ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου ερµιτιανού τελεστή και ε πραγµατικός Να βρεθούν (α) η τιµή του µ (β) οι ιδιοτιµές και (γ) τα ιδιοδιανύσµατα του τελεστή της ενέργειας (δ) Να δειχθεί ότι τα ιδιοδιανύσµατα είναι ορθογώνια Θεωρούµε ένα φυσικό µέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή W µε στοιχεία µήτρας χρησιµοποιώντας τα ιδιοδιανύσµατα της ενέργειας της µορφής w W w όπου w πραγµατικός (ε) Να βρεθούν ποιες είναι οι δυνατές µετρούµενες τιµές για το φυσικό µέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή W Την χρονική στιγµή t µετράµε την µέση τιµή του τελεστή W και βρίσκουµε µηδενική τιµή (στ) Να βρεθεί η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος την τυχαία χρονική στιγµή t > (ζ) Αν την τυχαία χρονική στιγµή t > µετρήσω τα φυσικά µεγέθη W και H ποιες είναι οι δυνατές µετρούµενες τιµές και µε ποιες πιθανότητες; (η) Να υπολογιστεί ο ρυθµός µεταβολής της µέσης τιµής του τελεστή W χρησιµοποιώντας την σχέση µε τον d µεταθέτη i W [ W Η ] dt (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι * H H µ iε (β) Απαιτούµε 3ε λ iε iε λ ε det λ( λ 3 ε) ε λ 3ελ ε λ ε λ (γ) Για το πρώτο ιδιοδιάνυσµα (λε) χρειάζεται να λύσω το αλγεβρικό σύστηµα: 3ε ε iε x iε ε y ε iε x iε ε y µε το περιορισµό της κανονικότητας x y (προσοχή x y είναι γενικά µιγαδικοί) Για το δεύτερο ιδιοδιάνυσµα (λ-5ε) χρειάζεται να λύσω το αλγεβρικό σύστηµα: 3ε ε iε x iε ε y ε iε x iε ε y µε το περιορισµό της κανονικότητας x y (προσοχή x y είναι γενικά µιγαδικοί) Οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας είναι ψ i i ψ 5 5 (δ) i i i i i i ψ ψ 5 5 5 5
λ w (ε) Απαιτούµε det λ w λ w λ w Οπότε οι δυνατές µετρούµενες τιµές για το w λ φυσικό µέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή W είναι οι w και w ψ ψ ψ ψ Ακόµα βρίσκουµε ότι οι ιδιοσυναρτήσεις είναι w w Έχουµε δηλαδή W w w w W -w -w -w Γνωρίζουµε ότι W c ψ W ψ c ψ W ψ c c ψ W ψ cos ϕ Ενώ από την µορφή του τελεστή W σε πίνακα καταλαβαίνουµε ότι W wψ ψ wψ ψ W c ψ wψ ψ wψ ψ ψ c ψ wψ ψ wψ ψ ψ c c ψ wψ ψ wψ ψ ψ cosϕ c c w cos ϕ άρα έχουµε Από την τελευταία σχέση καταλαβαίνουµε ότι έχουµε µηδενική µέση τιµή για c (οπότε και c ) ή για c (οπότε και c ) ή για cosϕ ϕ ± π / (στ) Έτσι η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος για t είναι µία από τις παρακάτω ψ( xt ) ψ ψ( xt ) ψ ± / ψ( xt ) P ψ Pe π ψ P ψ ± i P ψ Οπότε η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος την τυχαία χρονική στιγµή t > είναι ψ( xt ) ψ ψ( xt ) ψ ψ( xt ) P ψ e ± i P ψ e i ε t / i ε t / Μια ισοδύναµη µέθοδος είναι η ακόλουθη Αφού την χρονική στιγµή t µετράµε µηδενική µέση τιµή του τελεστή W και οι ιδιοτιµές είναι αντίθετες θα πρέπει να εµφανίζονται µε ίση πιθανότητα ηλαδή ψ ( x t ) e w w Οπότε ψ ( xt ) e ψ e ( e ) ( e ψ ψ ψ ) w w ψ ψ ( ) ( ) / / / / / / e e e e e