ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 1 Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση, α() =σταθ. Από την εξίσωση κίνησης = a( )d + Αντικαθιστώντας στην x = x + ( )d x = x + ( a + )d = x + ( a)d + d = a + (1) x = x + 1 a + () Λύνοντας ως προς στην εξίσωση (1) και αντικαθιστώντας στην (): a( x x ) = - (3) Λύνοντας ως προς α (επιτάχυνση) στην (1) και αντικαθιστώντας στην () x x = 1 ( + ) (4)
Γεωμετρική ερμηνεία ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 Εμβαδό Κλίση=α E 1 = 1 ( ) = 1 α E = Ολική επιφάνεια κάτω από την καμπύλη E = E 1 + E = 1 a +
ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 3 Πιο εύκολα... = x - x = x x - x = x + (1) a = a = - = + = + a () αφού η γραμμική (3) Αντικαθιστώντας την (3) στην (1) έχουμε x = x + = x + + = x + + + a x = x + + 1 a
ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 4 Ελεύθερη πτώση σώματος α = g = σταθ.! Ένα σώμα θεωρούμε ότι κάνει ελεύθερη πτώση όταν κινείται ΜΟΝΟ υπό την επίδραση της βαρύτητας " Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από την αρχική του κίνηση (αντικείμενα που ρίχνουμε προς τα επάνω ή κάτω κ.λ.π) # Η επιτάχυνση της βαρύτητας, g, έχει διεύθυνση πάντοτε προς τα κάτω και είναι ίδια για όλα τα σώματα και σταθερή (εκτός και αν αλλάξουμε γεωγραφικό πλάτος, ή πλανήτη) Ελεύθερη πτώση σωμάτων $ κίνηση με α=σταθ=-g Αρνητικό πρόσημο γιατί συνήθως ορίζουμε σα θετική την διεύθυνση του κατακόρυφου άξονα y προς τα πάνω. Εφαρμόζουμε τις προηγούμενες εξισώσεις βάζοντας α = -g
Ελεύθερη πτώση = g + y = y 1 g + g(y y ) = - y y = 1 ( + ) Προσοχή!!! Το πρόσημο έχει αλλάξει y g x g Σώµα εκτοξεύεται προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα Ποια τα y max, αν, καθ. ολ.? Η ταχύτητα στο y max γίνεται y max 1 = g 1 = 1 ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 5 Από την (1) εξίσωση: = g + αν = g Αντικαθιστώντας στη () έχουµε y max : y max = y 1 g αν + αν = g Όταν επιστρέφει πάλι στο y=y η () δίνει: y = y 1 g + ολ ολ ολ = V V= -V g = αν καθ. = αν 1
Μερικές ερωτήσεις Μια µπάλα αφήνεται από ύψος m να πέσει στο έδαφος. Ποιό από τα παρακάτω γραφήµατα περιγράφει τη σωστή εξάρτηση της ταχυτήτας του σώµατος συναρτήσει του χρόνου? ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 6 y x 9 A 9 B 9 C -6.5 9 D -6.5 9 E -6.5-6.5-6.5
Μερικές ερωτήσεις Μια µπάλα αφήνεται από ύψος m να πέσει στο έδαφος. ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 7 Σχεδιάστε τη θέση της µπάλας συναρτήσει του χρόνου y Σχεδιάστε την επιτάχυνση συναρτήσει του χρόνου α
Μερικές ερωτήσεις ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 8 Μια µπάλα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω από το έδαφος. Η µπάλα επιστρέφει στο έδαφος µετά από χρόνο. Σχεδιάστε τη θέση της µπάλας συναρτήσει του χρόνου κατά τη πτήση της y Σχεδιάστε την ταχύτητά της συναρτήσει του χρόνου κατά την πτήση της
ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 9 Ελεύθερη πτώση! Ένα σώµα σε κατάσταση ηρεµίας αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h! Η θέση του σε κάθε χρονική στιγµή είναι h = -1/g! Παρατηρούµε ότι: 1 3 4 5 sec h 1(g/) 4(g/) 9(g/) 16(g/) 5(g/) Δh 1(g/) 3(g/) 5(g/) 7(g/) 9(g/) Οι αποστάσεις που διανύθηκαν σε κάθε δευτερόλεπτο είναι ανάλογες προς τους περιττούς αριθµούς
ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 1 Παράδειγμα Μια µπάλα ρίχνεται προς τα πάνω µε 14m/s από ένα παράθυρο που βρίσκεται σε ύψος 8m από το έδαφος. α) Ποιο είναι το µέγιστο ύψος? β) Πότε επιστρέφει στο έδαφος? ΛΥΣΗ Ορίζουµε το σύστηµα συντεταγµένων και άρα τη θετική κατεύθυνση. Γράφουµε τις µεταβλητές και τα ζητούµενα µε σύµβολα A) Bρίσκουµε το χρόνο για να φτάσει σε µέγιστο ύψος, h max Στο h max η ταχύτητα είναι και άρα: hmax = g = g hmax = g Απλή αντικατάσταση του χρόνου στην εξίσωση της θέσης y() δίνει: y max = y + 1 g = h + g 1 g g o y max = h + g h g o y h Αντικαθιστώντας τα δεδοµένα έχουµε: y max = 8m+14 [m s ] ( 9.8m s )= 18m
Πρόβλημα (συνέχεια) ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 11 B) Θέλουµε το χρόνο για να φθάσει στο έδαφος. Αλλά εκεί y = Λύνοντας την εξίσωση της θέσης του σώµατος έχουµε: y εδ. = h + 1 g = h + 1 g Όπου οι λύσεις της δευτεροβάθµιας εξίσωσης: 1, = g 1 ± 1 + gh 1 = 3.3s 1, = ± g + gh Η απάντηση που θέλουµε Αντικαθιστώντας έχουµε: =.49s O χρόνος πού έπρεπε να ριχτεί η µπάλα για να φθάσει σε h=8m µε υ = 14m/s
ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 1 Quiz # Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιµοι;
Θέση συναρτήσει χρόνου - Παράδειγµα Ποια η θέση του σώµατος για = 3s? x(=3) = 1m Ποια η µετατόπιση του σώµατος στο χρονικό διάστηµα µεταξύ = 1 και = 5s? x(=1) = m x(=5) = 1m Ποια η µέση ταχύτητα του σώµατος στο χρονικό διάστηµα = 5 και = 1s? = Δx Δ = 1 4 =.5m / s Μετατόπιση = Δx = 1 = -1m ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 13 x (m) 3-3 4
Ταχύτητα συναρτήσει χρόνου - Παράδειγµα ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 14 Ποια η ταχύτητα του σώµατος για = s? υ(=) = 3m/s Ποια η µετατόπιση του σώµατος στο χρονικό διάστηµα µεταξύ = 3 και = s? =%1: E 1 =.5x(1s)x(3m/s)=1.5m Εύρεση εµβαδού: =1%3: E =(s)x(3m/s)=6.m (m/s) 3 1.5 6 4 Μετατόπιση: Ε ολ = E 1 + Ε = 1.5 + 6 % Δx = 7.5m Ποια η µέση ταχύτητα στο χρονικό διάστηµα µεταξύ = και 3s? υ = Δx Δ = 7.5 3 =.5m / s Ποια η µεταβολή της ταχύτητας στο χρονικό διάστηµα µεταξύ =3 και 5s? -3 Δυ = υ( = 5) υ( = 3) = m / s 3m / s = 5m / s Ποια η µέση επιτάχυνση στο χρονικό διάστηµα µεταξύ =3s και 5s? a = Δυ Δ = 5m / s a =.5m / s
