Ο µετασχηµατισµός της ορµής και της ενέρειας Ορµή p Ολική ενέρεια ( p, p, p, ) ( p, p, p, ) S S V p p Ο µετασχηµατισµός της ορµής και της ενέρειας Για σωµατίδιο: ορµή p= m υ ολική ενέρεια = m σ = 1 1 υ / σ σ είναι ο παράοντας Λόρεντς ια το σωµατίδιο Συνιστώσες d d d p = mσ, p = mσ, p = mσ, = m σ dt dt dt Αν στο εραστήριο παρέλθει χρόνος ίσος µε dt, το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα στο σύστηµα του σωµατιδίου (χρόνος ηρεµίας του σωµατιδίου, ή ιδιοχρόνος), είναι dτ = dt / σ Στο σύστηµα S: p = m d, p = m d, p = m d, = m dt dτ dτ dτ dτ Στο σύστηµα S : d d d dt p = m, p = m, p = m, = m dτ dτ dτ dτ
Το µέεθος dτ παραµένει αναλλοίωτο κατά τον µετασχηµατισµό Λόρεντς Εποµένως, τα µεέθη p, p, p και / µετασχηµατίζονται όπως τα µεέθη,, και t, αντιστοίχως Η διαφορική µορφή του µετασχηµατισµού του Λόρεντς είναι: ( ),,, ( ( / ) ) d = d βdt d = d d = d dt = dt β d όπου β = V / και = 1 1 V / 1 Πολλαπλασιάζοντας µε m dτ d d dt, d d, d m = m βm m = m m = m d, dτ dτ dτ dτ dτ dτ dτ dt dt β d m = m m και dτ dτ dτ β p = p, p = p, p = p, = ( β p) τα µεέθη p, p, p και / µετασχηµατίζονται όπως τα µεέθη,, και t, αντιστοίχως Παράδειµα: Το Φαινόµενο Ντόπλερ Πηή φωτός Π κινείται µε σταθερή ταχύτητα Vκατά µήκος του άξονα των στο σύστηµα αναφοράς S Η πηή εκπέµπει, προς όλες τις κατευθύνσεις, φωτόνια τα οποία στο σύστηµα αναφοράς S της πηής έχουν ενέρεια (και εποµένως συχνότητα f = / h, και ορµή p = /, στο S ) Στο επίπεδο βρίσκεται παρατηρητής A, ακίνητος στο σύστηµα S Ο παρατηρητής βλέπει σε µια χρονική στιµή φωτόνια από την πηή να κινούνται προς αυτόν, πάνω σε µια ευθεία που σχηµατίζει ωνία θµε τον άξονα των, και τα οποία έχουν ενέρεια ( p= /, f = / h ) στο σύστηµα του, S Να βρεθούν: (α) Οι συνιστώσες της ορµής των φωτονίων στο S συναρτήσει των και θ (β) Η συχνότητα των φωτονίων στο S
(α) Η ορµή ενός φωτονίου που έχει ενέρεια Ε είναι p= / Εποµένως, στο σύστηµα S, οι συνιστώσες της ορµής του φωτονίου είναι: p = osθ p = sinθ p = (β) Στο σύστηµα αναφοράς Sέχουµε φωτόνια µε συνιστώσα της ορµής p = osθ και ενέρεια Ε Εποµένως, στο σύστηµα αναφοράς της πηής, S, η ενέρεια του φωτονίου είναι: και εποµένως = = ( pβ ) = [ + ( / ) β os θ ] = (1+ β os θ ) Τελικά, f 1 β V = = όπου β = f 1 + β osθ η ενική εξίσωση ια το φαινόµενο Ντόπλερ Η ισοδυναµία µάζας και ενέρειας Η σχέση = M περιράφει µια ισοδυναµία µάζας και ενέρειας η οποία είναι εξαιρετικά σηµαντική στη Φυσική Η διατηρούµενη ποσότητα Εεµπεριέχει και ενέρεια την οποία το σώµα έχει ακόµη και όταν είναι ακίνητο, λόω της µάζας ηρεµίας του Φαίνεται να υπάρχει µια ισοδυναµία