6 η ΕΡΓΑΣΙΑ Ημομηνία Παάδοσης: /7/7 Τα θέματα ίναι βαθμολογικά ισοδύναμα Άσκηση Θτικό φοτίο Q κατανέμται ομοιόμοφα κατά μήκος του θτικού άξονα y μταξύ των σημίων y και y α. Ένα ανητικό σημιακό φοτίο - q βίσκται άνω στον θτικό άξονα x, σ αόσταση β αό την αχή (σχήμα). Υολογίστ τις συνιστώσς x και y της δύναμης ου ξασκί στο q η κατανομή του φοτίου Q. y dy α y df θ F y β F x -q x Λύση: Χωίζουμ την κατανομή φοτίου σ στοιχιώδη τμήματα μήκους dy. Το φοτίο Q κάθ στοιχιώδους τμήματος θα ίναι dq dy. Το φοτίο αυτό ασκί λκτική δύναμη df στο ανητικό φοτίο -q (βλ. σχήμα) μέτου qdq qdq df 4 4 β y Η διύθυνση και η φοά της δίχνονται στο σχήμα. Η συνιστώσα κατά μήκος του άξονα x θα ίναι β qqβdy dfx ( df)cos θ ( df) / β y 4 ( β y ) Αντιστοίχως θα έχουμ για τη συνιστώσα κατά μήκος του άξονα y y qqydy dfy ( df)sin θ ( df) / β y 4 ( β y ) Για να βούμ τις συνιστώσς F x και F y της δύναμης ου ασκί όλη η κατανομή στο φοτίο -q, έι να ολοκληώσουμ τις df x και df y κατά μήκος της κατανομής (η ολοκλήωση θα γίνι μ μταβλητή το y, και όια αό ως α).
y qqβ dy qqβ y qq Fx df y x / / / 4 ( β y ) 4 β ( β y ) 4 β ( β ) F y y qq ydy qq qq df y y / / / 4 ( β y ) 4 ( β y ) 4 β ( β ) Σημ. Για την ύση των αόιστων ολοκληωμάτων ου χιάστηκαν δώ χησιμοοιήθηκαν οι τύοι dx x ( x ) ( x ) xdx ( x ) ( x ) / / / / Άσκηση α) Πόσο ίναι το δυναμικό του σημίου α ως ος το β στο σχήμα όταν ο διακότης S ίναι ανοικτός; β) Ποιο σημίο το α ή το β βίσκται σ ψηλότο δυναμικό; γ) Πόσο ίναι το τλικό δυναμικό του β ως ος τη γη αν ο διακότης S ίναι κλιστός; δ) Πόσο φοτίο διέχται δια του διακότη S όταν αυτός κλίσι; V8,V 6, Ω α S b 6, μf, Ω, μf ΛΥΣΗ V V8,V 6, Ω, Ω α - - S - - b 6, μf, μf V
Ο διακότης ανοικτός. Οι υκνωτές θα φοτιστούν και οι τάσις τους υολογίζονται ως ξής; Q V V όου Q ίναι το φοτίο του καθνός ου ίναι ίδιο διότι οι υκνωτές ίναι σ σιά. Άα V V Ισχύι οφανώς V V V Οότ V V V V Συνώς V 8, V V, V και, 6, V 6, V Ρύμα διαέι τλικά μόνο το κλάδο μ τις αντιστάσις. Συνώς το ύμα ου διαέι τον κλάδο αυτό ίναι V 8, V V I( ) I, A ( ) 9, Ω Η διαφοά δυναμικού στα άκα της αντίστασης (των, Ω) ίναι V I,, A Ω 6, V Οότ V V V V V ( 6,,) V 6, V b b β) Άα το σημίο b ίναι σ υψηλότο δυναμικό αό το α. γ) Αφού φοτιστούν οι υκνωτές θα διέχται ύμα Ι μόνο αό τις αντιστάσις ου ίναι το ίδιο μ αυτό ου διέχται αό την ηγή. Εομένως η τάση στα άκα της αντίστασης (, Ω) θα ίναι όως και ιν V ' V 6, V Τα σημία α και b βίσκονται στο ίδιο δυναμικό ως ος τη γη, ομένως, ' ' ' V V V V V 6, V b Δηλαδή ' V b 