ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ELEKTROTEHNIČKI ODJEL"

Transcript

1 MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija, pa odredite njezinu domenu i kodomenu. b) Je li f injekcija? Je li f surjekcija? Je li f bijekcija? Obrazložite svoje odgovore.. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a g preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje ukupan broj njegove biološke djece. a) Pokažite da je g funkcija, pa odredite njezinu domenu i kodomenu. b) Je li g injekcija? Je li g surjekcija? Je li g bijekcija? Obrazložite svoje odgovore.. Ispitajte injektivnost, surjektivnost i bijektivnost sljedećih funkcija: a) f : R R, f() 04 b) f : R R, f() c) f : R R, f() + d) f : R [, +, f() + e) f : [0, + [, +, f() + f) f : R R, f() g) f : R, ], f() h) f :, 0], ], f() i) f : R R, f() j) f : R R, f() 0 k) f : R 0, +, f() l) f : R 0, +, f() 05 m) f : R R, f() 05 n) f : R, 0, f() 0 o) f : 0, + R, f() log p) f : 0, + R, f() log + q) f : 0, + R, f() log r) f :, + R, f() log( + ) s) f :, + R, f() log( ) t) f : R R, f() sin mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

2 MATEMATIKA π π u) f :, R, f() sin (Naputak: Nacrtajte graf funkcije f.) π π v) f :, [, ], f() sin (Naputak: Nacrtajte graf funkcije f.) w) f : R R, f() cos ) f : [0, π] [, ], f() cos (Naputak: Nacrtajte graf funkcije f.) π π y) f :, R, f() tg (Naputak: Nacrtajte graf funkcije f.) z) f : 0, π R, f() ctg (Naputak: Nacrtajte graf funkcije f.) 4. a) Neka je f : A B bijekcija, pri čemu su A, B R konačni skupovi. Dokažite da su skupovi A i B jednakobrojni, tj. da oba skupa imaju jednak broj meñusobno različitih elemenata. b) Vrijedi li obrat tvrdnje iz a) podzadatka, tj. ako su A i B konačni skupovi koji se sastoje od jednako mnogo meñusobno različitih elemenata, postoji li barem jedna bijekcija kojoj je domena skup A, a kodomena skup B? Obrazložite svoj odgovor 5. Odredite inverz sljedećih bijekcija: a) f : R R, f() b) f : R R, f() + 04 c) f : R R, f() 05 d) f : R R, f() e) f : R R, f() f) f : R R, f() + g) f : R R, f() h) f : R R, f() 8 i) f : R R, f() j) f : R R, f() ( 7) k) f : R R, f() 64 l) f : [0, + [0, +, f() m) f : [0, +, ], f() n) f : [, + [, +, f() + o) f : [, +, 4], f() 4 + p) f : R 0, +, f() 04 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

3 MATEMATIKA q) f : R, +, f() e r) f : R,, f() e s) f : R, 5, f() 5 e t) f : 0, + R, f() log u) f : 0, + R, f() ln + v) f :, + R, f() ln( + ) w) f :, + R, f() 04 ln( ) ) f : R 0, +, f() ln( + ) y) f :, + R, f() ln( 8) z) f :, + R, f() ln( 4 + 6). 6. Pokažite da je za svaku realnu funkciju f moguće odrediti jedinstvene skupove A, B R koji imaju sljedeća svojstva: ) f je bijekcija sa skupa A u skup B.) Ne postoje skupovi A, B R takvi da je A A, B B i f bijekcija sa skupa A u skup B. 7. Odredite prirodno područje definicije (domenu) sljedećih realnih funkcija: a) f() + 04 b) f() c) f() + 8 d) f ( ) + e) f ( ) f) f ( ) + g) f ( ) h) 05 f ( ) 4 i) 0 f ( ) mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

4 MATEMATIKA j) + 7 f ( ) + 6 k) f ( ) l) 0 f ( ) m) f ( ) n) f ( ) o) f ( ) p) f ( ) + q) f ( ) r) s) t) u) v) w) ) y) f ( ) + f ( ) + f ( ) 6 + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4

5 MATEMATIKA z) f ( ) Odredite jesu li realne funkcije f i g jednake i obrazložite svoj odgovor ako su: a) f ( ) i g( ) + b) f ( ) i g( ) + + c) f ( ) i g( ) + + d) f ( ) i g( ) + e) f ( ) sin + cos i g( ) f) f ( ) tg ctg i g( ) g) 4 f ( ) i g( ) + + h) f ( ) i g( ) i) f ( ) i g( ) j) f ( ) i g( ) k) l) m) n) o) p) ( ) f e i g( ) e f ( ) i g( ) e e ( ) + f e i g( ) e e + e f ( ) i g( ) e e + e f ( ) i g( ) e + e + ln f ( ) e i g( ) e mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5