Επιτάχυνση συναρτήσει χρόνου - Παράδειγµα ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 15 Ποια η επιτάχυνση του σώµατος για = 4s? x(=4) = -m/s Ποια η µεταβολή της ταχύτητας του σώµατος στο χρονικό διάστηµα µεταξύ = 4 και = 1s? Μεταβολή ταχύτητας = Εµβαδό κάτω από τη καµπύλη: Εύρεση εµβαδού: =1%3: E 1 =(s)x(3m/s )=6.m/s =3%4: E =(1s)x(-m/s )=-.m/s Ε ολ = E 1 + Ε = 6.. % Δυ = 4.m/s 3 α (m/s ) -3 6 4
Ερώτηση: ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 16 Είναι δυνατό ένα σώµα να έχει θετική ταχύτητα και την ίδια χρονική στιγµή να έχει αρνητική επιτάχυνση? ΝΑΙ Ναι γιατί µπορεί να έχει θετική ταχύτητα καθώς επιβραδύνεται OXI Αν η ταχύτητα του σώµατος δεν είναι µηδέν µπορεί η επιτάχυνσή του να είναι κάποτε µηδέν ΝΑΙ Μηδενική επιτάχυνση σηµαίνει σταθερή ταχύτητα OXI Αν η µέση ταχύτητα ενός σώµατος που εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση είναι θετική µπορεί η στιγµιαία ταχύτητα του σώµατος για κάποιο χρονικό διάστηµα να είναι αρνητική? ΝΑΙ OXI Φανταστείτε ότι κινήστε 5Km προς τη θετική διεύθυνση, κατόπιν σταµατάτε και κινείστε 3Km προς το µηδέν (αρνητική διεύθυνση) Η µέση ταχύτητα είναι θετική
Παράδειγμα ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 17 Ένα σώμα κινείται σε 1-διάσταση Αρχικές συνθήκες: για =, x = 1m, =15m/s, α=-5m/sec, ως προς ˆx Ποια η ταχύτητα και διάνυσµα θέσης x του σώµατος µετά από 8 sec α xˆ Το σώµα µε > ελαττώνει ταχύτητα αφού α < ( ) = + a ( = 8) = 15 + ( 5) 8 = 5m / s Η ταχύτητα του σώµατος ελαττώνεται µέχρι να µηδενιστεί και κατόπιν αλλάζει φορά κίνησης (προς τη -x διεύθυνση) 1 1 ( ) = x + a + x( = 8s) = 1 + ( 5) 8 + 15 8 = 3m x
Παράδειγμα (συνέχεια) Μερικές ερωτήσεις Πότε το σώµα περνά από x =? ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 18 x x() = x + 1 a + 1m x() = 1 5 +15 = Δευτεροβάθµια εξίσωση µε λύσεις -.6sec 6.6 sec 1, = b ± b 4aγ a 1 = 6.6s 1, = 3 ± 13 =.6s Ποια από τις απαντήσεις είναι φυσική? Εξαρτάται από το πρόβληµα. Τι συνέβη τη χρονική στιγµή -.6 sec; Πιθανόν να ρίξαµε το σώµα προς τα πάνω. Εποµένως =-.6s είναι ο χρόνος που χρειάστηκε για να αποκτήσει την αρχική ταχύτητα υ = 15m/s και να βρεθεί στην αρχική θέση x =1m.
Κίνηση µε µεταβαλλόµενη ταχύτητα, υ = f() Ένα ferry-boa κινείται µε σταθερή ταχύτητα για 1 = 6s. Κατόπιν σταµατά τις µηχανές του και συνεχίζει να κινείται µε ταχύτητα που δίνεται από τη σχέση ( ) = 1 όπου 1 = 6s. Ποια είναι η µετατοπιση του πλοίου από = σε = Δx 1 = Δ = 8 6 = 48m H υπόλοιπη µετατόπιση του πλοίου δίνεται από το ολοκλήρωµα: Δx ( ) = ( )d = 1 d Δx ( ) = 1 1 d = 1 6 6 6 ΦΥΣ 111 - Διαλ.6 19 Το γράφηµα της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου δίνεται στο διπλανο σχήµα. H συνολική µετατόπιση είναι το άθροισµα των µετατοπίσεων Δx 1 από =s σε 1 =6s και Δx από 1 = 6s σε = H ταχύτητα του πλοίου είναι σταθερή τα πρώτα 6s και εποµένως η µετατόπιση είναι: 1 Δx ( ) = 1 1 6 = 1 6 Δx 6 ( ) = 48m H συνολική µετατόπιση του πλοίου είναι: Δx ολ = Δx 1 + Δx = 96m