6, V δ) Ειδή οι υκνωτές ίναι σ σιά, ιν κλίσι ο διακότης, το ανητικό φοτίο στον κάτω ολισμό του έχι το ίδιο μέτο μ το φοτίο του άνω ολισμού του υκνωτή. Αυτό σημαίνι ότι το συνολικό φοτίο στους αγωγούς ου ικλίονται αό τη διακκομμένη ιφάνια στο ώτο σχήμα ίναι Q (- Q). Οι ολικότητς φαίνονται στο ώτο σχήμα. Όταν ο διακότης κλίσι τότ η τάση στα άκα του ίναι ίση μ V ', δηλαδή
V ' ' V 6, V ομένως η τάση στα άκα του ίναι V ' V V ' (8, V-6,) V, V Εομένως το φοτίο του υκνωτή ίναι Q ' ' V (, μf) (6, V)8, μ Το φοτίο του ίναι Q ' ' V (6, μf) (, V)7, μ Το συνολικό φοτίο άνω στις γιτονικές λάκς των δύο υκνωτών ίναι ' ' ' Qt Q Q ( 7, μ8, μ)54, μ Αυτό σημαίνι ότι αυτό το ανητικό φοτίο ήθ μέσω του διακότη (ή θτικό φοτίο αομακύνθηκ αό τους αγωγούς μέσω του διακότη). Πέι να τονίσουμ ότι θωούμ ότι οι χωητικότητς των συμάτων ίναι αμλητέ ς σ σχέση μ τους υκνωτές, άα ακτικώς τα φοτία ίναι τα φοτία των o:τλισ~ων των υκνωτών. Άσκηση Μια κοίλη μονωτική σφαία έχι υκνότητα φοτίου Α/ όου Α σταθά. Η σωτική και ξωτική ακτίνα της ίναι και b, αντίστοιχα. Στο κέντο της κοιλότητας ( ) βίσκται σημιακό φοτίο q. Α) Πόση ίναι η ένταση του ηλκτικού δίου στίς ιοχές <, < < b, > b. Β) Για οια τιμή του A η ένταση του ηλκτικού δίου έχι σταθό μέτο στην ιοχή α<<b. Λύση b q Α) Πιοχή < Θωώντας μία γκαουσιανή ιφάνια μέσα στην ιοχή αυτή, βλέουμ ότι ικλίι μόνο το σημιακό φοτίο. Η ένταση του ηλκτικού δίου λόγω του 4
σημιακού φοτίου q σ οοιοδήοτ σημίο του χώου ου αέχι αόσταση αό αυτό, ίναι: 4 q Άα αυτή ίναι η ένταση του ηλκτικού δίου στη συγκκιμένη ιοχή. Πιοχή < < b Εδώ η ένταση του ηλκτικού δίου οφίλται στο σημιακό φοτίο αφ νός και στο φοτίο του σφαιικού φλοιού αφ τέου. Αό το νόμο του Guss έχουμ q u ds u, όου q το φοτίο ου ικλίι η γκαουσιανή ιφάνια. Το u διάνυσμα της ντάσως του μαγνητικού δίου μ το διάνυσμα ds u. Άα u u q' ds dscos o 4 4 έχι την ίδια διύθυνση και φοά o A q A q A ( ) ( ) 4 4 q dv 4 q 4d d q A 4. Άα A q A 4 Πιοχή > b Και σ αυτή την ίτωση η ένταση οφίλται στο σημιακό φοτίο και στο φοτίο του σφαιικού φλοιού, η ένταση του ηλκτικού δίου του οοίου υολογίζται όως οηγουμένως, μόνο ου το άνω όιο ολοκληώσως ίναι τώα ίσο μ b: 5