6 q) r) s) t) u) ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA ln e ( ) i ( ) f e g f ( ) ln( ) i g( ) ln f ( ) ln( ) i g( ) ln f ( ) ln( ) i g( ) ln( ) + ln( + ) f ( ) ln( ) i g( ) ln( ) + ln( + + ) f ( ) ln i g( ) ln v) ( ) w) ( ) f ( ) ln i g( ) ln ) f ( ) ln ( ) 4 i g( ) [ ln( ) + ln( + ) ] y) ( ) z) ( ) f ( ) ln 6 i g( ) ln( ) + ln( + ) + ln( + 4) f ( ) ln + 7 i g( ) ln( + ) + ln( + 9) Klasificirajte sljedeće funkcije s obzirom na omeñenost, monotonost i (ne)parnost: a) f : R R, f() b) f : R R, f() ( 04) c) f : R R, f() 4 + d) f : R R, f() + e) f : R R, f() 5 7 f) f : R R, f() + g) f : [, ] R, f() h) f : [ 4, 4] R, f() 7 i) f : R R, f() + j) f : [0, ] R, f() + k) f : [, ] R, f() l) f : [ 5, 5] R, f(), za < 0 m) f : R R, f ( ), za 0 n) f : R R, f() e + mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6

7 MATEMATIKA, za < 0 o) f : R R, f ( ) 0, za 0, za 0, za 04 < 05 p) f : 0, 0] [04, 05 R, f ( ), za 0 < 0 0, za 04 < 05 q) f : [ 0, 0 04, 05] R, f ( ) 0, za 0 < 0 r) f : [0, ] R, f() e s) f : [, ] R, f() e t) f : [ 0, 0] R, f() ( ) e u) f : 0, + R, f() ln + v) f : 0, R, f() ln + w) f : 0, R, f() log ) f : R R, f() sin y) f : [0, π] R, f() cos z) f : [0, π R, f() tg. 0. a) Neka je f : R R neparna funkcija. Pokažite da je tada nužno f (0) 0. b) Vrijedi li obrat tvrdnje iz a) podzadatka, tj. ako za funkciju f : R R vrijedi jednakost f (0) 0, je li tada f neparna funkcija? Obrazložite svoj odgovor.. a) Pokažite da niti jedna parna realna funkcija ne može biti injekcija (pa niti bijekcija). b) Postoji li parna surjektivna realna funkcija? Ako postoji, navedite primjer takve funkcije. Ako ne postoji, obrazložite svoj odgovor.. Neka je P skup kojega tvore sve parne realne funkcije jedne realne varijable, a N skup kojega tvore sve neparne realne funkcije jedne realne varijable. Odredite P N.. Nacrtajte graf sljedećih realnih funkcija i klasificirajte ih s obzirom na omeñenost i monotonost ako je: a) [ ] D f, f je parna f ( ), za svaki [ 0, ] mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7

8 b) c) d) e) f) g) h) i) j) MATEMATIKA [ ], f je neparna f ( ), za svaki,0 D f [ π, π ] f je parna f ( ), za svaki [ 0, π ] [ π, π ] f je neparna f ( ) ( ), za svaki π,0 D f [ 4,4 ] f je parna f ( ) +, za svaki [ 0, 4 ] [ 4,4 ] f je neparna f ( ), za svaki 4,0 D f [, ] f je parna f ( ), za svaki [ 0, ] [, ] f je neparna f ( ) ( ), za svaki,0 D f [, ] f je parna f ( ), za svaki [ 0, ] [, ] f je neparna f ( ), za svaki,0 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8

9 MATEMATIKA [ ] D f, k) f je parna f ( ) e +, za svaki [ 0, ] D f [, ] l) f je neparna f ( ) e, za svaki,0 D f [, ] m) f je parna f ( ) e, za svaki [ 0, ] D f [, ] n) f je neparna f ( ) e, za svaki,0 D f [, ] o) f je parna f ( ) ln, za svaki 0,] [, ] p) f je neparna f ( ) ln( ), za svaki,0 D f [, ] q) f je parna f ( ) ln( + ), za svaki,0] [, ] r) f je neparna f ( ) ln( ), za svaki,0 D f [, ] s) f je parna f ( ) e, za svaki [,0 ] mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9

