Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte 4 VEKTORI POJAM VEKTORA Svodnevno se susećemo s velčnm če e odeđvne poten smo edn o N pme udlenost povšn volumen Nh ovmo slnm velčnm Međutm postoe velčne oe ne možemo potpuno odedt oem već e poteno dt nhov sme N pme une stune vet Nh ovmo vetosm velčnm Veto o sup (ls) usmeenh dužn Ne su AB ončvmo s dve toče n pvu u vnn l u postou Dužnu s evm AB Dulnu dužne AB ončvmo s AB l d ( AB) Usmeen dužn AB e dužn ou se n početn toč A všn toč B Z dve usmeene dužne AB CD žemo d su evvlentne o posto tnsl o pvu pevod u dugu t o e četveout ABDC plelogm A B Defn Sup svh međusono evvlentnh usmeenh dužn nvmo vetoom Dle veto se može pedočt pomoću vše lčth usmeenh dužn epeentnt veto Često se veto upotelv nv: ls usmeenh dužn Zog ednostvnost ćemo lo ou usmeenu dužnu (epeentntu veto) nvt vetoom ončvt AB CD K l K Sup svh veto neog posto ončvt ćemo s V Z nše potee će V t ednodmenonln posto V (pv) dvodmenonln posto V (vnn) l todmenonln posto V Geomets veto e opsn (dn) s: pevem nosoem n oem se veto nl dulnom l modulom: AB d ( AB) oentom n pvu nosou Poned se govo o smeu veto Sme oednue noso oentu 6
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte OPERACIJE S VEKTORIMA Ko pvo momo uvest (defnt) nee pomove: Nul veto - veto dulne - on: - ved: AA BB K - duln (modul) nul veto: Jednčn veto - veto dulne - dn veto dulne ednčn veto e defnn s - e veto o m st sme o duln mu e Rdveto (dus veto) Ao e T ne toč posto O shodšte oodntnog sustv veto OT nvmo dveto toče T Zpsuemo g T Z sv veto možemo t negovog pedstvn to d mu početn toč ude š toč O N t se nčn dov dveto nee (lo oe) toče Kolnen veto Veto o ppdu stom l plelnm pvm -veto su olnen: Komplnn veto Veto o ppdu sto l plelnm vnnm Poe veto Otogonln poe u vnn n pv p e fun o svo toč A vnne pdužue toču u oo oom n p o pol točom A seče pv p Otogonln poe u postou n pv p e fun o svo toč A posto pdužue toču u oo vnn o pol točom A oomt e n p seče pv p Zdt: Ntt slnu tm vetosu poeu veto n pv p 7
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte I Zne veto Ne su lo v veto Zne veto e fun ( ): V V V ( ) pdužue veto t fun o pu veto ( ) Vetoe mo po pvlu tout l po pvlu plelogm: Svostv opee n: () ( ) ( ) () () ( ) ( ) (4) Odumne veto Odumne veto se defn o ope n : s supotnm vetoom: ( ) II Množene veto s slom (oem) Ne e veto λ eln o Množene veto s slom e fun () : R V V ( λ ) λ λ pdužue veto λ t fun o pu ( ) Z veto λ ved: λ su olnen (mu st l pleln nosč) λ λ λ > λ su sto oenttn λ < λ su supotno oentn Svostv opee množen s slom: (5) λ ( ) λ λ (6) ( λ µ ) λ µ (7) ( λµ ) λ( µ ) λµ (8) ( ) Sup V s opem n množen s slom te svostvm () (8) tvo stutuu ou nvmo vetos (lnen) posto ou psuemo (V ) 8