e ψ ψ cos ( ϑ/ ) ψ i sin ( ϑ/ ) ψ όπου ϑ µια τυχαία γωνία Η έκφραση αυτή είναι ισοδύναµη µε την ψ( xt ) P ψ ± i P ψ Ακριβολογώντας η ( ϑ ) ψ i ( ϑ ) cos / sin / ψ είναι ισοδύναµη µε την P ψ i P ψ για ϑ π και P ψ i P ψ για π ϑ π (ε) Καθώς για τις δυο πρώτες περιπτώσεις έχουµε στάσιµη κατάσταση η µέτρηση της ενέργειας θα δίνει µε ενώ για τον τελεστή W θα µπορεί να εµφανισθούν % πιθανότητα την τιµή ε ( ψ ) ή την τιµή -ε ( ψ ) σε κάθε µέτρηση οι w και w µε ίση πιθανότητα (5%) ε Αν η κυµατοσυνάρτηση είναι η ψ( x t) P ψ e ± i P ψ e µε πιθανότητα την τιµή ε Ενώ για τον τελεστή W έχουµε P i t/ iεt/ ψ και µε πιθανότητα P την τιµή -ε η µέτρηση της ενέργειας θα δίνει ψ
w w w w ψ( xt ) P ψ e ± i P ψ e P e ± i P e i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ Pe ± i Pe Pe i Pe w w Οπότε η ιδιοτιµή w εµφανίζεται µε πιθανότητα i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ ± ± Pe i Pe Pe i Pe Pe i Pe i5 εt/ i5 εt/ ( ) P P i P P ± e e ± P( P) sin( 5 εt/ ) και προφανώς η ιδοτιµή -w εµφανίζεται µε πιθανότητα P( P) sin( 5 εt/ ) (η) Έχουµε d < W > < [W Η ] > όπου dt i [W Η ] WH HW ( wψ ψ wψ ψ )( ε ψ ψ ε ψ ψ ) ( ε ψ ψ ε ψ ψ )( wψ ψ wψ ψ ) ( εwψ ψ εwψ ψ ) ( εwψ ψ εwψ ψ ) 5εw( ψ ψ ψ ψ ) Άρα για τις δύο πρώτες περιπτώσεις ψ ( xt ) ψ ή ψ ( xt ) ψ έχουµε [W Η ] 5εw ψ ψ ψ ψ ψ 5εw ψ ψ ψ ψ ψ και ± ± d W dt < > Η κυµατοσυνάρτηση ψ( x t) P ψ e ± i P ψ e ( ) i εt/ iεt/ [W Η ] ψ( xt ) 5εw ψ ψ ψ ψ ψ( xt ) δίνει iεt/ iεt / iεt/ iεt / ( Pe ψ i Pe ψ )( 5εw( ψ ψ ψ ψ ))( P ψ e i P ψ e ) ± i5εt/ i5εt/ ( ) ( ) ( ) i5εw P P e i5εw P P e iεw P P cos 5εt / d dt και < W > ( εw/ ) P ( P ) cos( 5εt / ) ΘΕΜΑ [] Ηλεκτρόνιο βρίσκεται περιορισµένο σε συµµετρικό απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού εύρους L Η αρχική νορµαλισµένη κυµατοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου είναι πx πx ψ ( xt ) cos i c sin / L για x L/ όπου c πραγµατικός L L (α) Να βρεθεί µέση αρτιότητα (parity) την χρονική στιγµή t ψ x t (β) Να προσδιοριστεί η (γ) Να υπολογιστεί η µέση ενέργεια του συστήµατος (δ) Να υπολογιστεί η µέση αρτιότητα του συστήµατος την τυχαία χρονική στιγµή t Έχουµε
πx πx πx ic πx πx πx ic πx ic ψ ( xt ) cos ( i c sin ) / L cos sin cos cos sin ψ ψ L L L L L L L L L L L / / Άρα P και P / 3/ οπότε P (α) Η µέση αρτιότητα είναι (β) E * P P ( ) P ( ) / 3/ 5 ic ic ic ic c 3 c 3 6 iet / 3 iet / πx iet / i 3 πx iet ψ ( xt ) ψe i ψe cos e sin e / L L L L π E E ml 3E 3 π E PE PE 5 E 3E 5 E 3 E 8mL και όπου (γ) (δ) Έχουµε συµµετρικό δυναµικό οπότε η αρτιότητα διατηρείται ( d < P > < [P Η ] > < > ) dt i i Άρα την τυχαία χρονική στιγµή t θά έχει την ίδια τιµή µε αυτή της t ηλαδή P () t 5 ΘΕΜΑ 3 [5] Θεωρούµε ηλεκτρόνιο περιορισµένο σε µονοδιάστατο κβαντικό σύστηµα µε δυναµική ενέργεια V( x) cδ ( x) µε c 39 ev nm Να βρεθούν (α) η µέση ενέργεια του