dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor"

Γιώργος Οὐλίξης Βαρνακιώτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./ Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto Vekto im: duljinu, smje i oijentciju Dv su vekto jednk ko imju jednku duljinu, smje i oijentciju. 1

2 Vekto u pvokutnom koodintnom sustvu T = OT = {,, } O T (,, ) = OT dij-vekto točke T = poj = poj = poj Sklne komponente vekto Modul (duljin, psolutn vijednost) vekto : = = Vekto u pvokutnom koodintnom sustvu (nstvk) T 1 ( 1, 1, 1 ) T 1 T T (,, ) O T 1 T = { 1, 1, 1 } d ( T 1, T ) = T 1 T = 1) + ( 1) + ( 1) ( 4

3 Jedinični vekto (ot) - vekto čiji je modul jednk 1 jedinični vekto u smjeu vekto : 0 = jedinični vekto u smjeu osi : jedinični vekto u smjeu osi : jedinični vekto u smjeu osi : i j k = {,, } = i + j + k Nul-vekto - vekto čiji je modul jednk 0 - onk: 0 5 Kosinusi smje vekto Smje vekto u postou može se dti i kutevim koje tj vekto tv s koodintnim osim,, γ cos α = O α β cos β = cos γ = Vijedi: cos α + cos β + cos γ = 1 6 3

4 Opecije s vektoim Zjnje vekto - Pvilo plelogm ( vektoe s istom početnom točkom) c c = + - Pvilo tokut ( vektoe koji se nstvljju ) c Oduimnje vekto d = = + ( ) d Množenje vekto sklom n œn n = n piojnik = 3 7 Linen komincij vekto λ + μ ξf,,..., f -vektoi λ, μ,..., ξ-skli Skup od n vekto je LINEARNO ZAVISANko se neki od njih može pikti ko linen komincij peostlih np. c = λ + μ ξf odnosno, ko postoje skli α, β,γ,, ζ, od kojih je jedn ličit od 0, tkvi d vijedi: α + β + γc ζf = 0 Skup od n vekto je LINEARNO NEZAVISAN, ko nije lineno visn. Ako je elcij α + β + γc ζf = 0 moguć smo kd je α=β= γ= = ζ=0, ond je tj skup lineno nevisn. 8 4

5 Kolineni i komplnni vektoi Dv vekto su kolinen ko leže n istom pvcu (ili n plelnim pvcim). i su kolineni i su lineno visni tj. jedn se može iskti pomoću dugog (np. = λ ) Odn. postoje α, β( jedn je ličit od 0) tko d je α + β=0 Ti vekto su komplnn ko leže u istoj vnini (ili u plelnim vninm).,, c su komplnni,, c su lineno visni tj. jedn se može iskti pomoću peostl dv ( np. c = λ + μ ) Odn. postoje α, β, γ( jedn je ličit od 0) tko d je α + β + γc = 0 NAPOMENA: 4 vekto u (3D) postou su uvijek lineno visni! 9 Sklni podukt vekto Sklni podukt vekto je skl!!! = cosϕ, ϕ= (, ) Svojstv: = (komuttivnost) ( + ) c = c + c (distiutivnost) ( λ ) = ( λ ) = λ( ), svki λœr = 0, ko je cosϕ= 0 tj. ko su i okomiti = Z jedinične vektoe i, j, k vijedi: i j = i k = j k = 0 i i = j j = k k = 1 ( = j i = k i = k j og komuttivnosti) 10 5

6 Sklni podukt vekto - nstvk = cosϕ, ϕ= (, ) Koodintni pis: = i + j + k ( = {,, } ) = i + j + k ( = {,, } ) ï = + + = = + + Kut imeđu dv vekto cos ϕ = = Uvjet okomitosti dv vekto: (u petpostvku d je, 0 ) ( cosϕ= 0 ) + + ^ = 0, tj. = 0 11 Pojekcij vekto n vekto j poj = cos ϕ cos ϕ = poj 1 6

7 Vektoski podukt vekto Vektoski podukt vekto je vekto!!! Vektoski podukt dv vekto i u postou je novi vekto c = ä s sljedećim svojstvim: Duljin vekto c inosi: c = = c Smje: sin ϕ, ϕ= (, ) je jednk inosu povšine plelogm petog vektoim i Pvc nosiocod c je okomit n vninu u kojoj leže vektoi i ϕ tj. c ^, Oijentcij: Vektoi,, c su desno oijentini c = ä ϕ 13 Vektoski podukt vekto- nstvk Svojstv: ä = ( ä ) ( ntikomuttivnost!!! ) ( + ) äc = äc + äc (distiutivnost) c ä( + ) = c ä + c ä ( λ ) ä = ä( λ ) = λ( ä ), svki λœr ä = 0, ko je sin ϕ= 0 tj. ko su i plelni Specijlno: ä =0, svki Z jedinične vektoe i, j, k vijedi: i äj = k j äk = i k äi = j j äi = k k äj = i i äk = j i äi = j äj = k äk =

8 Vektoski podukt vekto- nstvk Koodintni pis: = i + j + k ( = {,, } ) = i + j + k ( = {,, } ) ï ä = ( i + j + k) ä( i + j + k) = ( ) i ( ) j + ( ) k ä = i j k Uvjet kolinenosti(odn. plelnosti) dv vekto: (u petpostvku d je, 0 ) ä = 0, tj. = 0 = 0 = 0 tj. ( sin ϕ= 0 ) = = 15 Vektoski podukt vekto- pimjene P P = = 1 = sin ϕ 16 8

9 Međusoni podukt ti vekto c, ä äc âc ili â c - nisu odeđeni; možemo ih ostviti n više nčin - točno nmo kojim edoslijedom ćemo množiti Mješoviti vektoski podukt ( ä ) c = ä c cosϕ, ϕ= ( ä, c ) P () poj (visin) c ä Pimjene: Volumen plelepiped V plelepiped = ( ä ) c ( = B visin ) V pimide = 1 B visin 3 1 V teted = ( ä ) c (B je tokut!) 6 ϕ c 17 Mješoviti vektoski podukt - nstvk Koodintni pis: ( ä ) c = ( ) c + ( ) c + ( ) c ( ä ) c = c c c Uvjet komplnnostivekto,, c : V plelepiped = 0, odn. ( ä ) c = 0 tj. = 0 c c c 18 9

Σχετικά έγγραφα

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v