uu u b b A q 4A q A ds ( q dv) 4 q 4d d ( b ) q Ab ( ) 4 Άα q Ab ( ) Β) Για να ίναι το Ε σταθό στην ιοχή < < b, θα έι, άα A q A 4 q A q A 4 Άσκηση 4 Μονωτικός κύλινδος ακτίνας και μήκους L (L>>), έχι υκνότητα ηλκτικού φοτίου ο ( ) όου, θτικές σταθές, η αόσταση αό τον άξονα του κυλίνδου και ο μια σταθή υκνότητα αναφοάς. Εκτιμίστ τις μονάδς των σταθών και..α)να υολογιστί το ηλκτικό δίο ακτινικά μέσα στον κύλινδο ( < ) και έξω αό αυτόν ( > ). Β)Αν αντί για μονωτικό κύλινδο δινόταν αγώγιμος συμαγής φοτισμένος κύλινδος θα άλλαζ το ηλκτικό δίο μέσα και έξω αό αυτόν? Εξηγίστ. Λύση Η σταθά έι να ίναι καθαός αιθμός. Η σταθά b, έι να έχι διαστάσις αντιστόφου μήκους. A) Αό τη γωμτία του οβλήματος, διαιστώνουμ ότι έχουμ κυλινδική κατανομή φοτίου. Ως κ τούτου θωούμ κυλινδική ιφάνια Guss, μήκους l 6
7 και ακτίνας, ομοαξονική μ την κυλινδική κατανομή φοτίου, δδομένου ότι η γκαουσιανή ιφάνια την οοία ιλέγουμ, έι να έχι την ίδια συμμτία μ κίνη της κατανομής του φοτίου. Αό το νόμο του Guss έχουμ: dv q da Αλλά: da da da όου dα στοιχιώδς τμήμα της αάλυη συνιστώσας της γκαουσιανής ιφάνιας και dα Β στοιχιώδς τμήμα των βάσων αυτής. Το διάνυσμα της έντασης του ηλκτικού δίου έχι την ίδια διύθυνση μ το διάνυσμα A d νώ ίναι κάθτο στο διάνυσμα A d. Ως κ τούτου ο δύτος οσθταίος της οηγούμνης σχέσης μηδνίζται και l da da ) cos( v Α) Α. < d d l ld dv l ) )( ( ) ( l Α. > d d l ld dv l ) )( ( ) ( l ) Για < ξέουμ ότι στο σωτικό του αγωγού δν μοί να υάξι ηλκτικό φοτίο. Οότ αό το νόμο του Guss βίσκουμ ότι.
Για > μ το Νόμο του Guss, το δίο υολογίζται ίδιο μ κίνο της ίτωσης Α αφού μέσα στην Γκαουσιανή κυλινδική ιφάνια ιέχται όλο το ηλκτικό φοτίο του κυλίνδου. Μόνη διαφοά ίναι ότι τώα (δηλ. στην ίτωση του αγωγού) όλο το φοτίο ίναι συγκντωμένο στην ιφάνια του κυλίνδου. Άσκηση 5 Κυλινδικός αγωγός ακτίνας διαέται κατά μήκος του άξονά του αό ύμα Ι. Η υκνότητα του ύματος J δν ίναι σταθή σ όλη τη διατομή του αγωγού, αλλά μταβάλλται συνατήσι της ακτίνας σύμφωνα μ τη σχέση J b όου b σταθά. Να υολογιστί το μαγνητικό δίο Β μέσα στον κυλινδικό αγωγό ( <) και έξω αό το κυλινδικό αγωγό ( >). Λύση J Εφαμόζοντας το νόμο του Ampèe, ds µ I και κφάζοντας την ένταση του ύματος συνατήση της υκνότητος ύματος, έχουμ: < Για κυλινδική ιφάνια ομοαξονική ως ος τον αγωγό, ακτίνας μικότης αυτής του αγωγού. ds dscos µ JdA µ ( b)( d ) µ b d µ b b µ > µ ( b)( ) d µ b 8 µ b
Άσκηση 6 Ομοαξονικό καλώδιο μήκους l αοτλίται αό δύο λτούς ομοαξονικούς κυλίνδους ακτίνων και b (<b). Υοθέτουμ ότι οι δύο κύλινδοι διαέονται. αό ίσα και αντίοα ύματα Ι,. αό ίσα και ομόοα ύματα Ι. αό αντίοα ύματα ου το ένα να ίναι Ι και το άλλο Ι/ υολογίστ σ κάθ ίτωση το μαγνητικό δίο Β στις θέσις: <, <<b, >b. Λύση I I l b. Εφαμόζουμ το νόμο του Ampèe, ds µ I () για κάθ ιοχή: < To ολικό ύμα το οοίο νάι μέσα αό οοιαδήοτ κλιστή διαδομή στην ιοχή αυτή ίναι μηδέν, οότ: ds dscos ds ( ) µ () <<b To ολικό ύμα το οοίο νάι μέσα αό οοιαδήοτ κλιστή διαδομή στην ιοχή αυτή ίναι Ι, οότ: ( ) µ Ι (µ / ) Ι () 9