συστήµατος σε ev (β) η αβεβαιότητα της ενέργειας και (γ) η πιθανότητα (%) να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στην περιοχή Χρήσιµες Φυσικές σταθερές [ nm nm] 3 3 9 5 J s me 9 kg e 6 C Από τις παραδόσεις του µαθήµατος και από άσκηση στο βιβλίο ασκήσεων του Τραχανά γνωρίζουµε ότι έχουµε µία δέσµια κατάσταση µε ενέργειας στάσιµη κατάσταση (α) mc 3 ( 5 J s) mc x E και ιδιοσυνάρτηση ( x) γ e γ mc Ψ όπου γ Άρα έχουµε 68 9 39 6 3 3 9 kg 39eV nm 9 kg 39 ev nm E E ev 3 3 5 5 3 9 8 9 kg 39 6 J m kg m / s J ev ev ev 68 5 J (β) Σε στάσιµη κατάσταση η αβεβαιότητα ενέργειας έχει µηδενική τιµή (γ) Η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στην περιοχή [ x x ] υπολογίζεται από την σχέση x x x x x x * * * x x x x x ( x) ( x) dx ( x) ( x) dx ( x) ( x) dx e γ e γ dx e γ dx e γ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ γ γ γ e γ x x Τώρα 3 3 9 9 59 mc 9 kg 39eV nm 9 kg 39 6 J m 9 39 6 kg m / s J γ m 5nm 3 3 68 5 5 5 J Καθώς γ x 5 e e 36 6 η πιθανότητα είναι 6%
ΘΕΜΑ [75575] Ένας αρµονικός ταλαντωτής βρίσκεται στις δύο πρώτες ενεργειακές καταστάσεις του ψ x αν γνωρίζουµε ότι E 5/ x 3/8 (α) Προσδιορίστε την (β) Υπολογίστε την µέση τιµή της ορµής από την σχέση p ( Ψ ( x) pˆ Ψ ) x (γ) Υπολογίστε την µέση τιµή της ορµής χρησιµοποιώντας τους τελεστές a a Υπόδειξη: αx π n αx 3 (n ) π x / x / n Ψ Ψ α ( α) α π π e dx x e dx e xe (α) Έχουµε E PE PE (/ ) P (3 / ) P 5 / και καθώς P P βρίσκουµε P c / P c 3/ Ακόµα γνωρίζουµε ότι x c c x cosδ όπου x καθώς x / x / x / π π x Ψ ( x) xψ ( x) dx e x( xe ) dx x e dx x άρα x 3/ 8 c c x cosδ / 3 / / cosδ 3/ 8 cosδ cosδ δ Έτσι η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ ( x) (/) Ψ ( 3/) Ψ (β) Έχουµε * Ψ( x) Ψ 3Ψ Ψ 3Ψ p Ψ ( x) pˆ Ψ ( x) dx Ψ( x)( i ) dx i dx i Ψ Ψ 3 3 dx Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ i 3 Ψ dx Ψ Ψ Ψ dx Ψ dx Ψ Ψ Ψ Ψ dx Όπου τα ολοκληρώµατα Ψ µηδενίζονται καθώς Ψ Ψ Ψ είναι περιττές συναρτήσεις ενώ το ολοκλήρωµα πρέπει να δίνει µηδέν αλλιώς η µέση ορµή θα ήταν µιγαδική! (επιβεβαιώστε υπολογίζοντας και τα ολοκληρώµατα) Επίσης από την σχέση p c c p sinδ και καθώς δ βρίσκουµε άµεσα ότι p (γ) Η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ (/ ) ( 3 / ) (φορµαλισµος Dirac) έτσι ( ) 3 3 3 3 i a a a a p Ψ Ψ a a a i i i i 3 3 i i i 3 3 3 3 3 3 i i i i i i i i ΘΕΜΑ 5 [55555] Θεωρούµε µονοδιάστατο κβαντικό σύστηµα του οποίου η δυναµική ενέργεια είναι V( x) VΘ ( x) Θ( L x) 3 VΘ( x) Θ( L x) Σωµάτιο µάζας m και ενέργειας E V σκεδάζεται ερχόµενο από το (α) Αναπαραστείστε γραφικά την συνάρτηση δυναµικής ενέργειας (β) Γράψτε τις κυµατοσυναρτήσεις σε όλες τις περιοχές
(γ) Γράψτε όλες τις συνθήκες συνέχειας (δ) Σκιαγραφείστε την µεθοδολογία για την εύρεση του συντελεστή ανάκλασης ή διέλευσης x < Υπόδειξη: Η συνάρτηση βήµατος ορίζεται ως Θ ( x) x > Πάτρα8//3