. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να μην έχει πραγματικές ρίζες. iv) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε 3 3 όπου, είναι οι άνισες ρίζες της εξίσωσης ().. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία διπλή πραγματική ρίζα. iii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να είναι αδύνατη στο. iv) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε P, όπου P το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης (). 3. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να δείξετε ότι η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα για κάθε. ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση () έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας Α λυκείου 3-
iii) Για να βρεθούν οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης (). iv) Για να λυθεί η ανίσωση P S όπου PS, το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης ().. Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης, 3,, με. i) Να βρεθούν οι ρίζες της, με. ii) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός γ. 5. Δίνεται η εξίσωση, a (), με 8 6, όπου Δ η ορίζουσα της εξίσωσης (). i) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει δυο πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε πραγματικούς α, β. ii) να δείξετε ότι a iii) αν SP όπου PS, το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης (), να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β. 6. i) Να λυθεί η εξίσωση 6 5 6, () για τις διάφορες τιμές του R. ii) Να λυθεί η εξίσωση όπου η μοναδική ρίζα της εξίσωσης (). 7. Έστω η εξίσωση,, () με δύο πραγματικές άνισες ρίζες, με και με γινόμενο των ριζών ίσο με -. i) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης (). ii) Να βρεθεί η εξίσωση (). 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) 6 3 3 iii) 9. Δίνεται η εξίσωση, () i) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε. ii) Να λυθεί η εξίσωση S, όπου S είναι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης ().. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να υπολογίσετε την διακρίνουσα της (). ii) Για ποιες τιμές η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές ρίζες; iii) Να βρεθεί ο πραγματικός λ ώστε η ανίσωση, να αληθεύει για κάθε.. Δίνεται η εξίσωση, 3, (). i) Υπάρχει πραγματικός αριθμός λ ώστε η () να έχει ακριβώς μια ρίζα; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.
ii) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η εξίσωση () να έχει μία διπλή πραγματική ρίζα.. i) Να λυθεί η εξίσωση *, () ii) Να λυθεί η ανίσωση 3, όπου μοναδική ρίζα της εξίσωσης (). 3. Έστω τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω και η εξίσωση P η οποία έχει μία 6 διπλή ρίζα. i) Να βρεθεί η πιθανότητα P. ii)αν οι αριθμοί,,, P B P B P αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιούνται αμφότερα τα ενδεχόμενα Α,Β. iii) Να λυθεί η ανίσωση P όπου η η διαφορά της αριθμητικής προόδου..., P, P B, P B,.... Δίνεται η συνάρτηση f a, όπου οι αριθμοί,, αποτελούν διαδοχικούς αριθμούς γεωμετρικής προόδου. i) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα. ii) Αν S P 8, όπου SP, το άθροισμα και το γινόμενο της εξίσωσης a, να δείξετε ότι και. (ή διαφορετικά: να δείξετε ότι η γεωμετρική πρόοδος έχει λόγο λ=) 5. Έστω τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω και η συνάρτηση f P A P A B της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο,. i) Να δείξετε ότι P A B P A PB ii) Να δείξετε ότι οι αριθμοί f, f 3, f 6 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. iii) Να βρείτε την διαφορά ω της αριθμητικής προόδου... f, f 3, f 6... αν ο αριθμός P A είναι λύση της εξίσωσης P A P A 6. Δίνεται η εξίσωση, a a a, () η οποία δεν είναι αδύνατη στο R. Έστω επίσης οι αριθμοί, 3, 3 6 αποτελούν διαδοχικούς αριθμούς αριθμητικής προόδου όπου η διακρίνουσα της εξίσωσης (). i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μία διπλή ρίζα ii) Να δείξετε ότι a Παραλλαγή πιο εύκολη: Δίνεται η a a, a () και εξίσωση έστω επίσης οι αριθμοί, 3, 3 6 αποτελούν διαδοχικούς αριθμούς
αριθμητικής προόδου όπου η διακρίνουσα της εξίσωσης (). 7. Έστω η εξίσωση,. Δίνεται η συνάρτηση, 3 6, () g, R με και η γεωμετρική πρόοδος, και η συνάρτηση SP,,8,... όπου SP, το άθροισμα f όπου, οι λύσεις και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης (). της εξίσωσης g()=. i) Να δείξετε ότι ii) Για να παραγοντοποιήσετε και να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου 3 6. ii) Να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της γεωμετρικής προόδου καθώς και το άθροισμα των 5 πρώτων όρων της. 8. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης, 8 6 6 A a a a a a για a 9. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f,. i) Να λυθεί η εξίσωση f 7 8 ii) Να λυθούν οι εξισώσεις α) f, β) f και γ) f iii) Να λυθεί η εξίσωση iv) Να δείξετε ότι κάθε. f f f f για v) Να λυθούν οι ανισώσεις α) f και β) f. i) Να βρεθούν οι λύσεις,. ii) Αν και,, α) Να λυθεί ως προς λ η εξίσωση f()=f() β) Να λυθεί ως προς λ η ανίσωση f f γ) Να λυθεί η εξίσωση f f g(). δ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g και η γραφική παράσταση της f τέμνονται σε δύο σημεία. ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία (ε): y με τους άξονες και yy.. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g f f όπου α,β,γ R με. i) Να δείξετε ότι η εξίσωση g()= () έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις. ii) Να δείξετε ότι οι λύσεις της () είναι και. iii) Αν η εξίσωση f()= έχει δύο ρίζες αντίθετες τότε α) να βρεθούν οι λύσεις αυτές και β) να βρεθεί το πρόσημο της λύσης της εξίσωσης (). iv) Αν η εξίσωση f()= έχει δυο πραγματικές και άνισες λύσεις τις,
τότε να δείξετε ότι και. Δίνεται η εξίσωση,, R (), όπου ισχύει και έστω, ρίζες της (). Να δειχθεί ότι. 3. Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού a () όπου a, ο πρώτος όρος και ο λόγος αντίστοιχα μιας γεωμετρικής προόδου. Αν οι αριθμοί,, με, ρίζες τις () αποτελούν διαδοχικούς όρους της γεωμετρικής προόδου να βρεθούν οι αριθμοί και a.. Δίνεται η εξίσωση, () όπου, οι δύο άνισες πραγματικές ρίζες της εξίσωσης, () i) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, μία ίση και μία αντίθετη με τις ρίζες της εξίσωσης (). ii)αν ισχύει, 6 9 και, να βρεθεί η εξίσωση (). 5. Έστω οι θετικοί αριθμοί,, με και. Αν επιπλέον οι αριθμοί,, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 5 P για τις διάφορες τιμές του, όπου P το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης και R.