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte B vetosog posto Pom e vetosog posto spd među nvžne pomove vetose lgee U smslu ošnvn uvođen pom e nvest ćemo potene defne teoeme od oh nećemo sve dovt Detlne o ovom poduču može se nć n pme u Eleovć [] Defn (lnen omn) Ne su Kn veto K n eln oev Veto n K n ovemo lnen omn veto Kn s oefentm K n Teoem Dv veto su olnen ond smo ond o posto o R tv d e Teoem T veto su omplnn ond smo ond o e sv od nh lnen omn ostlh dvu Defn (lnen (ne)vsnost) Veto Kn su lneno nevsn o nhov lnen omn sčev edno n tvln nčn t o K nn L n Veto Kn su lneno vsn o nhov lnen omn ne sčev n tvln nčn t K n ne sled L n n Teoem Veto Kn su lneno nevsn ond smo ond o se n edn od nh ne može pt o lnen omn ostlh veto odnosno on su lneno vsn ond smo ond o se dn od nh može pt o lnen omn ostlh veto Pme: Veto oe e lneno su nevsn Nme 6 6 Defn () B vetosog posto V e nveć o lneno nevsnh veto tog posto Ptne: Ko e nveć o lneno nevsnh veto posto V? Posto V ; Sv dv veto ednog pv su lneno vsn p lučuemo d se ssto od ednog ednog veto 9
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Posto V ; Sv t veto edne vnne su lneno vsn p lučuemo d se ssto od dv veto nlogno Posto V ; Sv čet veto posto su lneno vsn p lučuemo d se ssto od t veto Teoem P veto u e ednstven Do Ne e B { } todmenonlnog vetosog posto V ne e d α β γ (*) p veto d po B Petpostvmo d p ne ednstven To nč d osm p (*) posto oš em edn p veto d t postoe oev α β γ tv d e d α β γ (**) Odumnem (*) - (**) sled d d ( α α ) ( β β ) ( γ γ ) Buduć d su lneno nevsn (čne u) nhov lnen omn ščev n tvln nčn t ( α α ) ( β β ) ( γ γ ) α α β β γ γ III Sln podut veto (sln umnož) Ne su dn veto ϕ ( ) ut među vetom Sln podut (umnož) veto e fun () : V V R ( ) t fun o pu veto ( ) pdužue o (sl) osϕ R defnn s: Pomoću slnog podut čunv se poe veto n veto t osϕ fl sln poe veto n veto osϕ fl sln poe veto n veto
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte fl vetos poe veto n veto fl vetos poe veto n veto ( ) ( ) Poslede slnog množen: () os () l e em edn edn () os ϕ ( ϕ π) Svostv slnog množen: () - potvnost () λ ( ) ( λ) ( λ ) - homogenost () - omuttvnost (4) ( ) - dstutuvnost Pme: Z vetoe o ved: 5 ( ) 45 Ne su e 4 f Ičunt e f e f ( ) ( ) 4 4 L 7 55 IV Vetos podut veto (vetos umnož) Ne su dn veto ϕ ( ) ut među vetom Vetos podut (umnož) veto e fun ( ): V V V ( ) pdužue veto t fun o pu veto ( ) Z veto ved: snϕ Geomets modul vetosog podut edn e povšn plelogm što g tvu veto To vdmo : snϕ v
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Veto e n veto n veto olnen olnen l e em edn od nh To veto ( ) čn desnu tou t gledno vh veto ot u supotn e gnu le n stu Svostv vetosog množen: () () λ ( ) ( λ) ( λ ) - homogenost () ( ) - ntomuttvnost (4) ( ) - dstutuvnost V Mešovt podut veto Ne su dn veto Mešovt podut (umnož) veto (): V V V R ( ) ( ) t fun o to veto ( ) pdužue o ( ) R On: ( ) ( ) e fun Svostv: () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) Geomets ntepet mešovtog podut: Ne su - dn neomplnn veto α ( ) - ut među vetom ( ) Td e ( ) osα v osα v osα B B v ± t psolutn vednost mešovtog podut tu veto ( ) V edn e volumenu plelepped oeg tvoe t veto
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte KOORDINATNI SUSTAV Kteev pvoutn oodntn sustv Kteev todmenonln pvoutn oodntn sustv čne međusono oomte os: O os pss O os odnt O os plt toč O shodšte oodntnog sustv ednčn veto odn n sledeć nčn: E ( ) dveto OE E ( ) dveto OE E dveto OE ( ) O Zpsuemo g: ( ; ) P veto u oodntnom sustvu ( O; ) Ne e T ( ) lo o toč Rdveto toče T: T OT gde e T ( ) sln poe veto OT n veto nlogno: T sln poe veto OT n veto sln poe veto OT n veto T vetos poe veto OT n veto vetos poe veto OT n veto vetos poe veto OT n veto Dle mmo pdužene: toč T ( veto oodnte toče T ) OT { } omponente veto OT p čemu su Modul (duln) veto OT : OT