ανάµεσα στη µάζα και την ενέρεια, η οποία επαληθεύεται και πειραµατικά µε πολλούς τρόπους Γενικά, µια µεταβολή m στη µάζα αντιστοιχεί σε µεταβολή στην ενέρεια, και αντιστρόφως, όπου τα δύο µεέθη συνδέονται µέσω της σχέσης = m Η σχέση ισχύει σε όλες τις µεταβολές που υφίσταται ένα σύστηµα, αλλά επιδεικνύεται µε δραµατικό τρόπο στην εξαΰλωση ηλεκτρονίου-ποζιτρονίουκαι στο φαινόµενο της δίδυµης ένεσης ηλεκτρονίου-ποζιτρονίουαπό ένα φωτόνιο
(α) Εξαΰλωση ζεύους ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου Ένα ηλεκτρόνιο και το αντισωµατίδιό του, το ποζιτρόνιο, εξαϋλώνονται πλήρως παράοντας δύο φωτόνια ενέρειας 511 kev το καθένα, τα οποία κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις: + e + e e e + Επειδή η ορµή του ζεύους των σωµατιδίων είναι αρχικά σχεδόν µηδενική, τα δύο φωτόνια έχουν την ίδια ενέρεια και κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις Η διαθέσιµη ενέρεια, η οποία οφείλεται σχεδόν αποκλειστικά στις µάζες ηρεµίας των δύο σωµατιδίων είναι m = 1, MeV, την οποία µοιράζονται εξίσου τα δύο φωτόνια e (β) ίδυµη ένεση (ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου) Ένα φωτόνιο, αν έχει ενέρεια µεαλύτερη από me = 1, MeV, µπορεί να παραάει ένα ζεύος e ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου + e + e Για να διατηρηθεί τόσο η ορµή όσο και η ενέρεια, η διερασία µπορεί να συµβεί κοντά σε ένα άλλο σώµα, όπως ένα πυρήνα ατόµου Η κατώτατη ενέρεια που πρέπει να έχει ένα φωτόνιο ια τη δηµιουρία ζεύους ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου είναι και ονοµάζεται ενέρεια κατωφλίου ια τη δίδυµη ένεση Η ενέρεια αυτή είναι ίση µε το ενερειακό ισοδύναµο των δύο σωµατιδίων Αν το φωτόνιο διαθέτει ακριβώς τόση ενέρεια, τότε τα δύο σωµατίδια θα έχουν µηδενική κινητική ενέρεια µετά τη δηµιουρία τους Φωτόνια µεαλύτερης ενέρειας προσδίδουν και κινητική ενέρεια στα δύο προϊόντα της δίδυµης ένεσης e + me = 1, MeV
Παράδειµα 54 Μεταβολή µάζας σε ενέρεια σε µια χηµική αντίδραση Κατά την ένωση 1 kg υδροόνου µε 8 kg οξυόνου ια την παραωή 9 kg 8 ύδατος, απελευθερώνεται ενέρεια ίση µε 1 J περίπου Θα ήταν δυνατό να ανιχνεύσουµε την ποσοστιαία µεταβολή στη µάζα σε αυτή την αντίδραση µε ένα ζυό που µπορεί να µετρήσει ποσοστιαία 7 µεταβολή στη µάζα ίση µε 1 µέρος στα 1 ; Το ισοδύναµο σε µάζα της ενέρειας που εκλύεται είναι ( ) m= = 8 8 19 / 1 / 3 1 1 kg 1 Αυτό είναι περίπου 1 µέρος στα 1 της µάζας που συµµετέχει στην αντίδραση και δεν µπορεί να ανιχνευτεί µε τον ζυό που διαθέτουµε 19 Μια µάζα ίση µε m 1 kg είναι ίση µε τη µάζα 11 7 1 ηλεκτρονίων, ή 5 1 άτοµα