ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης y y A y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις : 4 4 A 6αβ 49α β και Αν α β γ 5α αβ 6β α β B 5 α 6 β να βρεθεί τ πρόσημ των παραστάσεων A α β β γ B βααγγ β 4 Αν είναι 4 A 6 5 6 5 να δειχθεί ότι A 0 5 Να υπλγίσετε την παράσταση : A5 64 4 6 6 Δίνεται τ πλυώνυμ P5 α) να κάνετε τις πράξεις β)να παραγντπιήσετε τ Ρ() P 0 γ) να λύσετε την εξίσωση 7 Να γίνυν γινόμεν ι παραστάσεις: α, β 4, γ 8 Να γίνει γινόμεν η παράσταση : 4 8 4, 8 9 4 9 α) Να απδειχθεί ότι: α β αβ α β β) Να γίνει γινόμεν η παράσταση 4 0 Να εκτελέσετε τις πράξεις: α α α 5 της παράστασης, για α και να βρείτε την αριθμητική τιμή Να βρείτε ένα θετικό αριθμό, όταν τ τετράγωνό τυ ελαττωμέν κατά τ πενταπλάσιό τυ, είναι 4 Να κάνετε τις πράξεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - i) 4-9 -
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ Να απλπιηθεί τ κλάσμα 4 4 α β α α βαβ β 4 Αν y 9 και y 0, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 4 4 Γ y A y, B y, α β αβ α β A : αβ αβ α β β α α β 5 Να υπλγισθεί η παράσταση 6 Aν 0, να βρεθύν: i) 7 Να κάνετε τις διαιρέσεις i) 8 Να κάνετε τις πράξεις: i) y -y : y -y μ ν μ ν μ ν μ ν 9 Να απλπιηθύν ι παραστάσεις : i) y ω y y ω ω 0-5 5 : 44 8 y y y y yy 5 y y y y y 6 4 5 5 4 6 0 Να γίνυν ι πράξεις : α) 4 αβ β α β αβ β α αββ β) α β αβ α αβ β αβ Να δειχθεί ότι : α β γ α β γ α β β γ γ α Να γίνυν ι πράξεις : ΚΕΦΑΛΑΙΟ y y y y y y y y y Να λυθύν ι εξισώσεις : i) 8 0 i 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 5 β)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ γ) 4 56 5 Να λυθεί η εξίσωση: 6 6 Να λυθεί η εξίσωση: 4 5 6 7 Να λυθεί η εξίσωση : 9 4 9 7 9 0 6 9 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Να λυθεί τ σύστημα: y 5, 9 Να λυθεί τ σύστημα: y, y y 60 y 5 0 Να λυθύν τα συστήματα: i) y5 y 5 y y 7 Να λυθύν τα συστήματα : i) Να λυθύν τα συστήματα : i) y 6 y (y ) y y y 4 y y 6 y 0 Να λυθεί τ σύστημα 4 y y, y y 5 5 y y y y 4 Δύ αριθμί έχυν διαφρά και γινόμεν 88 Να βρεθύν ι αριθμί (με εξίσωση β βαθμύ) y 5 Να λυθεί τ σύστημα: y, 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 6 Να βρεθύν τα α, β ώστε η ευθεία α βy 4 B, να διέρχεται από τα σημεία A, και
7 Να βρεθεί τ κ ώστε η εξίσωση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ κ κ 5 0 να έχει ρίζα τν αριθμό 4 8 Να βρεθεί τ κ ώστε ι τρεις ευθείες πυ παριστάνυν ι εξισώσεις y, 4y 5 0 και κy 4 να διέρχνται από τ ίδι σημεί 9 Να σχεδιάσετε την παραβλή με τεταγμένη 5 και έχει κρυφή τ K,9 y α β αν είναι γνωστό ότι τέμνει τν yy στ σημεί 40 Σε πι σημεί τέμννται ι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y4 5 και y5 4 Να βρεθύν τα κινά σημεία της ευθείας y 5 και της παραβλής y 8 4 Να βρεθεί τ κ ώστε η ευθεία ε πυ έχει εξίσωση y κ κ να είναι παράλληλη πρς την ευθεία 4 y 4 Θεωρύμε την ευθεία (ε) με εξίσωση 4y i) Να κατασκευάσετε την