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Pme: Odedt slne vetose omponente dveto T toče T ( 5 ) Ičunt modul veto T T ( 5 ) ö T 5 Slne omponente: 5 Vetose omponente: Modul veto T : Kosnus sme veto 5 5 T 5 Ne su α β γ utov što h veto tv s oodntnm osm Kosnus th utov čunu se pem fomulm: osα os β osγ nvu osnus sme veto Sled: poee veto n oodntne os: osα os β osγ omponente ednčnog veto veto : o { } { osα os β osγ } os α os β os γ o os α os β os γ Rčunne s vetom u oodntnom psu Ne su dn veto svom omponentm: { } { } Zne odumne ± ( )± ± ± ± ± ( ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) { } 4
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Zdt (Veto dn dvem točm): Ne e dn veto svom omponentm : { } Ptmo o smo odedl o nmo d e A ( ) početn všn toč veto? B ( ) Rdveto toč A B: OA OB AB OB OA ( ) AB ( ) ( ) ( ) ( ) { } Pme: Odedt omponente modul veto dnog točm A ( 4) ( ) AB { 6} AB 44 ; BA { 6} B BA 44 Odedt početnu toču veto CD { 5 } o e všn toč ( ) CD OD OC OC OD CD { } { 5 } { 4} C( 4) Veto u m omponente (6-5 ) Odedt oodnte veto d o e d oolnen s supotno oentn o e d 75 d α( 6 5 ) 6α 5α α d α 6 5 5 ( ) ( ) α d 5α 75 α α α d 6 5 48 45 ( ) ( 6) Množene s slom λ λ λ λ λ ( ) { λ λ λ } λ{ } 5
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Sln podut veto Sln umnoš ednčnh veto : os os π Sled: ( ) ( ) K K Poslede: () () os ϕ π ϕ Pme: Ne su dn veto { } { } Odedt slnu vetosu poeu veto n veto { } { } Sln poe veto n : { } Vetos poe veto n : { } Vetos podut veto Vetos umnoš ednčnh veto : ( ) ; ( ) ; ( ) Sled: ( ) ( ) K K ( ) ( ) ( ) Duč nčn psvn (pomoću detemnnte tećeg ed): K K ( ) ( ) ( ) 6
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Mešovt podut Ne su dn veto svom omponentm: { } { } { } Mešovt podut veto e o K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Duč nčn psvn (pomoću detemnnte tećeg ed): L Sd e lo povet vlnost sledećeg teoem: ( ) ( ) ( ) Teoem Veto su omplnn o smo o e spuneno ( ) Pme: Odedt volumen vsnu plelepped oeg pnu veto { } { 4 } ± V L V ( ) 4 ( ) L D l su veto { 4 5} { 6 8} { 4 4} v omplnn? ( ) { } 7
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Dugm ečm ptmo se d l e? 4 nsu Isptt d l su veto lneno nevsn D veto l lneno nevsn nhov lnen omn mo ščevt n tvln nčn Dle sptuemo d l α β γ α β γ α β γ ( ) α β ( ) ( ) γ ( α γ ) ( α β ) ( β γ ) α β α β γ 4 Ne su ( ) B( 5 6 ) C( α γ β γ A ) vhov tout Ičunt dulnu vsne spuštene vh B n stnu AC nčn: AC h AC AB h? AC { 4 } 6 9 5 AB { 4 5 } 6 5 4 AC AB 4 5 6 4 5 AC AB 5 6 5 5 h â 5 nčn: AB AC AB AC osα 45osα os α AB AC { 4 5 } { 4 } 4 4 8
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte AD AC 4 AB AC 5 5 { 4 5 } 4 4 duln poee veto AB n AC h AB AD 4 6 5 h 5 â 5 Ičunt povšnu plelogm če su dgonle e m n f m n gde e n m m n tvu ut od 6 su stne plelogm e f e f e f P ( e f ) ( e f ) ( f e) 4 P m n m n m m m n n m n P 5 ( ) ( ) n n m 5 n m sn 5 [ ( mn) ] 5 9