υδροόνου Παράδειµα 56 Η δηµιουρία ουδέτερου πιονίου Κατά την αρπαή ενός αντιπρωτονίου, το οποίο κινείται µε πολύ µικρή ταχύτητα, από ακίνητο πυρήνα δευτερίου ( p+ d n+ π ), πόση είναι η ολική ενέρεια του παραόµενου π ; Οι ενέρειες ηρεµίας των σωµατιδίων p, d, n και π είναι, αντίστοιχα, = 938, MeV,,, d = 1875, 5 MeV n = 939,5 MeV π = 135, MeV p Επειδή η αρχική ορµή του συστήµατος είναι αµελητέα, οι ορµές των n και π πρέπει να είναι ίσες και αντίθετες Έστω ότι οι ορµές των δύο σωµατιδίων έχουν µέτρο p Η αρχική κινητική ενέρεια είναι επίσης αµελητέα
Η διατήρηση της ενέρειας δίνει p+ d = n + π (1) Όπου n και π είναι οι ολικές ενέρειες των n και π, αντίστοιχα, ενώ, από τη σχέση έχουµε, ια τα σωµατίδια n και, p = = () Η Εξ (1) δίνει και η () = + Εξισώνοντας, ή ( ) ( ) = m + p π ( ) n n π π ( ) = + n p d π n π n π ( ) p + d π = π + n π ( ) ( ) + + + p d π p d π = π + n π p+ d + π n Tελικά, π = + Αντικαθιστώντας, π ( ) ( p d) ( ) ( 938, + 1875,5) 938, + 1875,5 + 135, 939,5 = = 153 MeV
Το σύστηµα αναφοράς µηδενικής ορµής Ορίζουµε το Σύστηµα Αναφοράς Μηδενικής Ορµής (ΣΑΜΟ) ενός συνόλου σωµατιδίων ως εκείνο το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς στο οποίο η ολική ορµή του συνόλου των σωµατιδίων είναι αρχικά, και διατηρείται, ίση µε µηδέν Αν είναι δεδοµένες οι ορµές ενός συνόλου Νσωµατιδίων σε κάποιο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S, τότε υποθέτουµε την ύπαρξη ενός άλλου αδρανειακού συστήµατος αναφοράς, το ΣΑΜΟ S, που κινείται µε ταχύτητα V ως προς το πρώτο, τέτοια ώστε το άθροισµα των ορµών των σωµατιδίων σε αυτό το σύστηµα να είναι ίσο µε µηδέν: Από τη συνθήκη αυτή µπορεί να βρεθεί η ταχύτητα V Αφού λύσουµε ένα δεδοµένο πρόβληµα στο Σύστηµα Αναφοράς Μηδενικής Ορµής, µετασχηµατίζουµε σε ένα άλλο σύστηµα αναφοράς ( p, p,, p,, p ) 1 ( p, p,, p,, p ) 1 i N i N p = i N Παράδειµα: Σύστηµα αναφοράς µηδενικής ορµής φωτονίου-πρωτονίου Έστω ότι ένα φωτόνιο µε ενέρεια κατευθύνεται προς ένα πρωτόνιο το οποίο είναι ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς του εραστηρίου (α) Ποια είναι η ταχύτητα Vτου συστήµατος αναφοράς µηδενικής ορµής του πρωτονίου και του φωτονίου, στο σύστηµα αναφοράς του εραστηρίου (ΣΑΕ); (β) Πόση είναι η ενέρεια του φωτονίου και η ενέρεια του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς µηδενικής ορµής (ΣΑΜΟ);
(α) Το ΣΑΜΟ πρέπει να κινείται στην ίδια κατεύθυνση µε το φωτόνιο υ V Από τη σχέση υ =, µε υ =, βρίσκουµε ότι υv 1 M pβ το πρωτόνιο έχει στο ΣΑΜΟ ταχύτητα V και ορµή pp = 1 β Το φωτόνιο έχει στο ΣΑΕ ενέρεια και στο ΣΑΜΟ έχει ενέρεια = 1 β 1+ β (λόω του φαινοµένου Ντόπλερ) και ορµή p = Στο ΣΑΜΟ η ολική ορµή είναι ίση µε µηδέν Έπεται ότι p = p p Εποµένως, p, η οποία δίνει p 1 β Mpβ = = 1+ β 1 β ή (1 β ) = M pβ