>b To ολικό ύμα το οοίο νάι μέσα αό οοιαδήοτ κλιστή διαδομή στην ιοχή αυτή ίναι μηδέν, δδομένου ότι οι ντάσις στους δύο αγωγούς ίναι αντίος, οότ το καθαό ύμα ου διανά την κλιστή διαδομή ίναι μηδέν:. Στην ίτωση αυτή (<) Ισχύουν ακιβώς οι ξ. () και () δηλ. και άλι Β Για <<b Ισχύουν ακιβώς οι ξ. () και () δηλ. και άλι (µ / ) Ι Για >b To ολικό ύμα το οοίο νάι μέσα αό οοιαδήοτ κλιστή διαδομή στην ιοχή αυτή ίναι ΙΙ Ι, δδομένου ότι οι ντάσις στους δύο αγωγούς ίναι ομόος, οότ ds µ ( I I) µ I (4) ds dscos ds (5) ( ) Αό (4) και (5) οκύτι (µ / ) Ι. Εγαζόμνοι όως και οηγουμένως οκύτι: Για < Β, Για <<b (µ / ) Ι και I I Για >b ds µ ( I ) µ ( ) οότ (µ /4 ) Ι Άσκηση 7 Σύμα ίναι αάλληλο ος την λυά b ακίνητου οθογώνιου βόχου (λυών και b) και αέχι αόσταση d αό αυτόν. α) Το σύμα διαέται αό σταθό ύμα Ι. β) Το σύμα διαέται αό ύμα ου μταβάλλται χονικά σύμφωνα μ τη σχέση: Ι Ι e -t/τ.
Να υολογιστί σ κάθ μια αό τις δύο ιτώσις: Το μαγνητικό δίο ου νάι αό το ίδο του βόχου. Η μαγνητική οή ου νάι αό το ίδο του βόχου Η αγόμνη ΗΕΔ στο βόχο. Λύση I b d d α) Το μαγνητικό δίο δίνται αό τον νόμο Ampèe: ds µ I ds µ µ I I () I. Παατηούμ ότι το δίο ίναι κάθτο στο ίδο του βόχου (δηλ, αάλληλο ος το διάνυσμα ds, όου ds στοιχιώδης ιφάνια του βόχου (γαμμοσκιασμένο τμήμα), δν ίναι ομογνές, αλλά μταβάλλται μέσα σ αυτόν, αντιστόφως ανάλογα μ τη αόσταση. Η μαγνητική οή η οοία νάι αό το ίδο του βόχου θα ίναι: Φ m ds ds cos() µ I ds Αλλά ds b d, οότ: d Φ µ I d µ Ib d m b ln d d Η αγόμνη ΗΕΔ στο βόχο δίνται αό το νόμο Fdy:
dφ Ε dt m Αό τη σχέση ου υολογίσαμ οηγουμένως, βλέουμ ότι η μαγνητική οή ίναι χονικώς αμτάβλητη (δδομένου ότι καμμία αό τις ααμέτους της σχέσης αυτής δν μταβάλλται μ το χόνο), ως κ τούτου Ε. Β) Ο νόμος Ampèe δίνι για το μαγνητικό δίο, μ την ίδια διαδικασία όως οηγουμένως: µ I t exp( ). τ Η μαγνητική οή θα ίναι: Φ m d µ I t d µ I b d t b exp ln exp τ d τ d και η αγόμνη ΗΕΔ: d dt µ I b d t µ I b d d t ln exp ln exp d τ d dt τ µ I b d t ln exp τ d τ Άσκηση 8 Μια δέσμη υθυγάμμων μονωμένων συμάτων μγάλου μήκους σχηματίζι κύλινδο ακτίνας.5cm και κάθ σύμα διαέται αό ύμα Ι Α. Να βθί το μέτο και η κατύθυνση της μαγνητικής δύναμης ανά μονάδα μήκους ου ασκίται σ ένα αό τα σύματα το οοίο βίσκται σ αόσταση.cm αό το κέντο της δέσμης. Να ξτασθί αν ένα σύμα ου βίσκται στην ξωτική ιφάνια της δέσμης υφίσταται μγαλύτη ή μικότη δύναμη αό κίνη του σύματος της οηγούμνης ίτωσης. Λύση () Υολογισμός του Β σ αόσταση.cm αό το κέντο της δέσμης ()
