto glavnye krivizny giperkvadriki Q 4 ravny K 1 = r 1 cos ff i K = r 1 cos fi, otkuda sleduet, qto sekcionnaχ krivizna plowadki, opredelχemoρ vektorami ~a i ~ b, ravnaχ K = r + K 1 K, ravna (9). 3. Tenzor krivizny kompleksnogo prostranstva Tak ße kak v sluqae prostranstva 0 C S n, pokazyvaetsχ, qto tenzor krivizny prostranstva n V n, obrazuοwego realizaciο kompleksnogo prostranstva C S n, imeet tot ße vid (6). V sluqae prostranstva C S n takße imeet mesto formula (7), gde, odnako, koordinaty tenzora R IJ;KL mogut otliqat~sχ ot koordinat tenzora I J ; L K znakom (v fftom sluqae a i 1;i 1 = a i;i =1,ostal~nye koordinaty a IJ =0). V osnovnom sluqae imeοtsχ dva vida dvumernyh plowadok prostranstva n V n, opredelχemyh vektorami ~a i ~ b plowadki s metrikoρ evklidovoρ ploskosti E i plowadki s metrikoρ psevdoevklidovoρ ploskosti 1 E. V odnom sluqae podstavlχχ koordinaty vektorov ~a i ~ b v formulu (7), my poluqim znaqenie sekcionnoρ krivizny K = r (1+shff +shfi); (10) a v drugom sluqae poluqim znaqenie sekcionnoρ krivizny K = r (1 cos ff cos fi): (11) Imenno ffti znaqeniχ sekcionnyh krivizn giperkvadriki prostranstva K poluqeny v rabote [5, s.87]. LITERATURA [1] B. A. Rozenfel~d, T. A. Burceva, N. V. Duxina, L. P. Kostrikina, V. V. Malοtin, T. I. htina, Tenzory krivizny ffrmitovyh fflliptiqeskih prostranstv, Facta Univ. Ser. Math. Inform. (1989), v peqati. [] B. A. Rozenfel~d, Neevklidovy geometrii, Gostehizdat, Moskva 1955. [3] L. V. Antonova, Linii i poverhnosti prostranstv Re n i Qe n, obrazuοwih vewestvennye interpretacii prostranstv R n(e) i ffi n(e), Geom. sbornik, Tomsk (1987), 68 79.
Tenzory krivizny kompleksnyh i dvoρnyh kvadratiqnyh... 103 [4] B. A. Rozenfel~d, Neevklidovy prostranstva, Nauka, Moskva, 1969. [5] B. A. Rozenfel~d, T. M. Baholdina, L. V. Lοbixeva, S. N. Mogal~kova, Rimanova krivizna kvadratiqnyh kompleksnyh, dvoρnyh i dual~nyh fflliptiqeskih prostranstv, Izv. vuzov, Matem. 5 (1971), 8 91. (Postupila 01 03 1989) emal Doliqanin (Ćemal Doliqanin), Elektrotehniqki fakultet, 38000 Prixtina, Jugoslavija L. V. Antonova, Pedinstitut, 670000 Ulan-Udff, SSSR