Στο ΣΑΜΟ η ολική ορµή είναι ίση µε µηδέν Έπεται ότι p = p p Εποµένως, p, η οποία δίνει p 1 β Mpβ = = 1+ β 1 β ή (1 β ) = M pβ Έτσι, β M και, τελικά,, p = + β = + M p η οποία είναι η ανηµένη ταχύτητα του ΣΑΜΟ ως προς το ΣΑΕ (β) Η ενέρεια του φωτονίου στο ΣΑΜΟ είναι Όπως αναµένεται, είναι < Για την ενέρεια του πρωτονίου στο ΣΑΜΟ, βρίσκουµε 1 β M p = = 1+ β + M ( + M p ) p ( p ) M p p p + M + p M M M p = = = = 1 β + 4 M p M p 1 1+ M p
Η αναλλοιότητα του µεέθους P ια σύστηµα σωµατιδίων Εξετάζουµε ένα σύστηµα αποτελούµενο από n σωµατίδια, τα οποία ενδεχοµένως και να αλληλεπιδρούν µεταξύ τους Ο µετασχηµατισµός ορµής-ενέρειας ισχύει ια καθένα από τα σωµατίδια ξεχωριστα Για το υπ αριθµόν i σωµατίδιο, ισχύουν οι σχέσεις: β p = p, p = p, p = p, = β p Οι συνιστώσες της ολικής ορµής και η ολική ενέρεια του συστήµατος είναι: n n n n P p P p P p Οι µετασχηµατισµοί ορµής-ενέρειας είναι ραµµικοί Αθροίζοντας ια τα n σωµατίδια τις αντίστοιχες εξισώσεις έχουµε ια τις συνιστώσες της ολικής ορµής και την ολική ενέρεια του συστήµατος ( ) i i i i i i i i i i = i= 1 i = i= 1 i = i= 1 i = β P = P, P = P, P = P, = β P i= 1 i ( ) Πώς µετασχηµατίζεται κατά Λόρεντς το µέεθος P ; β ( β ) P = P P P P = = β P + β P P + β P β P P = ( 1 ) ( 1 ) P P P P P P = β β = = = P Το αποτέλεσµα δείχνει ότι το µέεθος P παραµένει αναλλοίωτο κατά τον µετασχηµατισµό του Λόρεντς Συµπεραίνουµε ότι το µέεθος P όχι µόνο διατηρείται κατά τις µεταβολές που συµβαίνουν σε ένα σύστηµα nσωµατιδίων, αλλά έχει και την ίδια τιµή σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς
Ο µετασχηµατισµός της δύναµης Έχουµε ήδη διατηρήσει τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα στη µορφή d F= p που έχει και στην κλασική Μηχανική, dt όπου η ορµή ορίζεται πάλι ως p= mυ Στη θέση της ορµής θέτουµε τώρα τη σχετικιστική ορµή, οπότε είναι d mυ F= dt 1 υ / Με αυτόν τον ορισµό, η επιτάχυνση δεν είναι, ενικά, στην κατεύθυνση της δύναµης Ο ορισµός όµως έχει µεάλα πλεονεκτήµατα: κάνει δυνατή τη διατήρηση της αρχής της δράσης-αντίδρασης και απλοποιεί την ερµηνεία των ηλεκτροµανητικών φαινοµένων Έχουµε επίσης διατηρήσει τον ορισµό του έρου που παράει η δύναµη κατά τη µετατόπιση του σηµείου εφαρµοής της κατά διάστηµα ως dw = F dr, οπότε και ο ρυθµός παραωής έρου (ισχύς) δίνεται από τη σχέση dw dt dr = F = F υ dt Εξετάζουµε ένα σωµατίδιο που έχει µάζα ηρεµίας m, ταχύτητα υ και ορµή p στο