10 t) u) v) w) ) y) z) MATEMATIKA [ ] D f, f je neparna f ( ) + + e, za svaki,0 [, ] f je parna f ( ) + ln( ), za svaki,0 [, ] f je neparna f ( ) + ln, za svaki 0, ] [, ] f je parna f ( ) ln( ), za svaki,0 [, ] f je neparna f ( ) ln( ), za svaki 0, ] [, ] f je parna 4 f ( ) + ln( ), za svaki,0 [, ] f je neparna 5 f ( ) ln( ), za svaki 0, ]. 4. Nacrtajte grafove sljedećih realnih funkcija, pa ih klasificirajte s obzirom na omeñenost, monotonost i (ne)parnost: a) f, za : R R, f ( ), za < mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 0

11 MATEMATIKA, za b) f : R R, f ( ), za <, za < 0 c) f : [, ] R, f ( ) ( ), za 0, za < 0 d) f :, R, f ( ) ( ), za 0 < 4, za < 0 e) f :, ] R, f ( ) ( 4), za 0 < 5, za < 0 f) f :, R, f ( ) ( 5), za 0 < <, za 0 g) f : [, ] R, f ( ), za 0 < +, za h) f : [, ] R, f ( ) +, za < +, za ili i) f :,, f ( ) R +, za < < 4 +, za j) f :, ] R, f ( ) 4 +, za < < ili k), za f :, R, f ( ), za < < +, za < :, R, f ( ), za l) f [ ] mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

12 MATEMATIKA ln, za > 0 m) f : R R, f ( ), za 0, ln, za < ln( ), za < n) f : [, ] R, f ( ), za, ln( ), za < o) f :,, ( ) R f, za < ili ln( ), za < < ili p) f :, ] R, f ( ), za ln, za < < q) f :, R, f ( ), za e, za > 0 r) f : R R, f ( ) 0, za 0 e, za < 0 e, za > 0 s) f : R R, f ( ) 0, za 0 e, za < 0 e, za < t) f : [, ] R, f ( ) e, za + e, za < ili u) f :,, f ( ) R e, za < mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

13 MATEMATIKA e, za < < ili v) f :, ] R, f ( ) ( ) e, za e, za < < w) f :, R, f ( ) e, za ln, za ) f : R \ { 0 } R, f ( ) e e, za > ln( ), za < 0 y) f : R \ { 0 } R, f ( ) e, za > 0 e, za > 0 z) f : R R, f ( ), za 0 ln( e ), za <. 5. Neka su a R parametar i f : [ a, a] R funkcija. Definiramo funkcije f, f : [ a, a] R s f( ) f ( ) + f ( ) f( ) f ( ) f ( ) [ ] [ ] Pokažite da je f parna, a f neparna funkcija, te da za svaki D f vrijedi jednakost f() f () + f (). (Otuda slijedi da svaku funkciju f definiranu na nekom segmentu možemo prikazati kao zbroj parne i neparne funkcije.) 6. Neka su f, g : R R bijekcije. Definiramo realne funkcije h, h : R R s h () f() + g(), h () f() g(). Jesu li funkcije h i h nužno bijekcije? Obrazložite svoj odgovor. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

14 MATEMATIKA 7. a) Neka su f, g : R R parne funkcije. Definiramo realnu funkciju h : R R s h() f() g(). Pokažite da je h parna funkcija. b) Neka su f, g : R R neparne funkcije. Definiramo realnu funkciju h : R R s h() f() g(). Pokažite da je h parna funkcija. c) Neka je f: R R parna, a g : R R neparna funkcija. Definiramo realnu funkciju h : R R s h() f() g(). Pokažite da je h neparna funkcija. 8. Neka su f, g : R R realne funkcije. Definiramo funkciju h : R R s h() f() + g(). Klasificirajte funkciju h s obzirom na (ne)parnost ako su: a) f i g parne funkcije b) f i g neparne funkcije c) f parna, a g neparna funkcija. 9. a) Ako su f, g : R R odozdo omeñene funkcije, jesu li takve i funkcije h f + g i h f g? Obrazložite svoj odgovor. b) Ako su f, g : R R odozgo omeñene funkcije, jesu li takve i funkcije h f + g i h f g? Obrazložite svoj odgovor. c) Ako su f, g : R R omeñene funkcije, jesu li takve i funkcije h f + g i h f g? Obrazložite svoj odgovor. 0. a) Ako su f, g : R R rastuće funkcije, jesu li takve i funkcije h f + g i h f g? Obrazložite svoj odgovor. b) Ako su f, g : R R strogo rastuće funkcije, jesu li takve i funkcije h f + g i h f g? Obrazložite svoj odgovor. c) Ako su f, g : R R padajuće funkcije, jesu li takve i funkcije h f + g i h f g? Obrazložite svoj odgovor. d) Ako su f, g : R R strogo padajuće funkcije, jesu li takve i funkcije h f + g i h f g? Obrazložite svoj odgovor. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4