όου Ι το ύμα ου ιέχται στη διαδομή ακτίνας και ίναι: () Αό () και () οκύτι () Υολογισμός μ κατύθυνση ος το κέντο και 6.4 - Nt/m (b) Υολογίσθηκ ότι το Β ίναι ανάλογο της αόστασης αό το κέντο. Αυτό σημαίνι ότι Β γίνται μγαλύτο όσο αομακυνόμαστ αό το κέντο. Ειλέον, αφού κάθ σύμα διαέται αό το ίδιο ύμα, η δύναμη ίναι μγαλύτη σ σύμα της ξωτικής ιφάνιας. Άσκηση 9 Αφήνουμ τον οιζόντιο αγωγό ΑΓ να έσι κατακόυφα μ την ίδαση του βάους του. Τα άκα του αγωγού φάτονται χωίς τιβές στους κατακόυφους συμάτινους οδηγούς του σχήματος. Τα άνω άκα των αγωγών συνδέονται μ αφότιστο υκνωτή. Δίνονται: Το μήκος l και η μάζα m του αγωγού ΑΓ, το μέτο της μαγνητικής αγωγής u του μαγνητικού δίου, η χωητικότητα του υκνωτή και η ιτάχυνση της βαύτητας g. Α) Να αοδιχθί ότι ο ΑΓ έι να έφτι μ σταθή ιτάχυνση. Β) Να βθούν η Ε και το φοτίο του υκνωτή σ συνάτηση μ το χόνο. Οι αγωγοί θωούνται αμλητέας αντίστασης.
Ζ Δ Α Γ Λύση Ζ F L Δ Ε Ι Α Γ mg υ α Α) Αφού ο αγωγός έφτι λύθος, κάοια χονική στιγμή θα έχι ταχύτητα υ και ιτάχυνση. Εκίνη τη στιγμή έχι ανατύξι Ε υl. Εφαμόζοντας το ο κανόνα Kichhoff στο βόχο ΑΓΔΖΑ, έχουμ: Ε V c V c δηλαδή κίνη τη στιγμή ο υκνωτής έχι τάση V c υ l άα και φοτίο q V c υ l. Η ένταση του ύματος φότισης του υκνωτή κίνη τη στιγμή θα ίναι: dq dq dυl ( ) dυ I I l I l dt dt dt dt Άα στον αγωγό ΑΓ ασκίται F L I l F L l α Εφαμόζοντας αυτή τη στιγμή το θμλιώδη νόμο της μηχανικής για τον αγωγό ΑΓ: F m α mg - F L m α mg - l mg α m α m l σταθ 4
) Ποφανώς Ε υ l και αφού υ α t Ε Β l α t mg l t m l, Ενώ το φοτίο του υκνωτή: q υ l q Β l υ t lmg t m l q ος τόος υολογισμού της Ε και της δύναμης Lplce dφ d Ισχύι ( A ) () dt dt Κατά τη μτακίνηση του αγωγού ΑΓ αυξάνι η μαγνητική οή ου νάι αό το βόχο ΑΓΔΖ. Τότ, σύμφωνα μ το νόμο του Lentz έι να ανατυχθί στο βόχο ύμα τέτοιο ου να αντισταθμίζι την αύξηση της μαγνητικής οής. Τέτοιο ύμα ίναι αυτό ου έχι κατύθυνση ΖΑΓΔ και δημιουγί μαγνητική οή αντίθτη της οηγούμνης ώστ να αντισταθμίσι τη μταβολή (κατύθυνση αό τη σλίδα ος μάς). Αό τον Β κανόνα του Kichhoff (φοά διαγαφής όμοια μ τη φοά κίνησης των δικτών του ολογιού) έχουμ: V V () c c Αό την () d d d d da ldx ( ) ( cos8 o A A ) ( A( ) ) ( A) lυ dt dt dt dt dt dt Αό αυτήν και τη () έχουμ: q Vc lυ q l υ και dq d dυ I ( lυ) l l α dt dt dt Αφού ο αγωγός ΑΓ διαέται αό ύμα I l α μ κατύθυνση αό το Α ος το Γ και ίναι μέσα στο μαγνητικό δίο θα υφίσταται δύναμη Lplce: F Il Ilsin9 o yˆ Ilyˆ lαlyˆ F L L l α ( ) μ κατύθυνση ος τα άνω ( Y κατύθυνση) 5