ευθεία ε Να βρείτε τα σημεία τμής Α και Β της ε με τυς άξνες και yy αντίστιχα i Να υπλγίσετε την περίμετρ και τ εμβαδόν τυ τριγώνυ ΟΑΒ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 44 Παίρνυμε ένα ισσκελές τρίγων ΟΑΒ Ορίζυμε δύ ίσα τμήματα ΟΓ, ΟΔ αντίστιχα στις ίσες πλευρές ΟΑ και ΟΒ τυ τριγώνυ Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΓΒ και τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΓΒ 45 Δίνεται τρίγων ΑΒΓ και έξω από αυτό παίρνυμε τα τμήματα AM AB και AP AΓ έτσι ώστε BAM ΓAP Να δείξετε ότι : i) Τα τρίγωνα ΑΒΡ και ΑΓΜ είναι ίσα BP ΓM i ABP AMΓ και AΓM APB 46 Δίνεται τραπέζι ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε, Ζ των μη παραλλήλων πλευρών τυ ΑΔ, ΒΓ αντίστιχα Αν η πρέκταση της ΑΖ τέμνει την πρέκταση της ΔΓ στ Η, να δείξετε ότι : i) Tα τρίγωνα ABZ HΓZ είναι ίσα Η ΕΖ είναι παράλληλη πρς τις βάσεις AB ΓΔ i EZ 47 Δίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ και τ σημεί Ε της διαγωνίυ ΑΓ με AE AΓ Από τ 6 Ε φέρνυμε παράλληλη στη διαγώνι ΒΔ, πυ τέμνει τις ΑΔ και ΑΒ στα σημεία Κ και Μ αντίστιχα i) Να εξετάσετε αν είναι όμια τα τρίγωνα ΑΚΜ και ΑΔΒ Να δείξετε ότι KM BΔ 4
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ i Να βρείτε τν λόγ των εμβαδών των τριγώνων ΑΚΜ, ΑΔΒ 48 Δίνεται τρίγων ΑΒΓ και φέρνυμε τα ύψη τυ ΑΚ, ΒΛ και ΓΜ Να δειχθεί ότι AK BΛΓMABBΓ ΓA A 90, φέρνυμε τ ύψς ΑΔ 49 Σε ρθγώνι ΑΒΓ i) Να δείξετε ότι ΔAΓ B και ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι όμια Αν BΔ cm και ΔΓ 7cm, να υπλγίσετε τ μήκς τυ ύψυς ΑΔ 50 Δίνεται γωνία oψ και στην Ο παίρνυμε σημεία Α και Β και στην Οψ σημεία Γ και Δ έτσι ώστε ΟΑ ΟΓ και ΟΒ ΟΔ Αν Ε είναι η τμή των ΑΔ και ΒΓ να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΓΔΕ είναι ίσα 5 Σε ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ πρεκτείνυμε τις πλευρές τυ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ πρς τις κρυφές Β, Γ, Α και στις πρεκτάσεις παίρνυμε τμήματα ΒΚ ΓΛ ΑΜ Να δειχθεί ότι τ τρίγων ΚΛΜ είναι ισόπλευρ 5 Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ Από τις κρυφές Β και Γ φέρνυμε τις ΒΕ και ΓΖ κάθετες στην διχτόμ ΑΔ Να δείξετε ότι : α) τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΖ είναι όμια β) τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΓΖΔ είναι όμια γ) 5 Σε τρίγων ΑΒΓ να φέρετε τ ύψς ΑΔ Αν Κ, Μ, Ν, τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστιχα να συγκριθύν τα ΔΚ και ΜΝ και να βρεθεί τ είδς τυ τετραπλεύρυ ΚΔΜΝ ΑΒ ΑΓ και γωνία Α 0, φέρνυμε τη μεσκάθετ ΕΔ της 54 Σε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ πλευράς ΑΒ, πυ τέμνει τη ΒΓ στ Δ και την ΑΒ στ Ε Να απδείξετε ότι ΒΓ ΒΔ Υπόδειξη : Φέρνυμε ΑΖ //ΕΔ 55 Από την κρυφή Α παραλληλγράμμυ ΑΒΓΔ φέρνυμε ευθεία ε η πία τέμνει τις ΒΔ, ΒΓ, ΔΓ στα σημεία Ε, Ζ, Η αντίστιχα Να δείξετε ότι ΑΕ ΕΖ ΕΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 56 Να απδειχθεί ότι: ημ συν εφ συν ημ συν 57 Να απδείξετε ότι: 58 Αν 4 4 ημ ω συν ω ημ ω συν ω ημ ω ημω και 80 ω 70, να βρεθεί η τιμή της παράστασης εφ ω συνω ημω 5 εφ θ συν θ 59 Να απδείξετε ότι : σφ θ συν θ εφ θ 60 Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης Α 4ημ συνy 6 i) Να δείξετε ότι: εφ ω Αν 5εφω 8 0 και συν ω ημω 6 i) Aν συνω και 90 ω 80 να βρείτε ημω και εφω 5 Nα δείξετε ότι : ημ φημ ω συν φσυν ω ημ φ ημ ω 90 ω 80 να βρείτε τ 5
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ 6 Να δείξετε ότι: i) ημ συν συν ημ ημ συν ημ ημ συν εφ εφ 64 Να δείξετε ότι: i) ημ 50 ημ 40 ημ 45 ω ημ 45 ω i ημ 70 συν 0 65 Αν, Α, Β, Γ είναι γωνίες ενός τριγώνυ ΑΒΓ να δειχθεί ότι ισχύυν ι σχέσεις : Α Β Γ Α Β Γ ημ συν και συν ημ εφ ημ συν συν 66 Να δειχθεί ότι : 67 Σε κάθε τρίγων ΑΒΓ να δειχθεί ότι ισχύει: βσυνγ γσυνβ α 68 Αν είναι 0 80 να υπλγίσετε την γωνία όταν : ημ 0,,4ημ 5συν συν αν 90 80 εφ 4εφ 0 8ημ 4συν 0 69 Να απδείξετε ότι : ημ50 συν5 εφ0 4 6 70 Να δείξετε ότι σε κάθε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ Α 90 ισχύει : ημ Β α εφ Β ημ Γ βγ 7 Αν Α,Β,Γ είναι ι γωνίες ρθγωνίυ τριγώνυ να δείξετε ότι : ημ Α Β Γ 0 συν Α Β συνγ α) β) γ) ημ Α Β ημγ δ) εφ 90 σφ 7 Να απδείξετε ότι : α) Α Β Γ ημ ημ β) ημ 80 ωσφω συνω 4 4 συν συν γ) ημ συν ημ συν δ) ημ ημ συν 7 Να απδείξετε ότι σε κάθε τρίγων ΑΒΓ ισχύει : A ημβ ημγ β ημγ ημα γ ημα ημβ 0 74 Να εκφράσετε συναρτήσει των πλευρών ενός τριγώνυ τα συνα, συνβ, συνγ και να συνα συνβ συνγ α β γ απδείξετε ότι α β γ αβγ 6
Θέμα ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΟΡΦΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α) Τι νμάζυμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικύ αριθμύ α; Να γράψετε τις ιδιότητες των ριζών Β) Nα γράψετε τ ανάπτυγμα α β και να τ απδείξετε i) Αν ισχύει αβ α β, να δείξετε ότι είναι α 0 ήβ 0 Αν ισχύει αβ α β, να δείξετε ότι είναι ι αριθμί α, β είναι μόσημι Γ) Πότε δυ τρίγωνα είναι όμια ; Πια είναι τα κριτήρια μιότητας; Θέμα Απδείξτε ότι : Σε κάθε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ Ι) ι γωνίες της βάσης τυ είναι ίσες ΙΙ) η διάμεσς τυ ΑΜ είναι διχτόμς και ύψς Θέμα Α) Να λυθεί η εξίσωση : 4 Β) Πότε μια τετραγωνική συνάρτηση έχει μέγιστ; Με τι ισύται τ μέγιστ αυτό; Θέμα 4 Α) Να δειχθεί ότι: συν συν y ημ ημ y συν συν y Β) Να διατυπώσετε τ θεώρημα τυ Θαλή Θέμα 5 Δίνεται γωνία Oy και στην Ο παίρνυμε σημεία Α και Β και στην Οy σημεία Γ και Δ έτσι ώστε ΟΑ=ΟΓ και ΟΒ=ΟΔ Αν Ε είναι η τμή των ΑΔ και ΒΓ να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΓΔΕ είναι ίσα Θέμα Α) σελ 0 σχ βιβλίυ Β) σελ 4 σχ βιβλίυ ΛΥΣΗ i) Ισχύει αβ α β α αβ β α β αβ 0 α 0ή β 0 Ισχύει αβ α β α αβ β α β αβ 0 αβ 0 α,β μόσημι Γ) σελ 0 σχ βιβλίυ 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ Θέμα Ι) Φέρνυμε τ ύψς ΑΔ Τότε τα ρθγώνια ΔΑΒ και ΔΑΓ έχυν {AB AΓ, ΑΔ κινή) τριγδαβ ΔΑΓ (σύμφωνα με τ κριτήρι υπτείνυσα και μια κάθετη