σύστηµα αναφοράς S, ενώ έχει ταχύτητα υ και ορµή p στο σύστηµα αναφοράς S, το οποίο κινείται ως προς το S µε ταχύτητα V ˆ dp Η συνιστώσα της ορµής στο σύστηµα S δίνεται από F = dt β Από τον µετασχηµατισµό ορµής-ενέρειας, είναι p = p d β Έτσι F = p dt V Επίσης, από τον µετασχηµατισµό t = t, έχουµε dt d t V 1 V υ = = d dt d και, επειδή, = dt dt dt dt dt προκύπτει ότι d β d β 1 V d F = p = p = F V dt Vυ dt υ dt 1 1
Επίσης Οπότε d dw = = F υ= Fυ + Fυ + Fυ dt dt Vυ Vυ F F F F V V = ( 1 υ / ) ( 1 υ / ) Για τη συνιστώσα της δύναµης, επειδή είναι p = p προκύπτει ότι dp dp dt dp dt F = = = = F dt dt dt dt dt F F και F = Οµοίως, F = 1 Vυ / 1 Vυ / ( ) ( ) Συνοψίζοντας: Vυ Vυ F F F F V V = F = F ( 1 υ / ) ( 1 υ / ) F = ( 1 Vυ / ) ( 1 Vυ / ) F Οι µετασχηµατισµοί αυτοί εξήχθησαν ια µια δύναµη που ασκείται πάνω σε ένα σωµατίδιο και µεταβάλλει τη θέση του Για σταθερό σηµείο εφαρµοής της δύναµης ( υ = ), οι σχέσεις ανάονται σε F = F F F = F = F
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Το φαινόµενο Κόµπτον Η σωµατιδιακή φύση του φωτός επιβεβαιώθηκε, όχι µόνο από την ερµηνεία που έδωσε ο Άινστάιν στο φωτοηλεκτρικό φαινόµενο, αλλά και από την επιτυχία που είχε η εφαρµοή της σχετικιστικής Μηχανικής στην ερµηνεία των παρατηρήσεων του Κόµπτον (AH Compton) κατά τη σκέδασηακτίνων Χ απόελαφράστοιχεία
Φάσµατα ακτίνων Χ της ραµµήςκ α του µολυβδαινίου που σκεδάστηκαν από στόχο άνθρακα κατά τα πειράµατα του Κόµπτον Στη ωνία περίθλασηςτων φαίνεταιη κορυφή που οφείλεται σε ακτίνες Χ µε µήκος κύµατος ίδιοµεαυτότων προσπιπτουσών ακτίνων Σε µεαλύτερηωνίαφαίνεταιη κορυφή που οφείλεται σε ακτίνες Χ µε µεαλύτερο µήκος κύµατος ιατήρηση της ενέρειας: m + = m + (1) ιατήρηση διαµήκους ορµής: φ φ = osθ + mυ osφ () ιατήρηση εκάρσιας ορµής: φ = sinθ mυ sinφ (3) φ φ
Θα απαλείψουµε τη ωνία φ ανάµεσα στις Εξ () και (3) Οι δύο αυτές εξισώσεις δίνουν Προσθέτοντας, (4) (5) m Όµως, m = ή m υ = (6) 1 ( m m ) υ / Αυτή, µαζί µε την Εξ (1), δίνει = m ή ( os ) φ φ m os υ φ= θ m υ sin φ = sin θ ( ) υ osθ sin θ osθ m = φ φ + φ = φ + φ φ φ ( ) φ φ mυ = m + m = 4 4 + + + m m m φ 4 φ φ φ φ φ φ + φ + m m = φ φ φ φ + φ osθ φ φ Τελικά, ( ) m φ φ = φ φ (1 os θ ) Με διαίρεση διά m, βρίσκουµε ότι φ φ 1 1 1 = ( 1 osθ) m φ φ Επειδή είναι = h / λ και = h / λ, προκύπτει τελικά η σχέση φ h λ= λ λ= m ( 1 osθ) Αντικαθιστώντας, βρίσκουµε ότι m e φ ή λ= λ λ= h = m h sin m όπου είναι η µάζα ηρεµίας του ηλεκτρονίου Το µέεθος ħ 13 = 3,86 1 m me Όπου ħ h / π, ονοµάζεται µήκος κύµατος Comptonτου ηλεκτρονίου e 1,4 1 m θ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