αό δώ και έα ακιβώς τα ίδια όως στον ο τόο λύσης Άσκηση Στο κύκλωμα το σχήματος η άβδος ΑΓ μήκους l m μ μάζα m,5 kg και αντίσταση Ω, κινίται μ αχική ταχύτητα υ m.s -, ολισθαίνοντας άνω στους αγωγούς xx και yy (αμλητέας αντίστασης). Δίνονται ίσης: 4 Ω και T. Τη χονική στιγμή ασκίται στον αγωγό ξωτική δύναμη F ξ τέτοια ώστ ο αγωγός να ιταχύνται μ α m.s -. Α) Να βθί η Ε ου ανατύσσι η άβδος συνατήσι του χόνου. Β) Να βθί η ένταση του ύματος ου διαέι το κύκλωμα συνατήσι του χόνου και να γίνι γαφική αάσταση. Γ) Να βθί η F ξ ου έι να ασκίται στη άβδο ώστ να κινίται μ την ιτάχυνση αυτή. Δ) Να βθί το φοτίο ου θα άσι αό κάοια διατομή του αγωγού σ χόνο t 5 s. Οι τιβές θωούνται αμλητές. X Α X u υ υ Λύση Y Γ Υ Α) Η άβδος μ την κίνησή της στο ομογνές μαγνητικό δίο, δημιουγί Ε μ ολικότητα ου φαίνται στο σχήμα. Α X X Ι Ε Y F L Γ 6 F ξ d α υ Υ
Ε υ l Β (υ γ t) l Β υ l l α t (V) t(s).β) ) Εφαμογή του ου κανόνα Kichhoff στο βόχο οκύτι: ul lγt Ε I I I I I( A),4t( s) και μ φοά ου δίνται στο σχήμα. Γ) Λόγω του ύματος ου διαέι τη άβδο και του μαγνητικού δίου ου υάχι στο χώο, στη άβδο, κτός της F ξ θα ασκίται σχήμα και μέτο F L I l F L (N),4 t(s) Η φαμογή του θμλιώδους νόμου της μηχανικής στη άβδο δίνι: F m α Fξ - F L m α F ξ m γ F ξ (N),4 t(s) F L μ φοά ου φαίνται στο F L F ξ (N),4 t(s) Όταν η ένταση του ύματος μταβάλλται, το φοτίο ου νά αό μία διατομή του αγωγού σ χόνο t μοί να βθί μ δύο τόους: ος τόος 5 5 5 5 5 5 ( ) ( ) Q I dt,4t dt dt,4t dt t.t 5 5 ος τόος Αό το μβαδόν της γαφικής αάστασης του ύματος μ το χόνο: Σ στοιχιώδη χόνο dt θα νά φοτίο dq Ι dt, ου στη γαφική αάσταση αντιστοιχί σ στοιχιώδς μβαδόν ds. Έτσι το συνολικό φοτίο ου νά σ χόνο t 5 s θα 7
ίναι Q t dq Idt δηλαδή αιθμητικώς ίσο μ το μβαδόν του ταζίου ου σχηματίζι η γαφική αάσταση σ χόνο t 5 s: q OΓ (ΟΑ ΟΒ)/ q 5 s (4)A/ 5. I (A) 4 Ι A dt Γ 5 t (s) ος τόος Ειδή το φοτίο ου νά αό το κύκλωμα ίναι αγωγικό, ισχύι ο τύος q ΔΦ/ ολ q ΔΦ/( ) (). Η μταβολή της οής Φ κατά την κίνηση της άβδου θα ίναι ΔΦ Β ΔS όου ΔS το μβαδόν ου σχηματίζι η κίνηση της, σ χόνο t 5 s (σχήμα). Εομένως ΔΦ Β l x όου. Άα x υt αt x 75cm lx q q 5. Σημίωση : Σύντομη αόδιξη της () dφ Q t t t Φ Φ dt ( ) ολ ολ ολ ολ ολ Φ Φ ολ Q dq I dt dt dt dφ dφ Φ Φ Φ Σημίωση : Ο τόος υολογισμού της Ε και της δύναμης Lplce μοούν να γίνουν όως και στην υόδιξη της Άσκησης 9 8