πλευρά ) άρα B Σχήμα Β Α Δ Γ ΙΙ) Φέρνυμε τη διάμεσ ΑΜ Σχήμα Τότε τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΓΜ έχυν {AB AΓ, ΑΜ κινή, ΜΒ ΜΓ) τριγμαβ ΜΑΓ (σύμφωνα με τ κριτήρι τρεις πλευρές ίσες), άρα Α Α πότε η ΑΜ είναι διχτόμς και ακόμη είναι Μ Μ Β Επειδή όμως Μ Μ 80, αφύ απτελύν ευθεία γωνία θα είναι Μ Μ 90 ΑΜ ΒΓ, δηλαδή η διάμεσς ΑΜ είναι και ύψς τυ τριγώνυ Α Μ Γ Θέμα Α) 4 4 EKΠ : Πρέπει αφύ και 0 0 και 0 και Έτσι έχυμε : 4 4 4 4 4 4 8 4 8 4 4 8 4 8 0 80 8 0 Είναι α, β 8, γ και Άρα ι ρίζες είναι Δβ 4αγ 8 46448 6 8 4 6,δεκτή β Δ ( 8) 6 α 8 4,απρρίπτεται αφύ Β) Η γραφική παράσταση της α β γ με α 0 είναι μια παραβλή για την πία ισχύει : β Ι) Άξνα συμμετρίας την ευθεία α β Δ ΙΙ) Έχει κρυφή τ σημεί Κ, α 4α 8
ΙΙΙ) Αν α 0 η β Δ f έχει ελάχιστ τ f α 4α β Δ f α 4α ΙV) Αν α 0 η f έχει μέγιστ τ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ Θέμα 4 Α) συν συν y ημ ημ y συν ημ y συν ημ y συν συν ημ y ημ y συν ημ y συν συν ημ y ημ y συν ημ y συν ημ y συν συν y συν συν y Β) σελ 06 σχ βιβλίυ Θέμα 5 Είναι ΑΟΔ ΒΟΓ γιατί έχυν: α) ΟΑ ΟΓ β) ΟΒ ΟΔ γ) ΑΟΓ ˆ κινή άρα ˆΒ Δˆ και Α Γ Είναι ΑΒΕ ΓΔΕ γιατί έχυν: α) AB ΓΔ ως διαφρές ίσων τμημάτων β) Α Γ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών Α Γ γ) ˆΒ Δˆ Ο Α Γ Ε Β Δ y 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ Θέμα Να απδείξετε ότι : ημ ω συν ω και Θέμα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ημω εφω συνω Α) Να διατυπώσετε τυς νόμυς ημιτόνων και συνημιτόνωννα απδειχθεί νόμς των συνημιτόνων Β) Πότε μια συνάρτηση λέγεται τετραγωνική; Τι γνωρίζεται για τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y, y, yα β γ με α 0 Θέμα Α) Να απδείξετε ότι συν 40 ημ 40 και συν 0 ημ 40 0 Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y τέμνει τυς άξνες στα σημεία Α και Β να βρεθεί τ εμβαδόν τυ τριγώνυ ΟΑΒ Θέμα 4 y 7 Να λυθεί τ σύστημα: y Θέμα 5 5 Α) Αν εφω και 90 ω 80 να υπλγιστεί τ συνω Β) Να απδείξετε ότι αν α, β μόσημι και α β τότε α β ΛΥΣΗ Θέμα σελ 40 σχ βιβλίυ Θέμα Α) σελ 44-45 σχ βιβλίυ Β) σελ 50-5-45 σχ βιβλίυ Θέμα ημ40 ημ 80 40 ημ40 Α) Είναι : πότε συν 40 ημ 40 συν 40 ημ 40 συν0 συν 80 50 συν50 και πότε ημ40 ημ 80 40 ημ40 συν 0 ημ 40 συν 50 ημ 40 συν 90 40 ημ 40 ημ 40 ημ 40 0 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ Β) Για 0 y άρα A(0, ) για y 0 άρα B,0 Η γραφική παράσταση της y είναι η ευθεία πυ διέρχεται από τα σημεία Α, Β Επμένως E OAOB B - ψ A Ο χ Θέμα 4 Λύνυμε την η 7 εξίσωση ως πρς y, y 7 y () Αντικαθιστύμε στην η εξίσωση και έχυμε : 7 7 4 740 Είναι α, β 7, γ 4 και Δβ 4αγ 7 44 49 48 Άρα ι ρίζες είναι : 7 4 β ( 7) 6 α 7 6 4 7 Για από την () πρκύπτει y ενώ για πρκύπτει y 6 4 7 Οι λύσεις είναι : (,y),,y, 6 και Θέμα 5 Α) ημ ω συν ω ημ ω εφ ω συν ω συν ω συν ω συν ω εφ ω άρα συν ω 44 5 5 44 5 69 69 44 44 44 Επειδή 90 ω 80 είναι συνω 0, άρα Β) Αφύ α, β μόσημι σημαίνει ότι αβ 0 Αφύ 44 συν 69 α β α β αβ αβ β α